高等流体力学-第五讲.

Mn x nC( x, t)dx
2）浓度分布各阶矩与统计量间的关系
浓浓度度分分布布方质差量：中心2坐标—1 —均(x值：)
μ
2 C(
M1 / M0
x,t)dx
M 0
取： M0 1; M1 0, 即 0 可证明
M2 /
d
dt
M0 2
2
2Dm
q — 在xi方向的单位面积的扩散质量通量；量纲：ML2T 1
Dm — 分子扩散系数；量纲： L2T 1
对三维情况，以矢量表示： q DmC
费克定律说明：在扩散溶液浓度场中的时空点上，单位时间内通过单位
面积的扩散质的质量与该点处扩散溶液浓度的梯度成正比，比例系数为该种
扩散溶液的分子扩散系数；方向与浓度梯度方向相反。
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第五讲 扩散理论
（2）分子扩散的随机游走分析
确定分子游走的概率值：分子的自由程l，经过N次运动后行走X距离 的概率。设在N次行走中，有p次沿x的正向，q次沿x的反向行走；每次行走 是相互独立的。
有：p + q = N；令: p – q = S ，故有：X = Sl
沿x的正向行走X距离的概率P为：
代入移流扩散方程后取时均值，有：
C t
ui
C xi

xi
Dm
C xi
C ui
其中： Cui 是由紊动脉动量产生的沿i方向的质量扩散通量。
仿照分子扩散系数的表示形式，引入紊动扩散系数Dij，
令：
C ui

Dij
C x j
紊动扩散方程可表示为（考虑源、汇项后）：
C
C u1 D11
C u2 D21

C
u3

D31
D12 D22 D32
D13 D23 D33

x1 C
x2 C

x3
Dij应是空间坐标的函数，当选择坐标使其与二阶张量的主轴方向一致 时，九个量中仅有三个主值，即：D11，D22，D33不为零。当满足各向同性 条件下，有：
C t
ui
C xi
xi
Dm
C xi
Dij
C x j
Fc
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第五讲 扩散理论
紊动扩散质量通量与紊动扩散系数Dij（Turbulent Diffusion
Coefficients）可用矩阵表示为：
其中射入同种性质的流体内称淹没射流，射入不同性质的流体内 为非淹没射流。
按射流的原动力还可分为：动量射流、浮力羽流、浮射流。
动量射流（Jets）：射流以出流的动量（Momentum）为原动力， 该动量对射流运动起主要作用。
浮力羽流（Plumes）：浮力（Bouyancy Forces）是原动力，产生 的运动形态呈羽毛状。如烟气，水体中泄入污染液体后的运动等。
概率值
P
l
Dm t
exp

X2 4Dm t

分子落于[X，X+dX]间的概率为：
P
l
Dm t
exp
X2 4Dm t

X
2l
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第五讲 扩散理论
可见概率密度： P X
1
4Dm t
exp
(Cx 1) dt q 1 dt (q q x) 1 dt
t
x
整理得： C q 0 t x
将费克第一定律代入，可得：
C t

Dm
2C x 2
或
q t

Dm
2q x 2
对三维情况：
C t

2C
Dm

x 2
2C y 2
问题： （考虑一维问题）在t=0时刻，坐标原点处（x=0） 放置质量为M的扩散质，确定浓度沿x轴的扩散过程。
基本方程：C t

Dm
2C x 2

定解条件：由质量守恒，在任何时刻，有： Cdx M

或 C(x,0) M (x)
求解方法：
1）量纲分析相似解法 ；
2）数理方程解法

X2 4Dm t

为扩散方程（M=1）的解。
可见分子扩散方程的解满足标准差为
2Dmt 的正态分布。
分析结论：
1）分子扩散的浓度可以用概率密度表示； 2）分子扩散系数可由概率分布的方差确定，即：
或积分得
Dm

1 d 2
2 dt
2 2


2 1
2Dm (t2
t1 )
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第五讲 扩散理论
（2）按研究问题的类型分：
1）剪切流中的离散（Dispersion）：由于剪切流中速度分布不均 匀产生含有随流散开的作用，也称弥散。
离散中包含有移流扩散和紊动扩散。
2）射流扩散：指从各种排泄口喷出流入周围另一流体域内运动的 一股流体。包括移流扩散和紊动掺混扩散。
2C z 2
Dm 2C
上述方程称之为分子扩散方程（Diffusion Equations）。
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第五讲 扩散理论
3、移流扩散方程（Advective Diffusion Equations）
取控制体如图，以x1方向为例。 假设：层流运动时溶液的扩散与流体静止
x
Cdx] x
d 2
dt

Dm [ x 2
C x

2xC

2 Cdx] 2Dm
上是说明：确定扩散系数可以从研究浓度分布的方差着手。
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第五讲 扩散理论
2、紊动扩散系数Dt的分析
假设紊动场均匀、各向同性，以一维为例阐述。 （1）基本概念
浮射流（Buoyant Jets）：原动力既有动量又有浮力。 3）分层流（Stratified Flowing）：在重力场中密度不均匀的流体 形成有层次的流动。
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第五讲 扩散理论
4、污水泄入河道中问题研究的阶段划分
第一阶段：污水离开排污口与周围水体掺混，以射流和浮力羽流形式扩散，一 般按三维运动问题处理；
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第五讲 扩散理论
（4）分子扩散系数与方差的关系证明
1）浓度分布各阶矩的定义
零阶矩： 一阶矩： 二阶矩：

M0 C ( x, t)dx
M1 xC( x, t)dx

M2 x 2C( x, t)dx
：扩散质总质量
n阶矩：

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第五讲 扩散理论
（3）分子扩散与分子随机游走概率密度间的关系
令a为分子运动速度，t为分子运动N次所用时间，则有：
N at / l, S X / l
随机游走概率可表示为： P 2l exp X 2
at 2atl
如令
Dm

1 al 2

Nl 2 2t
1）紊动扩散现象分析 观测实验结果说明：
浓度中心位置； 扩散观测 浓度扩散分析； 扩散现象图示 系综平均结果。
2）扩散系数的物理解释 两质点的相对扩散（系综平均）； 两质点的相对扩散图示 单个质点的扩散（系综平均）。 单个质点的扩散图示

c e 2 0
再由定解条件 得出：

Cdx M 确定系数c0。

C ( x, t) M exp( x 2 )
4Dm t
4Dm t
分离变量法结果：

C(x, t)

C ( ,0) 4Dm t
exp[ ( x )2 ]d
4Dm t
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(Cu1 ) x1

(Cu2 x2
)

(Cu3 x3
)

Dm

2C x12

2C
x
2 2

2C x32

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第五讲 扩散理论
4、紊动扩散方程
对紊动扩散，瞬时浓度和流速都可分解时均值与脉动值之和，即：
u u u 和 C C C
P N!/( p!q!)
N!
2N
2 N [ N (1 S )]![ N (1 S )]!
2 N2 N
利用Sterling公式： ln n! (n 1) ln n n 1 ln(2 )
2
2
可推出： P 2 exp S 2
N 2N
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分子扩散系数由扩散质及溶解质的种类、温度、压强决定，与溶液的运
动形态无关，是物性参数。
常见扩散质在水中的扩散系数表
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第五讲 扩散理论
2、分子扩散方程（费克第二定律）
分析分子扩散应满足的控制方程，以一维情况为例，流体静止。 取控制体如图，由质量守恒定律，可得：
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高等流体与方差的关系证明
扩散方程两边同乘x2后从-∞到+∞积分



x2
C dx t




x 2 Dm
2C dx
x 2
d dt



x 2Cdx

Dm [ x 2
C x



2

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第五讲 扩散理论
量纲分析相似解法
量纲分析：C（x，t）必然与M、Dm和t有关，有量纲关系
C( x, t) M f () M f ( x )
4Dm t
4Dm t
4Dm t
代入扩散方程，得：
df 2f 0 d
f
( )
（2）流体质点上所带的扩散质在运动过程中保持不变，即流体质点间不发生扩 散质的转移（不计分子扩散），扩散质的扩散完全是由于带有扩散质的流体质点发生 掺混的结果。
（3）对不可压流体，携带扩散质流体质点的总体积在扩散过程中保持不变，扩 散结果反映在携带扩散质的流体质点所占空间位置和轮廓随时间而变化。
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2、传输过程
流体中所含有物质（如各种污染物，也包括动量、能量和热量）在流场 中某一处到另一处转移的过程。
3、扩散（Diffusion）
是一类传输过程，指物质由含量高处向含量低处的传输过程。 （1）按扩散的机制可分为：分子扩散、对流传输扩散及紊动扩散。
1）分子扩散（Molecular Diffusion）：由分子运动产生。 2）紊动扩散（Turbulent Diffusion）：由流体质点的紊动产生的扩散。 3）移流传输（Advection）：扩散物随同流体质点的时均运动而转移。
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第五讲 扩散理论
二、描述扩散运动的基本方程
1、分子扩散的费克定律 （第一定律）
费克（Adolph Fick，1855）提出假设：盐分在其溶液中扩散的物理定 律应等同于傅立叶（Fourier，1822）提出的热传导定律相同，即：
q

Dm
C x i
其中： C — 扩散液的浓度；量纲： ML3
D11 D22 D33 DT
因为 DT Dm ，分子扩散可忽略不计，紊动扩散方程为：
C t
ui
C xi

DT
2C xi xi
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第五讲 扩散理论
三、扩散系数及其分析确定
1、分子扩散系数与概率统计量间的关系
（1）分子扩散方程的基本解
第五讲 扩散理论
本讲主要内容
一、基本概念 二、描述扩散运动的基本运动方程 三、扩散系数及其分析确定方法 四、扩散运动的解析解 五、岸边排放与中心排放污染带的计算
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第五讲 扩散理论
一、基本概念
1、扩散现象
烟囱排烟；河流排污；水面蒸发；食糖与食盐的溶解等。
时的分子扩散相同。
由质量守恒定律，可得：
(Cdx1dx2dx3 ) t
dt

qdx 2 dx 3 dt

(q

q)dx2dx3dt
q

Cu1


Dm
C x1

及
q

q x
x1
整理可得：
C t

(Cu1) x1

Dm
2C x12
对三维流动：
C t
第二阶段：污水还没有扩展到河流全断面，污水随河水一起运动，按二维紊动 离散问题研究；
第三阶段：污水已扩展到河流全断面，并且全断面完全混合，污水沿纵向继续 离散，可按一维纵向离散问题分析。
5、扩散理论的基本假设
（1）扩散质的存在不改变流体质点的流动特性。即将扩散质视为标志物质或称 示踪剂（Tracer）。