27.2.1三角形的相似判定(5)HL及总结

E
B
F
6. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、
边 BC、边DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF· . EG
A E B F G C D
分析：要证明 EA2 = EF· ， EG EA EF 即 证明 EG =EA 成 立，而EA、EG、EF三 条线段在同一直线上， 无法构成两个三角形， 此时应采用换线段、换 比例的方法。可证明： △AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
(3) 由点 A (-2，4) 和点 B′ (6，0)，可得 A B′＝ 4 5 ．如图 2，由 AM//CN，可得
B ' N B 'C 2 B 'C ，即 ．解得 B ' C 5 ．所以 B'M B' A 8 4 5
AC 3 5 ．根据菱形的性质，在△ABC
∠BAC＝∠CB′D．
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
( 3 ) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
A' A 10 8 C' C 6 B 9 B' 15
答：
相似，因为斜边和直角边对应成比例
例2、如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高， E是BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝ AF•AC， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE。
BQ 10 x 3 时， 3 ．解得 x 3 ．所以 Q1 (3,10) ， Q2 (3, 8) ． BA 10
BQ 1 10 x 1 时， ．解 BA 3 3 10
②当
得 x ．所以 Q3 ( , 2) ，
1 3
1 3
1 Q4 ( , 0) ． 3
第 2 题： 如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 y mx2 2mx n 上． （1）求 m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的 对应点为 B′，若四边形 A A′B′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3） 记平移后抛物线的对称轴与 直线 AB′ 的交点为 C，试在 x 轴上 找一个点 D，使得以点 B′、C、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°；
A 25° B' 65° C 65° B A'
C'
答：
∠B=∠B ∠C=∠C
ΔABC∽ΔA'B'C'
两角对应相等，两三角形相似
( 2 ) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8；
A'
A 6 4 C B
3
C'
8
B'
答:
AC:A'C'=BC:B'C' ∠C=∠C ' ΔABC∽ΔA'B'C'
P 1 4
2 C
当∠4＋∠ACB＝180°时， △ ACP∽△ABC 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC或 ∠4＋∠ACB＝180°时,△ ACP∽△ABC.
3.
D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD· AB
C
分析:要证明AC2=AD· AB，需
4 2 8 B′B 为菱形，所以 A A′＝B′B＝ AB＝5．因为 y x x 4 3 3

4 16 2 x 1 ，所以原抛物线的对称轴 x＝－1 向右平移 5 个单位后，对应 3 3
的直线为 x＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为
y,
4 x 42 16 ． 3 3
(1) 因为点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 y mx2 2mx n 上，所
4m 4m n 4, 4 以 解得 m ， n 4 ． 3 m 2m n 0.
(2)如图 2， 由点 A (-2， 和点 B (1， 4) 0)， 可得 AB＝5． 因为四边形 A A′
（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)． （2） 因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(3， 0)、 C(0， 3)、 D(－1，
9a 3b c 0, 0) 三点，所以 c 3, a b c 0.
a 1, 解得 b 2, c 3.
5. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO · EC. 分析：欲证 ED2=EO· EC，即证：
D O
C
ED EC = ，只需证DE、EO、EC EO ED
所在的三角形相似。 证明：∵ AB∥CD A ∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB ∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB ∴ ∠C= ∠FDB 又 ∵ ∠DEO= ∠DEC ∴ △EDC∽△EOD ED EC ∴ EO =ED ，即 ED2=EO · EC
BC
AB 2 AC 2 , BC
AB 2 AC 2 .
BC C B

AB 2 AC 2 k 2 AB 2 k 2 AC 2 kBC k. C C C B B B
BC AB AC . C A B A C B
要先将乘积式改写为比例
A
D
B
式
证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC AD、AB所在的两个三角形相 ∠A = ∠ A ∴ △ABC △ACD 似。由已知两个三角形有二个
AC AB，再证明AC、 = AD AC
AC AB ∴ = AD AC
∴ AC2=AD· AB
角对应相等，所以两三角形相 似，本题可证。
4. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
定理4：直角三角形相似的判定 直角边和斜边对应成比例， 两直角三角形相似。 ∠C=∠C' =90
AC
A' C'
A'
C'
B '
o
A Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
AB = A' B '
C
B
例1：已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C' 求证：△ABC∽△A'B'C’
A A’ 2 O 4 1 B’ 3
AD AB ∴ AE = AC
∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE ∽ △ ABC
2012 中考数学压轴题:（感觉一下综合题）
1 3
第 1 题：
直线 y x 1 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，△AOB 绕点 O 按逆时 针方向旋转 90° 后得到△COD， 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A、 D 三点． C、 (1) 写出点 A、B、C、D 的坐标； (2) 求经过 A、 D 三点的抛物线表达式， C、 并求抛物线顶点 G 的坐标； (3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由．
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ∽△ MEA
E
② AM2=MD · ME
B
分析：已知中与线段有关的条件仅有 AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两 个角对应相等去判定两个三角形相似。 A AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故 D 是对应边MD、ME的比例中项。 C ∴∠B=∠E M 证明：①∵∠BAC=90° ∴∠MAD= ∠E M为斜边BC中点 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴AM=BM=BC/2 ∴△MAD∽ △MEA ∴ ∠B= ∠MAD ② ∵ △MAD∽ △MEA 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° AM ME ∠E+ ∠ADE= 90° = MD ∴ AM ∠BDM= ∠ADE 即AM2=MD· ME
AB BC k, A1B1 B1C1
B
C
思考：对于两个直角三角形，我们可以利用 “HL”判定它们全等.那么,满足斜边的比等 于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?
证明: 设
B1 C1
AB AC k . 则AB kAB, AC kAC . AB AC 由勾股定理，得
A′ A B
C
B′
C′
温故知新
三角形相似的识别方法有那些？
方法1：通过定义

三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。 方法3：三边对应成比例。 方法4：两边对应成比例且夹角。 方法5：通过两角对应相等。
探究4
A
A1
已知：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 求证：△ABC∽△A1B1C1.
C’
B
c
证明： ∵AB∥A’B’ ∴∠1＝∠2， A’B’/AB＝OB’/OB ∵BC∥B’C’ ∴∠3＝∠4， B’C’/BC ＝ OB’/OB ∴∠ABC＝∠A’B’C ∴ A’B’/AB ＝B’C’/BC ∴△ABC∽△A'B'C'
2.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连 结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC． 解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B） 时，△ ACP∽△ABC A ⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时， △ ACP∽△ABC ⑶ ∵∠A= ∠A， B
所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点 G 的坐标为(1，4)．
3） 如图 2， 直线 BG 的解析式为 y＝3x＋1， 直线 CD 的解析式为 y＝3x＋3， 因此 CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 AB⊥CD．因此 AB⊥BG，即∠ ABQ＝90°． 因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为(x，3x＋1)，那么 BQ x 2 (3x) 2 10 x ． Rt△COD 的两条直角边的比为 1∶3，如果 Rt△ABQ 与 Rt△COD 相似，存在两种情况： ①当