高等代数第二章2.1

例2．求 n 级排列 135⋯ (2n − 1)(2n)(2n − 2)⋯ 42 ． 的逆序数. 的逆序数.
方法一
解：135⋯ (2n − 1)(2n)(2n − 2)⋯ 42
12
n−1
n−1
1
τ = 1 + 2 + ⋯ + (n − 1) + (n − 1) + ⋯ + 2 + 1 = n(n − 1)
s 偶排列，下证． 偶排列，下证． = t 个奇排列的前两个数对换， 将 s 个奇排列的前两个数对换，则这 s 个奇排列 全变成偶排列，并且它们彼此不同， 全变成偶排列，并且它们彼此不同，∴ s ≤ t .
同理， 个偶排列的前两个数对换， 同理，将 t 个偶排列的前两个数对换，则这 t 个 偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同， 偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，∴ t ≤ s . n! 故 s=t= . 2
注：
称为标准排列 其逆序数为０ 标准排列， ① 排列 123 ⋯ n 称为标准排列，其逆序数为０． ② 排列 j1 j2 ⋯ jn 的逆序数常记为 τ ( j1 j2 ⋯ jn ). ③ τ ( j1 j2 ⋯ jn ) = j1 后面比 j 1小的数的个数
方法一
+ j2 后面比 j2 小的数的个数 + ⋯ + jn−1 后面比 jn−1 小的数的个数. 小的数的个数
a11 a12 若记 a11a22 − a12a21 = a a = D , 21 22
b1 a12 b1a22 − a12b2 = = D1 , b2 a22 a11 b1 a11b2 − b1a21 = = D2 , a21 b2
则当 D ≠ 0 时该方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = . D
二、逆序
逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列中，如果一对数的前后位置 在一个排列中，
与标准次序相反，即前面的数大于后面的数， 与标准次序相反，即前面的数大于后面的数， 则称这对数为一个逆序 逆序； 则称这对数为一个逆序； 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数． 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数． 总数称为这个排列的逆序数
思考题
如果排列 x1 x2 ⋯ xn−1 xn 的逆序数为 k ，则排列
xn xn−1 ⋯ x2 x1 的逆序数是多少？ 的逆序数是多少？
方法二
为奇数时为奇排列. 当 k 为奇数时为奇排列
四 、对换
定义 把一个排列中某两个数的位置互换，而 把一个排列中某两个数的位置互换，
其余的数不动，得到另一个排列， 其余的数不动，得到另一个排列，这一变换 称为一个对换． 称为一个对换． 对换 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 相邻对换
2．在三元一次线形方程组求解时有类似结果 ．
即有方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 a11 a12 a13 当 D = a21 a22 a23 ≠ 0 时，有唯一解 a31 a32 a33
定理2 定理
任意一个排列与标准排列 123⋯ n 都可经过 一系列对换互换， 一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个 排列的奇偶性相同． 排列的奇偶性相同． 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 证明 由定理 知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列（逆序数为 ） 变化次数 而标准排列是偶排列（逆序数为0）, 因此知结论成立. 因此知结论成立
除 a , b 外，其它元素所成逆序不改变. 其它元素所成逆序不改变
当 a < b 时， 的逆序增加1个 经对换后 a 的逆序增加 个 , 当 a > b 时， 所成逆序不变; b 所成逆序不变
b 的逆序减少1个 经对换后 a 所成逆序不变 ， 的逆序减少 个.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 2) 一般情形
2m + 1次相邻对换
a1 ⋯al bb1 ⋯bm ac1 ⋯cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换， 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 奇偶性
推论
n! 级排列中， 偶排列各半， 所有 n 级排列中，奇、偶排列各半， 均为 个. 2
阶排列中， 个奇排列， 证明 设在全部 n 阶排列中，有 s 个奇排列， t 个
3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的 ．自然科学与工程技术中， 个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组 如 元一次线性方程组 个数很多的线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = b2 , ⋯⋯⋯ a x + a x + ⋯ + a x = b . n2 2 nn n n n1 1
一、排列 二、逆序 逆序数 三、奇排列 偶排列 四、对换
一、排列
定义
由1，2，…，n 组成的一个有序数组 ， ， 排列． 称为一个 n 级排列．
注： 所有不同 n 级排列的总数是
n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ ⋯ ( n − 1) n = Pn
如，所有的3级排列是 所有的 级排列是 123，132，213，231，312，321． ， ， ， ， ， ． ——共6=3！个. 共 ！ 阶乘) ( n 阶乘
设排列为 a1 ⋯ a l a b1 ⋯ bm bc1 ⋯ c n 现来对换 a 与 b .
a1 ⋯al a b1 ⋯bm b c1 ⋯cn
m 次相邻对换
a1 ⋯ al ab b1 ⋯ bmc1 ⋯cn ab
m + 1 次相邻对换 a ⋯a b b ⋯b a c ⋯c 1 l 1 m a 1 n
∴ a1 ⋯ a l a b1 ⋯ bm b c1 ⋯ c n
答案: 答案
方法一
n(n − 1) (1) τ = (n − 1) + (n − 2) + ⋯ + 2 + 1 = 2 时为偶排列； 当 n = 4k , 4k + 1 时为偶排列；
时为奇排列. 当 n = 4k + 2, 4k + 3 时为奇排列
τ （2） = 1 + 2 + ⋯ + n + ( n − 1) + ( n − 2) + ⋯ + 2 + 1 ） n( n + 1) n( n − 1) = + = n2 2 2 为偶数时为偶排列， 当 k 为偶数时为偶排列，
它的解是否也有类似的结论呢？ 它的解是否也有类似的结论呢？
(∗)
为此，本章依次解决如下问题： 为此，本章依次解决如下问题： 怎样定义n级行列式 级行列式？ 1）怎样定义 级行列式？ 级行列式的性质与计算？ 2）n级行列式的性质与计算？ 级行列式的性质与计算 方程组( 在什么情况下有解？ 3）方程组(＊)在什么情况下有解？ 有解的情况下，如何表示此解？ 有解的情况下，如何表示此解？
(1) (2)
(1) × a22 : (2) × a12 :
a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 , a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地， 类似地，消去 x1，得
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = D
其中
b1 a12 a13 D1 = b2 a22 a23 , b3 a32 a33 a11 b1 a13 D2 = a21 b2 a23 , a31 b3 a33 a11 a12 b1 D3 = a21 a22 b2 . a31 a32 b3
第二章 行列式
§1 引言 §2 排列 §3 n 级行列式 §4 n 级行列式的性质 §5 行列式的计算 §6 行列式按行(列)展开 行列式按行( §7 Cramer法则 Cramer法则 §8 Laplace定理 Laplace定理 行列式乘法法则
§1 引言
1．用消元法解二元线性方程组 ．
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
τ ( j1 j2 ⋯ jn ) = j2 前面比 j 2大的数的个数 方法二 或
+ j3 前面比 j3 大的数的个数 + jn 前面比 jn 大的数的个数． 大的数的个数．
+⋯
例1．排列 31542 中，逆序有 ． 31， 32， 54， 52， 42 ， ， ， ，
∴ τ (31542) = 5
（a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 原方程组有唯一解
bwenku.baidu.coma22 − a12b2 x1 = , a11a22 − a12a21 b2a11 − a21b1 x2 = . a11a22 − a12a21
由方程组的四个系数确定
奇排列、 三 、奇排列、偶排列
逆序数为奇数的排列称为奇排列 奇排列； 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列． 逆序数为偶数的排列称为偶排列． 偶排列
注： 标准排列 123 ⋯ n 为偶排列． 为偶排列．
求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性． 练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性． （1） n( n − 1)⋯ 321 ） （2） (2n)1(2n − 1)2(2n − 2)3⋯ ( n + 1)n ）
定理1 定理
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 特殊情形： 设排列为
a1 ⋯al ab b1 ⋯bm ab
对换 a 与 b
a1 ⋯al ba b1 ⋯bm