精编(人教版)必修一数学：27《幂函数及图象变换》知识讲解基础版(含答案)

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人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》教学案及练习解析

2.3幂函数教学目标：知识与技能：通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用。

过程与方法：能够类比研究一般函数、指数函数的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质。

情感、态度、价值观：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

教学难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律。

教学过程：一．温故知新复习指数函数、对数函数的定义形如)1,0(≠>=a a a y x的函数称指数函数；形如)1,0(log ≠>=a a x y a 的函数称指数函数。

提问：之前还学过哪些函数？生答：一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数。

将这些函数的特殊形式写出：12,,-===x y x y x y提问：这些是指数函数吗？若不是说出它们与指数函数的相同点与不同点。

生答：相同点：幂的形式。

不同点：自变量x 的位置。

引出上述三个函数的一般形式αx y =，从而引出课题-------幂函数二．幂函数定义1．幂函数的定义：一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数叫称为幂函数(power function), 其中x 是自变量，α是常数。

概念辨析：在下列函数中哪些是幂函数？（1）x y 2= （2）x x y -=3 （3）2)2(-=x y （4）41xy =同桌讨论，给出观点例1：已知幂函数y=f(x)的图像过点（4，2），试求出这个函数的解析式。

解：设αx y =，又过（4，2），所以212124x y =⇒=⇒=αα三．探究幂函数图象与性质可通过研究几个常见幂函数的图象与性质------在同一坐标系中画出21312,,,,x y x y x y x y x y =====-函数的图象，然后观察图象，归纳特征。

学生活动：在事先发给他们的作图纸上通过描点法画图。

教师巡视并辅导。

师生一起校对所画图象的正确性，并根据图象编成幂函数操，（帮助学生记图的同时，也提高学生学习的兴趣）。

幂函数人教版高中必修第一册

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课前预习
课堂互动
素养达成
解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B. (2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1
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课前预习
课堂互动
素养达成
规律方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y ＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
有幂函数的图象？提示第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.
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课前预习
课堂互动
素养达成
题型一与幂函数的概念有关的问题
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
1≤a<32.
故 m 的值为 1，满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围为1，32.
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课前预习
课堂互动
素养达成
规律方法解决幂函数的综合问题，应注意以下两点： (1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等； (2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.
2. 幂函数的图象和性质拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增； (2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减； (3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.

3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。

精编(人教版)必修一数学：27《幂函数及图象变换》巩固练习基础版(含答案)

巩固练习1．下列函数中，35431,21,,y y x y x x y x x==+=+=是幂函数的个数是（）． A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数12y x-=的定义域是( )A.[0，+∞）B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.R 3.函数23y x =的图象是( )4.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A.2y x -= B. 1y x -= C. 2y x = D. 13y x = 5.幂函数35m y x-=，其中m ∈N ，且在(0，+∞)上是减函数，又()()f x f x -=，则m=( )A.0B.1C.2D.36.若幂函数y x α=的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数α的取值范围是( ) A.α<1 B.α>1 C.0<α<1 D.α<0 7.下列结论中正确的个数有( )(1)幂函数的图象一定过原点； (2) 当α<0时,幂函数y x α=是减函数； (3)当α>0时，幂函数y x α=是增函数；(4)函数22y x =既是二次函数，又是幂函数. A.0 B.1 C.2 D.3 8. 三个数121.2a =，120.9b -=，11c =( )A.c<a<bB.c<b<aC. b<a<cD.a<c<b9.若幂函数()y f x =的图象经过点1(9,)3，则(25)f 的值是 . 10.若幂函数224(317)m m y m m x-=+-⋅的图象不过原点，则m 的值为 .11.若1144(1)(22)a a +>-，则实数a 的取值范围是 .12．函数1(1)y x -=+的单调递减区间为 . 13.比较下列各组中两个值大小(1)6611110.60.7与； (2)5533(0.88)(0.89).--与14. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()2f x x x =+．（1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式函数()()|1|g x f x x ≥--．答案与解析1．B根据幂函数的定义判断，53431,y x y x x-====是幂函数．2.C函数12121y x x -===，所以函数的定义域是()0,+∞．3.C函数23y x ==()()f x f x -===，所以这个函数为偶函数，图象关于y 轴对称，可能是B 或C ，又2013<<，所以当1x >时，图象应在y x =直线的下方，故选C ． 4. A 函数221y xx-==，所以函数是偶函数，又20α=-<，所以函数在区间()0,+∞上单调递减，故选A ． 5.B 因为函数35m y x-=，其中m ∈N ，且在(0，+∞)上是减函数，所以350m -<，即53m <，又函数是偶函数，故1m =．6.B 幂函数1,01y x x x x α=<=<<，考察指数函数(01)xy a a =<<的增减性知，1α>．7.A 幂函数y x α=，当0α>时，图象一定过原点，当0α<时，图象一定不过原点,故(1)不对．当0α<时，幂函数图象在()0,+∞上是减函数，故（2）不对．当0α>时，幂函数图象在()0,+∞上是增函数，故（3）不对．函数22y x =是二次函数，不是幂函数，故（4）不对．8. A 11112222101.2,0.9(), 1.19a b c -====,易知101.2 1.19>>，又函数12y x =在[)0,+∞上单调递增，所以c b a <<，故选A ．9. 15 设()f x x α=，则1(9)3f =，即193α=，得112211,(),(25)2525f x x f α--=-∴=∴==．10.-6 由23171m m +-=，解得3m =或6m =-．又当3m =时，指数240m m ->不合题意；当6m =-时，240m m -<，所以6m =-．11.[)1,3 由题意知10,220,12 2.a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a ≤<．12.(),1-∞-和()1,-+∞ 将函数1y x -=的单调区间向左平移一个单位即可．13.解：(1)+∞<<<+∞=7.06.00),0(116上是增函数且在函数x y1161167.06.0<∴(2)函数),0(35+∞=在x y 上增函数且89.088.00<< .)89.0()88.0(,89.088.089.088.0353535353535-<-∴->-∴<∴即14. 解析：（1）设函数()y f x =的图象上任一点0,0()Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则000,20.2x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即00,x x y y =-⎧⎨=-⎩，因为点0,0()Q x y 在函数()y f x =的图象上，所以2()2()y x x -=-+⋅-，即2()2g x x x =-+．（2）由()()|1|g x f x x ≥--，得22|1|0x x --≤当1x ≥时，2210x x -+≤，由函数221y x x =-+的图象可知，此不等式无解．当1x <时，2210x x +-≤，由函数221y x x =+-的图象，解得112x -≤≤． ∴原不等式的解集为11,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

高中数学必修一(人教版)《3.3 幂函数》课件

()
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限．
()
(3)当幂指数 α 取 1,3，12时，幂函数 y＝xα 是增函数．
()
(4)若幂函数 y＝xα 的图象关于原点对称，则 y＝xα 在定义域内 y 随 x 的增大
而增大．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为
(1)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[典例 2] 若点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点－2，14在幂函数 g(x)的图象上，问：当 x 为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)?
[解] 设 f(x)＝xα，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，所以将点( 2，2)代入 f(x)＝xα 中，得 2＝( 2)α，解得 α＝2，则 f(x)＝x2.同理可求得 g(x)＝x－2.
解得 1≤a<32.
故 m 的值为 1，满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围为1，32.
[方法技巧] 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

必修一幂函数（含答案）

必修⼀幂函数（含答案）2.7幂函数⼀、幂函数定义的应⽤〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)： (1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数； (3)是正⽐例函数； (4)是反⽐例函数.〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·211m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值.⼆、幂函数的图象与性质〖例1〗已知点在幂函数()f x 的图象上，点124?-，，在幂函数()g x 的图象上．定义()()()()()()()≤??=?>??f x f xg x h x g x f x g x ，，，．试求函数h(x)的最⼤值以及单调区间.〖例2〗已知函数2245()44x x f x x x ++=++（1）求()f x 的单调区间；（2）⽐较()f π-与(2f -的⼤⼩（⼆）幂函数的性质与应⽤【例1】(1)试⽐较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的⼤⼩.(2)已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x 的增⼤⽽减⼩，求满⾜() ()--+<-m m 33a 132a 的a 的取值范围.三、幂函数中的三类讨论题〖例1〗已知函数223()()m m f x xm -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．例2已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．例3讨论函数2221()kk y k k x--=+在0x >时随着x 的增⼤其函数值的变化情况．【⾼考零距离】（2010陕西⽂数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满⾜f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是[]（）幂函数（）对数函数（）指数函数（）余弦函数【考点提升训练】⼀、选择题(每⼩题6分，共36分)1.(2012·西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点，则幂函数的解析式为( ) ()y=212x()y=12x ()y= 32x()y=521x 22.函数y=1x-x 2的图象关于( ) ()y 轴对称 ()直线y=-x 对称 ()坐标原点对称()直线y=x 对称3.已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是( ) ()(0，+∞)()(1，+∞) ()(0，1) ()(-∞,0)4.已知幂函数f(x)=x m的部分对应值如表，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )(){x|0){x|0≤x ≤4} (){x|x ){x|－4≤x ≤4}5.设函数f(x)=x1()7,x 02,x 0?-?≥＜若f(a)＜1，则实数a 的取值范围是( )()(-∞,-3) ()(1，+∞) ()(-3，1) ()(-∞,-3)∪(1,+∞) 6.(2012·漳州模拟)设函数f(x)=x 3,若0≤θ≤2π时，f(mcos θ)+f(1-m)＞0恒成⽴，则实数m 的取值范围为( )()(-∞,1) ()(-∞, 12) ()(-∞,0) ()(0,1)⼆、填空题(每⼩题6分，共18分)7.(2012·武汉模拟)设x∈(0,1)，幂函数y=x a的图象在直线y=x的上⽅，则实数a的取值范围是__________.8.已知幂函数f(x)=12x-，若f(a+1)＜f(10-2a)，则a的取值范围是_______.9.当0三、解答题(每⼩题15分，共30分)10.(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=x m-2x且f(4)=72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(12，4)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x);②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x).【探究创新】(16分)已知幂函数y=f(x)=2p3p22x-++(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且是偶函数.(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1.试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选.设y=x α,则由已知得，α,即322=2α,∴α=32,∴f(x)= 32x .2.【解析】选.因为函数的定义域为{x|x ≠0}，令y=f(x)=1x-x 2, 则f(-x)=1x -(-x)2=1x-x 2=f(x), ∴f(x)为偶函数，故选.3.【解析】选.因为0＜0.71.3＜0.70=1, 1.30.7＞1.30=1,∴0＜0.71.3＜1.30.7.⼜(0.71.3)m ＜(1.30.7)m,∴函数y=x m在(0,+∞)上为增函数，故m ＞0.4.【解题指南】由表中数值，可先求出m 的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可.【解析】选.由(12)m m=12，∴f(x)= 12x ，∴f(|x|)=12x ,⼜∵f(|x|)≤2，∴12x ≤2，即|x|≤4,∴－4≤x ≤4．5.【解题指南】分a ＜0,a ≥0两种情况分类求解. 【解析】选.当a ＜0时，(12)a-7＜1, 即2-a＜23,∴a ＞-3,∴-3＜a ＜0.当a ≥01,∴0≤a ＜1,综上可得:-3＜a ＜1.6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)=x 3为奇函数，且在R 上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m 与cos θ的不等式恒成⽴求解.【解析】选.因为f(x)=x 3为奇函数且在R 上为单调增函数，∴f(mcos θ)+f(1-m)＞0? f(mcos θ)＞f(m-1)? mcos θ＞m-1?mcos θ-m+1＞0恒成⽴，令g(cos θ)=mcos θ-m+1, ⼜0≤θ≤2π,∴0≤cos θ≤1, 则有：()()g 00g 10＞，＞即m 10m m 10-+??-+?＞，＞解得：m ＜1. 7.【解析】由幂函数的图象知a ∈(-∞,1).答案：(-∞,1) 8.【解析】由于f(x)= 12x-在(0，+∞)上为减函数且定义域为(0，+∞)，则由f(a+1)＜f(10-2a)得a 10102a 0,a 1102a +??-??+-?＞＞＞解得：3＜a ＜5. 答案：(3,5)9.【解题指南】在同⼀坐标系内画出三个函数的图象，数形结合求解. 【解析】画出三个函数的图象易判断f(x)答案:f(x)72,所以4m -24=72.所以m=1. (2)因为f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称, ⼜f(-x)=-x-2x - =-(x-2x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数. (3)⽅法⼀：设x 1＞x 2＞0，则f(x 1)-f(x 2)= x 1-12x -(x 2-22x )=(x 1-x 2)(1+122x x ),[来源:/doc/7210e201581b6bd97e19ea07.html ]因为x 1＞x 2＞0,所以x 1-x 2＞0,1+122x x ＞0. 所以f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. ⽅法⼆：∵f(x)=x-2x,∴f ′(x)=1+22x ＞0在(0,+∞)上恒成⽴，∴f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.11.【解析】(1)设f(x)=x α, ∵点(2，4)在f(x)的图象上，∴4=2α，∴α=2，即f(x)=x 2. 设g(x)=x β,∵点(12，4)在g(x)的图象上，∴4=(12)β，∴β=-2，即g(x)=x -2. (2)∵f(x)-g(x)=x 2-x -2=x 2-21x=()()222x 1x 1x-+(*)∴当-1＜x ＜1且x ≠0时，(*)式⼩于零，即f(x)＜g(x)；当x=±1时，(*)式等于零，即f(x)=g(x)；当x ＞1或x ＜-1时，(*)式⼤于零，即f(x)＞g(x). 因此，①当x ＞1或x ＜-1时，f(x)＞g(x)；②当x=±1时，f(x)=g(x)；③当-1＜x ＜1且x ≠0时，f(x)＜g(x).【误区警⽰】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域{x|x ≠0}⽽失误.失误原因：将分式转化为关于x 的不等式时，忽视了等价性⽽致误.【探究创新】【解析】(1)∵幂函数y=x α在(0,+∞)上是增函数时,α＞0,∴-12p 2+p+32＞0,即p 2-2p-3＜0,解得-1＜p ＜3，⼜p ∈Z,∴p=0,1,2. 当p=0时，y=32x 不是偶函数；当p=1时,f(x)=x 2是偶函数；当p=2时,f(x)=32x 不是偶函数，∴p=1，此时f(x)=x 2.(2)由(1)得g(x)=-qx 4+(2q-1)x 2+1,设x 1＜x 2,则g(x 1)-g(x 2)=q(4421x x -)+(2q-1)·(2212x x -)=(2221x x -)[q(2212x x +)-(2q-1)].若x 1＜x 2≤-4,则2221x x -＜0且2212x x +＞32,要使g(x)在(-∞,-4]上是减函数，必须且只需q(2212x x +)-(2q-1)＜0恒成⽴. 即2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴. 由2212x x +＞32且q ＜0，得q(2212x x +)＜32q ，只需2q-1≥32q 成⽴，则2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴.∴当q ≤-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数,同理可证, 当q ≥-130时,g(x)在(-4,0)上是增函数, ∴当q=-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数，在(-4,0)上是增函数.[来源:学科⽹ZXXK]。

数学人教A版必修第一册3.3幂函数复习

27
16
)
D． b c a
题型练习三：幂函数的应用
5．已知函数 f ( x) (a a 1) x
2
a 1
为幂函数，且为奇函数；
（1）求 a 的值；
1
（2）求函数 g ( x) f ( x) 1 2 f ( x) 在 x [0, ] 的值域．
2
题型练习三：幂函数的应用
3
3
B．
2
2
C．
3
)
3
D．
2
【解答】解：根据幂函数 y x a 的图象关于 y 轴对称，函数是偶函数，排除 B 、 D 选项；
再根据幂函数 y x 的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数，
a
所以 a 0 ，排除 A ，即 C 选项正确．
故选： C ．
题型练习二：幂函数的图像和性质
是幂函数，且 y f ( x) 在 (0, ) 上单调递增，则 f （2）
1
B．
2
C．2
【解答】解：因为函数 f ( x) (m2 2m 2) x m1 是幂函数，
所以 m 2m 2 1 ，解得 m 1 或 m 3 ．
2
又因为 y f ( x) 在 (0, ) 上单调递增，所以 m 1 0 ，
幂函数
知识梳理
1、幂函数的概念
2、幂函数的图像
3、幂函数的性质
4、应用（比较大小）
1、幂函数的概念

定义：一般地，函数 = 叫做幂函数，其中 x 是自变量，是常数.
注意：
Байду номын сангаас

① 幂前系数必须是1
②底数是自变量 x，指数是常数

新人教a版高中数学高一必修一2.3《幂函数》word精讲精析

新人教a 版高中数学高一必修一2.3《幂函数》精讲精析学习目标展示（1）了解幂函数的概念（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况。

衔接性知识1. 请画出y x =、2y x =、1y x=的图象 2. 请画出2x y =的图象3. 比较函数()2x f x =与2()g x x =在解析式形式上的不同，并说明哪个是指数函数例1. 比较下面大小：（1） 2.43.14、 2.4π与 2.13.14 （2） 2.64()5、 3.82()3-与 3.83()4-【解析】（1） 2.4y x = 在(0,)+∞上是增函数，且 3.14π>， 2.4 2.43.14π∴> 又 3.14x y = 在(,)-∞+∞上是增函数，且2.4 2.1>， 2.4 2.13.14 3.14∴> 从而 2.4 2.4 2.13.14 3.14π>>（2）由指数函数的性质，得 2.60440()()155<<=， 3.8022()()133->=， 3.8033()()144->= 又 3.8y x -= 在(0,)+∞上减函数，且2334<， 3.8 3.823()()34--∴> 从而有 3.8 3.8 2.6234()()()345-->> 例2. 幂函数221()(33)m m f x m m x--=-+的图像不经过原点，求实数m 的值。

【解析】因为函数是幂函数，所以2331m m -+=，2320m m ∴-+=，12m m ∴==或当1=m 时，11()f x x x-==，数的图像都不经过原点；当2=m 时，()f x x =，数的图像都经过原点，所以1=m例3. 已知幂函数()f x 的图象过1(8,)4点，试求：（1）()f x 的定义域（2）()f x 的奇偶性（3）()f x 的单调区间． [解析]设()f x x α=，则 ∵()f x x α=的图象过1(8,)4点，∴184α=，即2322α－＝，∴23α=-，∴23()f x x -=，即()f x =(1)欲使()f x0≠，∴0x ≠，∴()f x 的定义域为{|0}x x ∈≠R ． (2)对任意x ∈R 且0x ≠，有()()f x f x -===，∴()f x 为偶函数．(3)0α< ，∴()f x 在(0)∞，＋上是减函数，又()f x 为偶函数，∴()f x 在(0)∞－，上为增函数，故单调增区间为(0)∞－，，单调减区间为(0)∞，＋．例4. 已知函数2222)()(--+=m m x m m x f ，当m 取什么值时，（1）)(x f 是正比例函数；（2）)(x f 是反比例函数；（3）)(x f 在第一象限它的图像是上升的曲线。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_指数与指数幂的运算_提高

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案指数与指数幂的运算编稿：审稿：【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a nn an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则（1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.计算：（1；（2.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2|-|2|=2-（2（211=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩。

高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理

高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.4　幂函数学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1，2，3)的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一　幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．提醒　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二　幂函数的图像和性质1．幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝，y ＝x －1的图像如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数12x 12x公共点(1,1)1．y ＝－1x 是幂函数．(　×　)2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.(　√　)3．y ＝与y ＝定义域相同．(　×　)4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)一、幂函数的概念例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是( )A ．y ＝x 3 B ．y ＝(12)xC ．y ＝4x 2D ．y ＝x答案　AD解析　B 项为指数函数，C 中的函数的系数不为1，AD 为幂函数．(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解　由题意得Error!解得Error!或Error!所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟　判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1　已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案　A解析　因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0，即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.32x 64x 22m x二、幂函数的图像例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则对应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案　B解析　根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2.反思感悟　解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y ＝x －1 或y ＝或y ＝x 3)来判断．跟踪训练2　函数f (x )＝的大致图像是( )答案　A解析　因为－12<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.三、比较幂值的大小12x 12x例3　比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5；(2)(－23)－1与(－35)－1；(3)与.解　(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5.(2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.(3)∵函数y 1＝(23)x为R 上的减函数，又34>23，∴>.又∵函数y 2＝在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴>，∴>.反思感悟　比较幂值大小的方法跟踪训练3　比较下列各组值的大小：(1)，；(2)，，1.42.解　(1)∵y ＝为R 上的偶函数，∴＝.又函数y ＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，3423⎛⎫⎪⎝⎭2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫ ⎪⎝⎭23x 2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭2334⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫⎪⎝⎭()650.31-650.35121.2121.465x ()650.31-650.3165x∴<，即<.(2)∵y ＝在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，∴<.又∵y ＝1.4x 为增函数，且12<2，∴<1.42，∴<<1.42.幂函数性质的应用典例　已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a 的取值范围．解　因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N ＋，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1.则原不等式可化为.因为y ＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是Error!.[素养提升]　(1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．650.31650.35()650.31-650.3512x 121.2121.4121.4121.2121.433(1)(32)m m a a --+<-1133(1)(32)a a --+<-13x-1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3答案　B解析　函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图像一定不经过( )A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限 D ．第一象限答案　A解析　由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．3．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案　A解析　可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又因为y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3.4．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案　A解析　∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，∴k ＝1，f(12)＝(12)α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.5．已知f (x )＝，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f(1a )<f(1b)B ．f (1a )<f(1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f(1a )D ．f (1a )<f (a )<f(1b )<f (b )12x答案　C解析　因为函数f (x )＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f(1b )<f(1a).1．知识清单：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的图像．(3)幂函数的性质及其应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．1．幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则f (－12)等于( )A.12B.14 C ．－14 D ．2答案　B解析　幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则2α＝4，解得α＝2；∴f (x )＝x 2，∴f (－12)＝(－12)2＝14.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2 D ．y ＝答案　A解析　所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝不是偶函数，故排除选项B ，D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )12x 13x13x 2535⎛⎫ ⎪⎝⎭3525⎛⎫⎪⎝⎭2525⎛⎫⎪⎝⎭A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案　A解析　∵y ＝(x >0)为增函数，又35>25，∴a >c .∵y ＝(25)x (x ∈R )为减函数，又25<35，∴c >b .∴a >c >b .4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )答案　C解析　选项A 中，幂函数的指数a <0，则y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则y ＝ax －1a 应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．5．若幂函数f (x )的图像过点(2，2)，则函数g (x )＝f (x )－3的零点是( )A.3 B ．9 C ．(3，0) D ．(9,0)答案　B解析　∵幂函数f (x )＝x α的图像过点(2，2)，∴f (2)＝2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝，∴函数g (x )＝f (x )－3＝－3，由－3＝0，得x ＝9.∴函数g (x )＝f (x )－3的零点是9.6．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x11225x 12x 12x 12xf (x )122则f (x )的单调递增区间是________．答案　[0，＋∞)解析　因为f(12)＝22，所以(12)α＝22，即α＝12，所以f (x )＝的单调递增区间是[0，＋∞)．7．已知幂函数f (x )＝x α(α∈R )的图像经过点(8,4)，则不等式f (6x ＋3)≤9的解集为________．答案　[－5,4]解析　由题意知8α＝4，故α＝log 84＝23，由于f (x )＝＝x 2为R 上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f (6x ＋3)≤9即为f (6x ＋3)≤f (27)，所以|6x ＋3|≤27，解得－5≤x ≤4.8．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．答案　b <a <c解析　由a ＝，b ＝，可利用幂函数的性质，得a >b ，可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .9．已知幂函数f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，试画出f (x )的图像并指出该函数的定义域与单调区间．解　因为f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．10．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R 上单调递增．(1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解　(1)由幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m >0，解得m <3，m ∈N ＋，可得m ＝1,2，12x 23x 2312⎛⎫⎪⎝⎭2315⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭2315⎛⎫⎪⎝⎭若m ＝1，则f (x )＝x 6的图像不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f (x )＝x 3的图像关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f (x )＝x 3.(2)由(1)可得f (x )是奇函数，且在R 上单调递增，由f (a ＋1)＋f (3a －4)<0，可得f (a ＋1)<－f (3a －4)＝f (4－3a )，即为a ＋1<4－3a ，解得a <34.11．若函数f (x )＝(m ＋2)x a 是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g (x )＝ log a (x ＋m )的单调递增区间为( )A ．(－2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案　B解析　由题意得m ＋2＝1，解得m ＝－1，则f (x )＝x a ，将(2,4)代入函数的解析式得，2a ＝4，解得a ＝2，故g (x )＝log a (x ＋m )＝log 2(x －1)，令x －1>0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．12．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案　B解析　y ＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y ＝－1的图像可看作由y ＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝－1的图像关于x 轴对称后即为选项B.13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．答案　9解析　由题意可知加密密钥y ＝x α(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝12，则y ＝.由＝3，得x ＝9，即明文是9.14．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x答案　(3,5)解析　∵f (x )＝＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴Error!解得Error!∴3<a <5.15.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么，αβ等于________．答案　1解析　由条件，得M (13，23)，N (23，13)，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝13，β＝23.所以αβ＝13·23＝lg 13lg 23·lg 23lg 13＝1.16．已知幂函数g (x )过点(2，12)，且f (x )＝x 2＋ag (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解　(1)设幂函数的解析式g (x )＝x α(α为常数)．因为幂函数g (x )过点(2，12)，所以2α＝12，解得α＝－1，所以g (x )＝1x.(2)由(1)得f (x )＝x 2＋a x.①当a ＝0时，f (x )＝x 2.12x 23log 13log 23log 13log由于f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，可知f(x)为偶函数．②当a≠0时，由于f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠x2＋ax＝f(x)，且f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠－(x2＋a x)＝－f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．综上，①当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．。

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•
所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
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幂函数图象
定义域
y＝x R
y＝x2 R
y＝x3 R
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知识点聚焦：
二、幂函数的图象与性质
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知识点聚焦：
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探究一幂函数的概念
• 【例】函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
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(1)y＝x5 ；
2
(2)y＝x5 ；
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(3)y＝x5 ；
(4)y＝x−45.
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解析：
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方法归纳：
• 作幂函数f(x)＝xα图象的步骤： • (1)判断f(x)在(0，＋∞)的单调性，并作出f(x)在(0，＋∞)上的简图， •
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方法归纳：
• (1)判断幂函数的依据： • 形如y＝xα的函数叫幂函数，它具有三个特点： • ①系数为1. ②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项． • (2)幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的区别：
函数名称幂函数指数函数
函数解析式 y＝xα
• (2)把f(x)＝xα转化为无理根式，确定定义域． • (3)若f(x)的定义域不关于原点对称，则f(x)是非奇非偶函数，若f(x)的定义域关于原

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又 ln π>1>22－1212＝ 22>31，所以 f(ln π)>f((22－1212))>f13，则 b>c>a.
考点一幂函数的图象和性质
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x＝1，y＝1，y＝x 所分区域．根据 α<0，0<α<1， α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
(2)当α>0 时，幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( √ )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( × )
(3)确定二次函数解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b2.( ×
(2)常见的五种幂函数的图象
i幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； ii幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
考点三二次函数的图象及应用补充例题 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)＝f(2－x)，若函数 y＝
m
|x2－2x－3|与 y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 xi＝

新人教A版数学必修第一册第三章知识点总结与例题讲解(续)

幂函数知识点总结与例题讲解本节主要知识点（1）幂函数的概念. （2）幂函数的图象与性质. （3）一般幂函数的图象和性质. 知识点一幂函数的概念一般地,函数αx y =叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数.幂函数的特征:（1）αx 的系数是1;（2）αx 的底数是单个的自变量; （3）αx 的指数为常数.判断幂函数的方法看形式,明特征判断一个函数是否为幂函数,先看是否具有αx y =（α是常数）的形式,再看是否满足幂函数的三个特征,这三个特征缺一不可.知识点二幂函数的图象和性质五个具体的幂函数:()12132,,,,-======x y x y x y x y x y x y ,在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如下.图（1）五个具体幂函数的图象由五个具体幂函数的图象可知:（1）所有幂函数在()+∞,0上都有意义. （2）幂函数的图象必经过点()1,1. （3）幂函数的图象不会经过第四象限.（4）当0>α时,幂函数的图象还经过原点()0,0,且幂函数在[)+∞,0上为增函数;当0<α时,幂函数在()+∞,0上为减函数.（5）在第一象限内,直线1=x 右侧部分的图象,由下向上幂函数的幂指数越来越大,可简记为“指大图高”.五个幂函数在第一象限的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”,即对于αx y =,当0>α且1≠α时,其图象在第一象限内是抛物线型（当1>α时,其图象是竖直抛物线型;当10<<α时,其图象是横卧抛物线型）;当0<α时,其图象在第一象限内是双曲线型.高图（2）第一象限正抛负双大竖小横幂函数αx y =在第一象限内图象的画法（1）当0<α,其图象可类似1-=x y 画出. （2）当10<<α,其图象可类似21x y =画出. （3）当1>α时,其图象可类似2x y =画出. 五个具体幂函数的性质如下页表（1）所示.表（1）五个具体幂函数的性质知识点三一般幂函数的图象和性质表（2）一般幂函数的图象和性质幂函数αx y =的定义域取决于α,具体见下页表（3）.表（3）幂函数的定义域注我们可以这样理解幂函数qp x y =的定义域,就是把qpx y =化为qp x y =的形式,把qp xy -=化为qpxy 1=的形式.幂函数αx y =的奇偶性的判断见下表（4）.表（4）幂函数奇偶性的判断方法注当q 是偶数时,幂函数qp x y =（q p ,互质, ∈q p ,Z ）的定义域是[)+∞,0或()+∞,0,不关于原点对称,因此幂函数既不是奇函数,也不是偶函数.幂指数对幂函数图象的影响当0=α时,()010≠==x x y ,其图象是一条不包含点()1,0的直线.当1=α时,幂函数x y =的图象是一条经过原点的直线. 当0≠α且1≠α时,幂函数的图象如下表（5）.表（5）幂函数的图象补充知识点上凸函数和下凸函数设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义,若对于[]b a ,上任意两个不同的实数21,x x ,都有⎪⎭⎫⎝⎛+221x x f ≥()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是上凸函数;若都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f ≤()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是下凸函数.如下图所示.我们已经知道,对于幂函数αx y =,当10<<α时,在第一象限是上凸函数;当0<α或1>α时,在第一象限是下凸函数.图（3）上凸函数f f 2图（4）下凸函数f f 2例题讲解例1. 已知幂函数()32225---+=m m xm my ,当()+∞∈,0x 时,y 随x 的增大而减小,求此时幂函数的解析式.分析本题考查幂函数的概念和性质.（1）判断一个函数是否为幂函数,要“看形式,明特征”:先看函数是否具有αx y =（α为常数）的形式,再看函数是否具有幂函数的三个特征,这三个特征缺一不可.（2）幂函数αx y =在()+∞,0上都有定义:当0>α时,幂函数都在()+∞,0上单调递增;当0<α时,幂函数都在()+∞,0上单调递减. 解:∵函数()32225---+=m mx m m y 是幂函数∴152=-+m m ,解之得:3,221-==m m ∵当()+∞∈,0x 时,y 随x 的增大而减小∴()()031322<-+=--m m m m ,解之得:31<<-m ∴2=m∴此时幂函数的解析式为3-=x y . 例2. 已知幂函数()32221----=m mx m m y ,求此幂函数的解析式,并求出其定义域.分析本题考查幂函数的概念和定义域的确定.对于幂函数αx y =（α为常数）,其定义域取决于α,如果给出的幂函数是qp x y =（q p ,互质, ∈q p ,Z ）的形式,可先把幂函数化为根式的形式,再确定其定义域.解:∵函数()32221----=m mx m m y 是幂函数∴112=--m m ,解之得:2,121=-=m m当1-=m 时,幂函数的解析式为0x y =,其定义域为()()+∞∞-,00, ; 当2=m 时,幂函数的解析式为3-=x y ,其定义域为()()+∞∞-,00, .综上所述,幂函数的解析式为0x y =或3-=x y ,它们的定义域都是()()+∞∞-,00, . 例3.（多选）已知函数()αx x f =的图象经过点()2,4,则下列命题正确的有【】（A ）函数为增函数（B ）函数为偶函数（C ）若1>x ,则()1>x f （D ）若210x x <<,则()()⎪⎭⎫⎝⎛+<+222121x x f x f x f分析本题考查求幂函数的解析式（概念）、幂函数的图象和性质以及幂函数的凸性（上凸函数还是下凸函数）.设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义,若对于[]b a ,上任意两个不同的实数21,x x ,都有⎪⎭⎫⎝⎛+221x x f ≥()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是上凸函数;若都有⎪⎭⎫⎝⎛+221x x f ≤()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是下凸函数.对于幂函数αx y =,当10<<α时,在第一象限是上凸函数;当0<α或1>α时,在第一象限是下凸函数.解:对于（A ）,∵函数()αx x f =的图象经过点()2,4 ∴2242==αα,求得21=α ∴此幂函数的解析式为()21x x f =（即()x x f =）,其定义域为[)+∞,0,且在[)+∞,0上为增函数.故（A ）正确.对于（B ）,因为该函数的定义域并不关于原点对称,所以既不是奇函数,也不是偶函数.故（B ）错误.对于（C ）,因为该函数在[)+∞,0上为增函数,且经过点()1,1,所以当1>x ,则()1>x f .故（C ）正确.对于（D ）,对于幂函数αx y =,当10<<α时,在第一象限是上凸函数,所以若210x x <<,则有()()⎪⎭⎫⎝⎛+<+222121x x f x f x f .故（D ）正确.综上,答案为【ACD 】.例4. 已知函数()()m x m m x f 12-+=是幂函数,且在()+∞,0上是减函数. （1）求实数m 的值;（2）请在图中画出()x f 的草图;（3）若()()a f a f >-12,求实数a 的取值范围.分析本题考查幂函数的概念、幂函数图象的画法以及利用幂函数的图象和性质求解不抽象等式.幂函数αx y =在第一象限内图象的画法（1）当0<α,其图象可类似1-=x y 画出. （2）当10<<α,其图象可类似21x y =画出. （3）当1>α时,其图象可类似2x y =画出.最后,结合幂函数的定义域和奇偶性,画出整个定义域上幂函数的图象.解:（1）∵函数()()m x m m x f 12-+=是幂函数 ∴112=-+m m ,解之得:1,221=-=m m ∵该幂函数在()+∞,0上是减函数 ∴2-=m ;（2）有（1）可知,()2-=x x f ,其定义域为()()+∞∞-,00, ,是偶函数,图象关于原点对称,且在第一象限是减函数,所以其图象的草图如图所示;（3）由（2）可知:函数()2-=x x f 是偶函数,且在()+∞,0上是减函数 ∴()()()()a f a f a f a f =-=-,1212 ∵()()a f a f >-12 ∴()()a f a f >-12∴a a <-12,原不等式同解于()2212a a <-∴()()0113<--a a ,解之得:131<<a∵012,0≠-≠a a ∴0≠a 且21≠a ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2121,31 .注意在利用函数的奇偶性和单调性解决问题时,不能忽视函数的定义域. 例5. 若()()2121123+>-m m ,则实数m 的取值范围是__________. 分析本题考查幂函数的单调性,一定要注意函数的定义域.解:∵函数21x y =在[)+∞,0上是增函数,()()2121123+>-m m∴⎪⎩⎪⎨⎧+>-≥+≥-12301023m m m m ,解之得:1-≤32<m∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-32,1.例6. 若()()3131231---<+a a ,则实数a 的取值范围是_________.分析幂函数31-=x y 的定义域是()()+∞∞-,00, ,是奇函数,图象位于第一、三象限,关于原点对称,在()+∞,0上是减函数.对于幂函数31-=x y ,其图象上横坐标是()1+a 和()a 23-的点可能在同一象限,也可能在不同的象限,应注意分类讨论.解:∵函数31-=x y 在()0,∞-和()+∞,0上单调递减,()()3131231---<+a a∴⎪⎩⎪⎨⎧->+<-<+a a a a 23102301或⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+a a a a 23102301或⎩⎨⎧>-<+02301a a 解之得:无解或2332<<a 或1-<a ∴实数a 的取值范围是()1,23,32-∞-⎪⎭⎫⎝⎛ .例7. 若关于x 的不等式ax x >21的解集是{}20<<x x ,则实数a 的值为【】（A ）21 （B ）42 （C ）1 （D ）22 分析本题主要考查幂函数的图象和数形结合思想. 幂函数21x y =的定义域为[)+∞,0,且在[)+∞,0上是增函数.解:由题意在同一平面直角坐标系中画出函数21x y =和函数ax y =的大致图象如图所示.显然,函数ax y =的图象经过点()2,2,所以22=a . ∴选择答案【 D 】.例8. 已知函数()x f 既是二次函数又是幂函数,函数()x g 是R 上的奇函数,函数()()()11++=x f x g x h ,则()()()()()()()=-+-++-+++++2018201710120172018h h h h h h h 【】（A ）0 （B ）2018 （C ）4036 （D ）4037分析本题考查了幂函数的概念、奇函数的性质,注意发现求值式子的规律:求值式子中共出现了2018对互为相反数的自变量的值,故考虑计算()()x h x h -+的结果,以期找到解决问题的突破口. 解:∵函数()x f 既是二次函数又是幂函数 ∴()2x x f =,为R 上的偶函数,()()x f x f -= ∵函数()x g 是R 上的奇函数 ∴()()()00,=-=-g x g x g ∵()()()11++=x f x g x h∴()()()()()1111++-=++--=-x f x g x f x g x h∴()()()()()()21111=++-++=-+x f x g x f x g x h x h∴()()()()()()()2018201710120172018-+-++-+++++h h h h h h h()()[]()()()()[]()0112017201720182018h h h h h h h +-+++-++-+= 1222++++=120182+⨯=4037= ∴选择答案【 D 】.例9. 已知幂函数()()242222+---=m m x m m x f 在()+∞,0上单调递减.（1）求出m 的值并写出()x f 的解析式;（2）试判断是否存在0>a ,使得函数()()()112+--=x f ax a x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-.若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由. 解:（1）∵函数()()242222+---=m mx m m x f 是幂函数∴1222=--m m ,解之得:3,121=-=m m ∵该幂函数在()+∞,0上单调递减∴0242<+-m m ,解之得:2222+<<-m ∴()1,3-==x x f m ;（2）由（1）可知:()()()111121+-=+--=-x a x ax a x g ①当01>-a ,即1>a 时,函数()x g 为R 上的增函数 ∵函数()x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-∴()()⎩⎨⎧=-=-11241g g ,即⎩⎨⎧=+--=++-11122411a a ,解之得:6=a ;②当01=-a ,即1=a 时,函数()1=x g ,不符合题意; ③当01<-a ,即1<a 时,函数()x g 为R 上的减函数 ∵函数()x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-∴()()⎩⎨⎧-==-42111g g ,即⎩⎨⎧-=+-=++-41221111a a ,解之得:无解. 综上所述,存在实数6=a ,使得函数()x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-.例10. 已知函数()121222+--+-=x x m mx mx x f （∈m R ）,试比较()5f 与()π-f 的大小.分析本题考查函数图象的对称变换、平移以及幂函数的单调性.解:()()()()222222111121121212---=--=+--+-=+--+-=x m x m x x x x m x x m mx mx x f . 先将函数2-=x y 的图象作关于x 轴作对称变换,得到函数2--=x y 的图象,再将函数2--=x y 的图象向右平移1个单位长度,得到函数()21---=x y 的图象,最后将函数()21---=x y 的图象向上（m ≥0）或向下（0<m ）平移m 个单位长度,即可得到函数()()21---=x m x f 的图象,如下图所示.由函数图象可知,函数()x f 的图象关于直线1=x 对称 ∴()()35-=f f∵函数()x f 在()1,∞-上单调递减 ∴()()π-<-f f 3 ∴()()π-<f f 5.对应练习求函数()122222++++=x x x x x f 的单调区间,并比较⎪⎪⎭⎫⎝⎛-26f 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23f 的大小.例11. 证明:（1）若()b ax x f +=,则()()222121x f x f x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+; （2）若()b ax x x g ++=2,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ≤()()221x g x g +. 证明:（1）∵()b ax x f +=∴()()()=+=+++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+22222221212121x f x f b ax b ax b x x a x x f ()()221x f x f +; （2）∵()b ax x x g ++=2∴()()b x x a x x x x b x x a x x x x g +++++=+++⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+242222212221212122121 ()()()b x x a x x b ax x b ax x x g x g ++++=+++++=+222221222122212121∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ()()221x g x g +-()442221222121x x x x x x --=-+-= 显然,()4221x x --≤0,当且仅当21x x =时取等号∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ()()221x g x g +-≤0 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ≤()()221x g x g +. 例12. 已知幂函数()()()()k k x k k x f +--+=1221在()+∞,0上单调递增. （1）求实数k 的值,并写出函数()x f 的解析式; （2）设函数()()()21++-+=xaax x f x f x h ,若不等式()x h ≥0对任意的(]3,1∈x 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵函数()()()()k k x k k x f +--+=1221∴112=-+k k ,解之得:1,221=-=k k ∵该幂函数在()+∞,0上单调递增 ∴()()012>+-k k ,解之得:21<<-k ∴1=k ,函数()x f 的解析式为()2x x f =;（2）由（1）可知:()41121222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-+=x x a x x x a ax x x x h设xx t 1-=,则t 在()0,∞-∈x 和()+∞∈,0x 上为增函数 ∵(]3,1∈x ,∴⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t∵不等式()x h ≥0对任意的(]3,1∈x 恒成立∴42+-at t ≥0对任意的⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t 恒成立,即a ≤t t 4+恒成立只需a ≤min 4⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ,⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t 即可.∵⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t ,∴t t 4+≥442=⋅t t ,当且仅当t t 4=,即2=t 时成立∴44min =⎪⎭⎫⎝⎛+t t∴a ≤4,即实数a 的取值范围是(]4,∞-.函数的应用（一）知识点总结与例题讲解本节主要知识点（1）常见的几种函数模型.（2）实际问题函数建模的一般步骤. （3）建模时确定函数解析式的基本方法. 知识点一常见的几种函数模型（1）一次函数模型 b ax y +=（b a ,为常数）,也叫做线性函数模型. （2）二次函数模型 c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数）.当研究的问题呈现先增长后减少的特点,0<a ;当研究的问题呈现先减少后增长的特点,0>a .（3）反比例函数模型 b xky +=（b k ,为常数,且0≠k ）. （4）幂函数模型 b ax y n +=（n b a ,,为常数,1,0≠≠n a ）. （5）对勾函数模型 xbax y +=（0,0>>b a ）. （6）分段函数模型以上几种函数模型的综合. 知识点二实际问题函数建模的一般步骤分为审题、建模、求解和还原四部.（1）审题弄清题意,分清条件和结论,理清数量关系,初步选择模型.分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,确定自变量与因变量的意义,尝试将实际问题函数化.审题时要抓住题目中的关键量,勇于尝试、探索,敏于发现、归纳,善于联想、化归,实现实际问题向数学问题的转化.（2）建模将自然语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的函数模型. 一般地,设自变量为x ,因变量为y ,通过认真审题,将与自变量有关的量用x 表示出来,找到等量关系,列出y 关于x 的函数解析式,即建立了与实际问题相对应的函数模型.注意函数自变量x 的取值范围.（3）求解运用所学的知识对函数模型进行解答,求出结果.（4）还原实际问题不是单纯的数学问题,既要符合数学学科背景,又要符合实际背景,因此得出的结果要代入原问题中进行检验、评判,最后得出结论并作答.还原过程是自我复核、评判、检验的过程,如定义域是否符合实际,结果是否合理等.知识点三建模时确定函数解析式的基本方法（1）待定系数法如果题目给出了函数解析式（含参数）或可以确定函数类型,那么用待定系数法求解.列出关于参数的方程或方程组,求出参数的值,回带即可得到函数解析式;已知函数类型,先设出函数解析式,再求解.（2）归纳法先让自变量取一些特殊值,计算出对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数解析式. 用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点（1）原则一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下按照“问什么、设什么、列什么”的原则来处理,求解过程比较简单.（2）关注点用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象的应用题,可先结合图象利用待定系数法求出函数解析式.对于一次函数b ax y +=（b a ,为常数）,当0>a 时为增函数,当0<a 时为减函数.另外,还要结合题目理解()b ,0或⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,a b 这些特殊点的意义.例1. 为了预防疾病的发生,某种消毒液广宁需要6吨,怀集需要8吨,正好端州储备有10吨,四会储备有4吨,市防疫中心决定将这14吨消毒液调往广宁和怀集,消毒液的运费价格如下表（单位:元/吨）.设从端州调运x 吨到广宁.（1）求调运14吨消毒液的总运费y 关于x 的函数解析式; （2）求出总运费最低的调运方案,最低运费为多少?解:（1）由题意可知:四会需要调运()x -6吨消毒液到广宁,端州需要调运()x -10吨消毒液到怀集,四会需要调运()[]()264-=--x x 吨或()[]()2108-=--x x 吨消毒液到怀集,则有:=y ()()()107052701010063560+-=-+-+-+x x x x x .由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≥-0201006x x x 可得:2≤x ≤6,即[]6,2∈x ; （2）∵05,10705<-+-=x y ,[]6,2∈x ∴y 在[]6,2上单调递减∴当6=x 时,总运费y 最低,为1040107065=+⨯-=y （元）∴总运费最低的调运方案为: 从端州调运6吨消毒液到广宁,调运4吨消毒液到怀集;四会的消毒液全部（4吨）调运到怀集.最低运费为1040元. 二次函数模型的解题策略（1）根据实际问题建立二次函数关系式;（2）利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求二次函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题;（3）解决二次函数的最值问题时最好结合二次函数的图象;（4）利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值的条件及自变量的值是否符合实际意义.例2. 某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售量y （支）与销售单价x （元/支）之间存在如图所示的关系. （1）求出y 与x 的函数关系式;（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?（3）该店主决定从每天获得的利润中抽出 200元捐赠给某所希望小学,为了保证捐款后每天的剩余利润不低于550元,如何确定该款电动牙刷的销售单价? 解:（1）由函数图象可设b ax y += 把()()50,35,100,30分别代入b ax y +=得:⎩⎨⎧=+=+503510030b a b a ,解之得:⎩⎨⎧=-=40010b a ∴y 与x 的函数关系式为40010+-=x y ; （2）设每天的销售利润为()x W 元,则有:()()()80006001040010202-+-=+--=x x x x x W∴()()100030102+--=x x W∴()()100030max ==W x W （元）∴当销售单价定为30元/支时,每天销售利润最大,最大利润是1000元; （3）由题意可得:2008000600102--+-x x ≥550整理得:875602+-x x ≤0,即()230-x ≤25解之得:25≤x ≤35∴该款电动牙刷的销售单价定为不低于25元,不高于35元时,可保证捐款后每天的剩余利润不低于550元. 幂函数模型的常见题型和解题策略（1）给出含参数的函数关系式,利用待定系数法求出参数,得到函数解析式. （2）根据题意直接列出相应的函数关系式.例3. 众所周知,大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干,其100克装的售价为1. 6元,其400克装的售价为4. 8元.假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m ,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n ,利润率为20%,求该种饼干900克装的合理售价.解:设饼干的质量为x （克）,售价为y （元）,则有:()()()x n mx x n mx y +=++=2.12.01∵当100=x 时,6.1=y ,当400=x 时,8.4=y∴⎩⎨⎧=+=+8.4244806.112120n m n m ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1511501n m∴x x y 2521251+=∴当900=x 时,6.99002529001251=⨯+⨯=y答:这种饼干900克的合理售价为9. 6元. 解决对勾函数应用题的关键解决对勾函数型()()0,0>>+=b a xbax x f 的应用题时,需关注函数的定义域和单调性等.该函数在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b ,和⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,a b 上单调递增,在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,b a 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上单调递减.例4. 为了在冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某栋房屋要建造能使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造费用是6万元.该栋房屋每年的能源消耗费用C （单位:万元）与隔热层厚度x （单位:cm ）满足关系:()83+=x kx C （0≤x ≤10）.若无隔热层,则每年能源消耗费用为5万元.设()x f 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. （1）求()x C 和()x f 的表达式;（2）当隔热层修建多厚时,总费用()x f 最小?并求出最小值. 解:（1）由题意可知:()580==kC ,解之得:40=k ∴()8340+=x x C （0≤x ≤10） ()8380066834020++=++⨯=x x x x x f （0≤x ≤10）∴()()1683800832-+++=x x x f ≥()6416838008322=-+⋅+x x 当且仅当()83800832+=+x x ,即4=x 时,等号成立. ∴当隔热层修建4 cm 厚时,总费用()x f 最小,为64万元.分段函数模型的三个注意点（1）分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.（2）分段函数的定义域为每一段自变量取值范围的并集.（3）分段函数的值域的求法为:逐段求函数值的范围,最后再下结论.例5. “硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技,属于由科技创新构成的物理世界,是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术,具有极高技术门槛和技术壁垒,难以被复制和模仿.最近十年,我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备,并从2024年起全面发售.经测算,生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元,每生产x 百台高级设备需另投入成本y 万元,且⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+<≤+=10040,225018000165400,4022x xx x x x y , ∈x 100N ,每百台高级设备售价为160万元,假设每年生产的高级设备能够全部售出,且高级设备年产量最大为10 000台.（1）求企业所获年利润P （单位:万元）关于年产量x （单位:百台）的函数关系式;（2）当年产量为多少时,企业所获年利润最大?并求最大年利润.解:（1）当0≤40<x 时()()800302100012021000402160222+--=-+-=-+-=x x x x x x P ; 当40≤x ≤100时12501800051000225018000165160+--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x x P ∴()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+--<≤+--=10040,1250180005400,8003022x xx x x P ,∈x 100N ; （2）当0≤40<x 时,()8003022+--=x P ∴当30=x 时,P 取得最大值为800max =P ;当40≤x ≤100时12501800051250180005+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=x x x x P ≤62512501800052=+⋅-x x 当且仅当x x 180005=,即60=x 时,等号成立. ∴625max =P∵625800>∴当年产量为30百台时,企业所获年利润最大,最大年利润为800万元.。

高中数学(人教A版)必修一课后习题：幂函数(课后习题)【含答案及解析】

幂函数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f (x )=3x 2B.f (x )=√xC.f (x )=1x 4 D.f (x )=x -3f (x )=3x 2,不是幂函数;函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1x4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C .2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域为(0,+∞)D.在(0,+∞)上单调递增f (x )=x α(α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f (x )=x 12.∵12>0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.若(a+1)13<(3-2a )13,则a 的取值范围是 .-∞,23)f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12.由x 12=3,得x=9,即明文是9. 6.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).等级考提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f (x )=(m 2-2m-2)·x m 在(0,+∞)上单调递减,则f (2)=( )A.8B.3C.-1D.12f (x )=(m 2-2m-2)x m 为幂函数,则m 2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f (x )=x -1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f (x )=1x ,所以f (2)=12,故选D .8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),则a 的取值范围是( ) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞)f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).9.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2 B.1 C.2 D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点(-b 2,1),据此可得-b2=1,故b=-2.故选A . 10.函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值 ( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象经过点(18,2),则解析式为y=x -3B.若函数f (x )=x -45,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f (x )=√x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x22)(18,2),则解析式为y=x-13,故A 错误;函数f (x )=x-45是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x 22),即√x 1+√x 22≤√x 1+x22,即x 1+x 2+2√x 1x 24≤x 1+x 22,即(√x 1−√x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x α(α∈R )的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=x α的图象过原点B.函数y=x α是偶函数C.函数y=x α是减函数D.函数y=x α的值域为R(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R ,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD . 13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f (x )=x m 2-5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .或3 4y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-5m+4<0,且m 2-5m+4是偶数,由m 2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m 是整数,故m 的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f (x )=x -2,则f 12=4. 14.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].新情境创新练15.(2020青海高一期末)已知函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数. (1)求函数f (x )的解析式;(2)判断函数f (x )的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m ∈N *,则x -m =1x m.∵函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数,∴m 2-2m+2=1,解得m=1, 故f (x )=x -2(x ≠0).(2)函数f (x )=x -2为偶函数.证明如下:由(1)知f (x )=x -2,其定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x ,都有f (-x )=(-x )-2=1(-x )2=1x2=x -2=f (x ),故函数f (x )=x -2为偶函数.(3)f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在区间(0,+∞)上任取x 1,x 2,不妨设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-2−x 2-2=1x 12−1x 22 =x 22-x 12x 12x 22=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 12x 22, ∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,x 12x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.。

幂函数课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

y x 1
[0，+∞），0 （0，+） [0，+∞），0 （0，+）
奇偶性奇函数偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
R上单调性
公共点
在（－∞,0]
上
R上
在(0, +∞）上
（1，1）
在(0，+∞) 在( －∞,0)，
上
(0, +∞）上
幂函数性质：
1)定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
(2)当α∈{－1，1，1,3}时，幂函数 y＝xα的图象不可能经过第_二__、__四__象限． 2
题型三
角度1 比较幂的大小探究问题]
1．幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂
2)单调性：当α ＞0时，在区间[0，+∞)上是增函数当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
3)奇偶性：当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数
题型一
1．已知幂函数 f(x)的图象过点(2,2 2)，则 f(4)的值为( )
A．4
B．8
C．2 2
[D解．析1] 设 f(x)＝xα，∴2 2＝
⑤ x3 ⑥
1
yx 2
中，是幂函数的是（①⑤⑥）
.
(2) 已知幂函数 y＝f (x)的图象过点(3， 3)，则 f (9)＝ 3 .

新人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》课件

当m=0时,函数为 f (x) x 不合题意,舍去.
所以m=2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
３．比较大小：
1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
≤ 3) 2 a2 1.5
21.5
＜ 2) 5.12
5.092
例2.证明幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数.
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
f (x ) 1
x 1
x 1
1
即
f (x ) f (x )
1
2
f (x ) x x
y=
1
x2
.
(5)如果某人x秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的
平均速度 yy= x1 .
以上问题中的函数具有y什么xa 共同特征?
(二)探究新知
一般地，函数 y xa 叫做幂函数，
其中x为自变量，a 为常数( a∈R)。
你能说说幂函数有几个基本的特征? 练习1、下列函数中，哪几个是幂函数？
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2 )

( x1 x2
x1 x2 x1 x2
x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
方法技巧:分子有理化
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,