【全国百强校】高考总复习精品课件7函数的奇偶性与周期性-精编

1 ax
1
2
1 ax
2
1ax 2

1 1
1 ax

1 2



1
ax 1
1 2



f
( x),
即f x f x,f x为奇函数.
4
f

x


x(1 x(1
x) x)
(x 0) (x 0)
的定义域关于原点对称, ∵当x>0时,-x<0, ∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x) =-f(x)(x>0). 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x) =-f(x)(x<0). ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
②在公共定义域内 a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和
是奇函数. b.两偶函数的和､积与商(分母不为零)为偶函数. ③奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单
调性相反.
2.函数的周期性
(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域 内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函 数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最 小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期.
1 x

0
,
解得 1 x 1,且x 0.所以函数的定义域为
1,0 0,1.因为f x的定义域为1,0 0,1
关于原点对称,且对x 1, 0 0,1,有
f
(x)


1 x

log2
1 1
x x



1 x

log2
1 1

1 2
a

0,
a

1
;
4
f

x


x(1 x(1

x) x)
(x 0) .
(x 0)
[分析]判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点 对称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理 判断.
[解]1由于f x x2 x 1, x 1, 4的定义域不是关于 原点对称的区间,因此, f x是非奇非偶函数.
答案:A
4.(2010·广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均 为R,则()
A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-
答案:B
3.(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时 ,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()
A.-3
B.-1
C.1
D.3
解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有 f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1, 所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A.
f (x)
f (x)
则f (x)为奇函数.
(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.
【典例1】判断下列函数的奇偶性,并说明理由.
1 f x x2 x 1x 1, 4;
2f x x 1 1 x x 1,1;
1 x
3
f

x


1 ax 1
x x



f
(x)
,所以f x为奇函数.下面研究f x在0,1上的单调性,
任取x1, x2 0,1,且x1 x2.
则f
x1
f
x2

1 x1
log2
1 1
x1 x1


1 x2
log21 1
x2 x2



1 x1

(2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则 kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上 ､下界.
考点陪练
1.已知f x ax2 bx是定义在a 1, 2a上的偶函数, 那么a b
的值是（
）
A. 1 3
C. 1 2
B. 1 3
D. 1 2
1 x2



log
2
1 1
x2 x2
log21 1
x1 x1
.
1 x1

1 x2

x2 x1 x1x2

1 0,log2 1
x2 x2

log2
1 1

x1 x1

log2
1 1
x1 x1

x2 x2

x1x2 x1x2
.
又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2) =2(x2-x1)>0, ∵1-x2>0,1+x1>0, ∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x2>0.
【典例3】已知定义在R上的函数f x 满足f 2 2 3, 且对任意的x都有f x 3 1 ,则f 2009 ________ .
f (x)
[解析]由题意可得f x 6 f x 3 3 1
f (x 3)

1
f (x).函数的周期为6.
1 x
(1 x) 1 x (x 1) 1 x f (x),
1 x
1 x
即f x f x,f x是偶函数.
3 f x的定义域为x R,且x 0,其定
义域关于原点对称,并且有f
(x)

1 ax 1

1 2
1 1 ax 1 (1 ax ) 1 1
2 f x x 1 1 x ,已知f x的定义域为1 x 1,
1 x
其定义域关于原点对称.又f x x 1 1 x
1 x
(x 1) 1 x (1 x)2 (1 x)
1 x
1 x
(1 x)(1 x)2 (1 x)(1 x)
答案:B
2.(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则
{x|f(x-2)>0}=()
A.{x|x<-2或x>4}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6}
D.{x|x<-2或x>2}
解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x<0时,解析式为f(x)=2-x4(x<0),所以当x-2<0时,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得 x<0;当x-2≥0时,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得 x>4,综上{x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故选B.
1 x1 x2 x1x2 1, 1 x1 x2 x1x2
得f x1 f x2 0,即f x在0,1上单调递减. 由于f x为奇函数,所以f x在1, 0上也是减函数.
类型三
函数的周期性
解题准备:三个结论:若a､b是非零常数,且a≠b,则有
[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周 期为2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由x∈R,f(x)是 奇函数,且f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,知f(0)=0,∴方程 f(x)=0的第2000个根是4000,∴f(x+1)=0的第2000个根是 3999.
1 f (x)
结论2:(对称性与周期关系结论) (1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|; (2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|; (3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|. 结论3:(奇偶性与周期关系结论) (1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|; (2)f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|. (上述结论中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期).
(2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断:
①定义判断:f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数,
f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.
②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数. f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.
或等价于: f (x) 1,则f (x)为偶函数; f (x) 1,
第七讲函数的奇偶性与周期性
回归课本
1.函数的奇偶性
(1)函数的奇偶性的定义
奇偶性 偶函数
奇函数
定义
图象特点
如果函数f(x)的定义域 内任意一个x都有f(x)=f(x),那么函数f(x)是 偶函数.
关于y轴对称
如果函数f(x)的定义域 关于原点对 内任意一个x都有f(-x)=- 称 f(x),那么函数f(x)是奇函 数.




1
f
(
x)

f 2009 f (334 6 5) f 5,而f 5 f 3 2