H∞控制问题中RIC法和LMI法的一个比较

［ｇｏｐｔ．Ｋ，Ｘｌ，Ｘ！，Ｙｌ，ＹＪ＝ｈｉｎｆｌｍｉ（Ｐ，ｒ，ｇ，ｔｏｌ，ｏｐｔｉｏｎｓ） 其中：ｒ为ｌ ｘ２向量指出控制器的输入、输出的雏数；
ｇ为用户指定的闭环性能目标７； ｔ０１为计算ｇｏｐｔ的相对精度（默认值为１ ｅ一２）： ｏｐｔｉｏｎｓ包含了三项： ｏｐｔｉｏｎｓ（１）：在【０，ｌ】之间取值（默认值为０），该值增
万方数据 系统的性能要求。
ＬＭＩ法是通过三个线性矩阵不等式来求解如式 （２）所示的０·忆＜ｙ的Ｈ。控制问题ｏ，所阱是求
解次优而非晟优问题，因此不存在零极点对消。这样 就可以用ＬＭＩ法来处理弱阻尼系统的控制，但是
因为并不是Ｈ。优化设计，故不能作为一种综台法 来保证性能满足要求。为此，Ｇａｈｉｎｅｔ提出应在设计
王新生（１９７０一）．士．博士研究生．目前研究方向为鲁棒控制系统设计。
林 万意银方（数１９７据６一），男．硕士研究生，目前研究方向为普棒控制系统设计．
坷朕｛１９７２一），女，博士研究生，目前研究方向为Ｈ。奇异控制，描述系统。
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电 机与控制 学报
第４卷
式中：Ｋ为控制器；Ｓ为灵敏度函数，Ｓ＝（Ｈ－ＧＫ）～． Ｔ为闭环传递函数．丁＝ＧＫＳ。相应的权函数分别
式（４）就是式（２）的范数指标Ｔ＝１时算得的控制 器墨Ｏ），即
㈣＝１００．８丽篙鬻壤筹嵩帮丽
（４） 式（４）分子中的（ｓ二＋０ ０２ｓ＋１．ｏＰ４）就是由这种ＲＩＣ设 计法所得出的，与对象Ｇ∽的极点相对消的零点 项。由于这是零极点对消的设计，所以闭环模态中留 有这样一对弱阻尼模态一０．０１士ｊ １００，显然不能满足
３ ＵⅢ法
围２线性分式变换 Ｆｉｇ．２ ＩＦＴ
图中ｚ１＝瞳，ｚ。ｚ，）ｔ Ｈｓ）为广义对象，其状态空间 实现和传递函数为
Ｐ（ｓｌ
燃㈡刘㈣
式（３）中的Ｂ，㈦是第一个输＾（ｗ）到第二个输出 ０）的传递函数。从图１可见，这个只，（曲的通道并没 有包括对象Ｇ∽，即Ｇ＠的极点是（Ａ，Ｂ．）的不能控 模态。这就是说，Ｇ（ｓ）的一对弱阻尼谐振模态是Ｒ，∞ 的不变零点。根据ＤＧＫＦ理论，Ｈ。中心控制器要对 消只：∽和Ｐ２１∞所有稳定的不变零点“。因此对于本 例来说，Ｈ。控制器将有一对零点与这一对弱阻尼极 点相对消。
ｌ 引言
２ ＲＩＣ法
对于Ｈ，控制问题，一般是通过Ｒｉｃｃａｔｉ方程来 求解的，也称之为ＤＧＫＦ法１１Ｉ。近年来又出现了线性 矩阵不等式（ＬＭＩ）法［２１。这两种方法看起来似乎只是 方法不同，实际上，两者的求解思路是不同的。了解 两者的特点，就可以在不同的应用场合正确选用不 同的方法，既简化了计算过程，又可得到满意的结 果。本文以文［２】的弱阻尼系统为例，对ＲＩＣ法和ＬＭＩ 法的设计特点作一对比说明。
中再加一极点配置的不等式。。但是这种思路实际上 还是站在ＲＩｃ法的角度来看问题，没有考虑到ＬＭＩ 法本身的一些特点。
要掌握ＬＭＩ法的特点，就得从Ｒｉｃｃａｔｉ方程的解
ｊ乙、ｙ。和与之相对应的ＬＭＩ的解只、ｓ上来分析，它 们之间的关系是“
０＜Ｒ＜，Ｘ二１
（５）
０＜Ｓ＜ｙｙ二１
（６）
现在再来看Ｈ。优化解，Ｔ。的特点。文…§Ⅷ证
Ａ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ＲＩＣ——ｂａｓｅｄ ａｎｄ ＬＭＩ——ｂａｓｅｄ
ｓｙｓｎｔｈｅｓｉｓ ｉｎ Ｈ。。ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ
ＷＡＮＧ Ｇｕａｎｇ—ｘｉｏｎｇ，ＷＡＮＧ Ｘｉｎ—ｓｈｅｎｇ，ＬＩＮ Ｙｕ—ｙｉｎ，ＨＥ Ｚｈｅｎ
（Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｍ １５０００１，Ｃｈｉｎａ）
ＦＲＡＮＣＩＳ Ｂ Ａ Ｓｔａｔｅｓｐａｃｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｓｔａｎｄａｒｄ Ｈ ２ ａｎｄ
Ｈ∞ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ】ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ａｕｔ Ｃｏｎｔｒ １９８９．
明了（Ｃ．，Ａ）是能观测对时，Ｒｉｏｍｔｉ方程的解Ｘ，＞０，
而当（Ｃ，，Ａ）只是能检测（ｄｅｔｅｃｔａｂｌｅ）时，如≥０…。因
此根据对偶可知，叫，Ｂ．）能控时，第二个Ｒｉｃｃａｔｉ方
程的解Ｙ。＞Ｏ，而当∽，Ｂ，）是能镇定（ｓｔａｂｉｌｉｚａｂｌｅ）
时，ｙ。≥０。本例中对象Ｇ∞的弱阻尼摸态是（Ａ．
Ｂ，）的稳定的不能控模态，故（一，Ｂ．）是能镇定对，因
取为Ｗｉ（ｓ）＝了１，Ⅳ：（。＝ｏ．０１，ｗ，。）＝淼
与式（２）对应的控制系统框图如图ｌ所示，图２为用 线性分式形式表示时的框图。
图１控制系统结构图
Ｆｉｇ．１ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｓ＇ｙｓｔｅⅢｎ ｓ１３ｒｔｔｃｔｌｌｒｅ
这种零极点对消的设计结果，对于用Ｒｉｏｃａｔｉ方 程求解Ｈ。混合灵敏度问题式（２）是必然的１３１，因为这 里求解的是一种Ｈ。优化解。但也正是由于优化解的 结果是一条全通特性，才使Ｈ。设计成为一种极有用 的综合法，可以根据设计要求（反映在权函数上），直 接综合出控制器Ｋ（ｓ）。
加，Ｒ的范数减小；
ｏｐｔｉｏｎｓ（２）：在Ｉｏ，１】之间取值（默认值为０），该值增 加，Ｓ的范数减小；
ｏｐｔｉｏｎｓ（３）：默认值为ｌｅ一３，当Ｐ（Ｘ·Ｙ）≥（１一 ｏｐｔｉｏＩａｓ（３））·ｇｏｐｔ２时，则执行降阶设计；
ｘ．．ｘ：，Ｙ．，Ｋ和Ｘ＝Ｘ．／ｘ：，Ｙ＝Ｙ：／Ｙ．为两个 Ｈ，Ｒｉｃｃａｔｉ不等式，＝ｇｏｐｔ时的解；又由于Ｘ２＝Ｙ２＝ ｇｏｐｔ·Ｉ．所以Ｒ＝Ｘ．和Ｓ＝Ｙ，为特征ＬＭＩｓ的解。
本例中的零极点对消是由于Ｂ，∞的不变零点造 成的，即是由于ｙ。奇异而造成的。故用ＬＭＩ来设计 时，要用ｈｉｎｆｌｍｉ（）函数中ｏｐｔｉｏｎｓ（２）选项来调节ｓ的 范数，不使它过大．从而调整了闭环极点的位置。
在本例中、当调整ｏｐｔｉｏｎｓ（２）＝０．６０５时，可得到优 化Ｈ；性能ｇｏｐｔ＝Ｏ．９９．此时ｏｐｔｉｏｎｓ（１）＝０。所得到的 Ｈ，控制器为
ｅ３素ｉ而茹巧面甄再丽甭 ～Ｋｍ（５）２ 万－２方．数１据 ０—６ ６ｌ ８）（ｓ２—１４５．６ｓ＋６３５６）
ＧＫ；。，的伯德图如图３所示，可以看出，对象的谐 振模态并未被对消。经验算闭环极点实部均小于 一２．３６，具有很好的稳定性。图４是对象加脉冲扰动 时的闭环响应“０以及控制输入Ｈ（ｒ）。作为比较，圈５ 是文【２］中外加一个极点配置条件后所得的结果１２１。可 见，采用简单的混合灵敏度［式（７）】来设计，也达到了 控制极点位置的效果。
设一二阶挠性系统 其传递函数为
∞；
Ｇ０）
ｓ二＋２｛∞一＋０９：
式中 ：｛＝０ ０００１；‰＝１００ ｒａｄ／ｓ。
现用ＤＧＫＦ法来求解如下的Ｈ，控制问题‘ｌ
Ｓ
Ｓ ⅣⅣⅣ Ｋ『
＜，
ｃ
收箱日期２０００一０１一Ｉｌ 基金项目ｔ国末教委博士点基盎（９６０２１３１４）和２１Ｉ工程资时项目． 作者简介王广雄【１９３３）．男，教授、博士生导师，主要研究方向为Ｈ。控制理论厦应用．高精度伺服系统设计
曲
趔 孽
Ｏ
雪一２００
耋一枷
一６００
角频率ｒａｄ？ｓ
图３ Ｇ耳。的伯德图 Ｆｉｇ．３ Ｂｏｄｅ ｄｉａｇｒａｍｓ ｏｆ Ｇ五。．
１００
８０
６０
４０
２０
ｏ
０
＾一２０
一４０
—６０
—８０
—１００
ｆ—ｓ
图４ Ｊ们、Ｈ∞的脉冲扰动响应 ｒｉｇ．４ Ｉｍｐｕｌｓｅ ｄｉｓｔｍｒｂａｎｅｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ，（ｎ ａｎｄⅣＯ）
第４卷第２期 ２０００年６月
电 机与控 制 学报 ＥＬＥＣＴＲＩＣ ＭＡＣＨＩＮＥＳ ＡＮＤ ＣｏＮＴＲｏＬ
ＶＯＩ．４ ＮＯ．２ Ｊｕｎｅ ２０００
Ｈ∞控制问题中ＲＩＣ法和ＬＭＩ法的一个比较
王广雄， 王新生， 林愈银， 何朕
（哈尔滨工业大学，黑龙江哈尔滨１５０００１１
摘要：以弱阻尼系统为倒，说明了Ｈ。控制问题中ＲＩＣ法的零极点对消问题；然后通过分析ＬＭＩ法 的特．点，指出限制ＬＭＩ解的范数可以控制靠近虚轴的闭环极点，即可以通过函数ｈｉｎｆｉｍｉ（）本身的 选项来控制极点位置，因此单用混合灵敏度同样可以解决弱阻尼系统的Ｈ。控制问题，而不皿如文［２】 那样再增加极点配置的ＬＭＩ约束条件。 关键词：Ｈ，控制，弱阻尼系统；ＲＩＣ综合法；ＬＭＩ综合法 中围分类号：０２３１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—４４９ｘＣ！ｏ唧０２—００６５－０４
本文ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ过一个简单的算例，说明了ＲＩＣ法会有
零极点对消的结果：而对ＬＭＩ法来说，控制ＬＭＩ 的解Ｒ或Ｓ的范数就可避免零极点对消。所以，如 能利用好ｈｍｆｌｍｉ（）中的特点，ＬＭＩ法对于弱阻尼系 统的Ｈ。控制来说，倒是一个简单实用的方法。
参考文献：
［Ｉ】ＤＯＹＬＥ Ｊ Ｃ，ＧＬＯＶＥＲ Ｋ ＫＨＡＲＧＯＮＥＫＡＲ Ｐ Ｐ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｐｏｌｅ—ｚｅｒｏ ｃａｎｃｅｌｌａｔｉｏｎ ｉｎ Ｒｉｃｃａｔｊ ｅｑｕａｔｉｏｎ—ｂａｓｅｄ Ｈ。ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｉＳ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｌｉｇｈｔｌｙ ｄａｍｐｅｄ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅｎ．ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ＬＭＩ—ｂａｓｅｄ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，Ｉｔ ｉｓ ｐｏｉｎｔｅｄ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ’Ｓ ｃｌｏｓｅｄ—ｌｏｏｐ ｐｏｌｅｓ ｎｅａｒ ｔｈｅ ｊ∞一ａｘｉｓ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｎｏｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ＬＭＩｓ’ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｖｉａ ｔｈｅ ｏｐｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈｉｎｆｌｍｉ（）１ｔ． ｓｅｌｆ．Ｈｅｎｃｅ，ｔｈｅ ｐｒｏｂｋｍ ｏｆ Ｈ。ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｌｉｇｈｔｌｙ ｄａｍｐｅｄ ｓｙｓｔｅｍ ｃａｎ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｍｉｘｅｄ—ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｄｅｓｉｇｎ ａｌｏｎｅ，ａｎｄ ｎｅｅｄｓ ｎｏ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ＬＭＩ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ａｓ ｕｓｅｄ ｉｎ［２】 Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｈ，ｃｏｎｔｒｏｌ；ｌｉｇｈｔｌｙ ｄａｍｐｅｄ ｓｙｓｔｅｍ；ＲＩＣ—ｂａｓｅｄ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ；ＬＭＩ—ｂａｓｅｄ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ