高中数学4.5.3利用坐标计算数量积同步练习湘教版2
利用坐标计算数量积
利用坐标计算数量积
各位评委老师，你们好 !
我是8号考生，今天我说课的题目是《利用坐标计算数量积》，下面我将从教材分析、教法与学法分析、教学过程与教学评价四方面对本节课的设计与理解进行说明。
(第一部分) 教材分析
教材分析主要体现在以下三方面：
1、教材的地位与作用
本节课是湘教版《数学》必修第四章第5.3节的内容，它是在前面学习了两向量数量积计算的基础上学习的，同时为后面学习向量的综合应用奠定了知识基础，所以本节课在教材中起到承上启下的作用。
在高考中，向量知识是必考的内容，特别是数量积计算的应用，往往与三角形问题，圆锥曲线问题相结合，在大题中出现，因此利用坐标计算数量积作为研究向量的基础就显得十分重要。
2、教学目标
根据本节的内容特点、课标要求以及学生的实际水平，我将本节课的教学目标定位为：
(1)知识目标：理解并掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，并会利用两向
量垂直的条件求解
(2)能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的自学能力，
为学生可持续发展打下基础。
(3)情感目标：通过以利用坐标计算数量积的学习，
激发学生的学习兴趣；
培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；
养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点与难点
根据已确定的教学目标，我把本节课的教学重点定为:
教学重点：掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，两向量垂直条件的应用；教学难点：利用坐标计算数量积，求模，求夹角公式的推导，两向量垂直条件的推导以及应用；
(第二部分) 教法与学法分析
1.教法分析
基于本节课的内容特点，我主要采用以下几种教学方法：
湘教版高中数学必修2：利用坐标计算数量积
跟踪演练2 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2， 其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)． (1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值．
解 (1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， |a＋b|＝ 4＋12＋3－12＝ 25＋4＝ 29. (2)由a·b＝|a||b|cos θ，
解 (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)， 2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)， a·(b·c) ＝ a[(2,5)·(2,1)] ＝ (1,3)·(2×2 ＋ 5×1) ＝ 9(1,3)＝(9,27)．
∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.① 又∵AD⊥BC， ∴A→D·B→C＝0， 即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0. 即2x＋y－3＝0.② 由①②可得xy＝＝11，， ∴|A→D|＝ 1－22＋1＋12＝ 5， 即|A→D|＝ 5，点D的坐标为(1,1)．
2019年数学新同步湘教版必修2第4章 4.5.2 利用数量积计算长度和角度
4．5.2 利用数量积计算长度和角度
1．长度公式 |a |＝a ·a . 2．夹角余弦公式 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a ·b
a 2·
b 2
. 3．垂直条件 a ·b ＝0⇔a ⊥b .
已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π
6 B ．π4
C.π3
D ．π2
[提示] 设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，∴θ＝π
3
.
[例1] 已知向量a (1)|a ＋b |； (2)|3a －4b |； (3)|(a ＋b )·(a －2b )|.
[边听边记] 由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.
(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋2×(－4)＋4＝12， ∴|a ＋b |＝2 3.
(2)∵|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a －4b |＝419.
(3)∵(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2
＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a ＋b )·(a －2b )|＝12.
1．已知向量a ，b 满足：a 2＝9，a ·b ＝－12，求|b |的取值范围． 解：∵|a |2＝a 2＝9，∴|a |＝3. 又a ·b ＝－12，∴|a ·b |＝12. ∵|a ·b |≤|a ||b |， ∴12≤3|b |，∴|b |≥4.
高中数学上学期同步测试第3单元 湘教版选修21高二
A
B
1 图
2010—2011学年度上学期单元测试
高二数学试题【湘教版】选修2-1第3单元
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。
1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，
若=，=，=.则下列向量中与相
等的向量是（）
A．B．
C．D．
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是）A．B．
C．D．
3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°
4．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是
（）
A．B．
C．D．
5．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．B．
C．D．
6．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和
之间的距离（）
A．B． C ．D．
7．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧
棱的中点。点到平面的距离（）
A．B．
C ． D．
8．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离（
A．B． C ．D．
9．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC
ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值
A．B．C．D．
10．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD 上的射影是的重心G。则与平面ABD所成角的余弦值
湘教版高中数学选修二目录
湘教版高中数学选修二目录第1章平面向量及其应用
1.1向量
1.2向量的加法
1.3向量的数乘
1.4向量的分解与坐标表示
1.5向量的数量积
1.6解三角形
1.7平面向量的应用举例
小结与复习
复习题
第2章三角恒等变换
2.1两角和与差的三角函数
2.2二倍角的三角函数
2.3简单的三角恒等变换
复习题二
第3章复数
3.1复数的概念
3.2复数的四则运算
3.3复数的几何表示
3.4复数的三角表示
数学文化数系扩充简史
复习题三
第4章立体几何初步
1.1空间的几何体
1.2平面
1.3直线与直线、直线与平面的位置关系
1.4平面与平面的位置关系
数学实验正四棱锥的截面
1.5几种简单几何体的表面积和体积
数学文化几何学的产生和发展
小结与复习
复习题四
第5章概率
5.1随机事件与样本空间
5.2概率及运算
5.3用频率估计概率
数学实验用计算机模拟掷质地均匀的硬币试验5.4随机事件的独立性
数学文化概率论发展简史
复习题五
第6章数学建模
6.1走进异彩纷呈的数学建模世界
6.2数学建模——从自然走向理性之路6.3数学建模案例(一):最佳视角
6.4数学建模案例(二):曼哈顿距离6.5数学建模案例(三):人数估计
高中数学课时作业(湘教版必修第二册)课时作业(七)
课时作业(七) 数量积的定义及计算
[练基础]
1．已知|a |＝9，|b |＝62 ，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( )
A ．45°
B ．135°
C ．120°
D ．150°
2．如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB → ·BC → ＝( )
A ．－32
B ．32
C ．－32
D ．32
3．若|a |＝4，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 上的投影向量为( )
A ．－34 b
B ．－12
b C ．12 b D ．－14
b 4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )
A ．23
B ．33
C ．43
D ．53
5．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，k a －b 与b 垂直，则k 的值为( )
A ．2
B ．32
C ．22
D ．12
6．(多选)下列关于数量积的运算正确的是( )
A ．|a ·b |＝|a |·|b |
B ．|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2
C ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )
D ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c
7．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角是60°，则(e 1－e 2)·e 1＝________．
8．在菱形ABCD 中(AB → ＋AD → )·(AB → －AD → )＝________．
9．已知|a |＝2，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°.
(1)计算a ·(a ＋b )的值；
(2)若a ·(a －k b )＝0，求实数k 的值．
高中教育数学必修第二册湘教版《专项培优① 章末复习课》教学课件
算素养．
例5 在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，
c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的
值；若不存在，说明理由．
跟踪训练3 (1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a
5，BC＝3BD，则AD·BC＝(
)
2
2
A．1
B．
C．3
D．－
3
3
答案：D
解析：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，满足AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC，
∵BC＝3BD，
1
1
1
3
∴AD·BC＝(AB + BD)·BC＝ AB + 3 BC ·BC＝AB·BC + 3 BC 2 ＝|AB|·|BC|·cos (π－B)＋3|BC|2＝3×5× − 5 +
整理得：a·b＝0，而a·b＝－2(λ＋1)＋4＝0，
解得：λ＝1.
角度3 求向量的夹角
求向量a，b的夹角θ的步骤：①求|a|，|b|，a·b；②cos θ＝
·
(夹角
余弦公式)；③结合θ的范围[0，π]求出θ.因此求向量的夹角应先求向量
湘教版数学选修2-1高二上学期同步测试选修
图
图
图
10-11学年高二上学期同步测试数学：选修
2-1第3单元（湘教版）
选修2-1第3单元
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。
1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，
若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相 等的向量是
（ ）
A ．c b a ++-
21
21 B ．
c b a ++21
21 C ．c b a +-2
1
21
D ．c b a +--2
1
21
2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是
（ ）
A ．OC O
B OA OM --=2 B ．O
C OB OA OM 21
3151++=
C ．
c b a +-2
1
21
D ．c b a +--2
1
21
3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．105°
D ．75°
4．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝
4
1
1B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是
（ ）
A ．
1715
B ．
2
1 C ．17
8 D ．
2
3
5．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若
湘教版高中数学必修二 利用数量积计算长度和角度导学案
4.5.2 利用数量积计算长度和角度
学习目标
重点难点
1．记住向量模的计算公式，并应用这一公式求向量的模；
2．记住向量的夹角余弦公式，并能应用公式求两个向量的夹角； 3．记住两个向量垂直的条件；
4．记住向量的乘法公式，并能应用； 5．知道什么是余弦定理.
重点：学会用向量的模、夹角余弦公
式、乘法公式求向量的模、夹角等； 难点：模与夹角的综合问题；
疑点：向量数量积与实数乘法运算的区别与联系
.
1．长度公式
利用数量积计算向量的模(即长度)的公式：|a |＝a ·a (长度公式)．记a 2＝a ·a ，则a 2
＝|a |2，长度公式成为|a |＝a 2
.
2．夹角余弦公式
夹角余弦公式：对于任意两个非零向量a ，b ，有：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a ·b
a 2·
b 2.
3．向量垂直条件
对任意两个向量a ，b (不论它们是否为零)，都有a ·b ＝0⇔a ⊥b . 4．向量乘法公式
(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
；
(2)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2
；
(3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2
. 5．余弦定理
余弦定理：已知两边CA ，CB 的长度及夹角C 的大小，可以求出第三边AB 的长度|AB |＝|CA |2＋|CB |2
－2|CA ||CB |cos C .已知三边长可以求出任意一个内角的余弦，从而求出这个内
角cos C ＝|CA |2＋|CB |2－|AB |
2
2|CA ||CB |
.
预习交流
根据余弦定理怎样推导勾股定理？
湘教版高中数学必修二重点教案第课时小结与复习(1)
向量小结与复习（2）
教学目的：
1熟悉向量的性质及运算律； 2能根据向量性质特点构造向量； 3熟练平面几何性质在解题中应用；4熟练向量求解的坐标化思路 5
认识事物之间的内在联系；
6
认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识 教学重点：
向量的坐标表示的应用；构造向量法的应用 教学难点：构造向量法的适用题型特点的把握 授课类型：复习课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法:
启发引导式
针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对
于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识
对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力教学过程：
一、讲解范例：
例1
利用向量知识证明下列各式 (1)x 2＋y 2≥2
xy
(2)｜x ｜2＋｜y ｜2≥2x ·y
分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向
量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系
(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证 证明：(1)设a ＝（x ，y ），b ＝（y ，x ）则a ·b ＝xy ＋yx ＝2
xy
｜a ｜·｜b ｜＝222222y x y x y x +=+⋅+ 又a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜cos θ(其中θ为a ，b 夹角
)
≤｜a ｜·｜b
｜ ∴x 2＋y 2≥2xy
(2)设x ，y 的夹角为θ，
2020最新湘教版高一数学必修第二册全册教学课件
0002页 0004页 0006页 0008页 0010页 0012页 0014页 0016页 0018页 0020页 0068页 0070页 0072页 0074页 0076页 0078页 0080页
第3章 三角函数 3.1 弧度制与任意角 3.1.2 弧度制 3.2 任意角的三角函数 3.2.2 同角三角函数之间的关系 3.3 三角函数的图像与性质 3.3.2 正切函数的图像与性质 3.4.1 三角函数的周期性 3.4.3 应用举例 阅读与思考 小结与复习 第4章 向 量 4.1 什么是向量 4.3 向量与实数相乘 4.5 向量的数量积 4.5.2 利用数量积计算长度和角度 4.6 向量的应用
第3章 三角函数
2020最新湘教版高一数学必修第二 册全册教学课件
4.5.3利用坐标计算数量积
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
C(-2,5) y B(2,3)
A(1,2) 0x
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
证 : 明 A B (2 1 ,3 2 ) (1 ,1 )
2
b
2
2
a b 13207
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
C(-2,5) y B(2,3)
A(1,2) 0x
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
C(-2,5) y B(2,3)
若有 , 怎样用 a 和 b 的坐标表示 a b ?
二、新课学习
合作探究
已知两个非零向量a （x1, y1）, b (x2 , y2 ),大家共同探究如何 用a与b的坐标表示a b？
探究(一)：
怎样用 a和b的坐标表示 ab
设两个非零向量 a =(x1,y1),b =(x2,y2),则
x1x2 y1y2
.
x12 y12 x22 y22
三、基本技能的形成与巩固
例1 已知 a(1,2 3),b(1,1),
4.5.利用坐标计算数量积-湘教版必修2教案
4.5 利用坐标计算数量积 - 湘教版必修2教案
一、教学目标
1.了解数量积的概念；
2.理解坐标系及其在数量积中的应用；
3.学会利用坐标计算数量积；
4.能够解决和实际问题相关的数量积计算问题。
二、教学重点
1.坐标系的建立；
2.坐标系中向量的表示；
3.数量积的计算。
三、教学难点
1.坐标系的建立及其在数量积中的应用；
2.复杂向量在坐标系中的表示。
四、教学过程
1. 引入
教师通过引入向量描述实际问题，让学生理解向量的本质。引入之后，教师可以根据学生的认知水平，缩短或延长这个环节。
2. 坐标系
有关坐标系的知识，在此不再赘述。但在此需要提醒学生注意坐标系的建立方式。在建立坐标系的时候，教师应该让学生记住以原点为起点，且x轴和y轴互相垂直为好。
3. 向量在坐标系中的表示
教师让学生根据坐标系在平面上表示向量，并计算向量的模长。在向量表示的过程中，教师需要强调向量各分量的通式。
4. 数量积
教师讲解数量积的计算方法和公式，并通过实例让学生理解数量积的本质。在计算数量积时，教师应提醒学生注意符号和分量的顺序。
5. 利用坐标计算数量积
让学生通过练习，掌握利用坐标计算数量积的技巧。在设计题目时，可以适当的加入一些实际应用的问题，以帮助学生理解与记忆。
6. 小结
讲解本节的重点和难点，在回顾本节所学的知识点。例如：坐标系的建立、向量在坐标系中的表示和数量积的计算等。
五、教学方法
1.讲授法；
2.演示法；
3.理解法；
4.讨论法。
六、教学评价
1.能使用坐标系表示向量，并计算向量模长；
2.能够计算两个向量之间的数量积；
3.能够根据实际问题，利用坐标计算向量之间的数量积。
湘教版高中数学必修2课件 4.5.2 利用数量积计算长度和角度课件1
当堂检测
1．若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝ ( )
3 A.5
B．±35
C．±45
D．±295
答案 B
当堂检测
2．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b
的模为
()
A．2 B．2 3 C．6
D．12
答案 B
解析 ∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2
预习导学
(6)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (7)(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2. (8)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
2．两向量垂直条件 a·b＝0⇔ 〈a，b〉＝π2
⇔a⊥b.
课堂讲义
要点一 向量模的运算 例1 已知向量a，b满足|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a
4×1＋9×1－12×12＝ 7， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝12－6×1＋2×1＝－72.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝|aa|·|bb|＝
－72 7×
7＝－12.
又θ∈[0，π]，∴θ＝23π，故a与b的夹角为23π. 规律方法 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算
[学习目标] 1．掌握利用向量的数量积的性质，求长度和角度，判断两向量
新高中数学湘教版必修二各章知识点的整合 文档
高中数学湘教版必修二各章知识点的整合
必修二第四章向量
平面向量知识回顾 基本知识点：
1.向量的概念： (1)向量的基本要素：大小和方向
(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a
；
坐标表示法,(y x yj xi a =+= (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜
(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0.单位向量0a 为单位向量⇔｜0a
｜＝1
(5)相等的向量：大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =
⎩⎨⎧==⇔2121
y y x x (6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b
.由于向量可以
进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
2.向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理：21,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，
对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使211e e a
λλ+=
(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a
＝λb ⇔1221=-y x y x
(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b
＝O ⇔2121=+y y x x
(4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P
所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ， 则
OP ＝λ+111OP ＋λ+11
2OP (向量公式)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++=++=.
1,12
12
1λλλλy y y x x x (坐标公式)
当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨
高一数学高中数学湘教版试题答案及解析
高一数学高中数学湘教版试题答案及解析
1.已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）
A．，﹣，4B．，﹣，4C．，﹣2，4D．4，，﹣15
【答案】B
【解析】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．
解：∵⊥，
∴=3+5﹣2Z=0，解得z=4．
∴．
∵BP⊥平面ABC，
∴，．
∴化为，
解得．
∴，，z=4．
故选：B．
点评：本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．
2.已知=（3λ+1，0，2λ），=（1，λ﹣1，λ）若⊥，则λ的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据空间向量垂直的充要条件，可知其数量积为0，从而得解．
解：由题意，∵⊥
∴3λ+1+2λ2=0
∴
故选D．
点评：本题以空间向量为载体，考查向量的垂直，关键是利用数量积为0解方程．
3.过点P（2，3）且以为方向向量的直线l的方程为．
【答案】3x﹣y﹣3=0．
【解析】若直线与x轴不垂直，则直线的一个方向向量为，其中k是直线的斜率．可
以用向量与已知方向向量平行，建立关系式得到直线的斜率，得到直线的点斜式方程，最后化
成直线的一般式方程即可．
解：设直线l的另一个方向向量为，其中k是直线的斜率
可得与互相平行
∴⇒k=3，
所以直线l的点斜式方程为：y﹣3=3（x﹣2）
化成一般式：3x﹣y﹣3=0
故答案为：3x﹣y﹣3=0．
点评：本题考查了直线的方向向量，属于基础题．方向向量是与直线平行或在直线上的非零向量，如果直线的斜率存在，则它的一个方向向量为，其中k是直线的斜率．
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高中数学 4.5.3 利用坐标计算数量积同步练习湘教版必修2 1．已知a＝(3,4)，b＝(－2，－1)，则 (a－b)·(a＋2b)等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
2．已知向量n＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则m的坐标为( ) A．(b，－a) B．(－a，b)
C．(－a，b)或(a，－b) D．(b，－a)或(－b，a)
3．已知a＝(1，m)与b＝(n，－4)共线，且c＝(2,3)与b垂直，则m＋n的值为( )
A．16
3
B．
20
3
C．
15
2
D．－4
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|(a＋b)·c＝5
2
，则a与c的夹
角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
6．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝__________.
7．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
8．已知a＝(3,0)，b＝(k,5)，且a与b的夹角为3π
4
，则k的值为__________．
9．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|k a＋b||a－k b|(k＞0)．(1)用k表示数量积a·b；
(2)若a·b＝
5
16
(|a|＋|b|)，求k的值．
10．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值．
参考答案
1. 答案：A
解析：(a －b )·(a ＋2b )＝(5,5)·(3－4,4－2)
＝(5,5)·(－1,2)＝－1×5＋2×5＝5.
2. 答案：D
3. 答案：A
解析：依题意得1(4),2120,mn n ⨯-=⎧⎨-=⎩解得2,36,
m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
所以m ＋n ＝163
. 4. 答案：C
解析：依题意得a ＋b ＝(－1，－2)．
设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝
52， ∴x ＋2y ＝52
-， 5
212cos ||||552x y θ-
⋅+====-a c a c . ∴a 与c 的夹角为120°.
5. 答案：C
解析：设点P 的坐标为(x,0)，
则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)， AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)
＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.
当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1，
此时点P 的坐标为(3,0)，故选C ．
6. 答案：43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
解析：设b ＝(m ，n )，
由a ·b ＝5，得4m －3n ＝5.①
又∵|b |＝1，∴m 2＋n 2
＝1.②
由①②，可得(5n ＋3)2＝0，∴35n =-. ∴45m =.∴b ＝43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
7. 答案：
解析：a ＝(2,0)，故|a |＝2，|a ＋2b |=∵a·b ＝|a||b|cos 60°＝1，
∴|a ＋2b |.
8. 答案：
解析：依题意得3πcos
4||||⋅=a b a b ，即2-=解得k =(k =)．
9. 解：(1)由|k a ＋b |a －k b |，得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，
∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2
，
∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.
∵|a |＝1，|b |＝1，
∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴2222184k k k k
++⋅==a b . (2)由(1)知|a |＝1，|b |＝1，所以21548
k k +=， 即2k 2＋2＝5k ，解得k ＝2或12
. 即k 的值等于2或12
. 10. (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1, 4)，
∴AB ＝(1,1)，AD ＝(－3,3)．
又∵AB ·AD ＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴AB ⊥AD ，∴AB ⊥AD ．
(2)解：∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝DC .
设点C 的坐标为(x ，y )，则DC ＝(x ＋1，y －4)．
又∵AB ＝(1,1)，∴11,41,x y +=⎧⎨-=⎩解得0,5.
x y =⎧⎨=⎩
∴点C的坐标为(0,5)．
∴AC＝(－2,4)．
又BD＝(－4,2)，
∴|AC|＝25，|BD|＝25，AC·BD＝8＋8＝16. 设AC与BD的夹角为θ，
则
4 cos
5
2
AC BD
AC BD
θ
⋅
===.
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为4
5
.