中考数学能力试题研究最值问题二

中考能力试题最值问题探究知识储备:中考数学中几何最值问题是把几何、代数、三角等知识融为一体，综合性强，是考查学生综合素质及应用能力的重要题型．解决好这一热点问题的关键是善于转化，把形形色色的几何最值型综合问题最终化归为“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、 “点关于线对称”、“线段的平移”、“直径是圆中最长的弦”、 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”等几何小知识，考得较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

现举隅数例希望在中考在解决某些几何最值问题时能有所借鉴意义．典例：⑴ 已知A （－1，3），B(2,1)在x 轴上求一点,① P 1使AP 1+BP 1最小；．．② P 2使22BP AP -最大．．⑵ 已知C(3,3),D(－21,-1)在x 轴上求一点, ① Q 1使11DQ CQ -最大；．．．② Q 2使CQ 2+DQ 2最小；即为所求AP 1+BP 1最小．点P 1（45,0）； ②直线AB 与x 轴交点即为P 2（0,27） ⑵如图① D 关于x 轴对称点D ＇（1,21-）直线CD ＇与x 轴的交点即为所Q 1（0,49-）；②直线CD 与x 轴的交点Q 2（0,83） 综合试题：1.小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l 的同侧有A 、B 两点，请你在直线l 上确定一点P ，使得PA+PB 的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A 关于直线l 的对称点A ′．②连接A ′B ，交直线l 于点P ．则点P 为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得△PDE 的周长最小．①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出△PDE 周长的最小值8．（2）如图2在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且EF=1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值．解：（1）①如图1所示：②∵点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，∴DE=3， ∵BC 边上的高为4，∴DD ′=4，∵DD ′⊥BC ，DE ∥BC ，∴DD ′⊥DE ，∴ED ′= 2'2DE D D + =5，C △PDE =D ′E+DE=5+3=8；故答案为：8；（2）如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH=1，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF=1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵AB=4，BC=6，G 为边AD 的中点，∴DG=AG=AM=3，∵AE ∥DH ，∴AE AM DH DM = ，∴ 13AE CD HC =-13=, 故AE=1，∴GE= = ，CG= =5，∴C 四边形GEFC =GE+EF+FC+CG=6+ 故答案为：6+ ．2.(1)观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．3.【观察发现】(1)如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．(2)如图2，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_____．【实践运用】如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是_____．【拓展延伸】(1)如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是_____；(2)如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB=∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．解：【观察发现】（2）∵△ABC是等边三角形，AB=4，AD⊥BC，CE⊥AB，故答案为：【实践运用】如图3，作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB 上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5；【拓展延伸】（1）如图4，作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=25，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=25，（2）如图5所示．作法：作点C关于直线BD的对称点C′，连接AC′并延长交BD于点P，则点P即为所求．4.(1)实际问题：在一条笔直的高速公路l的同侧有两处旅游景点A、B，AB=50km，A、B 到l的距离分别为10km和40km，要在高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．现有两种设计方案：图①是方案一的示意图（AP与直线l垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图②是方案二的示意图（点A关于直线l的对称点是A’，直接写出S1、S2的值，并比较它们的大小；(2)几何模型：如图③在∠AOB的内部有一点P，且∠AOB=45°，OP=50，在射线OA、OB 上各找一点M、N，使△PMN的周长最小,请你说出做法、画出草图：并求出周长的最小值．解：（1）图①中过B作BC⊥l于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，则BC=40，又∵AP=10，==10.图②中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，∴S2=BA'=（2）作点P关于OA的对称点P'，作点P关于OB的对称点P''，连接P'P''，与OA交于点M，与OB交于点N，则此时△PMN的周长最小，因为PM=MP'，PN=NP''，故可得△PMN的周长为线段P'P''，根据两点之间线段最短可得此时的周长最短．连接OP'、OP''，则可得OP'=OP''=OP=50，∠P'OP''=90°，5.阅读并解答下面问题：（1）如图所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的值最小．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）（2）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若y=（1）（2分）解：（1）如图：；（2）由（1）知：A ′与A 关于CD 对称，点P 为污水处理厂的位置，由题知：AC=1，=理厂应建在距C 地2km 的河堤边。

（3）设AC=1，BD=2，CD=9，PC=x 则PA ′=y =y =y =最小值为6.已知直线l 和l 外两点A 、B ，点A 、B 在l 同侧，求作一点P ，使点P 在直线l 上，并且使PA+PB 最短．（2）平面直角坐标系内有两点A （2,3），B,4,5），请分别在x 轴，y 轴上找两点P,P ’,使AP+BP 最小，''BP AP -最大，则',P P 的坐标分别为 ， 。

（3的最小值是 ，此时 ；．的最大值是 ，此时 .．（4）在直角坐标系中，有四点A （-8,3），B(-4,5），C(0,n ），D(m,0），当四边形ABCD 周长最短时, m n= .． 7.(上周八25)【观察发现】（1）如图1，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小． 作法如下：作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l 的交点就是所求的点P ．（2）如图2，在等边三角形ABC 中，AB ＝4，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小．作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的最小值为．的点P，故BP＋PE【实践运用】如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP＋PN的最小值是_____．【拓展延伸】（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q 分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是___ ___（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB＝∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．ABDC图5。