第一讲线段、角的计算与证明问题

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第1讲与三角形有关的线段和角

知识讲解1.三角形的分类：1)按边分类:2）按角分类：2.三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的_____________.（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的_____的线段叫做三角形的中线. （3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的_______和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3.三角形的内角与外角（1）三角形的内角：✓定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的_____.✓三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于__________.✓三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其_______度数；③求一个三角形中各角之间的关系。

（2）三角形的外角✓定义：三角形一边与另一边_____组成的角，叫做三角形的外角。

三角形外角和为_____。

✓性质：①三角形的一个外角等于与它____相邻的两个内角的和。

②三角形的一个外角大于与它______相邻的任何一个内角.4．三角形的三边关系（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和______第三边，任意两边之差_____于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和____最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.考点/易错点1关于三角形的高的注意事项：（1）三角形的高线是一条线段；（2）锐角三角形的三条高都在三角形______，三条高的交点也在三角形____部；钝角三角形有两条高落在三角形的_____部，一条在三角形_____部，三条高所在直线交于三角形___一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部。

初三数学上册课本第一讲

证明(二)_______年_____月______ 日1、你能证明它吗？(1)三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边_______ ，对应角也________. 判定： _____________________________________. (2)等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)推论:三线合一是指： ____________________________________________. (3)等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60 度；等边三角形的三条边都满足 “三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。

判定定理：有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

(4)含 30 度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形(1)勾股定理及其逆定理定理： _____________________________________________________________ 。

逆定理： ___________________________________________________________ 。

(2)命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。

(3)直角三角形全等的判定定理定理： ________________________________________ (HL) 3、线段的垂直平分线(1)线段垂直平分线的性质及判定性质： __________________________________________________ 。

判定： __________________________________________________ 。

初中数学第一课

及实际问题中蕴含的关系和规律，
进一步加深对
初步掌握一些有效的表示、处理
相关数学知识
和交流数量关系以及变化规律的
的理解，认识
工具，发展符号感，体会数学与
数学知识之间
现实生活的紧密联系，增强应用
的联系。
意识，提高运用代数知识与方法
解决问题的能力。
教材特点
教材特点
改变学习方式
注重联系生活实际
呈现形式活泼多样
九年级所有章节
北师大版九年级上册（6）
第一章特殊的平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与识图第六章反比例函数总复习
北师大版九年级下册（3）
第一章直角三角形的边角关系第二章二次函数第三章圆总复习
课程目标
课程目标
获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；
十字相乘法
万能公式
有两交点（x1,0）( x2,0 ）
Δ＞0
有一交点（ b ,0）
2a
Δ=0
有两个不等根提
X1， x2
公公
因式配
式法方
有两个等根
法
法
x1=
x2
=
b 2a
无交点 Δ＜0
二次函数
关系
无实根
解法
一元二次方程
应用
与y轴交点位置
开口方向.
a＞0.向上
对称轴在y 轴的位置
c＞0.在正半轴 c=0.在原点
的位置关系
关系
相交线
直线公理直线

八年级数学上学期与三角形有关的线段(基础)知识讲解——含课后作业与答案

与三角形有关的线段（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类】2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔA BC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠B AC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ，在△ODC 中有OD+OC ＞CD ，在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ，即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．类型三、三角形中重要线段4. （2016春•江阴市月考）如图，AD ⊥BC 于点D ，GC ⊥BC 于点C ，CF ⊥AB 于点F ，下列关于高的说法中错误的是（）A ．△ABC 中，AD 是BC 边上的高B ．△GBC 中，CF 是BG 边上的高C ．△ABC 中，GC 是BC 边上的高D ．△GBC 中，GC 是BC 边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案与解析】解：A 、△ABC 中，AD 是BC 边上的高正确，故本选项错误；B 、△GBC 中，CF 是BG 边上的高正确，故本选项错误；C 、△ABC 中，GC 是BC 边上的高错误，故本选项正确；D 、△GBC 中，GC 是BC 边上的高正确，故本选项错误．故选C ．【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．与三角形有关的线段（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用他们摆成三角形的是( ).A．3cm ，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm ，6cm，11cm D．13cm ，12cm，20cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( ).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2015春•常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A． 6 B． 7 C． 8 D． 94．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( ).A．5m B．15m C．20m D．28m5．三角形的角平分线、中线和高都是( ).A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对6．下列说法不正确的是( ).A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部7．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( ).A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．以上三种情况都有可能8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ).A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短二、填空题9．（2016•金平区一模）如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．10．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________．11. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．12. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则_____＝_____＝12____ ；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．13. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．14.（2015春•焦作校级期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是_____________.三、解答题15．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．16．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?17.（2014春•苏州期末）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD.3. 【答案】B；【解析】解：由题意，令第三边为x，则5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边长为奇数，∴第三边长是3或5或7．∴三角形的第三边长可以为7．故选B．4. 【答案】D；【解析】因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故|6-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．5. 【答案】B.6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线不一定都在三角形内部.7. 【答案】C；【解析】中线把三角形分成面积相等的两个三角形.8. 【答案】A.二、填空题9. 【答案】稳定.10.【答案】5 cm或7 cm；【解析】三角形三边关系的应用.11.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰为4 cm或7 cm分类讨论.12．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥.13.【答案】15cm2，30cm2；【解析】S△ABE＝S△A CE＝15 cm2，S△AB C＝2 S△ABE＝30 cm2.14.【答案】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即1＜2AD＜7，＜AD＜．故答案为：＜AD＜．三、解答题15.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．16.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．17.【解析】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．18.【解析】解：如图。

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。

其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。

文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。

此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。

最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。

例题部分也包括了两个问题的解答。

1、正确画出AC边上的高的是（C）。

2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。

3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。

4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。

5、在图中，由于AB=CD。

AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。

6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。

7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。

8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。

9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。

10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。

几何图形初步线、角、平行线

几何图形：点、线、面、体称为几何图形。

圆柱体、圆锥体、球体等各个部分不在同一个平面内的几何图形称为_________.而直线、射线、角、三角形、平行四边形、梯形和圆也都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内，称为___________。

线段、射线和直线：线段可以用表示它的两个端点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，如图的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”，也可以记作“线段a”。

A Ba直线可以用它上面任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。

如图的直线可以记作“直线AB”或“直线BA”，也可以记做“直线l”。

射线用表示它的端点和射线上另外任意一点的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面。

如图的射线记做“射线_______”，而不能记做“射线_______”。

为什么？经过两点_________________直线，即两点确定一条直线。

将线段向一个方向无限延长就形成了________；将线段向两个方向无限延长就形成了______；直线上两点间的部分就是______；直线上一点的一旁部分就是________。

如何用直尺和圆规作出一条线段，使它们等于已知线段a?两点之间______最短。

角角可以看成由两条________的射线所组成的图形，这个公共端点叫这个角的_______，或由一条______绕着它的__________旋转而成的图形，起始位置的射线叫做__________，终止位置的射线叫做________角的三种表示方法：______________________________________________-____________________________________________________________________________________________等于90度的角叫______，小于90度的角就是_____，大于直角而小于平角的角是_______如果两个锐角的和为_______,我们就说这两个角互为_______,简称_______;如果两个角的和为平角,我们就说这两个角互为_______,简称_______;从一个角的顶点引出的一条射线。

几何——第一讲几何基本概念与简单图形

（2）点 A、B 在直线 m 同侧：
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（3）两个点都在内侧：
形式二：已知点 A 位于直线 m、n 的内侧, 在直线 m、n 上分别求点 P、Q，使得三角形 APQ 的周长最短。
3. 台球两次碰壁模型形式一：已知点 A、B 位于直线 m、n 的内侧，在
直线 n、m 上分别求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 的周长最短。
果它们有一个公共点，我们就说他们相交，它们是相交直线，这个公共点叫做它们的交点。
相交关系中最重要的是垂直相交，与垂直有关的知识，有以下两个重要的结论： ⑴过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直； ⑵直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
两条直线相交，可形成两组对顶角，它们分别相等，也可以形成邻补角，即一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角。也就是说，邻补角是具有特殊位置关系的两个互补角，一个角的邻补角有且只有两个。
如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角；如图（b）： BDC ABD A ACD
如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
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⑶“8 字形”模型如图（c）： A B C D
⑷“内角平分线”模型点 P 是 ABC 和 ACB 的角平分线的交点。如图（d）： BPC 90 1 A
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四、面积初步
由于多边形可以分割成若干个三角形，所以多边形
在中学数学里，面积是非常重要的内容，除简单的的面积可转化为三角形面积来研究。
面积计算外，还要学会使用“等积变换”的思想方法来处
关于三角形的面积，有以下几个重要性质：
理几何问题。
⑴等底等高的两个三角形面积相等；

三角形中的边角关系、命题与证明

高效学案4、三角形中的重要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段.（2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3）三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高.三、经典例题【例1】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm【变式1】两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长x cm 的范围是__________．【变式2】若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简c b a a c b c b a +--+--+--．【变式3】如图，已知P 是△ABC 内一点，连结AP ，PB ，PC ．求证：PA+PB+PC >21(AB+AC+BC)．【例2】等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（）A ．15cmB ．20cmC ．25 cmD ．20 cm 或25 cm【例3】已知△ABC 中：（1）∠A=20°，∠B ﹣∠C=40°，则∠B=______；（2）∠A=120°，2∠B+∠C=80°，则∠B=_______；（3）∠B=∠A+40°，∠C=∠B ﹣50°，则∠B=_______；（4）∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B=_______．E DA 2 1 ABC 【变式】如图把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 在四边形BCDE 的内部时，则∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找出这个规律，你发现的规律是（）A.∠A=∠2＋∠1B.2∠A=∠2＋∠1C.3∠A=2∠1＋∠2D.3∠A=2∠1＋2∠2【例4】如图，α、β、γ分别是△ABC 的外角，且α：β：γ= 2：3：4，则α =__________．【变式1】如图，五角星ABCDE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数．【变式2】已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．利用（1）的结论，试求∠P 的度数；（3）如果图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？【例5】如图，∆ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是∆ABD 中AD 边上的中线，若∆ABC 的面积是24，则∆ABE 的面积是________．【例6】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC ，BC=5cm ，AC=8cm ，BE=3cm .（1）求△ABC 的面积；（2）画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值．【例7】已知：如图AB//CD 直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于P ，求证 90=∠P ．【变式】如图，∠MON=90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ．∠BAO=45°则∠C 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【例8】如图，△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于点O ，若∠A=70°，则∠BOC= 度．【变式】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？探究2：如图2中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？探究3：如图3中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？四、方法归纳1、三角形的边的关系，只需验证：两个较短的边之和大于第三边即可.2、三角形的两边长分别为b a ,，则第三边长c 的取值范围是：b a c b a +<<-.3、三角形的几种“心”.（1）重心：三条中线的交点.（2）外心：三边垂直平分线的交点.（3）内心：三条内角平分线的交点.（4）垂心：三条高线的交点.五、课后作业【作业1】1.如图所示，共有_______个三角形，以AD 为一边的三角形有___________________，∠C 是△ADC 的________边的对角，AE 是△ABE 中∠_____的对边.2.一个三角形周长为27cm ，三边长为2：3：4，则最长边为______cm.3.已知在△ABC 中，5=a ，3=b ，那么第三边c 的取值范围是_____________.4.在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则△ABC 是________三角形.5.在△ABC 中，已知∠B －∠A=5°，∠C －∠B=20°，则∠A=_______.6.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD ⊥AB 于D ，则∠ACD =_________.7.等腰三角形周长为14，其中一边长为3，则腰长为________.8.一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为9cm ，那么这个三角形的周长是__________.9.在△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线交与点O ，若∠BOC=132°，则∠A=________.10.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A 等于（）A.60°B.45°C.30°D.20°11.如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定12.一个三角形的两边长分别为3和7，若第三边长为偶数，则第三边为（）A.4，6B.4，6，8C.6，8D.6，8，1013.能将三角形的面积分成相等的两部分的是（）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高线D.以上都不对14.在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形15.如图，AD 、AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 数.（提示：先证明∠DAF=21（∠C －∠B ））16.如图，已知I 为△ABC 的内角平分线的交点.求证：∠BIC=90°＋21∠A.17.如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 50°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，求∠BDE 的度数.18.如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，已知∠AFD=150°，求∠EDF 等于多少度？【作业2】1.如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的中线、高、角平分线.则：BD=___=21___；∠___=∠___=90°；∠___=∠___=21∠___. 2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，已知AB=6，BC=4，AD=5，则CE=______.3.如图，AD 、AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB=5，AC=3，则△ABD 与△ACD 的周长的差是_________，△ACD 与△ABD 的面积关系为__________.第1题第2题第3题第4题第5题4.如图，△ABC 的周长是21cm ，AB=AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，则AB= ，BC=_________.5.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且2ABC cm 8=∆S ，则阴影部分的面积等于_________.6.在△ABC 中，若AB=5，AC=2，且三角形周长为偶数，则BC=________.7.△ABC 的三边长是a ，b ，c ，则c b a a c b c b a +++-----=________.第8题第9题第10题8.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点B 沿CB 所在直线远离C 点移动，下列说法不正确的是（）A.三角形面积随之增大B.∠CAB 的度数随之增大C.边AB 的长度随之增大D.BC 边上的高随之增大9.如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A.118°B.119°C.120°D.121°10.如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠BOC 与∠A 的大小关系是（）A.∠BOC=2∠AB.∠BOC=90°+∠AC.∠BOC=90°+21∠A D.∠BOC=90°21-∠A11.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，已知∠A=50°，求∠BDC的度数．13.如图，已知BD为∠ABC的平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．14.如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．15.如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．16.已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设∠OAC x =°.21（1）如图1，若AB ∥ON ，则①∠ABO 的度数是；②当∠BAD=∠ABD 时，=x ；当∠BAD=∠BDA 时，=x ．（2）如图2，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．第二节：命题与证明一、课堂导入有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用。

第一讲全等三角形的性质及判定

全等三角形的性质及判定
学习目标：
1、复习回顾全等三角形的性质及判定； 2、探究线段的和、差、倍、分关系； 3、能熟练利用三角形全等证明线段相等、角相等 4、线段垂直或平行位置关系等常见的问题；
一、复习（抢答）

全等三角形的性质有哪些？

全等三角形的判定方法有哪些？ Nhomakorabea构造全等三角形的方法有哪些？
课堂练习：
教材例1
教材
P3页1—9题
中考链接

(2010年长沙中考)在正方形ABCD中，AC为对角线， E为AC一点，连接EB、ED。（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，直接写出∠EFD 的度数。
二、例题精讲

例2、已知，如图，BD，CE分别是△ABC的边 AC和AB上的高，点P在BD的延长线上， BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：⑴AP=AQ； ②AP⊥AQ.

例3、如图，∠B=2∠C, AD⊥BC于点D, 求证：AB+BD=CD。

例4、如图,在△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC, BE平分∠ABC,CE⊥BE. 求证:CE=BD.

八年级(上)培优讲义：第1讲-三角形的初步知识(1)

第1讲三角形的初步知识1（认识三角形、定义与命题、证明）一、知识建构1. 三角形按角分类：（1）锐角三角形：三角形的，这样的三角形称之为锐角三角形（2）直角三角形：三角形有，这样的三角形称之为直角三角形（3）钝角三角形：三角形有，这样的三角形称之为钝角三角形2. 三角形的角平分线：在三角形中，，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3.三角形的中线：在三角形中，，叫做这个三角形的中线。

（1）三角形的中线的形状也是一条；（2）三角形的三条角中线.4.三角形高的定义：从三角形的一个顶点线，的线段叫做三角形的高。

5.三角形三边之间的关系为：6.能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的______．7．对某一件事情作出_______判断的句子叫做命题．•每个命题都是由______•和______两部分组成的．8.思考下列命题的条件和结论分别是什么？并判断那些命题正确? 那些命题不正确?(1)相等的角是对顶角。

(2)直角三角形两锐角互余。

(3)同位角相等。

(4)一个角的补角一定大于这个角的余角。

9. 阅读教材内容后请回答：(1)怎样判断一个命题是真命题还是假命题？(1)真命题、公理、定理三者的区别与联系各是什么？10.判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请用推理的方法来说明.（1）如果ab=0，那么a=b=0；（2）如图，若AC∥DE，∠1=∠2，则AB∥CD.二、经典例题例1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个判断：①a∥b②b∥c；•③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°例3. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1= , （2）θn= .例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．图1图2DC EA B例5. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是（）A ．1≤x ≤3B ．1＜x ≤3C ．1≤x ＜3D ．1＜x ＜3例6. 已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是．例7. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE ．例8.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于点M 、N ，MG 、NH 分别是∠EMB 与∠END 的平分线.求证：MG ∥NH . 请根据分析思路，写出证明过程.三、基础演练1.在△ABC 中，若∠A +∠B =88°，则∠C =_______，这个三角形是______ 三角形.∠EMG=12∠∠ENH=12∠END可证∠EMG=∠MNH要证MG ∥NH 只需证：∠EMB=∠END已知AB ∥CDABCDE FHMN2.直角三角形的一个锐角为42°，则另一个锐角为_________.3.在△ABC 中，若∠A =35°，∠B =68°，则与∠C 相邻的外角等于_______ °.4．若5条线段长分别为1cm ，2cm ，3cm , 4cm ，5cm ，则以其中3条线段为边长可以构成三角形的个数是___________ .5．一木工师傅有两根70，100长的木条，他要选择第三根木条，将它们钉成三角形木架，则第三根木条取值范围_____________ ，木架周长的取值范围_____________ . 6. 如图所示，下面的推理中正确的是 ( ) A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CDB ．∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AD ∥BC C ．∵AD ∥BC ，∴∠3＝∠4D ．∵∠ABC ＋∠DAB ＝180°，∴AD ∥BC 7.命题“若a b >，则1ab>”是真命题还是假命题？请说明理由.8．若等腰三角形腰长为6,则底边x 的取值范围是（） A . 6<x <12 B . 0<x <6 C . 0<x <12 D . 无法确定9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形 10.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC •交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F .求证：BC ＝DE ＋EF .四、直击中考1. （2013广西）一个三角形的周长是36cm ，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（）A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．36cm2．（2013衡阳）如图，∠1=100°，∠C =70°，则∠A 的大小是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3241D CBA B CE DF A3．（2013鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°4.（2013黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A =∠C ﹣∠B ，则∠B = 度．5.（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．6.（2013雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为．7．（2013东城）.如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝；n A ∠＝ 8.(2014杭州)下列命题中，正确的是（）A .梯形的对角线相等B . 菱形的对角线不相等C . 矩形的对角线不能互相垂直D . 平行四边想的对角线可以互相垂直五、能力拓展1.如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠DOC ，若∠MON =α，∠BOC =β，则∠AOD 可表示为（）A . 2α－βB . α－βC . α+βD . 2α2.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．1003.已知等腰三角形的周长为14cm，底边与腰的比为3：2，求各边长.4. 已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则化简|a+b－c|－|b－a－c|的结果是多少?5.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，猜想这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．六、挑战竞赛1. 在△ABC中,∠A= 50°, 高BE，CF所在的直线相交于点Ｏ，求∠BOC.FEC AB2.△ABC 中,已知∠ABC = 74°, ∠A = 56°, BE 是AC 边上的高,CF 是△ ABC 的角平分线,求∠ACF 和∠BFC .4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．5．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．6.在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.OA BCDEA EBCD图1 图2。

中考冲刺几何综合问题—知识讲解及典型例题解析

；；中考冲刺：几何综合问题—知识讲解及典型例题解析【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题 ,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 、F 分别是边 BC 、AB 上的点，且 CE=BF ，连接 DE ，过点 E 作 EG ⊥DE，使 EG=DE ，连接 FG ，FC ．（1）请判断：FG 与 CE 的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）如图 2，若点 E 、F 分别是 CB 、BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）如图 3，若点 E 、F 分别是 BC 、AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【思路点拨】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．【答案与解析】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（3）结论仍然成立．理由：如图3中，设DE与FC的延长线交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样，属于中考常考题型．举一反三：【变式】已知：如图（1），射线AM//射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD+DE=AB=a．（1）求证：∆ADE∽∆BEC；（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD；（3）设AE=m，请探究：∆BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示∴1∆BEC的周长；若无关，请说明理由．【答案】（1）证明：∵DE⊥EC，∴∠DEC=90︒．∴∠AED+∠BEC=90︒．又∵∠A=∠B=90︒，∴∠AED+∠EDA=90︒．∴∠BEC=∠EDA．∴∆ADE∽∆BEC．（2）证明：如图，过点E作EF//BC，交CD于点F，∵E是AB的中点，容易证明EF=1(AD+BC)．2在Rt∆DEC中，∵DF=CF，∴EF=12 CD．1(A D+BC)=CD．22∴AD+BC=CD．（3）解：∆AED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m．设AD=x，则DE=a-x．∵∠A=90︒，∴DE2=AE2+AD2．即a2-2ax+x2=m2+x2．a2-m2∴x=．2a由（1）知∆ADE∽∆BEC，∆ADE的周长AD a+m2a=∴a2-m2==∆BEC的周长BE a-m2a．∴∆BEC的周长=2a⋅∆ADE的周长=2a．a+m∴∆BEC的周长与m值无关．2．在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，BC=3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF⊥BD；证明如下：ΘAB=AC，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90º，∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD．（2）CF⊥BD．(1)中结论仍成立．理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：GAD≌CAF∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，易证△AQD∽△DCP，∴ CP = CD ，∴ = ， ∴CP = - + x ． ∴ CP = CD , ∴ = , ∴CP = + x ． ①点 D 在线段 BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出 AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，CP x DQ AQ4 - x 4 x 2 4②点 D 在线段 BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．过 A 作 AQ⊥BC，∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC，则△AQD∽△ACF．∴CF⊥BD，∴△AQD∽△DCP，CP x DQ AQ4+x 4x 2 4【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．如图，正方形ABCD 的边长为 6，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 并延长，交射线 DC 于点 F △，将 ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 坐在点 B ′处．自主探究：（1）当=1 时，如图 1，延长 AB ′，交 CD 于点 M ．①CF 的长为； ②判断 AM 与 FM 的数量关系，并证明你的结论．（2）当点 B ′恰好落在对角线 AC 上时，如图 2，此时 CF 的长为，拓展运用：（3）当=2 时，求 sin ∠DAB ′的值．= ．（【思路点拨】1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC 的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．【答案与解析】解：（1）①当=1时，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴==1，∴FC=AB=6，②AM=FM，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴∠BAF=∠AFC，∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，∴∠BAF=∠MAF，∴∠MAF=∠AFC，∴AM=FM；（2）如图2，∵当点B′恰好落在对角线AC上时，∴∠1=∠2，∵AB∥FC，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AC=FC，∵AB=BC=6，∴AC=FC=6，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴===，（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴==2，∵AB=6，∴CF=3，∴DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，∴AM=FM=9﹣DM，在△Rt ADM中，由勾股定理得：DM′2=（9﹣DM）2﹣62，解得：DM=，则MA=，∴sin∠DAB′==，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，点∴NA=NE=12﹣B′N，在△Rt AB′N中，由勾股定理得：B′N2=（12﹣B′N）2﹣62，解得：B′N=，AN=，∴sin∠DAB′=故答案为：6；6=．，．【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60︒保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x取对称轴的值时y有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵△MBC是等边三角形∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60︒∵M是AD中点∴AM=MD∵AD∥BC∴∠AMB=∠MBC=60︒，∠DMC=∠MCB=60︒∴△AMB≌△DMC∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形．∴ PC ∴ x 而（2）解：在等边 △MBC 中， MB = MC = BC = 4，∠MBC = ∠MCB = 60︒，∠MPQ = 60︒∴∠BMP + ∠BPM = ∠BPM + ∠QPC = 120︒∴∠BMP = ∠QPC∴ △BMP ∽△CQPCQ = BM BP∵ PC = x ，MQ = y ∴ BP = 4 - x ，QC = 4 - y4 - y 1 = ∴ y = x 2 - x + 4 4 4 - x4（3）解： △PQC 为直角三角形，∵ y = 1(x - 2)2 + 34 ∴当 y 取最小值时， x = PC = 2∴ P 是 BC 的中点， MP ⊥ BC ， ∠MPQ = 60︒，∴∠CPQ = 30︒，∴∠PQC = 90︒∴ △PQC 为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解 .如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【变式】已知：如图，N 、M 是以 O 为圆心，1 为半径的圆上的两点，B 是 MN 上一动点（B 不与点 M 、N 重合），∠MON=90°，BA⊥OM 于点 A ，BC⊥ON 于点 C ，点 D 、E 、F 、G 分别是线段 OA 、AB 、BC 、CO的中点，GF 与 CE 相交于点 P ，DE 与 AG 相交于点 Q ．（1）四边形 EPGQ（填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形 EPGQ 是矩形，求 OA 的值.【答案】（1）是．证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，∴ AD ,AE=1,在①的条件下，设 CP 1= x ，S VP FC = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式， 3 ∵口 EPGQ 是矩形．∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE，AE= ， BEBC x y y : = : x 设 OA=x ，AB=y ，则 2 2 2得 y 2=2x 2，又∵OA 2+AB 2=OB 2，即 x 2+y 2=12．∴x 2+2x 2=1，解得：x=3 ． 3即当四边形 EPGQ 是矩形时，OA 的长度为3 3 ．5．在 Y ABCD 中，过点 C 作 CE⊥CD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EF(如图 1)（1）在图 1 中画图探究：①当 P 为射线 CD 上任意一点（P 1 不与 C 重合）时，连结EP 1 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EC 1.判断直线 FC 1 与直线 CD 的位置关系，并加以证明； ②当 P 2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP 2,将线段 EP 2 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EC 2.判断直线 C 1C 2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.4 （2）若 AD=6,tanB=1 1 并写出自变量 x 的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转 90°的条件.旋转 90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线 FG 与直线 CD 的位置关系为互相垂直． 112，- - ．，，证明：如图 1，设直线 FG 与直线 CD 的交点为 H ．1 G 1AE F G 2 P H 1 DBCP 2图 1∵线段 EC 、EP 分别绕点 E 逆时针旋转 90°依次得到线段 EF 、EG ， 1 1∴ ∠PEG = ∠CEF = 90° EG = EP ，EF = EC ． 1 1 1 1∵ ∠G EF = 90° ∠PEF ， ∠PEC = 90° ∠PEF ，1 1 1 1∴ ∠G EF = ∠PEC ．1 1∴ △G EF ≌△PEC ．1 1∴ ∠G FE = ∠PCE ．1 1∵ EC ⊥ C D ，∴ ∠PCE = 90°， 1∴ ∠G FE = 90° 1∴ ∠EFH = 90°．∴ ∠FHC = 90°．∴ FG ⊥ CD ． 1②按题目要求所画图形见图 1，直线 G G 与直线 CD 的位置关系为互相垂直．1 2（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ∠B = ∠ADC ．∵ AD = 6，AE = 1 tan B = 4 3 ， ∴ DE = 5 tan ∠EBC = tan B = 4 3．可得 CE = 4 ．由（1）可得四边形 EFCH 为正方形．∴ CH = CE = 4 ．P 1 2 2 2 2 1 ①如图 2，当 P 点在线段 CH 的延长线上时，1 G 1A EFD H BC 图 2∵ FG = CP = x ，PH = x - 4 ，1 1 1 ∴ S△P FG 1 1 1 x( x - 4) = ⨯ FG ⨯ PH = 1 1 ． ∴ y = 1 2x 2 - 2 x ( x > 4) ． ②如图 3，当 P 点在线段 CH 上（不与 C 、H 两点重合）时， 1G 1 FB A ECD P 1 H图 3∵ FG = CP = x ，PH = x - 4 ，1 1 1 ∴ S △P FG 1 = 1 x(4 - x) FG ⨯ PH = 1 1 ． 1 ∴ y = - x2 + 2 x (0 < x < 4) ． 2③当 P 点与 H 点重合时，即 x = 4 时， △PFG 不存在． 1 1 1综上所述， y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围是 y =1 2 x 2 - 2 x ( x > 4) 或 1 y = - x 2 + 2 x (0 < x < 4) ． 2【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．举一反三：【变式】已知，点 P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线 PA 交射线 OM 于点 A ，将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转交射线 ON 于点 B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图 1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当△SPOB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【答案】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，∴∠EPA=∠FPB，由角平分线的性质，得PE=PF，∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；（2）∵S△POB=3S△PCB，∴PO=3PC，由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=又∵∠BPC=∠OPB（公共角），∴△PBC∽△POB，11（180°-∠APB）=∠MON=∠BOP，22∴PB PC=PO PB，即PB2=PO•PC=3PC2，∴PB=3PC（3）作BH⊥OT，垂足为H，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=12（180°-∠APB）=30°，又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，∴∠ABO=12（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，在△OBP中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt△OBH中，BH=1OB=1，OH=3，2在Rt△PBH中，PH=BH=1，∴OP=OH+PH=3+1．。

专题13 利用全等三角形的性质解决线段的证明与计算问题(解析版)

1专题13 利用全等三角形的性质解决线段的证明与计算问题知识对接考点一、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.考点二、怎样解运用全等三角形性质的问题证明两条线段相等或两个角相等时，常证明两条线段或两个角所在的三角形全等,运用全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等、对应角相等得到.专项训练一、单选题1．（2021·福建九年级）如图，点E ，F 在线段BC 上，ABF 与DEC 全等，点 A 和点D ，点B 和点C 是对应点，AF 和DE 交于点 M ，则与EM 相等的线段是（）A ．BEB ．EFC ．FCD ．MF【答案】D 【分析】根据ABF 与DEC 全等，点A 和点D ，点B 和点C 是对应点，可得AFB DEC ∠=∠，则有EM FM =．【详解】解：∵ABF 与DEC 全等，点A 和点D ，点B 和点C 是对应点， ∵AFB DEC ∠=∠， ∵EM FM =，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．2．（2021·山东九年级）如图，在菱形ABCD 中，6AB =，60BCD ∠=︒，E 是AD 中点，BE 交AC 于点F ，连接DF ，则DF 的长为（）A ．4BC ．D ．【答案】C 【分析】连接DB ，四边形ABCD 为菱形，∵BCD =60°，可得∵ABD 为等边三角形，求出AF 的长度，再证明∵AEF ∵∵DEF ，即可求出DF 的长度．【详解】如图：连接DB∵四边形ABCD 为菱形，∵BCD =60°， ∵∵BCD =∵BAD =60°，∵AB =AD ，∵DAC =∵BAC =12∵DAB =30°，即∵ABD 为等边三角形，又E 为AD 的中点， ∵BE ∵AD ，∵AE =12AD =12AB =3，cos ∵EAF =AE AF = cos AF 又在∵AEF 和∵DEF 中，∵AEF =∵DEF =90°，AE =DE ，EF =EF ，3∵∵AEF ∵∵DEF ， ∴DF =AF故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及特殊锐角三角函数值，熟悉并灵活运用以上性质式解题的关键．3．（2021·天津和平·）如图，在AOB 中，15,6,OAB AOB OB OC ∠=∠=︒=平分AOB ∠，点P 在射线OC 上，点Q 为边OA 上一动点，则PA PQ +的最小值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】在射线OB 上截取一点Q '，使得OQ OQ '=，则OPQ OPQ ∆≅∆'，可得PQ PQ ='．作AH OB ⊥于H ．可得PA PQ PA PQ +=+'，推出当A 、P 、Q '共线，且垂直OB 时，PA PQ +'的值最小，最小值为AH ，【详解】解：在射线OB 上截取一点Q '，使得OQ OQ '=，则OPQ OPQ ∆≅∆'，可得PQ PQ ='．作AH OB ⊥于H ． ∵'PA PQ PA PQ +=+，∵当A 、P 、Q '共线，且垂直OB 时，PA PQ +'的值最小，即最小值为AH ∵15OAB AOB ∠=∠=∵6OB AB ==，30OA B AO H B A B ∠+∠=∠=，在Rt ABH 中， ∵·sin303AH AB ==，+的最小值为3，∵PA PQ故选C．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、全等三角形，等腰三角形的性质、三角函数等知识，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．4．（2021·江苏南通田家炳中学九年级）如图，在直角坐标系中，已知点A(6，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边∵ABC，连接OC，则OC的最小值（）A B．3C．D．【答案】B【分析】以OA为对称轴作等边∵AMN，由“SAS”可证∵ANC∵∵AMB，可得∵AMB=∵ANC=60°，由直角三角形的性质可求∵AEN=30°，EO= ，则点C在EN上移动，当OC'∵EN时，OC'有最小值，即可求解．【详解】解：如图，以OA为对称轴作等边∵AMN，延长CN交x轴于E，∵∵ABC是等边三角形，∵AMN是等边三角形，∵AM=AN，AB=AC，∵MAN=∵BAC，∵AMN=60°=∵ANM，∵∵BAM=∵CAN，∵∵ANC∵∵AMB（SAS），∵∵AMB=∵ANC=60°，∵∵ENO=60°，∵AO=6，∵AMB=60°，AO∵BO，∵MO=NO=∵∵ENO=60°，∵EON=90°，5∵∵AEN=30°，， ∵点C 在EN 上移动，∵当OC'∵EN 时，OC'有最小值，此时，O'C=12EO=3，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，锐角三角函数，确定点C 的运动轨迹是解题的关键．5．如图，已知：在∵ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边的中点，G 、H 是对角线BD 上的两点，且BG ＝DH ，则下列结论中不正确的是（）A ．GF ∵FHB ．GF ＝EHC ．EF 与AC 互相平分D ．EG ＝FH【答案】A 【分析】连接EF 交BD 于O ，易证四边形EGFH 是平行四边形，然后证明是否得出选项．【详解】连接EF 交BD 于点O ，在平行四边形ABCD 中的AD=BC ，∵EDH=∵FBG ， ∵E 、F 分别是AD 、BC 边的中点， ∵DE∵BF,DE=BF=12BC ，∵四边形AEFB 是平行四边形,有EF∵AB ， ∵点E 是AD 的中点，∵点O 是BD 的中点，根据平行四边形中对角线互相平分，故点O 也是AC 的中点，也是EF 的中点，故C 正确，又∵BG=DH,∵∵DEH∵∵BFG ， ∵GF=EH ，故B 正确，∵DHE=∵BGF ，∵∵GHE=∵HGF ， ∵∵EHG∵∵FGH ， ∵EG=HF ，故D 正确，∵GF∵EH ，即四边形EHFG 是平行四边形，而不是矩形，故∵GFH 不是90度， ∵A 不正确．故选A. 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质.6．如图，ABC DEC ≌△△，A 和D ，B 和E 是对应点，B 、C 、D 在同一直线上，且5CE =，7AC =，则BD 的长为（）A ．12B ．7C ．2D ．14【答案】A 【分析】7根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，ABC DEC ∆≅∆，A 和D ，B 和E 是对应点，B 、C 、D 在同一直线上，且5CE =，7AC =，5BC EC ∴==，7CD AC ==，12BD BC CD ∴=+=．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 7．如图：若ABE ACF ≌，且5,2==AB AE ，则EC 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．5【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得AC=AB=5，由EC=AC ﹣AE 求解即可．【详解】解：∵ABE ACF ≌，AB=5， ∵AC=AB=5， ∵AE=2，∵EC=AC ﹣AE=5﹣2=3，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、线段的和与差，熟练运用全等三角形的性质是解答的关键． 8．如图，ABC ADE △≌△，点D 在边BC 上，则下列结论中一定成立的是（）A．AC DE==B．AB BDC．ABD ADB∠=∠∠=∠D．EDC AED【答案】C【分析】根据全等三角形的性质可直接进行排除选项．【详解】△≌△，解：∵ABC ADE∵AB=AD，BC=DE，AC=AE，∵B=∵ADE，∵C=∵E，∵∵ABD=∵ADB，故A、B、D都是错误的，C选项正确；故选C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9．如图，∵ACE∵∵DBF，AE//DF，AB＝3，BC＝2，则AD的长度等于（）A．2B．8C．9D．10【答案】B【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．【详解】解：由图形可知，AC＝AB＋BC＝3＋2＝5，∵∵ACE∵∵DBF，∵BD＝AC＝5，9∵CD ＝BD−BC ＝3， ∵AD ＝AC ＋CD ＝5＋3＝8，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．10．（2021·河北）如图，已知平行四边形ABCD ，3CD cm =，依下列步骤作图，并保留作图痕迹：步骤1：以B 为圆心，BE 长为半径画弧∵，分别交AB ，BC 于点E ，F ；步骤2：以A 为圆心，以BE 长为半径画弧∵，交AD 于点G ；步骤3：以G 为圆心，以EF 长为半径画弧∵，弧∵和弧∵交于点H ，过H 作射线，交BC 于点M ．则下列叙述不正确．．．的是：（）A ．AMC C ∠=∠B ．AM CD =C ．AM 平分BAD ∠ D ．BEF AGH ∆∆≌【答案】C 【分析】由作图痕迹，可以得到∵EBF∵∵GAH ，从而有∵EBF=∵GAH ，因此可以判断A 、B 、D 正确，因为C 不一定成立，故可以得到解答．【详解】解：如图，连结E 、F 和G 、H ，由已知，在∵EBF 和∵GAH 中，AG=EB ，AH=BF ，HG=EF ，∵∵EBF∵∵GAH ，故D 正确； ∵∵EBF∵∵GAH ，∵∵EBF=∵GAH ，由平行四边形的性质可得：∵AMB=∵GAH ，∵∵EBF=∵AMB ，∵AB=AM ，又由平行四边形的性质可得：AB=CD ，∵AM=CD ，故B 正确；∵∵AMB+∵AMC=180°，∵∵EBF+∵AMC=180°，又由平行四边形的性质可得：∵EBF+∵C=180°，∵∵AMC=∵C ，故A 正确； ∵∵BAM=∵MAD 不一定成立，∵C 不正确，故选C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和应用，熟练掌握作一个角等于已知角的作法和依据是解题关键．二、填空题11．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，E 为CD 上一点，连接AE ，将∵ADE 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 上，记为D ′，再将∵D ′CE 沿D ′E 折叠，若点C 的对应点C ′落在AE 上，则AB 的长为___．【分析】由折叠的性质得到ADE AD ED CE D C E ∆∆⎧⎨∆∆'''⎩'≌≌，能得到345∠=∠=∠，再用平角的性质得到34560∠=∠=∠=︒，再由1490∠+∠=︒，得到1230∠=∠=︒，可以求出6∠，最后可以求出cos AB AD BAD ''=⨯∠．【详解】如图：由折叠的性质得：ADE AD E D CE D C E ∆∆⎧⎨∆∆'''⎩'≌≌11∵123435AD AD ∠=∠∠=∠=⎧⎨∠=∠'⎩；； ∵345∠=∠=∠ ∵345180∠+∠+∠=︒ ∵34560∠=∠=∠=︒ ∵1490∠+∠=︒ ∵1230∠=∠=︒∵6901230∠=︒-∠-∠=︒ ∵'Rt ABD 中，'30BAD ∠=︒∵cos cos AB AD BAD AD BAD '''=⨯∠=⨯∠2==【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的性质，三角函数，掌握它们的性质是解题的关键．12．（2021·江苏扬州市·九年级二模）如图，Rt ∵ABC ∵Rt ∵FDE ，∵ABC ＝∵FDE ＝90°，∵BAC ＝30°，AC ＝4，将Rt∵FDE 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD +BE 的最小值为___．【答案】【分析】根据平面直角坐标系，可以假设(E m ，则(1D m +，，则BD BE +求BD BE +的最小值，相当于在x 轴上找一点(,0)R m ，使得R 到(1M -，，N 的距离和的最小值，如图1中，作点N 关于x 轴的对称点N '，连接MN '交x 轴题意R ，连接RN ，此时RM RN +的值最小，最小值MN ='的长．【详解】解：建立如图坐标系，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AC =，30BAC ∠=︒， 122BC AC ∴==，AB ==∴斜边AC 上的高ABC FDE ∆≅∆，4EF AC ∴==，斜边EF∴可以假设(E m ，则(1D m +，，BD BE ∴+欲求BD BE +的最小值，相当于在x 轴上找一点(,0)R m ，使得R 到(1M -，，N 的距离和的最小值，如图1中，作点N 关于x 轴的对称点N '，连接MN '交x 轴题意R ，连接RN ，此时RM RN +的值最小，最小值MN ='BD BE ∴+的最小值为故答案为：13【点睛】本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．13．（2021·浙江金华·九年级）如图，在ABC 中，1841B C ∠=︒∠=︒，，点D 是BC 的中点，点E 在AB 上，将BDE 沿DE 折叠，若点B 的落点B '在射线CA 上，则BA 与B D '所夹锐角的度数是________．【答案】80︒．【分析】根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得BD B D '=， DC DB '=，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得BDB '∠度数，在BOD 中根据内角和即可求得BA 与B D '所夹锐角的度数．【详解】如下图，连接DE ，BA 与B D '相交于点O ，将 ∵BDE 沿 DE 折叠， BDE B DE '∴△≌△，BD B D '∴=,又∵D 为BC 的中点，BD DC =，BD B D '∴=，41DB C C '∴==︒∠∠, BDB DB C C =''∴=+︒∠∠∠82,18080BOD B BDB '∴=︒--=︒∠∠∠, 即BA 与B D '所夹锐角的度数是80︒．故答案为：80︒．【点睛】本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和定理，综合运用以上性质定理是解题的关键．14．（2021·广东）如图，点M 是Rt ∵ABC 斜边AB 的中点，过点M 作DM ∵CM ，交AC 于点D ，若AD ＝2，BC ＝5，则CD ＝_______【分析】延长CM ，使CD ＝MN ，连接AN ，证明()AMN BMC SAS ∆∆≌，由全等三角形的性质得出5BC AN ==，NAM B ∠=∠，由勾股定理求出DN =【详解】解：延长CM ，使CD ＝MN ，连接AN ，如图所示：∵点M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点， ∵AM BM =，在AMN ∆和BMC ∆中， AM BM AMN BMC MN CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵()AMN BMC SAS ∆∆≌，15∵5BC AN ==，NAM B ∠=∠， ∵//AN BC ， ∵90BCA ∠=︒， ∵90NAD ∠=︒，∵DN == ∵DM CM ⊥，CM MN =，∵CD DN ==【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，中垂线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（2021·浙江）如图，已知： Rt Rt 90ABC CEF ABC CEF ∠=∠=︒≌，，306A AC ∠=︒=，．现将CEF △绕点C 逆时针旋转α度，线段CF 与直线AB 交于点O ，连接OE ．则当OE OB =时，线段OA 的长为________．【答案】【分析】过E 作EH ∵CF 于H ，得出ABC CEF ≅，设OF=x ，则OC=6-x ，根据勾股定理得出结果．【详解】解：过E 作EH ∵CF 于H ， ∵ABC CEF ≅，∵6CF AC == ，30A ∠=︒， ∵9060EFC A ∠=︒-∠=︒，设OF =x ，则OC =6-x ，在Rt ∆OCB 中，2222(6)9OB OC BC x =-=--，在Rt ∆FEH 中，EH =EF FH =EF ·cos60º=32， ∵OH =x -32，在Rt ∆OEH 中，222223()2OE EH OH x =+=-+，又∵OE =OB ，∵2223()(6)92x x -+=--解得x =2，∵BO∵AO =AB -BO =故答案为【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理及特殊角的三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题16．（2021·云南）如图，AC ∵BD ，垂足点E 是BD 的中点，且AB =CD ，求证：AB //CD .【答案】详见解析【分析】17先证明,BE DE = 再利用斜边直角边公理证明()Rt ABE Rt CDE HL ≌，可得A C ∠=∠，从而可得答案．【详解】证明：∵点E 是BD 的中点 ∵BE ED =. ∵AC BD ⊥∵90AEB DEC ∠=∠=︒. 在Rt ABE △和Rt CDE △中AB CDBE ED =⎧⎨=⎩∵()Rt ABE Rt CDE HL ≌， ∵A C ∠=∠， ∵//AB CD ．【点睛】本题考查的是利用斜边直角边证明两个三角形全等，以及全等三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边的延长线上，点F 在CD 边的延长线上，且CE DF =,连接AE 和BF 相交于点M ．求证：AE BF = ．【答案】证明见解析．【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD ，∵ABE=∵BCF=90°，再证明BE=CF ，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．【详解】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∵AB=BC=CD ，∵ABE=∵BCF=90°，又∵CE=DF ，∵CE+BC=DF+CD 即BE=CF ，在∵BCF 和∵ABE 中，BE CF ABE BCF AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵ABE BCF △△≌（SAS ）， ∵AE=BF ．【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 18．（2021·吉林）综合与实践在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为BC 边上的任意一点．将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 落在斜边AB 上的点E 处．问是否存在BDE 是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时CD 的长度．探究展示：勤奋小组很快找到了点D 、E 的位置．如图2，作CAB ∠的角平分线交BC 于点D ，此时C ∠沿AD 所在的直线折叠，点E 恰好在AB 上，且90BED ∠=︒，所以BDE 是直角三角形．问题解决:（1）按勤奋小组的这种折叠方式，CD 的长度为．（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来．（3）在（2）的条件下，求出CD 的长．【答案】（1）3；（2）见解析；（3）247CD = 【分析】（1）由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得AC=AE=6，CD=DE ，∵C=∵BED=90°，由勾股定理可求解；（2）如图所示，当DE∵AC，∵EDB=∵ACB=90°，即可得到答案；（3）由折叠的性质可得CF=EF，CD=DE，∵C=∵FED=90°，∵CDF=∵EDF=45°，可得DE=CD=CF=EF，通过证明∵DEB∵∵CAB，可得DE BD＝，即可求解．AC BC【详解】（1）∵∵ACB=90°，AC=6，BC=8，∵10AB=，由折叠的性质可得：∵ACD∵∵AED，∵AC=AE=6，CD=DE，∵C=∵BED=90°，∵BE=10-6=4，∵BD2=DE2+BE2，∵（8-CD）2=CD2+16，∵CD=3，故答案为：3；（2）如图3，当DE∵AC，∵BDE是直角三角形，（3）∵DE∵AC，∵∵ACB=∵BDE=90°，由折叠的性质可得：∵CDF∵∵EDF，∵CF=EF，CD=DE，∵C=∵FED=90°，∵CDF=∵EDF=45°，∵EF=DE，∵DE=CD=CF=EF，∵DE∵AC，∵∵DEB∵∵CAB，19∵DE BD AC BC ＝， ∵886DE DE -＝， ∵DE=247， ∵247CD =【点睛】此题考查几何变换综合题，全等三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．19．（2021·陕西西北工业大学附属中学九年级）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，且B AEB ∠=∠．求证：AC DE =．【答案】证明见解析. 【详解】试题分析：由平行四边形的性质得：AB=DC ，180ABC BCD ∠+∠=︒，证得AEC BCD ∠=∠，从而可证AEC ∵DCE ，故可得结论.试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∵AB DC =，180ABC BCD ∠+∠=︒． ∵AB DC =，∵ABE AEB ∠=∠，AE DC =． ∵180AEC AEB ∠+∠=︒， ∵AEC BCD ∠=∠．又EC EC =， ∵AEC ∵DCE ， ∵AC ED =．20．（2021·广东九年级）如图，已知点E 、C 在线段BF 上，且BE =CF ，CM ∵DF ，（1）作图：在BC 上方作射线BN ，使∵CBN =∵1，交CM 的延长线于点A （用尺规作图法，保留作图痕迹，21不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：AC =DF ．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【详解】试题分析：（1）∵以E 为圆心，以EM 为半径画弧，交EF 于H ，∵以B 为圆心，以EM 为半径画弧，交EF 于P ，∵以P 为圆心，以HM 为半径画弧，交前弧于G ，∵作射线BG ，则∵CBN 就是所求作的角．（2）证明∵ABC ∵∵DEF 可得结论．试题解析：（1）如图，（2）∵CM ∵DF ，∵∵MCE =∵F ，∵BE =CF ，∵BE +CE =CF +CE ，即BC=EF ，在∵ABC 和∵DEF 中，∵1{CBN BC EF MCE F∠∠∠∠＝＝＝ ∵∵ABC ∵∵DEF ，∵AC =DF ．【点睛】本题考查了基本作图-作一个角等于已知角，同时还考查了全等三角形的性质和判定；熟练掌握五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．21．定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．且AC 垂直平分BD ．（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1：；性质2：．（2）若AB ∵CD ，求证：四边形ABCD 为菱形．【答案】（1）对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）见解析【分析】（1）由筝形的定义即可得出结论；（2）由垂直平分线的性质得出AB=AD ，BO=DO ，同理：BC=DC ，由AS 证明∵AOB∵∵CDO ，得出AB=CD ，因此AB=CD=BC=AD ，即可得出四边形ABCD 为菱形．【详解】解：（1）由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC∵BD ；是轴对称图形，对称轴为AC ；故答案为对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）∵AC 垂直平分BD ，∵AB ＝AD ，BO ＝DO ，同理：BC ＝DC ，∵AB∵CD ，∵∵ABO ＝∵ODC ，在∵ABO 和∵CDO 中，ABO ODC BO DOAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵AOB∵∵CDO （ASA ），∵AB ＝CD ，∵AB ＝CD ＝BC ＝AD ，∵四边形ABCD 为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定、筝形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握筝形的性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（2021·湖北黄石·）如图，D 是ABC 的边AB 上一点，//CF AB ， DF 交AC 于E 点，DE EF =．23（1）求证：ADE ∵CFE ；（2）若5AB =，4CF =，求BD 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）1．【分析】（1）根据ASA 证明即可；（2）根据（1）可得ADE CFE ∆≅∆，即由AD CF =，根据BD AB AD AB CF 求解即可．【详解】（1）证明：//AB FC ，∴∠=∠ADE F ，在ADE ∆和CFE ∆中，ADE FDE EF AED CEFADE CFE ASA ；（2）由（1）得ADE CFE ∆≅∆AD CF ∴=∵541BD AB AD AB CF ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． 23．（2021·江苏南京·南师附中新城初中）如图,在正方形ABCD 中,E ､F ､G ､H 分别是各边上的点,且AE BF CG DH ===．求证:（1）AHE BEF ≌△△; （2）四边形EFGH 是正方形．【答案】（1）见解析;（2）见解析【分析】（1）在正方形ABCD 中,由AE BF CG DH ===可得:AH BE CF DG ===,即可求证;（2）由（1）可用同样的方法证得EBF FCG △≌△,FCG GDH ≌△△,可得到FCG GDH ≌△△,然后证明90HEF ∠=︒,即可求证．【详解】（1）证明:∵四边形ABCD 为正方形,∵AB BC CD DA ===,90A B ∠=∠=︒．又∵AE BF DH CG ===,∵AH BE CF DG ===．∵()SAS AHE BEF ≌△△ （2）由（1）得,AHE BEF ≌△△, 同理,EBF FCG △≌△,FCG GDH ≌△△, ∵EF FG GH HE ===,AEH BFE ∠=∠,∵90B ∠=︒,∵90EFB FEB ∠+∠=︒,∵90AEH FEB ∠+∠=︒,∵90HEF ∠=︒,∵四边形EFGH 为正方形．【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定,三角全等的判断和性质,熟练掌握并会灵活应用相应知识点是解题的关键．25。

第一节与三角形有关的线段-学而思培优

第一节与三角形有关的线段-学而思培优本文讲解了与三角形有关的线段，包括三角形的定义、分类、三边关系定理及其应用、三条重要的线段（高、中线、角平分线）以及三线交点位置等。

文章还介绍了三角形的稳定性和整数边三角形，并提供了数学方法和几何模型。

最后，文章提供了基础演练题目。

1.三角形的定义：三条不在同一条直线上的线段首尾相接组成的图形。

2.三角形的分类：按边分类。

3.三角形的三边关系定理及其应用：1) 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2) 应用：判断能否围成三角形、确定第三边的长或周长取值范围、化简代数式、证明线段间的不等关系等。

4.三角形的三条重要线段：1) 高：从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。

2) 中线：连接一个顶点和对边中点的线段。

3) 角平分线：一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。

5.三线交点位置：1) 锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的交点是直角顶点，钝角三角形的交点在外部，叫做垂心。

2) 三角形的三条中线交于内部的一点，叫做重心。

3) 三角形的三条角平分线交于内部的一点，叫做内心。

6.三角形具有稳定性。

7.整数边三角形：1) 边长都是整数的三角形。

2) 若a、b、c是三角形的三边，且a≥b≥c，则a<b+c，且仅当a=b=c时等号成立。

8.数学方法：几何问题代数化、分类讨论等。

9.几何模型：三角形、三角形的高线、中线和角平分线、整数边三角形。

基础演练：1.(1) C (2) A2.根据图11-1-1，小方在池塘的一侧选取一点，测得OA=15米，OB=10米。

求估计池塘岸边A、B两点的距离。

已知A、B间的距离不可能是（）A.5米B．10米C．15米D．20米。

3.如果三角形三条高线的交点恰好是这个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．均有可能。

4.如果一个三角形的两边长分别为5和7，则周长L的取值范围是多少？如果x为最长边，则x的取值范围是多少？5.设三角形三边之长分别为3，8，2a-1，则a的取值范围是多少？6.根据图11-1-2，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定。

中考数学解答题之四边形的有关证明与计算

E A D M B C N
考点 4
平行四边形、特殊的平行四边形
【例 4】（梅州）如图，在△ABC 中，点 P 是边 AC 上的一个动点，过点 P 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F． (1)求证：PE＝PF； (2)当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？说明理由； (3)若在 AC 边上存在点 P，使四边形 AECF 是正方形，且 AP 3 ＝．求此时∠A 的大小． BC 2 A E P F
重点、难点
2.线角的证明与计算. 难点：证明与计算的综合运用
考点及考试要求
会解决中考之第 20 或 21 题---有关于四边形的有关证明与计算（以及三角形）
教学内容
【考点链接】
一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

第一讲相似三角形——比例线段

第一讲相似三角形——相似与比例线段第一课时一．放缩与相似 1. 相似形的概念一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。

我们把形状相同的两个图形叫做相似形。

2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠CBCC B AC C A AB B A 111111===K (2) 相似多边形的特征推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。

【典型例题】1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长春到大连的实际距离为千米。

【同类变式】2. 在地图上，都标有比例尺。

现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得∆ABC 的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际∆A'B'C'的周长是多少米？3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（）个（1）有一个角是100o的等腰三角形相似（2）有一个角是80o的等腰三角形相似（3）所有的等腰直角三角形相似（4）所有的正六边形都相似（5）所有的矩形都相似（6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。

【同类变式】6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。

求矩形ABCD 的面积。

7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。

(完整版)初中数学三角形有关的线段讲解及习题

11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 直角三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC ，△ABD ，△ADC .△ABC 的三边是：AB ，BC ，AC ，三个内角分别是：∠BAC ，∠B ，∠C ； △ABD 的三边是：AB ，BD ，AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠B ，∠ADB ； △ADC 的三边是：AD ，DC ，AC ，三个内角分别是：∠ADC ，∠DAC ，∠C .2．三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b .三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c －b <a ，b －a <c ，c －a <b .(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点三角形三边关系的理解三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.(3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在()．A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．答案：D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图．①直接描述：AD 是BC 边上的中线；②间接描述：D 是BC 边上的中点．(3)性质特点：①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD ＝CD (或BD ＝12BC ，DC ＝12BC )． ②如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点三角形的中线的理解三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．【例4】如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝EC ＝6.又因为DE ＝2，所以BD ＝BE －DE ＝6－2＝4.答案：C5．三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图．①直接描述：AD 是△ABC 的角平分线；②在△ABC 中，∠1=∠2，且D 在BC 上；③AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.(3)性质特点：①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC ，或∠BAC=2∠1=2∠2)．②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部．解技巧三角形的角平分线的理解三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上．【例5】下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③C．②③D．①④解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.答案：B6．三角形的稳定性(1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．(2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后它的附属性质也不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是用三角形做支架的．【例6】在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据()．A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角解析：这是三角形稳定性在日常生活中的应用，C正确．答案：C解技巧三角形的稳定性的理解三角形稳定性的问题都是以实际生活为原型，说明这样做的道理，一般较为简单．7．三角形三边关系的应用三角形中“两边之和大于第三边(两边之差小于第三边)”，这是三角形中最基本的三边关系．这里的“两边之和”指的是“任意两边的和”，满足这一关系是三条线段能否构成三角形的前提．三角形三边关系的运用主要有两方面，一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围；二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形．解技巧三角形三边关系的应用①当线段a，b，c满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围．【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？(1)6 cm,8 cm,10 cm；(2)三条线段长之比为4∶5∶6；(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．解：(1)因为6＋8＞10，所以长为6 cm,8 cm,10 cm的三条线段能组成三角形；(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x＞0)，因为4x＋5x大于6x，所以三条线段长之比为4∶5∶6时，能组成三角形；(3)因为a＋1＋a＋2＝2a＋3，当a＞0时，2a＋3＞a＋3，所以a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)长的线段能组成三角形．【例7－2】已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长x的取值范围是__________．解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应大于已知两边之差且小于已知两边之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中线、角平分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能．(1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．(2)中线的画法：取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线．(3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线．9．三角形高的应用从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．解技巧巧证直角背景下两锐角相等图形中含有高时，经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律．【例8】如图(1)，已知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线．图(1) 图(2)分析：因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)．解：画法如下：(1)过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高；(2)取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线；(3)作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线．【例9】如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC 的关系．分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC.解：∠DAC＝∠EBC.因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.所以∠DAC＝∠EBC.10．三角形中线应用拓展三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC.因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．分析：根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分．解：答案不唯一，如方案1：如图(1)，在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF.方案2：如图(2)，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.方案4：如图(4)，分别取BC的中点D、AB的中点E、AC的中点F，连接AD，DE，DF.11.等腰三角形中的三边关系等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：①只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和．因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是2 cm 和5 cm，它的周长是多少？情况一：当腰是2 cm底是5 cm时，因为2＋2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；情况二：当腰是5 cm底是2 cm时，5＋2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm.解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长根据两边之和大于第三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提．【例11－1】等腰三角形的两边长分别为6 cm和9 cm，则腰长为__________．解析：两种情况，一是腰长为6 cm时，底边就是9 cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6 cm；二是腰长为9 cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9 cm，故腰长为6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例11－2】已知等腰三角形的周长是24 cm，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)若其中一边长为6 cm，求其他两边长．分析：(1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；(2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8，所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6(cm)．(2)当长为6 cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12(cm)．因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6 cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6 cm.当长为6 cm的边为底边时，则腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，因为6 cm,9 cm,9 cm可以组成三角形，所以等腰三角形其他两边长均为9 cm.12.与三角形有关的线段易错点分析在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：(1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆．(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的．三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻．图1中BE不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC 的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线．正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA 的延长线上，如下图所示：(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提．特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”．【例12－1】下列说法正确的是( )．A ．三角形的角平分线是射线B ．三角形的高是一条垂线C ．三角形的三条中线相交于一点D ．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部解析：A ，B ，D 都是错误的，A 选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D 也是错误的．只有C 正确．答案：C【例12－2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的底边长．分析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB ＋AD ＝15 cm ，BC ＋CD ＝12 cm ；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时AB ＋AD ＝12 cm ，BC ＋CD ＝15 cm.图(1) 图(2) 解：(1)当三角形是锐角三角形时，因为D 是AC 的中点，所以AD ＝12AC ＝12AB ，所以AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10(cm)．所以AC ＝10 cm ，所以底边BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm.(2)当三角形是钝角三角形时，AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8(cm)，所以AC ＝8 cm ，所以BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm.答：底边的长为7 cm 或11 cm.。

八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系3三角形中几条重要线段授课

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例4 如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是△ABC，知2－练 △ABD的中线. （1）若△ABD与△ADC的周长之差为 3，AB=8，求 AC 的长. （2）若S△AB间的关系和面积之间的关系解题.
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解：（1）因为AD为BC边上的中线，
B．CE是△BCD的角平分线 C． 3 1 ACB
2
D．CE是△ABC的角平分线
知1－练
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知识点 2 三角形的中线
知2－讲
1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线．
2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该点在三角形内部，如图，这个点叫做三角形的重心．
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总结
知2－讲
三角形的中线把边分成相等的两条线段，故BD=CD，
且△ ABD 的边BD上的高与△ACD 的边CD上的高相同，
根据等底同高的三角形的面积相等，可得所分得的两个
三角形的面积相等，即S△ ABD=S△ ADC=
1 2
S△ABC.
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知2－练
例5 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．
1 (中考·长沙)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )
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知3－练
2 下列说法中正确的是( ) A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
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知识点 4 定义
知4－讲
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 今后我们还会学习许多定义.
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知3－练
解：以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有 △ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，

平面向量的角平分线定理和线段比例定理

平面向量的角平分线定理和线段比例定理在平面向量的研究中，角平分线定理和线段比例定理是两个重要的定理。

它们在解决几何问题和计算向量时起着关键的作用。

本文将详细介绍这两个定理，并讨论其应用。

一、角平分线定理角平分线定理是研究平面向量时常用的定理之一。

它给出了平面上三个向量之间的关系。

设有三个非零向量a、b、c，且满足以下条件：向量c的起点与向量a和向量b的起点相同，且向量c的终点与向量a 和向量b的终点相连时，向量c将平面一分为二，并且角∠bca的角度等于角∠acb的角度。

根据角平分线定理，我们可以推导出以下结论：结论1：如果向量a与向量b的方向相同或相反，那么向量c与向量a和向量b的夹角为0度或180度，即向量c与向量a和向量b平行或共线。

结论2：如果向量a与向量b的方向垂直，则向量c与向量a和向量b的夹角为90度，即向量c与向量a和向量b垂直。

结论3：如果向量a与向量b的夹角为θ，则向量c与向量a和向量b的夹角为θ/2。

利用角平分线定理，我们可以解决一些几何问题，如证明三角形的角平分线相交于一点。

同时，在计算向量的过程中，角平分线定理也为我们提供了便利。

二、线段比例定理线段比例定理是另一个在平面向量研究中常用的定理。

它描述了一条线段被一点分割成两部分的比例关系。

假设有两个向量a和b，并且有一点P在向量a上，将向量a分成了两部分AP和PB。

根据线段比例定理，我们可以得出以下结论：结论1：如果点P在向量a上，那么向量a和向量b的比值等于线段AP和线段PB的比值。

即AP/PB = ||a||/||b||，其中||a||代表向量a的模，||b||代表向量b的模。

结论2：如果点P在向量b上，那么向量a和向量b的比值等于线段PA和线段PB的比值。

即PA/PB = ||a||/||b||。

线段比例定理可以应用于许多问题中，比如证明三角形的重心为三条中线的交点，计算向量的模等等。

综上所述，平面向量的角平分线定理和线段比例定理是解决几何问题和计算向量的有力工具。

专题12 利用全等三角形的性质解决角的证明与计算问题(解析版)

1专题12 利用全等三角形的性质解决角的证明与计算问题知识对接考点一、怎样解三角形全等的判定问题证明两条线段相等(或两个角相等)的常用方法是证明这两条线段(或两个角)所在的三角形全等.判定两个三角形全等的一般方法有“SSS"“SAS"“ASA"“AAS" ,对于直角三角形还有“HL”三角形全等的判定方法的选择:(1) 当已知两边分别相等时，可找两边的夹角或第三边，利用“SAS"或“SSS”来证明两个三角形全等.(2) 当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的对边，利用“ASA"或“AAS"来证明两个三角形全等.(3) 当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角,利用“AAS"来证明两个三角形全等.(4) 当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS"或“ASA"来证明两个三角形全等,也可以找这个角的另一邻边,利用“SAS”来证明两个三角形全等.(5)在直角三角形中除了利用“SS"S"ASA"AAS"”还可以利用“HL”来证明两个三角形全等:专项训练一、单选题1．（2021·珠海市紫荆中学桃园校区九年级一模）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，AE 交BF 于点H ，//CG AE 交BF 于点G ，下列结论，①sin cos HBE HEB ∠=∠；①CG BF BC CF ⋅=⋅；①BH FG =；①22BC BG CF GF=其中正确的是（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】D【分析】①根据正方形的性质求证BHE 是直角三角形即可得到结果；①由①求证△△CGF BCF ，利用其对应边成比例即可得到结论；①由①求证△△BHE CGF ≅即可得出结论；①利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；【详解】①在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC ，CD 的中点，①ABE BCF ≅△△，①BEA CFB ∠=∠，①CG①AE ，①GCB ABE ∠=∠，①CFG GCB ∠=∠，①90CFG GCF ∠+∠=︒，即①CGF 为直角三角形，①CG①AE ，①①BHE 也是直角三角形，①sin cos HBE HEB ∠=∠．故①正确；由①得△△CGF BCF ， ①CG CF BC BF=， ①CG BF BC CF =，故①正确；由①得△△BHE CGF ≅，①BH=CG ，而不是BH=FG ，故①错误；①△△BCG BFC ， ①BC BG BF BC=，即2BC BG BF =，同理可得：△△BCF CGF ，可得2CF BF GF =，3 ①22BF BG GF CF=， ①①正确；综上所述，正确的有①①①．故答案选D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角形性质是解题的关键． 2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（）A ．AC DE =B ．BC EF = C ．AEFD ∠=∠ D ．AB DF ⊥【答案】D【分析】本题可通过旋转的性质得出①ABC 与①DEC 全等，故可判断A 选项；可利用相似的性质结合反证法判断B ，C 选项；最后根据角的互换，直角互余判断D 选项．【详解】由已知得：①ABC ≅①DEC ，则AC=DC ，①A=①D ，①B=①CED ，故A 选项错误；①①A=①A ，①B=①CED=①AEF ，故①AEF ①ABC ，则EF AE BC AB，假设BC=EF ，则有AE=AB ，由图显然可知AE ≠AB ，故假设BC=EF 不成立，故B 选项错误；假设①AEF=①D ，则①CED=①AEF=①D ，故①CED 为等腰直角三角形，即①ABC 为等腰直角三角形，因为题干信息①ABC 未说明其三角形性质，故假设①AEF=①D 不一定成立，故C 选项错误；①①ACB=90°，①①A+①B=90°．又①①A=①D ，①①B+①D=90°．故AB①DF，D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．3．（2021·浙江九年级二模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则①1+①2+①3的度数是（）A．90B．120C．135D．180【答案】D【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得①1+①2+①3+①4+①5+①6=360〬,①5+①7+①8=180°，即①1+①2+①3=360°-180°.【详解】①图中是三个全等三角形，①①4=①8, ①6=①7,又①三角形ABC的外角和=①1+①2+①3+①4+①5+①6=360〬,又①5+①7+①8=180°，①①1+①2+①3=360°-180°=180°.故选D【点睛】本题考核知识点：全等三角形性质，三角形的角. 解题关键点：熟记全等三角形的性质.4．（2021·河北）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，已知①AOB，求作：①DEF，使①DEF＝①AOB．作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F；（4）作①，则①DEF即为所求作的角．A．①表示点E B．○表示PQC．*表示ED D．①表示射线EF【答案】D【分析】根据作一个角等于已知角的方法进行判断，即可得出结论．【详解】解：由图可得作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，OQ为半径画弧交EG于点D；（3）以D为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点F；（4）作射线EF，①DEF即为所求作的角．故选：D．【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．5．（2021·河北邢台·）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：已知：①AOB．5求作：①A'O'B'，使①A'O'B'=①AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；（4）过点D'画射线O'B'，则①A'O'B'=①AOB．下列说法正确的是（）A．m－p>0B．1－p>0C．p=12n>0D．m=n>0【答案】D【分析】利用作法根据根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，即可得到结论．【详解】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，则m=n>0．故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．6．（2021·四川遂宁·）下列说法正确的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．在代数式1a ，2x，xπ，985，42ba+，13y+中，1a，xπ，42ba+是分式D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】7解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，42b a +是分式，故选项错误； D.若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A ．【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．7．（2021·内蒙古包头·九年级）下列说法：①若分式22xx -+的值为0，则x 的值为2±；①到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；①直线CD 与①O 相切，P 在直线CD 上，则OP CD ⊥；①点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线225y mx mx =-+的图象上，若122x x +=，则12y y =．正确的有（）个A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【分析】①根据分式的值为0的条件进行判断，即可；①由角平分线的判定定理进行判断即可；①由切线的性质进行判断即可；①先求出抛物线的对称轴，然后进行判断即可．【详解】解：若分式22xx -+的值为0， ①20x -=，20x +≠①2x =；则①错误；在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；则①错误；直线CD 与①O 相切，P 在直线CD 上，若点P 为切点，则OP CD ⊥；则①错误；①点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线225y mx mx =-+，①对称轴为：212m x m-=-=，①若12=12x x +，即122x x +=，则12y y =；故①正确； ①正确的结论只有1个；故选：B ．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，角平分线的定义，切线的性质，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行判断．8．（2021·上海宝山·九年级）下列命题中正确的是（）A ．对角线相等的梯形是等腰梯形B ．有两个角相等的梯形是等腰梯形C ．一组对边平行的四边形一定是梯形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形【答案】A【分析】根据等腰梯形的判定定理与梯形定义对各个选项逐一分析即可．【详解】解：A 、对角线相等的梯形是等腰梯形，①四边形ABCD 为梯形，①DC∥AB ，过C 作CE ①DB 交AB 延长线于E ，①四边形BECD 为平行四边形①①DBA =①E ，BD =CE ，①AC =BD ，①AC =BD =CE ，9①①CAB =①E =①DBA ，在①ADB 和①BCA 中，AC BD CAB DBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADB ①①BCA （SAS ），①AD =BC ，四边形ABCD 为等腰梯形，故本选项正确；B 、根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；C 、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为这组对边相等，那么就有可能是平行四边形，当这组对边不相等时是梯形，故本选项错误；D 、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查等腰梯形判定与梯形的识别，掌握等腰梯形判定定理与梯形的识别方法是解题关键．9．（2021·广西九年级）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（） A ．作一个角等于已知角 B ．作一个角的平分线C ．作一条线段的垂直平分线D ．过直线外一点P 作已知直线的垂线【答案】C【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P 作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【详解】解：A.作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意；B.作一个角的平分线的作法正确，不符合题意；C.作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意；D.过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．10．（2021·重庆南开中学九年级）下列命题中是假命题的是（）A．两条平行线之间的距离处处相等B．同旁内角互补C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】B【分析】利用平行线间的距离、平行线的性质、角平分线的性质及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两条平行线之间的距离处处相等，正确，是真命题，不符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；故选：B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线间的距离、平行线的性质、角平分线的性质及矩形的判定方法，难度不大．二、填空题11．（2021·河南）如图，E、F是ABCD对角线AC上两点，且AE CF，则四边形DEBF是________．11【答案】平行四边形【分析】根据已知条件，推出四边形的两对边相等，从而得出四边形是平行四边形．【详解】 ①AD BC ∥ ①DAE BCF ∠=∠ ①AD BC =，AE CF = ①ADE BCF ≌ ①DE BF =同理，ADE CFD △≌△ ①DF BE =①四边形DEBF 是平行四边形故答案为：平行四边形．【点睛】本题考查了平行的性质、全等三角形、平行四边形的判定，熟练应用性质、定理是关键12．（2021·山东九年级）如图，正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ED ⊥，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将EFG 沿EF 翻折，得到EFM △，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则EMN 的周长是________．【分析】如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ =BQ =PE =1，①DEF 是等腰直角三角形，利用勾理计算DE =EF，PD =3，如图2，由平行相似证明①DGC ①①FGA ，列比例式可得FG 和CG 的长，从而得EG 的长，根据①GHF 是等腰直角三角形，得GH 和FH 的长，利用DE //GM证明①DEN ①①MNH ，则DE EN MH NH =，得EN①EMN 各边的长，相加可得周长．【详解】解：如图1，过E 作PQ ①DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，①①BCD =①ABC =90°， ①四边形BCPQ 是矩形， ①BC =PQ ， ①DC //AB ， ①PQ ①AB ，①四边形ABCD 是正方形， ①①ACD =45°，①①PEC 是等腰直角三角形， ①PE =PC ， ①PD =EQ ，①①PED +①FEQ =90°，①EFQ +①FEQ =90°， ①①PED =①EFQ ，在①DPE 和①EQF 中 90PED EFQDPE FQE PD EQ ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ①①DPE ①①EQF ， ①DE =EF ， ①DE ①EF ，①①DEF 是等腰直角三角形，在①DEC 和①BEC 中13CD BC ACD ACB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①DEC ①①BEC ， ①DE =BE ， ①EF =BE ， ①EQ ①FB ， ①FQ =BQ =12BF ，①AB =4，F 是AB 的中点， ①BF =2， ①FQ =BQ =PE =1， ①CE，PD =4-1=3，Rt ①DAF 中，DF= DE =EF如图2，①DC //AB ， ①①DGC ①①FGA ， ①422CG DC DG AG AF FG ====， ①CG =2AG ，DG =2FG ， ①FG=13⨯=①AC 22442，①CG=23=⨯=①EG=连接GM 、GN ，交EF 于H ， ①①GFE =45°，①①GHF 是等腰直角三角形， ①GH =FH= ①EH =EF -FH=，由折叠得：GM ①EF ，MH =GH①①EHM =①DEF =90°， ①DE //HM ， ①①DEN ①①MNH ， ①DE ENMH NH=，3EN NH ==，①EN =3NH ， ①EN +NH ═EH， ①EN①NH =EH -EN=Rt ①GNH 中，GN6，由折叠得：MN =GN ，EM =EG ， ①①EMN 的周长=EN +MN +EM=．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和判定、勾股定理，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出PE 的长是关键． 13．（2021·湖南长沙市·九年级）如图，,ABC DCB AC ≌与BD 相交于点E ，若40ACB ∠=︒，则BEC ∠等15于___________．【答案】100︒ 【分析】根据全等三角形的性质得到①DBC =①ACB =40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【详解】解：①①ABC ①①DCB ，①ACB =40°， ①①DBC =①ACB =40°，①①BEC =180°-①DBC -①ACB =180°-40°-40°=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和的定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 14．（2021·江苏）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥，垂足为E ，连接CE ．若30ADB ∠=︒，则如tan DEC ∠的值为_____．【分析】过C 向BD 作垂线，可以构造出一个30°直角三角①CDF ，进而求出AEB CFD △≌△，设直角CDF 最小边DF=a,并用a 的代数式表示出其他边，即可求出答案．【详解】解：过C 作CF①BD ，垂足为F 点 ①矩形ABCD, 30ADB ∠=︒①AD①BC ，90,30,ABC BCD DBC ADB ∠=∠=︒∠=∠=︒ AB=CD ,,AE BD CF BD ⊥⊥90,BAE ABE ABE DBC∴∠+∠=∠+∠=︒90,FBC FCB FCB FCD∠+∠=∠+∠=︒①①DBC=①DCF=①BAE=30°设DF=a,则，CD=2a，BD=4a，①AE BD⊥①①AEB=①CFD=90°①AEB CFD△≌△，①EB=DF=a①EF=4a-a-a=2a①tan CFDECEF∠==【点睛】本题主要考察了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题关键．15．（2021·浙江）如图，在①ABC中，AC=BC①C=90°，点D在BC上，且CD=3DB，将①ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则tan①BED的值是_____．【答案】7 24【分析】先根据翻折变换的性质得到①DEF①①AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到①BED=CDF，求出CD=CF=x，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：①①DEF是①AEF翻折而成，①①DEF①①AEF，①A=①EDF，17①①ABC 是等腰直角三角形， ①①A=①B=①EDF=45°，由三角形外角性质得：①CDF+45°=①BED+45°， ①①BED=①CDF ，①CD=3DB，CD DB BC +==①CD=设CF=x ，则DF=FA=x ， ①在Rt①CDF 中，由勾股定理得， CF 2+CD 2=DF 2，即222)x x +=，解得：x =①8CF =①7tan tan 24CF BED CDF CD ∠=∠===；故答案为：724. 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题. 三、解答题16．如图，等腰直角①ABC 中，①ABC ＝90°，点D 在AC 上，将①ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到①CBE ．（1）求①DCE 的度数；（2）当AB ＝4，AD ①DC ＝1①3时，求DB 的长．【答案】（1）90︒；（2 【分析】（1）由题意我们知道90A ACB ∠+∠=︒，通过全等三角形得出BCE A ∠=∠，就能得出90DCE ∠=︒的结论；（2）由（1）可得出DCE 是个直角三角形，可根据勾股定理求出DE 的长，根据角的关系证明DBE 是等腰直角三角形，所以要求DB 的长，就必须求出DE 的长即可解决问题．【详解】解：（1）①AB BC =，90ABC ∠=︒ ①45A BCA ∠=∠=︒，①①ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到①CBE ， ①ABD CBE ≌， ①45A BCE ∠=∠=︒，①90DCE DCB BCE ∠=∠+∠=︒，故答案为：90︒．（2）在等腰直角三角形ABC 中，①4AB =，①AC = ①:1:3AD DC =，①14AD AC ==34DC AC == 由（1）得：AD CE =且90DCE ∠=︒， ①22218220DE DC CE =+=+=，①DE =①ABD CBE ∠=∠，BD BE =，①90DBE DBC CBE DBC ABD ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，在Rt DBE 中，根据勾股定理得：222DB BE DE +=，即2220DB =，①DB =【点睛】本题考查了旋转性质，勾股定理等知识，利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键．1917．（2021·北京房山区·）如图，AB AD =，BAC DAC ∠=∠，70D ∠=︒，求B ∠的度数【答案】70B ∠=︒ 【分析】先证明①ABC ①①ADC （SAS ）得到①B ＝①D ，即可求解．【详解】证明：在①ABC 与①ADC 中，.AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，①①ABC ①①ADC ， ①B D ∠=∠， ①70D ∠=︒， ①70B ∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的SAS 判定和性质，掌握SAS 判定方法是关键.18．（2021·北京西城·）如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠>︒．D 是ABC 内一点，ADC BAC ∠=∠．过点B 作//BE CD 交AD 的延长线于点E ．（1）依题意补全图形；（2）求证：CAD ABE ∠=∠；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD 相等的线段并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE ；见解析【分析】（1）根据题意作出平行线和交点即可；（2）如图，根据平行，得到①1=①ADC=①BAC ，再根据三角形外角定理得到1ABE BAE ∠=∠-∠，CAD BAC BAE ∠=∠-∠，从而CAD ABE ∠=∠；（3）通过在BE 上截取BG AD =，构造ABG CAD △≌△，再结合平行进一步得到1BGA ∠=∠，从而证明2AGE ∠=∠，=AE AG CD =．【详解】解：补全图形如图6所示．（2）证明：如图7，延长BE 至点F ．①//BE CD ，点F 在BE 的延长线上， ①1ADC ∠=∠．①ADC BAC ∠=∠，①1BAC ∠=∠． ①1∠是ABE △的外角，①1ABE BAE ∠=∠+∠，①1ABE BAE ∠=∠-∠．21又①CAD BAC BAE ∠=∠-∠， ①CAD ABE ∠=∠．（3） AE证明：如图8，延长BE 至点F ，在BE 上截取BG AD =，连接AG由（2）得ABG CAD ∠=∠，又①AB AC = ①ABG CAD △≌△，①AG CD BGA ADC =∠=∠，． ①1ADC ∠=∠，①1BGA ∠=∠．①18021180AGE BGA ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ①2AGE ∠=∠．①AE AG =． ①AE CD =．【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键． 19．（2021·河北九年级三模）如图，在①ABC 中，AB=①B =45°，①C =60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将①AEF 折叠得到①PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求①AEP 的度数． ①如图3，连结AP ，当PF ①AC 时，求AP 的长．【答案】（1）4;（2）①90°；①【分析】（1）如图1中，过点A 作AD①BC 于D ．解直角三角形求出AD 即可．（2）①证明BE=EP ，可得①EPB=①B=45°解决问题．①如图3中，由（1）可知：AC=sin 60AD =︒①AEF①①ACB ，推出AF AE AB AC =，由此求出AF 即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，过点A 作AD ①BC 于点D ，在Rt①ABD 中，sin 45AD AB =⋅︒=（2）①如图2，①①AEF ①①PEF ， ①AE ＝EP . 又①AE ＝BE ， ①BE ＝EP ， ①①EPB ＝①B ＝45°， ①①AEP ＝90°.①如图3，由（1）可知：在Rt①ADC 中，sin 60AD AC ==︒ ①PF ①AC ， ①①PF A ＝90°. ①①AEF ①①PEF ，①①AFE ＝①PFE ＝45°，则①AFE ＝①B .23又①①EAF ＝①CAB ， ①①EAF ①①CAB ，①AF AB＝AE AC①AF＝在Rt①AFP 中，AF ＝PF ，则AP＝【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（2021·辽宁大连·）如图，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，①B=①C ，AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF ．【答案】证明见解析.【分析】求出BF=CE ，根据SAS 推出①ABF①①DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【详解】①BE=CF ， ①BE+EF=CF+EF ， ①BF=CE ，在①ABF 和①DCE 中 AB DCB C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①ABF①①DCE （SAS ）， ①①GEF=①GFE ，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．21．（2021·辽宁阜新市教育服务中心）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是直线AB ，BC 上的点（E ，F 在直线AC 的两侧），且AE CF =．（1）如图2，求证：DE DF =；（2）若直线AC 与EF 相交于点G ，如图3，求证：DG EF ⊥；（3）设正方形ABCD 的中心为O ，CFE α∠=，用含α的式子表示DGO ∠的度数（不必证明）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①DGO =α+45°或①DGO =α-45°或①DGO =45°-α．【分析】（1）四边形ABCD 是正方形，AD CD =，C DAB ∠=∠，又知道AE CF =，可得到DAE DCF △≌△即可求解；（2）作//EH BC 交AC 于点H ,则EHG FCG ∠=∠,知道四边形ABCD 是正方形可得AB BC =，90B ∠=︒推出BAC BCA ∠=∠，//EH BC ，AHE ACB ∠=∠，BAH AHE ∠=∠，AE EH =，得到AE CF =，EH CF =，又知道EGH FGC ∠=∠得到EHG FCG ≌△△即可求解（3）分三种情况①点E 在线段AB 上、①点E 在线段BA 的延长线上、①点E 在线段AB 的延长线上，逐一进行讨论即可求解．【详解】解：（1）①四边形ABCD 是正方形， ①AD CD =，90C DAB ∠=∠=︒． ①90∠=∠=︒DAE C ．又①AE CF =， ①DAE DCF △≌△．25（2）（解法一）作//EH BC 交AC 于点H ，如图1．则EHG FCG ∠=∠．图1①四边形ABCD 是正方形， ①AB BC =，90B ∠=︒． ①45BAC BCA ∠=∠=︒ ①//EH BC ，①45AHE ACB ∠=∠=︒． ①BAH AHE ∠=∠． ①AE EH =． ①AE CF =， ①EH CF =．又①EGH FGC ∠=∠， ①EHG FCG ≌△△． ①EG GF =．由（1）同理可得DE DF =， ①DG EF ⊥．（解法二）作//EH BC 交AC 于点H ，如图2．图2①四边形ABCD 是正方形， ①AB BC =，90B ∠=︒．①45∠=∠=︒，BAC BCAEH BC，①//①45∠=∠=︒．AHE ACB①BAH AHE∠=∠．①EA EH=．=，又①AE CF=．①EH CF连接CE，FH．EH CF．又①//①四边形CEHF是平行四边形．=．①EG GF由（1）同理可得DE DF=，⊥．①DG EF（3）解：①当点E在线段AB上时，①四边形ABCD是正方形，①①BCD=①ADC=90°，①ACD=45°，①DAE DCF△≌△，①①ADE=①CDF，①①ADE+①EDC=①ADC=90°，①①EDC+①CDF=90°，即①EDF=90°，①DE=DF，DG①EF，①①GDF=①2=45°，①①1=45°-①3，①①BCD=90°，①①3+①2+①CFE=90°，①①3=90°-45°-α=45°-α，①①1=45°-①3=α，①①DGO=①ACD+①1，①①DGO=α+45°；①当点E在线段BA的延长线上时，①四边形ABCD是正方形，①①BCD=①ADC=90°，①BDC=45°，①DAE DCF△≌△，①①ADE=①CDF，①①ADF+①CDF=①ADC=90°，①①EDA+①ADF=90°，即①EDF=90°，①DE=DF，DG①EF，①①GDF=①GFD=①BDC=45°，①①1=①2，①①BCD=90°，①①3+①2=90°，①①3=①CFE-①GFD=α-45°，①①2=90°-α+45°=135°-α，①①1=①2=135°-α，27①①DGO=90°-①1=α-45°；①当点E在线段AB的延长线上时，①四边形ABCD是正方形，①AB①CD，①ACD=45°，①ABC=①ADC=90°，①DAE DCF△≌△，①①ADE=①CDF，①①ADE+①EDC=①ADC=90°，①①EDC+①CDF=90°，即①EDF=90°，①①2=①3，①DE=DF，DG①EF，①①GDE=①DEG=45°，①①1+①3=45°，①①ABC=90°，①①CFE+①2+①DEG=90°，①①CFE-①2=45°，①①CFE=①1=α，①①DGO+①1=①ACD=45°，①①DGO=45°-α．综上：①DGO=α+45°或①DGO=α-45°或①DGO=45°-α．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质29等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得DE =DF ，利用等腰直角三角形的性质求解． 22．（2021·河北保定市·）如图，90BCD ∠=︒，BC DC =，直线PQ 经过点D ．设PDC α∠=（45135α︒<<︒），BA PQ ⊥于点A ，将射线CA 绕点C 按逆时针方向旋转90︒，与直线PQ 交于点E ．（1）判断：ABC ∠________PDC ∠（填“>”或“=”或“<”）；（2）猜想ACE 的形状，并说明理由；（3）若ABC 的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．【答案】（1）=；（2）ACE 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）4590α︒<<︒．【分析】（1）由四边形ABCD 的内角和与邻补角的性质证明EDC ABC ∠=∠，即可得到结论．（2）由旋转的性质可得：90ACE BCD ∠=∠=︒，证明ECD BCA ∠=∠，再证明ECD ACB ≌，从而可得结论；（3）当90PDC ABC α∠=∠==︒时，ABC 的外心在其斜边上，①ABC=α＞90°时，ABC 的外心在其外部，从而可得到答案．【详解】解：（1）90AB AD DCB ⊥∠=︒，，3609090180CDA ABC ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒， 180CDA CDE ∠+∠=︒，.EDC ABC ∴∠=∠故答案为：=．（2）ACE 是等腰直角三角形．理由如下：由旋转可得：90ACE BCD ∠=∠=︒， 90ECD DCA DCA BCA ∴∠+∠=︒=∠+∠， ECD BCA ∴∠=∠，在ECD 与ACB △中，ECD BCA CD CBEDC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECD ACB ASA ∴≌ EC AC ∴=，又90ACE ∠=︒ACE ∴是等腰直角三角形．（3）当①ABC=α=90°时，ABC 的外心在其斜边上，①ABC=α＞90°时，ABC 的外心在其外部，由PDC ∠＞45EAC ∠=︒，PDC DCA EAC ∠=∠+∠＜135︒， ∴ 45°＜α＜135°，故：4590α︒<<︒．【点睛】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．23．（2021·杭州市采荷中学）已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．（1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP OQ =；（2）如图乙，连接AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S.若AD 4=，DCB 60∠=，BS 10=，求AS 和OR 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据菱形的性质证明①ODQ①①OBP ，即可得到OP OQ =．（2）首先求AS 的长，要通过构建直角三角形求解；过A 作BC 的垂线，设垂足为T ，在Rt①ABT 中，易证得①ABT=①DCB=60°，又已知了斜边AB 的长，通过解直角三角形可求出AT 、BT 的长；进而可在Rt①ATS31中，由勾股定理求出斜边AS 的值；由于四边形ABCD 是菱形，则AD①BC ，易证得①ADO①①SBO ，已知了AD 、BS 的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA 、OS 的比例关系式，即可求出OA 、OS 的长；同理，可通过相似三角形①ADR 和①SCR 求得AR 、RS 的值；由OR=OS -RS 即可求出OR 的长．【详解】（1）证明：四边形ABCD 为菱形，AD //BC ∴．OBP ODQ ∠∠∴=, O 是BD 的中点，OB OD ∴=,在BOP 和DOQ 中，OBP ODQ ∠∠=，OB OD =，BOP DOQ ∠∠=BOP ∴①()DOQ ASAOP OQ ∴=．（2）解：如图乙，过A 作AT BC ⊥，与CB 的延长线交于T ． ABCD 是菱形，DCB 60∠=AB AD 4∴==，ABT 60∠=∴在Rt ATB 中，AT ABsin6023==TB ABcos602==,BS 10=，TS TB BS 12∴=+=，在Rt ATS 中，AS ∴=AD//BS ，AOD∴①SOB．AO AD42OS SB105∴===，则AS OS2OS5-=，AS7OS5∴=，AS2=5OS AS7∴==．同理可得ARD①SRC．AR AD42RS SC63∴===，则AS SR2RS3-=，AS5RS3∴=，3RS AS5∴==．OR OS RS∴=-==【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质；（2）中能够正确的构建出直角三角形，求出AS的长是解答此题的关键．33。