第一讲线段、角的计算与证明问题

合集下载

中考数学思维方法讲义【第1讲】证明-三角形专题(含答案)

年级：九年级

§第1讲证明（三角形专题）

【学习目标】

1、牢记三角形的有关性质及其判定；

2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。

【考点透视】

1、全等三角形的性质与判定；

2、等腰（等边）三角形的性质与判定；

3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；

4、相似三角形的性质与判定。

【精彩知识】

专题一三角形问题中的结论探索

【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE =3：4，其中正确结论的序号

是 .

●变式练习 1．如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB≠AC ，下列结论中：①BE=DC ；②∠BOD=60°；③△BOD ∽△COE ．正确的序号是．

★考点感悟：

专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索

【例2】如图(1)，Rt △ABC 中，∠ACB=-90°，CD ⊥AB ，垂足

为D ．AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F （1）求证：CE=CF ．（2）将图（1）中的△ADE 沿AB 向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．

图（1）图（2）

【例3】△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN=∠B ．

（1）如图（1）当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．

第1讲与三角形有关的线段和角

知识讲解

1.三角形的分类：1)按边分类:

2）按角分类：

2.三角形的高、中线、角平分线

（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的_____________.

（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的_____的线段叫做三角形的中线. （3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的_______和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3.三角形的内角与外角

（1）三角形的内角：

✓定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的_____.

✓三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于__________.

✓三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其_______度数；③求一个三角形中各角之间的关系。

（2）三角形的外角

✓定义：三角形一边与另一边_____组成的角，叫做三角形的外角。三角形外角和为_____。✓性质：①三角形的一个外角等于与它____相邻的两个内角的和。②三角形的一个外角大于与它______相邻的任何一个内角.

4．三角形的三边关系

（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和______第三边，任意两边之差_____于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和____最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.

专题110图形的计算与证明(讲)-备战2021年中考数学二轮复习讲练测(原卷版)

中考二轮讲练测

第一篇专题整合篇

专题10 图形的计算与证明（讲案）

一讲考点——考点梳理

（一）三角形中的特殊线段

1.三角形的角平分线

（1）概念：三角形的一个角的平分线，与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

（2）三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫三角形的内心，内心到三角形各边的距离相等.

2.三角形的中线.

（1）概念：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线.

（2）三角形的三条中线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫三角形的中心，重心把中线分为1：2两部分（到顶点的距离占2份）.

3.三角形的高线

（1）概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂直线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. （2）三角形的三条高或高的延长线交于一点，交点叫做三角形的垂心.锐角三角形垂心在三角形的内部，直角三角形的垂心即直角三角形的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.

4.三角形的中位线

（1）概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

（2）三角形的三条中位线都在三角形的内部，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. （二）三角形的性质

1.三角形的三边关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

判断三条线段是否能组成三角形时，只需要判断较短的两条线段长之和是否大于第三遍即可.

2.三角形的角

（1）三角形的三个内角之和为180°.

（2）三角形的外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相

第3课线段与角

【知识要点】

直线、线段、射线、角是最基本的几何图形，它们的性质是研究复杂图形的基础。

相交线与平行线是平面图形的最基本的形式，与它们相关的基本性质有：

1、两条相交直线有唯一的交点，垂直是特殊的相交；

2、经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；

3、垂直于同一直线的两条直线互相平行；

4、经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行；

5、平行于同一直线的两条直线互相平行；

6、平行线的判定定理(3条)和性质定理(3条).

【例题选讲】

例1、已知4个点A、B、C、D，问一共可以确定多少条直线？不在同一直线上的n个点一共可以确定几条直线？

例2、如图，O是直线AB上一点，∠AOD=1200, ∠AOC=900,OE平分∠BOD,问图中互补的角一共有多少对？

例3、已知AB∥CD，∠C=1000,EF为∠CEB的平分线，EG⊥EF,求∠CEG.

例4、如图，AB∥CD,E是AB与CD之间的一点，试问∠A、∠AEC、∠C之间有何关系？

例5、平面上有10条直线，它们最多有几个交点？

例6、直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．

例7、过点O任意作7条直线，求证：以O点为顶点的角必有一个小于26 。

例8、已知直线AB分别与直线a、b相交于A、B，∠1、∠2的平分线相交于点C，且

AC⊥BC，

求证：a∥b.

练习：

1．3条直线交于一点，共可组成对对顶角．

2．一块蛋糕，一刀切成两块，两刀最多可切成四块，那么五刀最多可切成块．（要求竖切，且不能移动蛋糕）

中考数学专题讲练线段最值问题一(解析版)

线段最值问题（一）

一．两点之间线段最短

两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线段或者线段和的最大最小值问题。解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临界位置，求出最值.

1.两点之间，线段最短：A 和B 两点之间，线段AB 最短.

2. AB a =，BC b =（a b >），则当点C 在D 点时，min AC AB AC a b =-=-，当点C 在点E

时，max AC AB BC a b =+=+

二．垂线段最短

垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段AB 外一点C 与线段上各点的连线中，垂线段CD 最短.

D C

B A E

D C

B A

一．考点：两点之间线段最短，垂线段最短

二．重难点：两点之间线段最短，垂线段最短

三．易错点：

1．利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解；

2．利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线．

题模一：两点之间线段最短

例1.1.1 在RtABC 中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6．

（I ）如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长=__；（II ）如图②，点D 是边AC 上一点D 且

，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD ′，点F 始终为BD ′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转__度时，线段CF 的长最大，最大值为__．

F E D C

【答案】（1）6

（2）150；6

专题九-几何计算与证明专题训练

重庆市徐悲鸿中学初2015级专题训练

几何计算与证明专题

几何题中的计算与证明，中考中占非常重要的地位，它重点考查学生的观察推理、分析问题和解决问题的能力。从历年重庆中考试题来看，这类题目难度较大，需要添加辅助线才能完成，属于较难题。常考的知识点具有综合性，通常包括全等三角形、特殊三角形、四边形、线段垂直平分线和角平分线性质和判定等相关知识。

第1课时

证明线段相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1 已知，如图，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE=DF.

思路分析：首先想到证明DE 和DF 所在的三角形△DEG ≌△DFC ，但差一个全等的条件，结合已知AB=AC ，DB=DC ，自然会想到作辅助线AD 来搭桥。

证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例2. 如图所示，设BP 、CQ 是 ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。求证：KH ∥BC

K M

P H C

分析：由已知，BH 平分∠ABC ，又BH ⊥AH ，延长AH 交BC 于N ，则BA ＝BN ，AH ＝HN 。同理，延长AK 交BC 于M ，则CA ＝CM ，AK ＝KM 。从而由三角形的中位线定理，知KH ∥BC 。

几何证明第一讲(一)

已知 l1 // l2 // l3 , 直线l、l `与l1、l2、l3 分别交于A1 、A2 、A3 和 B1、B2、B3 ,如果 A1 A2
A2 A3 , 那么B1 B2 B2 B3 .
证明
1如图1 2 ,当
l
A1 A2 A3
l`
B1
l // l `时,l1 // l2 // l3 , l // l `,
B2
B3 l 3
平行如图1 3, 上述关系还能成立吗?
有什么关系如果 l 与l `不 ?
图1 3
单击图标 , 通过操作打开的几何画板 , 观察并测量, 可以发现,
无论l与l `是否平行 , 只要A1 A2 A2 A3 , 就有B1 B2 B2 B3 .
由观察或测量得到的结论不一定可靠, 必须通过严格的数学证 , 才明能得到正确的、具有一意义的般结论.你能证明这个猜想吗 ?
线l1、l2、l3 满足l1 // l2 // l3 , 直线l // l `, 且分别与l1、l2、 l3 相交于 A1、A2、A3 和 B1、 B2 、B3 .当 A1 A2 A2 A3 时, 观察图形 , 并测量线段
B2 B3
图1 2
l
A1 A2 A3
l`
B1
l1 l2
B1 B2 、B2 B3 的长度 , 它们

几何——第一讲几何基本概念与简单图形

1. 直线与线段的概念
直线是一个原始的几何概念，对它给出了两点形象
的பைடு நூலகம்述：
⑴直线可以向两方无限延伸；
⑵过两点有且只有一条直线（公理 1）。
射线是直线的一部分，它有一个端点，另一个可以
无限延伸。
直线上两个不同点之间的部分叫做线段，它有两个
第 1 页共 29 页
2. 相交线与垂线两条不同的直线，不能有两个或更多的公共点。如
第一讲——几何基本概念与简单图形端点。
平面几何是一门研究平面图形位置关系及其相关性
所有连接两点的线中，线段最短（公理 2）。
质的学科。学好了平面几何，将为我们学习空间图形及
直线和线段中的主要题型有两类：
其性质、学习牛顿力学打好基础。
⑴线段的和、差、倍、分的度量关系问题；
一、直线与线段
⑵关于直线、线段的两个公理的应用问题。
2
⑸“内外平分线”模型点 P 是 ABC 和外角 ACD 的角平分线的交点如图（e）： BPC 1 A
2
⑹“外角平分线”模型点 P 是外角 CBF 和外角 BCE 的角平分线的交点。如图（f）： BPC 90 1 A
2
第 9 页共 29 页
⑺“圆内角”模型顶点在圆内，由两条弦在圆内相交所成的角叫圆内角。
作法：
①以 P 为圆心，任意长为半径画弧，交 AB 于 M、N； ②分别以 M、N 圆心，大于 1 MN 长度的一半为半径画弧，

第一讲1.1平行线等分线段定理

归纳升华在几何证明中添加辅助线的常见方法：①在三角形中，利用角平分线可构造全等三角形或相似三角形；②在三角形或梯形中，若已知一边或一腰的中点，则过中点可作平行于底边的辅助线．
[变式训练] 如图所示，已知在△ABC 中，D 是 AC 的中点，DE∥BC，交 AB 于点 E，EF∥AC 交 BC 于点 F，求证： BF＝CF.
解：如图所示，过点 D 作 DG∥BF 交 AC 于点 G.
在△BCF 中，点 D 是 BC 的中点， DG∥BF，
所以点 G 为 CF 的中点，即 CG＝GF. 在△ADG 中，点 E 是 AD 的中点， BF∥DG，所以点 F 是 AG 的中点，即 AF＝FG. 所以 AF＝13AC＝3.
归纳升华当题中出现中点条件时，常过中点作平行线，构造平分线等分线段定理及推论的基本图形解题．
(2)由题目条件可得 BF＝FC，而 BF，FC 与 AE，ED 的大小则没有关系，故错误；
(3)由题目条件可知 B1O1＝O1D1，A1O1＝O1C1，故 B1O1－A1O1＝O1D1－O1C1，
即 B1A1＝C1D1，故正确；
(4)因为 EF 不一定与 AB，CD 平行，所以 BF 与 FD 的大小关系不确定，故错误．
经过三角形一边的中点与另一边推论 1 平行的直线必平分第三边
AB′＝B′B
B′C′∥BC

中考数学(人教版)中考总复习课件：第1讲线、角、相交线和平行线(自主学习+考点透析,共21张PPT)

3．垂线 (1)过一点有且仅有__一__条____直线与已知直线垂直． (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，_垂__线__段___ 最短． (3)线段的垂直平分线及其性质： ①定义：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的 _垂__直__平__分__线___； ②性质及其推论：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离__相__等____；到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的__垂__直__平__分__线__上．
考点 2
平行线的性质与判定
4．(2011 年广东茂名)如图 4－1－5，已知 AB∥CD，则图
中与∠1 互补的角有( A ) A．2 个 B．3 个
C．4 个
D．5 个
图 4－1－5 图 4－1－6 5．(2010 年广东)如图 4－1－6，已知∠1＝70°，如果 CD∥ BE，那么∠B 的度数为( C ) A．70° B．100° C．110° D．120°
6．(2009 年广东清远)如图 4－1－7，AB∥CD，EF⊥AB 于点 E，EF 交 CD 于点 F，已知∠1＝60°，则∠2＝( C )
图 4－1－7
A．20° B．60°
C．30° D．45°
规律方法：在平行线与相交线的角度计算中，主要运用：
①两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；
第1讲线、角、相交线和平行线

数学人教A版选修4-1学案课堂导学第一讲第一节平行线等分线段定理 Word版含解析

课堂导学

三点剖析

一、平行线分线段成比例定理及推论的应用

【例】如图,已知△中是边上的中线为中点的延长线交于.

图

求证.

思路分析：欲证,只要取的中点,然后证即可,或者过作∥,再证.

证法一:取中点,∵,

∴为△的中位线.∴∥.

在△中为中点,∴为中点.∴.∴.

证法二:过作∥交于.

在△中为中点,∴.

∴.∴.

温馨提示

证法一利用取中点和中位线定理得平行,然后再利用定理及推论证得线段相等.

证法二是作平行线,直接利用定理或推论.

二、线段和差的证明问题

【例】如图中、相交于,以为端点引射线,分别过、、向作垂线,垂足分别为′、′、′.

求证′′′.

图

思路分析：平行四边形对角线互相平分,容易看出是△′的边的中点,也是梯形′′的腰的中点.为此,只要过作′⊥或′∥′易得′分别为′和′′的中点,即′′′′′′′,两式相减即得证.

证明:作′⊥′为垂足,

∵为平行四边形,

∴.

又∵′′′′都垂直于,

∴′∥′∥′∥′.

∴′′′′′′′.

∴′′′′′′′,即′′′.

三、探索线段间的关系

【例】如图,已知是中点、在的两侧,分别过、、作直线的垂线,垂足分别为、、.请探讨、、的关系并证明.

图()

思路分析：假设、重合,则图形变为图().

图()

∵⊥⊥,∴∥.又∵是中点,

∴是中点是△的中位线.

∴.而当、不重合时,要么(),要么().

通过观察、在异侧时＜,因此我们猜想().

下面我们给出猜想的证明.

解:如图(),连结并延长交于,

∵、、都垂直于,

∴∥∥.

又∵是中点,∴是的中点.

∴是△的中位线.

∴().

∵∥,∴∠∠.

在△和△中,

∴().

中考数学专题1_线段角的计算证明问题

中考数学专题1 线段角的计算证明问题

第一部分真题精讲

【例1】如图，梯形中，，．求的长．

【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.

【解析】

作于于

，

四边形是矩形．

是的边上的中线．

在中，

【例2】已知：如图，在直角梯形中，∥，，于点O，，求的长.

【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC向右平移,构造一个以D为直角顶点的直角三角形.这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC是已知的.于是问题迎刃而解.

【解析】

过点作交的延长线于点.

∴ .

∵ 于点,

∴ .

∵ ，

∴ 四边形为平行四边形.

∴ .

∵ ，

∴ .

∵ ，

∴ .

∴

此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD和 △DBC相似，从而利用比例关系直接求出CD。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。

【例3】如图，在梯形中，，，，为中点，．求的长度

．

【思路分析】这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不行.那该怎

中考冲刺几何综合问题—知识讲解及典型例题解析

；

中考冲刺：几何综合问题—知识讲解及典型例题解析

【中考展望】

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题 ,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.

几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.

以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：

1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）

2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）

3、几何计算问题；

4、动态几何问题等.

【方法点拨】

一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：

1、与三角形有关的知识；

2、等腰三角形，等腰梯形的性质；

3、直角三角形的性质与三角函数；

4、平行四边形的性质；

5、全等三角形，相似三角形的性质；

6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；

7、弧长公式与扇形面积公式.

二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：

1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过

初中几何证明线段和角相等的方法

第一篇：初中几何证明线段和角相等的方法

初中几何证明线段和角相等的方法大全

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

下面有好几种可以证明线段相等的方法，你自己选吧。

（一）常用轨迹中：

人教版七年级上册第16讲角的证明与相关计算

第16讲角

知识导航

1．角的有关概念及表示法；

2．角的比较与运算；

3．余角与补角

【板块一】角的有关概念及表示法

方法技巧

1．角的定义有静态和动态定义两种．

2．角的顶点处有多个角时一般采用三个字母表示或数字表示法或希腊字母表示法．

3．度，分，秒的换算是60进制，高级向低级转化，每级变化乘60，低级向高级单位转化每级除以60．4．钟表中时针的速度为每分钟0.5°，分针速度为每分钟6°．

题型一角的定义及其表示法

【例1】下列说法中，正确的是( )

A．两条射线组成的图形叫做角

B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角

C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转面形成的图形

D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形

【例2】如图，下列关于角的说法中，错误的是( )

A．∠1与∠AOB表示同一个角

B．∠AOC也可以用∠O来表示

C．∠β表示的是∠BOC

D．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC 题型二角的计数问题

【例3】如图所示，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有多少个角?画2条射线，图中共有多少个角?画3条射线，图中共有多少个角?画n条射线，图中共有多少个角

题型三角的单位及其换算

【例4】度,分，秒的计算

①56°18′＋72°48′＝；②131°28′－51°32′15″＝ ;

③12°30′20″ 2＝;④12°31′21″ 3＝

题型四钟面上角的特征

【例5】钟表上在2时和3时之间(包括2时,3时)分针和时针有多少次夹角为90°的机会?求出此时对应的时间.

针对练习1

1.如图所示，下列说法情误的是()

第一节与三角形有关的线段-学而思培优

本文讲解了与三角形有关的线段，包括三角形的定义、分类、三边关系定理及其应用、三条重要的线段（高、中线、角平分线）以及三线交点位置等。文章还介绍了三角形的稳定性和整数边三角形，并提供了数学方法和几何模型。最后，文章提供了基础演练题目。

1.三角形的定义：三条不在同一条直线上的线段首尾相接组成的图形。

2.三角形的分类：按边分类。

3.三角形的三边关系定理及其应用：

1) 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2) 应用：判断能否围成三角形、确定第三边的长或周长取值范围、化简代数式、证明线段间的不等关系等。

4.三角形的三条重要线段：

1) 高：从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。

2) 中线：连接一个顶点和对边中点的线段。

3) 角平分线：一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。

5.三线交点位置：

1) 锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的交点是直角顶点，钝角三角形的交点在外部，叫做垂心。

2) 三角形的三条中线交于内部的一点，叫做重心。

3) 三角形的三条角平分线交于内部的一点，叫做内心。

6.三角形具有稳定性。

7.整数边三角形：

1) 边长都是整数的三角形。

2) 若a、b、c是三角形的三边，且a≥b≥c，则a<b+c，且仅当a=b=c时等号成立。

8.数学方法：几何问题代数化、分类讨论等。

9.几何模型：三角形、三角形的高线、中线和角平分线、整数边三角形。

基础演练：

1.(1) C (2) A

2.根据图11-1-1，小方在池塘的一侧选取一点，测得

第一讲线段、角的计算与证明问题

中考数学思维方法讲义【第1讲】证明-三角形专题(含答案)

第1讲 与三角形有关的线段和角

专题110图形的计算与证明(讲)-备战2021年中考数学二轮复习讲练测(原卷版)

第3课 线段与角

中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)