[物理]第三章刚体的定轴转动

例3 一半径为 R ，质量为 m 的 匀质圆 盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面 间的摩擦系数为μ，令圆盘最初以 角 速 度 ω0 绕通过中心且垂直盘面的轴转动，问它 将经过多少时间才停止转动？ 解： 圆盘受摩擦力矩的作用而 停 止 转 动，可根椐转动定律去求。 摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，因此摩擦阻 力矩的计算要用积分法。
t2
t1
Mdt Jω2 Jω1
M=0，

t2
t1
Mdt 0
Jω2－ Jω1 = 0
Jω2 = Jω1
角动量守恒定律
结论: 当刚体不受力矩 M 作用时， 刚体的角动量保持不变。
说明： 角动量保持不变的情况有两种可能：
1. 转动惯量和角速度均保持不变； 2. 转动惯量改变，角速度也同时改变，
ωdω =
3g cosθ dθ 2L
π 2 0


0
ωdω
3g cosd 2L
1 2 3g ω 2 2L
∴
3g ω L
§3-4 角动量守恒定律
问题： 1. 舞蹈演员和花样滑冰运动员的旋转
2. 跳水运动员空中转体
问题表明：
无力矩作用，转动 状态为什么会改变
1. 角动量定理 ( theorem of angular momentum )
ω t ω dω lim t 0 t dt
方向： 与角速度增量的方向相同 单位: 角位移 角速度 角加速度
“ rad ” “ rad · s－1 ”
“ rad · s－2 ”
4. 刚体定轴转动的运动方程 匀角速运动的运动方程
θ θ0 ωt
匀变角速运动的运动方程
把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量
dm = ρr dθ dr e
所受阻力矩
dMf = rμdm g
圆盘所受阻力矩为
=μρe r 2 dθ dr g
2
Mf =∫dMf
gρer dθdr
gρe dθ r dr
2 0 0 2π R
2 3 gρeπR 3
m =ρeπR2
2 M f mgR 3
d m =ρd V dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg ·m2
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
但两者的乘积保持不变。
J↓， ω↑；
J↑， ω↓
角动量守恒定律 是 自然界中的一条 基本定律，不但 在宏观世界中成立， 而且 在微观领域中也是成立的
例5 如图所示，一质量为 m 的小球 系 在轻绳的一端，绳穿过一竖直的管子；一手 握管，另一手 执绳，先使小 球以速度 v0 在 水平面内沿半 径为 r0 的圆周 运动，然后向 下拉绳，使小 球的半径减小
α+φ =π／2 cosα = sinφ
dA = F r cosαdθ = M dθ
= F r sinφ dθ dA → t2 、θ2
A=
恒力矩

θ2
θ1
Md θ
A = M (θ2－θ1 )
= M △θ
3. 转动定律 ( law of rotation )
ω= 0，求出α ，就可求出时间 t α可由转动定律求得
2 1 2 mgR Jα mR α 3 2 4 g α 3 R
ω0 t α ω0 3 R ω0 4 g 4 g 3 R
讨论：如果要求转过的圈数
N
2π
△θ由式 ω2 =ω02 + 2α(θ－θ0 ) 求
重力矩作的功 就是重力作的 功，也可以用 重力势能的差 值来表示
L 1 2 mg Jω 2 2
另解： 可以用定义式去求
α= dω／dt M = Jα
L 1 2 3g mg cosθ mL α α cosθ 2L 2 3 dω 3 g cosθ dt 2 L dω 3 g dω dθ ω cosθ dθ 2L dθ dt
d J = R2 dm J=
d J
2
R dm
= mR2
J=
R d m
2
2 πR 0

R dl
2
= R2· λ·2πR
= m R2
2πR· λ= m
例2 质量为 m ，长为 L 的均匀细棒对 通过其中心并与棒垂直的轴的转动惯量。 解：
dJ= x2λdx J =∫d J
2
L 2 0
转动 ( rotation ) 刚体运动时，刚体上所有的点都绕同一条 直线作圆周运动，这种运动就称为转动。 这条直线称为转轴。 定轴转动 ( fixed-axis rotation ) 转轴是固定不动的，就称为 定轴转动。 二 描述刚体运动的物理量 1. 角位移 ( angular displacement ) 特征 刚体上的各点在相同的时间 内所转过的角度是相同的
到 r ，求此时小球的速度。

t2
t1
Mdt d( Jω) = Jω2
ω1
ω2
－
Jω1
角动量定理的积分形式 冲量矩 “ N · m · s ” 单位: 角动量 “ kg · m 2 ·s -1 ”
角动量与动量矩
Jω= m r2ω =mvr v⊥r
矢量式
r × mv
动量矩
Jω = r × mv
L=r×p
( 力矩 M = r×F )
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
r
法向加速度 ( normal acceleration )
θ:
角位置 △t 时间内转过 角度 △θ ， 角位移
2. 角速度 ( angular velocity )
平均角速度
ω t
瞬时角速度
θ d ω lim t 0 t dt
角速度的方向
用右手确定
v rω
质元的线速度
3. 角加速度 ( angular acceleration )
2
J J 质心 md
平行轴定理
转轴到质心的距离
转动定律 一 力矩 ( moment of force , torque )
§ 3- 3
M=F· d = F r sinφ
M= r×F
单位：
“ N·m ”
说明：
力矩的方向:
右手螺旋法 则确定
定轴转动， 力矩的方向 与 转轴 平 行，力矩只 有两种可能 的取向。求 和时用代数 和。
dω M = Jα J 质点动量定理 dt d F dt = d(mv) M = ( Jω) dt
M dt = d ( Jω)
M dt Jω
力矩对转轴的冲量矩 刚体的角动量或动量矩( moment
of momentum )
Mdt = d ( Jω) 角动量定理 在 M 的作用下，刚体从 t1 , ω1 → t2 , ω2， M 在 t2－ t1 时间内的冲量矩为
dL d dr dp （r p） pr dt dt dt dt dp v mv r dt dp r dt
rF
dL M dt
2. 角动量（动量矩）守恒定律 ( law of conservation of angular momentum )

如果
棒转过角位移 dθ，重力矩作的元功
L dA = mg cos d 2
重力矩所作的总功
A dA
L mg cosd 2 L mg 2
π 2 0
L 1 2 1 2 mg Jω Jω0 2 2 2 1 2 Jω 2 1 1 2 2 mL ω 2 3
∴
3g ω L
3. 了解惯性力、惯性离心力。
讲课学时
作业 : 习
4 学时 题 3－2，3－8，3－9。
§ 3- 1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
阻力矩使圆盘减速，圆盘获得负的加速度
2 1 2 dω mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间 t 停止转动
0 1 2 g d t R d ω 0 3 ω0 2 t
2 1 gt Rω0 3 2 3 R ω0 t= 4 g
求时间可用刚体的运动学公式
ω=ω0+αt
F = ma
实验指出： α∝ M ， α∝ 1／J
dω M = Jα J dt
转动定律
M 对应 F J 对应 m α 对应 a
说明： M、J、α 均对同一转轴而言
4. 定轴转动的动能定理
dA = M dθ
dω M J dt
dω dω d dA = J d d J dt d d t
1 3 1 2 x dx L mL 12 12
2
讨论： 如果转轴通过细棒的一端且与棒垂直，