最新北师大版九年级数学下册圆复习教学课件

► 考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 例3 如图X3－6，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A
＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于( C ) A．30° B．35° C．40° D．50°
第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] C 由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°. 数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 [解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°，
又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
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第3章复习2┃ 考点攻略
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90°的圆周角的 构造．
相离
相切
图 形
公共
点个数
0
数量 关系
d>r
1 d＝r
相交
2 d<r
第3章复习2┃ 知识归类
[易错点] 将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线 的距离．
9．圆的切线的性质及判定 性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线． 10．三角形的内切圆
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第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说 明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等 角，进而算出∠ODE是直角．
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解：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°. ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5. ∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴AADB＝DBCB，即53＝B4C，∴BC＝230. (2)证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中， ∵E 是 BC 的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE. 又 OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
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[解析] 两段弧长的和是以 2 cm 为半径的半圆的弧长．即12 ×2×π×2＝2π.
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► 考点八 计算弧长
例8 如图X3－9，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两 个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之 和为__2_π_____cm(结果保留π)．
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方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
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► 考点二 垂径定理及其推论 例2 如图X3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，
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第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点四 圆心角与圆周角
例4 如图X3－7，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝
________°.
44
怎样
?解答
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► 考点五 与圆有关的开放性问题 例5 如图X3－8，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，
性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 .
第3章复习2┃ 知识归类
直径所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦 是 直径 .
[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧” 指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为 “同弦或等弦”．
6．确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 7．三角形的外接圆
► 考点九 圆的切线性质
例 9 如图 X3－10，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为 直径的⊙O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.
(1)求证：DE＝12BC； (2)若 tanC＝ 25，DE＝2，求 AD 的长．
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[解析] 连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC. 数学·新课标（BS）
AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E. (1)∠E＝________度； (2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； (3)求弦DE的长．
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[解析] (1)由题目可知∠E＝∠ACD，因为四边形 ABCD 是正方
形，所以∠ACD＝45°，所以∠E＝∠ACD＝45°.
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和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
.内心
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
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方法技巧 圆的切线性质有很多，可以总结为：与圆相切一直线，只有一 个公共点；切点圆心相连接，垂直切线是必然；切线上面取一点， 此点圆心相互联；如若垂直圆切线，此点切点零相间(此句指此点与 切点之间距离为零)．
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第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点十 圆的切线的判定方法 例10 如图X3－11，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°， 以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD. (1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长； (2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
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源自文库
第3章复习2┃ 知识归类
点在圆外，即这个点到圆心的距离 大于 半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离 等于 半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离 小于 半径． 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r 来比较得到． (2)设⊙O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有 d＜r⇒点P在圆内； d＝r⇒点P在圆上；
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点七 计算扇形面积
例 7 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为
“等边扇形”．则半径为 2 的“等边扇形”的面积为( C )
A．π B．1
C．2
2 D.3π
[解析] C 扇形的面积等于弧长乘以半径的一半，所以此扇形 的面积为12×2×2＝2.
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(2)当对应角相等的时候，两个三角形相似，由圆的性质可知∠E
＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP.
(3)因为△ACP∽△DEP，所以ADPP＝ADCE，因为 P 是 CD 的中点，
所以 CP＝DP＝21CD＝1，由勾股定理分别求出 AP＝ 5，AC＝2 2，
代入比例式算出
DE＝2
10 5.
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三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接 圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角 形的 外心 .
8．直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
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直线和圆的位置关系
位置 关系
┃考点攻略┃
► 考点一 确定圆的条件 例1 如下图X3－4，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过
A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B ) A．点P B．点Q C．点R D．点M
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[解析] B 圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上，由图可以看出圆心应 该是点Q.
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解：(1)证明：连接 BD， ∵AB 为直径，∠ABC＝90°，∴BE 切⊙O 于点 B. 又因为 DE 切⊙O 于点 D，所以 DE＝BE， ∴∠EBD＝∠EDB. ∵∠ADB＝90°， ∴∠EBD＋∠C＝90°，∠BDE＋∠CDE＝90°， ∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DE＝12BC. (2)因为 DE＝2，DE＝12BC，所以 BC＝4.
等．
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5．圆周角与圆心角的关系
(1)圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角 叫做圆周角．
[注意] 圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的 部分是圆的两条弦．
(2)圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半 .
(3)圆周角的性质
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又∵∠OBD＋∠DBC＝90°，∠C＋∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠OBD，∴∠BDO＝∠CDE. ∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°，即∠BDE＋∠CDE＝90°， ∴∠BDE＋∠BDO＝90°，即∠ODE＝90°， ∴ED 与⊙O 相切．
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d＞r⇒点P在圆外． [点拨] 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半 径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆 的位置关系．
3．垂径定理 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的 弧 . [注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分 弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
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(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的弧．
4．圆的旋转不变性 (1)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为 圆心 .
(2)探究圆中角的一些性质
定理1：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的 弧相等，所对的弦相等．
定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相
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方法技巧 (1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是 证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作 “垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本 例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆 心到弦的距离、弦长等数量的计算．这些量之间的关系是 r2＝d2＋a2 2(其中 r 为圆半径，d 为圆心到弦的距离，a 为弦长)．
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[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形，其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
nπR 半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l＝ 180 . (2)扇形的面积公式 半径为 R，圆心角是 n°的扇形面积是 S 扇形＝3n60πR2；
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第三章 圆
1．确定圆的要素 圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定． 2．点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
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在 Rt△ABC 中，tanC＝ABCB， 所以 AB＝BC·25＝2 5. 在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝ 2 52＋42＝6. 又因为△ABD∽△ACB， 所以AADB＝AACB，即2AD5＝2 6 5， 所以 AD＝130.
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且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为( D ) A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
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[解析] D 连接AO，因为OC⊥AB，所以AD＝BD＝3 cm，因 为OD＝4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5 cm，所以OC＝5 cm，所以DC＝1 cm.
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解：(1)45
(2)△ACP∽△DEP.
理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，
∴△ACP∽△DEP.
(3)∵△ACP∽△DEP，∴ADPP＝ADCE.
又 AP＝ AD2＋DP2＝ 5，
AC＝ AD2＋DC2＝2 2，
∴DE＝2
10 5.
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