广西南宁市第八中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题

2017年秋季学期南宁八中高二年级期考数学（理科）试卷考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．纸上作答无效．．．．．．。

第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g2．已知正数a 、b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是( )A ．10B ．25C ．5D ．210 3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A ．15 B ．59 C ．53 D ．14．“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要5．已知数列{}n a 的通项公式是n a ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．1216．已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00033y x y x ，则12++=x y z 的最小值为( )A ．2B ．3C ．21 D ．32 7．双曲线14522=-y x 的焦点到渐近线的距离等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ）.A .奇函数，且在()0,1上是增函数B . 奇函数，且在()0,1上是减函数C .偶函数，且在()0,1上是增函数D . 偶函数，且在()0,1上是减函数 9．等比数列{}n a 的前n 项和S n ，已知a 1＝2，a 2＝4，那么S 10等于( ) A ．210＋2 B ．29－2 C ．210－2D ．211－210．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）.A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 11．如图，在三棱柱中，底面，，，点分别是棱、的中点，则直线和所成的角的大小是（ ） A ． B． C ． D ．12．设函数()'f x 是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）． A . ()(),10,1-∞-B . ()()1,01,-+∞C . ()(),11,0-∞--D .()()0,11,+∞第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13.()201d x x -=⎰ .14．经过点()2-4，P 的抛物线的标准方程为 . 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．16．双曲线192522=-y x 的两个焦点分别为1F 、2F , 双曲线上的点P 到1F 的距离为12, 则P 到2F 的距离为 .三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知1:123x p --≤；)0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ， 且90PAB ABC ∠=∠= ， //AD BC ， 2PA AB BC AD ===， E 是PC 的中点．（1）求证： DE ⊥平面PBC ； （2）求二面角A PD E --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 1133n n n a a ++=+ ()*n N ∈．（1）求证：数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．21. （本小题满分12分）已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23． （1）求椭圆的方程．（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．22. （本小题满分12分）已知函数()e cos x f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.南宁市八中2017年秋学期高二年级期考数学（理科）答案1D ，2D ，3B ，4A ，5C ，6C ，7B ，8A ，9D ，10C,11B,12A13.0 14.y 2=x 或x 2=–8y, 15. π6, 16.2或22.17.解：{}1:12,2,10,|2,103x p x x A x x x -⌝-><->=<->或或 {}22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ⌝-+-><->+=<->+或或p ⌝ 是q ⌝的必要非充分条件，B∴A ，即⎩⎨⎧≥+≤-101,21m m ，又0>m ，得9≥m18.[解析] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－513，cos B ＝35得，sin A ＝1213，sin B ＝45. ∴sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1213×35＋(－513)×45 ＝1665. (2)根据正弦定理， AB ＝BC ·sin Csin A ＝5×16651213＝43，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×43×5×45＝83.19.（Ⅰ）证明：因为侧面底面，且，，所以，，，如图，以点为坐标原点，分别以直线，，为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.设，是的中点，则有，，，， ，于是， ， ，因为，， 所以，，且，因此平面（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，，则 所以不妨设，则，，由图形知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.20.（1）证明：因为（常数），，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列．（2）解：由（1）可知，，所以，所以， ①， ②①-②得，所以，所以．21.解析：（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab ＝0．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ． （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ．∴0)31(36)12(22>+-=∆k k ． ①设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x kk x x ， ②…………………………………………8分而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．∴ 05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立． 综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ． 22.解析 （1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x f x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （2）设()e(c o s s i n )1x hx x x=--，则()e(c o s s i n s i n c o s )2e si n x xh x x x x x x '=---=-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()(0)0h x h =…，即()0f x '….所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.。