线性代数讲义1_矩阵与行列式精品文档78页
线性代数讲义正式版
目录 第一章 行列式........................................................................................................................................ 1
第一节：基本概念.......................................................................................................................... 1 第二节：行列式的基本性质与计算.............................................................................................. 1 第三节：典型例题精讲.................................................................................................................. 2 第二章 矩阵.......................................................................................................................................... 5 第一节：基本概念.......................................................................................................................... 5 第二节：几种特殊矩阵.................................................................................................................. 5 第三节：矩阵基本运算与公式性质.............................................................................................. 6 第四节：初等变换与初等矩阵...................................................................................................... 8 第五节：求逆矩阵........................................................................................................................ 10 第六节：矩阵的秩........................................................................................................................ 12 第七节：矩阵的性质.................................................................................................................... 13 第三章 向量........................................................................................................................................ 18 第一节：基本概念........................................................................................................................ 18 第二节：向量组的性质................................................................................................................ 19 第三节：向量组的秩与向量组等价............................................................................................ 23 第四章 线性方程组............................................................................................................................ 26 第一节：基本概念........................................................................................................................ 26 第二节：基本结论........................................................................................................................ 26 第三节：线性方程组解的结构.................................................................................................... 27 第四节：具体线性方程组的通解的求法.................................................................................... 28
线性代数讲义(基础版)
1 2 3 1
2 0 2 1 a2
4 2 0 2 a3 a3 a3 − x a3 a4 a4 a4 a4 − x
a1 − x
例2 求 D=
a2 − x a2 a2
a0 1
例3 求 Dn +1 = 1
1 a1
1 a2
1 (ai ≠ 0) an
1
a1 + x a2 a3 a4 0 0 x −x 例 3 求 D4 = 0 −x x 0 0 0 −x x a1
n
6
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
7
例1． 设
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
， 求A
n
例2． 设
⎛3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 0⎟ ， ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
求 A
n
例3． 设
α = (1 2 3)T β = αT β
，
线性代数基础班 09
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1
第四篇：线性代数
第一章 行列式
考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2． 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
一、内容提要
1．行列式的定义
n 2 个数 ai j (i, j = 1,2,
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2
练习 求 Dn =
b1 a2
b2 an −1 bn −1
bn
an
1
练习
−1 −1 x −1 −1
1 x +1 1 1
x −1 −1 −1 −1
3
1 1 x +1
线性代数矩阵第2节行列式-PPT精选文档
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
a11 a21 … a n1
a11 a21 =k … a n1
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
n1阶行列式
(Laplace Expansion of Determinants)
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 n ( 1) (1) 设A为n阶方阵, 则det(A) = ____ det(A). (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y
线性代数讲义1矩阵与行列式
逆矩阵的求法
01
02
03
高斯-约旦消元法
通过行变换将矩阵变为行 阶梯形，然后回代求解。
伴随矩阵法
先求出矩阵的伴随矩阵， 然后利用公式$A^{-1} = frac{1}{|A|} * adj(A)$求出 逆矩阵。
分解法
将矩阵分解为若干个简单 的矩阵的乘积，然后利用 这些简单的矩阵求逆，最 后再求出原矩阵的逆。
CHAPTER
高斯消元法的原理与步骤
高斯消元法的原理是通过一系列行变 换将增广矩阵转换为上三角矩阵，从 而求解线性方程组。
步骤包括：将增广矩阵的系数矩阵进 行初等行变换，将其化为行阶梯形矩 阵，然后继续进行行变换，将其化为 上三角矩阵，最后求解未知数。
高斯消元法的应用场景
解决线性方程组
高斯消元法是解决线性方程组的 一种常用方法，适用于系数矩阵 为方阵且系数矩阵可逆的情况。
数。
01
1. r(A) ≤ min(m, n)， 其中m和n分别是矩阵A
的行数和列数。
03
3. r(A) = r(AA^T)，即 矩阵的秩等于其与自身 转置相乘后的矩阵的秩。
05
性质：矩阵的秩是唯一 的，且满足以下性质
02
2. r(A) = r(A^T)，即矩 阵的秩等于其转置矩阵
的秩。
04
秩的计算方法与性质
高斯消元法的优缺点分析
优点
高斯消元法是一种稳定可靠的方法，能够得到线性方程组的精确解。它具有较高的数值 稳定性，适用于大规模问题。此外，高斯消元法还可以用于求解特征值和特征向量等问
题。
缺点
高斯消元法需要手动操作，对于大规模问题需要消耗大量的计算资源和时间。同时，对 于病态问题或者系数矩阵接近奇异的情况，高斯消元法可能会失去数值稳定性，导致求
线性代数基础讲义
2015考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式一．基本内容1．排列与逆序定义 ：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 称为一个 n 级排列。
定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。
对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数，记作。
2. 行列式的定义个数 （ ）排成的行列的方形表称为一个n 阶行列式。
它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。
3.行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式划去元素 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为 的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式。
5.行列式的展开（1）展开定理（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。
二.基本结论（1）（2）12,,n i i i 12,,n i i i ()12,,n i i i τ2n ij a ,1,2,,i j n =⋅⋅⋅1212121112121222(,,,)12,,,12(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ij a ij a ij M (1)i j ij ij A M +=-ij a 1122i i i i in in D a A a A a A =++1,2,,i n =1122j j j j nj nj a A a A a A =++1,2,,j n =11220k i k i kn in a A a A a A ++=k i≠11220k i k i nk ni a A a A a A ++=k i ≠1122nn a a a =11112222******nn nn a a a a a a ==1112(1)2(1)2(1)111******n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---===三. 基本题型与基本方法题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）例方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算一. 基本内容1．矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5）对称矩阵、反对称矩阵：2．矩阵的运算1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1）乘法法则：（2）运算律：3）方阵的运算（1）方阵的幂及其运算律：（2）方阵的行列式4）转置：性质5）伴随矩阵性质：二、基本结论1．伴随矩阵的相关结论2．分块矩阵的逆 4124120233200112D =0111111n n a a D a +=12344000000a x a a a x x D x x x x +-=--()111212122212n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ⨯⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪== ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭第二节 可逆矩阵一、基本内容1．可逆的定义：2．阶矩阵可逆的充要条件：3．性质：二、基本题型与基本方法题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n 阶矩阵满足 求第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容1．初等变换的定义：2．初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4．矩阵等价1）定义：2）性质：5．矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
线性代数讲义(第一章)
an1 an2 ann
解 展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann
1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
《线性代数》部分讲义（Word版）
《线性代数》部分讲义（Word版）GCT 线性代数辅导第一讲行列式一. 行列式的定义● 一阶行列式定义为1111a a =● 二阶行列式定义为2112221122211211a a a a a a a a -=● 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行第j 列，剩余元素构成1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ．● 令ij j i ij M A +-=)1(，称ij A 为ij a 的代数余子式．●n 阶行列式定义为n n nnn n nn A a A a A a a a a a a a a a a 1112121111212222111211+++=．二. 行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 332313322212312111a a a a a a a a a 2.行列式中两行对换，其值变号．=333231232221131211a a a a a a a a a –333231131211232221a a a a a a a a a 3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．=333231232221131211a a a ka ka ka a a a 333231232221131211a a a a a a a a a k4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．=+++333231232322222121131211a a a b a b a b a a a a +333231232221131211a a a a a a a a a 333231232221131211a a a b b b a a a 由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为０．6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．8.行列式中某行元素的k 倍加到另一行，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 133312321131232221131211ka a ka a ka a a a a a a a +++三.n 阶行列式展开性质nnn n nn a a a a a a a a a D212222111211= 等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 n i ,,2,1 = ● 按列展开定理nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 n j ,,2,1 =●n 阶行列式D 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即02211=+++jn in j i j i A a A a A a j i ≠ ● 按列展开的性质02211=+++nj ni j i j i A a A a A a j i ≠四.特殊行列式●nn nna a a a a a22112211=;()11212)1(11211n n n n n n n na a a a a a ----=● 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式● 消零降阶法.● 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）..典型习题1. =3D xx x 121332=（）。
线性代数 课件-PPT精品文档
16
线性代数
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• 1.4
• 从行列式的定义看，一般低阶行列式的计 算比高阶行列式的计算简便.
• 定义2 在n阶行列式D=Δ(aij)中，把元素aij 所在的第i行和第j列划去，剩下元素按原来 的相对位置不变形成的一个n-1阶行列式， 17
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• 称之为D中元素aij的余子式，记为Mij；称 Aij=(-1)i+jMij为aij的代数余子式.
28
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• 2.2.3 矩阵的乘法 • 定义4 设A=(ai k)m×s,B=(bk j)s×n,则称C=(cij)m×n
为矩阵A与B的乘积,记为C=AB,
29
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• 2.2.4
• 定义5 把矩阵A的行列依次互换得到的新 矩阵称为A的转置矩阵，记为AT.
30
• 性质1 向量组线性无关的充分必要条件是 向量组所含向量的个数等于其秩.
• 性质2 设向量组A的秩为r1，向量组B的秩 为r2，如果A组能由B组线性表示，则r1≤r2.
• 性质3 等价的向量组有相同的秩.
57
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• 证 设矩阵
• 3.4
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58
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• 定理8 正交向量组一定线性无关.
36
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• 这里k≤min(m，n)，共有CkmCkn个k阶子式. • 定义9 如果矩阵A有一个不等于零的r阶子
式D，并且所有r+1阶子式(如果有)全等于零， 则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为矩 阵A的秩，记为R(A)=r，并规定零矩阵的秩 等于零.
线性代数-行列式(完整版)
思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
x1x2…xn中取两数的方法共有
C 2 n! n(n 1)
n 2!(n 2)!
2
故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为
(iii)项数为 3！=6
24
“-” 321 213 132 （奇排列）
a11 a12 a13
0
123
2
231
2
312
a21 a22 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
n(n 1) 2
依题意，有
此即
22
N (xn xn1
x1)
n(n 1) 2
I.
方法2
n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列
x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构
成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和
为
li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
a11a22 a12a21
数a（ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横排称为行，竖 排 称 为 列,
aij中i称 为 行 标, j称 为 列 标, aij 表示第i行第j列元素,
左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线，
大学课件 行列式和矩阵共68页文档
划去第一行、第一列元素后剩下的二行二列构成
的二阶行列式，称之为 a11 的余子式
同理（8.3）式的第 2、3 个二阶行列式为 M12 和M13。 因此（8.3）式又可记作
D a 1 1 M 1 1 a 1 2 M 1 2 a 1 3 M 1 3
记 Aij 1i j Mij 为元素 aij 的代数余子式，则
大学课件 行列式和矩阵
服从真理，就能征服一切事物
第八章 行列式与矩阵
第一节行列式 第二节矩阵的概念及运算 第三节逆矩阵与初等变换 第四节线性方程组
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2
第一节 行列式
二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式 行列式的性质 元线性方程组的行列式解法
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即 a11 a12 a13
= a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32
a31 a32 a33
（8.2）
将（8.2）式右端展开式分别提取公因式 a11,a12,a13 ，则得
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a 1 1 ( a 2 2 a 3 3 a 2 3 a 3 2 a ) a 1 2 ( a 2 1 a 3 3 a 2 3 a 3 1 ) a 1 3 ( a 2 1 a 3 2 a 2 2 a 3 1 )
a31 a32 a33
a 1 1a a 3 2 2 2
a a 3 2 3 3 a 1 2a a 3 2 1 1
a a 3 2 3 3 a 1 3a a 3 2 1 1
a 2 2 a 3 2
(8.3)
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1. 矩阵与行列式
第四章 矩阵 · 行列式 · 线性方程组本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分.在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外，还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介绍含n 个未知量的n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构.最后对整系数线性方程组和线性不等式组也作了扼要说明.§1 矩阵与行列式一、 矩阵及其秩[矩阵与方阵] 数域（第三章，§ 1）F 上的m ×n 个数a ij (i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n )按确定的位置排成的矩形阵列，称为m ×n 矩阵.记作A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a (212222111211)其中横的一排叫做行，竖的一排叫做列，a ij 称为矩阵的第i 行第j 列的元素，矩阵A 简记为(a ij )或(a ij )m ⨯n .n ×n 矩阵也称为n 阶方阵，a 11，a 12，…，a nn 称为矩阵A 的主对角线的元素. 行数m 与列数n 都是有限的矩阵，称为有限矩阵.否则称为无限矩阵.[矢量的线性相关与线性无关]对于n 维空间的一组矢量x 1，x 2，…，x m ，若数域F 中有一组不全为零的数k i (i =1，2，…，m )，使k 1x 1+k 2x 2+…+k m x m =0成立，则称这组矢量在F 上线性相关，否则称这组矢量在F 上线性无关.矢量组的线性相关性的讨论： 1° 矢量组x 1，x 2，…，x m 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个矢量x i 可用其他矢量的线性组合来表示，即j mj j i x a x ∑≤≤=12° 包含零矢量的矢量组一定线性相关. 3° 矢量组x 1，x 2，…，x m 中，若有两个矢量相等：x i =x j (i ≠j ),则该矢量组线性相关. 4° 若矢量组x 1，x 2，…，x r 线性相关，则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关；若矢量组x 1，x 2，…，x m 线性无关，则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关.5° 若x 1，x 2，…，x r 线性无关，而x 1，x 2，…，x r +1线性相关，则x r +1可以表示为x 1，x 2，…，x r 的线性组合.[行矢量与列矢量 · 矩阵的秩] 由矩阵任一行的元素构成的n 维矢量称为行矢量，记为a i =(a i 1,a i 2,...,a in ) (i =1,2,...,m )由矩阵任一列的元素构成的m 维矢量称为列矢量，记为τ),,,(2121mj j j mj jj j a a a a a a a =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= (j =1,2,...,n )式中τ表示转置，即行（列）转换为列（行）.若矩阵A 的n 个列矢量中有r 个线性无关（r ≤n ），而所有个数大于r 的列矢量组都线性相关，则称数r 为矩阵A 的列秩.类似可定义矩阵A 的行秩.矩阵A 的列秩与行秩一定相等，它也称为矩阵的秩，记作rank A =r . 矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式（见本节，二）的最大阶数.二、行列式1. 行列式及其拉普拉斯展开定理 [n 阶行列式] 设nnn n n n a a a a a a a a a D ......... (2)12222111211=是由排成n 阶方阵形式的n 2个数a ij (i ,j =1,2,...,n )确定的一个数，其值为n ！项之和n nk k k k a a a D ...)1(2121∑-=式中k 1,k 2,...,k n 是将序列1,2,...,n 的元素次序交换k 次所得到的一个序列，Σ号表示对k 1,k 2,...,k n 取遍1,2,...,n 的一切排列求和，那末数D 称为n 阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4！个形为43214321)1(k k k k k a a a a -的项的和，而其中a 13a 21a 34a 42相应于k =3,即该项前端的符号应为 (－1)3.若n 阶方阵A =（a ij ）,则A 相应的行列式D 记作D =|A |=det A =det(a ij )若矩阵A 相应的行列式D =0，称A 为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵. [标号集] 序列1,2,...,n 中任取k 个元素i 1,i 2,...,i k 满足1≤i 1<i 2<...<i k ≤n (1)i 1,i 2,...,i k 构成{1,2,...,n }的一个具有k 个元素的子列，{1,2,...,n }的具有k 个元素的满足(1)的子列的全体记作C (n ,k ),显然C (n ,k )共有k n C 个子列.因此C (n ,k )是一个具有kn C 个元素的标号集（参见第二十一章，§1，二），C (n ,k )的元素记作σ,τ,..., σ∈C (n ,k )表示σ={i 1,i 2,...,i k }是{1,2,...,n }的满足(1)的一个子列.若令τ={j 1,j 2,...,j k }∈C (n ,k ),则σ=τ表示i 1=j 1,i 2=j 2,...,i k =j k . [子式 · 主子式 · 余子式 ·代数余子式] 从n 阶行列式D 中任取k 行与k 列（1≤k ≤n －1）,由这k 行与k 列交点处的元素构成的k 阶行列式称为行列式D 的k 阶子式，记作στM , σ,τ∈C (n ,k ) 如果所选取的k 行k 列分别是第i 1,i 2,...,i k 行与第i 1,i 2,...,i k 列，则所得到的k 阶子式称为主子式.即当σ=τ∈C (n ,k )时，στM 是主子式.从行列式D 中划去k 行（σ）与k 列（τ）后得到的n －k 阶行列式称为子式στM 的余子式，记作στM '.如果σ={ i 1,i 2,...,i k }，τ={ j 1,j 2,...,j k }，则称∑∑-===+kl lkl l j i A 11)1(στστM ' 为子式στM 的代数余子式.特别，当k =1时，σ={i }，τ={j },子式στM 就是一个元素a ij , a ij 的余子式记作ij M ，a ij 的代数余子式记作A ij ,即j i ij A +-=)1(ij M且有∑=⎩⎨⎧=nj kjij DA a 10)()(k i k i ≠= （2）或∑=⎩⎨⎧=ni ikij D A a 10)()(k j k j ≠= （3）[拉普拉斯展开定理] 在n 阶行列式D 中任取k 行（1≤k ≤n -1）,那末包含于所选定的这些行中的所有k 阶子式与它们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式D ，即对任意σ∈C (n ,k )，1≤k ≤n -1，∑∈=k)C(n,M τστστA D （4）式中∑表示对标号集C (n ,k )中的所有元素求和.拉普拉斯定理中是对行进行的，对列有类似结果=D ∑∈),(k n C A M σστστ（5）此外还有∑∈),(k n C A M τλτστ⎩⎨⎧=0D)()(λσλσ≠= （6） ∑∈),(k n C A M σσλστ⎩⎨⎧=0D)()(λτλτ≠= （7） 显然（2），（3）分别是（6），（7）的特例.[拉普拉斯恒等式] 设A =(a ij )m ⨯n ,B =(b ij ) m ⨯n (m ≥n ),又设l =n m C ,A 的所有n 阶子式为U 1，U 2，...，U l ，B 的相应的n 阶子式为V 1,V 2,...,V l ,则det(A τB )=∑=lk k k V U 12.行列式的性质 1° ⎪A 1A 2 A m ⎪=⎪A 1⎪⎪A 2⎪ ⎪A m ⎪ ⎪A m ⎪=⎪A ⎪m , ⎪kA ⎪=k n ⎪A ⎪式中A 1，A 2， ，A m 全为n 阶方阵，k 为任一复数. 2° 行与列互换后，行列式的值不变，即|τA |=|A |式中τA 表示A 的转置矩阵（见本章§2）.3° 互换行列式的任意两行（或列），行列式变号.例如nn n n n n a a a a a a a a a (1)22212211112=nnn n nn a a a a a a a a a (2122221)11211-4° 用数α乘行列式的一行（或列），等于将行列式乘以数α.例如nn n n n n a a a a a a a a a .....................212222111211ααα=αnnn n nn a a a a a a a a a (212222111211)5° 将行列式的一行（或列）元素乘以数α后加到另一行（或列）的相应元素上，行列式的值不变.例如nnn n n n n a a a a a a a a a a a a ...... (22122222)211121211ααα+++=nnn n nn a a a a a a a a a (2)12222111211 6° 若行列式中有一行（或列）全为零，则行列式等于零.若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零.若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零. 7° 若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式之和来表达.例如nn n n n n n a a b a a a b a a a b a .....................22222211211+++=nn n n n n a a a a a a a a a .....................222221121+nn n n nn a a b a a b a a b .....................222221121 3.几个特殊行列式 [对角行列式]nd d d 021=n ni i d d d d 211=∏=[三角形行列式]nnn n l l l l l l 021222111=∏=ni ii l 1[二阶行列式]12212211b a b a b a b a -=[三阶行列式]221133311233221333222111c b c b a c b c b a c b c b a c b a c b a c b a +-= =321c b a +132c b a +213c b a —231c b a —312c b a —123c b a记忆方法行列式的值，等于各实线上元素乘积之和减去各虚线上元素乘积之和.[四阶行列式]4444333322221111d c b a d c b a d c b a d c b a =4443332221d c b d c b d c b a -4443331112d c b d c b d c b a +4442221113d c b d c b d c b a -3332221114d c b d c b d c b a=44332211d c d c b a b a ⋅-44332211d b d b c a c a ⋅+44332211c b c b d a d a ⋅ +44332211d a d a c b c b ⋅-44332211c a c a d b d b ⋅+44332211b a b a d c d c ⋅注意，四阶和四阶以上的行列式不能采用三阶行列式那种记忆方法，应按拉普拉斯展开定理采用逐步降阶的方法展开. [范德蒙行列式]112112222121.....................1...11---n n n n n na a a a a a a a a =∏≤<≤-ni j j i a a 1)( 式中∏是对一切数对（i ,j ）（1≤j <i ≤n ）求积.[倒数对称行列式]121...21111...............21 (51413111)...4131211...31211-++++n n n n n n n =[])!12()!1(!)!1(!3!23-+-n n n n。
线性代数讲义-01行列式
第一章 行列式第一节 行列式的定义.一 排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列.按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列.定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数.在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n .定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列).例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列.定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换.定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性.证 如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变.考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性.如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数.例1.1 求排列32514的逆序数.解 按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++.例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半.证 将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等.二 行列式定义以前学过二阶与三阶行列式:2112221122211211a a a a a a a a -=;333231232221131211a a a a a a a a a 322113312312332211a a a a a a a a a ++=312213332112322311a a a a a a a a a ---. 为了将他们推广, 首先研究三阶行列式的结构. 行列式中的数ij a 称为它的元素. 其中元素321,,i i i a a a 组成行列式的第i 行, 元素j j j a a a 321,,组成行列式的第j 列, 元素332211,,a a a 组成行列式的主对角线. 每个元素有两个下标. 第一个是行标i , 表示该元素属于第i 行. 第二个是列标j , 表示该元素属于第j 列.在形式上, 三阶行列式是一个数表. 而实质是其元素的一个多项式. 这个多项式由六项组成, 每项包含三个元素的乘积. 这三个元素分别属于不同的行, 不同的列. 现在每一项中元素的行标组成标准排列, 则其列标恰组成所有的三阶排列. 而且, 如果列标排列是奇排列, 则前面是负号. 如果列标排列是偶排列, 则前面是正号. 于是, 可以将三阶行列式写作333231232221131211a a a a a a a a a ∑-=321321)1(p p p t a a a , 其中t 是列标排列321p p p 的逆序数, 求和遍及所有三阶排列.按照三阶行列式的结构进行推广, 得到n 阶行列式的定义. 定义1.4 称111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(为n 阶行列式, 其中t 是列标排列n p p p 21的逆序数, 而求和遍及所有n 阶排列.常将行列式简记作D . 如果需要明确行列式的阶, 则将n 阶行列式记作n D .一个n 阶行列式有!n 项. 当1>n 时, 其中正项与负项各占一半.与三阶行列式类似，n 阶行列式也是其元素的多项式. 因此, 如果行列式的元素都是数, 则行列式也是数. 如果行列式的元素是某些字母的多项式, 则行列式也是这些字母的多项式.注意 一阶行列式||11a 与数的绝对值的符号相同, 但意义不同. 作为行列式2|2|-=-,而作为数的绝对值2|2|=-. 因此必须用文字严格区分这两种不同对象.例1.3 求四阶行列式中包含元素23a 的所有负项.解 在四阶排列中, 数3在第二个位置的共有6个. 其中的奇排列为1324, 2341与4312. 于是, 四阶行列式中包含元素23a 的负项为44322311a a a a -, 41342312a a a a -, 42312314a a a a -.当n 较大时, n 阶行列式中的项很难一一列举. 不过, 如果一个行列式的许多元素等于0, 则不等于0的项数将大大减少.例1.4 求证：行列式1112122200n n nna a a a a a nn a a a 2211=.证 为了得到非零项, 在第n 行中只能取nn a . 此后不能再取第n 列的其他元素. 因此,在第1-n 行只能取1,1--n n a . 继续这个讨论可得: 行列式只有一个正项nn a a a 2211.在这个行列式中, 主对角线下面的元素都等于0, 称为上三角行列式. 类似定义下三角行列式, 且有相同结果.例1.5 求证: 行列式12,1100000n n n a a a -11,212/)1()1(n n n n n a a a ---=.证 仿照例1.4的推理, 这个行列式也只有一个非零项. 当该项的行标组成标准排列时, 它的列标排列为1)1( -n n . 逆序数为2/)1(1)2()1(-=++-+-n n n n .例1.6 求证：行列式000000044434241343332312111=a a a a a a a a a a .证 因为行列式的每一项需要在前两行取不同列的元素， 所以行列式的每一项都至少包含一个等于0的元素. 因此该行列式等于0.前面将行列式中每项的行标组成标准排列, 由列标排列的逆序数决定符号. 现在考虑列标组成标准排列时的情形.定理 1.2 行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n p p p s n a a a 2121)1(. 其中s 是行标排列n p p p 21的逆序数.证 行列式定义中的一般项为n np p p ta a a 2121)1(-. 对换它的两个元素, 该项中的元素乘积n np p p a a a 2121不变. 考虑该项前面的符号. 原来的符号是t)1(-, 其中t 是行标组成标准排列时, 列标排列的逆序数. 经过对换两个元素, 根据定理 1.1, 其行标排列与列标排列同时改变奇偶性. 然而, 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性. 继续这个过程, 使列标组成标准排列. 由于标准排列的逆序数等于0, 此时行标排列的奇偶性与原来列标排列的奇偶性相同. 即=-s)1(t)1(-.定理1.2说明行标排列与列标排列的地位是相同的. 从定理1.2的证明中还可以看到: 当行标排列与列标排列都不是标准排列时, 行列式的项的符号可以由行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定.习题1-11. 求下列九阶排列的逆序数，从而确定其奇偶性. (1) 135792468; (2) 219786354.2. 选择i 与k 使下列九阶排列(1) 9561274k i 为偶排列; (2) 4897251k i 为奇排列.3. 求证: 用对换将奇(偶)排列变成标准排列的对换次数为奇(偶)数.4. 已知排列n p p p 21的逆序数为k ，求排列11n n p p p - 的逆序数.5. 在六阶行列式中, 确定下列项的符号.(1) 233146521465a a a a a a ; (2) 256651144332a a a a a a . 6. 计算下列行列式.(1) 613322131; (2) 0551111115----. 7. 计算下列行列式.(1)00000012,11,11,2222111,11211n n n n n n a a a a a a a a a a ----; (2)nn 0000100200100-.8. 求证: 0000000052514241323125242322211514131211=a a a a a a a a a a a a a a a a . 9. 设一个n 阶行列式至少有12+-n n 个元素等于0，求证：这个行列式等于0.第二节 行列式的性质用行列式定义计算一般的高阶行列式非常困难. 而计算三角行列式特别简单. 本节研究行列式的性质, 以寻找简单的计算方法.定义1.5 将行列式D 的行列互换, 而不改变行与列的先后顺序(第一行变成第一列, 第二行变成第二列等等), 所得到的行列式称为原行列式的转置, 记作D '.例如, 行列式613322131的转置是631123321. 性质1.1 行列式的转置与原行列式相等. 即D D ='.证 设行列式D 的元素为ij a , 转置D '的元素为ij b , 则有ji ij a b =. 根据定理1.2, 有D '∑-=n np p p t b b b 2121)1(D a a a n p p p t n =-=∑ 2121)1(.注意 在行列式中, 行与列的地位是相同的. 因此, 对行列式的行成立的命题, 对列也同样成立.性质1.2 交换行列式的两行(列), 行列式改变符号.证 交换D 的第h 行与第k 行产生的新行列式记作hk D . 设hk D 的元素为ij b , 则有kj hj a b =, hj kj a b =,n j ,,2,1 =, 而hk D 的其他行的元素与D 相同. 设n 阶行列式D 的一般项为n k h np kp hp p ta a a a 11)1(-, 其中t 是列标排列n k h p p p p 1的逆序数. 在hk D 的定义中与上面D 的一般项具有相同元素的项为11(1)h k n s p kp hp np b b b b -= 11(1)k h n s p hp kp np b b b b - ,其中s 是列标排列n h k p p p p 1的逆序数. 根据定理 1.1, 这两个排列的奇偶性不同, 因此相应的两项符号相反. 因为hk D 与D 的具有相同元素的项符号都相反, 所以D D hk -=. 推论1.1 如果行列式D 中有两行的元素对应相等, 则0=D .证 设行列式D 的第h 行与第k 行相同, 交换这两行产生的行列式记作hk D , 则D D hk =. 然而根据性质1.2, 又有D D hk -=. 于是0=D .性质1.3 用数k 乘以行列式的一行的每个元素，相当于用k 乘以原行列式. 即有111111j n i ij in n njnn a a a ka ka ka a a a111111j ni ij in n nj nna a a a a a k a a a =. 证 设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a a aD 11)1(, 用数k 乘以其第i 行的每个元素产生的新行列式记作)(k D i , 根据定义, 有)(k D i ∑-=n i np ip p t a ka a )()1(11kD a a a k n i np ip p t =-=∑ 11)1(.这个性质可以看作提取行列式的一行(或一列)元素的公因数.推论1.2 如果行列式D 的某两行的元素对应成比例, 则0=D .证 设行列式第h 行的每个元素是第i 行的对应元素的k 倍, 提取第h 行元素的公因数k , 根据性质 1.3, 原行列式等于数k 乘以一个新行列式. 由于这个新行列式中有两行相同, 根据推论1.1, 有0=D .性质1.4 如果行列式的一行的每个元素都是两个数的和，则原行列式等于两个行列式的和. 即有1111111j n i i ij ij in in n njnna a abc b c b c a a a +++111111j n i ij in n nj nna a ab b b a a a =111111j n i ij in n nj nna a a c c c a a a +. 证 设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a b aD 111)1(,∑-=n i np ip p t a c a D 112)1(,其中只有第i 行不同. 将两个行列式的第i 行求和, 其他行不变产生的新行列式记作)(+i D ,根据行列式定义, 有)(+i D ∑+-=n i i np ip ip p t a c b a )()1(11∑-=n i np ip p t a b a 11)1(∑-+n i np ip p t a c a 11)1(21D D +=.可以将性质1.3看作行列式的数乘运算, 而将性质1.4看作行列式的加法. 行列式的加法与数乘都是对一行进行, 而不是对整个行列式. 此外, 性质 1.4可以推广为: 如果行列式的一行中所有元素都是k 个数的和, 则它等于k 个行列式的和.性质1.5 将行列式的某一行的每个元素加上另一行对应元素的k 倍, 行列式不变. 证 设n 阶行列式∑-=n h i np hp ip p ta a a aD 11)1(, 将第i 行的元素加上第h 行的对应元素的k 倍产生的新行列式记作)(k D ih , 根据性质1.4与推论1.2, 有)(k D ih ∑+-=n h h i np hp hp ip p t a a ka a a )()1(11∑-=n h i np hp ip p t a a a a 11)1(∑-+n h h np hp hp p t a a ka a )()1(11D a a a a n h i np hp ip p t =-=∑ 11)1(.例1.7 求证: 行列式h g i g ih e d f d fe b a c a cb +++++++++i h g f e dc b a 2=. 证 先用性质1.4将等式左边分成两个行列式, 再用性质1.5, 得h g i g i h e d f d f e b a c a c b +++++++++h g i g h e d f d e b a c a b ++++++=h g i g i e d f d fb ac a c +++++++ gi g hd fd e a c a b +++=hg gi e d d fb a ac ++++gihd fe a c b =hgie df b a c +ihgf e dc b a 2=. 例1.8 计算行列式4321651005311021.解 用性质1.5, 得43216510053110213300651015101021-=3300700015101021-=21700330015101021-=--=.注意 用性质将行列式变成三角行列式, 再用定义计算. 这种方法称为消元法.例1.9 计算行列式3111131111311113.解 先将下面各行加到第一行, 提取第一行的公因数6， 再用下面各行分别减去第一行. 得31111311113111133111131111316666=31111311113111116=4820000200002011116==.注意 如果行列式的列和(或行和)相等, 常使用上述技巧.例1.10 计算行列式yyx x-+-+1111111111111111.解 用第一列减第二列, 提取x ; 第三列减第四列, 提取y . 再用第二列, 第四列分别减第一列与第三列, 得yy x x -+-+1111111111111111yy y xx x --=110110101101y x xy--=111111010111011yx xy--=1000100001000122y x =.有时需要仔细观察行列式的结构, 才能找到最简捷的方法. 计算行列式时, 往往有多种方法. 应该考察各种路线, 从中选择最佳方案.习题1-21. 求证: bzay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++yxzx z y z y x b a )(33+=. 2. 计算行列式efcfbfde cd bdae ac ab---. 3. 计算下列行列式.(1)2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a ; (2) n222232222222221.4. 求t 的值, 使得行列式226332111=tt .5. 计算下列行列式(1)3214214314324321; (2)121212n n n x mx x x x m x x x x m---.6. 计算行列式01211111001na a a a, 其中021≠n a a a .7. 用两种方法计算行列式ab cc abbc a， 从而证明因式分解: ))((3222333bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++.8. 计算行列式111212122212n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------, 其中2>n .9. 计算行列式1231110000220000020011n n nn n------.10. 计算行列式aba ba b b a b a ba D n=2，其中未写出的元素都等于0.第三节 行列式的展开在本节中研究行列式按照一行或一列展开的公式, 从而可以将一个高阶行列式的计算转化为若干低阶行列式的计算.定义1.6 考虑n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(. 将行列式的元素ij a 所在的行与列删除(其余元素保持原来的相对位置), 得到的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式, 记作ij M . 而称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式.例如，行列式333231232221131211a a a a a a a a a 中元素12a 的余子式为2123123133aa M a a =， 而代数余子式为212312123133(1)a a A a a +=-.注意 左上角元素11a 的代数余子式11A 取正号, 其余正负相间. 特别, 主对角元素iia 的代数余子式ii A 全取正号.引理1.1 如果一个n 阶行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0, 则这个行列式等于ij a 与其代数余子式ij A 的乘积. 即ij ij A a D =.证 先考虑n j i ==的特殊情况. 根据定义, 为了产生非零项, 在行列式D 的第n 行只能取nn a . 于是, 有∑---=nn p n p p t a a a a D n 121)1(21)1( ∑---=121)1(21)1(n p n p p t nn a a a a ,其中t 是列标排列n p p p n 121- 的逆序数, 求和遍及1,,2,1-n 的所有排列121-n p p p . 然而排列n p p p n 121- 与排列121-n p p p 的逆序数相等, 因此, 上式右边的和式为nn p n p p tM a a an =-∑--121)1(21)1( nn nn n n A M =-=+)1(.于是, 有nn nn A a D =.现在考虑一般情况, 设行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0. 将D 的第i 行与第1+i 行交换, 再将所得行列式的第1+i 行与第2+i 行交换, 继续进行, 直到D 的第i 行移到最后一行, 而其他行的上下顺序不变. 在这个过程中, 共进行i n -次交换行. 用同样的方法, 将所得的行列式的第j 列逐步移到最后一列, 而其他列的左右顺序不变. 在这个过程中, 共进行j n -次交换列. 最后得到的行列式记作B , 则在B 的最后一行中只有最后一个元素ij a 不等于0, 而且ij a 在B 中的代数余子式就是ij a 在D 中的余子式ij M . 由前面证明的特殊情况, 有ij ij M a B =. 另一方面, 根据性质1.2, 有D B j n i n )()()1(-+--=, 即B D j i +-=)1(. 于是,有ij ij ij ij ji A a M a D =-=+)1(.定理1.3 对于n 阶行列式D , 有in in i i i i A a A a A a D +++= 2211; nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.证 将行列式D 的第i 行的每个元素改写成n 个数的和, 其中由ij a 改写成的和中的第j 个加数等于ij a , 其他元素等于0. 用性质1.4的推广, 则D 等于n 个行列式的和. 在第j 个行列式的第i 行中, 只有属于第j 列的元素等于ij a , 其他元素等于0.对这n 个行列式分别用引理1.1, 得in in ij ij i i A a A a A a D ++++= 11.注意 用定理 1.3, 可以将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1-n 阶行列式的计算. 不过, 当行列式的阶数较大时, 计算量仍然相当大. 除非在行列式中有很多元素等于0. 联合使用消元与按照一行(列)展开, 常能得到最简捷的计算路线.例1.11 计算行列式500134267002430.解 先按照第四行展开, 得50013426700243043032(1)5006241+=-321018006=-=-.有时用数学归纳法计算n 阶行列式是比较方便的. 不过此时需要行列式n D 与1-n D ,2-n D 之间的关系.例1.12 求证: 000100010000001n a b ab a b ab a b D a b ab a b+++=++b a b a n n --=++11. 证 计算可得ba b a b a D --=+=221, b a b a b ab a D --=++=33222. 设命题对于1-n 阶与2-n 阶行列式成立.考虑n 阶行列式, 按第一行展开, 得0001000100000001n a b ab a b ab a b D a bab a b +++=++00100()0001a baba b a b a b ab a b++=+++1000000001ab a b ab a bab a b+-++21)(---+=n n abD D b a b a b a n n --=++11.例1.13 求证: 123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=∏<-=ji i j x x )(. 解 当2=n 时, 有122x x D -=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 从下边开始, 下面一行减去上面一行的1x 倍, 得123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------232131122223111()()()n n n n n nx x x x x x x x x x x x ---=---111312)())((----=n n D x x x x x x ∏<-=ji i j x x )(.与前面的例题不同, 这里不是下面各行减去第一行, 而是下面一行减去其上面一行. 当然现在必须从第n 行开始, 逐行向上做.这个行列式称为范德蒙行列式. 易见, 当n x x x ,,,21 两两不同时, 范德蒙行列式不等于0. 这个性质产生了范德蒙行列式的许多应用.例1.14 求证: 211212212221212n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++=+)1(!12∑=+=nk kka n .解 当1=n , 2111a D +=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 按照最后一行分成两个行列式的和, 得21121221222121200n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++=+++21121221221200n na a a a a a a a a a n++= 211212212221212n nn n na a a a a a a a a a a a a a a +++21121122122121112112(1)n n n n n a a a a a a a a a a na a a a n a -----++=-+110002nn na a a a +=21)!1(nn a n nD -+-211[(1)!(1)]n k k a n n k -==-+∑2(1)!n n a +-)1(!12∑=+=nk k ka n .推论 1.3 行列式的任意一行(列)的元素与另一行的元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即当j i ≠时, 有02211=+++nj ni j i j i A a A a A a ; 02211=+++jn in j i j i A a A a A a .证 只证第一个等式. 反向用定理1,3, 则nj ni j i j i A a A a A a +++ 2211等于一个n 阶行列式. 这个行列式的第i 行与第j 行相同, 根据推论1.1, 该行列式等于0.习题1-31. 计算行列式11312111311021---=D 的第二行所有元素的余子式与代数余子式.2. 计算行列式0000000000000000n x y x y x D x y yx =.3. 求证: 11211000010000000001n nn n x x x D xa a a a a +----=-n n n n a x a x a x a ++++=--1110 .4. 求证: 210001210001200100021012n D n ==+.5. 设常数c b a ,,两两不等, 解方程01111)(33332222==x c b a x c b a x c b a x f .6. 求证: 12322221231231111nn n n n n nn n n nnx x x x D x x x x x x x x ----=∑∏=<-=nk k ij j i x x x 1)(.7. 求证: 1231111111111111111n na a D a a ++=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑=ni i n aa a a 12111 , 其中 021≠n a a a .补充材料一 拉普拉斯展开前面是行列式按一行或一列展开. 这个结果可以推广为按若干行展开.行列式中任意k 行与k 列交叉处的元素, 按照原来相对位置组成的k 阶行列式称为原行列式的一个k 阶子式k D . 删除这k 行与k 列得到的k n -阶行列式k M 称为k 阶子式k D 的余子式， 而=k A ∑-+hh h j i )()1(k M 称为k D 代数余子式. 其中h h j i ,是k D 所在的行标与列标. 命题 设||A 是n 阶行列式, 任意取其中的k 行,n k <<0, 则行列式等于这k 行中所有k 阶子式与其代数余子式的乘积之和.证明略.注意 这个命题称为行列式的拉普拉斯展开. 展开时有kn C 项, 每项是一个k 阶子式与其代数余子式的乘积.例1 求证：行列式aba ba b b a b a b a D n=2n n b a b a )()(-+=.证 按照第一行与第n 2行展开， 得)1(2222)(--=n n D b a D . 用这个递推式即可得到所需结果.例2 求证:nnk n nkn nk k k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a1,1,11,1.11,111110000++++++kk k k a a a a 1111=nnk n n k k k a a a a 1,,11,1++++ 证 按照前k 行展开.注意 由于右上角的元素都等于0，左下角的元素对行列式没有贡献. 当然, 如果左下角的元素都等于0, 也有类似结果.。