3第三章刚体的定轴转动解析

1-T4 一架飞机在静止空气中的速度v1=135km/h。在刮风天气，飞 机以v2=135km/h的速率向正北方向飞行，机头指向北偏东30o。请 协助驾驶员判断风向和风速。
j
解：v2: 绝对速度
v1: 相对速度
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v绝对 v相对 v牵连
求牵连速度？ u
v2
u
v1
i

据v2 v1 u
力矩或冲量矩为零 角动量守恒 只有保守力矩做功
机械能守恒
1、无守恒量，则考虑： 角动量定理或定轴转动定律
例1.匀质细棒质量为m,长为2L,可在铅直平面内绕通过其中心 的水平轴O自由转动. 开始时棒静止于水平位置,一质量为m' 的小球,以速度u垂直落到棒的端点,且与棒作弹性碰撞.求:碰 撞后小球的回跳速度以及棒的角速度. 什么是弹性碰撞？ 动能损失为零，动能守恒。 若为质点则动能守恒、动量守恒； 在碰撞过程中, 外力矩=？ 小球的重力矩mgL
完全非弹性碰撞？ 动能损失最大，演员M、N和翘班具有相同速率
碰撞过程冲量矩=？ 解 碰撞前 M 落在 A点 的速度
M的重力冲量矩可忽略
vM ( 2gh )1 2
u2 h 2g
M
碰撞后的瞬间, 考虑非弹 性碰撞，M、N具有相同 的角速度, 故其线速度为
h
C A l/2
N B
l u 2
l
根据角动量定理： Mdt dL dL 的方向与 M 一致
Z
p
L dL
dL
L
ML
dL L
即 dL始终与角动量 L 垂直
重力矩只改变 L 方向 大小不变
（类比：当向心力始终与质点速度垂 直，只改变速度方向不改变大小）

0 mg

故陀螺的自转轴改变方向，绕一 竖直轴进动
解：受力分析：
在非惯性系中牛顿第二定律形式，
m1 gj Tj m1aj m1ar j m2 gj Tj m2aj m2 (ar j )
解: 以棒和小球为系统. 在碰撞过程中, 对轴O的外力矩只 有小球的重力矩mgL . 因碰撞时间极短, 冲量矩可忽略。
O u Mdt dL 0 ? m 系统对转轴O的角动量守恒:
碰前
mg
O
v m
L0 Lt
muL J mvL
(1)
碰后
muL J mvL
v2 135 j
v1 135sin30 i 135cos 30 j
o o
u 135sin30o i 135(1 cos 30o ) j
67.5i 18.09 j
o tan 75 u 69.9km / h
2-T5 如图所示，一根绳子跨过电梯内的定滑轮，其两端旋挂 质量不等的物体，m1>m2,滑轮和绳子质量忽略。求当电梯以 加速度a上升时，绳子的张力T和质量为m1的物体相对电梯的 加速度ar。 非惯性系问题 a
(1)
碰前
O O
1 m( 2L )2 12
u m v m
因作弹性碰撞,故在碰撞过程 中动能守恒 :
碰后
1 mu2 1 mv 2 1 J 2 ( 2 ) 2 2 2 m 3 m u 由(1) (2)解得: v m 3m
J
6 m u ( m 3m ) L
l u 2
下面求ω=? 把M、N和跷板作为一 个系统, 角动量守恒
M
h N
B l C l/2 A

l l m vM J 2mu 1 ml 2 1 ml 2 2 12 2 2 m vM l 2 6m( 2gh )1 2 解得 2 2 ml 12 ml 2 ( m 6m )l
习题课1-3章 作业：第三章剩余部分 本周四交齐！
答疑时间、地点：
单周一、双周二 双周三、单周四 东九楼A210室 西五楼116室
晚上7:30—9:30
课本81页 dA F dr F cos dr 改为： dA F dr F cos dr
律
律
•转动惯量的计算
(1) 求通过质心的转动惯量 JC r 2 dm r 2 dV M M (2) 求任一平行质心转轴的转动惯量
讨论：
p
可否θ增加，
p ?
进动的应用举例：
(1) 枪弹、炮弹在飞行时能绕自身 的质心旋转,在空气阻力的作用 下翻“筋斗”； 来复线使其产生进动，使运动基 本保持原方向。
M
p
vC
f

(2)*原子中电子除绕原子核转动外， 在外磁场中的进动（拉莫进动）
M pm B
习题解答：
v绝对 v相对 v牵连


M
2
利用平行轴定理
J＝JC＋md
•刚体的角动量定理 t Mdt J J 00
0
•刚体的角动量守恒
当合外力矩
M 0
J
常数
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 刚体动力学解题思路：
1、判断是否有守恒量
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
d 进动的角速度： p dt
d dS / L sin
dS dL
L sin
p d
L sin L
dL
dL M d t d
dL Mdt

r
O
mg
d M p dt L sin M p M L sin J sin
进动角速度与自旋角速度成反比 只考虑重力矩 M r mg rmg sin
演员 N 以 u 起跳, 达到的高度
u2 l 2 2 3m h ( )2 h 8g m 6m 2g
§ 5 —6
进动 (Precession)
1.进动：陀螺在绕本身的对称轴线转动的同时，对称轴还将绕竖 直轴 OZ 转动,这种回转现象称为进动。 2.进动产生的原因：
重力对 0 点的力矩为 M ， M 的方向： r mg
小结：弹性碰撞: 质点→动能守恒、动量守恒。 动量守恒？ 刚体→动能守恒、角动量守恒；
否
例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板 的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度 为l,质量为 m',跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质 量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞. 问演员N可弹起多高?