陈纪修《数学分析》配套题库【名校考研真题】(微分中值定理及其应用)

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国家精品课程《数学分析》陈纪修

第十二章第一节偏导数与全微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第十二章第二节多元复合函数的求导法则（1）（2）
第十二章第三节中值定理与Taylor公式（1）（2）
第十二章第四节隐函数（1）（2）（3）（4）
第十二章第五节偏导数在几何中的应用（1）（2）（3）
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
第七章第二节定积分的基本性质（1）（2）
第七章第三节微积分基本定理（1）（2）（3）（4）
第七章第四节定积分在几何计算中的应用（1）（2）（3）（4）（5）
第七章第五节微积分实际应用举例（1）（2）
第七章第六节定积分的数值计算（1）
第八章反常积分
数学分析录象目录
第一章集合与映射
第一章第一节集合（1）（2）（3）
第一章第二节映射与函数（1）（2）（3）
第二章数列极限
第二章第一节实数系的连续性（1）（2）
第二章第二节数列极限（1）（2）（3）（4）
第二章第三节无穷大量（1）（2）
第五章第一节微分中值定理（1）（2）（3）（4）
第五章第二节 L’Hospital 法则（1）（2）
第五章第三节 Taylor 公式和插值多项式（1）（2）（3）

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章

.k
hd
π π
4
(3) 令 f ( x) = 2 arctan x + arcsin
2x ，注意到 x 2 − 1 > 0, ∀x > 1 ，所以 2 1+ x
由于 f ( x) 在 [1, +∞ ) 连续，所以 f ( x) ≡ f (1) = 2 +
案网
至多有限个点有 f ′( x ) = 0 之外，都有 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上严格单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。证设 a = x0 < x1 < " < xn −1 < xn = b ，其中 x1 , x2 ," , xn −1 是 f '( x) 全部的零点。则 f ( x) 在 [ xi , xi +1 ] (i = 0,1," , n − 1) 上严格单调增加。从而，f ( x) 在 [a, b] 上严格单调增加。构造函数
(ξ , f (ξ )) 不在 ( a, f ( a )), (b, f (b)) 的连线上。
假设 (ξ , f (ξ )) 在 (a, f (a )), (b, f (b)) 的连线的上方，则
f (ξ ) − f (a ) f (b) − f (a ) f (b) − f (ξ ) > > ， ξ −a b−a b −ξ
的两倍。
5．设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上可导, 证明 ( a , b ) 内存
课
在一点 ξ ，使得
后答
案网
针排列，则ψ ( x) 就是三角形面积的两倍，否则－ψ ( x) 就是三角形面积

陈纪修《数学分析》(第2版)(上册)名校考研真题【圣才出品】

但
（
也可说
明）。
2．对数列和
若是有界数列，则是有界数列。（）[北京大学研]
【答案】对
【解析】设｜Sn｜<M，则
3．数列
存在极限
的充分必要条件是：对任一自然数 p，都有
（）[北京大学研]
【答案】错
【解析】反例：
，但不存在．
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二、解答题
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陈纪修《数学分析》（第 2 版）（上册）名校考研真题
第 2 章数列极限
一、判断题
1．对任意的 p 为正整数，如果
，则
存在。（）[重
庆大学研]
【答案】错
【解析】根据数列收敛的 Cauchy 收敛准则，可举出反例：
，虽然对任意的
n p1
对任意 0, 存在正整数 N ,使得对任意正整数 p ，成立 ak , kN
(N p)aN p ln(N p) (N p)aN p ln N ,
在上式中，令 p ，取极限，则得
0
lim ( N
p
p)aN p
ln( N
p)
,
由 0 的任意性，则得
lim ( N
．[南开大学
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2011 研]
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证明：（1）因为
{nan}
为正的单调递减数列，由单调有界定理得
lim
n
nan
L
存在，
由 an 收敛，可知必有 L 0 n1
an
n1

2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库

2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库第1部分名校考研真题第9章数项级数一、判断题1．若对任意的自然数p都有，则收敛．（）[东南大学研]【答案】错查看答案【解析】根据级数收敛的Cauchy收敛准则，举出反例：例如，对任意的自然数p，有，但是发散．正确的说法应该是，关于p一致有．2．若，且对任意的n，有，则收敛．（）[重庆大学研]【答案】错查看答案【解析】举反例：例如，虽然对任意的n，有，但是发散．n 必须足够大，才可以成立．二、解答题1．设收敛，证明：[华东师范大学研]证明：记级数的前n项和S n．则对上式两边取极限，从而即2．证明下列级数收敛．[东北师范大学研]证明：（1）方法一所以所以收敛。

方法二由于所以而收敛，从而收敛．（2）由比值判别法知收敛，再由比较判别法知收敛，即收敛。

3．证明：[浙江大学研]证明：因为且单调减，所以反复利用分部积分法，又所以将②代入①得4．讨论级数的敛散性．[复旦大学研]解：（1）若p、q>1，则绝对收敛。

（因为，例如p>q，则为优级数）；（2）若0＜p=q≤1，应用莱布尼兹定理知级数收敛，且是条件收敛；（3）当p、q>0，原级数与级数同时敛散，若p>1，0＜q ≤1或q>1，0＜p≤1时级数一敛一散，故原级数发散．若0＜p＜q＜1，则，且与同阶（当）；故级数发散，从而原级数发散．同理可证，若0＜q＜p＜1，原级数发散．5．若一般项级数与都收敛且下列不等式成立证明：级数也收敛．又若与都发散，试问一定发散吗？[汕头大学研、北京工业大学研]证明：由于级数与都收敛，所以由Cauchy收敛准则知对任意的ε＞0，存在N∈N，使得当n＞N及对任意的正整数p，都有又，所以，从而由Cauchy收敛准则知级数也收敛．若与都发散，不一定发散．反例：．6．设，证明：收敛．[浙江大学2006研]证明：因为令，则易知，所以因为，而收敛，所以收敛．7．设，举例说明存在（从而级数收敛），但，从而级数收敛的D’Alember判别法失效．[天津工业大学2006研]解：级数．由于故，所以用D’Alember判别法无法判别其敛散性．又，所以由根式判别法知收敛．8．判断级数的敛散性．[青岛科技大学研]解：令，则故由Raabe判别法知收敛．9．设f（x）在[1，+∞）上单调，证明：若广义积分收敛，则级数也收敛．[北京化工大学研]证明：不妨设f（x）在[1，+∞）上单调递减．先证明f（x）在[1，+∞）上非负，若存在，使得．由于当时，，又发散，故由比较判别法知发散，矛盾，所以f（x）在[1，+∞）上非负．因为f（x）在[1，+∞）上非负且单调递减，对任意的正数A，f（x）在[1，A]上可积，从而有依次相加可得由于收敛，于是对任意正整数m，有即非负级数部分和有界，故收敛．10．设是严格递减的正数列，且，证明：级数收敛．[南京农业大学研、上海理工大学研]证明：因为是严格递减的正数列，所以即是严格递减的数列．又由极限的性质知故由Leibniz判别法知收敛．11．讨论级数的收敛性．[厦门大学研]解：利用带Peano余项的Taylor公式（当x→0时），有于是．所以当x＞1－p时收敛，当x≤1－p时发散．12．，证明：存在，并求之．[上海大学研]证明：令，则从而因为，所以故有14．判断级数的绝对收敛性和相对收敛性．[武汉大学2005研]解：（1）绝对收敛性（主要使用放缩法）（2）相对收敛性：（A-D判别法）①；②。

陈纪修《数学分析》(第2版)配套模拟试题及详解

陈纪修《数学分析》（第2版）配套模拟试题及详解一、判断题（3分×4＝12分）1．两个周期函数的和一定是周期函数．（）【答案】×【解析】可举反例如：令F（x）＝f（x）＋g（x），则f（x）周期为2π，g（x）周期为有理数．可以证明F（x）不是周期函数，用反证法，设F（x）有周期T（>0）．若T=r为有理数，则F（0）＝1，而，故F（0）≠F（0＋r），矛盾．若T为无理数．则由可得再由也得矛盾．2．若函数f（x，y）在点（x，Y0）处的方向导数存在，则函数在该点一定可微．（）【答案】×3．收敛．（）【答案】√【解析】因为由柯西判别法的极限形式可知瑕积分收敛．4．拉格朗日中值定理的“中值”是指f（x）在[a，b]上的函数值的平均值．（）【答案】×二、填空题（3分×4＝12分）1．由方程所确定的隐函数，在点处的全微分______．【答案】2．向量函数，f在一点a连续的充要条件是：f的每个分量函数______连续。

【答案】都在点a3．若则，f（z）=＿＿＿＿．【答案】4．若是某二元函数的全微分，则m= ．【答案】1三、选择题（7×3分＝21分）1．若是xOy平面上方的抛物线且，则曲面积分的物理意义为（）．A．表示面密度为1的曲面的质量B．表示面密度为1的曲面对z轴的转动惯量C．表示面密度为的曲面对z轴的转动惯量D．表示体密度为1的流体过曲面指定侧的流量【答案】B2．若f（x）在x0的某邻域内有三阶导数，且导数连续，则（）．A．f（x）在x0没有极值B．当f'''（x0）≠0时，f（x）在x0取到极值C．当f'''（x0）≠0时，f（x）在x0没有极值D．当f'''（x0）＝0时，f（x）在x0没有极值【答案】C3．A．B．C．D．以上都不对【答案】B4．设函数处不连续，则f（x，y）在该点处（）．A．必无定义B．极限必不存在C．偏导数必不存在D．全微分必不存在【答案】D5．设，g（x）=2x，在x→0时（）．A．f（x）=O（g（x））B．f（x）=O（g（x））C．f（x）～g（x）D．无法比较【答案】B6．若f（x）在[a，b]上连续且既有极大值又有极小值，则（）．A．极大值一定是最大值B．极小值一定是最小值C．极大（小）值不一定是最大（小）值D．极大值一定比极小值大【答案】C7．设为在第一卦限中的部分，则有（）．A．B．C．D．【答案】C四、解答题（共105分）1．（15分）设证明：在[0，1]上一致收敛．证明：由可求得从而由于，关于n单调，又、x在[0，1]上连续，故由Dini定理知在[0，1]上一致收敛．2．（15分）求由曲面所围的均匀物体的重心坐标．解：物体的质量为重心的横坐标为同理可求得而于是，重心坐标为3．（15分）设函数f（x）在x=0连续，并目求证：存存，并且证明：于是，有。

陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-Euclid空间上的极限和连续(圣才出品)

第11章Euclid空间上的极限和连续一、判断题1．若f（x，y）在D内对x和y都是连续的，则f（x，y）对（x，y）∈D为二元连续函数．[重庆大学研]【答案】错【解析】举反例：，很明显但是不存在，如果选取路径y=kx趋于0，有不唯一．二、填空题（1）函数的定义域是______，它是______区域；（2）函数的定义域是______；（3）函数的定义域是______；（4）二元函数的定义域是______；（5）函数的定义域是______．[西安交通大学研]【答案】（1）（2）（3）椭圆与抛物线所围的区域；（4）（5）三、解答题1．设f（x）为定义在上的连续函数，α是任意实数，有证明：E是开集，F是闭集．[江苏大学2006研]证明：对任意的，有．因为f（x）在上连续，所以由连续函数的局部保号性知，存在的一个邻域使得当时有，从而，故E是开集．设为F 的任意一个聚点，则存在F中的点列使得．由于f（x）在上连续，所以，又，从而，即，故F是闭集．2．求．[南京大学研、厦门大学研、山东科技大学研]解：方法一由于令，有所以方法二由于，，所以，故有3．设f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，证明：在[c，d]上连续．[南京理工大学研、华东师范大学研]证明：反证法．假设g（y）在某点处不连续，则存在及点列，使得因为f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，故在[a，b]×[c，d]上一致连续．于是对，存在δ＞0，当时恒有．特别当时，即．固定y，让x在[a，b]上变化，取最大值，可得即时，．因为，所以对δ＞0，存在N ＞0，当n＞N时有，从而有，这与一开始得到的不等式矛盾，结论得证．4．设，为有界闭集，试证：开集W、V，使得A证明：A、B为有界闭集．[四川大学研]令显然W、V为开集．5．设试讨论下面三种极限：[南京工学院研]解：由于在y=0和x=0的函数极限不存在，故在（0，0）点的两个累次极限都不存在．6．设f（x，y是区域D：|x|≤1，|y|≤1上的有界k次齐次函数（k≥1），问极限是否存在？若存在，试求其值．[南京大学研]解：令x=rcosθ，y=rsinθ．由于f（x，y）是区域D上的有界k次齐次函数7．设二元函数f(x,y)在正方形区域[0，1]×[0，1]上连续．记J=[0，1]．（1）试比较的大小并证明之；（2）给出并证明使等式成立的（你认为最好的）充分条件．[浙江大学研]解：（1），有上式对于任意的x都成立，则由y的任意性可知（2）若，使下面证明上面条件为充分条件显然8．设为n维欧氏空间，A是的非空子集，定义x到A的距离为证明：上的一致连续函数．[南京大学研] 证明：有对使故对时，即上的一致连续函数．9．[暨南大学2013研] 解：设，则。

陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）

陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．由于则由Green公式知，则2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]解：令其中且3．计算其中[湖南大学研]解：令所以4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]解：记由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即即即所以λ=．5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明：因在上，u=0．故所以又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]解：分别补充圆柱体的交面记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式而平面，yz平面；平面，yz平面，所以从而7．计算为[南开大学2011研]解：(对称性)8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]解：曲线即记则所以所以由Green公式得9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式其中则又，从而平面，平面，从而图14-110．计算曲线积分其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]解：记则所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则。

陈纪修《数学分析》配套题库【名校考研真题】(数列极限)

n 2 3
n
解：一方面显然 I 1，
另一方面 1
1
1
...
1
1
n ，且 lim nn
1,
23
n
n
由迫敛性可知 I 1．
1
注：可用如下两种方式证明 lim nn 1 ． n
（1）令 n n 1 hn ，则
n
(1
hn )n
1
n(n 1) 2
hn2
hn2
2 n
(n
2)
，
1
所以
limnBiblioteka hn0 ，从而 lim nn n
，假设
则
又因为
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所以单调递增有上界，故极限存在。设
现对所以
两边取极限可得
因为
，
7．设数列满足下面的条件：
其中 0<k<1，证明：
[深圳大学 2006 研]
证明：易有
，n=1，2，…。又因为 0<k<1，所以

由
an 收敛，可知必有 L 0 ；
n2 ln n
an
ln n
n1 an dx n ln n
n1 n
n
1 ln
n
nan
dx
n1 n
x
1 ln
x
nan
dx
nan
n1 1 dx n x ln x
(n p)an p (ln ln(n 1) ln ln n),
假若数列an 有界，即存在 M 0 ，使得 0 an M ，
则由条件知
lim
n
an

陈纪修《数学分析》配套题库【章节题库】(微分)

第4章微分1．证明：黎曼函数在R上处处不可导．证明：因为R（x）是以1为周期的函数，所以只要在[0，1]上讨论它的可导性即可．又因为R（x）在有理点处不连续，因此它在有理点处不可导．下面将证明R（x）在无理点处也不可导．为无理数，设是无限不循环小数，对任意充分小，分两种情形：当h n是有理数时，有当h n是无理数时，设是无限不循环小数，有而故当或时，极限不存在，即R（x）在无理点α处不可导．2．设f（x）在x＝0处可导，在什么情况下在x＝0处也可导？解：若f（x）在x＝0处可导，当或时，在x＝0处也可导．事实上，设．先看的情形．若，由极限的局部保号性知，，有于是若，同理，有；再看的情形．记，由f（0）＝0知，g（0）＝0．故存在且为0．3．设f在[0，1]上可微，且使得．证明：f在[0，1]中只有有限个零点．证明：用反证法．假设f（x）在[0，1]中有无限个零点，由致密性定理，它存在收敛子列，使得，且．由f的连续性，有．于是由导数的定义，有．这表明f和f1在[0，1]中有共同的零点x o，这与已知条件矛盾．4．求的n阶导数．解：用数学归纳法，易证5．证明：函数在x＝0处存在任意阶导数，且．证明：当时，其中是关于的3n次多项式（这不难用数学归纳法证明）．假设，则有6．设有二阶连续导数，求证明：因为一阶差商逼近一阶导数，二阶差商逼近二阶导数，所以利用行列式的性质有7．求的n阶导数．解：8．设求证：（1）P n（x）的最高次项系数为（2）（3）证明：（1）因为的最高次项为2n次，所以的最高次项系数为所以P n（x）的最高次项系数为（2）按莱布尼茨公式：括弧中除首末两项外其余项均含有（x＋1）（x－1），所以（3）令，则有在上式两端对x求导n＋1次，得即注意到即得9．求证下列各题：（1）设g（0）＝g'（0）＝0，求f'（0）；（2）设f（x）在点x＝0连续，并且求证f'（0）存在，且f'（0）＝A；（3）设f（x）在点x＝0可导，且，求f'（0）．解：（1）0 （因为为有界函数）．（2）因为则当时，有于是将上述各式相加得即。

陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(集合与映射)

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第 1 章集合与映射
§1 集合
1．证明由 n 个元素组成的集合证明：由 k 个元素组成的子集的个数可列式为
有个子集．
2．证明：
（1）任意无限集必包含一个可列子集；
（2）设 A 不 B 都是可列集，证明 A U B 也是可列集．
6．举例说明集合运算丌满足消去律：（1）（2）其中符号表示左边的命题丌能推出右边的命题．解：（1）设 A＝{a，b，c}，B＝{b，c，d}，C＝{c，d}，则（2）设 A＝{a，b，c}，B＝{c，d，e}，C＝{c，d}，则
，但 B≠C．，但 B≠C．
7．下述命题是否正确？丌正确的话，请改正．
（4）{a，b，{a，b}}＝{a，b}．
解：（1）{0}是由元素 0 构成的集合，丌是空集．
（2）a 是集合{a，b，c}的元素，应表述为 a∈{a，b，c}．
（3）{a，b}是集合{a，b，c}的子集，应表述为
．
（4）{a，b，{a，b}}是由 a，b 和{a，b}为元素构成的集合，故
，
或{a，b}∈{a，b，{a，b}}，但{a，b，{a，b}}≠{a，b}．
4．用集合符号表示下列数集：
（1）满足
的实数全体；
（2）平面上第一象限的点的全体；
（3）大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
（4）方程 sinxcot x＝0 的实数解全体．
解：（1）｛x|－2＜x≤3｝．
（2）｛（x，y）|x＞0 且 y＞0｝．
（3）｛x|0＜x＜1 且 x∈Q｝|．
（4）
．
5．证明下列集合等式：（1）（2）
故
．

陈纪修《数学分析》配套题库【名校考研真题】(定积分)

a
a
（1）问这时对任意 x [a,b) 是否都成立 f (x) g(x) ？请证明或举例说明你的结论.
b
b
b
b
（2）若还满足 f (t)dt g(t)dt ，试证： xf (x)dx xg(x)dx .[福建师范大学
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้
a
a
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2006 研]
2 ．证明：若 f (x) C(a,b)（, 指(a,b)上的连续函数），且任意 ( , ) (a b, )，
f (x)dx 0 ，那么 f (x) 0 ， x (a,b) 。[大连理工大学 2012 研]
证明：方法一构造函数
因为 F(x) 可导且
x
F(x) ab f (t)dt,x (a,b), F(x) 0 2
2
1
1
t 1d t
2
t 1 2 1 1 dt
t
1 t 2 t 1
1
1 2 1 dt, 2 1 2t t 1
对后一个积分，再作变换，令 u t 1 ，则 t u2 1, dt d(u2 1) 2udu ，所以
2
1
1
dt
1
2udu
1 2t t 1
0 2u u2 1
这不 f (x) g(x) 矛盾，所以对任意 x [a,b) ，丌一定都成立 f (x) g(x) .
（2）令由题设知
x
F(x) f (x) g(x) ， G(x) F(t)dt ， a
G(x) 0, x [a,b),G(a) G(b) 0,G(x) F(x)
从而
b
xF(x)dx

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章

第十章函数项级数习题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。

⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。

解（1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ），所以{}()n S x 在上非一致收敛。

(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。

数学分析陈纪修答案

数学分析陈纪修答案【篇一：陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】class=txt>云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。

陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。

我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家h.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

” 那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。

陈教授就是以这一专题开讲的。

在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。

在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。

讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。

如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。

第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。

首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。

光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。

当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。

若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。

对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。

关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。

从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷”。

陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-Fourier级数(圣才出品)

第16章Fourier级数一、判断题存在实数，，使得.（）[华东师范大学2009研]【答案】对【解析】可选取周期为的连续可微函数，且当时，；时，，取，，为的Fourier系数，则有，.结论得证.二、解答题1．将函数展开为余弦级数．[华中科技大学2008研]解：对作偶式周期延拓，则的傅里叶系数为：，，即，（），所以．2．（1）试讨论级数关于0≤x≤1是否一致收敛；（2）设函数f的周期为2π，且，试利用f的Fourier展开计算的和数.[复旦大学研]解：（1），取，则故关于0≤x≤1不一致收敛.（2）Fourier系数由于f（x）在（0，2π）上连续，由收敛定理知对，有在端点x=0和x=2π处，其傅里叶级数收敛于令x=2π，有故3．把函数展开成Fourier（傅立叶）级数．[中山大学研]解：将f（x）延拓成以2π为周期的按段光滑函数.故f（x）的Fourier级数为由收敛定理知它收敛于4．设在上黎曼可积，证明：的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是[北京大学2007研]证明：此处只需证明的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）．都为0，，5．在[0，π]上展开f（x）=x＋cosx为余弦级数．[华中科技大学研]解：将f（x）= x＋cosx延拓为[－π，π]上的偶函数.则由收敛定理，对在点x=π处，其傅里叶级数收敛于6．设f（x）为以为周期且在[－π，π]上可积的函数，和为f（x）的傅里叶系数.（1）试求f（x＋h）的傅里叶系数，（其中h为常数）；（2）令，求函数F（x）的傅里叶系数，并利用所得结果证明巴塞瓦（Parseval）等式：[哈尔滨工业大学研]解：（1）设f（x＋h）的傅里叶系数为和即同理（2）设F（x）的傅里叶系数为，易知F（x）是以2π为周期的函数．因为f（x）连续，所以由含参变量积分性质知，F（x）是连续函数，又故F（x）是[－π，π]上的偶函数，从而F（x）的傅里叶系数另外，根据含参变量积分的积分顺序可交换定理，令x＋t =u可得由F（x）的连续性和收敛定理得或取x=0，则得Parseval等式7．将函数展成级数，并求的和．[苏州大学2005研]解：根据题意，f（x）在上是奇函数因此。