第一章小结 矩阵
大一线性代数矩阵知识点总结
大一线性代数矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它是一种方便表示和处理线性变换的数学工具。
在大一线性代数课程中，我们将学习矩阵的相关知识，本文将对一些重要的矩阵知识点进行总结。
1. 矩阵的定义和表示方式- 矩阵是由m行n列元素排列成的矩形阵列，用大写字母表示，如A、B等。
- 矩阵可以用方括号表示，如A=[a_ij]，其中a_ij代表矩阵A 的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算- 矩阵的加法：对应元素相加。
- 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以相同的数。
- 矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行乘法运算，结果的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
3. 矩阵的特殊类型- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
- 方阵：行数等于列数的矩阵。
- 单位矩阵：主对角线元素为1，其它元素为0的方阵，用I 表示。
4. 矩阵的转置- 矩阵的转置就是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵，用A^T表示。
5. 矩阵的行列式- 行列式是一个标量，表示一个方阵所围成的平行四边形的有向面积。
- 行列式常用符号为|A|或det(A)，其中A为方阵。
6. 逆矩阵- 对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
- A的逆矩阵记为A^{-1}。
7. 矩阵的特征值和特征向量- 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
8. 矩阵的特征分解- 对于一个可对角化的矩阵A，存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDP^{-1}，其中D为对角矩阵，P为特征向量矩阵。
9. 矩阵的秩- 矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，用rank(A)表示。
10. 线性方程组与矩阵- 线性方程组可以用矩阵的形式表示，例如AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
以上是大一线性代数矩阵知识点的简单总结。
矩阵在线性代数中起着重要的作用，它不仅可以用于表示线性变换，还可以用于解决线性方程组和求解特征值等问题。
矩阵分析第一章
类似地, 还可定义多个集
注 1.1.3 (表示映射的带尾与不带尾的箭头的区别) 从集合 S 到集合 S 的映射 f 这一事实用不带尾的箭头表示, 即 f :S →S ; 而映射 f 把集合 S 中的元素 a ∈ S 映为集合 S 中的元素 b ∈ S 这一事实, 用带尾的箭头表示, 即 f :a ab. 这种记号约定在数学文献中已很普遍. 另外, 要习惯于将运算视为映射的观点. 例如, 整数集合 Z 上的加法运算+就决定了如下映射
[α1
α2
理解; 右边的 0 为线性空间 V 中的零元素. 另一方面, V 中的向量组 α ,α ,K,α 线性无关, 就是以该向量组拼成的抽象矩阵为系数矩阵的抽象齐次 线性方程组
n n n n n
几何空间中的有向线段} = { AB : A, B两点都取遍几何空间} ,
这里第二个加号“+”按例 1.1.1 中的(1.1.2)式来理解; 给定 f ∈ F ( I , R ) ,
n
f + g : t a f (t ) + g (t ) , f ⋅ k : t a f (t ) ⋅ k ,
n n 1 2 p 1 2 p
称为向量组 α ,α ,K,α 拼成的抽象矩阵.
1 2 p
[α1
α2 L α p ]
定义 1.1.3 (向量组的线性相关性) 设 V 是 F 上的线性空间, α ,α ,K,α 是V 中的一个向量组. (1) 向量组 α , α ,K, α 称为线性相关的, 如果存在不全为零的 p 个数 k ∈ F ,
2
或写成列
( s1 , s2 ) ≠ ( s2 , s1 ) .
依赖于约定, 或有时只是为了节省书写篇幅. 这里应注意顺序: 合的积. 特别地, 我们有
线性代数 第一章、矩阵
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
线性代数第一章 矩阵
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念
例2. 四个城市间的单向航线如图所示.
1
4
甲 220 185 200
乙 105 120 110
第二次
两次累计:
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 420
乙
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
§1.2 矩阵的基本运算
一. 矩阵的线性运算
1. 加法
例3.
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
第一次
产品
发到各商场的数量
例如A =
1 0
1 0
,B=
1 1
0 0
,
AB =
2 0
0 0
,
A2 =
1 0
1 0
= A, B2 =1 10ຫໍສະໝຸດ 0=B,(AB)2 =
4 0
0 0
,
A2B2 = AB =
2 0
0 0
,
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
例:
1 设A = BC, 其中B = 2 , C = [1 2 3],
2
3
若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为
a11 a12 a13 a14
01 1 1
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
第一章线性代数
2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
矩阵分析 第一章
矩阵的代数性质1.矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。
学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：a ij =a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为： Ax=∇f(x), 其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x 处的梯度。
3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。
反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。
图像压缩就是矩阵的表示问题.这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。
4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。
很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。
第一章：线性空间和线性变换1. 线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。
集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。
整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。
集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设S ，S'为集合映射：为一个规则σ：S → S', 使得S 中元素a 和S'中元素对应，记为 a'=σ(a),或σ：a →a'. 映射最本质的特征在于对于S 中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。
映射的原象，象；映射的复合。
第一章 矩阵
阳光普照
定义3 规定数 与矩阵 A [ai j ]mn 的乘积 A 为
A A [ai j ]m n .
显然
0 A O, 1 A A. A (1) A [ai j ]m n 称为矩阵A的负矩阵。
数乘满足运算律：
1 A A; 2 A A A;
二、矩阵的乘法运算
显然可考虑定义矩阵的乘法和除法为：
A B [ai j bi j ]mn
和
A B [ai j bi j ]mn ,
这是个著名的病态矩阵，称为Hilbert矩阵。
例 4 （图的邻接矩阵） 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干 航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果 从A到B有航班,则用箭头从 A指向 B.
到达城市
A
出 发 城 市
B
C
D
A
B
C
A B C D
D
我们先用表格来表示航班图（见前页） 。表格中
太繁琐了，得换个思路！！
注意到二元一次方程组的解完全由未知数系数
a11、a12、a21、a22
及常数项 b1、b2 所确定。
三元一次方程组的解完全由未知数系数
a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33
及常数项 b1、b2、b3 所确定。
一般地，归纳可知，n元的线性方程组
将上式回代入
(1)
中，并整理，可得
b1a22 b2a12 x1 a11a22 a12a21
对于三元一次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
矩阵分析知识点总结
矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。
矩阵可以用大写字母表示。
1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。
- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。
行和列的个数分别称为行数和列数。
1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。
- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。
1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。
- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。
1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。
- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。
其秩等于不为零的行数。
- 同样列最简形矩阵都是列等价的。
其秩等于不为零的列数。
- 行秩等于列秩。
1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。
非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。
- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。
- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。
1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。
第一章 矩阵
⎛ 250 500 190 10 ⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 300 500 300 410 ⎟ ⎜ 600 310 110 400 ⎟ ⎝ ⎠
表示，其中矩阵 C 的第 i 行第 j 列（ i =1，2，3； j =1，2，3，4）元素恰好是矩阵 A 与 B 的 第 i 行第 j 列元素之和． 定义 2 设有两个 m × n 矩阵 A = (aij ) 与 B = (bij ) ，那么 m × n 矩阵
a12 a 22 # am2
a1n ⎞ ⎟ " a 2n ⎟ " # ⎟ ⎟ " a mn ⎟ ⎠ "
(1.1)
称为一个 m 行 n 列矩阵，简称 m × n 矩阵．这 m × n 个数称为矩阵 A 的元素，其中 aij 表示 矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素． 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵． 本书中的矩阵都指实矩 阵． （1.1）式可以简记为
设矩阵 A = (aij ) ，记 − A = ( −aij ) ，那么 − A 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有
A + (− A) = (− A) + A = 0 ．
从而规定矩阵的减法为
A − B = A + (− B) ．
如果三个门市部销售四种计算机（单位：台）在第一月内的销售情况矩阵为
⎛ 150 200 100 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 170 300 50 210 ⎟ ， ⎜ 320 160 10 230 ⎟ ⎝ ⎠
第一章 矩 阵
矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学、物理学，工程技术以及社会科学等领 域都有广泛的应用．本章主要介绍矩阵及其应用．
§1
矩阵的概念
主要知识点：矩阵的定义；矩阵的例子（线性方程组的系数矩阵及增广矩阵） ；矩阵相
线性代数第一章、矩阵PPT课件
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
矩阵知识点总结
矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它在许多科学领域中都有广泛的应用，如物理、工程、计算机科学等。
了解和掌握矩阵的相关知识对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将对矩阵的基本定义、运算、特殊类型以及其在实际应用中的应用进行总结。
矩阵是由数值排列而成的矩形阵列，其中包含了行和列。
一般可以表示为一个大写字母，如A、B等。
矩阵的大小由它的行数和列数确定，例如一个m行n列的矩阵被称为一个m x n矩阵。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法和求逆。
矩阵的加法和减法是按照相应位置上的元素进行相加或相减的运算。
矩阵的乘法是将一个矩阵的每个元素与另一个矩阵对应位置上的元素相乘并相加得到一个新的矩阵。
矩阵的逆是指存在一个矩阵B，使得矩阵A与B相乘得到单位矩阵。
矩阵的运算具有一些基本的性质，如结合律、交换律和分配律等。
矩阵还具有一些特殊的类型，如方阵、对称矩阵、上三角矩阵和单位矩阵等。
方阵是行数等于列数的矩阵。
对称矩阵是其转置矩阵等于它本身的矩阵。
上三角矩阵是除了主对角线以下的元素都为零的矩阵。
单位矩阵是一个对角线上的元素都为1，其他元素都为零的方阵。
不同的特殊类型的矩阵在实际问题中具有不同的应用。
矩阵在实际应用中有广泛的应用。
在线性方程组的求解中，矩阵可以表示为系数矩阵和常数矩阵，通过矩阵的运算可以求解未知数的值。
在图像处理中，矩阵可以表示为像素的强度值，通过对矩阵的操作可以实现图像的增强和滤波等效果。
在机器学习和人工智能中，矩阵可以表示为特征矩阵和权重矩阵，通过矩阵的乘法运算可以实现分类和预测等任务。
总之，矩阵是线性代数中的重要概念，在实际问题的求解中具有广泛的应用。
了解和掌握矩阵的相关知识对于理解和解决实际问题具有重要意义。
通过学习矩阵的定义、运算、特殊类型以及其在实际应用中的应用，可以提高我们的数学能力和问题解决能力。
希望本文对读者对矩阵的理解和应用提供了一些参考和帮助。
线性代数第一章总结
线性代数第一章总结线性代数作为一门重要的数学学科，是研究向量空间及其变换性质的数学理论。
通过线性代数的学习，我们可以更好地理解和描述现实世界中的各种现象和问题。
本文将对线性代数第一章的主要内容进行总结和归纳。
1. 向量和向量空间向量是线性代数的基本概念之一，它可以用来表示空间中的点或物体。
在向量空间中，向量具有平移、缩放和加法等运算性质。
向量空间是由一组满足加法和数乘运算定义的向量组成的结构，可以用来描述和求解各种线性方程组的性质和解。
2. 矩阵和矩阵运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是一个二维数组，具有行和列的特性。
矩阵可以通过线性变换来描述空间中的映射关系。
矩阵可以进行加法和数乘运算，还可以通过矩阵乘法来描述线性变换的复合。
3. 线性方程组和矩阵方程线性方程组是线性代数的一个经典问题，它可以通过矩阵方程的形式来表示。
利用矩阵的性质和运算，可以求解线性方程组的解，并进一步研究其解的特性和性质。
矩阵方程的求解通过矩阵的逆、转置、秩和特征值等方法进行。
4. 特征值和特征向量特征值和特征向量是描述线性变换性质的重要指标。
特征值表示线性变换中不变的方向，而特征向量表示该方向的具体向量。
通过求解特征值和特征向量，可以得到线性变换的不变轴和其对应的缩放比例。
特征值和特征向量在机器学习中有着广泛的应用。
5. 行列式和矩阵的逆行列式是矩阵的一个特殊的数值，它可以用来描述线性变换的伸缩性质。
行列式的值非零表示线性变换具有可逆性，可以求解矩阵的逆。
矩阵的逆在求解线性方程组和求解特征值特征向量等问题中起着重要的作用。
通过对线性代数第一章的学习，我们了解了向量和向量空间的基本概念，矩阵及其运算的性质，线性方程组的求解方法，特征值和特征向量的应用，以及行列式和矩阵逆的概念和作用。
这些知识为我们后续学习和应用线性代数打下了坚实的基础。
线性代数作为数学的一支，不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中有着广泛的应用。
它被广泛应用于物理学、经济学、计算机科学、工程学等领域，为实际问题的建模、求解和分析提供了有效的数学工具。
线性代数知识点汇总
第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A TT =)(T T T B A B A +=+)(TT kA kA =)(TT T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且AA =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且TT A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素 初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
高一数学必修一 - 矩阵知识点总结
高一数学必修一 - 矩阵知识点总结
1. 矩阵的定义
矩阵是由数个数按一定规律排列成的矩形阵列。
一般用大写字
母表示矩阵，如A、B等。
2. 矩阵的基本运算
2.1 矩阵的加法
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数相等，对应位置上的元
素相加。
2.2 矩阵的数乘
即将矩阵的每个元素都乘以一个数。
2.3 矩阵的乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
3. 矩阵的转置
将矩阵的行变为列，列变为行，得到的新矩阵称为原矩阵的转
置矩阵。
4. 矩阵的特殊类型
4.1 零矩阵
所有元素都为0的矩阵。
4.2 单位矩阵
对角线上元素都为1，其余元素为0的矩阵。
4.3 对称矩阵
矩阵A的转置矩阵等于矩阵A本身。
4.4 三角矩阵
上三角矩阵或下三角矩阵，除了对角线上及其以下或以上的元素外，其余元素都为0。
5. 矩阵的逆
如果一个矩阵A与另一个矩阵B相乘等于单位矩阵，那么矩阵A就称为可逆矩阵，B称为其逆矩阵。
6. 矩阵的应用
矩阵在线性代数、几何学、计算机科学等领域有广泛应用，常用于表示线性方程组、图像处理、网络分析等问题。
以上是高一数学必修一中关于矩阵的知识点总结。
参考资料：。
大一高数矩阵知识点总结
大一高数矩阵知识点总结在大一的高等数学课程中，矩阵是一个重要的数学概念。
掌握了矩阵的相关知识，不仅可以帮助我们解决线性代数中的问题，还可以应用于其他学科领域。
下面是我对大一高数矩阵知识点的总结：一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照矩形排列的数表，其中的数称为元素。
2. 矩阵的阶：矩阵的行数和列数称为矩阵的阶。
一个m行n列的矩阵表示为m×n的矩阵。
3. 矩阵的转置：将矩阵的行和列对调得到的新矩阵。
若A为一个m×n的矩阵，其转置记作A^T。
4. 矩阵的相等：两个矩阵的对应元素相等，则称两个矩阵相等。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：若A和B为两个同阶矩阵（m×n），则它们的和C为一个与A、B同阶的矩阵，C的第(i,j)个元素等于A的第(i,j)个元素与B的第(i,j)个元素之和。
2. 矩阵的数乘：若A为一个m×n的矩阵，k为一个实数或复数，则kA为一个与A同阶的矩阵，kA的第(i,j)个元素等于k与A的第(i,j)个元素的积。
3. 矩阵的乘法：若A为一个m×n的矩阵，B为一个n×p的矩阵，则它们的积C为一个m×p的矩阵，C的第(i,j)个元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。
4. 矩阵的幂：若A为一个n×n的矩阵，k为一个正整数，则A的k次幂为将A乘以自身k-1次。
三、矩阵的性质1. 矩阵的加法交换律：A+B = B+A2. 矩阵的加法结合律：(A+B)+C = A+(B+C)3. 矩阵的数乘分配律：k(A+B) = kA + kB4. 矩阵的乘法结合律：(AB)C = A(BC)5. 矩阵的乘法分配律：A(B+C) = AB + AC四、矩阵的逆1. 可逆矩阵：设A是一个n×n的矩阵，若存在一个n×n的矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是n阶单位矩阵，A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
大一数学知识点归纳矩阵
大一数学知识点归纳矩阵矩阵是大一数学中一个非常重要的知识点，它是线性代数的基础，对于很多高等数学的学习都有着至关重要的作用。
矩阵可以用来表示线性方程组、线性映射等，具有广泛的应用价值。
本文将对大一数学中与矩阵相关的知识点进行归纳总结，帮助大家更好地理解和掌握矩阵的概念与应用。
一、矩阵的定义和基本概念1. 矩阵的定义：矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
2. 矩阵的元素：一个矩阵中的每个数称为该矩阵的一个元素。
3. 矩阵的行与列：矩阵中的每一横行称为矩阵的一行，每一竖列称为矩阵的一列。
4. 矩阵的维数：一个矩阵的行数和列数称为该矩阵的维数。
5. 方阵：维数相等的矩阵称为方阵。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：两个维数相同的矩阵，对应元素相加得到的新矩阵。
2. 矩阵的数乘：一个矩阵中的每个元素都乘以一个数得到的新矩阵。
3. 矩阵的乘法：两个矩阵相乘得到的新矩阵，乘法满足结合律但不满足交换律。
4. 矩阵的转置：将一个矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
5. 矩阵的逆：对于一个可逆矩阵，存在一个矩阵使得两者相乘等于单位矩阵。
三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵：所有元素都为零的矩阵。
2. 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其它元素为0的矩阵。
3. 对称矩阵：转置后与原矩阵相等的矩阵。
4. 上三角矩阵：主对角线及以上元素都为非零，其它元素为零的矩阵。
5. 线性相关与线性无关：矩阵中的向量组线性相关或线性无关。
四、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：利用矩阵可以将线性方程组表示为矩阵方程，通过求解矩阵方程可以得到线性方程组的解。
2. 线性映射：利用矩阵可以表示线性映射，通过矩阵运算可以对向量进行操作。
3. 向量空间：矩阵代表了向量空间中的线性变换，通过矩阵相乘可以实现向量的变换。
4. 网络中的应用：矩阵可以用来表示网络结构，利用矩阵运算可以分析网络的特性和性质。
总结：通过对大一数学中与矩阵相关的知识点进行归纳总结，我们了解到矩阵的定义和基本概念，矩阵的运算，矩阵的特殊类型以及矩阵在数学和实际应用中的重要性。
数学必修四第一章知识点总结
数学必修四第一章知识点总结第一章矩阵与行列式1.矩阵的定义：矩阵是由m∙n个数按照m行n列排列起来的一个数表。
2.矩阵的运算：(1)矩阵的加法：对应位置上的元素进行相加。
(2)矩阵的乘法：满足矩阵乘法规则的两个矩阵相乘，结果矩阵的元素等于第一个矩阵的相应行和第二个矩阵的相应列元素的乘积之和。
(3)数字与矩阵的乘法：数乘矩阵中的每一个元素。
3.矩阵的性质：(1)矩阵的加法满足交换律和结合律。
(2)矩阵的数乘满足结合律和分配律。
4.单位矩阵：n阶单位矩阵是一个n∙n的矩阵，主对角线上元素为1，其他元素为0。
5.方阵和对角阵：(1)方阵是行数和列数相等的矩阵。
(2)主对角线外的元素全为零的方阵是对角阵。
6.转置矩阵：矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
7.矩阵的乘积：(1)若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则可以计算矩阵A与矩阵B 的乘积，得到一个新的矩阵C，其中矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
(2)矩阵乘积的运算性质：结合律，分配律，但一般不满足交换律。
8.克拉默法则：若n元线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，则n元线性方程组有唯一解，且解可以用各个未知量的系数作为分子和系数矩阵的行列式作为通分式的分母来表示。
9.行列式的定义：(1)一阶行列式：行列式的元素就是该元素本身。
(2)二阶行列式：行列式元素按主对角线方向相乘，再减去次对角线方向的元素相乘。
(3)三阶行列式：每个元素与与其所在行行标和列标分别相同、不相同的元素构成的二阶行列式之差相乘，最后再按正负号相加。
(4)多阶行列式：利用拉普拉斯定理进行计算。
10.行列式的性质：(1)行列式的转置等于行列式本身。
(2)若行列式有两行或两列完全相同，则行列式的值等于零。
(3)互换行列式的两行（两列），行列式值不变。
(4)行列式的其中一行（列）的元素都乘以一个数k，等于用数k乘以此行列式的值。
(5)行列式中有两行（两列）元素对应成比例，则行列式的值等于零。
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例5(98年三、四)
(2 I A* )BA 8 I A 2 0 A1存在
两边左乘 A，右乘 A1，得 * 1 1 A(2 I A )BAA A8 IA (2 A A I )B 8 I (2 A 2 I )B 8 I
B 4( A I )1
1、定义 2、性质（七条性质、三个推论） 3、计算
四、矩阵的应用
第一章 典型习题
一、基础题 二、提高题 三、抢答题 四、自学题
一、基础题
1 1 求行列式 1 x1 1 1 x2 1 1 1 1
1 xn
2 设方阵A满足 A A 2 A I 0 证明A及I A均可逆，并求其逆阵。
T T T
5、方阵的逆阵
1）定义 2）性质
1 1 ( kA) A ; ( A ) A; k T 1 1 T ( AB ) 1 B 1 A1 . (A ) (A ) ;
1 1
1
3）计算
A
1
1 * A A
3）分块对角阵及性质
6、分块矩阵
1）定义 2）运算
三、方阵的行列式
求 B 2012 2 A2 .
2 0 2 2 设 AB 2 A B， B 0 4 0 , 求( A I )1 . 2 0 2
三、抢答题
1. A+B和AB都有意义的充要条件是: A和B 是( ) (A)任意矩阵 (B)任意方阵 (C)同型矩阵 (D)同阶方阵
B 4( A I )1
2 0 0 4 0 1 0 0 0 2
1
1 0 2 4 0 1 0 0
0 0 1 2
3 2
3 已知行列式
3 2 3 1 4
4 2 1 1 3
5 2 2 1 1
5 1 4 2 5
6 1 5 27 2 0
求 A41 A42 A43 和 A44 A45 .
二、提高题
0 1 0 1 1 设 A 1 0 0 , B P AP , 0 0 1
2 设A ,B, C都是 n 阶方阵,且 ABC=I, 则 下列等式正确的是: ( ) (A)BCA=O (B)CBA=I (C)CAB=I (D)ACB=I来自四、自学提高题
辅导书 P8 例11
P11 例14
1 0 0 * A 0 2 0 , 求 B . 设 A BA 2BA 8 I， 0 0 1 解：根据AA* A* A A I A* BA 2 BA 8 I
第一章小结矩阵
一、矩阵的概念
1、定义 2、几种特殊的矩阵 3、矩阵的相等
二、矩阵的运算
1、矩阵的线性运算 2、乘法 3、方阵的幂
4、矩阵的转置
(1) ( AT )T A; ( 2) ( A B ) A B ;
T T T
(3) (A)T AT , 是一个数； （4） （AB ) B A .