离散数学第3章 函数

f:X Y 。 a 1。 。 b 2。 。 3。 c fC:Y X 。 1 a。 。 2 b。 。 3 c。
显然fC不是函数。可见如果一个函数不是双射的， 它的逆就不是函数。
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第三章 函 数 2.自变元与函数值(像源与映像) ：
f:XY, 如果<x,y>∈f,称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。
<x,y>∈f y=f(x) f:XY 3.定义域、值域 ：f:XY, f的定义域，记作Df 即
Df ={x|x∈X，y(y∈Y，<x,y>f)} =X

注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合. g f :XZ,即 g f 是X到Z的函数.这样写是为了

照顾数学习惯: g f(x)=g(f(x))

复合函数的计算方法同复合关系的计算.
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复合函数
例1 f:XY, g:YZ X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,} f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>} g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } g f={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } {<1,2>,<2,4>,<3,1>} ={<1,5>,<2,1>,3,3>} g f g 用有向图复合: f X Z X Y X 。 1 。 。 。 1 。 1 1 1 。 2 。 2 。 。 2 。 2。 3 。 2 3 。 。 3。 4 。 4 3。 3 。 。 5 。 5
4.双射:f:XY是函数，如果f既是满射的，又是单射 的，则称f是双射，也称f是一一对应的。
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第三章 函 数
y=ax+b 双射
y=x2 内射
y=2x 内射，单射
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思考题：如果 f:XX是内射的函数，则必是满射的， 所以 f 也是双射的。此命题成立吗？
答案是：不是。
例如
f: NN,
f的值域 ：记作Cf 即
Rf =f(X)={y| y∈Y，x(x∈X，<x,y>f)}
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第三章 函 数 函数的表示方法
与关系的表示方法类似，也可以有枚举法、有向 图、矩阵、谓词描述法。这里不再赘述。 函数的矩阵的特点：每行必有且只有一个1。
特殊函数 1. 常值函数：函数f:XY ，如果y0∈Y, 使得 对x∈X, 有f(x)=y0 , 称f是常值函数。 2.恒等函数：恒等关系IX是X到X函数，即IX:XX, 称为恒等函数。显然对于x∈X，有 IX(x)=x 。
f(n)=2n,
f是内射的，
但不是满射的函数。
只有当X是有限集合时，上述命题才成立。
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复合函数 由于函数就是关系，所以也可以进行复合运算。 1. 定义: f:XY, g:YZ是函数,则定义 g f={<x,z>|xX,zZ,y(yY,<x,y>f,<y,z>g)}

则称g f为f与g的复合函数。


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例2 令f和g都是实数集合R上的函数,如下: f={<x,y>|x,y∈R∧y=3x+1 } g={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 + x} 分别求 g f 、 f g 、 f f 、 g g

g f (x)=g(f(x))=(3x+1)2+(3x+1)=9x2+9x+2 f g (x)=f(g(x))=3(x2+x) +1=3x2+3x+1 f f (x)=f(f(x))=3(3x+1) +1=9x+4 g g (x)=g(g(x))=(x2+x)2+(x2+x)=x4 +2x3 +2x2 + x 可见复合运算不满足交换性。

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反函数
定义：设f:XY是双射的函数，fC:YX 也是函数,
称之为f 的逆函数，或者反函数。并用f-1代替fC 。
f-1存在，也称f可逆。
显然，f-1也是双射的函数。 由此可知，一个函数存在反函数的条件是此函数 是一一对应的
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R是A到B的关系，其逆关系RC是B到A的关系。 RC={<y,x>|<x,y>R} f:XY fC:YX, 是否是个函数？请看下面的子：
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第三章 函 数
函数的类型
1.满射:f:XY是函数，如果 Rf=Y,则称f是满射。 2.内射:f:XY是函数，如果 RfY 则称f是内射。
3.单射:f:XY是函数，对于任意x1,x2∈X, 如果 x1≠x2 有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),则 x1=x2),则称f是单射，也称f是一对一的。
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第三章 函 数
函数是一个基本的数学概念，应用的范围很 广，在计算机科学的理论中，如计算理论 、编译 理论、数据库理论、软件工程、计算机安全保密， 操作系统等都用到函数。 函数---输入和输出间的关系。也叫变换、映射。
源程序
编译 目标代码
硬币
自动售货机
商品具有分析、使用函数的能力在多领域都是 十分重要的。软件学院
第三章 函 数 下面是大家熟悉的实数集合上的几个关系，哪些是 集合R到R的函数？ f={<x,y>|x,y∈R,y=1/x } g={<x,y>|x,y∈R,x2+y2=4 } h={<x,y>|x,y∈R,y= x2 } r ={<x,y>|x,y∈R,y=logx } v ={<x,y>|x,y∈R,y= √ x }
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第三章
函 数
1.定义：X与Y集合，f是从X到Y的关系，如果任何
x∈X，都存在唯一y∈Y，使得<x,y>∈f,则称f是 从X到Y的函数(变换、映射)，记作f:X→Y. 如果f:XX是函数, 也称f是X上的函数. 这里所说的函数与以前的数学中函数有区别。
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以前我们学习过函数的定义，大家回忆一下。 函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。 简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非 空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应 法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上 的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f （x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因 变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是函数的两个要素。 y= ︳x ︳是函数吗？Y= ±x