八年级数学下册第18章平行四边形18.2.2菱形第2课时课时提升作业含解析新版新人教版

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人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》提升训练(附答案)

2021年人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》高频热点专题提升训练（附答案）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE ⊥AC交AD于点E，则ED的长为（）A．B．C．2D．2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，∠A＝∠CC．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠B，∠C＝∠D3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（）A．B．2C．D．24．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．25．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC6．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，连接EF交BD于点O，连接AO．若∠DBC＝25°，则∠OAD的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．75°7．如图，▱ABCD的周长是24cm，对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，E是AB中点，△COD的周长比△BOC的周长多4cm，则DE的长为（）cm．A．5B．5C．4D．48．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（）A．.2B．3C．D．9．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（）A．4B．8C．D．10．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝23°，则∠PFE的度数为（）A．23°B．25°C．30°D．46°11．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8B．9C．10D．1212．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（）A．24B．24C．12D．1213．在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，且AB＝6，那么这个四边形的周长是．14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE ＝3，AF＝4，则AB的长为．15．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为．16．如图，正方形ABCD中，对角线BD长为15cm．P是线段AB上任意一点，则点P到AC，BD的距离之和等于cm．17．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交AB于点E，已知△BCE的周长为14，则▱ABCD的周长为．18．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝．19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为AC中点．若AB＝10，BC＝6，则DE的长为．20．如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝°．21．如图，正方形ABCD中，A（2，6），C（﹣1，﹣7），则点D的坐标是．22．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AD的延长线交BC于点E，F是AC中点，连接DF，若AB＝10，BC＝24，则DF的长为．23．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．（1）求证：FB＝AD．（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．（1）求证：△FCE≌△BOE；（2）当∠ADC＝90°时，判断四边形OCFD的形状？并说明理由．25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D 在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q 从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE ＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．27．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形．（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．28．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：△ADC≌△ECD；（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．参考答案1．解：连接EC，如图，∵ABCD是矩形，∴AO＝OC．∵EO⊥AC，∴OE为线段AC的垂直平分线．∴EC＝AE．设DE＝x，则AE＝12﹣x．∴EC＝12﹣x，在Rt△ECD中，∵EC2＝DE2+DC2，∴（12﹣x）2＝x2+92．解得：x＝．∴DE＝．故选：A．2．解：如图示，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的判定定理可知：只有B符合条件．故选：B．3．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD，在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，∴CG＝CD＝2，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FG＝＝2，∴MN＝，故选：C．4．解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．5．解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．6．方法一：解：如图，连接EC，OC，AF．在菱形ABCD中，∠EBC＝∠ADF，∠ADB＝∠DBC＝25°，AB＝CD，BC＝DA．∵AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF．在△EBC与△FDA中，．∴△EBC≌△FDA（SAS）∴EC＝AF．又AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴EF与AC平分，∴在菱形ABCD中，AO⊥BD，∴∠OAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣25°＝65°．方法二：解：∵ABCD是菱形，AE＝CF，∴AB∥CD，AB＝CD，∴BE＝DF，∠OBD＝∠ODF，在△OEB和△OFD中，∴△OEB≌△ODF（AAS）．∴OB＝OD，∴AO⊥BD，∴∠OAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣25°＝65°．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD的周长是24，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，AD+AB＝CD+BC＝12，∵△COD的周长比△BOC的周长多4，∴（CD+OD+OC）﹣（CB+OB+OC）＝4，即CD﹣BC＝4，，解得，CD＝8，BC＝4，∴AB＝CD＝8，∵BD⊥AD，E是AB中点，∴DE＝AB＝4，故选：C．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝8，又∵S菱形ABCD＝＝，∴BD＝6，∵DH⊥AB，∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点，∴OH＝＝＝3．故选：B．9．解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，在△ADM与△DCN中，∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠CND，在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，∴∠DPM＝90°'∵∠DPM＝∠APN，∴△ANP为直角三角形，AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，在△ANB中AN＝＝2，故选：C．10．解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝23°，∴∠PEF＝∠PFE＝23°．故选：A．11．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故选：C．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∵AE平分∠BAC，AE＝CE，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，∴BC＝BE+CE＝6，∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝6，如图1，∵BE：EC＝2：1，∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝6，∴这个四边形的周长是：9+6+9+6＝30；如图2，∵BE：EC＝2：1，∴EC＝3，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6，∴这个四边形的周长是：3+6+3+6＝18；∴这个四边形的周长是：30或18．故答案为：30或18．14．解：延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点，∵E点为BC中点，∴BE＝CE．∵AB∥DM，∴∠B＝∠ECM．又∠AEB＝∠MEC，∴△ABE≌△MCE（ASA）．∴CM＝AB，AE＝ME＝3，∴AM＝2AE＝6．在Rt△AMN中，∠MAN＝60°，所以∠AMN＝30°，∴AN＝AM＝3，MN＝＝＝3，∴NF＝AF﹣AN＝4﹣3＝1．在Rt△MNF中，利用勾股定理可得MF＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，又F为CD中点，∴CF＝CD＝AB．∴MF＝MC+CF＝AB．所以AB＝2，解得AB＝．故答案为．15．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝6，∴OB＝BD＝3，∴OC＝OA＝＝3，∴AC＝2OA＝6，∵点E在AC上，OE＝，∴当E在点O左边时CE＝OC+＝4当点E在点O右边时CE＝OC﹣＝2，∴CE＝4或2；故答案为：4或2．16．解：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，连接OP，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OC＝OB＝OD＝BD＝，OA⊥OB，∵S△OP A+S△OPB＝S△OAB，∴PE•OA+PF•OB＝OA•OB，∴PE+PF＝OA＝cm．故答案为．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴O点为AC中点．∵OE⊥AC，∴AE＝CE．∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+AE+BE＝BC+AB＝14．∴平行四边形ABCD周长为2×14＝28．故答案为28．18．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO＝AC＝×6＝3，OB＝OD，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OD＝OB，∴OE＝BD＝×8＝4，故答案为：4．19．解：延长CD交AB于F，在△BDC和△BDF中，，∴△BDC≌△BDF（ASA），∴BF＝BC＝6，CD＝DF，∴AF＝AB﹣BF＝4，∵CD＝DF，CE＝EA，∴DE＝AF＝2，故答案为：2．20．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．又∵三角形ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．故答案为：45．21．解：如图，连接AC，取AC的中点G，过点G分别作平行于y轴、x轴的直线a、b，连接DG，作AH⊥b于点H，DF⊥b于点F，∵∠AGD＝∠AHG＝∠GFD＝90°∴∠GAH＝90°﹣∠AGH＝∠DAF，∵AG＝DG，∴△AGH≌△GDF（AAS）．∴AH＝GF，GH＝DF，∵A（2，6），C（﹣1，﹣7），且G是AC的中点，∴G（，）．∴AH＝GF＝6+＝，GH＝DF＝2＝，∴x D＝+＝7，y D＝＝﹣2，∴点D的坐标为（7，﹣2）．故答案为：（7，﹣2）．22．解：在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（ASA），∴EB＝AB＝10，AD＝DE，∵BC＝24，∴CE＝BC﹣BE＝14，∵AF＝FC，AD＝DE，∴DF＝CE＝7，故答案为：7．23．（1）证明∵E为AD的中点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC，∴∠EDC＝∠EAF，在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（AAS），∴DC＝F A，∵AD＝2AB，∴AB＝DE＝EA＝F A，∴FB＝AD；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA∥CB，∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，又∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，∴∠EBC＝∠ABE＝35°．24．证明：（1）∵CF∥BD，DF∥AC，∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，∴OD＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OB＝CF，在△FCE和△BOE中，，∴△FCE≌△BOE（AAS）；（2）当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴四边形OCFD为菱形．25．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，∵AD∥BC，∴∠P AN＝∠C＝45°，∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；（2）存在，t＝4或12；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10解得：t＝4或12∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．26．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠HAD＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝∠ADF＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣（90°﹣α）＝α﹣45°，∴∠DF A＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α；（3）∠BEA＝∠FEA，理由如下：延长CB至I，使BI＝DF，连接AI．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABC＝90°，∴∠ABI＝90°，又∵BI＝DF，∴△DAF≌△BAI（SAS），∴AF＝AI，∠DAF＝∠BAI，∴∠EAI＝∠BAI+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，又∵AE是△EAI与△EAF的公共边，∴△EAI≌△EAF（SAS），∴∠BEA＝∠FEA．27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形．（2）解：由（1）得：▱ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，AO＝CO，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE，∵AE＝AF＝3，∴∠AFE＝∠AEF，又∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝5，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，∴AO＝AC＝4．28．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠2，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，∴∠B＝∠1，∴∠1＝∠2；（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝ED，∵AB＝AC，∴AC＝ED，在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BC，∵D为边长BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形．。

(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》提高卷(答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．4C 解析：C【分析】首先根据AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可．【详解】∵AD AC =，∴△ACD 为等腰三角形，∵AE CD ⊥，∴E 为CD 的中点，（三线合一）又∵点F 是BC 的中点，∴EF 为△CBD 的中位线， ∴152EF BD ==，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 2．已知正方形ABCD 中，对角线4AC =，这个正方形的面积是（）A ．8B ．16C ．82D ．162解析：A【分析】根据勾股定理，可得正方形的边长，进而可得正方形的面积．【详解】∵正方形ABCD 中，对角线4AC =，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴2AB 2＝42，∴AB 2＝8．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．下列命题中，错误的是（）A．一组对边平行的四边形是梯形；B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．一组邻边相等的平行四边形是菱形．A解析：A【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；故选：A．【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．4．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．5．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC（）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75ºC解析：C【分析】由翻折可知：△BDF ≌△BCD ，所以∠EBD=∠CBD ，∠E=∠C=90°，由于△EDF 是等腰三角形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=12∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°．【详解】解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD ，∵矩形的对边AD ∥BC ，∠E=∠C=90°，∴∠DBC=∠ADB ，∴∠EBD=∠ADB ，∵△EDF 是等腰三角形，∠E=90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∵∠EBD+∠ADB=∠DFE ，∴∠DBF=12∠DFE=22.5°， ∴∠CBD =22.5°，∴∠BDC=67.5°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．6．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∵DA=DF ，DG=DG ，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12（∠ADF+∠CDF ） =45°， ∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.7．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF ，则两个正方形重合部分的面积为（）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a B 解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可．【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ．故选择：B ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．8．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=A解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，M ，N 分别在边AB ，BC ，AD 上，将纸片分别沿EN ，EM 对折，使点A 落在点'A 处，点B 落在点'B 处，若''30A EB ∠=︒，则NEM ∠的度数为（）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒B解析：B【分析】先由翻折的性质得到'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图可得''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，然后根据180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，得到2''180NEM A EB ∠+∠=︒，进而可求出NEM ∠的度数．【详解】由翻折的性质可知：'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图知：''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，又∵180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，∴''180A EN B EM NEM ∠+∠+∠=︒，∴2''180NEM A EB ∠+∠=︒，又∵''30A EB ∠=︒，∴75NEM ∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．10．矩形不一定具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．是轴对称图形C ．对角线相等D ．对角线互相垂直参考答案D解析：D【分析】根据矩形的性质即可判断．【详解】解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，∴选项A 、B 、C 正确，故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．二、填空题11．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BEC CEF S S <中，一定成立的是_________．（请填序号）②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥BC 交CD 于NFK ∥AB 交BC 于K 利用平行四边形的性质全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题【详解】解：如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥解析：②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．【详解】解：如图，延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CH ，∴∠A=∠FDH ，在△AFE 和△DFH 中，A FDH AFE HFD AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DFH ，∴EF=FH ，∵CE ⊥AB ，AB ∥CH ，∴CE ⊥CD ，∴∠ECH=90°，∴CF=EF=FH ，故②正确，∵DF=CD=AF ，∴∠DFC=∠DCF=∠FCB ，∵∠FCB ＞∠ECF ，∴∠DCF ＞∠ECF ，故①错误，∵FK ∥AB ，FD ∥CK ，∴四边形DFKC 是平行四边形，∵AD=2CD ，F 是AD 中点，∴DF=CD ，∴四边形DFKC 是菱形，∴∠DFC=∠KFC ，∵AE ∥FK ，∴∠AEF=∠EFK ，∵FE=FC ，FK ⊥EC ，∴∠EFK=∠KFC ，∴∠DFE=3∠AEF ，故③正确，∵四边形EBCN 是平行四边形，∴S △BEC =S △ENC ，∵S △EHC =2S △EFC ，S △EHC ＞S △ENC ，∴S △BEC ＜2S △CEF ，故④正确，故正确的有②③④．故答案为②③④．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．12【分析】连接BD 根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD 的长根据两平行线的距离相等所以△EAB 和△ECD 的面积和等于菱形ABCD 面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图解析：12【分析】连接BD ，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD 的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB 和△ECD 的面积和等于菱形ABCD 面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．【详解】如图，连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA=12AC=12×6=3， ∵AB ＝5，由勾股定理得：224AB OA -=，∴BD=2OB=8，∵AB ∥CD ， ∴△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离，∴△EAB 和△ECD 的面积和=12×ABCD S 菱形＝12×12×AC×BD=168=124⨯⨯．故答案为：12．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离是解题的关键．13．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______．4【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D 是AB 的中点∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键解析：4．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2AB CD =．【详解】∵90C ∠=︒，D 是AB 的中点，∴2AB CD =， ∴118422CD AB ==⨯=．故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．14．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是______________．30°【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC∠DCB＝90°根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°于是得到结论【详解】解解析：30°【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°，根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB∵∠ECB＝20°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∵∠GAF＝∠F，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．正三角形ABC中，已知AB=6，D是直线AC上的动点，CE⊥BD于点E，连接AE，则AE长的取值范围是_______________．≤AE≤【分析】取BC中点O利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO和OE再利用三角形三边关系即可求解【详解】解：取BC中点O连接OAOE∵△ABC正三角形且AB=6∴AO⊥BCBO=OC=BC解析：333≤AE≤333【分析】取BC 中点O ，利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE ，再利用三角形三边关系即可求解．【详解】解：取BC 中点O ，连接OA 、OE ，∵△ABC 正三角形，且AB=6，∴AO ⊥BC ，BO=OC=12BC=12AB=3， ∴22226333AB BO -=-=，在△OAE 中，OA-OE<AE< OA+OE ，当O 、A 、E 在同一直线上时，取等号，∴OA-OE ≤AE ≤OA+OE ， ∴333≤AE 333≤，故答案为：333≤AE 333≤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，注意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．如图，在四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D …如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，下列结论正确的有__________．①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +．②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形四边形是菱形四边形是矩形四边形是菱形从而可得到规律序号n 是奇数时四边形是矩形当序号n 是偶数时四边形是菱形再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题【解析：②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，从而可得到规律，序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题．【详解】解： 1111,,,A B C D 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，1111111111//,,//,,22A B AC A B AC C D AC C D AC ∴== 11//,A D BD 11111111//,,A B C D A B C D ∴=∴ 四边形1111D C B A 是平行四边形，,AC BD ⊥ 11//,A B AC 11//,A D BD1111,A B A D ∴⊥∴ 四边形1111D C B A 是矩形，1111,AC B D ∴=如图，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，∴ 2211221111,,22A B AC A D B D == 四边形2222A B C D 是平行四边形， 2222,A B A D ∴=∴ 四边形2222A B C D 是菱形，故①不符合题意，2222,A C B D ∴⊥同理可得：四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，故②符合题意，······总结规律：四边形n n n n A B C D ，当序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，111111111111,,2222A B C D AC a A D B C BD b ====== ∴ 四边形1111D C B A 的周长为,a b +如图，四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，222222112211,,,A C B D A C A D B D A B ∴⊥==由中位线的性质同理可得：33332233332211111111,,22242224A DBC BD a a D C A B A C b b ===⨯====⨯= 所以四边形3333A B C D 的周长为()1,2a b + 由规律可得：四边形5555A B C D 是矩形，同理可得：四边形5555A B C D 的周长是()11.224a b a b +⨯+=故③符合题意．故答案为②③．【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．17．已知：如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使D C 、分别落在D C ''、的位置，若65EFB ︒∠=，则AED '∠的度数为_________．【分析】由长方形纸片可得再求解由折叠的性质求解结合平角的定义可得答案【详解】解：长方形纸片由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是矩形与折叠平行线的性质简单题解题的关键是理解折叠的性质解析：50︒【分析】由长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒可得//,AD BC 再求解,DEF ∠ 由折叠的性质求解,D EF '∠ 结合平角的定义可得答案．【详解】解：长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒，//,AD BC ∴65DEF EFB ∴∠=∠=︒，由折叠可得：65D EF DEF '∠=∠=︒，180180656550.AED D EF DEF ''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：50.︒【点睛】本题考查的是矩形与折叠，平行线的性质，简单题，解题的关键是理解折叠的性质． 18．如图，在正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN 、点E F P Q 、、、分别在边AB BC CD AD 、、、上，点M N 、在边HG 上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD 的面积为__________．【分析】连接交于交于交于依据轴对称图形的性质即可得到的长进而得到正方形的面积【详解】解：如图连接交于交于交于正方形中有面积为4的正方形和面积为2的正方形又组成的图形为轴对称图形为对称轴为等腰直角三角解析：279242【分析】连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，依据轴对称图形的性质，即可得到BD 的长，进而得到正方形ABCD 的面积．【详解】解：如图，连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN ， 2EH EF ∴==，2MQ QP ==，又组成的图形为轴对称图形， BD ∴为对称轴， BEF ∴∆、DPQ ∆为等腰直角三角形，四边形EKSH 、四边形MSRQ 为矩形， 112EK BK EF ∴===，11222DR QR PQ ===，2KN EH ==，2RS MQ ==， 1312223222BD ∴=+++=+， ∴正方形ABCD 的面积22113279(32)222242BD ==⨯+=+，故答案为：279242+．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB 得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF 的长即可求出BC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB ，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF 的长，即可求出BC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，DC=AB=8，AD=BC ，∴∠AFB=∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．20．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为______．【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M分别求出FMMH的长利用勾股定理即可求解【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转得到△GEH点H落在CD边上∵BE=2AF=2BF=4∴GH=B解析：10【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE，作FM⊥CD于M，分别求出FM,MH的长，利用勾股定理即可求解．【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，点H落在CD边上，∵BE=2，AF=2，BF=4∴GH=BF=EC=4，222425+=∴在Rt△HEC中，()22-=2542∴BE=CH又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4∴△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M，故四边形AFMD是矩形，∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，FM=AD=6∴FH=22+=26210故答案为：210．【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定定理．三、解答题21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．解析：4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到OA的长，从而可以求得AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，AD＝2，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4，即AC的长度为4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．22．如图，过ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC ．CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ．（1）求证：PBE QDE ≅△△；（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由ASA 证PBE QDE ≅△△即可；（2）由全等三角形的性质得出EP EQ =，同理可得EM EN =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形PMQN 是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，EB ED ∴=，//AB CD ，EBP EDQ ∴∠=∠，在PBE △和QDE △中，EBP EDQ EB ED BEP DEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()PBE QDE ASA ∴≅△△；（2）证明：如图所示：PBE QDE ≅△△，EP EQ ∴=，同理可得EM EN =，∴四边形PMQN 是平行四边形，PQ MN ⊥，∴四边形PMQN 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．23．如图，已知点E 是ABCD 的边CD 延长线上的一点；连接AE ，BD ，且//AE BD ；过点E 作EF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接DF ；求证：DF DE =解析：见解析【分析】根据平行四边形的性质可得AB CD =，//AB CD ，然后结合题意利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABDE 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半证明求解．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，又∵//AE BD∴四边形ABDE 是平行四边形；∴AB DE =，即CD DE =；又EF BC ⊥于点F ；∴∠EFC=90°∴在Rt CEF △中，点D 是斜边CE 的中点∴DF DE =．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．24．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．解析：（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°，在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．25．如图，BD 为ABC 的角平分线，E 为AB 上一点，BE BC =，连结DE ．（1）求证：BDC BDE ≅△△；（2）若7AB =，2CD =，90︒∠=C ，求ABD △的面积．解析：（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）根据角平分线的性质可得DBC DBE ∠=∠，再根据已知条件BE BC =，BD BD =，即可证明；（2）根据（1）中结果，得2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒，即可求得ABD △的面积．【详解】（1）∵BD 平分ABC ∠，∴DBC DBE ∠=∠，∴在BDC 和BDE 中，BD BD =，DBC DBE ∠=∠，BE BC =，∴BDC ≌BDE ；（2）∵BDC ≌BDE ，∴2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒， ∴1172722ABD S AB DE =⋅=⨯⨯=△．【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握运用以上知识点．26．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；②作边AC 的中点E ，连接DE ；（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．解析：（1）①见解析；②见解析；（2）6.5（1）①以A 为圆心，小于AB 的长度为半径画圆，交AB 、AC 于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A ，即可得到BAC ∠的平分线，再画出它与BC 的交点D ；②作线段AC 的垂直平分线，即可找到线段AC 的中点E ，连接DE ；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC ==，AD BC ⊥，用勾股定理求出AB 的长，再根据中位线的性质得到DE 的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴152BD BC ==，AD BC ⊥，在Rt ABD △中，2213AB AD BD =+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点，∴1 6.52DE AB ==，故答案是：6.5．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．27．（问题提出）小颖发现某座房屋的侧面是一种特殊的五边形，她决定好好研究一下它的特点，并计算它（问题探究）定义：如图()1，我们把满足,,90AB AE CB DE C D ︒==∠=∠=的五边形ABCDE 叫做屋形．其中,AB AE 叫做脊，,BC DE 叫做腰，CD 叫做底．性质：边：屋形的腰相等，脊相等；角：①屋形腰与底的夹角相等；②脊与腰的夹角相等；对角线：①②屋形有两组对角线分别相等，且其中一组互相平分．对称性：屋形是以底的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；（1）请直接填写屋形对角线的性质①；（2）请你根据定义证明“屋形的脊与腰的夹角相等”；己知：如图，五边形ABCDE 是屋形．求证：证明：（问题解决）（3）如图，在屋形ABCDE 中，若5,8,6AB BC CD ===，试求出屋形ABCDE 的面积．解析：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等；（2）见解析；（3）60【分析】（1）根据屋形的特点可得结论；（2）连接BE ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+得出结论；（3）连接BE ，过A 作AH BE ⊥，先利用勾股定理得出AH 的值，再利用三角形和矩形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等（2）求证：屋形的脊与腰夹角相等证明：连接BEAB AE =，ABE AEB ∴∠=∠，C D ∠=∠，//BC DE ∴，又BC DE =，∴四边形BCDE 为平行四边形，90CBE DEB ︒∴∠=∠=∵ABE AEB ∠=∠，∴+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+，ABC AED ∴∠=∠．【问题解决】连接BE ，过A 作AH BE ⊥，5AB =，5AE ∴=，,AH BE AB AE ⊥=，142BH EH BE ∴===， 2222543AH AB BH ∴=--=，∴BE=2BH=6，183122ABE S ∆∴=⨯⨯=， BCDE 8648S =⨯=矩，481260+=，∴屋形ABCDE 的面积为60．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 28．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 延长线上一点且BE AB =，连接CE ，BD ．（1）求证：四边形BECD 是平行四边形（2）连接DE ，若4AB BD ==，22DE =，求BECD 的面积．解析：（1）见解析；（2）47BECD S =菱形【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到AB CD =，//AB CD ，再根据BE AB =，得到BE CD =，利用一组对边平行且相等的四边形BECD 是平行四边形去判定．（2）先利用已知条件证四边形BECD 是菱形，再在Rt BOE △中，利用勾股定理求BO ，进而求BC ，则可求菱形面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，又∵BE AB =，∴BE CD =，//BE CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．（2）如图，连接DE ，交BC 于点O ，∵4AB BD ==，BE AB =，∴4BD BE ==，由（1）得四边形BECD 是平行四边形，∴BECD 是菱形，∴DE BC ⊥，∵DE =∴12OE DE ==，在Rt BOE △中，BO === ∴2BC BO ==∴1122BECD S BC DE =⋅=⨯=菱形【点睛】本题考查了平行四边形、菱形性质和判定的综合应用，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．。

八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2.2菱形的判定课后作业新人教版

八年级数学下册第十八章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2.2 菱形的判定课后作业（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册第十八章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2.2 菱形的判定课后作业（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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18.2。

2.2 菱形的判定课后作业1. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE ∥AB交MN于点E，连接AE、CD。

求证：四边形ADCE是菱形。

2.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O,若BF=6,AB=5，求AE的长．参考答案1.证明：∵M N是AC的垂直平分线,∴AE=CE，AD=CD,OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO（ASA）．∴AD=CE,OD=OE，∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．2.（1）证明:由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形,∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；解:∵四边形ABEF为菱形，FB=3,AE=2AO，∴AE⊥BF，BO=12在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4,∴AE=2AO=8．。

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形18.2.2菱形课件(2课时共64张)

A∴S△AOFra bibliotek＝1 2
OA·OB＝
1 2
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
B
O
D
∵ AB AO2 BO2 52 122 13,
C
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ 11230.
课堂检测
能力提升题
求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B
F
C
EA
又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
D
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
课堂小结
边
菱
形的
角
性
O
C
形
的
菱形的两组对角分别相等角
性
菱形的邻角互补
质
B
怎样判断一个四边形是菱形？
菱形的两条对角线互相平分
对角线菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
素养目标
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路. 1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
B
O
D
C
= AC(BO+DO)
= AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知素养考点 1 利用菱形的面积公式解答问题
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.

八年级数学下册第18章平行四边形18-1-2平行四边形的判定第1课时课时提升作业含解析新版新人教版

平行四边形的判定(第1课时)(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( )A.①,②B.①,④C.③,④D.②,③【解析】选D.本题考查平行四边形的判定.①与②只包含一组对边平行,不能判定平行四边形;①与④只是相等的两个角,不能判定平行四边形;③与④只包含一组对边平行,不能判定平行四边形;②与③包含两组对边平行,可判定四边形是平行四边形.2.(2017·南雄市模拟)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,给出下列四个条件:①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选B.由平行四边形的判定方法可知:若是四边形的对角线互相平分,可证明这个四边形是平行四边形,②不能证明对角线互相平分,只有①③④可以.3.(2017·黄石中考)如图,已知凸五边形ABCDE的边长均相等,且∠DBE=∠ABE+∠CBD,AC=1,则BD必定满足( )导学号42684231A.BD<2B.BD=2C.BD>2D.以上情况均有可能【解析】选A.∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,同理∠CBD=∠CDB,∵∠DBE=∠ABE+∠CBD,∴∠ABC=2∠DBE,∵∠ABE=∠AEB,∠CBD=∠CDB,∴∠AEB+∠CDB=∠DBE,∴∠AED+∠CDE=180°,∴AE∥CD,∵AE=CD,∴四边形AEDC为平行四边形.∴DE=AC=AB=BC.∴△ABC是等边三角形,∴BC=CD=1,在△BCD中,∵BD<BC+CD,∴BD<2.二、填空题(每小题4分,共12分)4.已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x=________.【解析】根据题意画图如下:以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则C(4,1)或(-2,1),则x=4或-2.答案:4或-2【变式训练】已知三条线段长分别为10,14,20,以其中两条为对角线,其余一条为边可以画出________个平行四边形.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,。

_八级数学下册第18章平行四边形18.2.2菱形第2课时课时提升作业含解析新版新人教版0418144

菱形(第 2课时)(30 分钟50 分)一、选择题 ( 每题 4 分, 共 12 分)1.(2017 ·聊城中考) 如图 , △ ABC 中 ,DE∥ BC,EF∥ AB, 要判断四边形DBFE 是菱形 , 还需要增添的条件是()A.AB=ACB.AD=BDC.BE⊥ ACD.BE 均分∠ ABC【分析】选 D. 当 BE均分∠ ABF时 , 四边形 DBFE是菱形 .原因以下 : ∵ DE∥ BC,∴∠ DEB=∠EBC,∵∠ EBC=∠EBD,∴∠ EBD=∠DEB,∴BD=DE,∵DE∥ BC,EF∥ AB,∴四边形DBFE是平行四边形 ,∵ BD=DE,∴四边形DBFE是菱形 .其他选项均没法判断四边形DBFE是菱形 .2. 如图 , 两条笔挺的公路l 1,l 2订交于点O,乡村 C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D, 已知 AB=BC=CD=DA=5km,乡村 C 到公路l 1的距离为4km,则 C 到公路l 2的距离是()A.6 kmB.5 kmC.4 kmD.3 km【分析】选 C. 连结 AC,过点 C作 CE⊥ l 2于点 E, 作 CF⊥ l 1于点 F,∵乡村 C 到公路 l 1的距离为4km,∴ CF=4km,∵AB=BC=CD=DA,∴四边形 ABCD是菱形 ,∴AC均分∠ BAD,∴ CE=CF=4km,即 C 到公路 l 2的距离是4km.3.(2017 ·南充中考 ) 已知菱形的周长为4, 两条对角线的和为6, 则菱形的面积为()导学号 42684248 A.2 B. C.3 D.4【分析】选 D.∵菱形的四条边相等, 周长为 4, ∴菱形的边长为. 设菱形的两条对角线的长分别为x,y,则 x+y=6 ①,=, 即 x2+y2=20② . ①2- ② , 得 2xy=16. ∴ xy=8. ∴S 菱形 =xy=4.二、填空题 ( 每题 4 分, 共 12 分)4.(2017 ·石家庄模拟 ) 如图 , 在∠ MON的两边上分别截取OA,OB,使 OA=OB;分别以点A,B 为圆心 ,OA 长为半径作弧 , 两弧交于点C; 连结 AC,BC,AB,OC.若 AB=2cm,四边形 OACB的面积为4cm2, 则 OC的长为 ________cm.【分析】依据作图 ,AC=BC=OA,∵ OA=OB,∴ OA=OB=BC=AC,∴四边形OACB是菱形 , ∵ AB=2cm,四边形 OACB 的面积为 4cm2, ∴AB·OC= × 2× OC=4,解得 OC=4cm.答案:45. 如图 , 点 E,F,G,H 分别是随意四边形ABCD中 AD,BD,BC,CA的中点 , 当四边形 ABCD起码知足条件 ________时 , 四边形 EFGH是菱形 .【分析】EF是三角形 ABD的中位线 , 因此 EF平行且等于AB的一半 , 同理 HG平行且等于AB的一半 , 因此 EF,HG平行且相等 , 故四边形EFGH是平行四边形, 当 EF=FG时 , 四边形EFGH为菱形 , 由于 EF= AB,FG= CD,因此AB=CD.答案 : AB=CD6.如图 , 四边形 ABCD是轴对称图形 , 且直线 AC是对称轴 ,AB∥CD,则以下结论 : ① AC⊥ BD;② AD∥ BC;③四边形 ABCD是菱形 ; ④△ ABD≌△ CDB,此中正确的选项是 ________( 只填写序号 ).导学号 42684249【分析】∵四边形ABCD是轴对称图形 ,∴AB=AD,BC=DC∠. BAC=∠ DAC,∠ BCA=∠DCA.∵ AB∥ CD,∴∠ BAC=∠DCA.∴∠ DAC=∠DCA=∠ BCA=∠ BAC.∴AB=BC=CD=DA.∴四边形ABCD是菱形 .∴AC⊥ BD,AD∥ BC,△ABD≌△ CDB.答案 : ①②③④三、解答题 ( 共 26 分)7.(12分)(2017·云南中考)如图,△ ABC是以BC为底的等腰三角形,AD 是边 BC上的高 , 点 E,F 分别是AB,AC的中点 .(1)求证 : 四边形 AEDF是菱形 .(2) 假如四边形AEDF的周长为12, 两条对角线的和等于7, 求四边形AEDF的面积 S.【解题指南】 (1) 先依据直角三角形斜边上中线的性质, 得出 DE= AB=AE,DF= AC=AF,再依据 AB=AC,点 E,F 分别是 AB,AC 的中点 , 即可获得 AE=AF=DE=DF,从而判断四边形 AEDF是菱形 .22=49,22222据此可得(2) 设 EF=x,AD=y, 则 x+y=7, 从而获得 x +2xy+y 再依据 Rt △ AOE中 ,AO +EO=AE, 获得 x +y=36,xy=, 从而获得菱形AEDF的面积 S.【分析】 (1) ∵ AD⊥ BC,点 E,F 分别是 AB,AC 的中点 ,∴在 Rt △ ABD中 ,DE= AB=AE,在 Rt △ ACD中 ,DF= AC=AF,又∵ AB=AC,点 E,F 分别是 AB,AC的中点 ,∴AE=AF,∴AE=AF=DE=DF,∴四边形AEDF是菱形 .(2)如图 , ∵菱形 AEDF的周长为 12,∴AE=3,设 EF=x,AD=y, 则 x+y=7,∴x2+2xy+y 2=49, ①∵ AD⊥ EF于 O,222∴在 Rt △ AOE中 ,AO +EO=AE,∴+=32,2 2即 x +y =36, ②把②代入① , 可得 2xy=13,∴ xy=,∴菱形 AEDF的面积 S= xy=.【培优训练】8.(14分)已知:如图,在?ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点 , 且 AE=CF,直线 EF 分别交 BA的延伸线、DC的延伸线于点G,H, 交 BD于点 O.导学号 42684250(1)求证 : △ABE≌△ CDF.(2)连结 DG,若 DG=BG,则四边形 BEDF是什么特别四边形 ?请说明原因 .【分析】 (1) ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠BAE=∠ DCF.又∵ AE=CF,∴△ ABE≌△ CDF.(2)四边形 BEDF是菱形 .原因 : 如图 , ∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AD=BC,AD∥ BC.∵AE=CF,∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形 .∴BO=DO.在△ BGD中, ∵ BG=DG,BO=DO,∴ GO⊥ BD.∴四边形BEDF是菱形 .。

八年级数学下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.2.3三角形的中位线课后作业新人教版(

八年级数学下册第十八章平行四边形18.1 平行四边形18.1.2.3 三角形的中位线课后作业（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册第十八章平行四边形18.1 平行四边形18.1.2.3 三角形的中位线课后作业（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

2。

3 三角形的中位线课后作业1.如图,E为▱ABCD中DC边的延长线上一点,且CE＝DC,连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．2.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点,求EF的长．参考答案1.解：AB ∥OF ，AB ＝2OF. 证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OA ＝OC, ∴∠BAF ＝∠CEF,∠ABF ＝∠ECF.∵CE ＝DC ，∴AB ＝CE ，∴△ABF ≌△ECF （ASA ），∴BF ＝CF 。

∵OA ＝OC ，∴OF 是△ABC 的中位线,∴AB ∥OF ，AB ＝2OF 。

2. 解：取BC 边的中点G,连接EG 、FG ．∵E,F 分别为AB,CD 的中点，∴EG 是△ABC 的中位线，FG 是△BCD 的中位线,1.2EG AC =1.2FG BD = ∴EG ∥AC ， FG ∥BD ，又BD =12，AC =16，AC ⊥BD ，∴EG =8,FG =6，EG ⊥FG ， ∴2210.EF EG FG =+=。

八年级数学下册提升第18章平行四边形(含解析)

八年级数学下册提升(含解析）第十八章平行四边形专题8 平行四边形的性质及应用知识要点1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（注意定义的双向性）2．平行四边形的性质，如图8－1所示．3．证明平行四边形的边、角、对角线的性质时，我们常用的策略是构造全等三角形．4．平行四边形与等腰三角形的知识联系，如图8－2所示．典例精析例1如图8－3，在□ABCD中，AB＝4 cm，AD＝7 cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长度是多少？【分析】通过平行四边形与平分线的条件，可以找到题中的“知二得一”，利用这个结论即可证明．【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4 cm，BC＝AD＝7 cm．∴AB∥CD．∴∠ABF＝∠F．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC．∴∠FBC＝∠F．∴BC＝CF＝7cm．∴DF＝CF －CD＝3 cm．【点评】角平分线，平行线与等腰三角形的“知二得一”是非常重要的基本图形，是解决很多带有这种模型的关键突破口．我们要能在各种背景下识别这样的基本图形．拓展与变式1如图8－4，四边形ABCD是平行四边形，AE＝3，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F．求CD＋CF的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB．∴AB＝AE＝3，CD＝3．∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形．∴ED＝BF．∴CF＝AE＝3．∴CD＋CF＝6．拓展与变式2 如图8－5，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB 的中点，AB＝6，BC＝4，则AE∶EF∶FB为（）．A．1∶2∶3 B．2∶1∶3 C．3∶2∶1 D．3∶1∶2解：B【反思】正确识别和应用基本图形是提高解题效率的基本能力要求．例2□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝34，AB＝11，求△OCD 的周长．【分析】本题没有图形，我们要根据题意先将图形画出来，再利用平行四边形的对角线互相平分来解决问题．【解】如图8－6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC＝12AC，OD＝12BD．∴OC＋OD＝12（AC＋BD）＝17．∵CD＝AB＝11，∴△OCD的周长为OC＋OD＋CD＝28．【点评】根据题意画出正确的图形是三种语言转化的基本要求，而平行四边形的对角线互相平分的性质又是在遇到平行四边形带有对角线时的首要解题策略．拓展与变式3 □ABCD的顶点A，C在□DEBF的对角线EF上．求证：AE＝CF．证明：如图D8－1，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵四边形DEBF是平行四边形，∴EO＝FO．∴EO－AO＝FO－CO．∴AE＝CF．拓展与变式4□ABCD的周长为26 cm，AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△OBC的周长大4 cm，那么AB等于___________．解：8.5 cm拓展与变式5如图8－7，在周长是12 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC与BD相交于点O，点E在AD边上，且OE⊥BD，则△ABE的周长是___________．解：6 cm【反思】灵活运用平行四边形的对角线互相平分的性质对于更好地理解平行四边形的性质是很重要的．例3在□ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F．若AD＝11，EF＝5，则AB的长为多少？【分析】本题依然需要根据题意画出图形，但这里点E和点F的顺序不能确定，所以本题要分类讨论．【解】分两种情况讨论：①如图8－8，当AE与DF相交时，在□ABCD中，BC∥AD，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠CFD．∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF．∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF．∴AB＝BE，CF＝CD．∴BE＝AB＝CD＝CF．∵EF＝5，BC＝AD＝11，∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝2AB－5＝11．∴AB＝8．②如图8－9，当AE与DF不相交时，同理可得BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝2AB＋5＝11，∴AB＝3．【点评】分类讨论是重要的思想方法，而在题目没有给出确定的图形时，一定要有分类讨论的意识，才能正确并完整地解决问题．拓展与变式6若以A（－2，0），B（1，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，那么第四个顶点不可能在第________象限．解：四拓展与变式7在面积为15的□ABCD中，过点A作AE垂直BC于点E，作AF垂直CD于点F．若AB＝5，BC＝6，求CE＋CF的长．解：①如图D8－2，当∠BAD是钝角时，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴S□ABCD＝AE·BC＝15．∴AE＝2.5．同理AF＝3．∵∠AEB＝90°，∴BE DF∵＞56，∴DF＞DC，BE＜BC．∴点E在BC上，点F在DC延长线上．∴CE＋CF＝BC－BE＋DF－DC．∴CE＋CF＝1．②如图D8－3，当∠BAD为锐角时，同①理，BE DF＝，点E，F均在□ABCD的外部，∴CE＋CF＝CB＋BE＋CD＋DF．∴CE＋CF＝11．综上所述，CE＋CF的长为111．【反思】分类讨论是贯穿于数学学习的重要思想方法，我们在解决需要自行画图的问题时，应特别注意这种思想方法的应用．专题突破1．如图8－10，在□ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于____________．解：2 cm2．如图8－11，在□ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10 cm，AD＝6 cm，则AO＝__________cm．解：43．如图8－12，在□ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AC＝8，AB＝6，BD ＝m，那么m的取值范围是________________．解：4＜m＜204．BD为□ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．求证：DE＝DF．证明：如图D8－4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠EDO＝∠FBO．∵O为BD的中点，∴OB＝OD．∴∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB．∴EO＝FO．又EF⊥BD，∴DE＝DF．5．已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝120°，AC＝6．当△ADC是直角三角形时，求AD的长．解：分三种情况讨论：①如图D8－5，当∠CAD＝90°时，若A在C上方，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝12AC＝3．∵∠AOB＝120°，∴∠ADO＝30°．∴OD＝2AO＝6．∴AD．②如图D8－6，当∠ACD＝90°时，若A在C下方，同理可以求出CD＝，∴AD③如图D8－7，当∠ADC＝90°时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∴∠ADC＝∠BCD．∵CD＝CD，∴△BCD≌△ADC．∴BD＝AC．∴AO＝OC＝OB＝OD．∴∠ACD＝30°．∴AD＝12AC＝3．综上所述，AD的长是或3．专题9 平行四边形的判定及综合应用知识要点1．平行四边形的判定方法，如图9－1所示：2．三角形的中位线定理（及其证明）以及一些常用的中位线结论，如图9－2所示：3．通过中点构造中位线可以证明许多与中点有关的问题，如图9－3所示：典例精析例1如图9－4，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，连接DE，DF，BE，BF．四边形DEBF为平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】由“EF是平行四边形DEBF的对角线”想到可用对角线互相平分判定平行四边形，从而想到连接BD．【证明】法1：如图9－5，连接BD交AC于点O．∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF．∴AF－OF＝CE－OE，即OA＝OC．∴四边形ABCD是平行四边形．法2：∵四边形DEBF为平行四边形，∴DE＝FB，DE∥BF．∴∠DEF＝∠BFE．∴∠DEA＝∠CFB．∵AF＝CE，∴AE＝CF．∴△AED≌△CFB．∴AD＝BC．同理，AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】从条件或者图形中找到判定平行四边形的思路，由此构造或者补充判定平行四边形的条件，是解决判定平行四边形问题的关键策略．拓展与变式1如图9－6，已知四边形ABCD是平行四边形，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF，CE．求证：四边形AECF为平行四边形．证明：∵在□ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∴∠ABD＝∠CDB．又AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠BMA＝∠CND＝90°∴∠BAM＝∠DCN，∴△ABE≌△CDF．∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD．∴∠AEF＝∠CFE．∴AE∥CF．∴四边形AECF为平行四边形．拓展与变式2如图9－7，平行四边形AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，OA＝OC，AE∥CF．∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO．∴△FDO≌△EBO．∴OD＝OB．又OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．拓展与变式3如图9－8，在□ABCD中，点O是对角线AC与BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC．求证：四边形OCFE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．又∵点E是边CD的中点，∴OE∥BC，且OE＝12 BC．又CF＝12BC，∴OE＝CF．又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF．∴四边形OCFE是平行四边形．【反思】根据条件以及图形直观选择正确的判定平行四边形的方法是这个章节的基本要求，要求我们触类旁通，找到正确的乃至最优的判定途径．例2如图9－9，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线．过点C作CG⊥AD，垂足为F，交AB于G．连接EF，求线段EF的长．【分析】图形中显然存在“三线合一”，通过“三线合一”可以证明点F是CG的中点，以及AC＝AG，所以可以证明EF是△BCG的中位线，即可求出EF的长．【解】∵CG⊥AD，∴∠AFC＝∠AFG＝90°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵AF＝AF，∴△AFG≌△AFC．∴AC＝AG＝6，FG＝FC．∴BG＝2．∵AE是BC的中线，∴EF＝12BG＝1．【点评】中位线是三角形两边中点的连线，与此相关的中点的综合题型较多，需要我们综合运用学过的相关知识进行解决．拓展与变式4如图9－10，△ABC的三边长分别是AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点．求PM的长．解：如图D9－1，延长BP交AC于点K，BP⊥AD，∴∠APB＝∠APK＝90°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵AP＝AP，∴△ABP≌△AKP．∴BP＝KP，AK＝AB＝14．∴CK＝AC－AK＝12．∵M为BC的中点，∴PM＝12CK＝6．拓展与变式5如图9－11，△ABC中，D是AB的中点，E在BC上，且∠BED＝90°＋0.5∠C，则AC＋2BE等于（）．A．AB B．BC C．1.5AB D．1.5AC解：B 提示：如图D9－2，在BC上取点K，使BE＝EK，连接AK，则DE是△ABK 的中位线，∴AK∥ED，∠AKE＝∠BED＝90°＋0.5∠C．∴∠AKC＝180°－∠AKE＝90°－0.5∠C．∴∠AKC＝∠CAK．∴AC＝KC．∴AC＋2BE＝BC．拓展与变式6如图9－12，BM，CN分别平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，过点A 分别作BM，CN的垂线，垂足分别为M，N，交CB，BC的延长线于D，E，连接MN．求证：MN＝12（AB＋BC＋AC）．证明：∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠DMB＝90°．∵BM平分∠ABD，∴∠ABM＝∠DBM．∵BM＝BM，∴△ABM≌△DBM．∴AB＝DB，AM＝DM．同理：AN＝EN，AC＝CE．∴MN＝12DE＝12（DB＋BC＋CE）＝12（AB＋BC＋AC）．【反思】中位线的相关问题往往非常灵活，在应用或者判定中位线时，一定要多方位地思考各种与中点有关的基本结论．专题突破1．四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（）．A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．∠A＝∠B D．对角线互相平分解：C2．如图9－13，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE ＝∠CDF，其中可以判定四边形DEBF是平行四边形的有（）．A．①②B．①③④C．①②③D．①②④解：B3．如图9－14，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB ＝10，BC＝15，MN＝3，则△ABC的周长是（）．A．40 B．41 C．42 D．43解：B4．如图9－15，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是（）．A．∠ECD＝112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC＝30°D．AB解：C5．如图9－16，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；（2）当∠C＝45°，BD＝2时，D，F两点间的距离＝____________．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG＝∠ABC＝∠C．∵四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG＝∠C．∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC．∴∠BFE＝∠DEG．∴BF∥DE．∴四边形BDEF为平行四边形．（2）解：如图D9－3，利用勾股定理与△ABC和△BEF均是等腰直角三角形可以求出FK＝BK＝1，∴FD．。

人教版八年级数学下《第十八章平行四边形》课时作业(附解析)

人教版八年级数学下《第十八章平行四边形》课时作业（含答案）第十八章平行四边形18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角特征01基础题知识点1平行四边形的概念1．如图，在▱ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形有3个．第1题图第2题图2．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有3个平行四边形，它们分别是▱ABCE，▱ABGC，▱AFBC．知识点2平行四边形的边、角特征3．(教材P43T1的变式)在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长等于(A) A．10 cm B．6 cmC．5 cm D．4 cm4．(2016·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(A)A．45°B．55°C．65°D．75°5．在▱ABCD中，两邻边的差为4 cm，周长为32 cm，则两邻边长分别为10__cm，6__cm．6．(1)在▱ABCD 中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C＝100°；(2)已知▱ABCD 的周长为28 cm，若AB∶BC＝3∶4，则AB＝6__cm，BC＝8__cm．7．如图，在▱ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.∵CM⊥AD，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠DMC＝90°.∴∠BCN＝∠DCM＝45°.∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝45°.8．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E ，B ，D ，F 在同一直线上，且BE ＝DF.求证：AE ＝CF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴∠ABD ＝∠CDB. ∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS )． ∴AE ＝CF.知识点3 平行线间的距离9．如图，a ∥b ，AB ∥CD ，CE ⊥b ，FG ⊥b ，点E ，G 为垂足，则下列说法不正确的是(D )A ．AB ＝CD B ．EC ＝GFC ．A ，B 两点的距离就是线段AB 的长度D ．a 与b 的距离就是线段CD 的长度第9题图第10题图10．(2016·柳州)如图，若▱ABCD 的面积为20，BC ＝5，则边AD 与BC 间的距离为4．02 中档题11．在▱ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是(A)A ．2∶5∶2∶5B ．3∶4∶4∶5C ．4∶4∶3∶2D ．2∶3∶5∶612．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是(B )A ．7B ．10C ．11D ．12第12题图第13题图13．如图所示，直线a ∥b ，A 是直线a 上的一个定点，线段BC 在直线b 上移动，那么在移动过程中△ABC 的面积A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定 14．(2017·鹤岗)在▱ABCD 中，∠A 的平分线把BC 边分成长度是3和4的两部分，则▱ABCD 的周长是(C)A ．22B ．20C ．22或20D ．18 15．(2017·武汉)如图，在▱ABCD 中，∠D ＝100°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE .若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为30°．第15题图第16题图16．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD ＝60°，∠F ＝110°，则∠DAE 的度数为25°．17．如图，在▱ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一个动点(点P 与点B 、点D 不重合)，过点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中面积始终相等的平行四边形有3 对． 18．(2016·温州)如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)若∠BAF ＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF. ∵E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS )． (2)∵△ADE ≌△FCE ， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF ＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.03 综合题19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA.(1)求∠APB 的度数；(2)如果AD ＝5 cm ，AP ＝8 cm ，求△APB 的周长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝DC. ∴∠DAB ＋∠CBA ＝180°.又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ， ∴∠PAB ＋∠PBA ＝12(∠DAB ＋∠CBA)＝90°.∴∠APB ＝180°－(∠PAB ＋∠PBA)＝90°. (2)∵AP 平分∠DAB ，AB ∥CD ， ∴∠DAP ＝∠PAB ＝∠DPA. ∴AD ＝DP ＝5 cm .同理：PC ＝BC ＝AD ＝5 cm . ∴AB ＝DC ＝DP ＋PC ＝10 cm .在Rt △APB 中，AB ＝10 cm ，AP ＝8 cm ， ∴BP ＝102－82＝6(cm )．∴△APB 的周长为6＋8＋10＝24(cm )．第2课时平行四边形的对角线性质01 基础题知识点1 平行四边形的对角线互相平分1．如图，在▱ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，下列结论错误的是(C )A ．AB ∥CD B ．AB ＝CDC ．AC ＝BD D ．OA ＝OC第1题图第2题图2．(教材P 44T 1的变式)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD ＝8，BD ＝12，AC ＝6，则△OBC 的周长为(B)A ．13B ．17C ．20D ．263．如图，在▱ABCD 中，已知∠ODA ＝90°，AC ＝10 cm ，BD ＝6 cm ，则AD 的长为(A )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm第3题图第4题图4．如图，▱ABCD 的周长为16 cm ，AC ，BD 相交于点O ，EO ⊥BD 交AD 于点E ，则△ABE 的周长为(C)A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O.若AC ＝6，则线段AO 的长度等于3.6．在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是1＜OA ＜4． 7．如图所示，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，求证：BM ∥DN.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD. ∵AM ＝CN ，∴OM ＝ON.在△BOM 和△DON 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，∠BOM ＝∠DON ，OM ＝ON ，∴∠OBM＝∠ODN.∴BM∥DN.知识点2平行四边形的面积8．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则▱ABCD的面积是(C) A．10 B．15C．20 D．25第8题图第9题图9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则▱ABCD的面积为12cm2.02中档题10．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线的和是(C) A．18 B．28C．36 D．46第10题图第11题图11．如图，▱ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则▱ABCD的面积为(B) A．60 cm2B．30 cm2C．20 cm2D．16 cm212．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)A．14 B．13 C．12 D．10第12题图第13题图13．如图，若▱ABCD的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，则AD＝4__cm，AB＝7__cm.14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′的长为2．15．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥AB ，AB ＝25，且AO ∶BO ＝2∶3.(1)求AC 的长；(2)求▱ABCD 的面积．解：(1)∵AO ∶BO ＝2∶3， ∴设AO ＝2x ，BO ＝3x (x ＞0)．∵AC ⊥AB ，AB ＝25， ∴(2x)2＋(25)2＝(3x)2. 解得x ＝2. ∴AO ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC ＝2AO ＝8. (2)∵S △ABC ＝12AB·AC＝12×25×8 ＝85，∴S ▱ABCD ＝2S △ABC ＝2×85＝16 5.16．(2016·本溪)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，连接EC.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若EF ⊥AC ，△BEC 的周长是10，求▱ABCD 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，DC ∥AB. ∴∠FDO ＝∠EBO.在△DFO 和△BEO 中，⎩⎨⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO(ASA )． ∴OE ＝OF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OA ＝OC.∵△BEC的周长是10，∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.∴C▱ABCD＝2(BC＋AB)＝20.03综合题17．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以P A，PC为边作▱P AQC，则对角线PQ长度的最小值为(D)A．6B．8C．2 2D．4 218.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定01基础题知识点1两组对边分别相等的四边形是平行四边形1．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为(C)A．1B．2C．3D．42．若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形3．下面给出四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B) A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶34．一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．108°，72°，108°知识点3对角线互相平分的四边形是平行四边形5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件BO＝DO(答案不唯一)(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.又∵AO＝CO，∴△ABO≌△CDO(AAS)．∴BO＝DO.∴四边形ABCD是平行四边形．7．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OD 的中点，求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵点E ，F 分别是OB ，OD 的中点， ∴OE ＝12OB ，OF ＝12OD.∴OE ＝OF.又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形8．如图所示，四边形ABCD 和AEFD 都是平行四边形，则四边形BCFE 是平行四边形，理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．9．(2016·新疆)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥AD 交BD 于点E ，CF ⊥BC 交BD 于点F ，且AE ＝CF.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AE ⊥AD ，CF ⊥BC ， ∴∠EAD ＝∠FCB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF.在△AED 和△CFB 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CBF ，∠EAD ＝∠FCB ，AE ＝CF ，∴△AED ≌△CFB(AAS )． ∴AD ＝BC. 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．10．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是(A)A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形11．(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝4或－2．12．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：连接BD交AC于O，∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AO＝CO，BO＝DO.∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．13．(2017·南京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE ＝OF.证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴OE＝OF.14．(2016·张家界)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．解：四边形ABFC 是平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠CFE.∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CFE ，∠AEB ＝∠FEC ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴AB ＝CF .又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．03 综合题15．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝24 cm ，BC ＝30 cm ，点P 从点A 向点D 以1 cm /s 的速度运动，到点D 即停止．点Q 从点C 向点B 以2 cm /s 的速度运动，到点B 即停止．直线PQ 将四边形ABCD 截成两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ，则当P ，Q 两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？解：设当P ，Q 两点同时出发t s 后，四边形ABQP 或四边形PQCD 是平行四边形．根据题意，得AP ＝t cm ，PD ＝(24－t)cm ，CQ ＝2t cm ，BQ ＝(30－2t)cm (0≤t ≤15)． ①若四边形ABQP 是平行四边形， ∵AD ∥BC ，∴还需满足AP ＝BQ. ∴t ＝30－2t.解得t ＝10.∴10 s 后四边形ABQP 是平行四边形； ②若四边形PQCD 是平行四边形， ∵AD ∥BC ，∴还需满足PD ＝CQ.∴24－t ＝2t.解得t ＝8.∴8 s 后四边形PQCD 是平行四边形．综上所述：当P ，Q 两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．第2课时三角形的中位线01基础题知识点三角形的中位线1．如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4C．6 D．82．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是(C) A．8 B．10C．12 D．14第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C) A．50°B．60°C．70°D．80°4．(2016·梧州)如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(B)A．5 B．7C．9 D．11第4题图第5题图5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是40m.6．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.第6题图第7题图7．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD＝2．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB的中点．(1)求∠A的度数；(2)求EF的长．解：(1)∵∠C＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°. (2)在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝8 cm ， ∴BC ＝12AB ＝4 cm .∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线． ∴EF ＝12BC ＝2 cm .9．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴DF ，DE 为△ABC 的中位线． ∴DF ∥BC ，DE ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．02 中档题10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 各边中点，下列说法正确的是(C )A ．DE ＝DFB ．EF ＝12ABC ．S △ABD ＝S △ACD D ．AD 平分∠BAC11．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C )A ．15米B ．20米C ．25米D ．30米第11题图第12题图12．(2016·陕西)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为(B)A ．7B ．8C ．9D ．1013．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9．第13题图第14题图14．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，则∠PFE 的度数是18°．15．如图，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ，得到的四边形EFGH 叫中点四边形．求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH 是△ABD 的中位线． ∴EH ＝12BD ，EH ∥BD.同理FG ＝12BD ，FG ∥BD.∴EH ＝FG ，EH ∥FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．16．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点．又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上，∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形．03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，求线段DH 的长．解：∵AE 为△ABC 的角平分线， ∴∠FAH ＝∠CAH. ∵CH ⊥AE ，∴∠AHF ＝∠AHC ＝90°. 在△AHF 和△AHC 中，⎩⎨⎧∠FAH ＝∠CAH ，AH ＝AH ，∠AHF ＝∠AHC ，∴△AHF ≌△AHC(ASA )． ∴AF ＝AC ，HF ＝HC. ∵AC ＝3，AB ＝5，∴AF ＝AC ＝3，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2. ∵AD 为△ABC 的中线， ∴DH 是△BCF 的中位线． ∴DH ＝12BF ＝1.小专题(三) 平行四边形的证明思路类型1 若已知条件出现在四边形的边上，则考虑：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1．如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 的延长线上，且EC ∥BD.求证：四边形BECD 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，即BE ∥DC. 又∵EC ∥BD ，∴四边形BECD 是平行四边形．2．如图，已知：AB ∥CD ，BE ⊥AD ，垂足为点E ，CF ⊥AD ，垂足为点F ，并且AE ＝DF.求证：(1)BE ＝CF ；(2)四边形BECF 是平行四边形．证明：(1)∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°. ∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D . 在△AEB 和△DFC 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠DFC ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，∴△AEB ≌△DFC (ASA)． ∴BE ＝CF .(2)∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴BE ∥CF . 又∵BE ＝CF ，∴四边形BECF 是平行四边形．3．如图，在▱ABCD 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°.∴BF ＝DE ，CF ＝AE ，∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ，即∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．4．(2016·钦州)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF.求证：(1)BF ＝DC ；(2)四边形ABFD 是平行四边形．证明：(1)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴CE ＝BE.在△DEC 和△FEB 中，⎩⎨⎧CE ＝BE ，∠CED ＝∠BEF ，DE ＝FE ，∴△DEC ≌△FEB(SAS )． ∴BF ＝DC.(2)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB.又∵EF ＝DE ， ∴DE ＝12DF.∴DF ＝AB.又∵DF∥AB，∴四边形ABFD是平行四边形．5．如图，已知D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG ＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．解：ED与AG互相平分．理由：连接EG，AD.∵DE∥AF，DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形．∴AE∥DF，AE＝DF.又∵FG＝2DF，∴DG＝DF.∴AE＝DG.又∵AE∥DG，∴四边形AEGD是平行四边形．∴ED与AG互相平分.类型2若已知条件出现在四边形的角上，则考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形．类型3 若已知条件出现在对角线上，则考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”7．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O ，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，GH 过点O ，与AB ，CD 分别相交于点G ，H ，连接EG ，FG ，FH ，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证得OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．周周练(18.1)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题 4分，共32分)1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是(A )A ．对角互补B ．邻角互补C ．对角相等D ．对边相等2．平行四边形的周长为24 cm ，相邻两边的差为2 cm ，则平行四边形的各边长为(B )A ．4 cm ，8 cm ，4 cm ，8 cmB ．5 cm ，7 cm ，5 cm ，7 cmC ．5.5 cm ，6.5 cm ，5.5 cm ，6.5 cmD ．3 cm ，9 cm ，3 cm ，9 cm3．下列说法错误的是(D)A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 4．(2017·丽水)如图，在▱ABCD 中，连接AC ，∠B ＝∠CAD ＝45°，AB ＝2，则BC 的长是(C)A. 2B ．2C ．2 2D ．4第4题图第5题图5．(2016·株洲)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是(D)A ．OE ＝12DCB ．OA ＝OCC ．∠BOE ＝∠OBAD ．∠OBE ＝∠OCE6．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠CBD ＝90°，BC ＝4，BE ＝ED ＝3，AC ＝10，则四边形ABCD 的面积为(D )A ．6B ．12C ．20D ．247．在▱ABCD 中，AD ＝8，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，且EF ＝2，则AB 的长为(D)A ．3B ．5C ．2或3D ．3或58．如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P 的移动而变化的是(B )A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有4个平行四边形．第9题图第10题图10．(2016·江西)如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．11．(2016·河南)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是110°．12．在▱ABCD中，AB，BC，CD的长度分别为2x＋1，3x，x＋4，则▱ABCD的周长是32．13．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件答案不唯一，如：AB＝CD(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．第13题图第14题图14．(2017·河池)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是8．三、解答题(共44分)15．(10分)(2017·山西)已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.∵AB∥CD，∴AE∥CF.∴∠E＝∠F.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF.证法二：连接AF，CE.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF. ∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴OE ＝OF.16．(10分)(2016·黄冈)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G ，H.求证：AG ＝CH.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∴∠HCF ＝∠GAE.又∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点， ∴AE ＝FC ，DE ＝BF.又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴∠BED ＝∠BFD.∴∠AEG ＝∠CFH. 在△AGE 和△CHF 中，⎩⎨⎧∠GAE ＝∠HCF ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AGE ≌△CHF(ASA )．∴AG ＝CH.17．(12分)已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，GH 平分∠EGF 交EF 于点H.(1)猜想：GH 与EF 间的关系是GH 垂直平分EF ； (2)证明你的猜想．证明：∵E ，G 分别是AD ，BD 的中点， ∴EG ＝12AB.∵F ，G 分别是BC ，BD 的中点， ∴GF ＝12CD.∵AB ＝CD ， ∴EG ＝GF.又∵GH 平分∠EGF ， ∴GH 垂直平分EF.18．(12分)如图1，在▱ABCD 中，∠ABC ，∠ADC 的平分线分别交AD ，BC 于点E ，F.(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF ，CE ，分别交BE ，FD 于点G ，H ，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH 是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE ∥DF ，要证明四边形EGFH 是平行四边形，只需证GF ∥EH ．由(1)可证ED ＝BF ，则AE ＝FC ，又由AE ∥CF ，故四边形AFCE 是平行四边形，从而可证得四边形EGFH 是平行四边形．图2证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ，AD ＝BC. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ＝12∠ABC.∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠EBC ＝∠ADF.∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EBC. ∴∠AEB ＝∠ADF. ∴EB ∥DF. 又∵ED ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形．18.2特殊的平行四边形18．2.1矩形第1课时矩形的性质01基础题知识点1矩形的性质1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD第2题图第3题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C) A．8 B．6 C．4 D．24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B) A．30°B．60°C．90°D．120°第4题图第5题图5．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(A) A．3 cm B．6 cmC．10 cm D．12 cm6．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．7．如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，则BD＝2．第7题图第8题图8．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．9．(2016·岳阳)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF ＝CD.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BFE＋∠BEF＝90°.∵EF ⊥DF ，∴∠DFE ＝90°.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90°. ∴∠BEF ＝∠CFD .在△BEF 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA)．∴BF ＝CD .知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，D 为AB 的中点，则CD ＝5cm .第10题图第11题图11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD ＝5 cm ，则EF ＝5cm . 12．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，AH 是高，如果ED ＝5 cm ，求HF 的长.解：由题意得：DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝12AC .∵HF 是Rt △AHC 的斜边AC 的中线， ∴HF ＝12AC .∴HF ＝DE ＝5 cm.02 中档题 13．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)A ．△AFD ≌△DCEB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．BE ＝AD －DF第13题图第14题图14．(2016·绵阳)如图，▱ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为(B)A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．8 cm15．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，则∠EAC 的度数是(C )A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°第15题图第16题图16．(2016·宜宾)如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是(A )A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2 17．(2017·广西四市同城)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE ＝DF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∠ABC ＝90°. ∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF . 在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△COF (SAS)． ∴AE ＝CF .(2)∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB . ∵∠AOB ＝∠COD ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形．∴OA ＝AB ＝6.∴AC ＝2OA ＝12.在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝63，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝6×63＝36 3.18．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，延长CB 到点E ，使BE ＝BC ，连接AE.求证：(1)四边形ADBE 是平行四边形；(2)若AB ＝4，OB ＝52，求四边形ADBE 的周长．证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵BE＝BC，且点C，B，E在一条直线上，∴AD∥BE，AD＝BE.∴四边形ADBE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD.∴BD＝2OB＝5.在Rt△BAD中，AD＝52－42＝3.又∵四边形ADBE为平行四边形，∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5.03综合题19．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为25cm.习题解析第2课时矩形的判定01基础题知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1．下列说法正确的是(D)A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角互补的平行四边形是矩形2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形．3．(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．知识点2对角线相等的平行四边形是矩形4．能判断四边形是矩形的条件是(C)A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D ．两条对角线互相垂直 5．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AC ＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB ∥CD ，使四边形ABCD 为矩形．6．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，请问四边形EFGH 是矩形吗？请说明理由．解：四边形EFGH 是矩形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO.∴AO ＝CO ＝BO ＝DO.∵点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点， ∴EO ＝FO ＝GO ＝HO.∴OE ＝OG ，OF ＝OH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵EO ＋GO ＝FO ＋HO ，即EG ＝FH ，∴四边形EFGH 是矩形．知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形7．已知O 为四边形ABCD 对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD 成为矩形的是(D )A ．OA ＝OC ，OB ＝OD B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BDD ．∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°8．已知：如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 为矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别平分∠DAB ，∠ADC ， ∴∠FAD ＝∠BAF ＝12∠DAB ，∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠FAD ＋∠ADF ＝90°.∴∠AFD ＝90°.同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是矩形．02中档题9．以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是(D)A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD10．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)A．2 3 B．3 3C．4 D．4 3第11题图第12题图12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF 于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形．又∵∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形．(2)∵四边形ABCF是矩形，∴∠AFC＝∠AFD＝90°.∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠DAF＝∠CGF.又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA.∴EA＝EG.14．如图，将▱ABCD 的边AB 延长至点E ，使AB ＝BE ，连接BD ，DE ，EC ，DE 交BC 于点O.(1)求证：△ABD ≌△BEC ；(2)若∠BOD ＝2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AD ∥CB ， ∴∠A ＝∠EBC.在△ABD 和△BEC 中，⎩⎨⎧AB ＝BE ，∠A ＝∠EBC ，AD ＝BC ，∴△ABD ≌△BEC(SAS )．(2)∵在▱ABCD 中，AB ∥ CD ，且AB ＝BE ， BE ∥CD.∴四边形BECD 为平行四边形． ∴OB ＝12BC ，OE ＝12ED.∵∠BOD ＝2∠A ＝2∠EBC ，且∠BOD ＝∠EBC ＋∠BEO ，∴∠EBC ＝∠BEO.∴OB ＝OE.∴BC ＝ED. ∴四边形BECD 是矩形．03 综合题15．如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．视频讲解解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO. ∴OF ＝OC.同理可证：OC ＝OE. ∴OE ＝OF.(2)由(1)，知∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC ， ∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.∵(∠OCF ＋∠OCE)＋(∠OFC ＋∠OEC)＝180°， ∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°. ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13. 又∵OE ＝OF ，。

2017-2018学年八年级数学下册第18章平行四边形 18.2.3 正方形课时提升作业(含解析

正方形(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列命题中,真命题是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形【解析】选C.满足选项A或选项B中的条件时,不能推出四边形是平行四边形,因此它们都是假命题.由选项D中的条件只能推出四边形是菱形,因此也是假命题.只有选项C中的命题是真命题.2.(2017·河南中考)我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D'处,则点C的对应点C'的坐标为( )A.(,1)B.(2,1)C.(1,)D.(2,)【解析】选D.过点C'作C'E⊥x轴,垂足为E点,∵AB=2,O是AB的中点,∴OA=OB=1,在Rt△AOD'中,∵AD'=2,∴∠AD'O=30°,∴∠D'AO=60°,∵AD'∥BC',∴∠D'AO=∠C'BE=60°,∴∠BC'E=30°,∵BC'=2,∴BE=1,C'E=,∴EO=2,∴C'的坐标为(2,).3.(2017·攀枝花中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,过点G作GH丄CE于点H,若S△EGH=3,则S△ADF=( )A.6B.4C.3D.2【解析】选A.如图,由题意知,∠EAF=60°,EF=AF=AE,△ABE≌△ADF,∴BE=DF,∴CE=CF,∠BAE=∠DAF,∴AC垂直平分EF,∴CG=EF,即△EGH是等腰直角三角形,∵GH⊥BC,∴EH=EC,∴S△EGH=S△EGC=S△ECF,将△ADF旋转至△ABF',作F'K⊥AE于点K,易知∠F'AE=30°,∴F'K=F'A=EF,∴S△ADF=S△AEF'=AE·F'K=EF2,又S△ECF=EF·GC=EF2,∴S△ADF=2S△EGH=6.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2017·天津中考)如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为________.【解析】延长GE交AB于点O,作PH⊥OE于点H.则PH∥AB.∵P是AE的中点,∴PH是△AOE的中位线,∴PH=OA=(3-1)=1.在Rt△AOE中,OA=OE=2,在Rt△PHE中,HE=PH=1.∴HG=HE+EG=1+1=2.∴在Rt△PHG中,PG===.答案:5.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EF⊥AC于点F,连接EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为__________.【解题指南】首先由正方形的性质,得∠BAC=45°;再由等腰三角形的判定与性质,得EF=AF=3;然后由△EFC 的周长为12,得到CF=9-EC;最后由勾股定理,得(9-EC)2+32=EC2,解之即可得到正确答案.【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°.∵EF⊥AC,∴∠AEF=45°=∠BAC.∴EF=AF=3.∵△EFC的周长为12,∴EF+CF+EC=12.∴CF=9-EC.在Rt△CEF中,由勾股定理,得(9-EC)2+32=EC2,解得EC=5.答案:56.(2017·南充中考)如图,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转.给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2.其中正确的结论是________(填写序号).【解析】(1)∵正方形的各边相等,各角都是90°,∴CB=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°.∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE,即∠BCE=∠DCG.∴△BCE≌△DCG(SAS).∴BE=DG.可见结论①正确.(2)如图,设BE交DC于点M,交DG于点O.由△BCE≌△DCG可知∠CBE=∠CDG,又∠BMC=∠DMO,∴∠DOB=∠DCB=90°,即BE⊥DG.可见结论②正确.(3)连接BD,EG.∵BE⊥DG,∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.由勾股定理得BD2+EG2=2a2+2b2.∴DE2+BG2=2a2+2b2.可见结论③正确.答案:①②③三、解答题(共26分)7.(12分)(2017·青岛中考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:△BCE≌△DCF.(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.【解题指南】(1)由菱形的性质得出∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE∥BC,由SAS证明△BCE≌△DCF即可.(2)由(1)得:AE=OE=OF=AF,证出四边形AEOF是菱形,再证出∠AEO=90°,即可得四边形AEOF是正方形. 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,∴AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE∥BC,在△BCE和△DCF中,∴△BCE≌△DCF(SAS).(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形.理由如下:由(1)得:AE=OE=OF=AF,∴四边形AEOF是菱形,∵AB⊥BC,OE∥BC,∴OE⊥AB,∴∠AEO=90°,∴四边形AEOF是正方形.【变式训练】如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,CE.(1)求证:BE=CE.(2)求∠BEC的度数.【解析】(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°,∵三角形ADE为正三角形,∴AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60°.∴∠BAE=∠CDE=150°,在△BAE和△CDE中∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE.(2)∵AB=AD,AD=AE,∴AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,又∵∠BAE=150°,∴∠ABE=∠AEB=15°,同理:∠CED=15°,∴∠BEC=60°-15°×2=30°.【培优训练】8.(14分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.(1)求证:四边形ADCE为矩形.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.【解析】(1)在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,∴∠MAE=∠CAE.∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°.又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°.∴四边形ADCE为矩形.(2)例如,当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,∴∠ACD=∠DAC=45°,∴DC=AD.由(1)四边形ADCE为矩形,∴矩形ADCE是正方形.【变式训练】如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC 交CD于点F.求证:AM=EF.【证明】过点M作MP⊥AB交AB于点P,作MQ⊥AD交AD于点Q, ∵四边形ABCD是正方形,∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形,四边形APMQ是矩形, ∴AP=QM=DF=MF,PM=PB=ME,∵在△APM和△FME中,∴△APM≌△FME(SAS),∴AM=EF.。

人教版八年级下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形-菱形(包含答案)

特别的平行四边形- 菱形同步练习一、选择题1、菱形拥有而矩形不必定拥有的性质是（）A．中心对称图形 B ．对角相等C．对边平行 D ．对角线相互垂直2、如图，在菱形ABCD中，两对角线AC， BD交于点 O，，当是以PD为底的等腰三角形时，CP的长为（）、 2、、、A B C D3、已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4： 3，则这个菱形的面积是（）A． 12cm2 B ． 24cm2 C ． 48cm2 D ． 96cm24、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD订交于点O，若 AB＝ 2，∠ ABC＝ 60 °，则 BD的长为 ()A． 2 B ． 3 C.D． 25、如图，在△ABC中，点 D、 E、 F 分别是边 AB、AC、 BC的中点，要判断四边形DBFE是菱形，以下所增添条件不正确的是（）A． AB=AC B ． AB=BC C． BE均分∠ ABC D ． EF=CF6、如图，将△ABC沿 BC方向平移获得△DCE，连结 AD，以下条件中可以判断四边形ACED为菱形的条件是()A.AB＝ BCB.AC ＝ BCC. ∠ B＝ 60°D. ∠ ACB＝ 60°7、求证：菱形的两条对角线相互垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC， BD交于点O．求证： AC⊥ BD．以下是排乱的证明过程：①又 BO=DO；②∴ AO⊥ BD，即 AC⊥ BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴ AB=AD．证明步骤正确的次序是（）A．③→②→①→④ B ．③→④→①→② C ．①→②→④→③D．①→④→③→②8、如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点 A 恰巧落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则 EF 的长为（）A． 2 B ．2 C ． D ． 49、如图，在菱形ABCD中，点 E 是 BC边的中点，动点M在 CD边上运动，以EM为折痕将△ CEM折叠获得△PEM，联接PA，若 AB=4，∠ BAD=60°，则 PA的最小值是（）A．B． 2 C ． 2﹣2 D ． 410、已知，如图，△ ABC是等边三角形，四边形 BDEF是菱形，此中线段 DF的长与 DB 相等，将菱形 BDEF绕点 B 按顺时针方向旋转，甲、乙两位同学发此刻此旋转过程中，有以下结论．甲：线段AF与线段CD的长度总相等；乙：直线AF和直线CD所夹的锐角的度数不变；那么，你以为（）A．甲、乙都对B．乙对甲不对 C ．甲对乙不对D．甲、乙都不对11、如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法以下：甲：连结AC，做 AC的垂直均分线MN分别交 AD，AC， BC于 M， O， N，连结 AN， CM，则四边形ANCM是菱形 .乙：分别作∠A，∠ B 的均分线AE， BF，分别交 BC， AD 于 E， F，连结 EF，则四边形 ABEF是菱形 .依据两人的作法可判断()A. 甲正确，乙错误B. 乙正确，甲错误C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误12、如图，菱形ABCD的对角线订交于点O，过点 D作 DE∥ AC，且 DE=AC，连结 CE、OE，连结 AE，交 OD于点 F．若AB=2，∠ ABC=60°，则 AE的长为（）A．B． C ．D．二、填空题13、菱形的两条对角线长为6cm， 8cm，则这个菱形的高为．14、□中，AC、BD交于点O，给出以下条件：①AC⊥ BD；② AC=BD；③ AC均分∠ BAD；④ AB=AD；⑤ AB⊥ AD．能推出□是菱形的条件是（只需写出一个即可）．15、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ ABC＝ 45°，则点D的坐标为。