高考数学复习专题05 复数单元测试(一)(原卷版)
专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题(原卷版)
专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题【高考真题】1．(2022·全国乙文)若()1ln 1f x a b x=++-是奇函数，则=a _____，b =______． 2．(2022·新高考Ⅱ)已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑()A ．3-B ．2-C ．0D ．13．(2022·全国乙理)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7．若y ＝g (x )的图像关于直线x ＝2对称，g (2)＝4．则221()k f k ==∑( )A ．－21B ．－22C ．－23D ．－244．(2022·新高考Ⅰ)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x + 均为偶函数，则( )A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -= D ．(1)(2)g g -= 【常用结论】1．函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． 结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇()⨯÷奇＝偶，偶()⨯÷偶＝偶，奇()⨯÷偶＝奇．结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论9：函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数； 结论10：函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a (1＋m 2x 2±mx )(a >0且a ≠1)是奇函数．结论11：函数y ＝f (x )是可导的奇函数，则导函数y ＝f ′(x )是偶函数；函数y ＝f (x )是可导的偶函数，则导函数y ＝f ′(x )是奇函数；结论12：导函数y ＝f ′(x )是连续的奇函数，则所有的原函数y ＝f (x )都是偶函数；导函数y ＝f ′(x )是连续的偶函数，则原函数y ＝f (x )中只有一个是奇函数；2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y ＝f (x )满足f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0（y 轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 轴对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a －x )＝f (x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )若函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔f (2a ＋x )＝－f (－x )(4)原函数与导函数的对称性的关系定理1：可导函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于点(a ，0)中心对称．定理2：可导函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，f (a ))中心对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝a 对称．3．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论10：若函数f (x )可导，并且是周期为T 的周期函数，则f ′(x )也是的周期为T 的周期函数；若函数f (x )可导，其导函数f ′(x )是周期为T 的周期函数，且f (0)＝f (T )，则f (x )也是的周期为T 的周期函数结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．【同类问题】题型一 函数的奇偶性与周期性1．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．12．(2021·全国甲)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b ．若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝⎛⎭⎫92等于( )A ．－94B ．－32C ．74D ．523．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，f (x ＋2)是偶函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝x ，则f (－2 022)＋f (2023)＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．04．(多选)(2022·威海模拟)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是偶函数，则( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x ＋3)是偶函数D ．f (x )＝f (x ＋4)5．(多选)已知f (x )为奇函数，且f (x ＋1)为偶函数，若f (1)＝0，则( )A ．f (3)＝0B ．f (3)＝f (5)C ．f (x ＋3)＝f (x －1)D ．f (x ＋2)＋f (x ＋1)＝16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 022)＝________．7．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f (x )的判断正确的是( )A ．f (0)是函数的最小值B ．f (x )的图象关于点(1，0)对称C ．f (x )在[2，4]上单调递增D ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称8．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式____________．9．函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)的值为________．题型二 函数的奇偶性与对称性10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是( )A ．y ＝(x －1)f (x －1)B ．y ＝(x ＋1)f (x ＋1)C ．y ＝xf (x )＋1D ．y ＝xf (x )－111．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )的周期为2，在[－1，0]上单调递增，那么f (x )在[1，3]上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在区间[1，2]上单调递减，令a ＝ln 2，b ＝⎝⎛⎭⎫14－12，c ＝log 122，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( ) A ．f (b )<f (c )<f (a )B ．f (a )<f (c )<f (b )C ．f (c )<f (b )<f (a )D ．f (c )<f (a )<f (b ) 13．定义在R 上的奇函数f (x )，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x )在[0，2)上单调递增，则( )A ．f (11)<f (12)<f (21)B ．f (21)<f (12)<f (11)C ．f (11)<f (21)<f (12)D ．f (21)<f (11)<f (12)14．写出一个满足f (x )＝f (2－x )的偶函数f (x )＝________．题型三 函数的周期性与对称性15．(多选)已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于直线x ＝－3对称且f (x ＋3)＝f (x －3)，当x ∈[0，3]时，f (x )＝2x ＋2x －11，则下列结论正确的是( )A ．f (x )为偶函数B ．f (x )在[－6，－3]上单调递减C ．f (x )的图象关于直线x ＝3对称D ．f (2 023)＝－716．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2 025)＝________．17．已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数C ．函数f (x ＋2)为偶函数D ．函数f (x －3)为偶函数18．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (1＋x )＝f (1－x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 023)等于( )A ．1B ．－2C ．－1D ．219．已知函数f (x )满足：f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋112， 则f ⎝⎛⎭⎫2192的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．620．设函数f (x )为定义在R 上的函数，对∀x ∈R 都有：f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )；且函数f (x )对∀x 1，x 2∈[0，1]，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0232，b ＝f (log 43)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－14，则a ，b ，c 的大小关系为________．21．(多选)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2＋x )＝f (2－x )，以下关于函数f (x )的说法正确的为( )A ．f (x )满足f (8－x )＝f (x )B ．8为f (x )的一个周期C ．f (x )＝sin πx 4是满足条件的一个函数 D ．f (x )有无数个零点 22．(多选)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则下列结论错误的是( )A ．f (2 021)＝0B ．2是f (x )的一个周期C ．当x ∈(1，3)时，f (x )＝(1－x )3D ．f (x )＞0的解集为(4k ，4k ＋2)(k ∈Z ) 题型四 抽象函数23．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________．24．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，则f (4)＝________．25．(多选)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[1，2]上有最大值f (2)D ．f (x －1)＞0的解集为{x |x ＜1}26．已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，如果x 满足f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2， 则x 的取值范围为________．。
专题05 平面解析几何(选择题、填空题)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(原卷版)
专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D 649．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．35218．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y =，则m =．20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．3229．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A 55B ．255C ．355D ．455考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A B ⊥=- ，则C 的离心率为．33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C ．132D ．17235．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 236．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 637．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 32B ．22C ．12D ．13考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．642．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212+B ．4C ．132+D ．7考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B 23C ．23D ．23-考点13：新定义问题46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+。
专题05 均值不等式及其应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.【重点知识回眸】1． 基本不等式 ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,,a b R ∈：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，,a b R ∈（4）222()22a b a b ++≤，,a b R ∈ （5）2,,b aa b a b+≥同号且不为零 （6）重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 上述不等式，当且仅当a ＝b 时等号成立 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得234x y +≥，即()min 2434x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈【典型考题解析】热点一 直接法求最值【典例1】（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+【典例2】（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．6【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（ ）．A ．16B ．4C ．116 D ．14【典例4】（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>热点二 配凑法求最值【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知102x <<，则函数(12)y x x =- 的最大值是（ ） A ．12B ．14C ．18D ．19【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值． 【总结提升】形如()2ax bx c f x dx e +++＝的函数，可化为()11[()]f x x k m x k+++＝的形式，再利用基本不等式求解热点三 常数代换法求最值【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（ ） A ．3B ．423+C ．6 D ．12【典例9】（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【典例10】（2017·山东·高考真题（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 【总结提升】常数代换法主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a b x y+的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为()a b x y x y t++⋅，再用基本不等式求最值． 热点四 基本不等式的实际应用【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为（ ）．（本题中取π=3进行计算）A ．6B ．12315-C ．3D ．9【典例12】（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【总结提升】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用()a f x x x＝＋(a ＞0)的单调性． 热点五 利用均值不等式连续放缩求最值【典例13】（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0a b >>，且1,ab =则不正确的是（ ） A ．20a b +> B ．22log log 1a b +> C ．2222a b +>D ．22log log 0a b ⋅<【典例14】（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 【总结提升】第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．【精选精练】一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知02x <<，则24y x x =- ） A ．2B ．4C ．5D ．62．（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则ab 的最小值是（ ） A ．4B ．8C ．16D ．323．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>的一个焦点坐标为(1,0)-，当m n +取最小值时，C 的离心率为（ ） A 5B 3C ．2D 24．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．（2020·全国·高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．326．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，若228a b m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．426426m -+ B ．426m +或426m - C ．19m -D ．9m 或1m -7．（2023·全国·高三专题练习）已知ln ln 222+≥+-aa b b ，则a b +=（ ） A ．52B ．4C ．92D ．68.（2017·天津·高考真题（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[3,2]-D ．39[23,]16- 二、多选题9．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤D ．221x y +≥10．（2020·海南·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥-D 2a b ≤11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 2＞ab B ．ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ） C ．2a b ab+＞ D ．a +cos b ＞b +cos a12．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111()()22-=+x y n ，则（ ）A ．0x <且1y <-B ．m 的最大值为3-C ．n 的最小值为7D ．22m n ⋅<三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．14．（2019·天津·高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.15．（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．16．（2018·天津·高考真题（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128a b+的最小值为_____________.17．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求a ，b 的值；(2)若(1)3f =，0a >，0b >，求11a b+的最小值，并指出取最小值时a ，b 的值．。
专题05 巧记派生词(字母s-y)-备考2024年高考英语单词变形速记精练(原卷版)
专题05 速记派生词（字母s-y）一关联背诵1. store v. --- n. 储存storage2. strong adj. 强壮的,强大的--- n. 力量，力气strengthv. 加强strengthen3.stress n. 压力，强调，重读v. 使紧张，重读，强调--- adj. 感到压力大的stressed4.adj. 令人有压力的stressful4. succeed v. 成功success n. 成功--- adj. 成功successful5. suit v. 适合--- a. 合适的suitable6. survive v. 存活--- n. 存活survivaln. 幸存者survivor7. sympathy n. 同情--- adj. 同情的sympathetic8. system n. 体系；系统--- adj. 系统的systematic9. taste v. 品尝n. 品味--- adj. 无滋味的tastelessadj. 味道好的tasty10. technical adj. 技术的--- n. 技术technique11. terrify v. 使人感到恐怖--- adj. 可怕的terriblen.恐怖terror12.thank v.感--- a. 感谢的，感激的thankful13. thief n. 窃贼--- n. 盗窃theft形近词：信任belief, 宽慰：relief14. thirst n. 口渴--- adj. 口渴的thirsty15. thought n. 思想--- adj. 沉思的，考虑周到的thoughtful16. tolerate v. 容忍--- adj容忍的tolerantn. 容忍tolerance联想：appear--n. appear--appearance ;perform-- n. performance;易错词：prefer--n. preference17.tour n. 旅行--- n. 旅游业tourismn. 旅行者tourist18. tradition n. 传统--- adj. 传统的traditional19. translate v. 翻译--- n. 翻译translationn. 译者translator ; 口译者interpreter20. treat v. 对待（词义：v.治疗;款待; n.款待，请客）---n. 对待treatment21. true a. 真实的--- ad. 真实地trulyn. 真理，事实truth (易错重点词)22.urge v. 敦促---adj. 紧急的urgentadv.紧急地urgently---n.紧急情况urgency23.value n. 价值--- adj. 有价值的valuableadj. 没价值的valueless24.vary v. 变化--- n. 种类variety(名词复数varieties );形近词:焦急的(anxious)--n.焦虑anxietya. 各种各样的various25. warm adj. 温暖的--- n. 温暖warmth ;联想：growth, health, wealth, width, depth; length; truth; strength26. weak adj. 弱的--- n. 弱点，软弱weakness27. wealth n. 财富---adj. 富有的wealthy28. week n. 星期，周--- adj. 每周的weekly29. weigh v. 称……的重量--- n. 重量weight30. wide adj. 宽阔的--- n. 宽度width(易错词)31. willing adj. 愿意的--- a. 不情愿的unwilling;32. wise adj. 聪明的--- n. 智慧wisdom;33. wood n. 木头--- adj. 木制的wooden34. write v. 写--- 现在分词writing（易错重点词）过去分词written（易错重点词）35. young a. 年轻的--- n. 青春；青年youth对比warm-warmth二速记练习1. store v. --- n. 储存___________2. strong adj. 强壮的,强大的--- n. 力量，力气___________v. 加强___________3. stress n. 压力，强调，重读v. 使紧张，重读，强调--- adj. 感到压力大的___________ adj. 令人有压力的___________4. succeed v. 成功--- n. 成功___________adj. 成功___________5. suit v. 适合--- a. 合适的___________6. survive v. 存活--- n. 存活___________ --- n. 幸存者survivor___________7. sympathy n. 同情--- adj. 同情的___________8. system n. 体系；系统--- adj. 系统的___________9. taste v. 品尝n. 品味--- adj. 无滋味的___________adj. 味道好的___________10. technical adj. 技术的--- n. 技术___________11. terrify v. 使人感到恐怖--- adj. 可怕的__________n.恐怖___________12.thank v.感--- a. 感谢的，感激的___________13.thief n. 窃贼--- n. 盗窃___________ ;形近词：信任belief, 宽慰：relief14. thirst n. 口渴--- adj. 口渴的___________15. thought n. 思想--- adj. 沉思的，考虑周到的___________16. tolerate v. 容忍--- adj容忍的___________n. 容忍tolerance ___________tour n. 旅行--- n. 旅游业___________n. 旅行者___________18. tradition n. 传统--- adj. 传统的___________19. translate v. 翻译--- n. 翻译___________ ---n. 译者___________20. treat v. 对待（词义：v.治疗;款待; n.款待，请客）---n. 对待___________21. true a. 真实的--- ad. 真实地___________--- n. 真理，事实___________truth(易错重点词)22. urge v. 敦促---adj. 紧急的____________adv.紧急地___________n. 紧急情况___________23. value n. 价值--- adj. 有价值的___________adj. 没价值的___________24.vary v. 变化--- n. 种类___________;25.warm adj. 温暖的--- n. 温暖___________;26. weak adj. 弱的--- n. 弱点，软弱___________27. wealth n. 财富--- adj. 富有的___________28. week n. 星期，周--- adj. 每周的___________29. weigh v. 称……的重量--- n. 重量___________30. wide adj. 宽阔的--- n. 宽度___________31. willing adj. 愿意的--- a. 不情愿的;___________32. wise adj. 聪明的--- n. 智慧___________33. wood n. 木头--- adj. 木制的___________34. write v. 写--- 现在分词_____________ ; ___________过去分词35. young a. 年轻的---- n. 青春；青年___________三真题演练1.（2023年新高考I卷作文改编）To begin with, ________(random) pairing up students may lead to unbalanced language abilities within the groups.2.（2023年浙江卷1月）In the Ming Dynasty, the center was the Forbidden City,______ (surround)in concentric(同心的)circles by the Inner City and Outer City.3.（2022全国乙卷）In 1916, two girls of ____________(wealth) families, best friends from Auburn, N. Y.—Dorothy Wood ruff and Rosamond Underwood—traveled to a settlement in the Rocky Mountains to teach in a one-room schoolhouse.4.（2022全国乙卷）To____________（strength）the connection with young people, the event included a number of public promotional activities on social media, inviting twenty-nine tea professionals from around the world to have thirty-six hours of uninterrupted live broadcasts.5.（2022全国乙卷）The first group participated in a program of nonaerobic (无氧) exercise — balance training and _____________(weigh) training — three times a week.6.（新课标全国II卷）Which can be a ____________（suit）title for the text?7.（江苏卷）Later, he worked in Africa, where many people suffered from blindness for lack of proper ____________（treat）.8.（新课标全国I卷）When the explorers first set foot upon the continent of North America, the skies and lands were alive with an astonishing ____________(various) of wildlife.9.（北京卷）There is a whole range of other health issues that turning up the radio could be beneficial for, which is what makes music so ____________( value ) .10.（湖北卷）Poetry written from the perspective of the urban ____________(young) tends to reveal their anxiety over a lack of sense of belonging.四模拟演练1．We must preserve (vary) of Chinese traditional customs for future generations. (所给词的适当形式填空)2．The player is under good (treat) and the chances are that he will recover from his injury in time for the next game. (所给词的适当形式填空)3．When they saw their task finished，a sense of achievement and (satisfy) welled up in their hearts. (所给词的适当形式填空)4．Besides, on some occasions, it is more convenient (use) English words. (所给词的适当形式填空)5．A basketball coach must know the (strengthen) and weaknesses of his players. (所给词的适当形式填空)6．When in trouble, I never mind (seek) outside help, like parents or teachers. (所给词的适当形式填空)7．Some people work better under (press). (所给词的适当形式填空)8．The exercises are designed to (strong) your stomach muscles. (所给词的适当形式填空)9．With the (intend) of celebrating the Dragon Boat Festival, a dragon boat race will be held. (所给词的适当形式填空)10．I could hardly recognize the town; It has changed beyond (recognize).(所给词的适当形式填空)。
专题05几种力的作图(原卷版+解析)
专题05 几种力的作图（原卷版）重力、弹力、摩擦力、浮力是作图题中常见的四种力,进行作图时要注意:（1）明确施力物体,若无施施力物体,则这个力不存在。
（2）地球表面的一切物体都要受到重力的作用。
（3）压力的方向垂直于接触面，竖直向竖直向下,浮力的方向竖直向上。
（4）关于摩擦力:①摩擦力是阻碍物体的相对运动（或相对运动趋势）的力,其方向与相对运动(或相对运动趋势)的方向相反;②摩擦力产生的条件是有压力并且要发生相对运动或已经发生相对运动。
考点1 画指定力示意图题型一：画弹力示意图。
1、弹力包括拉力、压力、支持力、推力等；2、弹力方向与物体形变方向相反。
【典例1】（2020春•句容市期中）画出小球与被压缩的弹簧接触时受到的弹力方向。
【变式训练】（2020春•宜兴市期中）如图用手向下拉弹簧，画出“弹簧对手产生弹力”F 的示意图。
【典例2】（2022•重庆模拟）如图所示，手提箱的A点受到200N的竖直向上的拉力，请画出手提箱所受拉力的示意图。
典例分析＋变式训练考点直击【变式训练2】（2021春•江都区期中）一个静止在水平面上的物体，如图所示，受到大小为100N，与地面成30°角斜向右上方的拉力，画出物体所受拉力的示意图。
题型二：画重力示意图特别注意：重力方向总是竖直向下。
【典例1】（2021秋•平潭县期末）已知静止在斜面上的木块质量m＝6kg，在图中画出木块所受重力的示意图。
【变式训练1】（2021春•凉州区期末）画出图中斜面上静止的茶杯受到的重力示意图。
【变式训练2】（2020•福绵区一模）一个木块从斜面上滑下，并在水平面上继续滑动。
请分别画出如图木块在斜面和水平面时所受重力的示意图。
【变式训练3】（2021秋•唐河县期末）如图所示，请画出质量为100g的铁球摆到最高点A时，所受重力的示意图（g＝10N/kg）题型三：画摩擦力示意图特别注意：摩擦力方向与相对运动(或相对运动趋势)的方向相反，与物体运动方向无关！【典例】（2021•宁远县模拟）木块所受重力是50N，如图对它施加一个水平向左的100N的压力将它压在竖直墙面上处于静止，画出此时木块受到的摩擦力的示意图（作用点画在重心上），并标出摩擦力的大小。
2023年数学高考复习真题演练(全国卷)05 一元二次不等式与其他常见不等式解法(含详解)
专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】 1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且. ③若0∆<，解集为R .(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x << ②若0∆≤，解集为∅ 2、分式不等式 （1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，． 3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[]1(∞+---∞，，n m 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推． 4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（ ） A ．{2}xx <-∣ B ．{1}x x >∣ C ．{21}x x -<<∣ D ．{2∣<-xx 或1}x > 例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（ ）A ．m <B ．m >C ．0m >D ．m >m <例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（ ）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集 题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（ ）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x ⎫<⎬D ．1|x x ⎧⎫<⎨⎬ 8002222A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是 A ．(3,5)-B ．(2,4)-C ．[3,5]-D ．[2,4]-例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R. (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围【方法技巧与总结】 1．数形结合处理． 2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2-B ．1C ．2D ．8例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD． （多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >0|6 0201132例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --< 的解集是________.【方法技巧与总结】1．一定要牢记二次函数的基本性质．2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换． 题型四：其他不等式解法例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______． 例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________. 例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________.例21．（2022·上海·高三专题练习）关于x 230≥的解集为_________.例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法: 解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-. 参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____. 【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式平方处理． 题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围24321131上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ）A ．196B ．3C ．103 D ．92例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证： (Ⅰ) 0a >且21ba-<<-； (Ⅰ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}42,3x x x -≤≤≠- C ．{}34x x ≤≤D ．{}34x x -<≤2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3234|0{}2| 1114．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1-B ．(-C ．()0,1D ．(5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[1,3]-B ．75,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[1,-D ．[1,7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞8．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为()A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 可能是A ．1B ．2C ．3D ．410．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（ ） A ．0a <B ．0c >2011201111222A ．当0m ≠时，()0f x <的解集为2mx x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．当1m =时，[)12,1,x x ∀∈+∞时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．121,,4x x m ⎛⎤∀∈-∞ ⎥⎝⎦且12x x ≠时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．当0m <时，若120x x <<，则()()2112>x f x x f x12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x ，y 的关系式(,)(1)f x y x y =-，则以下说法正确的是（ ）A ．(1,3)(3,1)0f f ==B ．对任意实数a ，都有1(,)4f a a ≤成立 C ．若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数a 的取值范围是[5,3]- D ．若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数x 的取值范围是(,0)-∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）不等式210ax x c a++>的解集为{|21}x x -<<，则函数y =递增区间是_______14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(3)16x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数b 的取值范围是___________.15．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2220x a x a -++->恰有1个正整数解，则a 的取值范围是___________.16．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c R ∈，对任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++，则a b c++的最大可能值为__. 四、解答题17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集．18．（2022·江西·高三期末（文））已知()|2||1|f x x x =++-. (1)解不等式()8f x x ≤+；(2)若关于x 的不等式2()2f x m m ≥-在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.192320010 0 21(3)设1x ，2x 是方程()0f x =123||2x x -<．20．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(1)460a x x 的解集是{31}x x -<<． (1)解不等式22(2)0x a x a ；(2)b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ．21．（2022·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式：()()21100ax a x a +--<<. 22．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数； （2）是否存在,,a b c ∈R ，使()f x 同时满足以下条件： ①对任意,(4)(2)x R f x f x ∈-=-，且()0f x ≥； ②对任意x ∈R ，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-.若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由.专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】 1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且. ③若0∆<，解集为R .(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x << ②若0∆≤，解集为∅ 2、分式不等式 （1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，． 3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[]1(∞+---∞，，n m 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推． 4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（ ） A ．{2}xx <-∣ B ．{1}x x >∣ C ．{21}x x -<<∣ D ．{2∣<-xx 或1}x > 【答案】D 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解法求得正确答案即可. 【详解】由(2)(1)0x x +->解得2x <-，或1x >，所以不等式(2)(1)0x x +->的解集为{2∣<-x x 或1}x >， 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数的定点求解,m n ，代入后再求解一元二次不等式. 【详解】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 解析式，可得()f x 的单调性，根据条件，可得x +2＜x 2+2x ，根据一元二次不等式的解法，即可得21020 0所以()f x 在R 上递增，不等式()2f x +<()22f x x +，可化为x +2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2， 则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）. 故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（ ）A ．m <B ．m >C ．0m >D ．m >m <【答案】B 【解析】 【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论. 【详解】当0m =时，该不等式为210x -+>，解集为12x <，不成立； 当0m ≠时，由不等式的解集为R ，得()()2Δ2410m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得m >故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（ ）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性定义可知()f x 为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定()f x 的单调性，从而将所求不等式转化为124x x +≥-，解不等式可求得结果.【详解】223302332()f x ∴在[)0,∞+上为增函数，则()f x 在(],0-∞上为减函数；由()()124f x f x +≥-可得：124x x +≥-，即()()22124x x +≥-，解得：15x ≤≤，即不等式()()124f x f x +≥-的解集为[]1,5. 故选：D.【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集 题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（ ）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】解：原不等式可以转化为：()()120x ax --≥，当0a <时，可知2()(1)0x x a --≤，对应的方程的两根为1，2a，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：2[,1]a. 故选：A.例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x a ⎫<⎬⎭D ．1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】111010又因为当1a <-时，1a a >，所以不等式1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为：{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y -=-，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m < ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m >C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得()()20mx x m --<，解不等式即得解. 【详解】任取12x x <，由已知得()120f x x ->，即()()120f x f x ->，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m ->-，即()22f mx x f ->()22m x m -，所以2222mx x m x m -<-，即()22220mx m x m -++<，即()()20mx x m --<，又因为0m << 所以2m m >，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.9202【解析】 【详解】因为关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<可化为(1)()0x x a --<， 当1a >时，不等式的解集为1x a <<， 当1a <时，不等式的解集为1<<a x ，要使得解集中至多包含2个整数，则4a ≤且2a ≥-，所以实数a 的取值范围是[2,4]a ∈-，故选D.点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围. 【答案】()(),22,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】由题意0a ≠，求出方程2220ax x a --=的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案. 【详解】解：由题意0a ≠，令2220ax x a --=，解得两根为1211x x aa ==由此可知120,0x x <>， 当0a >时，解集{}{}12||A x x x x x x =<>，因为120,1x x <>，所以A B ⋂≠∅的充要条件是22x<，即12a ，解得2a >；当0a <时，解集{}12|A x x x x =<<，因为120,2x x <<，所以A B ⋂≠∅的充要条件是21>x ，即11a>，解得2a <-；综上，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R. (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得2321012（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A . （2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案. (1)当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k>+}； 当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}． (2)由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集． 因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号， 所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围 【答案】12ln2(,]43-【解析】 【分析】将不等式转化为22ln 2(1)x x m x ->+，构造函数22ln ()=2(1)x xf x x -+，利用导数判断单调性，结合题意即可求解.【详解】关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<化为：22ln 2(1)x x m x ->+，令22ln ()=2(1)x xf x x -+，0x >，则3222222ln ()2(1)x x x x xf x x x +--+'=+．令32()2222ln u x x x x x x =+--+，2()342ln u x x x x '=++在(0,)+∞上单调递增，因此存在0(0,1)x ∈，使得20000()342ln 0u x x x x '=++=，20002ln 34x x x =--， 3232232200000000000000000()2222ln 222(34)22222(1)(1)0u x x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+=+--+--=----=-++<，110210011011f （1）14=，f （2）2ln23-=．关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >， 该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，∴实数m 的取值范围是12ln2(,]43-．【方法技巧与总结】 1．数形结合处理．2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数1a =，确定2b ≥，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为m ，4m ，∴44m m a ⋅=，∴1a =，42m b m +=-，则424b m m=-+≥-，即2b ≥，44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， 故选：C.例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD． 【答案】D 【解析】124212322430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则12x x ，是方程22430-+=x ax a 的两个根，故124x x a +=，2123x x a =，故1212143a x x a x x a++=+ 因为0a <，所以有基本不等式得：114433a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当143a a -=-即a =1212a x x x x ++的最大值为 故选：D（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集判断出0a >，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD 选项的正确性.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确； 且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确. 故选：ABD .1625101123⎧⎫303 23【分析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭可得参数a 的值，则不等式303x ax -<-也具体化了，按分式不等式解之即可. 【详解】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，，故6a =，则不等式303x ax -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<， 不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<， 则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<， 故答案为：{}23x x <<.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --< 的解集是________.【答案】{|23}x x << 【解析】【分析】根据给定的解集求出a ，b 的值，再代入解不等式即可作答. 【详解】依题意，12-，13-是方程210ax bx --=的两个根，且0a <，于是得11()()23111()()23b aa ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得：6,5ab =-=，因此，不等式20x bx a --<为：2560x x -+<，解得23x <<， 所以不等式20x bx a --< 的解集是{|23}x x <<. 故答案为：{|23}x x <<12例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 由12x>可得120x ->，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】 由12x >可得120x ->，整理可得：120xx ->，则()210x x -<，解可得：102x <<. 所以不等式是12x >的解集为: 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________. 【答案】()1,0- 【解析】【分析】根据分式不等式的解法进行求解. 【详解】1111000101111x x x x x x x ->⇒->⇒>⇒<⇒-<<++++, 故答案为：()1,0-.例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________. 【答案】02xx <- 【解析】 【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论. 【详解】一个解集为()0,2的分式不等式可以是02xx <-， 022123【答案】[4,5) 【解析】 【分析】通过2330x x -+>0≥恒成立，将不等式最终转化为405010x x x -≥⎧⎪->⎨⎪+≠⎩，解出即可.【详解】解：对于233x x -+，有23340∆=-⨯<，则2330x x -+>恒成立，0≥恒成立，2323(34)00150x x x x ⎧--≥⎪≥⇔+⎨⎪->⎩又2333(34)(4)(1)11x x x x x x ---+=++， 23(34)0150x x x x ⎧--≥⎪∴+⎨⎪->⎩， 2333(34)(4)(1)x x x x --=-+405010x x x -≥⎧⎪∴->⎨⎪+≠⎩解得不等式的解集为[4,5).故答案为：[4,5). 【点睛】本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题. 例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法: 解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-. 参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____. 【答案】()()3,11,2--.101111011【详解】 若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x 代入可得，则1111,,132x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3,11,2x ∈--⋃. 故解集为：()()3,11,2--.【点睛】本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式平方处理． 题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】 【分析】由0a ≠，判别式0∆>及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，所以2044010a a a a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.故选：C例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） 55345135534求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解. 【详解】已知函数321()13f x x ax x =+++，则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】化简函数f （x ），根据f （x ）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，f ′（x ）≤0恒成立，由此解不等式求出a 的取值范围．【详解】1232122∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ） A ．196B ．3C ．103 D ．92【答案】AC 【解析】 【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于m 的方程，再根据根的分布求a 的取值范围，最后判断得到答案即可. 【详解】 解：∵ 322()13f x x x ax =-+-， 22222232223022230且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨⋅>⎩，即2242(3)0302a a ⎧-⨯⨯->⎪⎨->⎪⎩， 解得：732a <<，所以a 的取值可能为196，103. 故选：AC. 【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+ 【解析】根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案. 【详解】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证： (Ⅰ) 0a >且21ba-<<-； (Ⅰ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先由条件求得,a c 的符号，结合条件可得； （Ⅰ）根据(0),(1)()3bf f f a-的符号可得. 【详解】020 000020故21ba-<<-. （Ⅰ）函数2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b a a--，在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<.又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a c acf a a+--=-<又因为2()32f x ax bx c =++在(0,)3ba -上单调递减，在(,1)3b a-上单调递增， 所以方程()0f x =在区间(0,)3ba -与(,1)3b a-内分别各有一实根. 【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}42,3x x x -≤≤≠- C ．{}34x x ≤≤ D ．{}34x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合,A B ，然后根据并集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，()(){}2302032330x x x B x x x x x x ⎧⎫⎧-+≤⎧⎫-⎪⎪=≤==-<≤⎨⎬⎨⎨⎬++≠⎩⎭⎩⎪⎪⎩⎭，所以{}34A B x x ⋃=-<≤， 故选：D.2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件22012,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件. 故选：B3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)4,+∞ C ．()(),12,4-∞-⋃ D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅， 所以，当{}2|B x a x a=<<=∅时，2a a≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞. 故选：D4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1- B．(-C ．()0,1D．(【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数关于点(1,0)成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求 22022又()()ln ln 2cos2f x x x x π=---的定义域为(0,2)，由πln ,ln(2),cos 2y x y x y x ==--=-在(0,2)上单调递增知， ()()ln ln 2cos2f x x x x π=---在(0,2)上递增，()()20f t f t +<，()20(2)f f t t ∴+-<-，即()2(2)f t f t <-，22t t ∴<-，解得21t -<<，又20202t t <<⎧⎨<<⎩，解得0t << 所以01t <<. 故选：C5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可. 【详解】解：因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<， 所以，实数a 的取值范围是31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的7522。
专题05-函数：定义域归类大全-2023学年高一数学培优练(人教A版2019第一册)(原卷版)
专题5函数：定义域归类大全目录【题型一】开偶次方根函数定义域 (2)【题型二】解绝对值函数不等式求定义域 (3)【题型三】抽象函数定义域 1：f(x)→f(g(x))型 (4)【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型 (6)【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h（x）)型 (7)【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）) (8)【题型七】抽象与具体函数混合型 (9)【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域 (11)【题型九】恒成立含参型 (12)【题型十】对数函数定义域 (14)【题型十一】定义域：解指数函数不等式 (15)【题型十二】正切函数定义域 (16)【题型十三】解正弦函数不等式求定义域 (17)【题型十四】解余弦函数不等式求定义域 (18)【题型十五】求分段函数定义域 (20)【题型十六】实际应用题中的定义域应用 (21)培优第一阶——基础过关练 (23)培优第二阶——能力提升练 (26)培优第三阶——培优拔尖练 (30)综述：常考函数的定义域：1 . f (x )0 → f (x ) ≠ 0 ；②. →f →ff (x )→ f (x )> 0 ；④. loga⑥.实际问题中，需根据实际问题限制范围.【题型一】开偶次方根函数定义域【典例分析】的定义域为 ( ) 例1（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）函数f(x)=√x(3−x)+√x−1A ．[0, 3]B ．[1, 3]C ．[3, +∞)D ．(1, 3]【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为(−∞, 1] ，则实数a 的取值集合为 ( )A ．{1}B ．(∞, 1]C ．[1, +∞)D ．(∞,1) (1, +∞)的定义域是 ( )2.（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数y=√1−x2+1x3A ．(∞, 1]B ．(1, 0) U (0, 1)C ．[1, 0) U (0, 1]D ．(0, 1]3.（2022·全国·高一专题练习）函数f的定义域为 ( )A．B.C． D .【题型二】解绝对值函数不等式求定义域【典例分析】例2函数y = 的定义域是 ( )A ．(0, +∞)B ．(∞, 0)C ．(0, 1) U (1, +∞)D ．(∞, 1) (1, 0 ) (0, +∞)【提分秘籍】基本规律绝对值不等式：| f(x) |< g(x) g(x) < f(x) < g(x)1.2. | f(x) |> g(x) f(x) > g(x)或者f(x) < g(x)【变式训练】1.（2022·广东·广州六中高一期末）函数y = 的定义域是.2.（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）函数f(x)=√2−|1−2x|的定义域是.3.（2021·北京市第九中学高一期中）函数f(x)=√|2x−3|−1的定义域是.【题型三】抽象函数定义域1：f(x)→f(g(x))型【典例分析】例3（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数y = f (x ) 的定义域为[-1, 5] ，则函数y = f (2x2 -1) 的定义域为 ( )A ．[0, 3]B ．[-3.3]C ．[−√3，√3]D ．[-3, 0]【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知f的定义域为 ( )A ．(-∞, 1) (1, 3)B ．(-∞, 2) (2, 4)C ．(-∞, 0) u (0, 2 )D ．(-∞, 2)2.（2015·上海·闵行中学高一期中）已知函数y = f (x +1) 的定义域为[-2 ，3] ，则函数y = f (2|x|−1)的定义域为 ( )B ．[-1，4]D.3.（2018·江西·南康中学高一期中）已知函数f(x) 的定义域为[3, +∞) ，则函数f (+1) 的定义域为 ( )A ．B ．C ．D .【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型【典例分析】例4（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是[1, +∞) ，则函数y = f (x ) 的定义域是.【变式训练】1.（2019·陕西·渭南市尚德中学高一阶段练习）若函数f(x -1) 的定义域为[-1, 2] ，那么函数f(x) 中的x 的取值范围是.2.（2020·山西·太原五中高一阶段练习）若函数f(2x -1) 的定义域为[0, 1] ，则函数f(x) 的定义域为 ( )A ．[-1, 0]B ．[-3, 0]C ．[0, 1]D ．[-1, 1]3.（2023·全国·高一专题练习）已知f(x2 -1) 的定义域为[−√3，√3]，则f (x ) 的定义域为 ( )A ．[-2,2] B．[0, 2] C．[-1, 2] D .[−√3，√3]【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h（x）)型【典例分析】例5（2022·全国·高一课时练习）函数y = f (x - 3) 的定义域为[4, 7 ] ，则y = f (x2 ) 的定义域为()A ．(1, 4)B ．[1, 2]C ．(-2, -1) (1, 2)D ．[-2, -1] U [1, 2]【变式训练】1.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一期中）函数f(|x|+1)的定义域为[-1, 2]，则函数f (2x ) 的定义域为 ( )B.D.2.（2022 ·全国·高一课时练习）若函数f (x2 - 2) 的定义域为[-1, 3] ，则函数f (x ) 的定义域为; 若函数f(2x - 3) 的定义域为[1, 3) ，则函数f (1- 3x ) 的定义域为.3.（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）f(2x -1) 的定义域为[0, 1) ，则f(1-3x) 的定义域为 ( )A ．(-2, 4]B ．C ．（0,D ．(0,【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）)【典例分析】例6（2021·全国·高一单元测试）已知函数f (x ) 的定义域为，若c ∈则函数g (x ) = f (x + c )+ f (x - c )的定义域为 ( )A ．(-c, 1 - c )B ．(c, 1- c )C ．(1- c, c )D ．(c, 1+ c )【变式训练】1.（2021·安徽蚌埠·高一期末）已知函数f (x )的定义域是[0, 2] ，则函数g(x)=f(x+12)+)的定义域是 ( )f(x−12B ．,C ．-,D ．[0, 2]2.（2020·安徽·繁昌皖江中学高一期中）已知函数f(x) 的定义域为[0, 4] ，求函数y = f(x + 3) + f(x2 )的定义域为 ( )A ．[-2, -1]B ．[1, 2]C ．[-2, 1]D ．[-1, 2]3.（2021·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）若函数y = f(x) 的定义域是[0, 1] ，则函数F(x) = f(x + a) + f(2x + a)(0 < a <1) 的定义域是( )B.【题型七】抽相与具体函数混合型【典例分析】例7（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知函数f (2x - 2) 的定义域为{x | x < 1} ，则函数的定义域为 ( )A ．(-∞, 1)B ．(-∞, -1)C ．(-∞, -1) U (-1, 0)D ．(-∞, -1) U (-1, 1)【变式训练】1.（2021·河南·高一期中）已知函数y = f (2x -1) 的定义域是，则y = 的定义域是 ( )A ．[-2, 5]B ．(-2, 3]C ．[-1, 3]D ．(-2, 5]3.（2022·全国·高一专题练习则的定义域为（）.A.（-4,0）∪（0,4）B.（-4,-1）∪（1,4）C.（-2,-1）∪（1,2）D.（-4,-2）∪（2,4）3.2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若函数f (x +1) 的定义域为[-1, 15] ，则函数的定义域为 ( )A ．[1, 4]B ．(1, 4]C ．[1, 14]D ．(1, 14]【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域【典例分析】例8（2021·全国·高一课时练习）已知f的定义域为 ( )A ．{x | x ≠ -2}B ．{x | x ≠ -1}C ．{x x ≠ -1且x ≠ -2 }D ．{x x ≠ 0 且x ≠ -1}【变式训练】1.（2020·江西省临川第二中学高一阶段练习）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1] ，g (x ) = x + 2 ，那么f(g (x )) 的定义域是 ( )A ．(2, 3]B ．[0, 1)C ．(0, 1]D ．(-2, -1]设f＝.【题型九】恒成立含参型【典例分析】例9（2022·全国·高一专题练习）若函数f(x)=√ax2+ax+1定义域为R，则a 的范围是 ( )A ．[0, 4]B ．[0, 4)C ．(0, 4]D ．(0 , 4)【变式训练】1.（2021·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知函数f(x)=√2的定义域是 R ，则m的取值范围是 ( )A ． 0 ≤ m < 4B ． 0 ≤ m ≤1C ． m ≥ 4D ． 0 ≤ m ≤ 42.（2022·全国·高一专题练习） 已知y =√ax +(a−1)x+14的定义域是 R ，则实数 a 的取值范围是() A ．(0，3+√52) B .C ．(−∞，3−√52)∪(3+√52，+∞)3.（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一阶段练习）若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0, 4)B ． [0, 4)C ． [0, 4]D ． (0, 4]【题型十】对数函数定义域【典例分析】例10（2020·黑龙江哈尔滨·高一阶段练习 ）函数y =ln√a x 2+2x −1的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．[0, +∞)B ． [-1, 0) (0, +∞) 【变式训练】1.（2022·山东·枣庄市第三中学高一开学考试）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1) ，则 的定义域为 .2.（2021·山东省实验中学高一阶段练习）函数f(x)=√12−log 4(x −1)的定义域为______.3.（2019·黑龙江·哈九中高一阶段练习（文））已知集合A ={x |x −1>0}，B ={x |y =log 2x −2x +1}，则 A ∩ (C R B ) = ( )A ． [0, 1)B ． (1, 2)C ． (1, 2]D ． [2, +∞)【题型十一】定义域：解指数函数不等式【典例分析】例11（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )=√2x −a 的定义域为[2, +∞) ，则a =【变式训练】 1.（2023·全国·高一专题练习） 已知函数f (x )=lnx +√16−2x ，则f的定义域为 ( )A ．(0，1)B ．(1，2) C ． (0，4] D ． (0，2] 2.（2022·全国·高一专题练习）函数f的定义域为 .3.（2022·全国·高一专题练习）函数y =√3x 2−2−9的定义域为 .【题型十二】 正切函数定义域【典例分析】例12（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）函数f (x )=√1−tan 2x 的定义域为 .【提分秘籍】 基本规律正切函数，形如tan f (x )【变式训练】1.（2022 ·云南昭通 · 高一期末）函数y = -tan的定义域为 .2.（2022·全国·高一课时练习）函数y = tan 的定义域为 .【题型十三】解正弦函数不等式求定义域【典例分析】例13（2022·北京八中高一期中）函数f (x ) = lg (1- 4sin 2x )的定义域为 .【变式训练】1.（2023·全国·高一专题练习）函数y =的定义域为____________.2.（2023 ·全国 · 高一专题练习）函数f (x )=√sinx +1√16−x 2的定义域为 .3..（2023·全国·高一专题练习）函数f (x )=√1−√2sinx 的定义域为【题型十四】解余弦函数不等式求定义域【典例分析】例14（2022·陕西省安康中学高一期末）函数f的定义域为.【变式训练】1.（2022·广西·钦州一中高一期中）函数f(x)=lg(√2cosx −1)的定义域为 . 2.（2021·江苏·高一专题练习）函数f(x)=√cos 2x −sin 2x 的定义域为 . 3.（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一阶段练习）函数y =√2cosx −1 的定义域为 .____________【题型十五】求分段函数定义域【典例分析】例15（2021·广东·佛山市第三中学高一阶段练习）函数f 1的定义域是_______.【变式训练】1.（2021·全国·高一课时练习）已知函数求这个函数的定义域与值域.2.（2020·辽宁省建昌县高级中学高一阶段练习）已知函数求f (x )的定义域，值域；3.（2022 全国高一课时练习）函数y={x2，x>0−2，x<0的定义域为，值域为【题型十六】实际应用题中的定义域应用【典例分析】例16（2020·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为定值a ，设它的一条边长为x ，则矩形面积的函数S = f (x ) 的定义域为 ( )A ．(0, +∞)B ．(0, a )C ．[0, +∞)D ．(0,)【变式训练】1.（2021·全国·高一课时练习）已知等腰三角形ABC 的周长为10,且底边长y 关于腰长x的函数关系为y= 10-2x,则函数的定义域为( )A ．{x|x∈R}B ．{x|x>0}2.（2019·全国·高一课时练习）已知等腰三角形的周长l 为常数，底边长为y ，腰长为x ，则函数y = g(x) 的定义域为 ( )A ．(0, )B ．C ．D .3.（2022·全国·高一专题练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h（单位：m ）与时间t（单位：s）的关系为h = 130t - 5t2 .①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）函数f(x)=1√x−1+√2−x的定义域为 ( )A ．[1, 2]B ．(1, 2)C ．(1, 2]D ．[1, 2)2.（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）函数y = 的定义域是.3.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )的定义域为(3, 5) ，则函数f(2x +1) 的定义域为 ( )A ．(1, 2)B ．(7, 11)C ．(4, 16)D ．(3, 5)4.（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2 ，3] ，则y=f(x)的定义域是 ( )A ．[0 ，5]B ．[-1 ，4]C ．[-3 ，2]D ．[-2 ，3]5.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f(x +1) 的定义域为[1, 5]，则f(2x) 的定义域为 ( )A ．[1, 3]B ．[1, 4]C ．[2, 5]D ．[2, 6]6..（2021·安徽·芜湖一中高一期中）已知函数y = f(x) 的定义域为(-1, 1) ，则函数g(x) =f(x - 2) + f(1- x)的定义域为( )A ．(1, 2)B ．(-1, 1)C ．(0, 2)D ．(1, 3)7.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x + 2) 的定义域为(-3, 4) ，则函数的定义域为( )A ．B ．C ．D .8.（2023·全国·高一专题练习）已知f的定义域为( )A ． {x | x ≠ -2}B ． {x | x ≠ -1}C ． {x x ≠ -1且x ≠ -2 }D ． {x x ≠ 0 且x ≠ -1} 9.（2022·全国·高一专题练习）若函数f(x)=√ax 2−ax +1的定义域为 R ，则 a 的范围是 ( ) A ．(0, 4) B ． [0, 4) C ． (0, 4] D ． [0, 4]10.（2022·北京·清华附中高一阶段练习）函数f (x ) = lg (x 2-1)的定义域为 .11.（2022·全国·高一专题练习）函数f 的定义域为.12.（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数f = tan的定义域_______13.（2018·黑龙江·鸡西市第十九中学高一期中（理））函数f(x)=log 12sinx 的定义域为( )14.（2022·上海市进才中学高一期中）函数y =lg (2cosx −√3)的定义域为 . 15.已知等腰三角形的周长为40cm ，设其底边长为y cm ，腰长为 x cm.则函数y = f (x ) 的定义域为 ( )A ．(10, 20) B ． (5, 10) C ． [5, 10) D ． (0, 20) 培优第二阶——能力提升练1.（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）函数f的定义域是 ( )D B..2.（2021·宁夏·银川一中高一期中）f(x)=√|x −1|−2的定义域为 ( ) A ．(-1, 3) B ． [-1, 3] C ． (-∞, -1) (3, +∞) D ． (-∞, -1]U [3, +∞)3.（2021·黑龙江·哈九中高一阶段练习）若函数y = f (x ) 的定义域是[1, 2] ，则函数y =f (√x)的定义域是 ( )A ．[1, 2]B ． [1, 4]C ．[1，,√2] D ． [2,4]4..（2023·全国·高一专题练习）已知函数f (3x +1) 的定义域为[1, 7] ，求函数f (x ) 的定义域.5.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x +1) 的定义域为(-1, 1) ，则f(|x |)的定义域为( ) A ．(-2, 2) B ． (-2, 0)U (0, 2)C ． (-1, 0) U (0, 1)D ． (−12，0)6.（2021·全国·高一课时练习）函数f (x ) 的定义域为[一2, 2]，则函数g (x ) = f (x 一 2) . f (x 一 3) 的 定义域为 ( )A ． [1, 4]B ． [0, 5]C ． [0, 20]D ． [1, 9] 7.（2020·江西·宜春九中高一阶段练习） 已知函数f (x +1) 的定义域为[一2, 1] ，则函数的定义域为 ( )A ． [1, 4]B ． [0, 3]C ． [1, 2)U (2, 4]D ． [1, 2 ) (2, 3] 8.（2016 ·安徽合肥 · 高一阶段练习）函数 ，则y =f (f (x))的定义域是A ．B .C ．D .9.（2021·全国·高一专题练习）函数f(x)=√−mx 2−2x +1定义域为 R ，则实数 m 的取值 范围是 ( )A ．（0 ，1）B . ( ﹣∞ , ﹣ 1]C ．[1 ，+∞ )D . ( ﹣∞ , ﹣ 1）10.（2022·全国·高一专题练习）函数f (x )=1√log 2(2x 2−9x +14）−2的定义域为 .11.（2016·河北保定·高一）已知函数y = x ) 的定义域为则函数y = f (2x ) 的定义域为A ． [-1, 0]B ． [0, 2]C ． [-1, 2]D ．[0, 1] 12.（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）函数y =√1+tanx 的定义域是 . 13.（2022·全国·高一专题练习）函数f 的定义域为 .14.（2021·河南·高一阶段练习）函数y =1lgsinx+√cosx −12的定义域为 .15.（2021·全国·高一课时练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长y (cm ) 是腰长x (cm ) 的函数，则函数的定义域为( )A ．(10, 20)B ．(0, 10) C ． (5, 10) D ． [5, 10)培优第三阶——培优拔尖练1.（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数f (x )=√−x 2+x +6+|x |x −1的定义域为 ( )A ．(-∞,- 2] [3，+∞) B ． [-3，1) (1，2 ] C ． [-2，1) (1，3] D ． (-2，1) (1，3)2.（2021·江苏·高一单元测试）关于函数f(x)=√x 2−x 4|x−1|−1 ，描述不正确的是 ( ) A ． f (x ) 的定义域为[-1，0)(0，1] B ． f (x ) 的值域为(-1，1)C ． f (x )在定义域上是增函数D ． f (x )的图像关于原点对称3.（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测） 已知函数y = f (x ) 的定义域为[-1, 5] ，则函数y = f (2x 2 -1)的定义域为 ( )A ．[0, 3] B ． [-3.3] C ．[−√3，√3] D ． [-3, 0] 4.（2021·全国·高一课时练习） 已知f (x 2 -1)的定义域为[−√3，√3]，则f (x ) 的定义域 为 ( )A ． [-2,2]B ． [0, 2]C ． [-1, 2 ]D ．[−√3，√3]s .（2021·新疆师范大学附属中学高一阶段练习）已知f (x +1) = , 则f (2x -1) 的定义域为 ( )B ．C ．D .6.（2019·黑龙江·哈师大青冈实验中学高一阶段练习）若函数f (x )定义域为[0, 1] ，则C ． [a , 1 - a ]D ． [0, 1 - a ]7.（2020·安徽·六安一中高一阶段练习） 已知f (x ) 的定义域为[-2, 2] ，且函数A ．(-1, 1] B ． (-1, 5) C ． (-1, 3] D ． [-1, 3] 8.（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高一阶段练习）设函数则函数f (f (x )) 的定义域为A ．(-9, +∞) B ． (-9, 1) C ． [-9, +∞) D ． [-9, 1) 9.（2020·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）若函数 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )D B ..10.（2022·全国·高一课时练习） 已知函数y = lg 的定义域是 R ，则实数 a的取值范围是 .11.（2022·全国·高一专题练习）函数f (x )=√x +1lg [(13)x −1]的定义域为 .12.（2022·全国·高一专题练习）函数y = lg (1+ tan πx ) +的定义域为 .13.（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=log x (6−x)+√1−2sinx 定义域为 .14.（2022·全国·高一专题练习）函数f(x)=lgcosx−√25−x2的定义域为.15.（2020·上海·高一课时练习）一个等腰三角形的周长为10 ，设底边长为y ，腰长为x ，求y 关于x 的函数解析式.。
专题05 综合性学习(原卷版) (1)
示例：（名言）轻诺必寡信。——（出处）《老子》
（名言）______________________________出处______________________________
(3)谈谈你对诚信的理解。
3．（2021·山西吕梁·八年级期中）班级开展“人无信不立”语文综合实践活动，请你参与并完成任务。
诚信是中华民族的传统美德之一。人无信不立，诚信是立身之本、交友之道，诚信是国与国之间交往的基本准则。为了培养学生讲诚信的精神品质，明礼中学八年级1班准备开展以“诚信”为主题的系列活动。
(1)刘诗礼是活动的策划者，为了圆满完成任务，请你来帮助她：
①开展“诚信伴我成长”主题班会②___________________③___________________④___________________
(1)请你替“人无信不立”演讲比赛主办方设计活动步骤。（至少三步）
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专题05函数的概念及表示--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(原卷版)
专题05函数的概念及表示--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。
学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成学习者的数学抽象能力。
二、教学建议在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出 现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：2,,,,log (),sin ,cos x a cx dy ax b y ax bx c y y y a y mx n y x y x ax b+=+=++====+==+求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：2,,,log ,sin ,cos x a y ax b y ax bx c y a y x y x y x =+=++====，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。
函数概念需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。
三、自主梳理1．函数的定义（☆☆☆）一般地，设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应；那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ． 2．函数的定义域、值域（☆☆☆）在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，其中所有x 组成的集合A 称为函数y ＝f (x )的定义域；将所有y 组成的集合叫做函数y ＝f (x )的值域．3．函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．（☆☆☆） 4．表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法．（☆☆☆） 5．分段函数（☆☆☆）在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．四、真题感悟1.(2014浙江)已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f -=-=-≤≤，则A ．3≤cB ．63≤<cC ．96≤<cD ．9>c2.(2014江西)已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=aA ．1B ．2C ．3D ．-1 3．（2020北京11）函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 4.（2017新课标Ⅲ）设函数1,0()2,0xx x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___．5. (2014浙江)设函数若，则实数的取值范围是___.6.（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 7.（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．8.(2013北京)函数的值域为 ．五、高频考点+重点题型考点一、定义域 例1.（1）函数 ）A ．B ．C ．D ．（2）（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f ()()2≤a f f a 12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩1()lg(1)f x x =++[2,2]-[2,0)(0,2]-(1,0)(0,2]-⋃(-1,2][)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．对点训练1.（2021江西省临川高三押题预测卷）已知集合{A x y ==,{}24x B x =>,则A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)1,-+∞C ．[]2,4D ．(]2,4对点训练2.（2021湖北省荆州中学高三下学期四模）定义域是一个函数的三要素之一,已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985],则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为（ ） A ．211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦对点训练3.若函数212x y x ax -=++的定义域为R ,则实数a 的取值范围为________；【答案】((),22,-∞-+∞；【解析】(1) 212x y x ax -=++的定义域为R ,则22x ax -+恒不为零,即220x ax -+=没有实数根,所以280a ∆=-<,所以实数a 的取值范围为((),22,-∞-+∞；总结：1、给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ,x ≠k π＋π2(k ∈Z )；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求2、抽象函数的定义域要求：寻找内在的隐含条件考点二、函数值域与最值例2．（2021山东省济南市高三二模）（多选题）下列函数求值域正确的是（ ）A ．()1f x x =+[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C ．()h x =(0D ．()w x =[2对点训练1.（2021陕西省西安市高三下学期适应性考试）已知集合(){}2ln M y y x e ==+,集合{N t s ==,则MN =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}02x x ≤≤ C ．{}12x x ≤≤ D ．{}2x x x e ≤≥或对点训练2.函数23)y x x =->的值域为__________．考点三、解析式例1、求下列函数的解析式（1）已知f (x ＋1)＝x ＋2x ,则f (x )= ________．（2）已知()f x 是三次函数,且在0x =处的极值为0,在1x =处的极值为1,则()f x =______． （3）已知f (x )的定义域为{x |x ≠0},满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1,则函数f (x )=________． （4）已知函数()1f x +是偶函数,且1x <时()24f x x x =-,则1x >时f (x )=________．对点训练1.已知函数 f （x ）＝2x ﹣1，g （x ）={x 2，x ≥0−1，x ＜0，求f [g （x ）]和g [f （x ）]的解析式．对点训练2.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.考点四、分段函数例4．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈对点训练1、（2021江西省高三5月联考）已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为（ ）A ．(),3-∞-B ．3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),1-∞对点训练2.（2020•河西区三模）已知实数a ≠0，函数f(x)={2x +a ，x ＜1−x −2a ，x ≥1，若f （1﹣a ）＝f （1+a ），则a 的值为（ ） A ．−34 B ．34C ．−35D ．35考点五、复合函数例5.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.对点训练1.(多选题)已知定义域内的函数f (x )满足f (f (x ))-x >0恒成立,则f (x )的解析式不可能是 ( ) A.f (x )=2 019xB.f (x )=e xC.f (x )=x 2D.f (x )=lg √1+x 2对点训练2.【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f x g x ≤考点六、函数概念：对应法则例1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4对点训练1.（上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ） A ．√3 B ．√32C ．√33D ．0对点训练2.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A ,B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”,则下列对应法则f 满足函数定义的有（ ） A ．()2f x x =B ．()2f xx =C ．(cos )f x x =D ．()xf ex =巩固训练一、单选题 1.函数的值域为（ ） A ．B ．C ．D ．2.（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数1y x =+是相等函数的是（ ） A．2y =B．1y =C ．21x y x=+D．1y =3.已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+2f （﹣x ）＝x 2﹣x ，则f （x ）＝（ ） A ．x 2+2x 3B ．2x 23+x C ．2x 2+2x3D ．x 23+x4．（2020秋•渝中区校级月考）对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（ ） A ．f （cos x ）＝sin2x B ．f （sin2x ）＝sin x C ．f （sin x ）＝sin2xD ．f （sin x ）＝cos2x5（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形ABCD 中，2AB =点M 从点A 出发，沿A B C D A →→→→向，以每2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动；点N 从点B 出发，沿B C D A →→→方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t (单位：秒)，AMN 的面积为()f t (规定,,A M N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，()y f t =的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．()()10f x x x x=+<[)2,+∞(][),22,-∞+∞(],2-∞-R6.(2020山东潍坊一模)函数f (x )={√x +1,-1<x <0,2x,x ≥0,若实数a 满足f (a )=f (a -1),则f (1a )=( )A.2B.4C.6D.8二、多选题7.（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x +-，则f (x )满足的关系有（ ）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x - C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x ) D ．1()()f f x x-=-8.（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(1,)+∞，值域为R ，则（ ） A ．函数()21f x +的定义域为RB ．函数()211f x +-的值域为RC ．函数1x x e f e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域和值域都是R D ．函数(())f f x 的定义域和值域都是R三、填空题 9.若函数y =R ,则实数a 的取值范围为________.10.（2021·全国高一课时练习）已知f 1-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=x 2+21x ，则函数f (x )=_______，f （3）=_______． 四、解答题11．（2021内蒙古巴彦淖尔市高三月考）已知函数,.（1）求的解析式.（2）若方程有实数根,求实数a 的取值范围.()23log 24f x x x =-+1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()233f x a a =-+12．某农家小院内有一块由线段OA ,OC ,CB 及曲线AB 围成的地块,已知,点A ,B 到OC 所在直线的距离分别为1 m,2 m, ,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,已知曲线OAB 是函数的图象,其中曲线AB 是函数图象的一部分．（1）求函数的解析式；（2）P 是函数的图象上的动点,现要在如图所示的阴影部分（即平行四边形PMCN 及其内部）种植蔬菜,求种植蔬菜区域的最大面积．12m 5OC =45,AOC ∠=︒tan OCB ∠54=-()y f x=y b =()y f x =()y f x =。
专题05 语法填空(原卷版)
专题05 语法填空1.【2024届广西柳州高中、南宁三中高三联考试题】阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。
Layue is regarded as a preparatory phase for the upcoming Spring Festival. It is the 36 (twelve) month of the traditional Chinese calendar.37 (fall) on January 18 this year, Laba Festival was traditionally 38 occasion to honor their ancestors, and pray to deities, heaven, and earth for a good harvest and good luck. The last lunar month is called “la” in Chinese, and “eight’’ is pronounced “ba” in Chinese. This is 39 the name of the festival comes from. The custom 40 this day is to eat Laba porridge, cooked with a mix of eight ingredients, as eight is a 41 (fortune) number in Chinese culture. 42 (it) recipe varies across China depending on regional availability. Nowadays, 43 (boil) with sugar for at least four hours, Laba Porridge is regarded as a nutritious food. Distribution of Laba porridge at Yonghe Lamasery (雍和宫) in Beijing is one of the most famous activities. Today, waiting 44 (eager) in queues at the temples, people 45 (expect) to not just share a bowl of porridge, but be a part of the tradition and share the joys and expectations of the coming year.2.【2024届江西省九江十校高三二联试题】阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。
专题05导数及其应用解答题(原卷版)
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题05导数及其应用解答题1．【2022年全国甲卷理科21】已知函数f(x)=e xx−lnx+x−a．(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则环x1x2<1．2．【2022年全国乙卷理科21】已知函数f(x)=ln(1+x)+axe−x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．3．【2022年新高考1卷22】已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．4．【2022年新高考2卷22】已知函数f(x)=x e ax−e x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；(3)设n∈N∗，证明：1√12+1+1√22+2+⋯+1√n2+n>ln(n+1)．5．【2021年全国甲卷理科21】已知a>0且a≠1，函数f(x)=x aa x(x>0)．（1）当a=2时，求f(x)的单调区间；（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．6．【2021年新高考1卷22】已知函数f(x)=x(1−lnx).（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a +1b<e.7．【2021年全国乙卷理科20】设函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．（1）求a；真题汇总（2）设函数g(x)=x+f(x)xf(x)．证明:g(x)<1．8．【2021年新高考2卷22】已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2+b ． （1）讨论f(x)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点 ①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．9．【2020年全国1卷理科21】已知函数f(x)=e x +ax 2−x . （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 10．【2020年全国2卷理科21】已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明：|f(x)|≤3√38； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤3n4n .11．【2020年全国3卷理科21】设函数f(x)=x 3+bx +c ，曲线y =f(x)在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1． 12．【2020年山东卷21】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．13．【2020年海南卷22】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．14．【2019年新课标3理科20】已知函数f （x ）＝2x 3﹣ax 2+b ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f （x ）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．15．【2019年全国新课标2理科20】已知函数f （x ）＝lnx −x+1x−1．（1）讨论f （x ）的单调性，并证明f （x ）有且仅有两个零点；（2）设x 0是f （x ）的一个零点，证明曲线y ＝lnx 在点A （x 0，lnx 0）处的切线也是曲线y ＝e x 的切线． 16．【2019年新课标1理科20】已知函数f （x ）＝sin x ﹣ln （1+x ），f ′（x ）为f （x ）的导数．证明： （1）f ′（x ）在区间（﹣1，π2）存在唯一极大值点；（2）f （x ）有且仅有2个零点．17．【2018年新课标1理科21】已知函数f （x ）=1x −x +alnx ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜a ﹣2．18．【2018年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝e x ﹣ax 2． （1）若a ＝1，证明：当x ≥0时，f （x ）≥1； （2）若f （x ）在（0，+∞）只有一个零点，求a ．19．【2018年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝（2+x +ax 2）ln （1+x ）﹣2x ． （1）若a ＝0，证明：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；当x ＞0时，f （x ）＞0； （2）若x ＝0是f （x ）的极大值点，求a ．20．【2017年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．21．【2017年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0． （1）求a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．22．【2017年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝x ﹣1﹣alnx ． （1）若f （x ）≥0，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，（1+12）（1+122）…（1+12n ）＜m ，求m 的最小值． 23．【2016年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是f （x ）的两个零点，证明：x 1+x 2＜2．24．【2016年新课标2理科21】（Ⅰ）讨论函数f （x ）=x−2x+2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，（x ﹣2）e x +x +2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=e x−ax−ax2（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．25．【2016年新课标3理科21】设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．26．【2015年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x3+ax+14，g（x）＝﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．27．【2015年新课标2理科21】设函数f（x）＝e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．28．【2014年新课标1理科21】设函数f（x）＝ae x lnx+be x−1x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．29．【2014年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜√2＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．30．【2013年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y ＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．31．【2013年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．1．已知函数f(x)=x22+cosx−1．(1)求函数f(x)的最小值；(2)证明：∑cos1k >n+12n−1nk=1．2．已知函数f(x)=e x(sinx+cosx)−asinx..(1)当a=1时，求函数f（x）在区间[0，2π]上零点的个数；(2)若函数y=f(x)在（0，2π）上有唯一的极小值点，求实数a的取值范围3．已知函数ℎ(x)=x−alnx(a∈R).(1)若ℎ(x)有两个零点，a的取值范围；(2)若方程x e x−a(lnx+x)=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e x1+x2>e2x1x2.4．已知函数f(x)=a2x2+(a−1)x−lnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>4时，若方程f(x)=ax2−x+a2在(0，1)内存在唯一实根x0，求证：x0∈(14,1e)．5．已知函数f(x)=e1−x+a(x2−1)，a∈R．(1)若a=12，求f(x)的最小值；(2)若当x>1时，f(x)>1x+lnx恒成立，求a的取值范围．6．已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(1)=5，函数g(x)=a(lnx+1)−f(x)x2≤0在(1,+∞)上恒成立，求整数a的最大值.7．已知函数f(x)=lnx+ax,a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设函数g(x)=f(x)−1x，若g(x)在[1,e2]上存在极值，求a的取值范围.8．设函数f(x)=a e x−x−1，a∈R．(1)当a=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)当x∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；模拟好题(3)求证：当x∈(0,+∞)时，e x−1x>e x2．9．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1).(1)若f(x)恒有两个极值点x1，x2（x1<x2），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明f(x1)+f(x2)>32.10．已知函数f(x)=xsinx+cosx+12ax2,x∈[0,π].(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)当a>0时，讨论f(x)的零点个数.11．已知函数f(x)=xe x−1+(1−a)lnx，g(x)=lnx+ax．(1)当a=1时，求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当a=2时，对于在(0,1)中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得e g(x0+1)−3x0−2+b2x02<1，请说明理由；(3)设ℎ(x)=f(x)−g(x)，x1是ℎ(x)的极小值点，且ℎ(x1)≥0，证明：ℎ(x1)≥2(x12−x13)．12．已知函数f(x)=ax−2e x+3(a∈R)，g(x)=lnx+x e x（e为自然对数的底数，e<259）．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a=−1，ℎ(x)=f(x)+g(x)，当x∈[12,1]时，ℎ(x)∈(m,n),(m,n∈Z)，求n−m的最小值．13．已知函数f(x)=a e xx+lnx−x(a∈R)．(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当a>1时，设F(x)=f(x)−(2lnx−x+1x )，求证：F(x)>ln(ax)x−lnx+e−1．14．设函数f(x)=m e x−1,g(x)=lnx+n，m、n为实数，若F(x)=g(x)x 有最大值为1e2(1)求n的值；(2)若f(x)e2>xg(x)，求实数m的最小整数值.15．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1),a>0.(1)若f(x)在区间(1,+∞)上有且仅有一个极值点m，求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明34<f(m)<e24.16．已知函数f(x)=ln(x−1)−mx(m∈R),g(x)=2x+n−2．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当−1≤m≤e−2时，若不等式f(x)≤g(x)恒成立，求n−3的最小值．m+217．已知函数f(x)=e x2lnx(x>0)．(1)求f(x)的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数x1,x2(0<x1<x2)满足f(x1)=f(x2)=e k．（i）求k的取值范围（ⅱ）证明x2e2−2e≤e−e21．x118．已知函数f(x)=xlnx−a(x2−1),a∈R(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)若过原点作曲线y=f(x)的切线有两条，求a的取值范围，并证明这两条切线的斜率互为相反数．19．已知函数f(x)=e−x+sinx−ax，g(x)为f(x)的导函数．]内存在唯一的极值点x0，√2<2cosx0<√3；(1)证明：当a=0时，函数g(x)在区[0,π2(2)若f(x)在(0,π)上单调递减，求整数a的最小值．(x>0).20．已知函数f(x)=1+ln(x+1)x(1)试判断函数f(x)在(0，+∞)上单调性并证明你的结论；(2)若f(x)>k对于∀x∈(0,+∞)恒成立，求正整数k的最大值；x+1(3)求证：(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)⋯[1+n(n+1)]>e2n−3．。
专题05 整式(专题测试)(原卷版)
专题05 整式专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共12小题，每题4分，共计48分）1．（2018春东营市期末）观察下列单项式的排列规律：3x，，，，，，照这样排列第10个单项式应是（）A．39x10B．-39 x10C．-43 x10D．43 x102．（2018春王益区期末）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（）A.842x+B.1042015x+C.108415x+D.1042015+3．（2016春重庆市期末）多项式x2－2xy3－y－1是( )A．三次四项式B．三次三项式C．四次四项式D．四次三项式4．（2016春万柏林区期中）多项式2x3-8x2+x-1与多项式3x3+2mx2-5x+3的和不含二次项，则m为（）A．2 B．-2 C．4 D．-45．（2018春重庆市期末）已知a2+3a=1，则代数式2a2+6a-1的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．（2018春济南市期末）下列说法错误的是（）A．5y4是四次单项式B．5是单项式C．243a b的系数是13D．3a2+2a2b﹣4b2是二次三项式7．（2019春富县期末）在多项式6y3－4x5－8＋2y4z2中，最高次项的系数和常数项分别为（）A．6和－8 B．－4和－8 C．2和－8 D．－4和88．（2018春淄博市期中）下列结论中正确的是（）A.单项式的系数是，次数是4B.单项式m的次数是1，没有系数C.多项式是二次三项式D.在，，，，，0，中，整式有4个9．（2016春五莲县期末）如果单项式x2y m+2与x n y的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（）．A．m=2，n=2 B．m=－1，n=2 C．m=－2，n=2 D．m=2，n=－110．（2019·春赣州市期中）a是一位数，b是两位数．把a放在b的右边，所得的三位数可以表示为（）A．100b+a B．10b+a C．ba D．b+a11．（2018·春齐齐哈尔市期末）单项式x m﹣1y3与4xy n的和是单项式，则n m的值是（）A．3 B．6 C．8 D．912．（2018春从江县期中）下列说法正确的是：（）A.-232x的系数是23B.单项式32xy的次数是5 次C.2a+3b-1是三次三项式D.xy与3yx不是同类项二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）13．（2017春南宁市期末）若单项式的系数是m，次数是n，则mn的值等于________．14．（2018春通州区期中）把多项式2m2n3+3mn2﹣2﹣m3n按字母m的降幂排列为_____．15．（2019·春重庆市期中）多项式2x3+3x4﹣3x+1中有_____项，其中最高次项是_____．16．（2018春泉港区期中）观察以下一列数：3，54，79，916，1125，…则第20个数是_____．17．（2018春大连市期末）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+b a =102×ba符合前面式子的规律，则a+b=_____.三、解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）18．（2018春天心区期末）观察下列一串单项式的特点：xy，-2x2y，4x3y，-8x4y，16x5y，…(1)按此规律写出第9个单项式；(2)试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？19．（2018春新疆维吾尔自治区期中）关于x，y的多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4不含二次项，求6m ﹣2n+2的值．20．（2019春宿迁市期中）观察下列等式的规律，解答下列问题：（1）按此规律，第④个等式为_________；第n个等式为_______；（用含n的代数式表示，n为正整数）（2）按此规律，计算：12345①：；⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2323232323123②：3333.n++++21．（2017·春黄石市期中）若多项式4x n+2﹣5x2﹣n+6是关于x的三次多项式，求代数式n3﹣2n+3的值．。
专题05 复数的四则运算(原卷版)-高考数学计算题型精练(新高考通用版)
复数的四则运算1．34i i +的共轭复数为（）．A ．1i+B ．1i-C ．1i-+D ．1i--2．若22i i 1i z +=+，则z =（）A ．13i22+B ．13i22-C ．13i22-+D ．13i22--3．已知i i z z +=，则z =（）A B ．0C ．12D ．14．已知i1i z=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i5．543i=-（）A ．43i-+B ．43i +C ．43i55-+D ．43i55+6．若复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =（）A ．2BC ．3D ．57．若a 为实数，且7i2i 3ia +=-+，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．2(1=（）A ．2+B ．2-C ．2-+D ．2--9．已知复数3i2i 12iz +=++，则z =（）A ．1B C ．2D ．10．()1i 1z -=，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i-11．设11iz =+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．1D ．012．已知i 为虚数单位，复数13i2iz -=+，则z =（）A ．2BC D13．已知i 为虚数单位，复数z满足(13i)i z =，则z =（）A ．i-B iC 1i2D 1i 214．若复数()43i i z =-，则z =（）A ．25B ．20C ．10D ．515．设复数z 满足()1i 4z -=，则z =（）A ．B ．1C D ．216．已知复数()()()1i 2i z a a =-+∈R 在复平面对应的点在实轴上，则=a （）A ．12B ．12-C ．2D ．-217．已知复数z 满足(1)(23i)32i z --=+，则z =（）A ．0B ．iC ．1i -+D ．1i+18．若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A ．2i--B ．2i-+C ．2i +D ．2i -19．设i 为虚数单位，若复数z 满足3i i 1iz -=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．220．已知复数z 满足(2i)24i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．221．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i-+B ．2i -C ．2i+D ．2i--22．已知复数z 满足()()1i 2i 2i z --=，则z 的虚部为（）A ．1-B ．i-C ．3D ．3i23．已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（）AB ．2C ．D ．2±24．已知复数z 是方程2220x x +=-的一个根，则z =（）A ．1B ．2C D25．若复数()2iR 2ia z a -=∈+是纯虚数，则=a （）A ．-2B ．2C ．-1D ．126．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z =（）A ．2B C ．D27．已知复数1i 22z =+，则3z =（）A ．34B C ．1D 28．已知复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =___________．29．3ii+=______30．复数z 满足26i z z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为___________.31．设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．32．复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，则12z z +=________.33．若复数21iz =+（i 为虚数单位），则i z -=___________.34．若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 是虚数单位），则复数z =_____________．35．若()12i 1z +=，则()1i z +=______36．若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.37．已知复数i 12i 2iz=-++，则z 的虚部为______．38．已知复数z 满足210z z ++=，则z z ⋅=_____________.39．已知复数z 满足()1i i z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．40．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．41．已知复数z 满足()12i |43i |z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为___________.42．复数312i3i ++的值是_____________．。
专题05 函数的对称性、周期性及其应用-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题05 函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
专题05 多项式乘多项式压轴四大类型(原卷版)
专题05 多项式乘多项式压轴四大类型题型一：多项式乘积不含某项求字母的值题型二：多项式乘多项式化简求值问题题型三：多项式乘多项式与图形面积问题题型四：多项式乘多项式与规律探究问题题型一：多项式乘积不含某项求字母的值【典例1】（2023春•江都区期中）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．（1）求m与n的值．（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式1-1】（2023秋•黑龙江期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（）A．0B．2C．D．﹣2【变式1-2】（2023秋•德惠市校级月考）如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值．【变式1-3】（2022秋•洮北区期末）已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值题型二：多项式乘多项式化简求值问题【典例2】（2023秋•镇赉县校级期末）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝﹣1，y＝．【变式3-1】（2022秋•城关区校级期末）先化简，再求值．（a2b﹣2ab﹣b3）÷b﹣（a+b）（a ﹣b），其中，a＝0.5，b＝﹣1．【变式3-2】（2022秋•万州区校级期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝﹣．【变式3-3】（2023春•道县期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．题型三：多项式乘多项式与图形面积问题【典例3】（2022春•江北区期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是，S1﹣S2的值为；（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S1﹣S2的值；（3）若AB长度保持不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，当a、b满足什么关系时，S1﹣S2的值与AD的长度无关？【变式3-1】（2022春•乾县期末）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．（1）通道的面积是多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？【变式3-2】（2022春•中原区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B 放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：（1）正方形A，B的面积之和为．（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形个．（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．【变式3-3】（2023春）我们知道多项式的乘法，可以利用图形的面积进行解释，如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1、图2等图形的面积表示．（1）请你写出图3所表示的一个等式：；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个只含有a，b的等式，并画出与之对应的图形．题型四：多项式乘多项式与规律探究问题【典例4】（2023春•渠县校级期末）探究应用：（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C、（4﹣x）（16+4x+x2）D、（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝．【变式4-1】（2023秋•静安区校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【变式4-2】（2023秋•宁津县期末）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（）A．128B．256C．512D．10241．已知一个长方形，若它的长增加6cm，宽减少2cm，则面积保持不变；若它的长减少3cm，宽增加2cm，则面积仍保持不变．这个长方形的面积为（）A．12B．24C．36D．722．暑假，小颖所在的生物小组参观了太原植物园，植物园共收集植物3000多种，来自五大洲的20多个国家．在“热带温室”馆中一块长方形土地被分成6块，种植着不同的花卉，六块地的长和宽如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了不同的表示该长方形土地面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为正确的有（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（）A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，74．计算：（3a+2b）（a﹣2b）＝．5．（2023春•滁州期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1S2（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）若满足|S2﹣S1|＜n≤2023的整数n有且只有2个，则m的值是．6．（2023秋•博兴县期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释二项和（a+b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的各项系数．例如三角形第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项（a+b）5的系数，此三角形称为“杨辉三角”．若根据“杨辉三角”的特征写出（a+b）10的展开式，则其第三项的系数为．7．如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值．8．（2022秋•秦安县期中）若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2项和x3项，求m，n 的值．9．（2023秋•右玉县期末）综合与实践如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）E．（1）图1中长方形的面积S1＝；图2中长方形的面积S2＝；比较S1S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）；（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．①求正方形的边长；（用含m的代数式表示）②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数．10．（2022春•二七区校级期中）探究应用：（1）计算（a+3）（a2﹣3a+9）＝；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝．（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：（请用含a，b的字母表示）．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是．A．（a+3）（a2+3a+9）B．（m+2n）（4m2﹣2mn+n2）C．（5+x）（25﹣5x+x2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x+5y）（9x2﹣15xy+25y2）＝．11．（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；…（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）＝（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．12．【阅读理解】在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．例如：A＝5x2﹣7x+2，A经过程序设置得到B＝2×5x﹣7＝10x﹣7．【知识应用】关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知A＝x2﹣x﹣m，根据上方阅读材料，解决下列问题：（1）若B＝3nx﹣m，求m，n的值；。
高考数学二级结论快速解题：专题05 函数周期性问题(原卷版)
专题05函数周期性问题一、结论已知定义在R 上的函数()f x ,若对任意x R ,总存在非零常数T ,使得()()f x T f x ,则称()f x 是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果()()f x a f x (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a (2)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(3)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(4)如果()()f x a f x c (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(5)如果()()f x a f x b (0,0a b ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期||T a b .(6)如果()()()f x f x a f x a (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期6T a .二、典型例题1．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 的定义域为R ， 2f x 为偶函数， 21f x 为奇函数，则（）A ．102fB ． 10f C ． 20f D ． 40f 【答案】B 【解析】因为函数 2f x 为偶函数，则 22f x f x ，可得 31f x f x ，因为函数 21f x 为奇函数，则 1221f x f x ，所以， 11f x f x ，所以， 311f x f x f x ，即 4f x f x ，故函数 f x 是以4为周期的周期函数，因为函数 21F x f x 为奇函数，则 010F f ，故 110f f ，其它三个选项未知.故选：B.解法二：因为函数(2)f x 为偶函数，所以其图象关于0x 对称，则函数()f x 的图象关于直线2x 对称；所以()(4)(1)f x f x ；又函数(21)f x 为奇函数，所以其关于(0,0)对称；121(21)(2+1)=(2)()2f x f x f x f x 横坐标向右平移个单位横坐标伸长为原来2倍（）通过图象平移伸缩变换，可以得到(2)f x 关于1(,0)2对称，进而()f x 关于(1,0)对称；可得：()(2)(2)f x f x ；综合（1）（2）可得(4)(2)(2)()f x f x f x f x ；利用结论()()f x a f x 的周期为2T a ,故本题中()f x 的周期为4T 利用()(2)(2)f x f x 可得13(34)(1)2(1)0(1)0f f f f f f 【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.对称性问题：①轴对称问题：()f x 关于x a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；②点对称问题：()f x 关于(,0)a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；2．（2021·全国·高考真题（理））设函数 f x 的定义域为R ， 1f x 为奇函数， 2f x 为偶函数，当 1,2x 时，2()f x ax b ．若 036f f ，则92f（）A ．94B ．32C ．74D ．52【答案】D 【解析】令1x ，由①得： 024f f a b ，由②得： 31f f a b ，因为 036f f ，所以 462a b a b a ，令0x ，由①得： 11102f f f b ，所以 222f x x ．因为 1f x 是奇函数，所以 1f x 图象关于(0,0)对称，1(1)()f x f x 横坐标向右平移个单位所以()f x 关于(1,0)对称，得：()(2)(1)f x f x因为 2f x 是偶函数，所以 2f x 图象关于0x 对称；22()f x f x 横坐标向右平移个单位，所以()f x 关于2x 对称，得：()(4)(2)f x f x ；综合（1）（2）得到：(4)(2)(2)()f x f x f x f x 得到4T 所以9122f f，再利用()(2)(1)f x f x 令12x 代入：135(()222f f 故选：D．【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.三、针对训练举一反三1．（2008·湖北·高考真题（文））已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)()f x f x ，当(0,2)x 时，2()2f x x ，则(7)f A ．-2B ．2C ．-98D ．982．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数 f x ，对x R ，有(6)()(3)f x f x f 成立，当03x 时，()26f x x ，则 2021f （）A ．0B ．2C ．4D ．23．（2021·江西·三模（理））已知函数 f x 的图象关于原点对称，且满足 0(3)1f x f x ，且当)4(2x ，时，12()log (1)f x x m ，若(2021)1(1)2f f ，则m （）A ．43B ．34C ．43D ．344．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(4)()(2)f x f x f ，当(0,2)x 时，2()231 f x x x ，则函数()y f x 在[4,4] 上零点的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．135．（2021·广西玉林·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x ，且当(0,3)x ，()e x f x x ，则下面结论正确的是（）A ．19(ln 3)(e)2f f fB ．19(e)(ln 3)2f f fC ．19(e)(ln 3)2f f fD ．19(ln 3)(e)2f f f6．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知 y f x 为奇函数且对任意x R ， 2f x f x ，若当 0,1x 时， 2log a f x x ，则 2021f （）A ．1B ．0C ．1D ．27．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，满足 2f x f x ，且当 0,1x 时， 2log 1f x x ，则函数 3y f x x 的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·陕西·模拟预测（文））已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 2f x f x ．当12x 时， 2log 7f x x ，则 2021f （）A ．3B ．3C ．5D ．59．（2021·全国·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ，40f x f x ．若 136f f ，则 21f ______．10．（2021·陕西·二模（理））已知定义在R 上的奇函数()y f x 满足(8)()0f x f x ，且(5)5f ，则(2019)(2024)f f ___________.。
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专题05 复数单元测试（一）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.i 是虚数单位，复数7－i 3＋i
＝( ) A.2＋i
B.2－i
C.－2＋i
D.－2－i
2.已知复数z ＝－i 3
（－1＋2i ）2
(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若复数z 满足(z －3)(2－i )＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )
A.2＋i
B.2－i
C.5＋i
D.5－i
4.设复数z ＝－1－i (i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z －，则2－z －z 等于( )
A.－1－2i
B.－2＋i
C.－1＋2i
D.1＋2i
5.复数cos π3＋i sin π3经过n 次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n 的值等于( )
A.3
B.12
C.6k －1(k ∈Z )
D.6k ＋1(k ∈Z )
6.复数z ＝cos π15＋i sin π15是方程x 5＋α＝0的一个根，那么α的值为( ) A.32＋12i
B.12＋32i
C.－32－12i
D.－12－32i
7.复数2＋i 与复数13＋i
在复平面上的对应点分别是A ，B ，若O 为坐标原点，则∠AOB 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
8.定义复数的一种运算z 1*z 2＝|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋bi ，且正实数a ，
b 满足a ＋b ＝3，则z *z －
的最小值为( )
A.92
B.322
C.32
D.94
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论错误的是( )
A.z 对应的点在第一象限
B.z 一定不为纯虚数
C.z －
对应的点在实轴的下方
D.z 一定为实数
10.已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值为( )
A.0
B. 1
C.－1
D.2 11.若复数z ＝21＋i
，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A.z 的虚部为－1 B.|z |＝ 2
C.z 2为纯虚数
D.z 的共轭复数为－1－i 12.下列命题正确的是( )
A.复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数
B.z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数
C.复数z 是实数的充要条件是z ＝z － (z －
是z 的共轭复数)
D.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i (i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，
C ，O 为坐标原点，若OC
→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.复数－12＋32
i 的三角形式是________. 14.i 是虚数单位，若复数(1－2i )(a ＋i )是纯虚数，则实数a 的值为________.
15.设复数a ＋bi (a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋bi )(a －bi )＝________.
16.设复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1－2i 2 019，其中i 为虚数单位，则z －的虚部是________，|z |＝
________.（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z .
18.(12分)已知z ＝a －i 1－i
，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z (z ＋i )的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模.
19.(12分)已知复数z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i .
(1)当实数m 取什么值时，复数z 是：①实数；②纯虚数；
(2)当m ＝0时，化简z 2
z ＋5＋2i
.
20.(12分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －
＝1，求z ；
(2)已知复数z ＝5m 2
1－2i
－(1＋5i )m －3(2＋i )为纯虚数，求实数m 的值.
21.(12分)已知复数z ＝
（－1＋3i ）（1－i ）－（1＋3i ）i ，ω＝z ＋ai (a ∈R )，当⎪⎪⎪⎪
⎪⎪ωz ≤2时，求a 的取值范围.
22.(12分)设虚数z 满足|2z ＋15|＝3|z －＋10|.
(1)求|z |；
(2)若z a ＋a z 是实数，求实数a 的值.。