【免费下载】高等数学A下
常熟理工学院《高等数学(a)》(下)期末复习题
A.
C
） D. ） 斜交
A.
{4, 2, 4}
{4, 2, 4}
B.
{4, 2, 4}
C.
{4, 2, 4}
11. 直线 x 2 y 1 z 与平面 2 x 4 y 3z 2 的位置关系是（
1 2 2
D
A. 平行 （ D A.
y x2 z 2
B. ）
A. A.
1 (2, 3, 6) 7
2 3
B.
26 3
3
D
）
C.
2 3
D.
26 3
2．设向量 a (2, 3, 6) ，则与 a 同向的单位向量为(
(2, 3, 6)
D
). D.
B.
1 (2, 3, 6) 7
C.
1 (2, 3, 6) 7
3．设 a 3i j 2k , A. D. 5 4．当 k = （ A. 3 0 2
sin( x 2 y )
D.
x2 f x2 y
x 2 sin( x 2 y )
34. 设 z f ( x y ) ，则
2 xyf x 2 y
A ） B.
yf x 2 y
C.
D.
35.设 f ( x, y ) xy A． D.
1 2
3
x x y2
第 2 页 共 48 页
A. （1，-2，-3） D. （1，-2，-3）
C. （-1，-2，-3）
《高等数学(A)》 （下）解答
16. 平面 3x 5z 1 0 ( A.平行于 zox 平面 垂直于 x 轴
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高数A下第八章第五节
将实际问题抽象为数学模型，利用积分求解面积和体积等实际问题。例如，在物理学中求 解变力做功、液体静压力等问题时，可以利用积分进行计算。
05 微分方程初步认识
微分方程基本概念介绍
微分方程的定义
含有未知函数及其导数（或微分）的方程称为微分方程。
微分方程的阶
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
无穷大量的定义
无穷大量是绝对值趋于正无穷的变量，与无穷小量具有相 对性。
无穷小量与无穷大量的关系
在求解极限问题时，经常需要利用无穷小量与无穷大量的 关系进行化简和计算。同时，无穷小量与无穷大量也是判 断函数变化趋势的重要依据。
03 导数及其应用拓展
导数概念及其几何意义回顾
导数的定义
导数描述了函数在某一点的变化 率，即函数值随自变量变化的快
区间内单调递减。
02
导数符号变化与函数极值
当导数符号发生变化时，函数可能出现极值点。通过求解导数等于0的
点，并结合导数的符号变化，可以确定函数的极值点。
03
实际应用举例
在生物学、医学、环境科学等领域中，导数在判断函数单调性方面有着
广泛的应用，如判断种群数量变化、疾病传播速度等问题。
04 积分及其应用拓展
向量数乘
向量与实数的乘积，结果向量与原向量共线，但长度和方 向可能改变。
向量在空间几何中应用
可用于求解空间两点间距离、两直线间夹角、点到直线距 离等问题。
平面和直线方程简介
平面方程
一般式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、 B、C不同时为零，表示空间中满足该 方程的所有点构成的平面。
直线方程
可表示为两平面的交线，即联立两个 平面方程求解；也可表示为参数方程 或对称式方程，便于求解直线上点的 坐标和直线与坐标轴夹角等问题。
高等数学A(下)习题册答案
高等数学A （下）习题册第六章参考答案习题6.11.3333(32)45-=+---+=-r n a b c a b +c a c .2.23(0,1,0)2(1,2,3)3(2,0,1)(4,3,3)+--+-=-a b c =.3.点(,,)a b c 到x 轴、y 轴、z4.||cos ,2cos 6u u π=<>==r r r 5. 设起点坐标为(,,)x y z ，则向量r =(2,3,0)(2,1,4)x y z ----=，解得(,,)(4,2,4)x y z =--.习题6.21.（1）(3)(2)6()61106(1,1,4)131i j k-⨯=-⨯=--=--a b a b . （2）cos ,||||⋅<>===a b a b a b 2.（1）12；（2）10k =-. 3.Prj cos ,1||⋅<>==b a ba =|a |ab b . 4.()()344(0,1,1)233ijk⨯=-=---a +b b +c .习题6.3 1.1313x y z ++=-；该平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为3、1、3-. 2.3540x y z +++=. 3.11110121x y z+=-，即3220x y z -+++=. 4.210220240x y z x y z x y z ++-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩，解得交点坐标，319(,,)(,,)444x y z =-.5.2d ==.习题6.41.43040x y x z +-=⎧⎨--=⎩ 2.111(4,1,3)213i j ks ==---，所以对称式方程为：12413x y z -+==--、参数方程为：4132x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩. 3.325431x y z +--==. 4.111(1,1,2)110i j ks =-=----，所以12112x y z -+==. 5.如图，从直线上找个点1P ，连接向量10PP ，它与方向向量r 的夹角为θ，则所求的距离101010||||sin ||||sin ||||PP r PP r d PP r r θθ⨯===，本题结果为63. 习题6.51.垂直平分面：26270x y z -+-=.2.222(6)(2)(3)49x y z -+++-=.3.（1）2221233x y z ++=（2）2221232x y z -+=（3）2224x y z ++=（4）223x z y +=.习题6.61.（1）xOy 面上一点(1,3)-；空间中一条直线. （2）yOz 面上一点(0,2)；空间中一条直线.2. （1）222100x y y z ⎧+--=⎨=⎩，2223100x z z y ⎧+-+=⎨=⎩，100y z x -+=⎧⎨=⎩（线段）；（2）222390x y z ⎧+=⎨=⎩，22390z x y ⎧-=⎨=⎩，22290y z x ⎧+=⎨=⎩.3.先求题中两曲面交线在xOy 面上的投影曲线，投影曲线所围成的区域即为所求，2210x y z ⎧+≤⎨=⎩.高等数学A （下）习题册第七章参考答案习题7.11. 1、1、0、1.2.（1）在抛物线220y x +=处间断；（2）在直线y x =-处间断.3.（1）000lim lim 111xy t x t y xy te e →→→==--；（2）00012x t y →→+→==； （3）()xyy x y x 220sin 1lim +→→()2212sin 20sin 00lim 1sin 1x y xy x y x y x y e →→=+==.4.取路径(1)y kx k =≠，001lim 1x y x y kx y k →→++=--，结果与k 有关，故极限不存在. 习题7.21. （1）3/2cos(/)z y y x x x ∂=∂，z y ∂=∂， （2）/1y z u y x x z -∂=∂，/1ln y z u x x y z ∂=∂，/2ln y z u yx x z z∂=-∂.2. '''11(1,2,0)1,(1,2,0),(1,2,0).22x y z f f f ===3. 22222222212126,126,6z z z x xy y xy x x x y x y∂∂∂=-+=-=∂∂∂∂.4. 证明 因为1111()()2211,x y x y z z e e x x x y-+-+∂∂==∂∂,所以222z z x y z x y ∂∂+=∂∂. 习题7.31.（1）sin sin cos y y dz e dx x ye dy =+；（2）)du xdx ydy zdz =++2.222222x y df dx dy x y x y =+++，()422,155df dx dy =+. 3.证明： （1）因为22000)0(0,0)x x y y x y f →→→→+===，所以(,)f x y 在(0,0)点处连续； （2）根据偏导数的定义，极限00(,0)(0,0)00limlim 0x x f x f xx ∆→∆→∆--==∆∆，所以对x 的偏导数存在，且'(0,0)0x f =；同理，'(0,0)0y f =. （3）因为2200)000limlimx y x y z dzρρρρ→+→+∆+∆--∆-∆∆-=00limlimz dzρρρ→+→∆-==，而这个极限不存在，所以(,)f x y 在(0,0)点处不可微.习题7.41.()()()()sin cos ,sin cos xy xy xy xy z zye x y e x y xe x y e x y x y∂∂=+++=+++∂∂. 2.()()222333223cos sin cos sin ,cos sin 2cos sin 2sin cos z z r r r θθθθθθθθθθθ∂∂=-=+--∂∂ 3.（1）12122,2xy xy u ux f ye f y f xe f x x ∂∂''''=⋅+⋅=-⋅+⋅∂∂；（2）11222211,,u u x u y f f f f x y y z z y z∂∂-∂''''=⋅=⋅+⋅=-⋅∂∂∂. 4.dy x y dx x y+=-.5.zz x y ∂∂==∂∂. 6.证明：令23x y z u +-=，则2sin u u =，此方程有解0u ，即023x y z u +-=，故12,33z z x y ∂∂==∂∂，1z zx y∂∂+=∂∂. 7.每个方程都对x 求导，222460dy dz x y dx dx dy dz x y z dx dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得626226dy x xz dx y yz dz x dx z+⎧=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.习题7.5 1.()1,2zl∂=∂. 2.（1）()1,1z l∂=∂（2）()0,1,023u l ∂=∂. 3.()1,1,1(6,3,0)gradf =.习题7.61.(1) 1B =;(2) 2,6m n ==;(3) 2,2A B =-=-.2.(1)切线方程11101x y z --==-，法平面方程1z x -=. 3.()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭. 4.切平面方程24x y +=,法线方程21120x y z--==. 习题7.71.（1）()1,12f -=-为极小值；（2）11,122f e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭为极小值.2.区域内部：(0,0)为驻点，(0,0)0f =；区域边界上，相当于求条件极值，构造拉格朗日函数22(,,)(1)L x y xy x y λλ=++-，解得x y ==，1(2f f ==，1(2f f ==-， 所以最大值为12，最小值为12-.3.构造拉格朗日函数22(,,)(22)L x y x y x y λλ=+++-，解得42,55x y ==，424,555f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 为极小值.4.构造拉格朗日函数(,,,)()L x y z xyz x y z a λλ=+++-，解得3ax y z ===，即三个正数均为3a时，乘积最大. 5.构造拉格朗日函数222222(,,,)(1)(1)(1)(2)(3)(4)(32)L x y z x y z x y z x z λλ=-+-+-+-+-+-+-， 解得点2163,2,1326⎛⎫⎪⎝⎭. 6.构造拉格朗日函数222(,,,)(12)L x y z xyz x y z λλ=+++-，解得，2x y z ===.高等数学A （下）习题册第八章参考答案习题8.1 1、（1）8π（2）8（3）2（4）1 2、（1）23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰ （2）2()Dx y d σ+≤⎰⎰3()Dx y d σ+⎰⎰3、（1）02I ≤≤ （2）1827I ππ≤≤4、（1）因为积分区域关于x 轴对称，而函数(,)sin f x y x y =-关于y 为奇函数(或理解为积分区域关于y 轴对称，而函数(,)sin f x y x y =-关于x 为奇函数)，所以原二重积分(sin )0Dx y dxdy -=⎰⎰.（2）因为积分区域关于y 轴对称，而函数22arcsin (,)1x y f x y x y =++关于x 为奇函数，所以原二重积分22arcsin 01Dx y dxdy x y=++⎰⎰.习题8.2 1、（1）22122001(,)(,)y y y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰（2）23 02(,)xxdx f x y dy -⎰⎰ （3）2602(,)yy dy f x y dx -⎰⎰2、（1）2cos 22(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰（2）22321cos d d πθρθρ⎰⎰（3）sec tan 240d d πθθθρρ⋅⎰⎰3、图如下所示.（1） （2） （3） （4）（1）解：原式2237111424000226()3355x xx x Dx ydxdy xdx ydy x y dx x x dx ==⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （2）解：原式0111012121111101()()x x x y x y x y x x x x De d e dx e dy e dx e dy e dx e e dx eσ+-+++------=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1e e=-.（3）解：原式221112000sin sin sin sin [][()]yy Dy yyyy ydxdy dy dx x dy y y dy yy y y==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11111(sin sin )sin sin cos (cos sin )1sin1y y y dy ydy y ydy y y y y =-=-=-+-=-⎰⎰⎰.（4）解：原式122222222(2)(2)DD D x y dxdy x y dxdy x y dxdy +-=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰1222cos ,sin (2)(2)D D x y d d d d ρθρθρρρθρρρθ==-+-⎰⎰⎰⎰令22233302(2)(2)d d d d ππθρρρθρρρ=-+-⎰⎰⎰⎰442322252[]2[]442ρρπρπρπ=⋅-+⋅-=. 4、（1）解：如左图所示. 在极坐标系中，积分区域为{(,)|0cos ,}22D R ππρθρθθ=≤≤-≤≤，故原式22222DDR x y dxdy R d d ρρρθ--=-⋅⎰⎰⎰⎰3cos cos 2222222221[()]3R R d R d R d ππθθππθρρρρθ--=-⋅=--⎰⎰⎰33320 24(1sin )()333R R d πθθπ=-=-⎰.（2）解：如左图所示. 在极坐标系中，积分区域为{(,)|12,0}4D πρθρθ=≤≤≤≤，则arctan yx θ=.故原式240 1arctan D Dydxdy d d d d x πθρρθθθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰222113()(21)24264ππ=⋅⋅-=. （3）解：如左图所示.在极坐标系中，积分区域为{(,)|12,02}D ρθρθπ=≤≤≤≤， 故原式222220 1ln()ln()2ln DDx y dxdy d d d d πρρρθθρρρ+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222 1112ln 2[ln ln ]d d πρρπρρρρ=⋅=⋅-⎰⎰22132[4ln 2]2[4ln 2]8ln 2322ρππππ=⋅-=⋅-=-. 5、提示：积分区域{(,)|0,0}{(,)|,0}D x y x y y a x y x y a x a =≤≤≤≤=≤≤≤≤，交换积分次序得()()()0()()()()ayaaam a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰.习题8.31、（1）解：如左图所示.利用直角坐标计算.因为222{(,,)|01,01,01}x y z z x y y x x Ω=≤≤--≤≤-≤≤， 所以原式22211100x x y I xyzdxdydz xdx ydy zdz ---Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰222224111120011[(1)]2224x x x y y y xdx y dy x x dx ----=⋅=--⎰⎰⎰122011(1)848x x dx =-=⎰. （2）解：如下图所示【解法一】由22z x y =+与1z =消去z 得：221x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}xy D x y x y =+≤. 所以22{(,,)|1,(,)}xy x y z x y z x y D Ω=+≤≤∈. 故原式221221[1()]2xyxyx yD D I zdxdydz dxdy zdz dxdy x y +Ω===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2123002211111()12222xy xy D D dxdy dxdy d d x y ππθρρ=-=⋅⋅-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 244πππ=-=.【解法二】用过点(0,0,)z 、平行于xoy 面的平面截Ω得平面圆域z D ，其半径为22x y z +=，面积为2z π.所以{(,,)|(,),01}z x y z x y D z Ω=∈≤≤.故原式4111200044zD z I zdxdydz zdz dxdy z z dz πππΩ===⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2、（1）解：如下图所示.由2243()z x y =-+与22z x y =+消去z 得：221x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}xy D x y x y =+≤. 所以Ω的柱面坐标表示为：2243,01,02z ρρρθπ≤≤-≤≤≤≤.故原式2221430I zdxdydz z d d dz d d zdz πρρρρθθρρ-ΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22243113500132[43]212z d d ρρπρρπρρρρπ-=⋅⋅=⋅--=⎰⎰. （2）解：如下图所示.由222425()z x y =+与5z =消去z 得：224x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤. 所以Ω的柱面坐标表示为：55,02,022z ρρθπ≤≤≤≤≤≤. 故原式22522235002()I x y dxdydz d d dz d d dz πρρρρθθρρΩΩ=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2223450551(5)2[]8242d d πθρρρπρρπ=-=-=⎰⎰.3、解：如下图所示.【解法一】利用直角坐标计算.由22222222x y z Rx y z Rz⎧++=⎪⎨++=⎪⎩解得2R z =，于是用平面2R z =把Ω分成1Ω和2Ω两部分，其中2221{(,,)|2,0}2Rx y z x y Rz z z Ω=+≤-≤≤； 22222{(,,)|,}2Rx y z x y R z z R Ω=+≤-≤≤. 于是原式12222z dxdydz z dxdydz z dxdydz ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222022R RR x y Rz zx y R zz dzdxdy z dzdxdy +≤-+≤-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222202(2)()R RR Rz z z dz R z z dz ππ=-⋅+-⋅⎰⎰5551475940480480R R R πππ=+=. 【解法二】利用球面坐标计算.作圆锥面1arccos 23πϕ==，将Ω分成1'Ω和2'Ω两部分：1{(,,)|0,0,02}3R πρϕθρϕθπ'Ω=≤≤≤≤≤≤； 2{(,,)|02cos ,,02}32R ππρϕθρϕϕθπ'Ω=≤≤≤≤≤≤.于是原式12222z dxdydz z dxdydz z dxdydz Ω''ΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222cos 24242303cos sin cos sin RR d d d d d d ππππϕπθϕϕϕρρθϕϕϕρρ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰555715960160480R R R πππ=+=. 习题8.4 1、（1）解：由2222262z x yz x y⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去z 得：222x y +=. 故所求立体在xoy 面上的投影区域为22{(,)|2}D x y x y =+≤.所以222222[62(2)]3[2()]DDV x y x y dxdy x y dxdy =---+=-+⎰⎰⎰⎰22230cos ,sin 3(2)3(2)Dx y d d d d πρθρθρρρθθρρρ==-=-⎰⎰⎰⎰令4226[]64ρπρπ=⋅-=.（2）解：由22140z x y z ⎧=--⎨=⎩消去z 得：221114x y +=.故所求立体在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}114x y D x y =+≤.所以22(14)DV x y dxdy =--⎰⎰24121230 001cos ,sin 2111(1)()2[]222244Dx y d d d d πρθρθρρπρρρθθρρρπ==-=-=⋅⋅-=⎰⎰⎰⎰令.2、（1）解：如左图所示.上半球面的方程为222z a x y =--.有222zx xa x y∂-=∂--，222z y ya x y∂-=∂--，所以222221()()z z ax y a x y∂∂++=∂∂--. 故由曲面的对称性可知所求的曲面面积为2222241()()4DDz z aA dxdy dxdyx y a x y ∂∂=++=∂∂--⎰⎰⎰⎰22cos ,sin 14Dx y a d d a ρθρθρρθρ==-⎰⎰令cos 2224a a d d a πθρθρρ=-⎰⎰22204(1sin )2(2)ad a πθθπ=-=-⎰.（2）解：如左图所示. 由2222z x yz x⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去z 解得222x y x +=，即22(1)1x y -+=.所以所求曲面在xoy 面上的投影区域为22{(,)|(1)1}D x y x y =-+≤.又因为被割曲面的方程为22z x y =+，且2222221()()12z z x y x y x y ∂∂+++=+=∂∂+，所以所求曲面的面积为2cos 22200212242cos 42222DA dxdy d d d ππθππθρρθθπ-====⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰.3、解：设矩形另一边的长度为l 并建立如左图所示的坐标系，则质心的纵坐标为 22322222()32R R x R RlRDyd R l R dx ydyR x l dxy AAAAσ-------====⎰⎰⎰⎰⎰， 由题设可知0y =即可算得 23l R = .4、解：在球面坐标系中，Ω可表示为：02cos ,0,022R πρϕϕθπ≤≤≤≤≤≤.球体内任意一点(,,)x y z 处的密度大小为2222x y z μρ=++=.由于球体的几何形状及质量分布均关于z 轴对称，故可知其质心位于z 轴上，因此0x y ==. 则22cos 22555223232sin 2cos sin 515R M dv d d d R d R πππϕμθϕρρϕρπϕϕϕπΩ==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰； 所以 22cos 226722012645cos sin cos sin 64R zdvz d d d R d R MMMπππϕμπθϕρρϕρϕρϕϕϕΩ==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故球体的质心为5(0,0,)4R . 5、解：22222222222224b a x aa a a by aa a x aDb b I x dxdy x dx dy x a x dx x a x dx a a ρρρρ-----===⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 32324222000sin 4sin cos cos 4[sin sin ]x a t b a t t a tdt a b tdt tdt a πππρρ=⋅=-⎰⎰⎰令 3313114[]224224a b a b ππρπρ=⋅-⋅⋅=.6、解：如左图所示.（1）由Ω的对称性可知： 2234222000844()4()33aax y aaaa a V dx dy dz dx x y dy ax dx +==+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故0x y ==.224224001441(2)2a ax y aa z zdv dx dy zdz dx x x y y dy MV V ρ+Ω===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4325202217()3515a ax a x a dx a V =++=⎰.（3）2222220()4()aax y z I x y dv dx dy x y dz ρρ+Ω=⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰422461124(2)45a adx x x y y dy a ρρ=++=⎰⎰.高等数学A （下）习题册第九章参考答案习题9.11.⑴2π； ⑵258π； ⑶32a π； ⑷2 注意（4）的做法，此圆的参数方程为，1cos ,sin x y θθ-==，:0θπ→，所以0(cos 1)sin 2Lxy ds d πθθθ=+=⎰⎰.如果有同学用1sin ,cos x y θθ-==，θ的范围就不再是0π→. 2．（1）由于连接(1,0)及(0,1)的直线段方程为1x y +=（如图）， 所以()12LLy ds ds x +==⎰⎰.（2）分三段来做（如图）， 在x 轴上， 2211ay x a L x eds e dx e +==-⎰⎰；在圆弧上，222404y a a L x eds ae dx ae ππ+==⎰⎰；在y x =上，223222021a y xa L x e ds edx e +==-⎰⎰；所以22y Lx eds +⎰224a e a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（3）直接按照对弧长的曲线积分公式求即可，答案为23(1)2e --. 3．如图，此圆的参数方程为，cos ,sin x y θθ==，:02πθ→，所以201sin cos 2L xyds d πθθθ==⎰⎰.4．根据对弧长的曲线积分的物理意义，即求曲线积分Lyds ⎰.此圆的参数方程为，cos ,sin x a y a θθ==，:0θπ→，Lyds ⎰20sin 2a ad a πθθ==⎰.习题9.21.（1）把参数方程21,1x t y t =+=+代入得，1202(2)2(1)(1)23LI ydx x dy t t tdt =+-=++-=⎰⎰.（2）把参数方程3∑代入得，33232222220[sin cos ]3k x dx zdy ydz k a a d a ππθθθθπΓ+-=--=-⎰⎰.2.从(1,1,1)(2,3,4)A B 到的直线段的参数方程为1,21,31x t y t z t =+=+=+，:01t →代入得，1[(1)2(21)3(31)]13xdx ydy zdz t t t dt Γ++=+++++=⎰⎰.3.（1）把2,,:01x y y y y ==→代入得，132017()(2)30Lydx y x dy y y y y dy x +-=⋅+-=⎰⎰.（2）把,,:01x y y y y ==→代入得，1201()3Lydx y x dy y dy x +-==⎰⎰.（3）分两段积分，1L ：,0,:01x x y x ==→代入得，1()0L ydx y x dy x +-=⎰；2L ：1,,:01x y y y ==→代入得，2101()(1)2L ydx y x dy y dy x +-=-=-⎰⎰； 所以，1()2L ydx y x dy x +-=-⎰.4.曲线的参数方程为2,,:11x x y x x ==-→，曲线的方向向量为(1,2)x ，从而2212cos ,cos 1414x xxαβ==++，所以2L x ydx xdy -⎰22(2)14Ly x ds x-=+⎰.5.根据对坐标的曲线积分的物理意义，所求的功为2L x dy -=⎰815-.习题9.3 1.（1）10；（2）2m n ==；（3）1,1a b =-=.2.只需证明Q x∂=∂Py ∂∂即可. 3.（1）如图，1[(1cos )(sin )](1)5x x LDe dx y y dy e ydxdy e y π---=-=--⎰⎰⎰.（2）因为Q x∂=∂P y ∂∂，由格林公式，所以202yy L x e dx e dy x +=⎰. 4.（1）如图，2222()(),x y x y P Q x y x y +--==++，Q x∂=∂222222()P x y xyy x y ∂--=∂+，又由于积分范围不包括原点，由格林公式，所以22()()0C x y dx x y dyx y +--=+⎰；（2）如图，由于积分范围包括原点，所以不能直接利用格林公式，曲线的参数方程为： cos ,sin x a y a θθ==，:02θπ→，代入得，22()()2C x y dx x y dyx y π+--=-+⎰.（3）如图，由于积分范围包括原点，所以不能直接利用格林公式，在C 包围的内部区域增加一条圆形曲线1C ：222x y a +=，方向为顺时针，所以11222222()()()()()()022CC C C x y dx x y dyx y dx x y dy x y dx x y dyx y x y x y ππ++--+--+--=-+++=-=-⎰⎰⎰5.只需证明Q x∂=∂Py ∂∂即可. 习题9.41．（1）10a ；（2）221()()x x y z ∂∂++∂∂；（3）42a π；（4）11110π；（5）122π+． 2.（1）22111122xyD dS dxdy zx yπ∑=+=+⎰⎰⎰⎰（积分区域如图）（2）根据对称性（也可以化成二重积分之后，根据对称性）， 可知：0xdS ∑=⎰⎰，0ydS ∑=⎰⎰；所以，原式2222220222xya h D a zdS a x y dxdy d a d a x yπθρρ-∑==--⋅==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()a a h π-.3.根据对称性，0,0x y ==，32221zdSa az a dSππ∑∑===⎰⎰⎰⎰（分子的求法同上题），所以曲面的重心坐标为(0,0,)2a.习题9.5 1．（1）0；（2）第二类曲面积分Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰化成第一类曲面积分是(cos cos cos )P Q R dS αβγ∑++⎰⎰，其中,,αβγ为有向曲面∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向角.2.积分曲面如图所示，阴影部分为右侧，记为1∑，关于Ozx 面对称的为左侧，由于该曲面在Oxy 面上的投影为曲线，故(1)0z dxdy ∑+=⎰⎰，因此，()I y dzdx ∑=-⎰⎰，由对称性可知12()2()24zxD I y dzdx y dzdx x dzdx ∑∑=-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰，zx D 如图所示. 所以，222222222222224242(2)444848zxxD I x dzdx dx x dz x x dxx dx x dx π----=--=--=---=--=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.利用两类曲面积分之间的联系来做. 由于∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧，所以，单位法向量为1(1,1,1)3-，从而I =[][][](,,)2(,,)(,,)f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰[][][]1(,,)2(,,)(1)(,,)3f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑=+++-++⎰⎰111()233x y z dS dS ∑∑=-+==⎰⎰⎰⎰. 4.利用两类曲面积分之间的联系来做. 由于∑为曲面221z x y =--在第一卦限的部分取上侧，所以，单位法向量为221(2,2,1)144x y x y ++，从而222222221(2)144144144xy I xy zdS x yx yx y∑=++++++++⎰⎰22222211221442144144xyD dS x y dxdy x yx yπ∑==++=++++⎰⎰⎰⎰.习题9.61.（1）直接利用高斯公式，3xdydz ydzdx zdxdy dv Ω∑++==⎰⎰⎰⎰⎰81π.（2）如图，增加一个“盖子”1:2z ∑=，取上侧，则2(2)-2zx dydz zdxdy ∑+=⎰⎰1122(2)2(2)2z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑+∑∑+--+-⎰⎰⎰⎰前一个积分使用高斯公式，结果为0；而12(2)20416xyD z x dydz zdxdy dxdy π∑+-=-=-⎰⎰⎰⎰，从而，原积分16π=.2.（1）由于曲线L 上2z =，故20L yz dz =⎰，所以233LLydx xzdy yz dz ydx xzdy -+=-⎰⎰，利用斯托克斯公式，得233(3)5xyLLD ydx xzdy yz dz ydx xzdy z dxdy dxdy ∑-+=-=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰20π-.（2）可求出交线L 的方程是222,3z x y =+=，故()0Lx y z dz ++=⎰，所以222()()Lx ydx x y dy x y z dz +++++⎰222()Lx ydx x y dy =++⎰，利用斯托克斯公式，得，22222()(2)(2)xyLD x ydx x y dy x x dxdy x xdxdy ∑++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰，利用对称性，20xyD xdxdy =⎰⎰，22xy xyD D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰，所以2222220011()22xyxy D D x dxdy x y dxdy d d πθρρρπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 原积分π=-.高等数学A （下）习题册第十章参考答案习题10.1 1、（1）收敛 ； (提示：∵1111()(2)22n u n n n n ==-++，又∵111lim lim()1324(2)n n n S n n →∞→∞=+++⋅⋅+11111113113lim (1)lim ()2324222124n n nn n n →∞→∞=-+-++-=--=+++，∴原级数收敛.) （2）发散 . (提示：∵1n n ∞∞===∑，又∵lim n n n S →∞→∞=++(1n ++=∞，∴原级数发散.)2、（1）发散 ；(提示：级数为1111133n n nn ∞∞===∑∑，发散.)（2）收敛 .(提示：级数为112435nnn n ∞∞==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，收敛.)3、0x >或2x <-.(提示：1111(1)lim lim 11(1)n n n n nnu x u x x ρ++→∞→∞+===++，当1ρ<即111x <+时，解得0x >或2x <-，此时级数11(1)nn x ∞=+∑收敛，则原级数绝对收敛.)习题10.21、（1）收敛；(提示：∵3cos 433n n n nu +=<，而级数1141433n nn n ∞∞===∑∑收敛，∴原级数收敛.) （2）发散.(提示：∵1n n n→∞==，而级数11n n∞=∑发散，∴原级数发散.)2、（1）发散；(提示：∵111333(1)lim lim lim 113n n n n n n n nn u n n e u n e e n e ρ+++→∞→∞→∞+⋅===⋅=>+⋅，∴原级数发散.) （2）发散.(提示：∵11(1)!12lim lim lim !22n n n n n nnn u n n u ρ++→∞→∞→∞++====∞，∴原级数发散.)3、（1）收敛 ；(提示：1112(1)112222n n n n n n n ∞∞∞===+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑，∵由于1112n ρ==<，∴级数112n n ∞=∑收敛；又∵2112n ρ==-<，∴级数112nn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛.故原级数收敛.)（2）发散 .(提示：∵ln 2lim 3n n n n nρ→∞===，又因为由洛必达法则得1ln ln lim lim 1lim 333n n n n n nnn →∞→∞→∞==031==，∴ln 22lim2113n n nρ→∞===>，故原级数发散.) 4、（1）绝对收敛 ； (提示：12211(1)111n n n n n -∞∞==-=++∑∑，因为22111n n <+，而级数211n n∞=∑收敛，所以级数121(1)1n n n -∞=-+∑收敛，故原级数绝对收敛.)（2）条件收敛 .(提示：显然1111(1)(1)n n n n n u ∞∞--==-=-∑∑为交错级数，其中n u =11nn u u -==<即1n n u u -<；②lim n n u →∞=0n n →∞==，故该交错级数收敛.又因为11(1)n n ∞-=-=∑1n ∞=∑，有lim lim (1n nn S n →∞→∞⎡⎤=++++⎣⎦1)n →∞==∞ ，则级数11(1)n n ∞-=-∑发散，故原级数条件收敛.)5、（1）提示：222n n n n a b a b +≤；（2）提示：22112n n n a a n a n n +=⋅≤.6、证明：只需证明正项级数1!nn a n ∞=∑（0a >）收敛，根据比值审敛法有11!lim lim[]lim 01(1)!1n n n n n n nu a n au n n a ρ++→∞→∞→∞==⋅==<++，因此正项级数1!n n a n ∞=∑（0a >）收敛，再由级数收敛的必要条件得lim 0n n u →∞=，即lim 0!nn a n →∞=，得证.习题10.3 1、（1）1R =，收敛域为[]1,1- . (提示：因为12211limlim1(1)n n n na n n a ρ+→∞→∞===+，所以收敛半径11R ρ==.当1x =时，原级数为211n n∞=∑，该级数收敛.当1x =-时，原级数为21(1)n n n ∞=-∑，该级数也收敛.因而该级数的收敛域为 [1,1]-.)（2）2R =，收敛域为()0,4 .(提示：令2(2)t x =-，则1,44n n nn n t u a n n ==⋅⋅，因为11111(1)4lim lim 144n n n n nn a n a n ρ++→∞→∞+⋅===⋅，所以收敛半径1114R ρ==，故原级数的收敛半径为12R R ==.则有 22x -<，即04x <<.当0x =时，原级数为11n n ∞=∑，该级数发散；当4x =时，原级数为11n n∞=∑，该级数也发散.因而原级数的收敛域为 (0,4).)2、1111211114()(),(2,2)222(2)12nn n n n n n n n nnx x S x x x x x x x x x x ∞∞∞----==='⎛⎫'=====∈- ⎪-⎝⎭-∑∑∑ 11111114(1)()()22222542n n n n n n n n S ∞∞-==-=-=-=-∑∑. 3、100111112(2)()(1)22(2)222212nn n n n n x x x x x ∞∞+==--==⋅=-=--+-+∑∑，((0,4))x ∈.习题10.4 1、解： 如左图所示，由狄利克雷充分条件可知，()f x 的 傅里叶级数在间断点(21)x k π=+(0,1,2,)k =±±处收 敛于()()2222f f πππππ-++--+==.在连续点(21),(0,1,2,)x k k π≠+=±±处()f x 的傅里叶级数收敛于()f x ，其中傅里叶系数为：00111()22a f x dx xdx xdx ππππππππ--==+=⎰⎰⎰， 001111()cos cos 2cos cos n a f x nxdx x nxdx x nxdx x nxdx πππππππππ--==+=⎰⎰⎰⎰2011sin ((1)1)(1,2)n xd nx n n n πππ==--=⎰ 001113()sin sin 2sin sin n b f x nxdx x nxdx x nxdx x nxdx πππππππππ--==+=⎰⎰⎰⎰10333cos cos (1)(1,2)n xd nx n n n n nπππππ+=-=-⋅=-=⎰所以()f x 的傅里叶级数为121(1)13()cos (1)sin 4n n n f x nx nx n n ππ∞+=⎛⎫--=++- ⎪⎝⎭∑ ((21),0,1,2,)x k k π≠+=±±2、31,23、解：（1）展开成正弦级数.对()f x 作奇延拓，得 ,(0,]2()0,0,(,0)2xx F x x x x ππππ-⎧∈⎪⎪==⎨⎪+⎪-∈-⎩.再周期延拓()F x 到(,)-∞+∞.易见0x =是一个间断点，在0x =处级数收敛于()2202ππ+-=. 函数()f x 在(0,]π处连续，傅里叶级数收敛于()f x ，且傅里叶系数为：0(0,1,2)n a n ==；0001211()sin sin sin sin (1,2)2n x b f x nxdx nxdx nxdx x nxdx n nπππππππππ--==⋅=-==⎰⎰⎰⎰故()(0)2xf x x ππ-=≤≤展开的正弦级数为： 11sin (0)2n x nx x nππ∞=-=<≤∑.（2）展开成余弦级数.对()f x 作偶延拓，得 ,[0,]2(),(,0)2xx F x x x ππππ-⎧∈⎪⎪=⎨+⎪∈-⎪⎩.再周期延拓()F x 到(,)-∞+∞.则()F x 在(,)-∞+∞内处处连续，且()(),[0,]F x f x x π≡∈. 则傅里叶系数为：0(1,2)n b n ==；0012()22x a f x dx dx πππππππ--===⎰⎰；000121()cos cos cos cos 2n x a f x nxdx nxdx nxdx x nxdx πππππππππ--===-⎰⎰⎰⎰21(1(1))(1,2)n n n π=--=； 故()(0)2xf x x ππ-=≤≤展开的余弦级数为： 211(1)cos (0)24nn xnx x n ππππ∞=---=+≤≤∑.。
东华理工大学高等数学A练习册答案(下)(学生用)
第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C x y C e =+二、 y =C 1ln x +C 2 . 三、 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ √ ）二、选择题 答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ ╳ ）二、填空题1、y =C 1e x +C 2e-2x2、 tte C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1) y =C 1+C 2e 4x . (2) y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3) y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x . (4) )2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y++=-2211，2、 x xe x C x C e y xx 2cos 41)2sin 2cos (21-+=. 3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x x x y cos 2sin 21+=二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、)323(2221x x e e C e C y x x x -++=---四、 2527521++-=x x e e y .第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √ 二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0 三、选择题 答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1)级数收敛. (2) 该级数发散. (3) 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n nn u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (4) 级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (2) 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 级数收敛； (2) 当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散. 七、 (1) 此级数是收敛的. 条件收敛的. (2) 级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,11ln 21x x+- 4. 绝对收敛三、选择题答：1.D 2.B 3 D四、求下列幂级数的收敛域:(1) 收敛域为(-1, 1). （2） 收敛域为[-1, 1]. 五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1) ()S x 21 (11)(1)x x =-<<-.(2) ()S x 11ln(11)21x x x+=-<<- .提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. × 二、填空题1. 答：1.11ln 2(1)2n n nn xn ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2.1111()(4)23nn n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n nnππ三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、(1) 21sh (21)!n n xx n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞). (2) 212212sin(1)(2)!n nnn xx n -∞=⋅=-∑ x ∈(-∞, +∞).五、∑=<<--=n n nn x x x 0)60( )33()1(311. §12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题答：1.3. ； 2、)( !4cos 2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n nx π.§12.7 傅立叶级数一、判断题 答：1. × 2. √3.√4.√二、填空题 1.5 2. ,n n a b - 3. nx nx f n sin 1)(1∑∞==(0<x ≤π), 级数在x =0处收敛于0.三、选择题答：1.A 2.C 3.B 4A 5.B 四、∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ(-π≤x ≤π).五、正弦级数为nx nn n x f n nsin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ(0≤x <π),级数在x =0处收敛于0.余弦级数为 nx n x f n ncos )1(832)(122∑∞=-+=π(0≤x ≤π). §12.8 一般周期函数的傅里叶级数一、 ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).二、正弦级数13218(1)2[(1)1]{}sin2n nn n x nn πππ+∞=---+∑, x ∈[0, 2).余弦级数:221416(1)cos32nn n x nππ∞=-+∑, x ∈[0, 2].第8章 空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算一、判断题。
高等数学(A)下期末试卷及答案
来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为 （c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装 订 线内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。
来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分 由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。
(完整版)大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别班级 学号姓名成绩大题一二三四五六七小题12345得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，，，则．a b0a b += 2a = 2b = a b ⋅= 2、设，则．ln()z x xy =32zx y ∂=∂∂3、曲面在点处的切平面方程为．229x y z ++=(1,2,4)4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数()f x 2π[,)ππ-()f x x =()f x 在处收敛于，在处收敛于．3x =x π=5、设为连接与两点的直线段，则．L (1,0)(0,1)()Lx y ds +=⎰※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程．2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩0M (1,1,2)-2、求由曲面及所围成的立体体积．2222z x y =+226z x y =--3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？11(1)lnn n n n∞=+-∑4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．(,sin x z f xy y y =+f 2,z zx x y∂∂∂∂∂5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．,dSz ∑⎰⎰∑2222x y z a ++=(0)z h h a =<<三、（本题满分9分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小22z x y =+1x y z ++=值．四、（本题满分10分）计算曲线积分，(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰其中为常数，为由点至原点的上半圆周．m L (,0)A a (0,0)O 22(0)x y ax a +=>五、（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数．13nn n x n∞=⋅∑六、（本题满分10分）计算曲面积分，332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰其中为曲面的上侧．∑221(0)z x y z =--≥七、（本题满分6分）设为连续函数，，，其中是由曲面()f x (0)f a =222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰t Ω与所围成的闭区域，求 ．z =z =30()lim t F t t+→-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；→→不得带走试卷。
2022-2023学年下学期高数A(2)-A卷答案
2022-2023学年下学期高等数学A(2)-A 卷参考答案与评分标准一、填空题（每题4分，共40分） 1. 32−； 2. 2； 3. 22249936x y z −−=； 4. 14− ； 5．1x ；6.1233dz dx dy =+； 7.125241x y z −−−==−； 8. 不是；9. 4102(,)xdx f x y dy ⎰⎰；10. 2x y C +.二、计算题（每题7分，共21分）11.解：已知直线的方向向量为()12416,14,11352i j ks =−=−− ……………（5分） 由于平面与直线垂直，所求平面法向量可取n s =，则 所求平面方程：()()162141130x y z −−+++= 即161411650x y z −−−=……………（7分） 12. 解：令(,,)ln x zF x y z z y=−，则 222111,,x y z y z x y x zF F F zz y yz z y z⎛⎫+==−⋅−==−−⋅=− ⎪⎝⎭…………（3分） 21x z F z zz x z x F x z z ∂=−=−=+∂+− ……………（5分） ()221y z F z z yx z y F y x z z−∂=−=−=+∂+ ……………（7分） 13. 解：222x y xye+关于x ，y 均是奇函数，则12,D D 关于x 轴对称，34,D D 关于y 轴对称221220x y D D xyedxdy ++=⎰⎰223420x y D D xyedxdy ++=⎰⎰……………（3分）所以11123x DI ydxdy dx ydy −−===−⎰⎰⎰⎰ ……………（7分）三、计算题（每题7分，共21分） 14.解：2()2zf x y xy x∂=⋅∂ ………（4分） 2222()2()2zf x y x xy f x y x x y∂'=⋅⋅+⋅∂∂ =3222()2()x yf x y xf x y '+ …………（7分）15.解：22220cos sin RI d d r r dr ππθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰ ………（4分）25012cos sin 5d R ππϕϕϕ=⋅⎰5415R π= …………（7分）16.解：12L L I =+⎰⎰11222L L e ds e π==⋅⎰⎰…………（3分）222220222|2(1)xx x L e dx e dx e e −====−⎰⎰⎰…………（6分）2222(1)I e e π=+−…………（7分）四、综合应用题（每题6分，共18分） 17．解：,()xyP e y Q e x =+=−+ 1,1P Qy x∂∂==−∂∂ 补线1L ：0,:11y x =→−，则1111()L L L L L L I −++=−=−−⎰⎰⎰⎰……（2分）()()()1()2xy L L Dey dx e x dy dxdy π−++−+=−=−⎰⎰⎰ ……（4分）()()1111xyx L ey dx e x dy e dx e e −−+−+==−⎰⎰……（5分）1I e e π−=−+ ……（6分）18、解：原式=()()424z y y dv z y dv ΩΩ−+=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（3分）4zdv ydv ΩΩ=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰1111114dx dy zdz dx ydy dz =−⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（5分）32= ……….（6分）19. 解：记1∑为锥面z =()01z ≤≤，2∑为圆面1z =()221x y +≤，它们在xOy 面上投影为22:1xy D x y +≤，在1∑上ds =，则()(12122222xyD x y ds x y d d πθρρρ∑+=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（3分） 在2∑上dS dxdy =，则()()221222220012xyD x y ds x y dxdy d d πθρρρπ∑+=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（5分） 故 原式+12π。
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授课对象
专 业 年级 班级 人数 总学时 授课 实验 上机 其他
12 级本科 12 级
（除城规、 管理、机 械系等专 业）
92
学时分配
92
校历 课
学时数
周次 序 讲 实 上 讨 其 授验机论 他
12
1 22 32 42
2 52
62 72 82 3 92
10 2 4
11 2
教 学内容
第 8 章 向量代数与空间解析几何 8.1 向量及其线性运算 8.2 向量的坐标
1．利用直角坐标计算二重积分
10.2 二重积分的计算(续) 2.利用极坐标计算二重积分
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
基础教学部
主讲教师 姓 名 职称 学历 学位
周云才、 李琼琳等
长江大学工程技术学院课程教学进度计划表
2012 — 2013 学年第 二 学期
课 程 名 称（编号） 高等数学 A
教材名称（编著者．名称．出版社，出版时间）：编写组．《高等数学(下)》．湖南教育出版社，2012 年 7 月
主要参考书（编著者．名称．出版社，出版时间）： 同济大学应用数学系编．《高等数学》第五版. 高等教育出版社，2002 年 7 月 王汉蓉、毕志伟等编．《微积分》．华中科技大学出版社，2001 年 9 月. 自编《高等数学习题集(第四版)》（下）
教学形式 实验或 及其手段 上机内容
讲授
讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授、练习
讲授 讲授
讲授
作业或辅 导安排
练习四十二
练习四十三 练习四十四 练习四十四 练习四十五
练习四习五十 练习五十一
执行 情况
校历 课
学时数
周次 序 讲 实 上 讨 其 授验机论 他
课程考核说明及要求：考试成绩为平时成绩加上期末考试成绩，平时成绩占 40%，期末成绩占 60%，平时成绩分为考勤、作业、 随堂作业三环节，各占 10%、40%、50%。其中随堂作业 3 次。
考试题型主要有：填空题、选择题、计算题、应用题。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
4 12 2
13 2 5 14 2
15 2 16 2 6 17 2
18 2 19 2 7 20 2 21 2 8 22 2
9.4 复合函数的偏导数
教 学内容
9.4 复合函数的偏导数(续) 9.5 隐函数的偏导数
1.一个方程的情形 2.两个方程的情形 9.6 偏导数的几何应用
1.空间曲线的切线及法平面 2.曲面的切平面与法线 9.7 方向导数与梯度
长江大学工程技术学院
课程教学进度计划表
2012 — 2013 学年第二学期
课程名称：
高等数学 A
主讲教师： 李琼琳、张月梅、秦川、陈帆、周云才、
系（部）：
陈保周、都俊杰、王安平、范臣君
填表日期：2013 年 2 月 18 日
教学事务部制表
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1.方向导数 2.梯度 9.8 多元函数的极值
1.多元函数的极值及其求法 2.最大值与最小值 9.8 多元函数的极值(续)
3.条件极值，拉格朗日乘数法
第 9 章 习题课 第 1 次随堂作业
第 10 章 重积分 10.1 二重积分的概念与性质
1.二重积分的概念 2.二重积分的性质 10.2 二重积分的计算
8.3 向量的乘法运算 1.数量积 2.向量积 8.4 平面及其方程
1.平面的点法式方程 2.平面的一般方程 8.4 平面及其方程(续)
3.两平面的夹角 4.点到平面的距离 8.5 空间直线及其方程
1.空间直线的一般方程 2.空间直线的点法式方程与 参数方程 3.两直线间的夹角 4.直线与平面得到夹角 8.6 曲面及其方程 1.曲面方程的概念 2.旋转曲面 3.柱面 4.二次曲面 8.7 空间曲线及其方程 1.空间曲线的方程 2.空间曲线在坐标面上的投影 第 8 章 习题课