高数A
高数A复习题
微分方程 向量代数 多元函数微分学 重积分 曲线积分 无穷级数
第七章 微分方程
1.定义：
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F(x, y, y',, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y',, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例1： 3y4 y5 6y'xy 0的阶数为：4
一. 数量积 向量积 混合积
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
2.
c
向 a b量 sain与 b(其的中向量为积a为与bc的 夹a 角b)
c
的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
(2)
a
//b
( 0 sin 0)
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
3.称定向为义量这设三的已个知混向三量合个的积向混量合a 积、b， 、记c 为，[a数bc量].(a
b)
c
设
a
n M0 M = 0 而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
z
n
M
0
M
O
x
y
得: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0 (1)
高等数学a1 过压
高等数学a1 过压高等数学（Advanced Mathematics），通常简称为“高数”，是大学理科类专业中的一门基础课程，是一门综合性的数学课程，也是理工科学生的一门重要课程。
高等数学是对数学基础知识的进一步扩充和深化，包括微积分、较深更为抽象的代数、线性代数、几何学等内容，也是掌握工科学科基础的关键。
高等数学将数学的知识结构进一步完善和扩展，对于理解和掌握自然科学原理、方法和理论起到了至关重要的作用。
通过学习高等数学，我们可以系统地了解和掌握微积分与函数论、解析几何与高等代数、常微分方程等内容，提高我们的抽象思维能力、逻辑推理能力和问题解决能力。
首先，微积分是高等数学的核心内容之一。
微积分包括微分学和积分学两个部分。
微积分通过研究函数的极限、导数和积分等概念，揭示了数学和物理等自然科学背后的普适规律。
微积分的概念和方法在许多科学领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
其次，高等代数和线性代数是高等数学的另外重要分支。
高等代数主要研究线性空间、线性变换、行列式等内容，而线性代数则更加关注线性方程组、矩阵运算、特征值与特征向量等。
这两门课程不仅是数学学科中最重要的分支之一，也是理工科学生的必修课程之一。
在工程学、计算机科学等领域，线性代数的知识也具有重要的应用价值。
几何学是高等数学的另一个重要内容。
几何学的研究对象是空间和其中的几何图形，通过研究几何图形的性质和变换，揭示了空间结构的内在规律。
几何学是数学的基本分支之一，对于培养学生的几何直观和空间想象能力具有重要意义。
常微分方程是高等数学中的另一个重点内容。
常微分方程研究物体运动、电路、生态系统等的动力学行为。
通过对常微分方程的研究，可以预测和解释自然界中许多现象和规律，如天体运动、电路中的变化等。
常微分方程在自然科学和工程学中有广泛的应用。
与大学的实际情况相结合，高等数学这门课程难度较大，需要学生具备扎实的数学基础和一定的抽象思维能力。
高数a大一上知识点总结
高数a大一上知识点总结高数(a)是大学里一门非常重要的课程，它为我们打开了数学的大门。
在这门课程中，我们掌握了很多重要的数学概念和技巧。
在本文中，我将对大一上学期的高数(a)课程中的一些重要的知识点进行总结和回顾。
1. 极限与连续在高数(a)课程中，我们首先学习了极限与连续的概念。
极限是数列或函数逐渐趋近于某个特定值的过程。
我们学习了极限的定义、基本运算法则以及一些常见的极限计算方法。
同时，我们也研究了连续函数的性质和判定方法。
这些知识帮助我们理解数学中一些重要的概念，奠定了后续学习的基础。
2. 导数与微分导数是高数(a)课程中的重要内容之一。
它描述了函数在某一点的变化率。
我们学习了导数的定义、基本的求导法则和一些常见函数的导数。
导数的应用非常广泛，它可以用于函数的图像分析、最值问题的求解等。
微分则是导数的一种应用，它描述了函数值的微小变化与导数之间的关系。
3. 微分中值定理与曲线的凸凹性微分中值定理是高数(a)课程中的重要定理之一。
它描述了函数在某个区间内取得特定值的条件，也为我们提供了在函数图像上找到关键点的方法。
曲线的凸凹性则是通过二阶导数的正负性判断出的，它对函数图像的形状和特性有很重要的影响。
4. 积分与定积分积分是高数(a)课程的另一个重要内容。
它是导数的逆运算，描述了函数在某一区间上的总变化量。
我们学习了积分的定义、基本的积分法则和一些特定函数的积分。
定积分则是对函数在某个区间上的积分值的求解。
积分的应用非常广泛，可以用于计算曲线下的面积、求函数的平均值等。
5. 微分方程微分方程是高数(a)课程中的重要部分之一。
它是描述自然界中各种变化现象的数学模型。
我们学习了常微分方程的基本理论和解法。
微分方程在物理、生物等领域有着广泛的应用，掌握这一部分知识有助于我们理解和应用自然界的各种规律。
在大一上学期的高数(a)课程中，我们初步掌握了这些知识点。
这些知识点是我们后续学习更深入的数学课程的基础，同时也是我们培养数学思维和解决问题的能力的重要工具。
高数a大一上知识点
高数a大一上知识点高数A是大一上学期的一门重要课程，它是数学基础学科中的一部分，对于大多数理科相关专业的学生来说是必修课程。
通过学习高数A，学生将会掌握一些基本的数学工具和方法，为今后的学习和科研打下坚实的基础。
本文将对高数A大一上的几个知识点进行介绍和概述。
一、极限与连续1.1 极限的定义与性质在高数A的学习中，我们首先需要了解和掌握极限的概念。
极限可以理解为一个函数在某一点的“趋近于”某个值。
在学习过程中，我们需要了解极限的定义、性质和求解方法，以及如何使用极限来解决实际问题。
1.2 连续函数连续函数是高数A中的一个重要概念，它与极限有紧密的联系。
在学习连续函数的过程中，我们会学习到连续函数的定义、性质以及如何判断一个函数是否为连续函数。
掌握连续函数的性质和求解方法，对于后续学习以及实际问题的解决具有重要的意义。
二、导数与微分2.1 导数的概念与计算导数是高数A中的一个核心概念，它描述了函数在某一点的变化率。
我们需要掌握导数的定义和计算方法，以及导数的几何意义和重要性。
通过学习导数，我们能够求解函数的极值问题、判断函数的增减性等。
2.2 微分学及其应用微分学是导数的拓展和应用，通过学习微分学，我们可以进一步了解函数的性质和应用。
我们需要掌握微分学的相关概念和方法，学习如何使用微分来解决实际问题，例如优化问题、曲线的切线和法线等。
三、定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质定积分是高数A中的另一个重要概念，它表示了函数在某一区间上的“累积”，具有面积、物理中的质量、变化量等重要意义。
我们需要学习定积分的定义、性质和求解方法，以及掌握定积分的几何和物理意义。
3.2 不定积分与基本积分公式不定积分是定积分的逆运算，通过不定积分我们可以找到函数的原函数。
我们需要学习不定积分的计算方法，以及基本积分公式和常见的积分技巧。
掌握不定积分的方法，对于求解一些特定的积分问题具有重要的帮助。
四、常微分方程常微分方程是高数A中的最后一个重要知识点，它描述了物理、生物、经济等多个领域中的变化规律。
考研高数a真题及答案解析
考研高数a真题及答案解析A真题及答案解析考研数学是研究生招生考试中不可或缺的一项科目，而高等数学A部分更是其中最为关键的知识点。
为了帮助考生更好地备考，我们将为大家提供一道典型的高数A真题及答案解析。
首先，让我们来看一下这道真题：【题目】设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明存在一点ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=f(ξ)。
接下来，我们将逐步解析这道题：1. 首先，我们需对问题进行分析，理解题目的意思。
题目要求我们证明在函数f(x)在区间[a,b]上可导的前提下，存在一个点ξ使得f′(ξ)=f(ξ)。
2. 接下来，我们需要考虑如何使用中值定理来证明这个结论。
根据中值定理，如果一个函数在某个区间上可导，并且在区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在这个区间内必定存在一个点，使得其导数等于函数值。
3. 现在，我们可以开始着手证明了。
首先，我们设h(x) = f(x) - f′(x)，这样我们的目标就是要证明在某个点ξ上，h(x)等于零。
4. 由于f(x)在区间[a,b]上可导，那么h(x)也在这个区间上可导。
根据导数的定义，我们可得h′(x) = f′(x) - f′′(x)。
5. 接下来，我们来观察h′(x)的值。
由于f′(x)可导，则h′(x)也可导。
我们在这里使用了函数的可导性的性质，即如果一个函数在某个点可导，则它在这个点的左右导数存在且相等。
6. 根据题设，我们知道f(a) = 0，因此h(a) = f(a) - f′(a) = 0 - f′(a) = - f′(a)。
同样地，我们可得h(b) = - f′(b)。
7. 现在，我们来分析h(a)和h(b)的符号。
根据题设可知f(a) = f(b) = 0，即f(a)和f(b)都等于零。
因此，我们可以得出结论：h(a)和h(b)的符号相反。
8. 根据导数的连续性，我们可以知道在区间[a,b]上，h(x)的符号一定发生了改变，即h(x)在这个区间内至少存在一个根。
高等数学a有什么教材
高等数学a有什么教材高等数学A教材是大学理工类专业中必修的一门课程，用于培养学生的数学思维和推理能力。
在教学过程中，选择一本合适的教材对于学生的学习效果至关重要。
下面是几本常见的高等数学A教材，供您选择和参考。
一、《高等数学》（第七版）张宇主编《高等数学》（第七版）是近年来非常受欢迎的一本高等数学教材。
该教材在内容上系统完整、知识点准确，涵盖了大学高等数学A课程中的重要知识点。
与此同时，配套的习题册设计了大量的练习题，可以帮助学生巩固所学内容并提高解题能力。
此外，教材中还附有详细的解答和答案解析，方便学生自我检查。
二、《高等数学》（第八版）同济大学数学系主编《高等数学》（第八版）是同济大学数学系编写的一本教材。
该教材内容全面，理论严谨，注重把数学理论与实际问题相结合。
书中的案例分析和实际应用部分有助于学生更好地理解数学的应用价值。
除了课后习题外，教材还提供了扩展阅读材料和习题答案，帮助学生进一步拓宽知识面和思维广度。
三、《高等数学》（第三版）吴赣清主编《高等数学》（第三版）是一本较为经典的高等数学教材。
该教材语言简明、易于理解，结构合理，各章节之间的关联性强，知识点的难度逐渐递增。
同时，教材还提供了丰富的例题和习题，方便学生进行巩固和扩展训练。
此外，教材还附带有习题解析和习题答案，为学生提供自学和检查的便利。
四、《高等数学》（第五版）王道考研辅导主编《高等数学》（第五版）是专为考研学生编写的一本教材。
该教材内容严谨，重点突出，覆盖了高等数学A课程中的重要内容，并配备了大量的经典习题和考研真题，可帮助学生提升解题和应试能力。
此外，教材还提供了习题答案和详细的解题步骤，方便学生进行自我评测和错题复习。
以上是几本常见的高等数学A教材，每本教材都有其自身的特点和优势。
在选择教材时，建议您结合自身的学习习惯和学校的教学要求，综合考虑教材的内容、布局、练习题等方面的因素，选择符合您个人需求的教材，以便更好地学习和掌握高等数学知识。
高数A(二)复习试卷解答
上海大学高数A （二）复习试卷解答一、 求下列导数与极限（1）⎰=x xdt t x F cos sin 2cos )(π 求：)(x F '解: )sin (cos cos )cos (cos sin )(22x x x x x F ππ--=' （2）⎰=2sin ln )(x xdx x x Φ 求：)(x Φ'解: x x x x sin ln sin ln 2)(2-='Φ （3）设)(x f 为连续的偶函数，且⎰⎰+=-x x dt t f dt t f x g 1)()()( 求：)('x g解: 0)()()()()('=+-=+--=x f x f x f x f x g（4）xdt t t x x cos 1)1ln(lim)sin(02-+⎰>- 解:2)s i n (2lim sin )sin(]1)ln[sin()cos(2limsin 2)cos()sin(]1)ln[sin(lim cos 1)1ln(lim 3222202220)sin(02==+=⋅⋅+=-+>->->->-⎰x x x x x x x x x x x x x x dt t t x x x x x （5）dt tt x xx ⎰+∞→31221lim解: 31131lim 31lim 1lim1lim 2022203220112233=+=+=++→→→=∞→⎰⎰uu u u u dttt dtttx u u u u uxxx （6）求：⎰-=20arctan )1()(x dt t t x f 的极值点。
解:2)1(,2)1(,0)0(1)1(4a r c t a n )21(22)(11)1(2a r c t a n )(2a r c t an )1(2)(1,1,00a r c t a n )1(22a r c t a n )1()(422222222223212222ππ-=''-=-''=''+-+-=⋅+-+-+-=''=-===-=⨯-='f f f x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x f又当01<<-x 时，0)(<'x f ，当10<<x 时，0)(>'x f 所以1,1,0321=-==x x x 都是极值点。
高数A1知识点
2017-2018-1高等数学A1考试题型一、填空（7题） 二、选择（4题）三、计算题（10题） 四、解答题（2题）2017-2018-1高等数学A1知识点第一章 函数与极限1.定义域：2.第一重要极限0sin lim 1x x x →=1lim sin 1x x x →∞= ()0sin ()lim 1()x x x ϕϕϕ→=3.第二重要极限1lim(1)xx x e →∞+= 1lim(1)n n e n →∞+= 10lim(1)x x x e →+= 1()()0lim (1())x x x e ϕϕϕ→+= 4.无穷小：有界函数乘以无穷小仍然是无穷小等性质，无穷小的比较5.无穷大;6.极限的计算(掌握极限的四则运算法则;两个重要极限及应用; 无穷小的等价代换);（特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）常用的等价无穷小：当0x →时~sin x x ，~tan ,x x ~arcsin ,x x ~arctan ,x x 1．()~ln(1)~1x x x e +-21~1cos 2x x -，~x n， （乘法可替，加减不行）7.函数连续性的概念;第二章 导数与微分1.导数定义0000()()'()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆000()()lim h f x h f x h→+-=0000()()()lim .x x f x f x f x x x →-'=- 并会利用导数定义求极限2.可导与连续的关系可导必连续，连续未必可导，不连续必不可导3.导数公式与微分公式().dy f x dx '=2()()()()d u v du dvd Cu Cdu u vdu udv d uv vdu udv d v v ±=±=-=+= 已知函数sin(),.+=求ax b ye dy4.导数四则运算函数和（差）、积与商的求导法则线性组合：()u v u v αβαβ'''±=+特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±函数积的求导法则：()uv u v uv '''=+ 函数商的求导法则：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭5.复合函数求导数6.隐函数求导数7.参数方程求导数8．高阶导数第三章 微分中值定理与导数的应用1.微分中值定理(罗尔中值定理及拉格朗日中值定理的条件及结论);2.渐近线 (水平渐近线;垂直渐近线).3.洛比达法则求极限4.导数应用（单调性和极值、最值，凹凸性和拐点）第四章 不定积分1.原函数与不定积分的定义;若'()()F x f x =（或()()dF x f x dx =），则函数()F x 称为()f x 的一个原函数. 若()F x 为()f x 的一个原函数，则()()f x dx F x C =+⎰2.基本积分表;3.不定积分的性质;()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰或()()d f x dx f x dx =⎰ ()()dF x F x C =+⎰ 或'()()F x dx F x C =+⎰4.不定积分的计算(直接积分法；第一类换元法;第二类换元法;分部积分法); 第五章 定积分1.定积分的性质；2.变上限函数及其性质；3.牛顿-莱布尼兹公式;4.定积分的换元积分法;5.定积分的分部积分法;6.无穷区间上及无界函数反常积分的敛散性;第六章 定积分的应用7.在直角坐标系计算平面图形的面积;8.旋转体体积的计算.。
高数a大一期末知识点
高数a大一期末知识点高数A是大一学生必修的一门课程，期末考试是对学生全学期知识的总结与检验。
以下将分为几个部分，详细介绍高数A的一些重要知识点。
一、极限与连续极限是高数A中一个重要的概念，其直观理解是函数在某点附近的趋势。
在计算极限时，我们可以利用一些基本的极限公式，例如幂函数的极限、三角函数的极限等。
此外，我们还可以使用夹逼定理、洛必达法则等计算一些较为复杂的极限。
连续函数是指在其定义域内，函数值与自变量值之间存在无间断的联系。
判断一个函数是否连续，我们可以分析其定义域内是否有间断点、跳跃点以及无穷点等。
在实际应用中，连续函数有着重要的性质和作用。
二、导数与微分导数是函数变化率的表示，描述了函数在某一点的切线斜率。
计算导数时，我们可以运用导数的基本定义以及一些常见的导数公式，如和差积商的导数法则、反函数的导数法则等。
导数在图像的凸凹性、极值问题、曲线的切线方程等方面有着广泛的应用。
微分是导数的应用，描述了函数在某一点的近似变化。
微分与导数的关系是微分是导数的一个微小的近似量。
应用微分，我们可以求得函数在某一点的近似值，进行线性近似、扰动分析、误差估计等计算。
三、定积分与不定积分定积分是对函数在一个区间上的值的综合描述，求得了函数在该区间上的面积。
计算定积分时，我们需要运用积分的基本性质和一些常用的积分公式，如基本积分表、换元积分法、分部积分法等。
定积分在求曲线下面积、质量与质心、弧长等问题中具有广泛的应用。
不定积分是定积分的逆运算，用于求得函数的原函数。
计算不定积分时，我们可以运用反函数的导数法则、分部积分法、换元积分法等方法。
不定积分在求函数的原函数、面积反求函数、积分求参数等问题中有着重要的作用。
四、微分方程微分方程是描述变化的数学方程，包括常微分方程和偏微分方程。
解微分方程的过程中，我们需要根据不同类型的微分方程选择不同的解法，如可分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
微分方程在自然科学、工程技术和物理建模等领域具有广泛的应用。
高数a知识点总结大一同济
高数a知识点总结大一同济高数A知识点总结一、函数与极限1. 函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，它将每个自变量和唯一一个因变量相对应。
函数可以是线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 极限的概念极限是描述函数趋于某一值的过程。
当自变量无限接近某一值时，函数的值也无限接近于某个常数，这个常数就是该函数的极限。
3. 极限的基本性质极限具有唯一性、局部有界性、介值性、保号性等基本性质。
通过极限，可以计算函数在某点的导数、定义积分等重要运算。
4. 连续性与间断点连续性指函数在某点的极限与函数值相等的性质。
间断点是指函数在某点不满足连续性的点，包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。
二、导数与微分1. 导数的定义及计算方法导数是用来描述函数变化速率的概念，可以理解为函数曲线在某点处的切线斜率。
导数的计算方法包括基本的导数公式、导数的四则运算、复合函数导数等。
2. 高阶导数与导数的应用高阶导数是导数的导数，可以描述函数变化的加速度。
导数在物理学、经济学等领域有广泛的应用，如速度、加速度、最优化问题等。
3. 微分的概念及其应用微分是导数的一个重要应用，通过微分可以求得函数在某点的近似值，解决曲线的切线问题以及最值等优化问题。
三、积分与定积分1. 积分的基本概念与性质积分是对函数的反操作，可以理解为函数的累加。
积分的基本性质包括线性性、区间可加性、换元积分法等。
2. 定积分的计算方法与应用定积分是积分的一种特殊形式，描述函数在某个区间上的累积量。
定积分的计算可以使用定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法等。
3. 微积分基本定理与黎曼和微积分基本定理将积分与导数联系起来，提供了计算不定积分的方法。
黎曼和是定积分的重要应用，可以计算曲线下面积、弧长、质量等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念与解法微分方程是含有未知函数与其导数或微分的方程。
常见的微分方程包括一阶常微分方程和线性微分方程，可以通过变量分离、积分因子、特征方程等方法求解。
高数上A版知识点
高数上A版知识点写一篇文章高等数学是大学阶段的一门重要的数学课程，对于理工科和计算机科学专业的学生来说尤为重要。
本文将按照步骤思维的方式，介绍高数上A版的一些重要知识点。
第一步：导数与微分导数与微分是高等数学中的一个重要概念。
导数表示函数变化的速率，而微分则表示函数在某一点的近似线性变化。
导数的计算可以通过求解极限来实现，而微分则是导数的一个应用。
第二步：常微分方程常微分方程是数学中一个重要的研究领域。
它描述了未知函数的导数与函数自身的关系。
常微分方程可以分为线性和非线性两种类型，求解常微分方程需要使用不同的方法，如变量分离法、齐次方程、特殊变量替换等等。
第三步：多元函数与偏导数多元函数是高等数学中另一个重要的概念。
与一元函数不同，多元函数有多个自变量。
在多元函数中，偏导数表示函数在某一自变量上的变化率。
求解多元函数的偏导数需要应用链式法则和各类导数的运算规则。
第四步：曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是高等数学中重要的积分概念。
曲线积分计算的是曲线上的某个物理量，例如弧长、质量、电量等，而曲面积分则计算的是曲面上的某个物理量，例如面积、质量、电通量等。
计算曲线积分和曲面积分需要使用参数方程、向量场、面积元等概念。
第五步：级数级数是高等数学中的一种数列的和的概念。
级数可以分为收敛和发散两种情况。
收敛的级数可以求和，发散的级数则无法求和。
求解级数需要使用各类级数的判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
第六步：空间解析几何空间解析几何是高等数学中的一个重要分支，研究的是空间中的点、直线、平面等几何图形。
空间解析几何可以通过向量和坐标的方法来描述和计算。
通过学习空间解析几何可以更好地理解空间中的几何关系和变换。
通过以上的步骤思维，我们可以对高数上A版的知识点进行了解和学习。
掌握这些知识点，能够帮助我们更好地理解和应用数学在实际问题中的解决方法。
高等数学作为一门基础学科，为我们打下了扎实的数学基础，也为我们未来的学习和工作提供了重要的支持。
高数a和高数b有什么区别
高数a和高数b有什么区别
答：高数a和高数b区别是：1、A的难度和知识的广度要高于B；2、A主要偏向于理工科的知识结构范围，B偏向于经济类的计算。
1高等数学A和B的具体区别：
a要求但b不要求
1、掌握基本初等函数的性质和图形
2、掌握极限存在的二个准则，并会利用它们求极限
3、会用导数描述一些简单的物理量
4、了解曲率，曲率半径的概念，并会计算
5、了解求方程近似解的二分法和切线法
6、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的的概念，会求它们的方程
7、三重积分
8、曲线曲面积分
9、向量代数与空间解析几何
2高等数学A类B类简介
高等数学(A类)是理工科本科各专业学生的一门公共必修的重要基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。
高等数学(B类)是生物,化学相关本科专业学生的一门公共必修的重要基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高
质量专门人才服务的。
高数A 3.1微分中值定理
10
3-1 微分中值定理
拉格朗日 (1736 – 1813)
法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.
11
3-1 微分中值定理
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点C,在该点处的切 A
3-1 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 化率, 所以可借助导数来研究函数. 但每一点 的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态, 要用导数来研究函数的全部性态, 还需架起新 的“桥梁”.
1
3-1 微分中值定理
§3.1 微分中值定理
1. Rolle定理 2. Lagrange中值定理 3. Chauchy中值定理 4. 小结 思考题
证记 f ( x) arctan x,在[x1, x2]上,
利用微分中值定理, 得
arctan
x2
arctan
x1
1
1
2
( x2
x1 )
(
x1
,
x2
),
1
1
2
1,
f (b) f (a) f ( )(b a)
arctan x2 arctan x2 x1 ,
(3) f (a) f (b),则在开区间(a, b)内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0.
注 (1) 定理条件不全具备,结论不一定成立.
y
y
y
O 1x
f
(
x)
高数a上册期末试题及答案
高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。
高等数学abcd难度等级分类
⾼等数学abcd难度等级分类⼀般情况下的难易程度⽐较:⾼数A>⾼数B>⾼数C>⾼数D。
⾼等数学A是理科(⾮数学)本科个专业学⽣的⼀门必修的重要基础理论课；⾼等数学B是⼯科本科各专业学⽣的⼀门必修的重要基础理论课；⾼等数学C是⼯科本科对数学要求较低的专业(如建筑、城规专业)及⼯科专科各专业学⽣的⼀门必修的基础理论课；⾼等数学D是对数学要求较低的专业(如⽂科各专业)学⽣的⼀门必修的基础理论课。
⾼等数学要分ABC等级⾼数之所以分ABC主要是看专业⽅向。
因为要学⾼数的专业实在太多了。
A类主要偏向于理⼯科，难度和⼴度都⽐较⼤。
B类主要偏向于经济类，难度⽅向都有所不同。
C类主要是⾯向⽂史类，难度当然最低，个⼈感觉主要是对思维的⼀种训练。
语⾔类法学类⼤部分学校不学⾼数，也有⼀部分学校会学。
具体细节：其中A要求B不要求部分1.掌握基本初等函数的性质和图形2.掌握极限存在的⼆个准则，并会利⽤它们求极限3.会⽤导数描述⼀些简单的物理量4.了解曲率，曲率半径的概念，并会计算5.了解求⽅程近似解的⼆分法和切线法6.了解曲线的切线和法平⾯及曲⾯的切平⾯和法线的的概念，会求它们的⽅程7.三重积分8.曲线曲⾯积分9.向量代数与空间解析⼏何A和B共同要求部分1.函数、极限、连续2.⼀元函数微积分3.多元函数微积分4.级数5.常微分⽅程C类的话不⽤多说了，混⼀混还是可以过的啦。
当然，数学专业的学的⾼数和我们学的不⼀样，⽐我们的还要难。
各等级⾼数学习内容不同⾼等数学A：函数与极限；⼀元函数微积分学；向量代数与空间解析⼏何；多元函数微积分学；⽆穷级数(包括傅⽴叶级数)；微分⽅程等⽅⾯的基本概念、基本理论和基本运算技能；⾼等数学B：函数与极限；⼀元函数微积分学；向量代数和空间解析⼏何；多元函数微积分学；⽆穷级数(包括傅⽴叶级数)；常微分⽅程等⽅⾯的基本概念、基本理论和基本运算技能；⾼等数学C：函数与极限；⼀元函数微积分学；常微分⽅程；向量代数和空间解析⼏何；多元函数微积分学等⽅⾯的基本概念、基本理论和基本运算技能；⾼等数学D：函数与极限;⼀元函数微积分学;常微分⽅程等。
大一高数a知识点顺口溜
大一高数a知识点顺口溜在大学的数学课堂上，
我们学习高等数学的精髓。
今天来分享一些知识点，
希望能让你眼前一亮。
首先是极限的定义，
点到直线的无限接近。
当自变量无限逼近某个值，
函数的极限就出现了。
接下来是导数的求法，
微分运算来帮个忙。
公式有很多种，
可以用来解方程的差分方程。
进一步是泰勒展开，
表达式有多项式相拦。
通过近似求解得真值，计算变得更加轻松。
继而是微分方程求解，常微分方程是主要对象。
找到方程的解析式，
问题就变得简单易懂。
另一个是不定积分，
积分常数不能忘记。
一般积分法可以解决，分部积分也很衡。
还有一种工具叫级数，无穷多项求和相加。
收敛和发散是两面镜，
要谨慎选择判断方式。
最后是空间解析几何，
直线、平面构建几何。
点之间的距离和角度，
比较方便计算和说明。
这些知识点迥然不同，
但又相互联系成一片。
掌握它们很重要，
能够轻松面对数学的大门。
希望这些顺口溜能够帮到你，让你的学习更加轻松愉快。
加油吧，数学的世界等着你，拿起笔，一起来探索吧！。
大一高数a知识点总结
大一高数a知识点总结一、导数与微分1.1 导数的定义与性质导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数定义为极限lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)，记作f'(a)或dy/dx|（x=a）。
导数的性质：可导则必连续，可导则必一致连续，导数的四则运算法则，乘积法则，链式法则等。
1.2 微分与微分近似微分的定义：函数f(x)在点x=a处的微分定义为dy=f'(a)dx，也可以记作df。
微分近似：泰勒公式可用于进行函数值的近似计算，例如f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)。
二、极限与连续2.1 极限的定义和性质极限的定义：对于函数f(x)来说，当自变量x无限接近某一数值a时，函数f(x)的极限趋于L，记作lim(x→a) f(x)=L。
极限的性质：唯一性、局部性、保号性等。
2.2 连续的概念与判定连续的概念：若函数f(x)在点x=a处的极限lim(x→a)f(x)=f(a)，则称函数f(x)在点x=a处连续。
连续的判定：函数f(x)在[a,b]上连续的充要条件是：在[a,b]上有界且无间断点。
三、一元函数微分学3.1 中值定理介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)可导，则对于任意的c∈(a,b)，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
3.2 函数的单调性与极值函数的单调性：若在区间I上，对于任意的x1、x2∈I，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上单调递增；若当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上单调递减。
函数的极值：极大值与极小值是极值的两种特殊情况，二者分别满足f(x)≥f(c)和f(x)≤f(c)，其中c为极值点。
四、一元函数积分学4.1 基本积分公式基本积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1)，其中n∈R，n≠-1。
高数A微分方程.pptx
例1
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解
对应齐次方程通解
作辅助方程
代入上式
所求非齐方程特解为
原方程通解为
（取虚部）
例2
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例3 写出微分方程的特解形式
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小结：
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感谢您的观看！
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微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
(1)通解: 微分方程的解中含有独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
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二、一阶微分方程
可化成形如：
解法：
分离变量法
1. 可分离变量的微分方程
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例1 求解微分方程
解
特征方程为
解得
故所求通解为
例1
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解
特征方程为
解得
故所求通解为
例2
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解
特征方程为
解得
故所求通解为
例3
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二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
解
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微分方程的解为
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练习：解微分方程
答案：
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标准形式:
称为齐次的.
称为非齐次的.
3、线性微分方程
例如
线性的;
非线性的.
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齐次方程的通解为