004第三章刚体的定轴转动

定轴转动的特点：
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。 角位移，角速度和角加速度均相 同；质点在垂直转轴的平面内运动， 且作圆周运动。 二、研究刚体运动的方法
演示：轮子的滚动 = 轴心的平动 + 绕轴心的转动
一般地 刚体运动 = 平动
由于 平动 时刚 体每 一质 点的 运动 都相 同， 质心 的运 动就 可以 代表 整个 刚体 的运 动。
均匀圆盘：
2 3 Jc mi ri 2 2ri rr 2 r i ri i i i i i
C R
m
1 4 ri ri r dr 4 R i 0
3 3
R
A
C l 2 l 2
m
R4 1 J c 2 mR 2 4 2
均匀杆：
1 2 1 2 J c ml ，J A ml 12 3
第三章 刚体的定轴转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） §1 刚体的平动、转动和定轴转动 §2 刚体的角动量 转动动能 转动惯量 §3 力矩 刚体定轴转动定律 §4 定轴转动的动能定理 §5 刚体的自由度 * 刚体的平面平行运动 §6 定轴转动的刚体的角动量定理 和角动量守恒定律 §7 进动（自学）
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有
2m1m2 T1 T2 g m2 m1 m2 m1 a g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速 度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能 通过实验测出物体 1和 2 的加速度 a ，再通过加速度把 g 算出 来。在实验中可使两物体的 m1和m2相近，从而使它们的加 速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。
转动定律应用举例
例1 已知： R =0.2 m ， m =1 kg ， v o=0 ， h =1.5 m ，绳轮无相对滑动，绳 不可伸长，下落时间 t =3 s 。 求：轮对 O 轴 J= ？
定轴O
·
m
R
绳 v0=0 h
t
解：动力学关系：
N T′ = -T
α 对轮： TR J
对 m： mg T ma (1), (2) R · a m


1 E k J 2 2
则
A Ek 2 Ek 1
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。 --------定轴转动的动能定理 E 2 k
应用： ▲飞轮储能，
……
Ek
三. 定轴转动的功能原理
质点系功能原理对刚体仍成立： A 外 + A 内非 =（ Ek 2 +Ep2 ）— （E k1+ E p1 ） 刚体重力势能： Δ mi C× hc hi
G
T
mg
a (3) 运动学关系： R 1 2 h at (4) 2 gt 2 2 1) mR (1)~(4)联立解得： J ( 2h 9.8 32 ( 1) 1 0.2 2 114 . kg m2 2 15 .
分析： 1. 单位对； 2 . h 、 m 一定， J t ，合理；
一、决定转动状态变化的因素 ----- 力矩
（torque or moment of force)
演示：以门为例
1 通过转轴平面的力对刚体转动无影响。 2 任一方向上的力都可以分解为通过转轴平面 上的力和与该平面相垂直（即与转轴相垂直的 平面上的切向力）的力之合成。 3 刚体转动状态的变化不仅与“切向力”的大小有关，而且与“切向力”的 作用点到转轴的距离有关。
现在讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： 对点：
M dL
外
，
M t L L
i 外i
dt
i
2
1
对轴： M 外zi t i L2 z L1z i
刚体：
\
L z = Jz
M t J J z 2 z 1 外zi i
i
—刚体定轴转动的角动量定理 大小不变 正、负不变
3. 若 J 0 ，得 h
1 2
gt 2 ，正确。
例2 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬 有质量为m1和m2的物体1和2， m1<m2 ，如图所示。设滑轮 的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之 间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 解 滑轮具有一定的转动惯量。 在转动中受到阻力矩的作用， 两边的张力不再相等，设物体 1这边绳的张力为T1、 T1’(T1’= T1) ，物体2这边的张力为T2、 T2’(T2’= T2) 。因m2>m1，物体 1向上运动，物体2向下运动， 滑轮以顺时针方向旋转， Mr 的指向如图所示。可列出下列 方程
d (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3 dt
角加速度是角速度对t的导数，因此得
d d a (a 3bt 2 4ct 3 ) 6bt 12ct 2 dt dt
由此可见飞轮作的是变加速转动。
§2 刚体定轴转动的基本规律--转动定律
2. 刚体的平动（ translation of rigid body ）
刚体内任意一条给定的直线，在运动中始终保持它的方 位不变。 刚体平动时刚体内所有各点的运动都相同，因此刚体 内任一点的运动都可以代表整个刚体的运动。
3. 刚体的转动（rotation of rigid body ）
刚体的各个质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动。这一直线称为转轴。如果 在运动中转轴的位置固定不动，则称为 定轴转动。
+ z ω ,α vi Fi θi r Δmi
i
转动
特点：各质 点都绕同一 直线作圆周 运动。
运 动 叠 加 原 理
个别量：
刚体 O× 定轴
ri
Δ m i r i vi
ai
整体量：
θ
，ω ,
三、描述刚体定轴转动的物理量
1. 参考平面：与转轴相垂直的平面。
2. 角位置，角位移
角位置 ：位矢与 ox 轴夹角。
T 1 T a m
1 1
T 2 T2aຫໍສະໝຸດ m G2 1a G
2
m
1
m
2
T1 G1 m1a G2 T2 m2 a T2r T1r M J
式中ß 是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的 切向加速度和物体的加速度相等，即
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1 m1 2 m 2 m g M / r 而 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m2 m1 m 2
0
v r
x
v r
v 方向垂直 和 r 组成的平面
at r , an r
2
例题 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4，式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。
解：飞轮上某点角位置可用表示为 ＝at+bt3-ct4将此式 对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为
三、转动惯量的计算
1. 离散分布的物体
J mi ri
2
2
h B C
2. 连续分布的物体 J r dm 3. 平行轴定理 说明： 两轴平行； JC 为刚体绕质心轴的转动惯量； h 为两平行轴间距离。
多媒体演示：转动惯量
J B J C mh 2
常用的几个J C R m
2 J =mR ； 均匀圆环： c
实验发现：刚体转动状态的变化由“切向力”与距离的乘积决定。
M 垂直 F 和 r 构成的平面。
一、力矩
定义力矩： M Ft r 或
大小
M rF

o d
F1
P
F

F2
M rF sin(r , F ) rF sin r sin F
切向力 Ft
当 M外z =0 时，Jz = const .
若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动， 当 M外z 0 时， J const. ，这时角动量可在内部传递。
iz i
说明：刚体角动量
刚体对定轴的角动量： 对 z 轴的分量L L
角位移 d ：dt 时间内角位置增量。
运动方程： ( t ) 定轴转动只有两个转动方向。 规定： 位矢从ox 轴逆时针方向转动时角位置 为正，反之， 为负。
y d 0 P(t+dt) P (t )

x
3. 角速度和角加速度
d dt
d d 2 2 dt dt
y
4. 线量与角量的关系
(1)
k2

1
J o 2 ,
l 1 2 Jo mg sin 0 2 4
由平行轴定理
l 2 2 1 2 Jo Jc md ml m( ) 12 4

7 ml 48
2
(2)
6 g sin 由(1)、(2)得： 2 7l
§4
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
M 外z
A 12
dLz d Jz dt dt
1
2