由与或式逻辑函数直接填写卡诺图化简逻辑函数算法分析
03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的卡诺图化简法
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
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（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
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BC
A
00 01 11 10
0
11 1
(完整版)逻辑函数的卡诺图化简法
第十章 数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。
如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ）Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B AC B A C AB ABC ）结论： n 变量共有2n 个最小项。
三变量最小项真值表（2）最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。
（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。
3．最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B)=ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()(C B D A B A Y +++=（ ))((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++=D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++=D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑ 列真值表写最小项表达式。
用卡诺图化简或——与表达式
用卡诺图化简或——与表达式引言：随着电子技术的飞快发展，卡诺图已经变成了逻辑设计中十分重要的数学工具。
卡诺图因为它能用图形将复杂的逻辑函数形象直观的表示出来。
所以，卡诺图在数字电子技术当中应用十分的广泛。
数字电子技术当中的逻辑函数是“或”、“与”、“非”复合而成，所以使用卡诺图分析逻辑函数是具有现实意义的。
1.使用卡诺图的优点化简或——与函数可以使用卡诺图化简法和公式分析法来进行化简。
但是在现实当中的逻辑函数化简当中，逻辑函数可能十分复杂，化简需要熟记大量的基本公式。
不仅如此还需要能够灵活巧妙的使用基本公式、方法，所以使公式化简法显得十分繁琐，所需的技巧性十分强。
但是使用卡诺图时不仅可以用于多输入变量的逻辑函数化简，还可以用图像来直观、快速表示出最简表达式，所以卡诺图是一种十分实用的化简方法。
2. 卡诺图2.1卡诺图概述一个逻辑函数的卡诺图就是讲此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，从此方格图称为卡诺图。
卡诺图的实质就是真值表的图形化，使得最小项排列得更紧凑，更便于化简。
卡诺图中最小项的排列方案不是惟一的；变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量；各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
对于n个变量的逻辑函数有2^n个最小项。
如果把每个最小项用一个小方格表示，再讲这些小方格按格雷码顺序排列，就可以构成n个变量的卡诺图。
以4变量为例的卡诺图表一2.2卡诺图特点卡诺图的特点是：几何位置相邻的最小项在逻辑上也是相邻的。
即相邻的两个最小项只有一个变量不同，这是用卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
正如表一中m4与m5两个相邻相中只有D与非D两的差别。
2.3卡诺图化简逻辑函数依据卡诺图具有相邻性，若两个相邻的方格均为1，则这两个最小项之和有一个变量可以被消去。
以此为依据通过把卡诺图上相邻最小项的相邻小方格圈起来进行合并，达到用“与”项来代替。
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。
由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。
由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。
通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。
在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。
通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。
⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。
同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。
所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。
每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。
逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。
吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。
3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。
在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。
缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。
卡诺图化简逻辑表达式
卡诺图对于大规模逻辑电路的优化效果有限
随着逻辑电路规模的增大，卡诺图的化简过程变得复杂且耗时，难以在实际工程 中应用。
对于大规模逻辑电路，可能需要采用其他优化方法，如布尔代数、门级优化等， 以获得更好的优化效果。
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卡诺图化简逻辑表达式
• 卡诺图简介 • 卡诺图化简逻辑表达式的方法 • 卡诺图化简逻辑表达式的实例 • 卡诺图与其他化简方法的比较 • 卡诺图的局限性
01
卡诺图简介
卡诺图的定义
• 定义：卡诺图是一种用于表示二进制逻辑函数关系的图形表示 法，通过将逻辑函数输入变量的所有可能取值组合在网格中表 示出来，可以直观地观察到函数的最简形式。
卡诺图与布尔代数化简的比较
布尔代数化简
通过使用逻辑运算（与、或、非）的代数性质，如吸收律、分配律等，对逻辑表达式进 行简化。这种方法需要一定的数学基础，但在处理复杂逻辑表达式时可能较为繁琐。
卡诺图化简
利用图形直观地表示输入变量的所有可能组合，通过排除法简化逻辑表达式。卡诺图化 简简单易懂，不需要复杂的数学运算，特别适合初学者和解决多变量逻辑表达式的化简
问题。
卡诺图与公式化简的比较
公式化简
通过逻辑运算的公式和定理，对逻辑表达式 进行简化。这种方法需要熟练掌握各种逻辑 公式和定理，对于初学者有一定的难度。
卡诺图化简
利用图形化的方式表示输入变量的所有可能 组合，通过排除法简化逻辑表达式。卡诺图 化简直观、易于操作，不需要复杂的公式和 定理，特别适合初学者和解决多变量逻辑表 达式的化简问题。
05
卡诺图的局限性
卡诺图适用范围有限
逻辑函数的卡诺图化简法介绍
00 AAmBB0CC0 AAmBB1CC1 AAmBB1CC3 AAmBB0CC2 11 AAmBB1CC4 AAmBB1CC5 AAmBB1CC7 AAmBB0CC6
15
3.2.4 用卡诺图化简逻辑函数
画包2、围用圈卡时诺应图遵化循简的逻原辑则函：数的一般步骤 A.画出逻辑函数的卡诺图。 1. 包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。 B. 合并最小项，即将相邻的为1的方格圈成一组。 C. 将所有包围圈对应的乘积项相加。 2.循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。
000 1
0
0
0
0
0
0
0
001 0
1
0
0
0
0
0
0
010 0
0
1
0
0
0
0
0
011 0
0
0
1
0
0
0
0
100 0
0
0
0
1
0
0
0
101 0
0
0
0
0
1
0
0
110 0
0
0
0
0
0
1
0
111 0
0
0
0
0
0
0
1
最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为 最小项号。
4
A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
0
0
01
11
0
11 X X X X
10 0 1 X X
逻辑函数的卡诺图化简法(可编辑修改word版)
第十章数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法1.图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2.最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项 1 次。
如：Y=F（A，B）（2 个变量共有4 个最小项AB AB AB AB ）Y=F（A，B，C）（3 个变量共有 8 个最小项ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ）结论： n 变量共有 2n个最小项。
三变量最小项真值表（2）最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为 1。
（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi表示。
3.最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例 1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA解：Y=AB( C +C)+BC( A +A)+CA( B +B)= ABC +ABC +ABC +ABC +ABC +ABC= ABC +ABC +ABC +ABC= m7 +m6+m5+m3例 2.写出下列函数的标准与或式：Y =AB +AD +BC解：Y =（A +B)( A +D)(B +C)= ( A +BD)(B +C)=AB +AB +AC +BCD=ABC +ABC +ABC +ABCD +ABCD=ABCD + _ ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD=m7 +m6+m5+m4+m1+m+m8＝∑m(0,1,4,5,6,7,8）列真值表写最小项表达式。
数字电子技术- 逻辑函数的化简(卡诺图化简)
CD AB 00 01 11 10
00 0
2
01 4 5 7 6
11 12 13 15 14
10 8
10
C
B
D
总结： 2n 个相邻最小项合并可以消去 n 个取值不同因子。
2. 用卡诺图化简逻辑函数的基本步骤
（1）首先将逻辑函数变换为最小项之和表达式。 （2）画出逻辑函数的卡诺图。 （3）将卡诺图中按照矩形排列的相邻1画圈为若干个相邻组。 （4）合并最小项。 （5）将合并后的乘积项加起来就是最简与或表达式。
② 约束项： 不会出现的变量取值所对应的最小项。 ③ 约束条件： 由约束项相加所构成的值为 0 的逻辑表达式。
例如，上例中 ABC 的不可能取值为 000 011 101 110 111
约束项： ABC ABC ABC ABC ABC
约束条件：A B C ABC ABC ABC ABC 0
01 1
11
11
10 1
11
Y A B AC A C D B D
[例4] 用卡诺图法求反函数的最简与或表达式
Y AB BC AC
[解] ① 画函数的卡诺图
② 合并函数值为 0 的最小项
③ 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式
BC A 00 01 11 10
00 010
10 111
Y AB BC AC
（3）化简举例 [例] 化简逻辑函数
F(A,B,C,D )
m( 1 , 7 , 8 ) d( 3 , 5 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 )
[解] 化简步骤:
① 画函数的卡诺图，顺序 为：先填 1 ╳ 0
② 合并最小项，画圈时 ╳ 既可以当 1 ，又可以当 0
逻辑函数的化简方法
[例 1. 2. 13] Y AB AB ABC ABC
A ( B B C ) A ( B BC ) A (B C) A (B C)
AB AB AC AC AB AB C
四、配项消项法： [例]
AB AC BC AB AC
A BC A BC BC ABC ABC AB
A BC D A BC D BC D ABC D ABC D AB D
(2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子 CD AB 00 01 11 10 3 2 00 0 01 4 11 10 11 12 10 8
CD AB 00 01 11 10 2 00 0 01
(3) 写出最简与或表达式
A BD
A BC
1
10 BC
Y BC A BD ABC
Y BCD BC AC D ABC
画包围圈的原则：
不正确 的画圈
CD (1) 先圈孤立项，再圈仅有一 AB 00 01 11 10 种合并方式的最小项。 1 1 00 (2) 圈越大越好，但圈的个数 01 1 1 越少越好。 11 1 1 (3) 最小项可重复被圈，但每 个圈中至少有一个新的最小项。
CD AB 00 01 11 10 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1
Y AC D AC D ABD AB D
[例]
利用图形法化简函数
F m ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 8 , 10 , 11 , 14 , 15 )
[解] (1) 画函数的卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1
二、逻辑函数的卡诺图表示法 1. 根据变量个数画出相应的卡诺图； 2. 将函数化为最小项之和的形式； 3. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1 ， 其余位置填 0 或不填。
逻辑函数的卡诺图法化简
×
1
一条指令，叫做10进 制调整指令（DAA）
01 0 11 0
0
×
0
，在进行BCD码加法
、减法运算时，进行
0
×
×
加6和减6修正。
10 1
1
×
×
即 1010 ～1111状态 就不会出现。
输入变量A，B，C，D取值为0000～1001时，逻辑函数Y有确 定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。
Y ( A ,B , C ,D ) m ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8 )
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② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表 达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达 式不是唯一的。
AB CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0 01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 10 1 0 1 0
AB CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 10 1 0 1 0
Ff(A,B,C)ABCABC AC BABC m2m3m6m7 m(2,3,6,7)
精品课件
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规律：任何一个逻辑函数都能展开成最小 项表达式，变换方式有两种：
（1）逻辑函数——>真值表——>最小项表达式
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的 那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。
将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可 得到反函数的最小项表达式。
1、逻辑函数的最小项及其性质
（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含 了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变 量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该 函数的一个标准积项，通常称为最小项。
用卡诺图化简逻辑函数合并最小项的规则
则可合并为一项并消去两对因子。 3. 若八个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去三对因子。
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
合并两个相邻最小项的情况：
BC A 00 01 11 10
01 1 0 1
化简的目的：得到逻辑函数的最简形式。
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第五节 逻辑函数的化简
通常先化简成最简与-或式，再转换成其他形式。
[例2.5.1]：将逻辑函数 Y AB BC
化为与非-与非形式。
解： Y AB BC Y (Y) ((AB BC)) (( AB) (BC ))
Y2 AC AB BC( AC (BD)) AC AB
[例2.5.9]：
Y3 ABCD ( AB)E ACDE
ABCD ( AB)E
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4.消因子法
第五节 逻辑函数的化简
利用公式
A A B A B
AB
BC
Y AB AC BC
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第五节 逻辑函数的化简
课堂练习
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( ABC ABC ABC ABC)
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第五节 逻辑函数的化简
二、逻辑函数的公式化简法
反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式， 消去函数式中多余的乘积项和多余的因子， 以得到函数式的最简形式。
逻辑函数的卡诺图化简法案例分析
逻辑函数的卡诺图化简法案例分析1.卡诺图化简逻辑函数的原理(1)2相邻项结合（用一个包围圈表示），可消去1个变量。
如图6.39所示。
(2)4相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去2个变量，如图6.40所示。
(3)8相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去3个变量，如图6.41所示。
图6.39 2个相邻的最小项合并 图6.40 4个相邻的最小项合并图6.41 8个相邻的最小项合并总之，2n 个相邻的最小项结合，可以消去n 个取值不同的变量而合并为l 项。
2．用卡诺图合并最小项的原则用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图中找相邻的最小项，即画圈。
为了保证将逻辑函数化到最简，画圈时必须遵循以下原则：(1)圈要尽可能大，这样消去的变量就多。
但每个圈内只能含有2n （n=0,1,2,3……）个相邻项。
要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
(2)圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少。
ABCDABC D111111111111111ABDABCABDBCDBC CDBD （四角）D ABC111111111111BC(3)卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
(4)取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
3.用卡诺图化简逻辑函数的步骤 (1)画出逻辑函数的卡诺图。
(2)合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。
(3)写出化简后的表达式。
每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l 的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。
然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。
例3:用卡诺图化简逻辑函数：D C B A D C B A D B A AD F +++= 解：(1)由表达式画出卡诺图如图6.43所示。
(2)画包围圈合并最小项，得简化的与—或表达式:D B AD F +=图6.42 例3卡诺图 图6.43例4卡诺图注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉；图中的包围圈D B 是利用了四角相邻性。
用卡诺图化简逻辑函数
用卡诺图化简逻辑函数一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n个变量的卡诺图来说，有2 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质：1、最小项的定义在n个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项的编号为m ，如最小项的编号为m ，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。
图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项或将其列出逻辑状态表后填写。
三、应用卡诺图化简逻辑函数1、一个正确卡诺圈的要求：（1）画在一个卡诺圈内的1方格数必须是2 个（m为大于等于0的整数）。
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较 多 ， 用起 来 相对 麻烦 ， 应 我们 可 以根据 卡诺 图的 特 点， 直接 填写 卡诺 图 ， 简化 化 简 步 骤 ， 利 用 卡 诺 图 使
化 简更 为方便 ． １ 卡诺 图的特 点 ． 用 小方 格 来 表示 最 小 项 ， 个 小 方格 代 表 一个 一
最 小项 ， 后将 这些 最 小项按 照 相邻性 排 列起来 ． 然 即 用 小方格 几何 位置 上 的相邻 性来 表示 最小 项逻 辑上 的相 邻性 ．它有 以下 两个 特点 ． １１ 直 观 相 邻 性 ， ． 只要 小 方 格 在 几 何 位 置 上 相 邻
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第 ｌ 第 ２期 ５卷
２００ ６年 ６月
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ａ ｆＨｅ ａ ｎ ｔｕｅｏ ｄ ｃｔ ｎ（ ｔｒｌ ｃｅｃ ） ｏ ｒ ｌｏ ｎ ｎＩｓｉ ｔ ｆＥ ｕ ａｉ Ｎａｕａ ｉｎ ｅ ｎ ｔ ｏ Ｓ
… １’
．
明确地 表示 出逻 辑 函数 的 内 在联 系 ． 用 卡 诺 图 可 使
以直接 写 出最简 逻 辑 函数 ， 免 了 烦琐 的逻 辑 代 数 避 运算 ． 在通 常 的利用 卡诺 图化 简逻 辑 函数 中 ， 我们 首 先 把逻辑 函数写 成 最 小 项 之 和 的形 式 ， 后 由最 小 然 项 进行 卡诺 图填 写 ， 再进行 化 简 ， 样化 简 的步骤 比 这
（ 不管 上下 左右 ） 它代 表 的最 小 项 在 逻辑 上一 定 是 ， 相邻 的 ．
２ ３ 选 择 与 一或 逻 辑 函数 的 其他 与项 ， 复上 面 １ ． 重 或 ２步 骤 ， 成 与 一或 逻 辑 函数 表 达 式 的 卡 诺 图 完
填写 ．
１２ 对 边 相邻性 ， ． 即与 中心轴对 称 的左 右 两边 和 上
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ． １ １ ２
Ｊ ｎ． ０ ６ ｕ ２ｏ
由与或 式 逻 辑 函数 直 接填 写卡 诺 图 化 简 逻 辑 函数 算 法分 析
席 红旗 ，金 志伟
（ 南教 育 学 院 信 息 技 术 系 ， 南 郑 州 ４０ １ ） 河 河 ５０４
摘 要 ： 文 阐 述 了一 种 依 据 卡 诺 图的 特 点 进 行 快 速 填 写卡 诺 图 ， 后 利 用卡 诺 图进 行 逻 辑 函数 化 简 的 方 法 本 然 关 键 词 ： 辑 函 数 ； 诺 图 ；化 简 逻 卡 中图 分 类 号 ：１ ７ １Ｐ ｌ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ７ ８ ４ ２ Ｏ ）２—０ １ —０ １ —０ ３ （ ０ ６ ０ ０ ０４ ３
用 卡诺 图化 简 逻 辑 函数 是一 种 既简 单 ， 直 观 又 的方 法 ． 诺 图是真 值表 的一 种变 换 ， 比真值表 更 卡 它
方 格所 代表 的最 小项 中的变量 包括 该最 小项 所在 的 行 或列 所代 表变 量或 变量 的组 合 （ 相与 ） 也 就是说 ， ． 该 最小 项所 处 的位置 正是 包括 某些 变量 组合 行和 列 的交叉点 ． 由此我 们 可 以根 据 与 或式 逻 辑 函数 直 接 填 写卡诺 图 ． ２ 卡诺 图 的填 写 填 写的 规则 为 ： ２ １ 选 择包含 与 一或逻 辑 函数 表达 式 中一 个 与项 ， ． 选 中该 与项 中包括 某些 变量 （ 者反 变量 ） 或 的组 ห้องสมุดไป่ตู้所 在 的行 ， 选 中包含 逻辑 函数与 项 中某 些 变量 （ 再 或者 反变 量 ） 的组合 所在 的列 ， 行 和列 的相交 叉 的方格 其 即为该 与项 所对 应 的 最 小 项 在 卡诺 图 中 的位 置 ， 并 在相 应方 格 内填写 “ ” １． ２ ２ 只 包 含 逻 辑 函数 与 项 中 某 些 变 量 （ 者 反 变 ． 或 量） 的组合 所对 应 的整 行 和 整 列 即 为该 与项 所 对 应 的最小项 在 卡诺 图 中 的 位 置 ， 在 相应 方 格 内填 写 并
作 者 简 介 ： 红 旗 （９ ５ ）男 ， 南 叶 县 人 ， 程 硕 士 ， 南 教 育 学 院 信 息 技 术 系讲 师 席 １７一 ， 河 工 河
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ｌ ・ ４
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方 （ ０ ｌ２ ３ … ） ｎ＝ ， ， ， … 个相 邻 项 ． 特 别 注 意对 边 相 要 邻性 和 四角相 邻性 ．
下两边 的小 方格 也具 有相 邻性 … ． 我 们 把 卡诺 图看 作 由若 干 列 和 行小 方 格 组成 ，
例 １ 利 用 卡 诺 图 表 示 逻 辑 函 数 ． ：Ａ ＋ Ｆ Ｄ
＋ ＡＢ ＋ — Ｃ
每一行 或列 都包 含有 逻辑 函数 中 的原变 量或者 反 变 量 的一个 组 合 （ “ ” 表 原 变 量 ， “ ” 表 反 变 用 １代 用 ０代 量 ， 对 四变量 逻 辑 函数 的行 和 列 的组 合 由左 至右 则
３２ 化 简 ．
根据 以上 的合 并原 则 ， 以对 卡诺 图进 行合 并 ， 可
或者 由上 到下 分别 为 ０ ， １ １ ，０ 如 图 １ ， 个小 ０ ０ ，１ １， ）每
收 稿 日期 ：０ ５—１ ２０ ２—１ ６
按 以上规 则填 写卡 诺 图如 图 ２， 中 ： 其 “ ” 表具有 Ａ组 合 的 行 （ １ １ ） 具 有 Ｄ组 １代 １ 、０ 和 合 的列 （ １ １ ） ０ 、１ 相交叉 点对 应 的最 小项 ；
（ ） 的个 数尽 量 少 ． ２圈 （ ） 诺 图 中所 有取 值为 ｌ ３卡 的方 格均 要被 圈 过 ， 即不能 漏下 取值 为 ｌ的最 小 项 ．
（ ） 新 画 的 包 围 圈 中 至 少 要 含 有 １ 未 被 圈 ４在 个
过的 ｌ 方格 ， 则该 包 围圈是 多余 的 ． 否 Ｊ