河南省师范大学附属中学高中数学 3.2.2 向量法在空间平行关系中的应用同步练习 理(实验班)必修5
3.2.2空间向量与平行.垂直关系
法二 (坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，14)，B1(12，0， 1)， ∵M 为 BC 中点，∴M(14， 43，0)．
题型二 证明线线垂直
【例2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧
棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥ MN. [思路探索] 解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0 或先 建系，再证明A→B1·M→N＝0.
解 法一 (基向量法)
(3)若直线 l 的方向向量是 u，平面α的法向量是 v，则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a_⊥__b__⇔ a_·_b_＝__0__⇔ _a_1_b_1＋__a_2b2＋a3b3＝0 (2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2， b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔ __u_＝__k_v．
(3)面面垂直
设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__u_⊥__v_⇔ ___u_·_v＝__0_ ⇔ _a_1_a_2_＋__b_1b_2_＋__c_1_c_2＝__0___ ．
试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件1新人教B版选修2_1
各抒己见 百家争鸣
链接高考202X
强化作业： 在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向 量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
3-2-2 向量法在空间平行关系中的应用
CC1 的中点，求证：四边形 B1EDF 是平行四边形．
第三章
3.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
[分析]
→ 欲证四边形 B1EDF 是平行四边形，只须证B1E＝
→ → → FD(或B1F＝ED)，利用长方体中棱的平行关系和中点 E、F 可 用加减运算法则证明．
[证明]
以 D 为原点，DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴
建立直角坐标系如图． 1 设正方体棱长为 1，则 B(1,1,0)，M(1,1， )，C(0,1,0)， 2 A1(1,0,1)， ∵N 是 A1C 中点，
1 1 1 → → 1 1 1 → ∴N2，2，2，DB＝(1,1,0)，NM＝2，2，0＝2DB，
λv1＋μv2 对 β 内任一向量 a，有 a＝____________.· 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
重点难点展示
第三章
3.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
重点：用直线的方向向量与平面的法向量来表示空间中的 平行关系；共面向量定理与线面平行的联系． 难点：如何实现线面位置关系与向量运算的联系．
∴四边形 B1EDF 是平行四边形．
第三章
3.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， M、 分别是棱 BB1 和对 点 N 角线 CA1 的中点，求证：MN∥BD.
第三章
3.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
高中数学_3.2 空间向量在立体几何中的应用教学设计学情分析教材分析课后反思
专题七 立体几何第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级行政班级 姓名 学号 面批时间课前自学案【考情分析】立体几何是高考的重点内容之一,从近几年高考试题来看,主要是考查线面位置关系的判断与证明;三是考查空间向量的应用,尤其空间向量法求空间角（特别是二面角）是考查的热点之一.主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围； (2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角． 【要点梳理】1．平行关系及垂直关系的转化2．空间角的求解(1)异面直线所成的角：若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ(0＜θ≤π2)，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.(2)线面角：设直线l 与平面α所成的角为θ(0≤θ≤π2)，直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则sin θ＝|cos 〈a ，μ〉|＝|a ·μ||a ||μ|. (3)二面角：设二面角大小为θ(0≤θ≤π)，两个面的法向量分别为μ和v ，则|cos θ|＝|cos 〈μ，v 〉|＝|μ·v ||μ||v |.易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，是线面角的正弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．编号012【课前自测】1.(2013年高考卷理 4）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )（A ） 512π （B ）3π （C ） 4π （D ） 6π2.(2009年高考卷理5)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课内探究案【考点突破】考点一：空间位置关系的判定例1.（1）(2013年高考广东卷理科6)设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α变式训练：(1) (2014年高考广东卷理 7）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是( )A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定(2)设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ②若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ④若n ⊥α，n ⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 考点二：空间位置关系的证明例2.（2013广东卷文）如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三图 4GEF ABCD图 5DGBFCAE棱锥A BCF -,其中22BC =.(1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.考点三：空间角的求解例3.(12理18）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ；（Ⅱ）求二面角F -BD -C 的余弦值.【当堂检测】1. 【2014全国2高考理第11题】直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.3010D.22 2． 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为_____________.3. 【2014高考全国1第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥.（Ⅰ）证明：1AB AC =;（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值.专题七 立体几何编号第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级 行政班级 姓名 学号 面批时间课后拓展案A 组1. 【2014高考卷第17题】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点. （Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且13CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.2．【2014高考天津第17题】如图，在四棱锥PABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE DC；（Ⅰ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅰ）若F为棱PC上一点，满足BF AC，求二面角F AB P的余弦值．B组3.（2013年高考北京卷理科17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面AB C⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求1BDBC的值.4.【2014高考全国2第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，3求三棱锥E-ACD的体积.反思：这节课不满意的几点：(1) 题量的安排。
高中数学人教A版 选修2-13.2.2向量法在空间平行关系中的应用 课件
空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第2课时 向量法在空间平行关系中的应用
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
自主预习学案
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
1．掌握运用直线的方向向量和平面的法向量证明平行问 题的方法． 2．能用向量语言表达线线、线面、面面的平行关系．
是与 α 平行的两个不共线向量，则 l∥α 或 l⊂α⇔ 存在两个实数 λ 、
λ v1 ＋ μa v2 μ，使a＝__________ ⇔ ·n＝_____．0
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
3．设不重合平面α、β的法向量分别为n1、n2． n1∥n2 ⇔存在实数t，使__________ n1＝tn2 ． α∥β⇔__________
D．不能确定
[答案] B
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
[解析] 以C1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
a a a a 则 D1(0，a,0)，M(a，2，2)，N(2，2，a)， a a → ∴MN＝(－2，0，2)，平面 BB1C1C 的一个法向量 n＝(0， a,0)， → 又MN· n＝0， → ∴MN⊥n，又 MN⊄平面 BB1C1C， ∴MN∥平面 BB1C1C．
否表明它们所在的直线重合？怎样理解向量共线与直线平行的
关系？ 2．两向量共面是否表明它们所在直线平行或重合？怎样
用向量表达线面平行的关系？
3．怎样理解平面的法向量平行与平面平行的关系？用法 向量来证明二面平行时应特别注意什么？
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
河南省师范大学附属中学高中数学 3.2.2 向量法在空间
河南省师范大学附属中学2014高中数学 3.2.2 向量法在空间平行关系中的应用同步练习 理（实验班）新人教A 版必修51．若0＜t ＜1，则不等式x 2－(t ＋1t)x ＋1＜0的解集是( )A ．{x |1t＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t或x ＜t }C ．{x |x ＜1t或x ＞t }D ．{x |t ＜x ＜1t}2.已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是 A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞43．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2D ．1＜m ＜34．若方程7x 2－(k ＋13)x ＋k 2－k －2＝0有两个不等实根x 1，x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2，则实数k 的取值范围是( )A ．－2＜k ＜－1B ．3＜k ＜4C ．－2＜k ＜4D ．－2＜k ＜－1或3＜k ＜45．设对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x 2＋ax －3a <0总成立．则实数a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >12C ．a >14D ．a >0或a <－126．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2)D ．(－2,2]7．不等式2x －53x －1＜1的解集是________．8．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．9.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2－5ax ＋4a 2≤0}，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，求a 的值.10．解下列关于x 的不等式． (1)x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＞0(a ≠0)；(3)x2－(a＋1)x＋1＞0.3.2.2详解答案1.[答案] D[解析] 化为(x －t )(x －1t)＜0，∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1t，2.[答案] A[解析] 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4. 3.[答案] A[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， ∴△＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.4.[答案] D[解析] 结合f (x )＝7x 2－(k ＋13)x ＋k 2－k －2的图象知：⎩⎪⎨⎪⎧△＞0f 0＞0f 1＜0f 2＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 0＞0f 1＜0f 2＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k 2－k －2＞0k 2－2k －8＜0k 2－3k ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－1或k ＞2－2＜k ＜4k ＜0或k ＞3⇔－2＜k ＜－1或3＜k ＜4.[点评] 注意结合数轴找不等式解集的交集． 5.[答案] B[解析] 设f (x )＝x 2＋ax －3a ，则由条件知⎩⎪⎨⎪⎧f1<0f －1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4a <01－2a <0，∴a >12.6. [答案] A[解析] ∵b ＞0∴－b ＜0，又a ＞0，∴不等式－b ＜1x ＜a 化为－b ＜1x ＜0或0＜1x＜a .∴x ＜－1b 或x ＞1a.7.[答案] {x ＜－4或x ＞13}[解析] 化为x ＋43x －1＞0，化为(x ＋4)(3x －1)＞0，∴x ＜－4或x ＞13.8.[答案] (5,7)[解析] 不等式|3x －b |<4⇔－4<3x －b <4⇔b －43<x <b ＋43，若不等式的整数解只有1,2,3，则b 应满足0≤b －43<1且3<b ＋43≤4，即4≤b <7且5<b ≤8，∴5<b <7.9.[解析] A ＝{x |x <－1或x >3}，∵A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，∴x ＝4是方程x 2－5ax ＋4a 2＝0的根，∴a 2－5a ＋4＝0，∴a ＝1或4，当a ＝1时，B ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}＝{x |1≤x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |3<x ≤4}成立；当a ＝4时，B ＝{x |x 2－20x ＋64≤0}＝{x |4≤x ≤16}，∴A ∩B ＝{x |4≤x ≤16}与条件矛盾，∴a ＝1.10[解析] (1)变形为(x －a )(x －1)＞0，当a ＞1时，x ＞a 或x ＜1；当a ＝1时，x ∈R 且x ≠1；当a ＜1时，x ＞1或x ＜a .(2)变形为(ax －1)(x －1)＞0，令1a＝1得a ＝1.∴当a ＝1时，x ∈R 且x ≠1；当a ＞1时，0＜1a ＜1，∴x ＜1a或x ＞1，当0＜a ＜1时，x ＜1或x ＞1a ；当a ＜0时，1a＜x ＜1.(3)△＝(a ＋1)2－4＝a 2＋2a －3≥0，∴a ≤－3或a ≥1. ∴当a ＝1时，x ∈R 且x ≠1；当a ＝－3时，x ∈R 且x ≠－1； 当a ＜－3或a ＞1时，x ＜a ＋1－a 2＋2a －32或x ＞a ＋1＋a 2＋2a －32；当－3＜a ＜1时，x ∈R .[点评] 注意从以下三个方面讨论：①二次项系数的正负； ②判别式△的符号； ③两根的大小(特别是a ＜0时).。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行、垂直关系学案 新人教A版选修
第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．2.会求平面的法向量．3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u ＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)平面α的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√若A (1，0，－1)，B (2，1，2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2，2，6) B ．(－1，1，3) C ．(3，1，1) D.(－3，0，1)答案：A若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2，－1，0)C ．(1，2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案：C若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝__________．答案：4探究点1 求直线的方向向量与平面的法向量[学生用书P64]如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．【解】因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，B (1，0，0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12， AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．[变问法]本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0，0，1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0，1，3)．待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．1.已知A (0，y ，3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2，1，3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )A ．－3B ．0C ．1D.3解析：选B.由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0，故选B. 2．在△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点．(1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )． 因为AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b ，令b ＝2，则a ＝－3，c ＝2.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)． (2)因为点M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，所以AM →⊥n ，所以－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0， 所以3x －2y －2z －1＝0.故x ，y ，z 满足的关系式为3x －2y －2z －1＝0. 探究点2 利用空间向量证明平行关系[学生用书P64]已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)．FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1. 所以n 1＝(0，－1，2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0. 所以FC 1→⊥n 1.因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .[变问法]在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)， 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M (3，0，43)，N (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)．所以MN →＝(－3，2，23)，RS →＝(－3，2，23)，所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →，因为M ∉RS ，所以MN ∥RS . 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ，所以MN ∥RS .探究点3 利用空间向量证明垂直关系[学生用书P65]在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AS ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】 设AS ＝AB ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.易知AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE ∥AS .又AS ⊥底面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 法二：设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 易知BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)． 因为AS ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD上，求证：AB ⊥PC .证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量， 所以v ·a ＝0，v ·b ＝0， 因为D 为AB 中点，所以CD →＝12(a ＋b )，因为O 在CD 上，所以存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )．因为CA ＝CB ， 所以|a |＝|b |， 所以AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ2（a ＋b ）＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0， 所以AB →⊥CP →， 所以AB ⊥PC .1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心，证明：OA 1⊥AM . 证明：设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以OA 1→＝(1，0，1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12－(1，0，0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0，即OA 1⊥AM .2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)，C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2.设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 因为C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ， 取n ＝(1，2，1)．因为CE →＝(1，－1，1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，所以CE →⊥n ，且CE ⊄平面C 1E 1F . 所以CE ∥平面C 1E 1F .[学生用书P66]知识结构深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一般是用互相垂直的直线为x ，y ，z 轴，设出点的坐标．(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题．(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果.[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D.x ＝3，y ＝154解析：选D.因为l 1∥l 2，所以321＝x 2＝y 52，所以x ＝3，y ＝154，故选D.2．直线l 的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m ＝(－1，1，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，19，则直线l 与平面β的位置关系是( )A ．l ∥βB ．l ⊥βC ．l ∥β或l ⊂βD.无法判断解析：选C.因为m ·n ＝－13＋0＋13＝0，所以m ⊥n .所以l ∥β或l ⊂β.3．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D.－2解析：选B.因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.4．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D.2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ， 所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以F 为AD 的中点， 所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 所以3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157， 故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明：设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎪⎫12，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，所以MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.所以MN →⊥AB 1→，所以AB 1⊥MN .10．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2a ，0，0)，C (0，2a ，0)，B 1(2a ，2a ，2a )，E (2a ，2a ，a )，F (a ，a ，2a )． 所以EF →＝(a ，a ，2a )－(2a ，2a ，a )＝(－a ，－a ，a )，AB 1→＝(2a ，2a ，2a )－(2a ，0，0)＝(0，2a ，2a )，AC →＝(0，2a ，0)－(2a ，0，0)＝(－2a ，2a ，0)．因为EF →·AB 1→＝(－a ，－a ，a )·(0，2a ，2a )＝(－a )×0＋(－a )×2a ＋a ×2a ＝0，EF →·AC →＝(－a ，－a ，a )·(－2a ，2a ，0)＝2a 2－2a 2＋0＝0，所以EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ，所以EF ⊥平面B 1AC .[B 能力提升]11．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD 和B 1C 的中点，利用向量法证明：(1)MN ∥平面CC 1D 1D ； (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D .证明：(1)以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1)．由正方体的性质知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA →＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量．由于MN →＝(0，1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN →⊥DA →. 又MN ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MN ∥平面CC 1D 1D .(2)由于MP →＝(0，2，0)，DC →＝(0，2，0)， 所以MP →∥DC →，即MP ∥DC . 由于MP ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MP ∥平面CC 1D 1D .又由(1)，知MN ∥平面CC 1D 1D ，MN ∩MP ＝M ，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP ∥平面CC 1D 1D .12．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BC 的中点．(1)在B 1B 上是否存在一点P ，使D 1P ⊥平面B 1AE? (2)在平面AA 1B 1B 上是否存在一点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE? 解：(1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，B 1A →＝(0，－1，－1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1.假设存在点P (1，1，z )满足题意，于是D 1P →＝(1，1，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧D 1P →·B 1A →＝0，D 1P →·B 1E →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－1－z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，z ＝12，矛盾．故在B 1B 上不存在点P 使D 1P ⊥平面B 1AE .(2)假设在平面AA 1B 1B 上存在点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE . 设N (1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1N →·B 1A →＝0，D 1N →·B 1E →＝0.因为D 1N →＝(1，y ，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－y －z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，故平面AA 1B 1B 上存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12，使D 1N ⊥平面B 1AE .13．(选做题)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .证明：以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ， 所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ， 又因为PA ∩DA ＝A ， 所以BE ⊥平面PAD ， 又因为BE ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD .。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定1数学教案
3.2.2 空间线面关系的判定设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .向量法证明垂直问题【例3】 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1， 则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE . 1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明． (2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.2 平面的法向量与
1 3.2.
2 平面的法向量与平面的向量表示
课前导引
问题导入
在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AD|=3，|AB|=4，|AA 1|=2.点P 在棱AA 1上，且|AP|=2|A 1P|.点S 在棱CC 1上，|CS|=2
1|SC 1|，点Q 、R 分别为C 1D 1、AB 的中点，求证：直线PQ∥RS. 思路分析：要证PQ∥RS 只需证∥RS .即证可以表示成实数和RS 的乘积: =λRS .
在长方体中,边Q A 1,, 则=1+A 1,
=+. 因为1=
,A 1=, 所以=RS ,所以∥RS .
即PQ∥RS.
本题的分析体现了用向量解决直线的位置关系的基本方法,这就是本节要学习的内容. 知识预览
1.我们把____________________________的方向向量.
答案：把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l
2.如果______________________________________则n 是平面α的法向量. 答案：向量n 的基线与平面α垂直
3.如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在_________________垂直,则它也和这条斜线垂直.
答案：这个平面内的射影。
向量法在空间平行关系中的应用 课件
设平面 A1BD 的法向量为 n1=(x,y,z),
则由 n1⊥ DB ,n1⊥ DA1 得 x+y=0,x+z=0.取 x=1,则 y=z=-1, 故平面 A1BD 的一个法向量是 n1=(1,-1,-1); 同理设平面 BDG 的一个法向量是 n2=(a,b,c), 则有 a+b=0,b+ 1 c=0.
, .
2
所以 CM = 3 DP + 1 DA . 44
又 CM 平面 PAD,所以 CM∥平面 PAD.
考点二 利用空间向量证明垂直问题 【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为CC1的中点,求证:平面A1BD⊥平面GBD.
证明:法一 如图,连接 AC,与 BD 交于点 O,连接 A1O,OG.设 A1B1 =a, A1D1 =b, A1A =c.
α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. (4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.
3.利用向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,a 与 b 的夹角为 ,l1 与 l2 所成的角为θ,
证明:以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz. 因为 PC⊥平面 ABCD, 所以∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, 所以∠PBC=30°, 因为 PC=2,所以 BC=2 3 ,PB=4, 所以 D(0,1,0),B(2 3 ,0,0),A(2 3 ,4,0),P(0,0,2),M( 3 ,0, 3 ),
2020学年高中数学3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课件人教B版选修2_1
设 m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面 AED 和 A1FD1 m·D→A＝0， x1＝0，
的一个法向量，由m·D→E＝0，⇒x1＋y1＋12z1＝0. 令 y1＝1，得 m＝(0，1，－2)． 又由nn··DD→→11AF1＝＝00. ，⇒x122y＝2－0z，2＝0 令 z2＝1，得 n＝(0，2，1)． 因为 m·n＝(0，1，－2)·(0，2，1)＝0， 所以 m⊥n，故平面 AED⊥平面 A1FD1.
1．求一个平面的法向量常用的两种方法 (1)几何法：利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上 取一条有向线段即可． (2)待定系数法：其步骤如下：
2．三垂线定理及逆定理是证明空间两直线垂直的一种基本方法， 从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂 直的问题，逆定理恰好相反．用三垂线定理及逆定理证明直线 与直线垂直的关键是构造三垂线定理的基本图形，构造基本图 形有以下三个环节：
已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，试求出平面 ABC 的一个法向量． 解：设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 因为 A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)， 所以A→B＝(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)， 由题设得：nn··AA→ →BC＝＝00即x2－ x－2y4－y－4z3＝z＝00，解之得xz＝＝02y， 取 y＝1，则 x＝2. 故平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2，1，0)．
4．斜线的相关概念 如果一条直线 AB 和平面 α 相交于点 B，但不和 α 垂直，那么 直线 AB 叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 B 叫做斜足， 斜线上一点 A 与斜足 B 之间的线段叫做斜线段 AB. 5．三垂线定理及其逆定理 如果在_平__面___内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的 _射__影___垂直，则它也和这条_斜__线___垂直；反之，如果平面内的 一条直线和这个平面的一条_斜__线___垂直，则它也和这条斜线在 平面内的_射__影___垂直．
河南省师范大学附属中学高中数学 3.2.2 向量法在空间平行关系中的应用同步练习 理(实验班)选修2-1
3.2.2向量法在空间平行关系中的应用1．l ，m 是两条直线，方向向量分别为a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，若l ∥m ，则( )A ．x 1＝x 2，y 1＝y 2，z 1＝z 2B ．x 1＝kx 2，y 1＝py 2，z ＝qz 2C ．x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0D ．x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 22．设M (3，－1,4)，A (4,3，－1)若OM →＝AB →，则点B 应为( )A ．(－1，－4,5)B ．(7,2,3)C ．(1,4，－5)D ．(－7，－2，－3)3．平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－25．若AB →＝λCD →＋uCE →(λ，u ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．6．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1,1)，C (3，λ，λ)， 若AB →⊥AC →，则λ等于________．7．如图，已知P 是正方形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM ：MA ＝BN ：ND ＝：8.求证：直线MN ∥平面PBC .8．在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，F 为PC 的中点，点E 在PD 上，且PE ED＝2，求证：BF ∥平面AEC .9．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱PA 、PB 、PC 的中点，求证平面DEF ∥平面ABC .10．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG ∥平面HMN .3.2.2 向量法在空间平行关系中的应用1. [答案] D[解析] 由向量平行的充要条件可得．2. [答案] B[解析] ∵OM →＝AB →＝OB →－OA →，∴OB →＝OM →＋OA →＝(7,2,3)．故选B.3． [答案] A[解析] 由v 1∥v 2故可判断α∥β.4．[答案] C[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k，∴k ＝4，故选C. 5． [答案] AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6． [答案] 1457．[证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN →＝－PM →＋PB →＋BN →＝－513PA →＋PB →＋513BD → ＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513(BA →＋BC →) ＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，∴MN →∥平面BCP ，∵MN ⊄平面BCP ，∴MN ∥平面BCP .8． [解析] ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12CD →＋32DE → ＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →，∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC .9． [证明] 证法一：如图．设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，PA →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，∴n ·AB →＝n ·(PB →－PA →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－PA →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴n 是平面ABC 的法向量，∴平面DEF ∥平面ABC .证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则PA →＝2a ，PB →＝2b ，PC →=2c ，∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，∴e与DE →、DF →共面，即e ∥平面DEF ，∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .10． [证明] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)，HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0m ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0x 1＋z 1＝0， 令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HM →＝0n ·HN →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2－z 2＝0－x 2－z 2＝0.令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．∴m ＝n ，即平面EFG ∥平面HMN .。
河南省师范大学附属中学2014高中数学 3.1.2 空间向量的数乘运算同步练习 理(普通班)新人教A
河南省师范大学附属中学2014高中数学 3.1.2 空间向量的数乘运算同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b32．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定3．i ∥\ j ，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝m i ＋n j 是i ，j ，k 共面的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件4．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC → B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错 5．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → 6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12c C.12a ＋12 b －23c D.23a ＋23b －12c 二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________.8．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.三、解答题9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．10．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j ，证明这三个向量共面．3.1.2 答案1-6 DAABDB 7. －13i ＋2j ＋7k 8.－32 －61 619.[解析] →A1B ＝→AB －→AA1，→A1M ＝→A1D1＋→D1M ＝→AD －21→AA1，→AN ＝32→AC ＝32(→AB ＋→AD )．∴→A1N ＝→AN －→AA1＝32(→AB ＋→AD )－→AA1＝32(→AB －→AA1)＋32(→AD －21→AA1)＝32→A1B ＋32→A1M .∴→A1N 与→A1B ，→A1M 共面．10.[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，∵i ，j ，k 不共面，∴2λ＝13λ＋7μ＝－2，∴21，故存在实数λ＝21，μ＝－21，使a ＝λb ＋μc ，故a ，b ，c 共面．。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.2 平面的法向量与
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
课前导引
问题导入
在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AD|=3，|AB|=4，|AA 1|=2.点P 在棱AA 1上，且|AP|=2|A 1P|.点S 在棱CC 1上，|CS|=2
1|SC 1|，点Q 、R 分别为C 1D 1、AB 的中点，求证：直线PQ∥RS. 思路分析：要证PQ∥RS 只需证PQ ∥RS .即证PQ 可以表示成实数和RS 的乘积: PQ =λ.
在长方体中,边A 1,, 则=1+A 1,
=+. 因为1=
CS ,A 1=RC , 所以PQ =RS ,所以PQ ∥RS .
即PQ∥RS.
本题的分析体现了用向量解决直线的位置关系的基本方法,这就是本节要学习的内容. 知识预览
1.我们把____________________________的方向向量.
答案：把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l
2.如果______________________________________则n 是平面α的法向量.
答案：向量n 的基线与平面α垂直
3.如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在_________________垂直,则它也和这条斜线垂直.
答案：这个平面内的射影。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角．4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理．1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)直线的方向向量．给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP＝t a，这时点P的位置被t的值完全________，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且________向量a的一条________，向量a称为该直线的________．一条直线有无数个方向向量．(2)空间直线的向量参数方程．点A为直线l上的一个定点，a为直线l的一个方向向量，点P为直线l上任一点，t 为一个任意实数，以A为起点作向量AP＝t a.①对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP＝OA＋t a.②如果在l上取AB＝a，则②式可化为OP＝OA＋t AB＝OA＋t(OB－OA)，即OP ＝(1－t)OA＋t OB.③以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程．(3)线段AB的中点M的向量表达式设O是空间任一点，M是线段AB的中点，则OM＝__________.【做一做1】若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( ) A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)空间三点P，A，B满足OP＝m OA＋n OB，且m＋n＝1，则P，A，B三点共线．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合⇔__________.(2)直线与平面平行已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使__________．(3)平面与平面平行已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则α∥β或α与β重合⇔__________.【做一做2】l1的方向向量v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝__________.3．用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角(1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ__________；(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，直线l1与l2的夹角为θ，则l1⊥l2⇔__________，cos θ＝__________.【做一做3】设直线l1和l2的方向向量夹角为120°，则l1和l2这两条直线所成的角为__________．两条直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两直线所成的角．4．法向量的概念 已知平面α，如果向量n 的________与平面α________，则向量n 叫做平面α的法向量，或说向量n 与平面α正交．【做一做4】若n ＝(2,2,1)是平面α的一个法向量，下列向量中能作平面α的法向量的是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(2,3,1) C ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，12 D ．(2,2,2) 5．平面的向量表示式 设A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，适合条件AM ·n ＝0的点M 构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的________，________通常称为一个平面的向量表示式．【做一做5】n 为空间任一非零向量，若AM ·n ＝0，BN ·n ＝0，则向量A ，M ，B ，N 四点是否在同一平面内？6．利用法向量判断平面与平面的平行与垂直设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则容易得到 平面α∥平面β或α与β重合⇔n 1______n 2； 平面α⊥平面β⇔________⇔________.【做一做6】平面α，β的法向量分别是a ＝(4,0，－2)，b ＝(1,0,2)，则平面α，β的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断(1)用空间向量的方法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．(2)用向量方法证明平行或垂直问题的步骤：①建立空间图形与空间向量之间的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建立)． ②通过向量运算研究垂直关系问题． ③根据运算结果解释相关问题．7．三垂线定理及三垂线定理的逆定理三垂线定理：如果在______的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的______垂直，则它也和这条______垂直．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条______垂直，则它也和这条斜线在平面内的______垂直．定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．三垂线定理与逆定理主要解决异面直线垂直问题．【做一做7】斜线b 在平面α内的射影为c 且直线a ⊥c ，则a 与b __________垂直．(填”一定”或”不一定”)1．空间直线的向量参数方程有什么作用？剖析：直线的向量参数方程AP ＝t a 是OP ＝OA ＋t a 和OP ＝(1－t )OA ＋t OB 的基础．空间中P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP ＝λOA ＋μOB (λ＋μ＝1)．2．如何用向量的方法证明空间中的平行关系？剖析：空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量a ∥b 即a ＝λb (λ∈R )．此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可；证明面面平行也可用证明平面的法向量平行的方法．3．如何理解平面的法向量？剖析：平面的法向量并不唯一，并且垂直于平面内的所有向量． 设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量： 平面α∥平面β或α与β重合⇔n 1∥n 2； 平面α⊥平面β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.题型一 利用向量方法判定线、面的位置关系【例1】(1)设a ，b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，判断l 1，l 2的位置关系： ①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)．(2)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，判断α，β的位置关系：①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12； ②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)．(3)设u 是α的法向量，a 是直线l 的方向向量，判断α，l 的位置关系： ①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)．反思：解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法．在向量问题转化为几何问题时，注意两者的区别，如第(3)问中的①题，直线的方向向量和平面平行，则直线可能在平面内，也可能与平面平行．题型二 平面的法向量的求法【例2】四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，求平面SCD 和平面SAB 的法向量．分析：解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内不共线的两个向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量．反思：平面的法向量有无数个，一般用待定系数法解一个三元一次方程组，求得其中的一个即可．构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中的法向量的设法值得借鉴．题型三 利用向量法证明空间中的平行关系【例3】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .反思：此类题目，能建坐标系的先建立坐标系，找出相应直线的方向向量和平面的法向量，并确定它们对应的坐标，进行求解、证明；不方便建系的可以用基向量法．题型四 向量法证明线线垂直、线面垂直【例4】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .分析：(1)建立空间直角坐标系→确定AE ，CD 的坐标→计算AE ·CD →AE ⊥CD ； (2)求平面ABE 的法向量n →判断满足PD ＝k n (k ∈R )→PD ⊥平面ABE 或确定PD ，AB ，AE 的坐标→计算PD ·AB ，PD ·AE →PD ABPD AE⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩→PD ⊥平面ABE . 反思：(1)证明线线垂直一般转化为证明直线上的向量数量积为零．(2)证明线面垂直有两种方法． 一是用线面垂直的判定定理证明；二是通过证明直线上的向量与平面的法向量平行来证． 题型五,向量法证明面面垂直【例5】在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E ，F 分别是AC ，AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .分析：本题首先可证出CD 为平面ABC 的一个法向量，然后再证明两平面的法向量垂直即数量积为零即可．反思：证明面面垂直的传统方法是转化为线面垂直、线线垂直，另一种方法是证明两个平面的法向量垂直．应用后一种方法的关键是①建立适当的空间直角坐标系；②求出平面的一个法向量；③判断两个法向量的关系；④由法向量的关系转化为平面关系．1两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不确定 2已知动点P 的竖坐标为0，则动点P 的轨迹是( ) A ．平面 B ．直线C ．不是平面也不是直线D ．以上都不对3已知两条异面直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1和v 2，若cos 〈v 1，v 2〉＝－12，则l 1与l 2所成角的余弦值为__________．4已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为__________． 5已知v ＝(－2,2,5)，u ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，则α与β__________.6求证：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DB 是平面ACD 1的法向量． 答案：基础知识·梳理1．(1)确定 平行于 直线l 方向向量 (2)12(OA ＋OB ) 【做一做1】A2．(1)v 1∥v 2 (2)v ＝x v 1＋y v 2 (3)v 1∥β且v 2∥β 【做一做2】23．(1)相等或互补 (2)v 1⊥v 2 |cos 〈v 1，v 2〉| 【做一做3】60° 4．基线 垂直 【做一做4】A 5．平面 AM ·n ＝0 【做一做5】解：不一定． 6．∥ n 1⊥n 2 n 1·n 2＝0【做一做6】B7．平面内 射影 斜线 斜线 射影【做一做7】不一定(因为a 不一定在平面α内) 典型例题·领悟【例1】解：(1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b .∴a∥b .∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，∴a·b ＝0. ∴a⊥b .∴l 1⊥l 2.(2)①∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12， ∴u·v ＝0.∴u⊥v .∴α⊥β.②∵u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)， ∴u ＝－35v .∴u∥v .∴α∥β.(3)①∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)， ∴u·a ＝0.∴u⊥a .∴l ∥α或l ⊂α. ②∵u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)， ∴u ＝－14a .∴u∥a .∴l ⊥α.【例2】解：∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)，∴AD →＝(1,0,0)是平面SAB 的法向量． 设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )， 则n ·DC →＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0， ∴y ＝－12.又n ·DS →＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0， ∴z ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12即为平面SCD 的法向量．【例3】证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2， 设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵11C E ＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ，取n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE →⊥n ，且CE →⊄平面C 1E 1F .∴CE ∥平面C 1E 1F .【例4】证明：(1)∵AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 设PA ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得A C →·C D →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE ·CD ＝－12×14＋36×34＝0，∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .(2)证法一：∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE ·PD ＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE .又∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0， ∴PD ⊥AB .又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE . 证法二：∵AB ＝(1,0,0)，AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)． ∵PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD ＝33n .∴PD ∥n ，∴PD ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .【例5】证明：建立如图所示空间直角坐标系，设AB ＝a ，则B (0,0,0)，D (0，3a,0)，A (0,0，a )，C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，a 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2.∵∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BC .又AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . 又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . ∴CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0为平面ABC 的一个法向量．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·EF ＝0，得x ＝y .由n ·BF ＝0得z ＝－3y ，取y ＝1，得n ＝(1,1，－3)．∵n ·CD ＝0，∴n ⊥CD ， ∴平面BEF ⊥平面ABC . 随堂练习·巩固 1．A2．A 点P 在坐标平面xOy 内．3．12 因为l 1与l 2所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2且cos 〈v 1，v 2〉＝－12，所以l 1与l 2所成角的余弦值为12.4．±⎝⎛⎭⎪⎫33，33，33 设单位法向量为n ＝(x ，y ，z )， AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1)．222001AB x y AC x z x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⋅=-+=⎨⎪++=⎪⎩n n 解得n ＝±⎝⎛⎭⎪⎫33，33，33. 5．垂直 由v ·u ＝(－2)×6＋2×(－4)＋5×4＝0可得．6．证明：设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以DA ，DC ，DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)．DB 1→＝(1,1,1)，AC ＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，DB 1→·AC ＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0，所以DB 1→⊥AC .同理，DB 1→⊥AD 1→.又因为AD 1∩AC ＝A ，所以DB 1→⊥平面ACD 1，从而DB 1→是平面ACD 1的法向量．。
河南省师范大学附属中学高中数学 3.2.4 利用向量知识求空间中的角同步练习 理(普通班)选修2-1
河南省师范大学附属中学2014高中数学 3.2.4 利用向量知识求空间中的角同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l ′的方向向量分别为a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，则斜线l 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23 C ．－33 D.233．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值为( ) A.32 B.1010 C.35 D.254．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( )A ．(0°，90°)B ．90°C ．120°D ．(60°，120°)5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若F 、G 分别是棱AB 、CC 1的中点，则直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.54 C.33 D.36二、填空题7．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．三、解答题9．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC.10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD 所成二面角的正切值．3.2.4答案DCDC 7. [答案] 46 8.[答案] 30°9[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)、B (，0,0)、C (，1,0)、D (0,1,0)、P (0，0,2)，E (0，21，1)，∴→AC ＝(，1,0)，→PB ＝(，0，－2)设→AC 与→PB 的夹角为θ，则cos θ＝|PB ＝73＝147，∴AC 与PB 所成角的余弦值为147.(2)由于N 点在侧面PAB 内，故可设N (x,0，z )，则→NE ＝(－x ，21，1－z )，由NE ⊥平面PAC可得，＝0.AC即＝0.1化简得＝01.∴6，即N 点的坐标为(63，0,1)．10.[解析] 以D 为原点，{→DA ，→DC ，→DD1}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C (0,1,0)，E (0，21，1)，F (21，1,1)．设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则＝0CF ， ∵→CE ＝21，→CF ＝，0，11，∴x ＋z ＝01，∴x ＝－2z y ＝z ，令z ＝1，则n ＝(－2,1,1)．显然平面ABCD 的法向量e ＝(0,0,1)，则 cos 〈n ，e 〉＝|n|·|e|n ·e ＝66.设二面角为α，则cos α＝66，∴tan α＝.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河南省师范大学附属中学2014高中数学 3.2.2 向量法在空间平行
关系中的应用同步练习 理（实验班）新人教A 版必修5
1．若0＜t ＜1，则不等式x 2
－(t ＋1t
)x ＋1＜0的解集是( )
A ．{x |1
t
＜x ＜t }
B ．{x |x ＞1
t
或x ＜t }
C ．{x |x ＜1
t
或x ＞t }
D ．{x |t ＜x ＜1
t
}
2.已知不等式x 2
＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是 A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4
C ．a ≤－4或a ≥4
D ．a ＜－4或a ＞4
3．若f (x )＝－x 2
＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2
D ．1＜m ＜3
4．若方程7x 2
－(k ＋13)x ＋k 2
－k －2＝0有两个不等实根x 1，x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2，则实数k 的取值范围是( )
A ．－2＜k ＜－1
B ．3＜k ＜4
C ．－2＜k ＜4
D ．－2＜k ＜－1或3＜k ＜4
5．设对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x 2
＋ax －3a <0总成立．则实数a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >12
C ．a >14
D ．a >0或a <－12
6．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2
－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2)
D ．(－2,2]
7．不等式2x －53x －1
＜1的解集是________．
8．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．
9.已知集合A ＝{x |x 2
－2x －3>0}，B ＝{x |x 2
－5ax ＋4a 2
≤0}，
A ∩
B ＝{x |3<x ≤4}，求a 的值.
10．解下列关于x 的不等式． (1)x 2
－(a ＋1)x ＋a ＞0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＞0(a ≠0)；
(3)x2－(a＋1)x＋1＞0.
3.2.2详解答案
1.[答案] D[解析] 化为(x －t )(x －1
t
)＜0，
∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1
t
，
2.[答案] A
[解析] 欲使不等式x 2
＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a 2
－16≤0，∴－4≤a ≤4. 3.[答案] A[解析] ∵f (x )＝－x 2
＋mx －1有正值， ∴△＝m 2
－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.
4.[答案] D[解析] 结合f (x )＝7x 2
－(k ＋13)x ＋k 2
－k －2的图象知：⎩⎪⎨⎪⎧
△＞0f ＞0
f ＜0
f ＞0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
f ＞0f ＜0
f
＞0
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
k 2
－k －2＞0k 2
－2k －8＜0k 2－3k ＞0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
k ＜－1或k ＞2－2＜k ＜4k ＜0或k ＞3
⇔－2＜k ＜－1或3＜k ＜4.
[点评] 注意结合数轴找不等式解集的交集． 5.[答案] B
[解析] 设f (x )＝x 2
＋ax －3a ，则由条件知
⎩
⎪⎨⎪⎧
f
f －
，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－4a <0
1－2a <0，∴a >1
2
.
6. [答案] A
[解析] ∵b ＞0∴－b ＜0，又a ＞0，∴不等式－b ＜1x ＜a 化为－b ＜1x ＜0或0＜1
x
＜a .∴x ＜
－1b 或x ＞1a
.
7.[答案] {x ＜－4或x ＞1
3
}
[解析] 化为x ＋43x －1＞0，化为(x ＋4)(3x －1)＞0，∴x ＜－4或x ＞1
3
.
8.[答案] (5,7)
[解析] 不等式|3x －b |<4⇔－4<3x －b <4⇔
b －4
3
<x <
b ＋4
3
，若不等式的整数解只有1,2,3，
则b 应满足0≤b －4
3
<1且3<
b ＋4
3
≤4，即4≤b <7且5<b ≤8，
∴5<b <7.
9.[解析] A ＝{x |x <－1或x >3}，∵A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，∴x ＝4是方程x 2－5ax ＋4a 2
＝0的根，∴a 2
－5a ＋4＝0，∴a ＝1或4，当a ＝1时，B ＝{x |x 2
－5x ＋4≤0}＝{x |1≤x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |3<x ≤4}成立；当a ＝4时，B ＝{x |x 2
－20x ＋64≤0}＝{x |4≤x ≤16}，∴A ∩B ＝{x |4≤x ≤16}与条件矛盾，∴a ＝1.
10[解析] (1)变形为(x －a )(x －1)＞0，当a ＞1时，x ＞a 或x ＜1；当a ＝1时，x ∈R 且x ≠1；当a ＜1时，x ＞1或x ＜a .
(2)变形为(ax －1)(x －1)＞0，令1
a
＝1得a ＝1.
∴当a ＝1时，x ∈R 且x ≠1；当a ＞1时，0＜1a ＜1，∴x ＜1
a
或x ＞1，当0＜a ＜1时，x ＜1
或x ＞1a ；当a ＜0时，1
a
＜x ＜1.
(3)△＝(a ＋1)2
－4＝a 2
＋2a －3≥0，∴a ≤－3或a ≥1. ∴当a ＝1时，x ∈R 且x ≠1；当a ＝－3时，x ∈R 且x ≠－1； 当a ＜－3或a ＞1时，x ＜a ＋1－a 2＋2a －3
2
或x ＞
a ＋1＋a 2＋2a －3
2
；
当－3＜a ＜1时，x ∈R .
[点评] 注意从以下三个方面讨论：
①二次项系数的正负； ②判别式△的符号； ③两根的大小(特别是a ＜0时).。