《二次函数y=ax^2的图象和性质》参考教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。
通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。
但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。
2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。
2.二次函数的增减性和对称性。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.学生分组合作学习的材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。
呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。
学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。
操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。
学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。
二次函数y=ax^2的图象和性质 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
课题二次函数y=ax2的图象和性质教学目标1. 使学生会用描点法画出y=ax2的图象，并能从图象上认识二次函数y=ax2的性质。
2.使学生经历、探索二次函数 y=ax2图象性质的过程，培养学生画图能力。
3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．教学重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象．教学难点用描点法画出二次函数y=ax2的图象，同时探索二次函数性质．教具准备三角板课型新授课教学方法：类比法、自主探究法教学过程一、提出问题1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？二、范例我们先来画最简单的二次函数y=x2的图象例1、画二次函数y=x2的图象．解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示．提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点．它的形状类似投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上．抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线．实际上二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．三、做一做1．在同一直角坐标系中，画出函数y=1x2与y=2x22的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？它们与y=x2的图象相比，有什么共同点与不同点？2．在同一直角坐标系中，画出函数x2的图象，观察y=−x2,y=−2x2,y=−12并比较这些抛物线，你能发现什么？3．将所画的几个函数的图象作比较，你又能发现什么？四、归纳、概括函数y=12x2, y=2x2, y=x2, y=−x2,y=−2x2,y=−12x2都是函数y=ax2的特例，由这些函数的图象的共同特点，可猜想：函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______．[抛物线，y轴，(0，0)]如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么？让学生观察y=12x2, y=2x2, y=x2, y=−x2,y=−2x2,y=−12x2的图象，填空：当a>0时，抛物线y=ax2开口______，______是抛物线上位置最低的点，a越大，抛物线的开口越______．[向上，顶点，小]当a<0时，抛物线y=ax2开口______，______是抛物线上位置最低的点，a越大，抛物线的开口越______．[向下，顶点，大]五、小结本节课我们学习了哪些内容？画函数图象应注意哪些问题？。
沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax2的图象与性质说课稿
本节课的教学内容为沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax^2的图象与性质。该章节位于初中数学课程中函数学习的重要部分，是在学习了二次函数的概念及其表达式的基础上，进一步研究二次函数的图象与性质。主要知识点包括：
（3）了解二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系，能够根据系数a判断图象的开口方向、对称轴等。
2.过程与方法：
（1）通过观察和分析二次函数y=ax^2的图象，培养学生观察、归纳、总结的能力。
（2）运用数学方法，如数形结合、函数变换等，引导学生探究二次函数的性质。
（3）通过实例分析，使学生能够灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
1.数形结合法：通过将二次函数的代数表达式与图象相结合，帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律。这种方法符合学生的认知特点，有助于抽象概念的形象化，提高学习效果。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、猜想、验证、总结的过程来发现二次函数的性质。这种教学方法能够激发学生的好奇心和探究欲，培养他们的创新精神和实践能力。
（2）二次函数y=ax^2的性质，如单调性、最值等。
（3）二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系。
2.教学难点：
（1）如何引导学生理解二次函数y=ax^2的图象特征与系数a的关系。
（2）如何让学生掌握二次函数y=ax^2的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
（3）如何培养学生运用数形结合、函数变换等数学方法探究二次函数的性质。
3.展示一个有趣的数学问题，如“如何确定一个抛物线拱门的最高点？”通过问题引导学生思考，自然过渡到二次函数的性质。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采取以下步骤引导学生深入理解二次函数的图象与性质：
关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)
关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。
误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。
《二次函数y=ax^2的图象和性质》教学设计
《二次函数y =ax 2的图象与性质》教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课为沪科版九年级数学第22章第二节的内容，学习二次函数y =ax 2的图象与性质.这是学习一次函数的延续，是对函数内容的再认识，也是学生理解二次函数定义，建立二次函数模型的后续学习.它既是前面函数学习的一次升华，又是后续的y=ax 2+bx+c 的性质和二次函数应用学习顺利进行的保证，还是学生升入高一级学校学习函数的基础，具有承上启下的作用，因此该内容在教材中的地位十分重要.（二）教学对象分析学生在八年级上学期已经学习了函数及一次函数等内容，对函数已经有了初步的认识.学生通过从特殊到一般的数学研究方法，先学习2y ax =这一最简单的二次函数图象与性质，再进一步研究2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质，可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法.由于学生在认知方式、动手能力、语言表达和思维方式等方面存在差异，教师要及时了解并尊重学生的个体差异.教学中要多鼓励学生，对学有困难的学生要及时给予帮助和指导，让他们敢于发表自己的见解，丰富教学活动的经验，发展数学能力.（三） 教学环境分析充分利用优质的教学资源，尽量采用现代教育技术手段，用计算机展示函数的图象，形象显示图形的变化与联系，提高教学效果与质量. 二、教学目标（一）知识与技能1．能够利用描点法作出二次函数y=x 2的图象，并能根据图象总结和理解二次函数y=x 2的性质；2．能作出y=-x 2, 212y x =±和y=2x 2的图象，并比较它们与y=x 2的图象的异同，初步体会二次函数关系式与图象之间的联系；3．能根据二次函数y=x 2的图象，探索二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）. （二）过程与方法1．经历探索二次函数y=x 2的图象和性质的过程，获得用图象研究函数性质的经验； 2．由二次函数y=x 2的图象及性质类比地学习二次函数y=-x 2的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法，发展学生的求同求异思维.（三）情感态度与价值观1．通过探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；2．在利用图象讨论二次函数的性质时，尽可能多地合作交流，以便能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.三、教学重点难点（一）教学重点作出二次函数2y ax=的性质.=的图象，并根据图象观察分析出二次函数2y ax（二）教学难点经历探索二次函数y=x2的图象的作法与性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数2=的图象与性质方面，实现“探索―经验―运用”的y ax思维过程.四、教学过程。
二次函数y=ax2的图象和性质教案的示范课讲解与点评
二次函数y=ax2的图象和性质教案的示范课讲解与点评的图象和性质教案的示范课讲解与点评一、教案设计主题：二次函数y=ax^2的图象和性质适用对象：高中一年级数学课程中学生授课时间：1学时（45分钟）教学内容：1.二次函数y=ax^2的基本概念2.二次函数y=ax^2的图象特征3.二次函数y=ax^2的性质：开口方向、顶点、对称轴以及相关图象变换教学目标：1.理解二次函数y=ax^2的基本概念2.熟练掌握二次函数y=ax^2的图象特征3.掌握二次函数y=ax^2的性质，包括开口方向、顶点、对称轴以及相关图象变换教学方法：讲授结合演示教学重点：1.二次函数y=ax^2的基本概念2.二次函数y=ax^2的图象特征教学难点：1.二次函数y=ax^2的性质2.图象变换的理解和应用二、课堂讲解1.二次函数y=ax^2的基本概念二次函数是指函数的自变量的二次项系数不为零的函数，其一般式为： y=ax^2 + bx + c（a≠0）。
其中，a为常数项，可以为正数、负数或零。
当a>0时，二次函数的图象开口向上；当a<0时，二次函数的图象开口向下。
2.二次函数y=ax^2的图象特征二次函数y=ax^2的图象具有以下特征：a.二次函数的图象是对称轴在坐标系的x轴上的一条对称U形曲线。
b.二次函数的图象的顶点坐标为（-b/（2a），-△/（4a）），其中△=b^2-4ac（△大于零时，函数有两个实数根；当△等于零时，函数有一个实数根；当△小于零时，函数无实数根）。
c.当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。
3. 二次函数y=ax^2的性质a.开口方向：当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。
b.顶点：二次函数的图象的顶点坐标为（-b/（2a），-△/（4a））。
c.对称轴：二次函数的对称轴在坐标系的x轴上。
d.相关图象变换：1.沿x轴平移a个单位：y=a(x + b)^2+c。
《二次函数y=ax^2的图象与性质(1)》参考教案_最新修正版
3.3 二次函数y=ax2的图象与性质（1）教材分析二次函数的图象——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一．喷泉的水流，标枪的投掷等都形成抛物线路径．同时，抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥，抛物线型隧道等．本节课将研究最简单的二次函数y＝x2与y=－x2的图象及性质．在教学中，让学生利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象经过大家的合作交流归纳总结出二次函数y=x2的性质．在此基础上猜想y＝－x2的图象及性质，再进行有关验证．通过讨论最简单的二次函数y＝±x2的图象的作法，引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳这类抛物线的性质．本节的内容主要由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论，教师只给以引导，充分体现教师引导，学生学的教学理念．教学目标(一)教学知识点1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．2．猜想并能作出y=－x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．(二)能力训练要求1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．(三)情感与价值观要求1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．2．能够作出二次函数y=－x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同．教学难点经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y=－x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程．教学方法探索——总结——运用法．教具准备投影片四张第一张：(记作§3．3．1A)第二张：(记作§3．3．1B)第三张：(记作§3．3．1C)第四张：(记作§3．3．1D)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c(其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题．Ⅱ．新课讲解一、作函数y＝x2的图象．[师]一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢?让我们先看最简单的二次函数y＝x2．大家还记得画函数图象的一般步骤吗?[生]记得，是列表，描点，连线．[师]非常正确，下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象．[生](1)列表：(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．[师]画的非常漂亮．二、议一议．投影片：(§3．3．1A)对于二次函数y＝x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．[生](1)图象的形状是一条曲线．就像抛出的物体所行进的路线的倒影．(2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是(0，0)．(3)当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x>0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。
二次函数y=ax^2的图象与性质优秀教案
二次函数y=ax2的图象与性质【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）教学知识点1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。
2．猜想并能作出y=－x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同。
（二）能力训练要求1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维。
（三）情感与价值观要求1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质。
【教学重点】1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质。
2．能够作出二次函数y=－x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同。
【教学难点】经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
并把这种经验运用于研究二次函数y=－x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程。
【教学方法】探索——总结——运用法。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课师：我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征。
知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线。
上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数且a≠0），那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题。
二、新课讲解（一）作函数y＝x2的图象。
师：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数y＝x2。
二次函数y=ax2的图象和性质教案的编写与设计思路
二次函数y=ax2的图象和性质教案的编写与设计思路。
一、二次函数y=ax^2的图象与性质1.函数的定义我们可以通过二次函数的公式f（x）=ax^2+b x+c来进行定义。
其中a≠0，a、b、c是常数，x为变量。
当x取各种实数值时，函数值f(x)也会随之变化，从而构成函数的曲线。
在函数y=ax^2中，a决定了函数的增减性、单调性以及拐点的位置等特征。
当a>0时，函数的开口朝上，当a<0时，函数的开口朝下。
2.曲线的几何意义二次函数y=ax^2的曲线实际上是一个叫“抛物线”的图形，它在横轴两侧都有一条水平对称轴，对称轴的位置为x=-b/2a，即抛物线的最低点（顶点）。
另外，抛物线的拐点（即导数为0的点）是y=ax^2的二次函数上的一个重要特点，通过拐点的位置我们能够看出函数的增减性以及单调性。
3.影响曲线的因素二次函数y=ax^2的图象的形态和性质受a的正负和值的大小所影响。
当a>0时，函数的图象开口朝上，最低点在y轴的正半轴上；当a<0时，函数的图象开口朝下，最低点在y轴的负半轴上。
a的值越大，抛物线的开口越宽，a越小，抛物线的开口越窄。
4.抛物线的基本性质一般来讲，二次函数y=ax^2在定义域上具有以下一些基本的性质：（1）自变量的取值范围为一切实数。
（2）当a>0时，二次函数y=ax^2的值域为[y0,+∞)，其中y0 = f( -b/2a)。
（3）当a<0时，二次函数y=ax^2的值域为(-∞,y0]，其中y0 = f(-b/2a)。
（4）当a>0时，二次函数y=ax^2的最小值为y0，即抛物线的最低点，且最小值明显。
当a<0时，二次函数y=ax^2的最大值为y0，即抛物线的最高点，且最大值明显。
（5）当a>0时，二次函数y=ax^2单调递增，或单调递减，其拐点为最低点。
当a<0时，二次函数y=ax^2单调递减，或单调递增，其拐点为最高点。
二次函数y=ax2的图象和性质教案中的案例讲解及教学方法
二次函数y=ax2的图象和性质教案中的案例讲解及教学方法。
案例描述：小明是一名初三学生，他正在学习二次函数的图象和性质。
他很好奇，如果将二次函数中的参数a取不同的值，会对函数其图象造成什么影响。
他请教了数学老师，并得到了以下问题：已知二次函数y=ax^2 的参数 a 的不同取值分别为 1/2、1、2，画出它们的函数图象，并分析它们的性质。
教学方法：1.让学生探究让学生自行根据题目中的要求，搜索资料，画出三个函数的图象，并分析它们的性质。
老师可以引导学生思考如下问题：（1）三个函数的图象有何相似之处，何不同之处？（2）三个函数都有什么最高点或最低点，这个点的坐标分别为多少？这个点对函数有什么影响？（3）三个函数在什么位置上与x轴相交，这对函数有何影响？（4）三个函数在什么位置上与y轴相交，这对函数有何影响？（5）三个函数的开口方向有何不同之处？这对函数有何影响？2.总结性讲解根据学生自己探究的结果，老师可以进行总结性讲解，介绍二次函数 y=ax^2 的图象和性质：（1）二次函数 y=ax^2 的图象都是开口朝上或开口朝下的抛物线。
其中参数 a 的正负决定了开口的朝向。
当 a>0 时，开口朝上；当 a<0 时，开口朝下。
（2）二次函数 y=ax^2 的最高点或最低点为抛物线的对称轴上的点，称为抛物线的顶点。
顶点的坐标为（0，a/4）或（0，-a/4）。
（3）二次函数 y=ax^2 与x轴相交的点称为根，也称为零点或解。
当 a>0 时，抛物线与x轴有两个根，分别为x1=(-∞，0)、x2=(0，+∞)；当 a<0 时，抛物线与x轴无根。
（4）二次函数 y=ax^2 与y轴相交于点（0，0）。
这表示二次函数总是通过原点。
（5）二次函数 y=ax^2 的参数 a 的变化，会导致抛物线形状的变化。
当参数 a 的值越大，抛物线的开口越宽，曲线愈平缓；当参数a 的值越小，抛物线的开口越窄，曲线愈陡峭。
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》这一节主要介绍了二次函数y=ax2的图象和性质。
内容包括：二次函数的图象是抛物线，讨论了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等，并学习了如何通过a的值来判断抛物线的性质。
这部分内容是整个初中数学的重要知识点，对于学生来说，理解和掌握二次函数的图象和性质对于后续学习其他数学知识有着重要的基础作用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数、二次函数的定义，对于函数有一定的认识和理解。
但在学习这一节内容时，学生可能对于抛物线的性质和开口方向的判断还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、探究等活动，加深对二次函数图象和性质的理解。
三. 教学目标1.理解二次函数y=ax^2的图象和性质，能够判断抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2.培养学生观察、操作、思考、探究的能力，提高学生解决问题的能力。
3.培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的沟通表达能力。
四. 教学重难点1.二次函数y=ax^2的图象和性质的理解和掌握。
2.抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标的判断。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、探究等活动，自主发现和总结二次函数的图象和性质。
2.采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论、交流、分享，提高学生的合作意识和团队精神。
3.采用案例分析法，通过具体的例子，让学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学工具（黑板、粉笔等）七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数y=ax^2的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT课件，展示二次函数y=ax^2的图象和性质，让学生直观地感受和理解。
3.操练（10分钟）让学生通过观察、操作、思考、探究等活动，自主发现和总结二次函数的图象和性质。
22.1.2二次函数y=ax^2的图象与性质教学设计
A、开口向上
B、对称轴是y轴
C、当x＞0时，y随x的增大而增大
D、当x<0时，y随x的增大而增大
3、已知函数是二次函数，且开口向上。
求：m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律
小结提升通过本节课的学习，你收获了什么？
课后作业1、说出下抛物线的开口方向、对称轴和顶点
（1）y=2x2 (4)y=-1|3x2
2、抛物线y=-3x2，开口，对称轴是，顶点坐标，当x 时,y随着x的增大而减小。
3、已知y=（k+2）x k2-3k-2是二次函数，且当x>0时，y随x增大而增大，则k= ；
板书设计22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质
1、画出二次函数y=x2和y=-x2的图像
2、二次函数y=ax2的图象与性质
y=ax2顶点对称轴开口图象左侧右侧
x y x y a＞0
a＜0
()()
222
12
m m
y m x m x
-+
=-+-。
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质(教案)
在实践活动和小组讨论环节，我发现同学们的参与度很高，但个别小组在讨论过程中出现了偏离主题的现象。针对这一问题，我将在接下来的教学中加强对讨论过程的引导，确保同学们能够围绕主题展开讨论，提高讨论效率。
此外，在课堂总结环节，我觉得自己可以更加注重对知识点的梳理和归纳，帮助同学们构建知识体系。同时，对于同学们的疑问和困惑，我应该鼓励他们在课堂上大胆提出，及时解答，以便他们更好地掌握所学知识。
最后，我认识到教学过程中要关注学生的个体差异，因材施教。对于学习困难的同学，我需要给予更多的关心和指导，帮助他们克服困难，提高学习效果。
-二次函数图象的对称性在实际问题中的应用：如何将对称性应用于求解实际问题，如物体的最远点、最近点等。
-函数最值的理解和应用：学生需要理解何时函数取得最值，并能够将其应用于解决最大/最小值问Байду номын сангаас。
例：难点突破方法包括使用图形计算器或动态软件展示二次函数图象的变化，通过具体例子（如抛物线与坐标轴的交点问题）来说明对称性的应用，以及通过实际情境（如抛物线形状的拱桥问题）来解释最值的含义。
22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版数学八年级下册第22章“二次函数”，具体教学内容为22.1.2节：“二次函数y=ax^2的图象和性质”。课程主要包括以下内容：
1.二次函数y=ax^2的图象特点：a>0和a<0时，函数图象的开口方向及顶点位置。
教师如何利用二次函数y=ax2的图象和性质教案进行有效教学
教师如何利用二次函数y=ax2的图象和性质教案进行有效教学。
一、二次函数 y=ax^2 的图象我们需要对二次函数 y=ax^2 的图象进行详细介绍。
二次函数y=ax^2 的图象为开口朝上或开口朝下的抛物线。
其中，当 a>0 时，抛物线开口朝上；当 a<0 时，抛物线开口朝下。
教师可以通过绘制二次函数 y=ax^2 的图象的方式来让学生更好地理解抛物线的性质。
此外，教师可以通过改变二次函数 y=ax^2 的参数 a 的值来观察抛物线的变化，从而使学生更好地掌握抛物线的一般形态。
这个部分的讲解最好和计算机演示结合起来，让学生在程序的操作中学习图象。
二、二次函数 y=ax^2 的性质我们需要讲解二次函数 y=ax^2 的性质，包括函数的对称轴、顶点、零点等。
1.函数的对称轴二次函数 y=ax^2 的对称轴为 x=0，教师可以通过绘制函数图象的方式来让学生更好地理解对称轴的概念。
2.函数的顶点当 a>0 时，二次函数 y=ax^2 的顶点坐标为 (0,0)；当 a<0 时，二次函数 y=ax^2 的顶点坐标为 (0,-a/2)。
教师可以通过画出抛物线和顶点之间的连线来帮助学生更好地理解顶点的概念，并通过改变二次函数 y=ax^2 的参数 a 的值来观察顶点的位置变化。
3.函数的零点二次函数 y=ax^2 的零点可以通过解一元二次方程得到，其公式为 x = (-b±√(b^2-4ac))/2a。
教师可以将这个公式及其推导过程详细讲解一遍，并通过练习题来帮助学生更好地理解这一概念。
三、教师如何利用二次函数 y=ax^2 的图象和性质进行有效教学在教学过程中，教师可以利用二次函数 y=ax^2 的图象和性质进行有效教学。
具体方法如下：1.通过生动形象的讲解和演示教师可以通过绘制二次函数 y=ax^2 的图象的方式来让学生更好地理解抛物线的性质，让学生在计算机演示的操作中学习图象，这样可以使学生更容易掌握抛物线的一般形态。
《二次函数y=ax2的图象和性质》优秀教学设计
二次函数y=ax2的图象与性质一、教学目标(一)知识与能力1.会用描点法画出二次函数y=ax2函数的图象。
2.结合y=ax2图象初步理解抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，及y随x的变化情况。
(二)过程与方法学生尝试去发现二次函数的图象特点，学会由具体到抽象，由特殊到一般地探索事物规律的方法。
(三)情感、态度与价值观培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
二、教学重点、难点教学重点：1.通过列表、描点、连线画函数y=ax2图象.2.通过图象初步理解二次函数性质。
教学难点：结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及根本性质，并归纳总结出来。
三、教学过程1、创设情景引入新课〔多媒体展示〕(1)、一次函数的图象是什么形状?〔一条直线〕(2)、画函数图象的根本方法与步骤是什么?(3)、前面我们已经学习了二次函数，那二次函数的一般式怎么表示？函数的图象是研究函数的主要方法之一，因此，我们这节课就先研究最简单的二次函数y=ax2的图象与性质。
2、活动1 做一做〔多媒体展示〕例1、在同一直角坐标系中，画出以下函数的图象。
1、y=x22、 y=-x2〔每个同学观察所画函数的图象，并与同桌所画函数的图像比照，发现有什么共同点？又有什么区别?〔让同学们展开讨论〕在学生画函数图象的同时，教师可巡视指导，点出学生之缺乏。
讲评时，可以通过学生讨论、交流。
让学生发表不同的意见，达成共识。
〔用幻灯片显示在同一坐标系下的两个函数图象〕这两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。
3、活动二归纳、概括分组画函数y ＝ x 2、y=- x 2、y=2x 2、y=-2x 2的图象，由函数y ＝x 2、y=-x 2、y ＝2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点，总结函数y=ax 2的一般性质：函数y=ax 2(a≠0)的图象是一条抛物线。
二次函数y=ax^2的图象与性质优秀教案
二次函数y=ax2的图象与性质【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）教学知识点1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。
2．猜想并能作出y=－x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同。
（二）能力训练要求1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维。
（三）情感与价值观要求1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质。
【教学重点】1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质。
2．能够作出二次函数y=－x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同。
【教学难点】经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
并把这种经验运用于研究二次函数y=－x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程。
【教学方法】探索——总结——运用法。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课师：我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征。
知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线。
上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数且a≠0），那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题。
二、新课讲解（一）作函数y＝x2的图象。
师：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数y＝x2。
〖2021年整理〗《二次函数y=ax^2的图象和性质》名师优秀教案
二次函数2ax y =的图象和性质一、教学目标 （一）学习目标1．会用描点法画出形如=a 2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数=a 2的图象特征和性质；3．在类比探究二次函数 =a 2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想． （二）学习重点会画二次函数=a²的图象，理解其图象特征和性质． （三）学习难点用描点法画二次函数=a 2的图象以及探索二次函数性质，体会数与形的相互联系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）二次函数=a 2 ，当a>0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向上；②原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当=0时，函数有最小值0；③图象是轴对称图形，对称轴是轴（直线=0）；在对称轴的左侧（即0时），抛物线从左到右上升，随的增大而增大（2）二次函数=a 2 ，当a0时），抛物线从左到右下降，随的增大而减小 2．预习自测26x y =，对称轴是________，顶点坐标________，当_______时，随的增大而增大，当_______时，随的增大而减小，当=______时，有最______值,为 ． 【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质 【解题过程】由二次函数2y ax =的图象和性质可得【思路点拨】牢记二次函数2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】上，轴，（，），＞，22x y -=2ax y =2y ax =2ax y =231x y =13y x =-22ax y =231x y =231x y -=2ax y =2ax y -=72-=m mx y m 2ax y =272m -=3m =±3m =-2ax y =3m =-c bx ax y ++=20时，直线通过一、三象限，随的增大而增大；当2ax y =2x y =xy2x y =y x =20呢？（5）当取什么值时,的值最小最小值是什么？你是如何知道的？ 特点：1图象是一条抛物线，开口向上；（2）原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当=0时，函数有最小值0；（3）图象是轴对称图形，对称轴是轴（直线=0）；在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，随的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，随的增大而增大探究二 二次函数2ax y =的图象及性质 重点、难点知识★▲ ●活动① 自主探究 1.画出函数22x y =，221x y =的图象： （1）列表： -2 -1 0 1 2 =2² 8 20 28 =122212122（2）在平面直角坐标系中描点：（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数22x y =，221x y =的图象 =2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫这条抛物线关于轴对称,轴就是它对称轴与抛物 线的交点叫做抛物线=2在轴的上方除顶点外,顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当=0在对称轴的左侧时,随着的增大而减小在对称轴的右侧时, 随着的2.思考归纳 函数 22x y =，221x y =的图象与函数2x y =的图象相比，有什么共同点和不同点？学生讨论后回答，教师点拨相同点：图象都是抛物线，都开口向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 轴，当=0时，的最小值是0；在对称轴左侧，随的增大而减小，在对称轴右侧，随的增大而增大 不同点：a （a ＞0）越大，抛物线的开口越小．猜想：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？ ●活动② 类比探究1.画出函数2x y -= ，22x y -=，221x y -=的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．相同点：图象都是抛物线，都开口向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 轴，当=0时，的最大值是0；在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小。
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22.1.2 二次函数2
的图象和性质
y ax
教学目标
1．知识与技能
能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质
2．过程与方法
经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.
3．情感、态度与价值观
在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．
教学重点难点
1．重点
函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．
2．难点
用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．
教与学互动设计
（一）创设情境导入新课
导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？
导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？
导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？
（二）合作交流解读探究
1．函数y=ax2的图象画法及相关名称
【探究l】画y=x2的图象
学生动手实践、尝试画y=x2的图象
教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线
教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.
【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：
①形状是开口向上的抛物线
②图象关于y轴对称
③由最低点，没有最高点.
结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.
2．函数y=ax2的图象特征及其性质
【探究2】在同一坐标系中，画出y=1
2
x2，y=2x2的图象.
学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示
范性地画出两函数的图象.如图22-1-2
比较图中三个抛物线的异同.
相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.
②对称轴相同，都为y轴
③开口方向相同，它们的开口方向都向上.
不同点：开口大小不同.
【练一练】画函数y=-x2，y=-1
2
x2，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实
施过程）
比较函数y=-x2，y=-1
2
x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.
相同点：①形状都是抛物线.
②顶点相同，其坐标都为（0，0）.
③对称轴相同，都为y轴
图22-1-1 图22-1-2
④开口方向相同，它们的开口方向都向下.
不同点：开口大小不同.
【归纳】y=ax2的图象特征：
(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线
(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.
(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小
（三）应用迁移巩固提高
类型之一如何画好二次函数的图象
【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免.
【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性
．．．的对应值即可.
【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.
例1 下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.
解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.
图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.
图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性. 修改见图丙中虚线.
【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.
类型之二 函数y=ax 2的图象特征的应用
例2（1）填空：函数2(2)y x =-的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 .
（2）函数y=x 2，y=212
x ，y=-2x 2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.
解：（1）2(2)y x =-可化为y=2x 2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴，开口方向向上.
【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.
(2)根据抛物线y=ax 2中，a 的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x 2，中间的为y=12
x 2，x 轴下方的为y=-2x 2 【点评】抛物线y=ax 2中a>0时，开口向上.a<0时，开口向下.|a|越大，开口越小.
（四）总结反思 拓展升华
【总结】
1.本节所学知识：①二次函数y=ax 2的图象的画法.②二次函数y=ax 2的图象特征及其性质.
2.本节所用的方法：实践比较法
【反思】函数y=ax 2与y=-ax 2的图象之间有何关系？（它们关于x 轴对称）
【拓展】
已知函数y=ax 2经过(1,2).
（1）求a 的值.
（2）当x<0时，y 的值随x 的增大而变化的情况
解：(1)将x=1，y=2代入y=ax 2中，得2=a ×12 ∴a=2.
(2)根据函数y=2x 2知x<0时y 随x 的增大而减小.
【点评】①通常用待定系数法函数y=ax 2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x ，y 的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x<0时，x 的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y 的值越来越小，即y 随x 的增大而减小..
（五）当堂检测反馈
1. 抛物线y=4x 2中的开口方向是 向上 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y 轴 .抛物线y=-
14
x 2的开口方向是 向下 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y 轴 .
2. 二次函数y=ax 2与y=2x 2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= 2 .
【分析】a 与-2互为相反数 3. 在同一坐标系中：①y=212
x ，②y=-x 2，③y=2x 2这三个函数图象开口最大的是 ①212
y x ，最小的是③y=2x 2，开口向下的是②y=-x 2. 解： ∵|12
|<|-1|<|2|,∴抛物线①的开口最大，抛物线③开口最小. ∵函数y=-x 2中，二次项系数为-1<0.∴此函数图象的开口向下.
4. 二次函数y=2x 2， y=-2x 2 ，y=212
x 的图象共同点是①顶点相同，都是原点（0，0）；②对称轴相同，都是y 轴.
5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y 随x 的变化情况.
解：设此抛物线的解析式为y=ax 2, ∵此抛物线过点（-3，2），
∴2=a ·(-3)2,即a=
29,.∴y=29x 2, ∴当x>0时，y 随x 的增大而增大.。