变分法与最优控制课件
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第3章 用变分法解最优控制-泛函极值问题ppt课件
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7
2. 自由端点的情况 •
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8
自变量函数为向量函数： •
向量欧
拉-拉格
朗日方
程
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9
•
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10
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时ment of Industrial Engineering and Management
第3章 用变分法解最优控制 ——泛函极值问题
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1
变分法基础
变分法：是处理函数的函数的数学领域，
和处理数的函数的普通微积分相对。变分法最终 寻求的是极值函数，它们使得泛函取得极大或极 小值。
在动态系统最优控制问题中，性能指标是一
个泛函，性能指标最优即泛函达到极值
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2
基本概念：
如果对于某一类函数集合{X(t)}中的每一个 函数X(t)，均有一个确定的数J与之对应， 则称J为依赖于函数X(t)的的泛函，记作 J=J[X(t)]。
泛函 的连 续性
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3
线 性 泛 函
自变 量函 数的 变分
自变量函数X(t)的变分δX是指同属于函数类 {X(t)}中两个函数X1(t)、X2(t)之差 δX= X1(t)- X2(t) 这里，t为参数。
泛函 的变 分
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4
泛函 的极 值
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5
无约束条件的泛函极值问题
自变量函数为标量函数： •
欧拉-拉格 朗日方程
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6
1. 固定端点的情况 x(t0)=x0 ,x(tf)=xf ： 当δx(t0)=δx(tf)=0时，J取极值
最优控制课件(第二章)-2010
同属于函数类 x(t ) 中的两个函数 x1 (t ), x2 (t )
其差值记为：
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
则称
与
x (t )为自变量函数的变分。
t t1 t2 称为自变量的微分相对应
10
§2.1 变分法的基本概念
泛函的变分
当自变量函数 x(t )有变分
x (t )时，连续泛函
J [ x(t )] 的增量可以表示为：
J J [ x(t ) x(t )] J [ x(t )] J [ x(t ), x(t )] [ x(t ), x(t )] x(t )
J 是 x (t ) 的线性泛函，若 其中，
x(t ) 0时，有
* x ( t ) x (t ) x(t ) * * (t ) x (t ) x (t ) x
20
§2.2 无约束条件的泛函极值问题
* (t ) x (t ),t J {L ( x * (t ) x(t ), x
t0 tf
25
最速降线问题结论：最速降曲线是一族经过原点 的一段摆线（旋轮线）
x r ( sin ) y r (1 cos )
26
§2.2 无约束条件的泛函极值问题
2.泛函的自变量函数为向量函数的情况
将上面对 x(t ) 是标量函数时所得到的公式推广到 是n维向量函数的情况，这时，性能泛函为
J J [ x(t )] J [ x* (t )] 0 或 J J [ x(t )] J [ x* (t )] 0
则泛函 J [ x(t )] 在曲线 x x* (t ) 上达到极值。 x
其差值记为：
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
则称
与
x (t )为自变量函数的变分。
t t1 t2 称为自变量的微分相对应
10
§2.1 变分法的基本概念
泛函的变分
当自变量函数 x(t )有变分
x (t )时，连续泛函
J [ x(t )] 的增量可以表示为：
J J [ x(t ) x(t )] J [ x(t )] J [ x(t ), x(t )] [ x(t ), x(t )] x(t )
J 是 x (t ) 的线性泛函，若 其中，
x(t ) 0时，有
* x ( t ) x (t ) x(t ) * * (t ) x (t ) x (t ) x
20
§2.2 无约束条件的泛函极值问题
* (t ) x (t ),t J {L ( x * (t ) x(t ), x
t0 tf
25
最速降线问题结论：最速降曲线是一族经过原点 的一段摆线（旋轮线）
x r ( sin ) y r (1 cos )
26
§2.2 无约束条件的泛函极值问题
2.泛函的自变量函数为向量函数的情况
将上面对 x(t ) 是标量函数时所得到的公式推广到 是n维向量函数的情况，这时，性能泛函为
J J [ x(t )] J [ x* (t )] 0 或 J J [ x(t )] J [ x* (t )] 0
则泛函 J [ x(t )] 在曲线 x x* (t ) 上达到极值。 x
第4章 最优控制与变分法
本节课的主要研究内容？
研究不同边界条件下的无约束条件变分问题。
17
第4章 最优控制与变分法 古典变分法研究的典型问题 无约束条件变分问题
在满足 约束条件
g[ x(t ), x(t ), t ] 0
(1) (2) (3)
和 边界条件
m[ x(t0 ), t0 ] 0
n[ x(t f ), t f ] 0
J [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
20
第4章 最优控制与变分法
4.2.1 固定端点的变分问题
一、基础知识
1. 泛函的定义 设对自变量t，存在一类函数 x(t ) 。如果对于
每个函数 x(t ) ，有一个J值与之对应，则变量J称为
依赖于函数 x(t )的泛函，记作
J J [ x(t )]
3
第4章 最优控制与变分法
解：设 x(t) 为 M 的质心距离地面的高度，由牛顿第
二定律直接得： x(t ) u(t ) g (t )
令：x1 x, x2 x ，问题的状态空间描述为
x1 0 1 x1 0 x 0 0 x 1 (u g ) 2 2 x1 (t0 ) x10 初始条件： x (t0 ) x2 (t0 ) x20 x0
第4章 最优控制与变分法
第4章 最优控制与变分法
动态最优化问题习惯上又称为最优控制问题，这类 问题就是在给定的条件下，寻求使给定的系统性能指标 取得极值的最优控制规律。在动态最优控制中，系统的 性能指标是以泛函（在数学上，称自变量是函数的函数 为泛函）的形式给出的（这是其与静态最优化问题的区 别），所以求解动态最优化问题就归结为求泛函极值问 题。解动态最优化问题通常采用变分法、最小（大）值 原理和动态规划等方法。本章主要讨论用经典变分法求 解一些简单的最优控制问题，对于较复杂的最优控制问 题需采用现代变分法（如最小值原理）来处理。
优化理论课件(变分法与最优控制理论)
优化理论课件（2）第二部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。
本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。
目录一、什么是动态优化？ (3)（一）动态优化问题的基本要素 (4)（二）泛函及其相关概念 (4)（三）可变终结点 (5)（四）横截条件 (7)（五）目标泛函 (7)二、变分法 (8)（一）基本问题：固定终结点问题 (8)（1）基本问题及其假定 (8)（2）一阶条件：欧拉方程 (8)（二）推广：多状态变量与高阶导数 (11)（1）多状态变量 (11)（2）高阶导数 (11)（三）可变端点问题 (12)（1）一般性横截条件 (12)（2）垂直终结线问题 (13)（3）水平终结线问题 (14)（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(14)（5）截断的垂直终结线问题 (14)（6）截断的水平终结线问题 (14)（7）多变量和高阶导数情形 (15)（四）二阶条件（充分条件） (15)（1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (15)（2）凹凸性充分条件 (16)（3）变分 (17)（五）无限期界问题 (18)（1）收敛性 (18)（2）横截条件 (19)（3）充分条件 (19)（六）带约束的优化问题 (19)（1）等式约束 (19)（2）不等式约束 (21)（3）积分约束（等周问题） (21)三、最优控制理论 (22)（一）最优控制理论导论 (22)（二）最大值原理及其横截条件 (23)（1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (23)（2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (26)（3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (29)（4）推广到多变量 (29)（三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (30)（1）最大值原理的经济学解释 (30)（2）现值的汉密尔顿函数 (32)（四）充分条件（二阶条件） (32)（1）曼加萨林定理 (32)（2）阿罗条件 (34)（五）无限期界问题 (35)（1）横截条件与反例 (35)（2）作为充分条件一部分的横截条件 (36)（六）有约束的最优控制问题 (36)（1）涉及控制变量的约束 (37)（2）状态空间约束 (43)四、拉姆齐模型 (47)（一）相关理论发展背景 (47)（二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (49)（三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (53)（1）稳定性与渐进稳定性 (53)（2）稳定性判别基本定理 (53)（2）平面动力系统的奇点 (54)一、什么是动态优化？例：一个企业将原料从初始状态A通过五道工序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应一个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最小化？从这个例子中可以看到：首先，动态强调的是时期之间的联系，而不仅仅是有时间的顺序；其次，这里也包含了Bellman方程的基本原理。
Optimal-03-01
(F d F 0) y dx y
37
最速降线问题
由于
d dx
(F
Fy&y&)
y&(Fy
Fy&y
y&
Fy&y&&y&)
0
(Fy y Fyy Fyy y(Fyy y Fyyy) 0)
所以
F Fy&y& C
上式中 C 为任意常数。
38
最速降线问题
39
最速降线问题
40
最速降线问题
41
最速降线问题
(0,0) X
(x1,y1) Y
确定一条连接定点A(0,0)和定点B(x1, y1)的曲线，使质点在 重力作用下从点A滑动到点B所需的时间最短。
35
最速降线问题
设物体在 t 时刻速度为 v
ds (dx)2 (dy)2 1 y&2
v
dx
dt
dt
dt
此外有：
mgy( x) 1 mv2 2
v 2gy(x)
x2
x2 x1
u
x2
则拉格朗日函数为:
L(x,u, ,t)
由欧拉方程得:
1 2
u2
1 ( x2
x1)
2
(u
x2 )
L d L 0 x dt x
L x1
d dt
L x1
1
0
L x2
d dt
L x2
1
2
0
L u
d dt
L u
u
2
0
47
例3-6
可解得 由状态约束方程
1 a 2 at b
37
最速降线问题
由于
d dx
(F
Fy&y&)
y&(Fy
Fy&y
y&
Fy&y&&y&)
0
(Fy y Fyy Fyy y(Fyy y Fyyy) 0)
所以
F Fy&y& C
上式中 C 为任意常数。
38
最速降线问题
39
最速降线问题
40
最速降线问题
41
最速降线问题
(0,0) X
(x1,y1) Y
确定一条连接定点A(0,0)和定点B(x1, y1)的曲线，使质点在 重力作用下从点A滑动到点B所需的时间最短。
35
最速降线问题
设物体在 t 时刻速度为 v
ds (dx)2 (dy)2 1 y&2
v
dx
dt
dt
dt
此外有：
mgy( x) 1 mv2 2
v 2gy(x)
x2
x2 x1
u
x2
则拉格朗日函数为:
L(x,u, ,t)
由欧拉方程得:
1 2
u2
1 ( x2
x1)
2
(u
x2 )
L d L 0 x dt x
L x1
d dt
L x1
1
0
L x2
d dt
L x2
1
2
0
L u
d dt
L u
u
2
0
47
例3-6
可解得 由状态约束方程
1 a 2 at b
变分法原理与技术 PPT
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利 曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向 数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自 然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂 的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水 珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是 悬链线（catenary）。
q
2. 离散系统 Jx2(i)2u2(i) i1
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ，
x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 间的弧长为：
解一个二阶常微分方程
d2y
dy
a 1 ( )2
dx2
y(0)
dx y0
y (0) 0
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
解此方程并适当选取参数，得
1 y (eax eax )
2a
即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努 利随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在 所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数 x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。
x
x(t)
x0(t)
o t1 图2－3 t2
t
一阶相近
当函数 x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导 数 x ( t ) 和 x 0 ( t ) 之差的绝对值，即
变分法与最优控制
t
一阶相近
当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一 阶导数 x(t ) 和 x0 (t ) 之差的绝对值，即
x(t ) x0 (t ) 和 x(t ) x0 (t )
x x(t) x0(t)
t1 t t2
都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的。
求解综合型（波尔扎）问题
2.2 无约束最优化问题
1、无约束固定端点泛函极值必要条件
问题 2-1 无约束固定终端泛函极值问题为:
其中, L[ x(t ), x(t ), t ] 及x(t)在[t0,tf]上连续可微， t0及tf 固定，x(t0)= x0，x(tf)= xf， x(t ) R n
求满足上式的极值轨线x*(t)。
边界条件
定理2－5 若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0和终端x(tf)= xf， 则泛函
J [ x(t )] L[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0 tf
达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程
欧拉(Euler)方程
d Lx L x 0 或 dt
泛函的变分 当宗量x(t)有变分时，泛函的增量可以表示为
J [ x(t )] J [ x(t ) x(t )] J [ x(t )] L[ x(t ),x(t )] r[ x(t ),x(t )]
线性 主部
其中，L[x(t)，x(t)]是关于x(t)的线性连续泛函；
虑各种阻力的影响，问应取怎样 的路径，才能使所经历的时间最 短？
结论:最速降线是一条圆滚线。
在A、B两点所在的竖直 平面内选择一坐标系， 如上图所示。 A 点为坐 标原点，水平线为 x 轴， 铅垂线为y轴。
北航最优控制ppt第三章
5、泛函的变分： 当自变量函数 X (t ) 有变分δX 时， 泛函的增量为
∆J = J [X + δX ] − J [X ]
= δJ [X ,δX ] + ε δX
这里， [X , δX ] 是 δX 的线性泛函，若 δX → 0 时， δJ 有ε → 0，则称δJ [X , δX ] 是泛函 J [X ] 的变分。 J 是 ∆J δ 的线性主部。
6、泛函的极值：若存在ε > 0 ，对满足的 X − X * < ε 一切X，J ( X ) − J ( X * ) 具有同一符号，则 称 J ( X ) 在 X = X *处有极值。
定理： ( X ) 在 X = X * 处有极值的必要条件是对 J
于所有容许的增量函数 δX （自变量的变分）， 泛函 J ( X ) 在 X * 处的变分为零
例3-1
求通过点（0，0）及（1，1）且使
& J = ∫ ( x 2 + x 2 )dt
0 1
x * (t )。 取极值的轨迹
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方 程为 d
2x − dt & (2 x) = 0
即
&& − x = 0 x
它的通解形式为
x (t ) = Acht + Bsht
现在，将上面对 x(t ) 是标量函数时所得到的公式推 广到 X (t )是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
& J = ∫ F ( X , X , t )dt
t0 tf
(3-9)
式中
x1 (t ) x (t ) X = 2 M xn (t )
& x1 (t ) x (t ) & & = 2 X M & x n (t )
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x
x(t)
x0(t)
o
t t 1
学习交流PPT 2
t
8
• 一阶相近
当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一 阶导数 x(t) 和 x0(t) 之差的绝对值，即
x(t)x0(t)和 x (t)x 0(t)
t1 t t2
x 都很小x(t，) 称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的。
其中，L[x(t)，x(t)]是关于x(t)的线性连续泛函；
r[x(t)，x(t)]是关于x(t)的高阶无穷小；
L[x(t)，x(t)]称为泛函的变分，记为
JL [x(t),x(t)]
也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。
当一个泛函具有变分时，称该泛函是可微的。
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15
6、泛函变分的求法
例如：
J[x(t) ]t2[t(x t)(st)ix (n t)d ] t t1
J[x(t) ]t2[p (t)x(t) q (t)x (t)d ] t t1
J[x(t) ]x(t)t2
都满足上述两个条件，故均为线性泛函。
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13
5、泛函的变分
• 宗量的变分
若函数x(t)是变量J的自变量函数，则称x(t)为泛函 J[x(t)]的宗量函数。
定理2－1 连续泛函J(x)的变分，等于泛
函
对α的导数在α=0 时的值. 即
求一般函数极值 求泛函极值
微分法 变分法
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7
2、泛函的连续性
• 函数相近(零阶相近)
当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值，即中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，
称函数x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。
宗量的变分是指在同一函数类中的两个宗量函数间的 差：
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14
泛函的变分
当宗量x(t)有变分时，泛函的增量可以表示为
J [ x ( t ) J ] [ x ( t ) x ( t ) J ] [ x ( t )]
线性
主部
L [ x ( t )x ( , t ) r ] [ x ( t )x ( , t )]
相近的。
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9
• 函数间距离
在在不不同同的的函函数数空空间间，，函函数数间间的的距距离离定定义义也也不不同同。。
在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体
构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：
零阶距离
d [ x ( t ) x 0 ( , t ) m a ] t b x ( t ) a x 0 ( t ) x
第二讲 变分法与 最优控制
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1
主要内容
2.1 变分法概述 2.2 无约束最优化问题
• 无约束固定端点泛函极值必要条件 • 无约束自由端点泛函极值必要条件
2.3 等式约束最优化问题 2.4 变分法求解最优控制问题
• 引入哈密顿函数求解拉格朗日问题 • 求解综合型（波尔扎）问题
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k阶距离
（2.2）
显然，式（2.1）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，而
式（2.1）定量地表示两个函学习数交流之PPT间的k阶相近度。
10
• 泛函的连续性
如果对于任意给定的正数，可以找到这样一个>0，
当
时，存在
d[x(t)，x0(t)]<
∣J[x(t)]－J[x0(t)] ∣ < 那么，就说泛函J在点x0(t)处是连续的。
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函 的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解 为“函数的函数”。
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4
【例2.1】
是一个泛函。
变量J的值是由函数x(t) 的选取而确定。
当
时, 有
。
当
时, 有
。
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5
【例2.2】曲线的弧长 x
B(x1,y1)
求：平面上连接给定两点A(x0，y0)
和B(x1，y1)的曲线的弧长 J。
o
A(x0,y0)
y=f(x)
t
A、B两点间的曲线方程为：y=f(x)
A、B两点间的弧长为：
J
x1
1
dy2
dx
x0 dx
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6
泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛 函的情况，例如：
1
J0[x(t)y(t)d] t
J[x(t) ] tf L[x(t)x ,(t)t,]dt t0
x0(t)
注意：一阶相近的两个函数，必然
是零阶相近，反之不成立。
o t1
t2
t
K阶相近
当 x ( t ) x 0 ( t ) ,x ( t ) x 0 ( t ) , x ( k ) ( t ) x 0 ( k ) ( t )
t1 t t2 都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k阶
（2.1）
在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的
k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个 函数间的距离定义为：
d [ x ( t ) x 0 ( t ) , m a t b ] x ( t ) x 0 ( t ) , x ( t a ) x 0 ( t ) , x , x ( k ) ( t ) x 0 ( k ) ( t )
根据所采用的函数之间距离定义的不同，对应的 泛函分别称为零阶连续泛函(2.1)或k阶连续泛函(2.2)。
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11
3、泛函的极值
• 如果 J[x0(t)] 近度的曲线
强极值。
是在与 x0 (t) 仅仅具有零阶接 的x泛(t )函中比较得出的极值，称为
• 如果 接近度的J[曲x0 (线t)] 为弱极值。
是在与
具有一阶或一阶以上
的泛函中比x0 (较t) 得出的极值，则称
x(t)
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12
4、线性泛函
连续泛函如果满足下列条件：
（1）叠加原理 ： J[x1(t)+ x2(t)]= J[x1(t)]+ J[x2(t)] （2） 齐次性： J[cx(t)]=c J[x(t)]
其中，c是任意常数，就称为线性泛函。
2
2.1 变分法概述
1、泛函定义 2、泛函的连续性 3、泛函的极值 4、线性泛函 5、泛函的变分 6、泛函变分的求法 7、泛函变分的规则 8、泛函极值的条件
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3
2.1 变分法概述
1、泛函定义
• 定义： 如果变量y对于某一函数类中的每一个函数x(t)， 都有一个确定的值与之对应，那么就称变量y为依 赖于函数x(t)的泛函，记为：y=J [x(t)]。