相似三角形判定3教案(李红卫)
人教版数学九年级下册《相似三角形的判定》word教案(三)
相似三角形的判定 教学时间 课题 27.2.1 相似三角形的判定（三） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．过 程 和方 法经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．情 感 态 度价值观教学重点 三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”教学难点 三角形相似的判定方法3的运用．教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图一、课堂引入1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD=∠B ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题．（4）教材P46的探究4 ．二、例题讲解例1（教材P46例2）．分析：要证PA •PB=PC •PD ，需要证PBPC PD PA ，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．证明：略例2 （补充）已知：如图，矩形AB CD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=310）． 三、课堂练习1．教材P48的练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．作业设计必做 教科书P56：12 选做 教科书P56：15 教学反思。
初中数学九年级上册北师大版：相似三角形的判定(3)(教案)
第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件4.4.3相似三角形的判定（3）教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形的判定的表述及运用.【过程与方法】经历相似三角形判定定理的推导过程，掌握相似三角形的判定方法.【情感态度】在探索相似三角形判定方法的活动中，提出问题与思考问题，体会化归思想.【教学重点】导出相似三角形的判定定理并会运用.【教学难点】相似三角形判定定理的运用.教学过程一、情境导入，初步认识回想一下，我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法？由此我们能否由全等的另一种方法（S.S.S）想到判定相似的新方法？【教学说明】学生猜测，并写出已知、求证.【归纳结论】三边对应成比例，两三角形相似.二、思考探究，获取新知证明：三边对应成比例，两三角形相似.【教学说明】在教师的指导下学生口述，教师板书，最后提示三个步骤：运动、预备定理、相似的传递性.三、运用新知，深化理解1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1乙三角形木框的三边长分别为5（A）A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的（C）A.甲点B.乙点C.丙点D.丁点3.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（B）A.（6，0）B.（6，3）C.（6，5）D.（4，2）4.在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知：AB=6cm ，BC=8cm ，AC=11cm ，A 1B 1=18cm ，B 1C 1=24cm ，A 1C 1=33cm.求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.分析：正确求得三条对应边的比，根据三条对应边的比相等证明两个三角形相似.证明：∵AB=6cm ，BC=8cm ，AC=11cm ，A 1B 1=18cm ，B 1C 1=24cm ，A 1C 1=33cm ，∴111111 3. A B B C A C AB BC AC∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.【教学说明】判断两个三角形三边是否成比例的方法：（1）排：将三角形的边按长短顺序排列；（2）算：分别计算它们对应边的比；（3）判：由三个比值是否相等来判定两个三角形的三边是否成比例.5.如图，已知 AB BC AC AD DE AE，∠BAD=20°，求∠CAE 的大小.分析：根据三边对应成比例得△ABC 与△ADE 相似，再利用相似三角形的性质解答.解：∵ AB BC AC AD DE AE，∴△ABC ∽△ADE.∴∠BAC=∠DAE.又∠DAC 是公共角，∴∠CAE=∠BAD=20°.6.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.解：相似.证明：∵AB=2，BC=，AC=，EF=2，DE=.∴ AB BC AC DE EF DF∴△ABC ∽△DEF.7.如图为三个并列的边长相同的正方形，试说明：∠1+∠2+∠3=90°.分析：如图，运用勾股定理分别求出BE 、CE 、DE 的长度（用λ表示），求出△BEC 与△BDE 的三边之比，证明△BEC ∽△BDE ；借助三角形外角的性质即可解决问题.解：设每个小正方形的边长为λ，由勾股定理得：BE 2=λ2+λ2，CE 2=（2λ）2+λ2，DE 2=（3λ）2+λ2，∴λ，DE=∴22BE BD同理可求：22 BC EC BE ED ，∴ BE BC EC BD BE ED，∴△BEC ∽△BDE ，∴∠2=∠BED；∵∠1=∠BED+∠3，且∠1=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°.四、师生互动、课堂小结引导学生自主完成以上例题.课后作业1.布置作业：教材“习题4.7”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.教学反思在课堂教学中通过引导学生分析问题、解决问题，让学生体验到他们才是学习的主人，教师是他们平等的合作者.对于例题、练习，强调学生先独立思考，需要合作探索的内容让学生大胆动手操作.最后让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达的能力.。
《27.2.1 相似三角形的判定(第3课时)》教学设计-人教九下优质课精品
27.2.1相似三角形的判定(第3课时)一、内容和内容解析1．内容判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．内容解析全等是相似中放缩比例为1的特殊情形，这为我们提供了一个思路：类比判定两个三角形全等的“SSS”“SAS”方法，发现并提出判定两个三角形相似的简单方法．在探究“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，学生通过度量，发现结论成立，再通过作与△A'B'C'相似的三角形，把证明相似的问题转化为证明所作三角形与△ABC全等的问题．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证法与前一个判定方法的证明方法类似，再次体现了定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基础性作用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．二、目标和目标解析1．目标(1)理解三角形相似的两个判定定理．(2)会运用三角形相似的两个判定定理解决简单的问题．2．目标解析达成目标(1)的标志是：理解两个判定定理的含义，能分清条件和结论，能用文字语言、图形语言和符号语言表示．达成目标(2)的标志是：会用两个判定定理判定两个三角形相似，从而解决简单的问题．三、教学问题诊断分析在两个判定定理的证明过程中，教科书作了一个中介三角形，使之与要证的三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例和已知条件证明“中介三角形”与原三角形全等，这种转化的方法学生往往难以想到．其中通过线段的比相等证明线段相等，不同于以往常用的证明线段相等的方法，也会给定理的证明带来一定难度．基于以上分析，确定本节课的教学难点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”的证明．四、教学过程设计 1．问题引入，类比猜想问题1 (1)两个三角形全等有哪些简便的判定方法？(2)全等是相似比为1的特殊情形．如图1，类比三角形全等的判定，判定△ABC 与△A'B'C'相似，是否有简便的判定方法？你有什么猜想？师生活动：问题(1)由学生口答．问题(2)组织学生分小组讨论，然后全班交流．如果学生对“两角对应相等的两个三角形相似”是否正确存在疑问，可存疑，留在下一节课解决．对学生提出的判断三角形相似的方法进行归纳整理，指出本节课先研究“三边”和“两边及其夹角”的情形．设计意图：通过全等三角形与相似三角形之间特殊与一般的关系，运用类比的思维方式，让学生猜想出两三角形相似的简单判定方法，从而引出下一步要探究的问题．2．画图探究，初步感知问题2 在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足B A AB ''＝C B BC ''＝C A AC''＝k ，那么能否判定这两个三角形相似？师生活动：(1)画图探究．教师引导学生任意画△ABC ，取一个便于操作的k 值(如21，2等)，得到△A'B'C'的三边长，再作出△A'B'C'．指导学生把画好的三角形剪下，比较它们的对应角是否相等，判断这两个三角形是否相似．(2)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，让学生归纳发现的结论．并说明k ＝1时两个三角形全等，即全等是相似的特殊情况．设计意图：在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，并与他人交流探讨，感受探索过程．k 取1时，两个三角形全等，取其他值时，两个三角形相似，进一步感受相似与全等的紧密联系．《几何画板》的动态演示，有利于学生更直观地发现结论．ABCA 'B 'C '图13．构造中介，证明定理问题3 怎样证明“三边成比例的两个三角形相似”呢？ 师生活动：(1)学生结合图形写出已知、求证并交流讨论．(2)当学生感到无处入手时，教师用学生剪出的△ABC 与△A'B'C'的纸片为模型，用较小的△ABC 放置于较大△A'B'C'的上(学生取的k 值不同，可能会出现两种图形，但证明的本质是相同的)，点A 与点A'重合，点B 在边A'B'上，记为点D ，将点C 在A'C'上的位置记为点E ．教师追问1：B'C'与DE 有什么位置关系？为什么？ 师生活动：学生直观发现B'C'∥DE ．教师追问2：由B'C'与DE 的位置关系可得到△A'DE 与△A'B'C'相似吗？为什么？ 师生活动：学生回答由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，得到△A'DE 与△A'B'C'相似．教师追问3：我们先构造了一个与△ABC 全等的中介△A'DE ，得到△A'DE ∽△A'B'C'，然后可得△ABC ∽△A'B'C'．这为我们证明“三边成比例的两个三角形相似”提供了一个思路：能否在△A'B'C'上作一个与△A'B'C'相似的△A'DE ，再证明它与△ABC 全等呢？如何作？师生活动：(1)学生思考交流．教师展示学生的不同作法，并请学生说明△A'DE 与 △ABC 全等的原因．(2)由学生整理出证明思路，教师板书，从而得到三角形相似的判定定理．设计意图：让学生在操作中发现解决问题的方法：作DE ∥B'C'，证明△A'DE ∽△A'B'C'，从而把证明“△ABC 与△A'B'C'相似”的问题转化为证明△ABC ≌△A'DE 的问题．4．类比实验，自主探究问题4 全等三角形有“SAS ”的判定方法，类似地，△ABC 和△A'B'C'中，如果满足B A AB''＝C A AC''＝k ，且∠A ＝∠A'，那么能否判定这两个三角形相似？ 师生活动：(1)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，看△ABC 和△A'B'C'的另一组对应边的比是否为k ，另两组对应角是否相等．问：图中的△ABC 与△A'B'C'相似吗？为什么？学生提出猜想的结论．(2)学生模仿上一个定理的证明，讨论问题4的证明思路，在课后完成证明过程． (3)师生小结判定定理二的内容．并追问：对于△ABC 和△A'B'C'，如果B A AB ''＝C B BC''，且∠B ＝∠B'，这两个三角形一定相似吗？如果将∠B ＝∠B'换成∠C ＝∠C'，这两个三角形一定相似吗？为什么？让学生试着画画看，找出反例即可．设计意图：学生有前面探究活动的经验，教师提出问题后，利用《几何画板》辅助，学生容易获取初步结论，而且仿照上一个定理的证明，容易得到这个命题的证明思路．最后，学生通过考虑“两边和其中一边的对角”的情形，加强对三角形相似条件的理解与记忆．5．运用结论，解决问题例 根据下列条件，判断△ABC 和△A'B'C'是否相似，并说明理由： (1)AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ， A'B'＝12 cm ，B'C'＝18 cm ，A'C'＝24 cm ． (2)∠B ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A'＝120°，A'B'＝3 cm ，A'C'＝6 cm ．师生活动：师生共同分析从题干的条件中是否可能得到两个三角形相似的条件，教师提醒学生注意第(2)题中的角是不是已知两边的夹角．设计意图：使学生学会从现有条件中得到判定三角形相似的条件． 6．变式训练，巩固提高判断图中的两个三角形是否相似，并求出x 和y ．师生活动：学生自主答题，写出相应的解答过程，然后互评． 设计意图：巩固本节课所学的相似三角形的判定定理． 7．回顾小结回顾本节课的学习，回答下列问题： (1)你学到了哪些判定三角形相似的方法？ (2)你认为证明两个三角形相似的思路是什么？设计意图：引导学生归纳本节课的知识点及判定定理的证明思路． 8．布置作业A BDE C y ° x 4530 54 36 46°20 图2152025402745图11．教科书第34页练习第1，3题． 2．教科书第42页习题27.2第2(1)，3题．3．证明判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”(画图，写出已知、求证，并进行证明)．六、目标检测设计1．下列条件中可以判定△ABC ∽△C B A '''的是( )． A ．AC AB ＝''''C A B A B ．AC AB ＝''''C A B A ，∠B ＝∠B' C ．B A AB ''＝''C A AC ＝C B BC''D ．''B A AB ＝''C A AC设计意图：考查对三角形相似的两个判定定理的条件特征的理解． 2．如图，已知△ABC ，则下列四个三角形中，与△ABC 相似的是( )．设计意图：考查判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的应用． 3．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ＝6，BC ＝8，AC ＝5，A'B'＝3，B'C'＝4，则当A'Ｃ'＝______时，△ABC ∽△A'B'C'．设计意图：考查用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似．4．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，2)，如果点C 在x 轴的正半轴上(点C 与点A 不重合)，当点C 的坐标为 时，△BOC 与△AOB 相似．设计意图：结合平面直角坐标系的知识，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．5．如图，在正方形ABCD 中，点P 是BC 上的一点，BP ＝3PC ，点Q 是CD 中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．ABCDQP (第5题)A B C 555 555 55 56675° 75°30° 40° A B CD(第4题)设计意图：结合勾股定理，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．。
九年级数学上册《相似三角形的判定定理3》教案、教学设计
作业要求：
1.学生应独立完成作业，诚实守信，不得抄袭。
2.注意作业书写的规范性和整洁性，养成良好的学习习惯。
3.家长应关注学生的学习情况，协助学生按时完成作业，并对学生的学习给予鼓励和支持。
作业批改与反馈：
1.教师应及时批改作业，了解学生的学习情况，对存在的问题进行针对性辅导。
2.选取生活中的一个相似三角形的例子，画图并解释其相似关系，将所学知识应用到实际情境中，增强学生的几何直观。
3.小组合作完成一道综合性的几何证明题，要求运用相似三角形的判定定理3解决问题。通过合作交流，培养学生的团队协作能力和几何逻辑思维。
4.尝试研究相似三角形判定定理3在解决面积问题中的应用，并撰写一篇小论文，内容包括定理的应用方法、解题步骤和实际例题。
九年级数学上册《相似三角形的判定定理3》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握相似三角形的判定定理3，即两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
2.熟练运用相似三角形的判定定理3解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.能够运用相似三角形的性质，解决与比例相关的问题，如线段比例、面积比例等。
4.掌握相似三角形的判定方法，形成严密的逻辑推理能力，为后续学习打基础。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组讨论以下问题：
a.相似三角形的判定定理3的具体内容是什么？
b.如何运用判定定理3解决实际问题？
c.判定定理3在实际生活中的应用例子。
2.各小组汇报讨论成果，分享解题思路和经验。
3.教师点评各小组的表现，给予鼓励和指导。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
三角形相似的判定第三课时教案
三角形相似的判定第三课时教案一、教学目标1. 知识与技能：理解三角形相似的判定方法，能够运用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法判断两个三角形是否相似。
2. 过程与方法：通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识与解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：三角形相似的判定方法。
2. 教学难点：如何运用判定方法判断两个三角形相似。
三、教学准备1. 教师准备：教材、多媒体教具、三角板。
2. 学生准备：笔记本、彩笔。
四、教学过程1. 导入新课1.1 复习上节课的内容，提问学生三角形相似的定义。
1.2 引入新课，讲解三角形相似的判定方法。
2. 自主学习2.1 学生自主学习教材，了解SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。
2.2 学生尝试解答教材中的例题，巩固判定方法。
3. 合作交流3.1 学生分组讨论，分享各自的解题心得。
3.2 教师选取小组代表进行讲解，点评解题方法。
4. 课堂练习4.1 学生独立完成课堂练习题，巩固所学知识。
4.2 教师讲解答案，解析解题思路。
5. 拓展延伸5.1 学生运用判定方法，判断给出的三角形是否相似。
5.2 教师选取典型的题目进行讲解，指导学生运用判定方法。
6. 总结反馈6.1 学生总结本节课所学内容，分享自己的收获。
6.2 教师点评学生的表现，对课堂进行总结。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固三角形相似的判定方法。
2. 结合生活实际，寻找三角形相似的应用实例。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题评价：检查学生完成的练习题，评估学生对三角形相似判定方法的掌握程度。
3. 课后作业评价：审阅学生的课后作业，了解学生对课堂内容的消化吸收情况。
七、教学反思1. 教师反思：课堂讲解是否清晰易懂，学生是否能跟上教学进度。
2. 学生反思：学习过程中是否遇到了困难，如何解决这些问题。
《相似三角形的判定(第3课时)》教案 人教数学九年级下册
27.2 相似三角形27.2.1相似三角形的判定（第3课时）一、教学目标【知识与技能】掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.【过程与方法】经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力.【情感态度与价值观】通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维.二、课型新授课三、课时第3课时共4课时四、教学重难点【教学重点】“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.【教学难点】运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.五、课前准备教师：课件、刻度尺、量角器、三角板.学生：刻度尺、量角器、三角板.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2、3）教师问：两个三角形全等有哪些判定方法？学生答：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL.教师问：我们学习过哪些判定三角形相似的方法？学生答：(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）;(2)平行于三角形一边的直线;(3)三边对应成比例.教师提出问题，引出本课内容：类似于判定三角形全等的SAS 方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？（二）探索新知知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A'B'C'，使∠A ＝∠A'，AB AC k.A'B'A'C'==量出它们第三组对应边BC 和B'C'的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B'，∠C 与∠C'是否相等？改变∠A或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（出示课件5）学生按要求动手操作，尝试，得出结论：等于k ；∠B=∠B'；∠C =∠C'；改变k 的值具有相同的结论.教师提出：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．（出示课件6）教师提示：类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试证明这个结论．教师巡视指导，然后多媒体展示验证.（出示课件7）已知：如图，△A'B'C'和△ABC 中，∠A'=∠A ，A'B'：AB=A'C'：AC ，求证：△A'B'C'∽△ABC.证明：在△ABC 的边AB 、AC （或它们的延长线）上分别截取AD ＝A'B'，AE ＝A'C'，连结DE ，因∠A'=∠A ，这样△A'B'C'≌△ADE. ''''A B A C AB AC =，AD AE AB AC ∴=，∴ DE//BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△A'B'C'∽△ABC.教师归纳：由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．（出示课件8）符号语言：在△ABC 与△中，∵，∠A=∠A ’，∴△ABC ∽△.教师问：对于△ABC 和△A ′B ′C ′，如果A ′B ′:AB=A ′C ′:AC.∠C=∠C ′，这两个三角形一定会相似吗？（出示课件9）学生讨论后，抽代表回答解决问题的办法和结论，然后展示反例： 不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一个和原三角形相似，另一个不相似.师生共同总结：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.（出示课件10）考点1 利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似例 已知∠A ＝120°，AB ＝7cm ，AC ＝14cm ，∠A ′＝120°，A ′B ′＝3cm ，A ′C ′＝6cm ，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由.（出示课件11）学生独立思考后，师生共同解决：'''C B A ''''C B BC B A AB '''C BA解：△ABC ∽△A'B'C'.理由如下： ∵7147,,363AB AC A B A C ==='''' ∴,AB AC A B A C ='''' 又∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.出示课件12，学生独立思考后一生板演，教师订正.考点2 利用三角形相似求线段的长度例 如图，D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且34AD AB =，求DE 的长.（出示课件13）教师提示：解题时要找准对应边.解：∵AE=1.5，AC=2， ∴34AE AD .AC AB== 又∵∠EAD=∠CAB ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴34DE AD BC AB ==， ∴3944DE BC .== 出示课件14，学生独立思考后一生板演，教师订正.考点3 利用三角形相似求角度例 如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且=AD CD CD BD ，求证：∠ACB=90°．（出示课件15）学生独立思考后，师生共同解答：证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°. 又∵=AD CD CD BD， ∴△ADC ∽△CDB ，∴∠ACD=∠B ，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.教师强调：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. 出示课件16，学生独立思考后一生板演，教师订正.（三）课堂练习（出示课件17-23）师生一起练习课件17—23题目，约用时15分钟。
三角形相似的判定第三课时教案
三角形相似的判定第三课时教案一、教学目标：知识与技能：1. 学生能够理解三角形相似的判定方法。
2. 学生能够运用三角形相似的判定方法解决实际问题。
过程与方法：1. 学生通过观察和操作，培养直观思维能力。
2. 学生通过合作交流，提高解决问题的能力。
情感态度价值观：1. 学生培养对数学的兴趣，激发学习热情。
2. 学生在解决问题过程中，培养耐心和自信心。
二、教学重难点：重点：三角形相似的判定方法。
难点：如何运用三角形相似的判定方法解决实际问题。
三、教学准备：教师准备教学PPT，包括三角形相似的判定方法及相关例题。
学生准备教科书、练习本和文具。
四、教学过程：1. 导入：教师通过一个实际问题引入三角形相似的概念，引导学生回顾已学的相似三角形的性质。
2. 新课讲解：教师讲解三角形相似的判定方法，包括：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
(2) SSS相似定理：如果两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
(3) SAS相似定理：如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形相似。
教师通过PPT展示相关例题，引导学生理解和运用判定方法。
3. 课堂练习：学生独立完成PPT上的练习题，巩固所学知识。
教师挑选部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：教师提出一个实际问题，引导学生分组讨论，运用三角形相似的判定方法解决问题。
每组分享讨论成果，教师进行点评和指导。
学生分享学习收获和感受，提出疑问。
五、课后作业：教师布置课后作业，包括教科书上的练习题和拓展题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
教师及时批改作业，给予反馈和指导。
六、教学反思：本节课结束后，教师应反思教学效果，包括：1. 学生对三角形相似的判定方法的理解和掌握程度。
2. 学生运用三角形相似的判定方法解决实际问题的能力。
3. 教学过程中是否存在不足或需要改进的地方。
4. 学生的学习兴趣和参与度如何。
七、评价与反馈：教师对学生的学习情况进行评价，包括：1. 学生对三角形相似的判定方法的理解和运用能力。
4.4.3相似三角形的判定定理3教案
3.增加课堂互动，鼓励学生提问和分享解题思路，以提高他们的逻辑思维和表达能力。
4.对于学习困难的学生，制定个性化的辅导计划，确保他们能够跟上课程进度。
-针对难点，教师应采用以下教学方法：
-使用动态几何软件或实物模型，帮助学生直观感受相似三角形的形成过程。
-设计阶梯式问题，引导学生逐步理解判定定理3的每个要素。
-通过小组讨论和同伴互助，让学生在互动中解决难点问题。
-提供多层次的练习题，让学生在不同的难度级别上反复练习，逐步突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
然而，我也意识到教学过程中存在的一些不足。例如，对于一些理解能力较弱的学生，我可能需要提供更多的个别辅导和额外的练习机会。此外，我也应该考虑引入更多的直观教具或多媒体资源，来帮助那些对几何图形感知能力较弱的学生。
在未来的教学中，我计划在以下几个方面进行改进：
1.强化学生对定理条件的记忆，通过反复练习和复习，确保他们能够熟练掌握。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形判定定理3在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-着重讲解如何从给定的信息中识别出符合判定定理3的条件，并运用这一条件判断三角形是否相似。
-通过典型例题和练习题，强化学生对定理3的记忆和应用能力。
-举例：给定三角形ABC和三角形DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=AC/DF，则证明三角形ABC与三角形DEF相似。
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定(3)》教案
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》是相似三角形章节的一部分，主要介绍了相似三角形的判定方法。
本节课的内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行的，目的是让学生进一步理解相似三角形的判定方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于相似三角形的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，学生在运用判定方法解决问题时，可能会出现理解不深刻、应用不熟练的情况。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生深入理解判定方法，提高运用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用判定方法解决问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：运用判定方法解决问题，理解判定方法的本质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生主动探究相似三角形的判定方法。
2.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对判定方法的理解。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：三角板、直尺、圆规。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的相似图形，如建筑物的立面图、服装设计图等，引导学生观察并思考：这些图形为什么说是相似的？激发学生的学习兴趣，引出相似三角形的概念。
2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的判定方法，引导学生通过观察、操作、思考，总结出判定方法。
方法一：三边法如果三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
方法二：两边及其夹角法如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形相似。
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定》教学设计(三)
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定》教学设计（三）一. 教材分析《相似三角形的判定》是人教版数学九年级下册第27.2.1节的内容。
本节主要介绍了相似三角形的判定方法，是学生进一步理解三角形性质，提高解决实际问题能力的基础。
教材通过丰富的例题和练习，使学生掌握判定两个三角形相似的方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本性质，如内角和定理、边角关系等。
但他们对相似三角形的概念及判定方法可能还较为陌生，因此需要在教学过程中给予引导和启发。
此外，学生可能对一些判定方法的应用场景和实际意义难以理解，需要通过实例进行讲解和演练。
三. 教学目标1.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定方法。
2.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.判定两个三角形相似的方法。
2.相似三角形的性质及应用。
五. 教学方法1.讲授法：讲解相似三角形的概念、判定方法和性质。
2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
4.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教案、PPT、教学素材。
2.三角板、直尺、圆规等教具。
3.练习题和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的相似图形，如人民币、房屋建筑等，引导学生思考：这些图形为什么看起来相似？激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的概念，并通过示例演示相似三角形的判定方法。
引导学生理解相似三角形的性质及其应用。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）课堂练习：给出一些三角形，让学生判断它们是否相似。
教师及时批改，给予反馈。
九年级数学上册《相似三角形判定定理三》教案、教学设计
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，每组发放一张含有相似三角形的图形，要求学生在规定时间内找出图形中的相似三角形，并说明判定依据。
2.小组讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生运用相似三角形判定定理三进行判断。
-在复杂图形中，找出相似三角形并运用定理进行判定。
-将相似三角形的性质与实际问题的解决相结合，培养学生的解决问题能力。
（二）教学设想
1.导入设计
-通过展示生活中的相似三角形实例，如建筑物的立面图、桥梁的形状等，引出相似三角形判定定理三的学习。
-利用多媒体动画，形象直观地呈现相似三角形的形成过程，激发学生的学习兴趣。
5.预习作业：预习下一节课要学习的相似三角形的其他性质和判定方法，为课堂学习做好准备。
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，保持字迹工整，步骤清晰，便于教师批改和辅导。
2.遇到问题时，鼓励同学们积极思考、查阅资料或与同学、老师讨论，培养解决问题的能力。
3.作业完成后，请同学们认真检查，确保解答正确，并对解题过程进行总结和反思。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示准备好的图片，如建筑物的立面图、桥梁的形状等，引导学生观察并提问：“同学们，你们在生活中见过这样的图形吗？它们之间有什么共同特征？”
2.学生回答后，教师总结：“这些图形都是三角形，而且它们都是相似的。今天我们就来学习相似三角形的判定定理三，探讨如何判断两个三角形是否相似。”
九年级数学上册《相似三角形判定定理三》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.使学生掌握相似三角形判定定理三的内容，即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
数学九年级下册《相似三角形的判定(三)》教案
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足
∠C=∠C 1，
11AB A B =11BC B C =11AC A C 。
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。
） 探究方法： 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。
） 符号语言： 若∠A=∠A 1，∠B=∠B 1 ，则∆ABC ∽ ∆A 1B 1C 1 归纳：斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。
学习小结 1、在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法。
2、公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，
是判别两个三角形相似的重要依据。
3、如果两个三角形是直角三角形， 则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似。
课堂练习 1：P36练习题1。
九年级数学下册人教版27.2.1相似三角形的判定第三课时优秀教学案例
本节课的教学案例亮点主要体现在以下五个方面：
1.生活情境的创设：通过展示实际生活中的相似三角形案例，如建筑物的设计、图案的布局等，让学生感受到相似三角形在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。这种生活情境的创设使得学生能够更加深刻地理解相似三角形的实际意义，提高了学生的学习积极性和主动性。
2.问题导向的教学策略：教师通过创设具有挑战性和思考性的问题，引发学生的思考和探究欲望。例如，“如何在三角形中找到一个与另一个三角形相似的三角形？”等问题，激发了学生的好奇心和求知欲，促使学生主动参与课堂学习。
4.拓展与应用：结合实际问题，引导学生运用相似三角形的判定方法解决问题。
5.课堂小结：总结本节课所学内容，强调相似三角形的判定方法和证明过程。
6.布置作业：设计课后作业，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
。
2.学生能够通过自主学习、合作探讨的方式，提高解决问题的能力。
（三）小组合作
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同探讨相似三角形的判定方法，鼓励学生之间互相表达自己的观点和思路。
2.小组竞赛：设计一些竞赛活动，如解题比赛、问题解决比赛等，激发学生的团队合作精神和竞争意识，提高学生的学习积极性。
（四）反思与评价
1.自我反思：鼓励学生在学习过程中进行自我反思，思考自己的学习方法、思维方式是否合适，找出自己的不足并进行改进。
3.学生对数学学科产生浓厚的兴趣，培养良好的学习习惯和团队协作精神。
六、教学反思
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。同时，关注学生在学习过程中存在的问题，及时给予指导和帮助，确保学生能够扎实掌握相似三角形的判定方法。
三、教学策略
初中数学_27.2.1相似三角形的判定3教学设计学情分析教材分析课后反思
《27.2.1 相似三角形的判定3》教学设计方案一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”[来源:][来源:学科网]2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、例题练习的意图本节课安排了教材第35页例题2及1个变式，选择这2个题目是希望学生通过这2个题的学习和练习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课学习“27.2.2 相似三角形的应用举例”打基础．四、教学过程设计教学环节及内容学生活动: 教师活动：1、复习回顾，问题引入（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．1、闭目思考，回顾所学2、结合所学内容解答第2个题3、思考第3小题检查学生掌握情况，利用第3小题导入新课（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△AB C相似吗？——引出课题．2、合作探究1问题1：两个大小不同的30°，60°三角板，观察这两个三角形是否相似？问题2：一般的两个三角形，只要有两个角分别相等，那么这两个三角形是否相似？问题3：你能尝试推理你的结论吗？结合图形写出已知、求证和证明过程。
思考：一个角对应相等的两个三角形是否相似？1、学生演示两个特殊三角形相似的依据2、小组讨论得出结论3、动手尝试对结论进行推理验证1、培养学生的动手能力。
北京版数学九年级上册《相似三角形判定定理三》教学设计2
北京版数学九年级上册《相似三角形判定定理三》教学设计2一. 教材分析《相似三角形判定定理三》是北京版数学九年级上册的一个重要内容。
本节课主要介绍利用边的比例关系和角的关系判定两个三角形相似的方法。
通过本节课的学习，学生能够掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材中给出了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的计算等基础知识，对于本节课的相似三角形判定定理，他们需要将已有的知识与新的知识进行整合。
学生在学习过程中需要具备一定的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
同时，学生应该具备良好的学习习惯和团队合作精神，能够主动探究、讨论问题，并在教师的引导下得出结论。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、讨论等方法，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在解决问题的过程中感受到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：如何运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、讨论，发现相似三角形的判定方法。
2.案例分析法：教师通过给出具体的例题，引导学生运用相似三角形的判定方法解决问题。
3.小组合作学习法：学生分组进行讨论、操作，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似三角形的判定方法及相关例题。
2.练习题：准备相关的练习题，巩固学生的学习效果。
3.教学工具：准备直尺、三角板等教学工具，方便学生进行操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的三角形性质和角的计算知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示相似三角形的判定方法，并用具体的例题进行解释。
人教版七年级数学下册《相似三角形的判定(3)》名师教案
27.2.1 相似三角形的判定第三课时一、教学目标 1．核心素养通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．2．学习目标（1）掌握相似三角形的判定方法3：两角分别相等的两个三角形相似． （2）掌握两个直角三角形相似的判定（HL ）:斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．3．学习重点相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL ）及其应用． 会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．4．学习难点探究相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL ）． 会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P35，思考：两角分别相等的两个三角形相似吗？如何证明？ 任务2 阅读教材P36，思考：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如何证明？2．预习检测1．两角分别 的两个三角形相似．斜边和一条直角边________的两个直角三角形相似．2．已知△ABC 的两个角分别是60°和72°，C B A '''∆的两个角分别是60°和48°，则△ABC 和C B A '''∆ ．3.已知在Rt △ABC 和Rt C B A '''∆中，︒='∠=∠90C C ，且B A ABC A AC ''=''，则Rt △ABC 和Rt C B A '''∆ ．（二）课堂设计1．知识回顾1． 全等三角形的判断方法：AAS,ASA,HL ．2．相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．3．三角形相似的判定方法1:三边成比例的两个三角形相似．4．三角形相似的判定方法2:两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似． 2．问题探究问题探究一 两角分别相等的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识★▲ ●活动1 导入新知，类比探究引入：小文同学不小心把学校实验室的玻璃打碎成三块，如图，现在，李文同学要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，为了省事，李文决定只带其中一块去做模型．小颖说：带第①块去． 小明说：带第②块去． 小华说：带第③块去．思考片刻后，李文同学决定接受小华的建议，带第③块去．这是因为在第③块中保留有原三角形的两角及夹边，果然，去配回的 三角形的玻璃与原三角形的玻璃一模一样．这件事给我们的启示是：有两角及夹边对应相等的两个三角形全等；那么，有两个角对应相等的三角形是否相似呢？相似三角形的判定是否有类似全等三角形的判定方法呢？●活动2 感悟新知：观察两副三角尺（如图），其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．提出问题：如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算11ABA B﹑11BCB C﹑11ACA C，你有什么发现？（学生独立操作并判断）分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C1，11ABA B=11BCB C=11ACA C．探究：分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断．）教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素．由此能得出三角形相似的判定定理：两个角分别相等的两个三角形相似．几何语言：如图，在△ABC与∆A1B1C1中，∵∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∴△ABC ∽△A1B1C1．●活动3 例题讲解，相似三角形判定3的应用例：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E是AC上一点，AE=5，ED ⊥AB,垂足为D,求AD的长．【知识点：相似三角形判定3；数学思想：数形结合】解：∵ ED⊥AB，∴ ∠EDA=90°． 又∠C=90 °， ∠A=∠A ， ∴△AED ∽△ABC ．.AD AEAC AB ∴=854.10AC AE AD AB •⨯∴===点拨：两个直角三角形，当有一个锐角相等时，它们相似．利用相似求线段长是常用方法． ●活动4 应用练习1．如图，已知点D ，E 分别在AB ，AC 或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形．【知识点：相似三角形判定3】解：△ADE ∽ △ACB ； △ADC ∽ △ACB ； △ADE ∽ △ABC ； △ADE ∽ △ACB 2．如图，过平行四边形ABCD 的一个顶点A 作一直线分别交对角线BD 、边BC 、边DC 的延长线于点E ，F ，G ．图中相似的三角形共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对 【知识点：相似三角形判定3】 解：C2．已知：如图，ΔABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：AF EFBFFD． 【知识点：相似三角形判定3】解：∵AD ⊥BC 、BE ⊥AC ，∴︒=∠=∠90FEA FDB ， ∴AFE BFD ∠=∠，∴BFD ∆∽AFE ∆，∴AFEFBFFD ． 问题探究二 两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识★▲ ●活动1 类比探究思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定．那么，满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？论证：事实上，这两个直角三角形相似．下面让学生讨论，得出证明． 如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中， ∠C ＝90°， ∠C′＝90°，,AB ACA B A C =''''求证： Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′． 分析：要证Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′ ， 可设法证.BC AB ACB C A B A C ==''''''==.AB AC BCk k A B A C B C=''''''若设，则只需证 ==,=.AB ACk AB kA B AC kA C A B A C ''''=''''设，则证明：2222,.BC AB AC B C A B A C ''''''=-=-由勾股定理，得222222.BC AB AC k A B k A C k B C k B CB C B C B C ''''''-•-••∴====''''''''.BC AB ACB C A B A C ∴==''''''∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′． 归纳：直角三角形相似的判定定理： (1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似； (3)斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 数学表达式：在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，(1)∵∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′，∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′； (2)∵∠C ＝∠C′＝90°，.AC BC A C B C ∴=''''∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′．（3）∵∠C ＝90°，∠C′＝90°，,AB ACA B A C =''''∴ Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′．●活动2 例题讲解，直角三角形相似的判定（HL ）的应用例1、在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( ) A ．∠A ＝55°，∠D ＝35° B ．AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8 C ．AC ＝3，BC ＝4，DF ＝6，DE ＝8 D ．AB ＝10，AC ＝8，DE ＝15，EF ＝9 【知识点：直角三角形相似的判定】解析：选项A ：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝55°，∴∠B ＝35°， ∵∠D ＝35°，∴∠B ＝∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （有一锐角相等的两个直角三角形相似）； 选项B ：∵AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8，∴43129==BC AC ，4386==EF DF ，∴EFDFBC AC =，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （两组直角边对应成比例的两直角三角形相似）； 选项C ：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5，在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DF ＝6，DE ＝8，∴EF ＝726822=-， ∴EE ：DF ：DE ＝72：6：8=7：3：4，故Rt △ABC 与Rt △DEF 不相似； 选项D ：在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DE ＝15，EF ＝9，∴DF=1291522=-，∴541512==DE DF ，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴54108==AB AC ，∴DEDF AB AC =，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似）． 故选C ．例2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似． 【知识点：直角三角形相似的判定】 射影定理：1．直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项; 2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．已知：如图，在RtΔABC 中，CD 是斜边AB 上的高． （1）求证：ΔACD∽ΔABC∽ΔCBD（2）求证：DB AD CD ⋅=2；AB AD AC ⋅=2； AB BD BC ⋅=2．证明:（1） ∵ ∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB=90°， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似） 同理 ΔCBD ∽ ΔABC． ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD．此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用．（2）由ΔCBD∽ΔACD，得DB CDCD AD =，∴DB AD CD ⋅=2． 由ΔACD∽ΔABC，得AB ACAC AD =，∴AB AD AC ⋅=2． 由ΔCBD∽ΔABC，得DBBCBC AB =，∴AB BD BC ⋅=2． 以上三个结论称为“射影定理”，今后可以直接使用．例3、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP ． 【知识点：直角三角形相似的判定】 解：设PC 的长为a ，则BP ＝3a ，正方形ABCD 的边长为4a ，DQ ＝2a ，AD ＝4a ，QC ＝2a ， ∴DQ AD ＝PC CQ ＝12， 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP ．点拨：当题中条件已知线段之间的关系时，可找出成比例的线段，又其夹角相等时，可得三角形相似． ●活动3 应用练习1．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( ) A ．∠B ＝∠B 1 B ．AB A 1B 1＝AC A 1C 1 C ．AB A 1B 1＝BC B 1C 1 D ．AB B 1C 1＝AC A 1C 1【知识点：直角三角形相似的判定】 解：D2．在△ABC 和△A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，AC ＝12，AB ＝15， A′C′＝8，则当A′B′＝____________时，△ABC ∽△A′B′C′． 【知识点：直角三角形相似的判定】 解：10问题探究三 如何利用相似三角形的基本图形证题？引入：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法． 活动1 合作探究，归纳总结思考：相似三角形的基本图形有哪些？学生讨论后归纳，相似三角形的几种基本图形如下：①如图：称为“平行线型”的相似三角形．（有“A 型”与“X 型”图）②如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形．（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、“蝶型”）③如图：称为“垂直型”．（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”、“三垂直型”）④如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形．EADBEB (D )EC A活动2 合作探究，归纳总结思考：怎么利用这些基本图形解题呢？在学生讨论的基础上总结，几种基本图形的具体应用： ①若DE ∥BC （A 型和X 型），则△ADE ∽△ABC ．②射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形），则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB，CD 2=AD ·BD，BC 2=BD ·AB．E A D CBEA DCBA D CB③满足：ⅰ、AC 2=AD·AB，ⅱ、∠ACD=∠B ，ⅲ、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ． ④当ABAEAC AD或AD·AB=AC·AE 时，△ADE ∽△ACB ． 活动3 例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件 （1）平行线型例1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D ．(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【知识点：相似三角形的判定与性质，三角形面积；数学思想：数形结合】 分析：要证AE·BC＝BD·AC，需证AE AC ＝BDBC ．又由ED ∥BC ，有△ADE ∽△ABC ，可得AE AC ＝DEBC，因此只需证DE ＝BD 即可． 详解：(1)证明：∵ED ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ．∴AE AC ＝DE BC． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC ． ∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC ． ∴∠DBE ＝∠DEB ．∴DE ＝BD ．∴AE AC ＝BD BC，即AE·BC＝BD·AC．(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高， h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高， h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高． ∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32． ∴h △ADE h △ABC ＝35． ∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35．∵DE ＝6，∴BC ＝10．点拨：将乘积式转化为比例式，再利用比例式找三角形相似是常用之法． （2）斜交型例2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由． 【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：由EO BO ＝DOCO ，及夹角相等，易得△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB ，再设法证∠ADE ＝∠ABC 即可． 解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DOCO，∠BOE ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ， 所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB ．所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO ．因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ， ∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO ．所以∠ADE ＝∠ABC ．又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ． （3）垂直型例3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F ．求证：AB AC ＝DF AF ．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】 分析：由“垂直型”相似，可得△ABC ∽△DBA ，有AB AC ＝DB DA，需证DB AD ＝DF AF ，应证△DBF ∽△ADF ． 证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAC ＝∠ADB ＝90°．又∵∠CBA ＝∠ABD ，∴△ABC ∽△DBA ．∴AB AC ＝DB DA，∠BAD ＝∠C ． ∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC ．∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C ．∴∠BDF ＝∠BAD ．又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF ．∴DB AD ＝DF AF ．∴AB AC ＝DF AF． 点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”．有时还可用“等积替换法”．（4）旋转型例4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC ．求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE． 【知识点：相似三角形的判定与性质】证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC ．又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC ．(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC． ∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC ．∴AD AE ＝BD CE． 点拨：由“旋转型”，易得对应的角相等．问题探究四 证比例式或等积式有哪些技巧？证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．活动1 合作探究，证比例式或等积式的技巧技巧1 构造平行线法例1．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E．求证：AE•ED＝2AF•FB．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：图中无三角形相似，应作辅助性构造三角形相似,作平行线是常用之法．证明：如图，过点B作BN∥CF交AD的延长线于点N．∴AFFB＝AEEN，∠ECD＝∠NBD．又∵∠CDE＝∠BDN，∴△EDC∽△NDB．∴EDDN＝CDBD．∵BD＝CD，∴ED＝DN＝12 EN．∴AFFB＝AE2ED．∴AE•ED＝2AF•FB．点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．技巧2 “三点定型”找三角形相似法例2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E．求证：AM2＝MD·ME．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证AM2＝MD·ME，即证AMMD＝MEAM．横看知，需证△AME与△DMA相似．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°．∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D ．又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM ．∴∠B ＝∠BAM ．∴∠BAM ＝∠D ．又∵∠AME ＝∠DMA ．∴△AME ∽△DMA ． ∴AM MD ＝ME AM ．∴AM 2＝MD·ME． 点拨：由比例式找三角形相似，可运用“三点定型法”找相似三角形，口诀是：横看、竖看定相似．技巧3 构造相似三角形法例3．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N ．求证：BP·CP＝BM·CN．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：要证BP·CP＝BM·CN，即证BP CN ＝BM CP，由横看知， 需证△BPM ∽△CNP ，因此应连接PM 、PN ，构造出△BPM 和△CNP ．证明：如图，连接PM ，PN ． ∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA ＝MP ，NA ＝NP ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°．∴∠2＋∠4＝60°．∴∠5＋∠6＝120°．又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°．∴∠5＝∠7．∴△BPM ∽△CNP ．∴BP CN ＝BM CP，即BP·CP＝BM·CN． 点拨：通过要证的比例式，用“三点定型法”找到需证明的相似三角形，若这两三角形不存在，就应通过作辅助线构造出来．技巧4 等比过渡法例4．如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP 于点G ，交CE 于点D ．求证：CE 2＝DE·PE．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由“垂直型”相似，可利用射影定理得CE 2＝AE·BE,要证CE 2＝DE·PE，就需证DE·PE＝AE·BE,就需证△DEB ∽△AEP ．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠BED ＝∠AGB ＝90°．∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠ABG ＝90°．∴∠P ＝∠ABG ．∴△AEP ∽△DEB ． ∴AE DE ＝PE BE ，即AE·BE＝PE·DE． 又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°．又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°．∴∠ACE ＝∠CBE ．∴△AEC ∽△CEB ．∴AE CE ＝CE BE，即CE 2＝AE·BE．∴CE 2＝DE·PE． 点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，就可以采用“等比过渡法”证明．技巧5 等积代换法例5．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：AE AF ＝AC AB． 【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证AE AF ＝AC AB，可证AE·AB＝AF·AC，又由“垂直型”相似，可利用射影定理得AE·AB＝AD 2，AF·AC= AD 2，故得证．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°．又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ADE ∽△ABD ，得AD 2＝AE·AB，同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AEAF＝ACAB．点拨：要证的比例式，不能直接通过证三角形相似得到，可将比例式转化为乘积式，利用“等积代换法”来证．技巧6 等线段代换法例6．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P．求证：PD2＝PB·PC．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由EP垂直平分AD，可连接AP，有PA=PD．要证PD2＝PB·PC，可证PA2＝PB·PC，需证△PAC∽△PBA．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD．∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．∴∠B＝∠CAP．又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴PAPB＝PCPA，即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC．点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，也可把其中的一条线段替换成与它线段的线段，再找三角形相似来证明．活动2 巩固练习1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M．∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF．∴BFCF＝BDCM．又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME．∴AE EC ＝AD CM ．∵D 为AB 的中点， ∴BD CM ＝AD CM ．∴BF CF ＝AE EC，即AE·CF＝BF·EC． 2．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证：BF BE ＝AB BC． 【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：易得∠BAC ＝∠BDF ＝90°．∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBF ，∴△BDF ∽△BAE ，得BD AB ＝BF BE． ∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA ．∴△ABC ∽△DBA ，得AB BC ＝BD AB ，∴BF BE ＝AB BC． 3．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝P E·PF．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：连接PC ，如图．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB ，∴BP ＝CP ，∴∠1＝∠2，∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4．∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠4＝∠F ．又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC ，∴CP PE ＝PF CP，即CP 2＝PF·PE．∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF． 3．课堂总结【知识梳理】（1）相似三角形的判定3：两角分别相等的两个三角形相似．（2）两个直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）三角形相似的基本图形有：“平行线型”、“斜交型”、“垂直型”、“旋转型”．（4）证明比例式或等积式的常用技巧有：构造平行线法、“三点定型”找三角形相似法、构造相似三角形法、等比过渡法、等积代换法、等线段代换法．【重难点突破】（1）两角分别相等的两个三角形相似，是判断两三角形是否相似的常用方法之一．当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等．（2）找对应角的方法：对顶角一定是对应角；公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；对应角所对的边一定是对应边；对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．（3）判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例．（4）常用的重要结论：①母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；②射影定理：直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．(5)熟悉三角形相似的基本图形,掌握证比例式或等积式的技巧，并会熟练应用．4．随堂检测1．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( )A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′【知识点：相似三角形判定3】2．下列说法：①有一个110°角的两个等腰三角形相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个60°角的两个等腰三角形相似；④有一个70°角的两个等腰三角形相似；⑤有一个底角相等的两个等腰三角形相似．其中正确的个数是( )A．5 B．4 C．3 D．2【知识点：相似三角形判定3】3．已知点R在直角三角形的直角边上，过点R作直线使截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线最多可作的条数是（）A．4条 B．3条 C． 2条 D． 1条【知识点：相似三角形判定3】4．已知点M、N分别是矩形ABCD的边CD、BC上的点，AM⊥MN，则一定有（）A．ΔADM∽ΔAMN B．ΔMCN∽ΔAMNC．ΔAMN∽ΔABN D．ΔADM∽ΔMCN【知识点：两直角三角形相似的判定】5．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若AB=12，BC=18，则CD的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【知识点：两直角三角形相似判定的应用】（三）课后作业基础型自主突破1．下列说法正确的是（）A.两个相似三角形全等 B．两个顶角为80°的等腰三角形相似C．两个直角三角形相似 D．所有等腰三角形都相似【知识点：相似三角形的判定】2．下列各对三角形中一定不相似的是（）A．△ABC中，∠A=46°，∠B=74°；△A′B′C′中，∠C′=60°，∠B′=74°B．△ABC中，∠B=90°，AB=10，AC=26; △A′B′C′中，∠B′=90°，A′B′=5a，B′C′=12a C．△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm; △A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=24cm，B′C′=30cmD．△ABC中，∠C=90°，∠A=48°; △A′B′C′中，∠C′=90°，∠A′=42°【知识点：相似三角形的判定】中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，则图中的相似三角形有（）3．如图，在ABCA 4对B 3 对C 2 对D 1对【知识点：相似三角形的判定3】4．如图，MN∥EF，MF、EN交于O，MO=6，FO=8，EN=21，则EO长为（）A．8 B．9 C．10 D．12【知识点：相似三角形的判定3及应用；数学思想：数形结合】5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，AC=30，AD=18，则BC= ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，勾股定理；数学思想：数形结合】6．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．AMCB【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合、分类讨论】能力型 师生共研7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，BC ＝6，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G ，H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是( )A ．35B ．295 C ．7．5 D ．9【知识点：相似三角形的判定及应用，矩形、菱形性质；数学思想：数形结合】8.如图，正方形ABCD 中，AE=BE ，AF ⊥DE 于点G ，则______ DGAG ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质】9．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=15．D 为AC 上一点，AD=2CD ，CH ⊥BD 于H ，点G 是AB 中点，连接GH ，则GH= ．【知识点：相似三角形的判定及应用，三角形全等，等腰直角三角形性质；数学思想：数形结合】10．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别是BC ，AC 边上的点，且∠AEF ＝∠B ．(1)求证：AC·CF＝CE·BE；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当EF ∥AB 时，求BE 的长．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】探究型 多维突破11．如图，五边形ABCDE 是正五边形，其边长为2，对角线BE ，CE 与对角线AD 分别交于点F ，G ．给出下列结论：①∠AFE=108°；②AD AF AG ⋅=2；③FG=3﹣；④S △EBC =2﹣1．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点：相似三角形的判定及应用，勾股定理，正五边形的性质；数学思想：数形结合】12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 上，AE=EC ，AB 延长线与ED 延长线交于点F ．求证：AB·AF＝AC·DF．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：转化思想】 自助餐1．下列各组条件中，能推得△ABC 与△GMN 相似的是（ ） A ．∠A=∠M 且∠G=∠N B ．∠A=∠B 且∠G=∠N C ．∠A=∠M 且MG AC AB MN = D ．∠A=∠M 且MGBC AB GN=【知识点：相似三角形的判定】2．如图，在△ABC 中，∠A=78°，AB=8，AC=12．下列图中阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（ ）【知识点：相似三角形的判定；数学思想：数形结合】3．如图，在△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠EBC ＝∠EAC ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于( )A ．154B ．125C ．203D ．174【知识点：相似三角形的判定3及应用；数学思想：数形结合】4．如图，FGA BAC ∆≅∆，∠BAC=∠FGA=90°，AB=AC ，下列不正确的是（ ）A ． △DAE ∽△DCAB ． △EAD ∽△EBAC ． △BAE ∽△CDAD ． △BAD ∽△CAE 【知识点：相似三角形判定3，等腰直角三角形性质】5．如图，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 、DC 上，且DE ⊥AF 于M ，∠BAE=∠EAF ，BE=3，AE=2，则MF 的长是（ ）A ．B ．C ．1D ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质，勾股定理；数学思想：数形结合】6．如图，E 为矩形ABCD 的边DC 中点，AD=23AB，BP=2CP ，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ； ②EF PB BF ⋅=2；③22AD EF PF =⋅；a ④PO AO EP EF ⋅=⋅4．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④ 【知识点：直角三角形相似的判定及应用，矩形性质；数学思想：数形结合】 7.如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，BC=24，CD=18， 则AD= ．DC BA【知识点：直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合】8．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在边CD 上，AD=4，AB=10，要使△ADE 与△BCE 相似，则DE 的长为= ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合、分类讨论】 9．如图，在△ABC 中，∠BAD=∠CAD ，延长BC 到E ，EF ⊥AD 于点F ，FG=FD ，连接EG 交AC 于点H ．若AB ：AC=5：4，点H 是AC 的中点，则AG:FD 的值为 ．【知识点：三角形全等，等腰三角形，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】10.已知：如图，在△ABC中，CM⊥AB于M，BN⊥AC于N．求证：△AMN∽△ACB．【知识点：相似三角形的判定及应用】11．如图，在直角△ABC中，斜边AB=100，AC=80，点M从A点出发沿AB边以每秒10个单位的速度向点B运动，同时点N从C点出发沿CA边以每秒8个单位的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜10），连接MN．（1）若△AMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接BN，CM，若BN⊥CM，求t的值；（3）试证明：MN的中点在△ABC的一条中位线上．【知识点：相似判定及应用；数学思想：数形结合】12．如图，在△ABC中，AM垂直平分BC，AM=16，BC=20．点G从点B出发沿线段BC以每秒6个单位长度的速度向点C运动，与此同时，平行于BC的直线m 从底边BC出发，以每秒4个单位长度的速度沿MA方向平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点G到达点C时，点G与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接ME、MF，求证：四边形AEMF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△GEF的面积存在最大值，当△GEF的面积最大时，求线段BG的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△GEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．【知识点：菱形的判定与性质，相似三角形判定及应用，勾股定理；数学思想：数形结合、分类讨论】五．参考答案 预习自测 1．相等 成比例 2．相似 3．相似 随堂检测 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 课后作业 基础型 1．B 2．C 3．A 4．D5． 40 由射影定理，得AB AD AC ⋅=2，即AB ⨯=18302，AB=50，∴BC=40． 6． 4或6 如图1，当MN ∥BC 时，则△AMN ∽△ABC ，图2图1N ABCMNMCBA故AM:AB=AN:AC=MN:BC ， 则3：9=MN:12，解得：MN=4，如图2所示：当∠ANM=∠B 时， 又∵∠A=∠A ，∴△ANM ∽△ABC ，∴AM:AC=MN:BC ，即3：6=MN:12，解得：MN=6， 故答案为：4或6． 能力型7．C 由四边形EGFH 是菱形，则EF ⊥GH ， 假设线段EF 、GH 交于点O,则O 为AC 中点， 则5321==AC AO ，又ABC ∆∽AOE ∆， 则5612==AC AB AE AO ，解得AE=7．5．故选C ． 8．21 由EAD ∆∽AGD ∆，得21G ==AD AE DG A ．9．53 在BD 上截取BE=CH ，连接CG ，GE ， ∵∠ACB=90°，CH ⊥BD ，∵AC=BC=15，CD=5，∴BD=510，∴△CDH ∽△BDC ， ∴，.2102103==∴DH CH ， 易证△CHG ≌△BEG ，∴GE=GH ，∠BGE=∠HGC ，∵GC ⊥BG ，∴∠EGH=90°，即△HGE 是等腰直角三角形， ，1032103210105=--=--=CH DH BD EH .5322=⨯=∴EH GH 10．(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ， ∵∠AEF ＝∠B ，∴∠AEF ＝∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠BAE ＋∠B ，∠AEC ＝∠AEF ＋∠FEC ，∴∠BAE ＝∠FEC ，∴△ABE ∽△ECF ， ∴CEABCF BE =，∴AB·CF＝CE·BE， ∵AB ＝AC ，∴AC ·CF＝CE·BE (2)∵EF ∥AB ，∴∠AEF ＝∠BAE ， ∵∠AEF ＝∠C ，∴∠BAE ＝∠C ， ∵∠B ＝∠B ，∴△BAE ∽△BCA ，∴BA BEBC BA =，∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝10B E ，∴BE ＝253． 探究型11． C ∵∠BAE=∠AED=108°，∵AB=AE=DE ，∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，∴∠AFE=180°﹣∠EAF ﹣∠AEF=108°，故①正确；∵∠AEG=108°﹣36°=72°，∠AGE=36°+36°=72°， ∴∠AEG=∠AGE ， ∴AE=AG ，同理DE=DF ，∴AE=DF ，∵∠EAD=∠AEF=∠ADE=36°，∴△AEF ∽△ADE ，∴AEA AD AE F =，∴AE 2=AF •AD；∴AG 2=AF•AD；故②正确； ∵AE 2=AF•AD，∴22=（2﹣FG ）（4﹣FG ），∴FG=3﹣5；故③正确；在正五边形ABCDE 中， ∵BE=CE=AD=1+5，∴BH=21BC=1， ∴EH==，∴S △EBC =21BC•EH=21×2×=，故④错误；故选C ．12．∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADB ＝∠BAC ＝90°，∠ABD ＝∠ABD ， ∴△ABC ∽△DBA ，∴AB AC ＝BD AD， ∠BAD ＋∠DAC ＝∠C ＋∠DAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C ，∠ADC ＝90°，。
九年级数学下册 2721相似三角形的判定(3) 精品教案 人教新课标版 教案
A' C B'
论.
感性认识，再通
过语言描述建立
C' 画图、测量、计算、 理性认识(定理) 猜想、验证.
4.用数学语言描述你的发现. 5.和周围同学交流一下,你们的结论一样吗?尝试类比三边判定方 法证明. （二）判定的应用 1.教材 46 页例 2 ①本题所证形式有什么特点？可能通过什么知识点来证明？题中 有所需图形吗？因此对本题需要先做什么？ ②怎样构造和所证形式有关的一对三角形？
教 学 反思
情感
标
发展学生的探究能力,渗透类比思想,体会特殊与一般的关系.
态度
教 学 重 点 掌握相似三角形的判定,能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似.
教 学 难 点 探究、发现结论
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
复习引入 1.现在我们怎么样判断两个三角形相似？ 2.你觉得还可能有怎样的判定方法? 引出本课,揭示课题
教师提出问题，学 生回忆，思考，并 回答，大胆猜想.
复习相关知识， 建立新旧知识之 间的联系,培养
二、自主探究
类比迁移意识.
（一）相似三角形的判定 教材 46 页探究 4
三角形的全等的判定方法中,具备两个角对应相等不能用来
教师组织学生按
激起学生的好奇 心，探索欲望.
判定全等,那么能否用来判定三角形相似呢？
学生试做，之后教 师进行必要点拨， 通过分析,判断 让学生注意到分 方法选取 析题目，有时分析
法对思路的确定
更有效.
让学生亲自进行
27
板书设计
相似三角形的判定 直角三角形的判定
数学九年级下册《相似三角形的判定3》教案
初中20 -20 学年度第一学期教学设计主备教师审核教师授课周次授课时间课题27.2.4相似三角形的判定3 课型新授课教学目标1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法；2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
教学重点掌握并应用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法；教学难点掌握并应用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法；教学方法与手段类比法教学准备多媒体第一课时课时数1课时课堂教学实施设计（教师活动、学生活动）复备内容或集体备课讨论记录(标、增、改、删、调)一．复习引入：师：1）我们学过哪些判定三角形相似的方法？生：定义法，平行线法，SSS法，SAS法。
2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．师：那今天我们继续类比全等三角形的判定学习相似三角形的判定。
二．新课引入：1）研读课文：思考：如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，求证: △ABC∽△A'B'C'归纳：相似三角形的判定4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（AA ）符号语言表示为：∵∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∴△A ′B ′C ′∽△ABC2)例题讲解:例1（教材例2）．分析：要证PA •PB=PC •PD ，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．证明：略（见教材例2）．例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=）． 三：自学检测：判断题：⑴所有的直角三角形都相似.（ ）⑵所有的等边三角形都相似.（ ）⑶所有的等腰直角三角形都相似.（ ）⑷有一个角相等的两等腰三角形相似四．巩固训练：已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：．五：能力提升：已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：AC •BC=BE•CD ；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙OPBPC PD PA =310FDEF BF AF =的直径BE的长．六．小结：七：作业：教学反思（教学内容、过程、策略）：板书设计：相似三角形的判定判定1：平行线法：判定:2：SSS法：。
《相似三角形的判定3》教案-人教版数学九年级下册
《相似三角形的判定3》教案教学目标：知识与技能：掌握 “两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法。
能运用其解决简单的问题。
过程与方法：类比全等三角形的条件（AAS 、ASA ），经历探索相似三角形的判定定理的探索过程，体验观察猜想分析归纳得出数学结论的过程，加深对定理的理解，通过实际应用提高学生的逻辑推理能力。
情感、态度与价值观：培养学生获得数学猜想的经验、合作交流、主动参与的意识，激发学生探索知识的兴趣。
教学重点：掌握相似三角形相似判定方法三及其应用。
教学难点：（1）探究三角形相似的条件。
（2）运用三角形相似的判定定理解决问题。
教学过程：一、复习引入提问：前面，我们已经学习了一些判定两个三角形相似的方法，你知道有哪些吗？类比全等三角形的判定，,还有其它方法吗?二、探究新知1．想一想：请同学们观察你们手里的三角板和老师的一个直角三角板（有30°，60°的角），这两个三角板的外围的三角形的三个内角有什么关系？两个三角形相似吗？如何判定？分析：由于这两块三角板有两个内角相等，根据三角形内角和定理可以发现第三个内角也相等，从形状上看它们形状相同，因此这两个三角形可能是相似的。
2.量一量：请你借助刻度尺度量AB 、A ＇B ＇、ＡＣ、Ａ＇Ｃ＇、ＢＣ、Ｂ＇Ｃ＇的长。
3算一算：计算''C B BC C A AC B A AB ，，'''' 的比值,你有什么发现？ 5.验一验：对于满足两角相等的任意两个三角形是否都有这样结论？4.猜一猜：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。
有必要三个角对应相等吗？教师活动：引导学生进行上述操作，并用几何画扳演示，进一步巩固刚才的发现。
6.证明猜想.如图：已知△ABC 与△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，求证：△ABC ∽△A′B′C′7.形成结论：三角形相似的判定方法3：两角对应相等，两三角形相似8.结合右边图形写出定理的符号语言：∵∴ 小结：学习了三角形相似的判定方法3，这能解决什么问题？三、新知应用1.判断下列图形中两个三角形是否相似？(1) (2) (3)2如图（4），在△ABC 中, 点D 在边AC 上，点E 在边AB 上 ，满足∠______=∠________时，△ADE 与△ABC 相似。
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课题：27.2.1相似三角形的判定3
学习目标：
1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
学习重点:三角形相似的判定方法4——“两角对应相等，两个三角形相似”．学习难点:三角形相似的判定方法4的运用．
教具:三角板
学法指导：自主完成一、认真阅读教材小组合作交流完成二、三、四、五
学习过程备注
一、复习导学:
1、我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
2、如图，△ABC中，点D在AB上，如果
AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似
吗？说说你的理由．
二、探究新知：
问题1：观察两副三角板其中同样度数的两个三角尺相似吗？说说理由。
问题2：作△ABC和△A/B/C/ 使得∠A=∠A/ ,∠B=∠B/，这时它们的第三个角满足∠C=∠C/ 吗？分别度量这两个三角形的边长，计算△ABC和△A/B/C/的对应边的比是否相等？自主完成
把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A/B/C/相似吗？
小结：三角形相似的判定方法4：的两个三角形相似．
几何语言：
证明：
三、巩固提升
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.
解：
由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足_______或_____，那么这两个直角三角形相似.
四、思考探究：
对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等。
那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗? 自己画图证明。
自己动脑完成看谁最先做出来
已知:如图，Rt△ABC与Rt△A/B/C/中，∠C=∠C/ =90°，
AB：A/B/=AC：A/ C/ .求证: Rt△ABC∽Rt△A/B/C/
结论：_________________________________________________
五、能力提升：
1、已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
2、已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：AF EF BF FD
．
六、小结小组交流展示讲解。