第一章 线性规划1

课后作业
P43 1.1图解法
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1.3 单纯形法原理
LP解的相关概念 凸集及其顶点 几个基本定理 单纯形法迭代原理
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一.LP解的相关概念
1.可行域，可行解，最优解
x2
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2
量为0，根据克莱姆法则，则(1.7)有唯一解。
令xi1＝ α1 ,xi2＝ α2,…,xim＝ αm，称
x i 1 1 , , x im m x 0 , j 1 , , n , j i , , i j 1 m
为一组基解。
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因此： 可行解：满足（1.7）（1.8）的解称为LP的可行解；
可行域：全部可行解的集合；
最优解：使目标函数(1.6)达到最大值的可行解
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2.基，基变量，非基变量；基解，基可行解，可行基
定义1：从n个变量中任取m个变量xi1,xi2,…,xim，若
这m个变量对应的系数列向量Pi1,Pi2,…,Pim线性无关，
(1) X 令 ( 2 ) X
k
x (j1) x 0 j t j 0 X t x (j2 ) x 0 j t j 0 X t x (1) x ( 2 ) 0 j j
i 1
j 1, , k j 1, , k j k 1, , n
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二 . 凸集和顶点（理论依据）
1.凸集
如果集合C中任意两点x1，x2，其连线上的所有点也都是集
合C中的点，则称C为凸集，其中x1，x2的连线可以表示为： α x1 ＋（1－α ）x2(0＜α ＜1) 数学解析式为： x1 ∈C， x2 ∈C，有α x1 ＋（1－α ） x2∈C (0＜α ＜1) ，则C为凸集。
cn xn a1n xn ) a2 n xn ) amn xn ) cm 1 xm 1
m n i 1 j m 1 i ij j
i 1,
, m代入目标函数Z
Z c1 x1 c2 x2
c1 (b1 a1m 1 xm 1 c2 (b2 a2 m 1 xm 1 cm (bm amm 1 xm 1 ci bi
又因X 0，X (1) , X ( 2 )均 0
(1) X ( 2) X
0 1
X 0 X (1) X ( 2 )
AX 0 b (1) (1) T ( X 1 , , X m ,0, ,0) (1) AX b ( 2) ( 2) T ( 2 ) ( X 1 , , X m ,0, ,0) AX b P1 , P2 , , Pm线性无关
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定理2：线性规划问题的基可行解X对应线性规划问题可行域的顶点。 分两步：1）顶点→基可行解 2）基可行解→顶点 反证法： 1）假设X0是可行域的顶点，X0不是基可行解，X0的前k个分量大于0，其 余为0，因不是基可行解，则存在
i不全为0，使 i Pi 0, 设＝（ 1 , 2 , , k ,0, ,0)
x1=0, x2=0 x3=3, x4=1 A
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x2=0, x3=0 x1=3, x4=1
x1
3
O
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x2=0
LP问题数学模型
MaxZ c j x j
j 1 n
(1.6 ) (1.7 ) (1.8 )
MaxZ CX AX b X 0
n a ij x j bi , i 1, , m j 1 x j 0 , j 1, , n
是凸集
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不是凸集
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二 . 凸集和顶点（理论依据） 2.顶点
如果集合C中不存在任何两个不同的点x1，x2，使x
为这两点连线上的一个点，称x为顶点。
对任何x1 ∈C， x2 ∈C，不存在x=α x1 ＋（1－α ）
x2(0＜α ＜1)，则称x为凸集的顶点。
换仅变换一个基变量。
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3.基变换
换入变量的确定
2.基，基变量，非基变量；基解，基可行解，可行基
基可行解：满足（1.8）中的基解为基可行解，
即基解中每一分量均非负。
可行基：基可行解对应的基。 退化解：基变量中有分量为0的解。
线性规划的基可行解就是可行域的顶点。
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x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
即对应系数列向量行列式≠0， 则称 B=(Pi1,Pi2,…,Pim )为基矩阵，简称基， xi1,xi2,…,xim
为基变量，其余n-m变量为非基变量。
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2.基，基变量，非基变量；基解，基可行解，可行基
定义2：在约束方程(1.7)中，令所有非基变
x3 5
x4 10
x5 4
Z 5
是否为基可行解 √
2
3 4 5
0
5 0 10
4
0 5 0
5
0 5 －5
2
5 0 0
0
4 －1 4
17
10 20 15
√
√ × ×
6
7 8
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5
5 2
2.5
4 4
0
0 3
0
－3 0
1.5
0 0
17.5
22 19
√
× √
9
最优解为x1 ＝2，x2＝4， x3 ＝3，Z＝19
解不是最优解，需要进行基变换寻找另一个基可行解；
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证明：令 xk M 0 x i bi a ik x k
n
x j 0, j m 1, , n, j k i 1, , m
X (1)为一可行解 CX (1) Z 0
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由检验数可以判断解的最优性情况 （1）因为所有Xj≥0，当所有非基变量σ j<0时，则 Z≤Z0,则该基可行解对应唯一最优解； （2）因为所有Xj≥0，当σ j≤ 0 且存在σ j＝0 （j=m+1,…,n)时，则该线性规划问题有无穷多最优 解。 （3）对基可行解X0,若存在某个σ k>0,且所有 aik≤0(Pj≤0), i=1,2,…,m，则该问题无界。 （4）因为所有Xj≥0，当存在σj>0时，则该基可行
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0 x3=0 x4=0 B
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
x1=0, x4=0 x2=1, x3=2
x1=0 C
x3=0, x4=0 x1=2, x2=1
j m 1 0 0 x Z x Z kM j j k k
M , CX (1) 该问题无界
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3.基变换
•变换目的：使目标函数Z值得到改
善，接近最优解，一次基变换，是
从该顶点到相邻顶点，即一次基变令：X X (1) (1 ) X ( 2 )
0 1
则AX A(X (1) (1 ) X ( 2 ) ) AX (1) AX ( 2 ) AX ( 2 ) b
X C C为凸集
引理：线性规划问题的可行解X＝(x1,x2,……xn)为基可行解的充要条 件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的（所组成的矩阵是 非奇异的）。
所以X不能表示成可行域中另外两点的凸组合，与假设相矛 盾，则X必为可行域的顶点。
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定理3：若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是
最优解。 X0为LP的最优解，Z*=CX0，如果X0不是基可行解，则定有 X(1)＝X0-ta , X(2)=X0+ta为可行解，则有 CX(1)=CX0-tCa≤CX0 CX(2)=CX0+tCa≤CX0 则必有tCa=0 所以X0 ，X(1) ，X(2)均为最优解，如果X(1) ，X(2)不是基可行解， 继续下去，则必可以找到基可行解为最优解。
i 1 m m n j m 1 n j j
cn xn
c x ca x (c c a ) x
j i 1 i ij j m j
ci bi
i 1
j m 1
Z
0
j m 1

n
xj
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非基变量 新疆大学科学技术学院阿克苏校区 检验数
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2）假设X0是基可行解，X0不是顶点。 假设X0是一个基可行解，设X0的前m个分量为正，令 X0=(x1,x2,…,xm,0,…,0)T,因为不是顶点，则X0可以表示 成另外两个点X(1)，X(2)的凸组合，且P1,…,Pm线性无关。
令：X 0 X (1) (1 ) X ( 2 )
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