数学---广东省揭阳市惠来一中、揭东一中联考2016-2017学年高一(下)期末试卷(理)(解析版)

广东省揭阳市惠来一中、揭东一中联考2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知两直线m、n和平面α，若m⊥α，n∥α，则直线m、n的关系一定成立的是（）A．m与n是异面直线B．m⊥nC．m与n是相交直线D．m∥n2．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变3．（5分）若直线l1：mx﹣3y﹣2=0与直线l2：（2﹣m）x﹣3y+5=0互相平行，则实数m的值为（）A．2 B．﹣1 C．1 D．04．（5分）利用计算机在区间（，2）内产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=2cos2（x+）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为π的偶函数6．（5分）已知程序框图如图所示，如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（）A．k＜11？B．k＜12？C．k＜13？D．k＜14？7．（5分）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）的对应表：则函数f（x）存在零点的区间有（）A．区间[2，3]和[3，4] B．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]C．区间[2，3]、[3，4]和[4，5] D．区间[1，2]、[2，3]和[3，4]8．（5分）函数y=ln（﹣x2+2x+3）的单调递减区间是（）A．（1，+∞）B．（﹣1，1] C．[1，3）D．（﹣∞，1）9．（5分）若函数f（x）=3a x﹣k+1（a＞0，且a≠1）过定点（2，4），且f（x）在定义域R内是增函数，则函数g（x）=log a（x﹣k）的图象是（）A．B．C．D．10．（5分）如果圆x2+y2+2m（x+y）+2m2﹣8=0上总存在到点（0，0）的距离为的点，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣3，3）C．（﹣3，﹣1）∪（1，3）D．[﹣3，﹣1]∪[1，3]11．（5分）同时具有性质：①图象的一个零点和其相邻对称轴间的距离是；②在区间[﹣，]上是增函数的一个函数为（）A．y=cos（+）B．y=sin（+）C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（2x﹣）12．（5分）定义在区间（1，+∞）内的函数f（x）满足下列两个条件：①对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．已知函数y=f（x）的图象与直线mx﹣y﹣m=0恰有两个交点，则实数m的取值范围是（）A．[1，2）B．（1，2] C．[，2）D．（，2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）设某总体是由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取4个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为.0618 0765 4544 1816 5809 7983 86197606 8350 0310 5923 4605 0526 6238．14．（5分）设m∈R，向量=（m+1，3），=（2，﹣m），且⊥，则|+|=．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．16．（5分）已知cosα+sin（α﹣）=﹣，则cos（2α+）=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．（Ⅰ）用向量，表示．（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．18．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表（1）写出a，b，x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率．19．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．20．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A﹣DF﹣B的大小．21．（12分）已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若•=12，求k的值．22．（12分）已知函数f（x）=（）x，（1）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）；（2）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】两直线m、n和平面α，若m⊥α，n∥α，m与n是异面直线有可能是相交直线，A不正确；m⊥n正确；m与n是相交直线，有可能是异面直线．m∥n是不可能的．故选B．2．B【解析】∵数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大故选B.3．C【解析】∵直线l1：mx﹣3y﹣2=0与直线l2：（2﹣m）x﹣3y+5=0互相平行，∴m=2﹣m，解得：m=1．故选C．4．D【解析】∵不等式ln（3a﹣1）＜0，∴0＜3a﹣1＜1，解得，∴在区间（，2）内产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是p==．故选D．5．A【解析】∵y=2cos2（x+）﹣1=1+cos（2x+）﹣1=cos（2x+）=sin2x，∴最小正周期为T==π，利用正弦函数的图象和性质可知函数为最小正周期为π的奇函数．故选A．6．A【解析】按照程序框图依次执行可得：k=12，S=1；进入循环，S=1×12=12，k=11；进入循环，s=12×11=132，k=10，此时，由题意可得，跳出循环，输出S的值为132，故k=10满足判断框内的条件，而k=11不满足，故判断框内的条件应为k≤10或k＜11．故选A．7．D【解析】由已知条件可得：f（1）=﹣8＜0，f（2）=2＞0，f（3）=﹣3＜0，f（4）=5＞0．可得f（1）f（2）＜0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＜0，函数f（x）的图象是连续不断的，由零点判定定理可知：函数的零点在区间[1，2]、[2，3]和[3，4]．故选D．8．C【解析】由题意得﹣x2+2x+3＞0，解得：﹣1＜x＜3，∴函数的定义域是（﹣1，3），令t（x）=﹣x2+2x+3，对称轴x=1，开口向下，∴t（x）在[1，3）递减，∴函数y=ln（﹣x2+2x+3）的单调递减区间是[1，3），故选C．9．A【解析】由题意可知f（2）=4，3a2﹣k+1=4解得k=2，所以f（x）=a x﹣2+1，又因为是减函数，所以0＜a＜1．此时g（x）=log a（x﹣2）也是单调减的，且过点（3，0）．故选A符合题意．故选A．10．D【解析】圆x2+y2+2m（x+y）+2m2﹣8=0，即（x+m）2+（y+m）2=8的圆心（﹣m，﹣m）到原点的距离为|m|，半径r=2，由圆（x+m）2+（y+m）2=8上总存在点到原点的距离为，∴2﹣≤|m|≤2+，∴1≤|m|≤=3，解得1≤m≤3或﹣3≤m≤﹣1．∴实数m的取值范围是[﹣3，﹣1]∪[1，3]．故选D．11．C【解析】由题意：①图象的一个零点和其相邻对称轴间的距离是，可知函数的周期T=π．②在区间[﹣，]上是增函数．对于A：y=cos（+），其周期T=4π，∴A不对；对于B：y=sin（+），其周期T=4π，∴B不对；对于C：y=sin（2x﹣）其周期T=π，x∈[﹣，]上，∴﹣≤2x﹣≤，∴函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，]上是增函数，∴C对．对于D：y=cos（2x﹣）其周期T=π，x∈[﹣，]上，∴﹣≤2x﹣≤，∴函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上不是增函数，∴D不对．故选C12．C【解析】定义在区间（1，+∞）内的函数f（x）满足下列两个条件：①对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，直线y=m（x﹣1）过定点M（1，0），画出f（x）在（1，+∞）上的部分图象如图，得A（2，2）、B（4，4）．又k MB=，k MA=2．由题意得f（x）=m（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）分析图象知，当≤m＜2时f（x）=m（x﹣1）有两个不同的解．故选C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．09【解析】设某总体是由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取4个个体：0618 0765 4544 1816 5809 7983 86197606 8350 0310 5923 4605 0526 6238选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的前4个个体的编号分别为：18，07，16，09，∴选出来的第4个个体的编号为09．故答案为09．14．【解析】∵向量=（m+1，3），=（2，﹣m），且⊥，∴=2m+2﹣3m=2﹣m=0，∴m=2，∴向量=（3，3），=（2，﹣2），∴|+|====，故答案为．15．【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体底面为等腰三角形，侧棱P A⊥底面ABC，，∴．故答案为．16．【解析】∵cosα+sin（α﹣）=cosα+sinαcos﹣cosαsin=cosα+sinα=sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2=1﹣2×=，故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE；∴=，==（﹣），∴=+=+（﹣）=+；（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，则=+2×ו+=×62+×6×4×cos60°+×42=7，∴||=，即线段DE的长为．18．解：（1）由题意可知，a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004．（2）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）==．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY 共7种情况．所以P（F）=．答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是．19．解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以．所以．（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而，所以==．因为，所以当时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为．20．解：方法一（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，连接OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF∴∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角在Rt△ASB中，AS==，AB=，∴，∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD=N，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），∴=（，又点A、M的坐标分别是（）、（∴=（∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDF（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，∴AB⊥平面ADF∴为平面DAF的法向量∵=（•=0，∴=（•=0得，∴NE为平面BDF 的法向量，∴cos＜＞=∴的夹角是60°即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°21．解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2∵圆C被直线m：3x﹣2y=0平分，∴圆心C（a，b）在直线m上，可得3a﹣2b=0…①，又∵点A（1，3）、B（2，2）在圆上，∴…②，将①②联解，得a=2，b=3，r=1．∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=1；（2）过点D（0，1）且斜率为k的直线l方程为y=kx+1，即kx﹣y+1=0，（I）∵直线l与圆C有两个不同的交点M、N，∴点C（2，3）到直线l的距离小于半径r，即，解之得＜k＜；（II）由消去y，得（1+k2）x2﹣（4+4k）x+7=0．设直线l与圆C有两个不同的交点坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=++1，∵•=+（++1）=12，解之得k=1．22．解：（1）∵x∈[﹣1，1]，∴f（x）=（）x∈[，3]，y=[f（x）]2﹣2af（x）+3=[（）x]2﹣2a（）x+3=[（）x﹣a]2+3﹣a2，由一元二次函数的性质分三种情况：当a＜时，y min=g（a）=﹣；当≤a≤3时，y min=g（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=g（a）=12﹣6a，∴g（a）=（2）假设存在满足题意的m、n，∵m＞n＞3，且g（x）=12﹣6x在（3，+∞）上是减函数，又g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]．∴，两式相减得：6（m﹣n）=（m+n）（m﹣n），∵m＞n＞3，∴m+n=6，但这与“m＞n＞3”矛盾，∴满足题意的m、n不存在．。