福建省厦门市高一下学期期末数学试卷
2023-2024学年福建省厦门市高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则()A.B.C.D.2.为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为()A.600B.480C.400D.3603.在梯形ABCD 中，，，，以AD 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为()A.B.C.D.4.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，甲、乙两人同时获奖的概率为，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为()A.B.C.D.5.如图，甲在M 处观测到河对岸的某建筑物在北偏东方向，顶部P 的仰角为，往正东方向前进150m 到达N 处，测得该建筑物在北偏西方向.底部Q 和M ，N 在同一水平面内，则该建筑物的高PQ 为()A.B.C.D.6.已知，，是三个不重合的平面，，，则()A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则7.若，则()A.1B.C. D.28.向量满足，则的最大值为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某学校开展消防安全知识培训，对甲、乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示()A.甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数B.乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数C.甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数D.乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数10.在梯形ABCD中，，则()A. B.C. D.在上的投影向量为11.在长方体中，，动点P满足，则()A.当时，B.当时，AC与DP是异面直线C.当时，三棱锥的外接球体积的最大值为D.当时，存在点P，使得平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
福建省厦门市高一下学期数学期末考试试卷
福建省厦门市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一下·连云港期末) 两条平行直线与的距离是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·元氏期中) 如果，那么下列不等式中正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高二上·遂宁期末) 若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（）A .B .C .D .5. （2分）已知sin（π﹣α）=﹣，且α是第四象限的角，那么cosα的值是（）A . ﹣B .C . ±D .6. （2分） (2020高三上·宣化月考) 已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和等于（）A . 9B . 18C . 36D . 727. （2分） (2017高二下·姚安期中) 函数y= sin（x+ ）+cos（﹣x）的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·浙江期中) 已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2 ， g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max ，H2(x)＝min (max 表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝（）A . 16B . －16C . a2－2a－16D . a2＋2a－169. （2分）(2018·天津模拟) 已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，若在区间(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，则ω的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·宁波期中) 对于定义域为R的函数，若存在非零实数，使函数在和上与轴都有交点，则称为函数的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高一下·宁波期中) 已知直线与直线，若，则 ________；若，则 ________.12. （1分）(2017·赣州模拟) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为________．13. （1分） (2019高三上·朝阳月考) 在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一点C，满足，则r的值为________．14. （1分） (2019高二上·沭阳期中) 设正实数满足，则的最小值为________.15. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，，则 ________.三、双空题 (共2题；共2分)16. （1分）(2020·许昌模拟) 已知 ,则＝________．17. （1分）(2020·江西模拟) 定义新运算：，已知数列满足，且，若对任意的正整数n，不等式总成立，则实数m的取值范围为________.四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）(2019·东北三省模拟) 已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且 .（1）求数列、的通项公式；（2）记中，求数列的前项和 .19. （10分） (2020高二下·慈溪期末) 在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积 .20. （10分）(2019·中山模拟) 设函数，其中 .（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）若成立，求的取值范围.21. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，且t≠0)，其中0，在以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:：=2sin， C3:=2cos（1）求C2与C3交点的直角坐标（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|最大值22. （10分） (2019高二上·北京期中) 已知数列是等差数列，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为2，公比为2的等比数列，求数列的前项和．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、双空题 (共2题；共2分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：四、解答题 (共5题；共50分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
福建省厦门市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题
福建省厦门市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．如图是全国居民消费价格涨跌幅的统计图（月度同比增长率是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比增长率是指本月和上一个月相比较的增长率），从2022年5月到2023年5月（）A．全国居民消费价格月度同比涨跌幅的极差为1.9%B．2023年1月份全国居民消费价格月度环比涨幅最大383 383 384 387 388 391 393 395 399 402403 404 405 405 405 406 409 410 411 411411 412 413 415 415 415 416 416 418 418419 424 427 427 428 431 431 432 432 437437 438 441 443 447 449 450 452 457 459(1)按如下方式把100个样本观测数据以组距20分为6组：[)340,360，[)360,380，．．．，[]440,460，画频率分布直方图．根据所给数据补全直方图（用阴影表示），并估计总体的大致分布情况；(2)根据国家标准，以男性的“小腿加足高”数据的第95百分位数和女性的“小腿加足高”数据的第5百分位数作为工作椅座高的上、下限值．根据这次调查结果，确定工作椅座高的范围，并判断是否在国家标准范围[]360,480（单位：mm ）内？若不在，请你从统计学的角度分析可能的原因．20．已知ABC V 的内解,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos b A a B a -=．(1)求证：2B A =；(2)若D 为AB 上一点，且2BD BC ==，求ACD V 的面积的最大值．21．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：因为D 是AB 中点，所以1//DF AB ，因为DF Ë平面11AB C ，1AB Ì平面11AB C ，所以//DF 平面11AB C ．因为E 是1CC 中点，F 是1BB 中点所以11//B F C E ，11B F C E =，所以四边形11B FEC 为平行四边形，所以11//EF B C ，因为EF Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C ，因为DF Ì平面DEF ，EF Ì平面DEF ，DF EF F =I ，所以平面//DEF 平面11AB C ，因为DE Ì平面DEF ，所以//DE 平面11AB C ．（2）取BC 中点M ，连接AM ，。
福建省厦门市2020-2021学年度第二学期高一年级期末数学试题 答案和解析
福建省厦门市【最新】度第二学期高一年级期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线,则a 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为37,10n S a a +=,则9S =（ ） A ．15B ．30C ．45D ．903．下列选项正确的是（ ）A ．若,?c>d a b >,则a c b d ->- B ．若0a b >>,则2211a b<C 则a b >D ．若0,0a b c >>≠,则ac bc >4．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．233ππ或5．已知,αβ为不同的平面,,a b 为不同的直线则下列选项正确的是（ ） A ．若//,a b αα⊂,则//a b B ．若//,//a b αα,则//a b C ．若//,a b a α⊥,则b α⊥D ．若,a αβα⊥⊂,则a β⊥6．正方体1111ABCD A B C D -中,直线AC 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．2C ．12D ．07．已知01x <<,当411x x+-取得最小值时x =（ ）A ．2B 1C ．45D ．238．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2221,2b ac AB =+边上的中线长为2,则ABC ∆面积的最大值为（ ）二、多选题9．如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是（ ）A ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角P EFD --的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA =三、填空题11．不等式210x x +-<的解集是_________________ 12．等比数列{}n a 满足124533,216a a a a +=+=其公比q =_________________ 13．直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30,直线2l 过点()2,0且与1l 垂直,则1l 与2l 的交点坐标为____14．如图,货轮在海上以20 mile/h n 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行.为了确定船位,在点B 观察灯塔A 的方位角是120°,航行半小时后到达C 点,观察灯塔A 的方位角是75°,则货轮到达C 点时与灯塔A 的距离为______ n mile15．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______16．如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为23,.2n n n nS S -=(1)证明:数列{}n a 是等差数列;(2)设(1)?nn n c a =-,求数列{}n c 的前2020项和2020T . 18．已知函数21()(2)()2f x x m x m R =+-∈ （1）若关于x 的不等式()4f x <的解集为(2,4)-，求m 的值； （2）若对任意[0x ∈，4]，()20f x +恒成立，求m 的取值范围.19．平面四边形ABCD 中,60AB ACB =∠=︒.(1)若AC =求BC ;(2)设,ACD ADC αβ∠=∠=,若cos cos ,60AD AC αβα⋅=⋅=︒,求ACD 面积的最大值.20．已知圆22:(4)(5)4M x y -+-=,圆N 与圆M 关于直线:20+-=l x y 对称. (1)求圆N 的方程;(2)过直线l 上的点P 分别作斜率为4,4-的两条直线12,l l ,使得被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长相等.(i)求P 的坐标;(ⅱ)过P 任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.21．数学的发展推动着科技的进步,正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用,华为的5G 技术领先世界.目前某区域市场中5G 智能终端产品的制造由H 公司及G 公司提供技术支持据市场调研预测,5C 商用初期,该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品分别占比055%a =及045%b =假设两家公司的技术更新周期一致,且随着技术优势的体现每次技术更新后,上一周期采用G 公司技术的产品中有20%转而采用H 公司技术,采用H 公司技术的仅有5%转而采用G 公司技术设第n 次技术更新后,该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为n a 及n b ,不考虑其它因素的影响.(1)用n a 表示1n a +,并求实数λ使{}n a λ-是等比数列;(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上?若能,至少需要经过几次技术更新;若不能,说明理由？(参考数据:lg 20.301,lg30.477≈≈)参考答案1．A 【分析】通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案. 【详解】由题意，可知()1,1BC →=，又(),2AB a →=-，点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线，则//BC AB →→，即2a -=，所以2a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小. 2．C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式及性质即可得到答案. 【详解】由于3710a a +=，根据等差数列的性质，193799()9()4522a a a a S ++===，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，难度不大. 3．B 【分析】通过逐一判断ABCD 选项，得到答案. 【详解】对于A 选项，若2,1,2,1a b c d ====，代入0a c -=，0b d -=，故A 错误；对于C ||||a b >，故C 错误；对于D 选项，若0c <，则ac bc <，故D 错误，所以答案选B. 【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，难度不大. 4．B 【解析】 【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得1cos 2C =，于是得到答案. 【详解】根据正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而sin 0C ≠，所以1cos 2C =，又为三角形内角，所以3C π=，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大. 5．C 【分析】通过对ABCD 逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案. 【详解】对于A 选项，,a b 有可能异面，故错误；对于B 选项，,a b 可能相交或异面，故错误；对于C 选项，//,a b a α⊥，显然b α⊥故正确；对于D 选项，//a α也有可能，故错误.所以答案选C. 【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大. 6．C 【分析】作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角. 【详解】作出相关图形，由于11//AC A C ，所以直线AC 与1BC 所成角即为直线11A C 与1BC 所成角，由于11A C B ∆为等边三角形，于是所成角余弦值为12，故答案选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大. 7．D 【解析】 【分析】可用导函数解决最小值问题，即可得到答案. 【详解】根据题意，令41()1f x x x =+-，则()()222241(2)(32)()11x x f x x x x x ---'=-+=--，而当2(0,)3x ∈时，()0f x '<，当2(,1)3x ∈时，()0f x '>，则()f x 在23x =处取得极小值，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等. 8．D 【分析】作出图形，通过+=CDB ADC π∠∠和余弦定理可计算出2a =，于是利用均值不等式即可得到答案. 【详解】根据题意可知2c AD BD ==，而22224+4+44cos =2222c c b b ADC c c --∠=⋅⋅，同理224+4cos 2c a CDB c -∠=，而+=CDB ADC π∠∠，于是cos +cos 0CDB ADC ∠∠=，即2228+02c a b --=，又因为22212b a c =+，代入解得2a =.过D 作DE 垂直于AB 于点E ，因此E 为中点，故14BE c =，而22142422ABCBE BE S AB BE ∆-+==≤⋅=，故面积最大值为4，答案为D.【点睛】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大. 9．ABC 【分析】对于A 选项，只需取EF 中点H ，证明EF ⊥平面PDH ；对于B 选项，知,,PE PF PD 三线两两垂直，可知正确；对于C 选项，通过余弦定理计算可判断；对于D 选项，由于PE PF PD =≠，可判断正误.【详解】对于A 选项，作出图形，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知BEF ∆和DEF ∆为等腰三角形，故PH EF ⊥,DH EF ⊥，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD EF ⊥，故A 正确；根据折起前后，可知,,PE PF PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE PDF ⊥平面，故B 正确；根据A 选项可知 PHD ∠为二面角P EF D --的平面角，设正方形边长为2，因此1PE PF ==，PH =，DH ==，2PD ==，由余弦定理得：2221cos 23PH HD PD PHD PH HD +-∠==⋅，故C 正确；由于PE PF PD =≠，故点P在平面DEF 上的投影不是DEF ∆的外心，即D 错误；故答案为ABC.【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大. 10．BC 【分析】通过设出点P 坐标，利用12PA PB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 【详解】设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 错误；根据对称性可知，当()()6,0,12,0,D E --时，12PD PE=，故B 正确；对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO +-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+，()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =可得220003316+160x y x++=，而点M在圆上，故满足2280x y x++=，联立解得0=2x，y无实数解，于是D错误.故答案为BC.【点睛】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.11．x⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【解析】【分析】可先求出一元二次方程的两根，即可得到不等式的解集.【详解】由于21=0x x+-的两根分别为：1x=，2x=，因此不等式210x x+-<的解集是x⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的求解，难度不大.12．12【解析】【分析】观察式子，将两式相除即可得到答案.【详解】根据题意，可知345121=8a aqa a+=+，于是12q=.【点睛】本题主要考查等比数列公比的相关计算，难度很小.13．(【解析】【分析】通过题意，求出两直线方程，联立方程即可得到交点坐标. 【详解】根据题意可知13tan 303k ==，因此直线1l 为：(2)3y x =+，由于直线2l 与1l 垂直，故121k k ，所以2k =2l 为：2)y x =-，联立两直线方程，可得交点(. 【点睛】本题主要考查直线方程的相关计算，难度不大.14．【分析】通过方位角定义，求出ABC ∠，45A ∠=，利用正弦定理即可得到答案. 【详解】根据题意，可知200.510BC =⨯=,15012030ABC ∠=-=,3075105ACB ∠=+=，因此可得45A ∠=，由正弦定理得：sin sin BC ACA ABC=∠，求得AC =即答案为【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，难度不大.15．-⎡⎣【分析】通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到m 的取值范围. 【详解】作出图形，由题意可知PA OA ⊥，PB OB ⊥，此时，四边形PAOB 即为2PAO S ∆,而13||||22PAO S PA OA ∆==，故||3PA =，勾股定理可知||PO =，而要是得存在点P 满足该条件，只需O 即可，即d =≤，所以||m ≤故m 的取值范围是-⎡⎣.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等. 16．125π【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积. 【详解】作出相关图形，显然AH =,因此30ACH ∠=，因此放球前211=3=33V ππ⋅⋅，球O 与边1A C 相切于点M ，故OM r =，则2OC r =，所以13CH r =，11A H ,所以放球后)2321=3=33V r r ππ⋅⋅，而12+=V V V 球，而34=3V r π球，解得12=5V π球.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.17．（1）见解析；（2）3030 【分析】（1）当1n =时，可求出首项，当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-即可求出通项公式，进而证明是等差数列；(2)可将奇数项和偶数项合并求和即可得到答案. 【详解】（1）当时，111a S ==当2n ≥时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-综上，*32,n a n n N =-∈.因为1(32)[3(1)2]3,2n n a a n n n --=----=≥，所以{}n a 是等差数列.（2）法一：(1)(1)(32)n nn n c a n =-⋅=-⋅-，{}n c 的前2020项和为：()()()2000123420192020T a a a a a a =-++-+++-+()()()214320202019a a a a a a =-+-++-333310103030=+++=⨯=法二：(1)(1)(32)n nn n c a n =-⋅=-⋅-，{}n c 的前2020项和为：()()()2000123420192020T a a a a a a =-++-+++-+()()13520192462020a a a a a a a a =-+++++++++101010091010100910101610104622⨯⨯⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10101101043030=-⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查等差数列的证明，分组求和的相关计算，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度中等. 18．（1）1；（2）[0，)+∞. 【分析】（1）()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，然后根据解集，由根与系数的关系可得关于m 的方程，解出m ；（2）当0x =时，02恒成立，符合题意；当(0x ∈，4]时，则只需122()2min m x x-+成立，利用基本不等式求出122x x+的最小值即可. 【详解】（1）不等式()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，不等式()4f x <的解集为(2,4)-，∴2-和4是2(42)80x m x ---=的两个实根，∴由根与系数的关系有2442m -+=-，1m ∴=，经检验1m =满足题意，m ∴的值为1. （2）对任意[0x ∈，4]，()20f x +恒成立，∴21(2)22m x x -+对任意的[0x ∈，4]恒成立， 当0x =时，02恒成立，符合题意；当(0x ∈，4]时，要使21(2)22m x x -+恒成立， 则只需122()2min m x x-+成立， 而12122222x x x x+⋅=，当且仅当2x =时取等号， ∴122()22min m x x-+=，0m ∴，m ∴的取值范围为[0，)+∞.【点睛】本题考查了不等式的解集与方程根的关系和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，转化思想和方程思想，属中档题.19．（1）BC =（2）【分析】(1) 法一：在ABC 中，利用余弦定理即可得到BC 的长度；法二：在ABC 中，由正弦定理可求得ABC ∠，再利用正弦定理即可得到BC 的长度；（2）在ACD 中，使用正弦定理可知ACD 是等边三角形或直角三角形，分两种情况分别找出面积表达式计算最大值即可. 【详解】（1）法一：ABC 中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅⋅∠，即2222cos3BC BC π=+-⨯⨯，解得BC =0<舍去，所以BC =.法二：ABC 中，由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC=∠∠，即sin sin 3ABC π=∠.解得sin ,2ABC AC AB ABC ACB ∠=<∴∠<∠，故4ABC π∠=，53412CAB ππππ∴∠=--=.由正弦定理得sin sin AB BC ACB CAB=∠∠5sin sin 312BCπ=，解得BC =.（2）ACD 中，由正弦定理及cos cos AD AC αβ⋅=⋅，可得sin cos sin cos ααββ⋅=⋅，即11sin 2sin 2,2222αβαβ=∴=或22αβπ+=，即αβ=或2παβ+=.,3ACD πα=∴△是等边三角形或直角三角形.ABC 中，设ABC θ∠=,4sin sin sin3ACAC θθ=∴=. 若ACD 是等边三角形，则211sin 4sin 4sin 22ACD S AC AD CAD θθθ=⋅⋅⋅∠=⨯⨯=△. ∵20,,3πθ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭当2πθ=时，ACD 面积的最大值为 若ACD是直角三角形，则2114sin 22ACD S AC AD θθθ∆=⋅⋅=⨯⨯=. 20,,3πθ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭当2πθ=时，ACD面积的最大值为 综上所述，ACD 面积的最大值为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，面积公式，三角函数最值的相关应用，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力，分析三角形的形状并讨论是解决本题的关键.20．（1）22:(3)(2)4N x y +++=；（2）（i ）()3,5P -,（ii ）见解析【解析】 【分析】(1)根据题意，将问题转化为()4,5M 关于直线:20+-=l x y 的对称点即可得到N ，半径不变，从而得到方程；(2) (i) 设(,2)P m m -，由于弦长和距离都相等，故P 到两直线的距离也相等，利用点到线距离公式即可得到答案；(ⅱ)分别讨论斜率不存在和为0三种情况分别计算对应弦长，故可判断. 【详解】（1）设(),N a b ，因为圆M 与圆N 关于直线:20+-=l x y 对称，()4,5M ，则直线MN 与直线l 垂直，MN 中点在直线l 上，得51,44520,22b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩解得3,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以圆22:(3)(2)4N x y +++=.（2）（i ）设1(,2),P m m l -的方程为1(2)()4y m x m --=--，即4(38)0x y m ++-=； 2l 的方程为(2)4()y m x m --=-，即4(25)0x y m -+-=.因为1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长相等，且两圆半径相等， 所以M 到1l 的距离与N 到2l=，所以4m =或3m =-. 由题意，M 到直线1l的距离2d m =≤⇒≤≤， 所以4m =不满足题意，舍去， 故3m =-，点P 坐标为()3,5-.（ii ）过点P 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等. 证明如下：当1l 的斜率等于0时，2l 的斜率不存在，1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长都等于圆的半径；当1l 的斜率不存在，2l 的斜率等于0时，1l 与圆M 不相交，2l 与圆N 不相交. 当1l 、2l 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设1l 、2l 的方程分别为15(3),5(3)y x y k x k-=-+-=+，即(35)0,(35)0x ky k kx y k ++-=-++=.因为M 到1l 的距离1d ==N 到2l 的距离2d ==所以M 到1l 的距离与N 到2l 的距离相等.所以圆M 与圆N 的半径相等，所以1l 被圆M 截得的弦长与2l 被圆N 截得的弦长恒相等. 综上所述，过点P 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等. 【点睛】本题主要考查点的对称问题，直线与圆的位置关系，计算量较大，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等. 21．（1）1344n n a a λ+=+，45λ=；（2）见解析 【分析】(1) 根据题意经过n 次技术更新后1n n a b +=，通过整理得到13145n n a a +=+，构造{}n a λ-是等比数列，求出45λ=，得证； (2)由（1）可求出通项，令75%n a >，通过相关计算即可求出n 的最小值，从而得到答案. 【详解】（1）由题意，可设5G 商用初期，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品的占比分别为0011955%,45%2020a b ====.易知经过n 次技术更新后1n n a b +=， 则()119131(15%)20%120545n n n n n n a a b a a a +=-+=+-=+，131(N)45n n a a n +=+∈① 由①式，可设()1133444n n n n a a a a λλλ++-=-⇔=+，对比①式可知14455λλ=⇒=.又1013131114944943,45420580580516a a a =+=⨯+=-=-=-. 从而当45λ=时，45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以316-为首项，34为公比的等比数列.（2）由（1）可知143313516444n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以经过n 次技术更形后，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比413544nn a ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.由题意，令75%n a >，得41333131lg lg 54444545nnn ⎛⎫⎛⎫-⋅>⇔<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ lg5lg51lg 210.301lg32lg 22lg 2lg32lg 2lg320.3010.477n ---⇔>===---⨯-0.6990.6998 5.59250.125==⨯=>. 故6n ≥，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上. 【点睛】本题主要考查数列的实际应用，等比数列的证明，数列与不等式的相关计算，综合性强，意在考查学生的阅读理解能力，转化能力，分析能力，计算能力，难度较大.。
福建省厦门市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
福建省厦门市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知(1)(i z i i +=是虚数单位），则||(z = )A ．12B C D ．2〖解 析〗(1)i z i +=，∴(1)111(1)(1)22i i i z i i i i -===+++-，||z ∴=． 〖答 案〗B2．厦门中学生助手有男志愿者120人，女志愿者180人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本．如果样本按比例分配，那么男志愿者应抽取的人数是( ) A ．10B ．20C ．30D ．40〖解 析〗厦门中学生助手有男志愿者120人，女志愿者180人， 按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本． 样本按比例分配，那么男志愿者应抽取的人数是：1205020120180⨯=+（人)．〖答 案〗B3．已知P （A ）0.5=，P （B ）0.3=，()0.2P AB =，则()(P A B = )A ．0.5B ．0.6C ．0.8D ．1〖解 析〗P （A ）0.5=，P （B ）0.3=，()0.2P AB =， 则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -0.50.30.2=+-0.6=．〖答 案〗B4．下列说法正确的是( )A ．过球面上两点与球心有且只有一个平面B ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台C ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥D ．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台〖解 析〗若这球面上的两个点与球心在同一条直线上，则可以有无数个平面，故A 错误；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分才是圆台，故B 错误； 底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥，故C 正确； 棱台必须保证侧棱都相交于一点，原题干不符合条件，故D 错误． 〖答 案〗C5．正四面体A BCD -中，M 为棱AD 的中点，则直线AB 与CM 所成角的余弦值 为( ) ABCD〖解 析〗设正四面体ABCD 的棱长为2，取AD 中点N ，连接MN ，CN ，则//MN AB ，且112MN AB ==，CMN ∠异面直线AB 和CM 所成角（或所成角的补角），sin 60CM CN CD ==︒=MNC ∆中，112cos MNCMN CM ∠===， ∴直线AB 与CM． 〖答 案〗A6．在ABC ∆中，点D 在边BC 上，M 是AD 的中点，若(,)BM AB AC R λμλμ=+∈，则(λμ+= )A ．12-B ．2-C ．12D ．2〖解 析〗设BD kBC k AC k AB ==-，∴111()()2222222k k k kBM BA BD AB AC AB AB AC =+=-+-=--+， 122k λ∴=--，2k μ=，12λμ∴+=-．〖答 案〗A7．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则( ) A ．甲乙互斥B ．乙丙互为对立C ．甲乙相互独立D ．甲丙相互独立〖解 析〗由题意知，先后抛掷两枚骰子，出现的点数的所有可能情况为36种， 甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有： (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，则161366P ==， 乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”包含的基本事件有： (1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，则241369P ==， 丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”包含的基本事件有： (1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，则361366P ==， 对于A ，甲乙有可能同地发生，不是互斥事件，故A 错误；对于B ，除了乙丙外，琮有其他事件发生，不是对立事件，故B 错误； 对于C ，甲乙同时发生的概率为412136P PP =≠，故C 错误； 对于D ，甲丙同时发生的概率为513136P PP ==，故D 正确． 〖答 案〗D8．记ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1c =，cos 2sin a B C =，1cos sin 8A B =，则ABC ∆外接圆的半径为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4〖解 析〗由1c =，则cos 2sin 2sin a B C c C ==，由正弦定理得2sin cos 2sin A B C =， 所以21sin cos cos sin 2sin 8A B A B C +=+，即21sin 2sin 8C C =+，解得：1sin 4C =，所以1241sin 4c R C ===，2R ∴=． 〖答 案〗B二、选择题多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．我省高考采用“312++”模式，语文、数学、外语是必选科目，物理和历史必选一科，化学、生物、思想政治、地理四个科目选择两科．现统计厦门中学生助手的甲、乙两名学生高一年六个科目的学年成绩如图所示，则( )A ．甲六科学年成绩比乙均衡B ．甲、乙六科学年成绩均在70分以上C ．从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组D ．甲、乙六科学年成绩超过90分的科目数量相同〖解 析〗由图可知，甲六科学年成绩比乙均衡，故A 正确；甲六科学年成绩均在70分以上，乙的物理成绩在70分以下，故B 错误；乙同学的历史成绩高于物理成绩，所以，从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组，故C 正确；甲同学的物理与化学成绩均超过90分，乙同学的历史与思想政治成绩均超过90分，所以两人成绩超过90分的科目数量相同，故D 正确． 〖答 案〗ACD10．若(2,0)a =，(1,3)b =，则( ) A ．2a b ⋅= B ．||||a b a b +=-C ．a 与b 的夹角为6π D ．b 在a 方向上的投影向量为12a〖解 析〗(2,0)a =，(1,3)b =，∴2a b ⋅=，||2a =，||132b =+=， 对A 选项，2a b ⋅=，A ∴选项正确；对B 选项，|||(3,3)|a b +===又|||(1,3)|2a b -=-=，||||a b a b +≠-，B ∴选项错误；对C 选项，21cos ,222||||a b a b a b ⋅<>===⨯⋅，又,[0,]a b π<>∈，∴,3a b π<>=，C ∴选项错误；对D 选项，b 在a 方向上的投影向量为2221()()22a b a a a a ⋅==，D ∴选项正确． 〖答 案〗AD11．已知复数1z ，2z 是方程210x x ++=的两根，则( ) A ．121z z +=B ．12||||1z z ==C ．212z z =D ．111z R z +∈ 〖解 析〗复数1z ，2z 是方程210x x ++=的两根， 121z z ∴+=-，故A 错误；z =，不妨取1z =2z ，则12||||1z z ===，故B 正确；22121131()2442zz =-+=-=-=，故C 错误；111112111111||22z z z z z R z z +=+=+=-+-=-∈，故D 正确． 〖答 案〗BD12．如图，圆台22O O 中，母线AB 与下底面所成的角为60︒，BC 为上底面直径，2166O A O B ==，则( )A ．圆台的母线长为10B ．圆台的侧面积为70πC ．由点A 出发沿侧面到达点C 的最短距离是D ．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4 〖解 析〗对于A ，圆台的母线长为2110cos60AO BO -=︒，故A 正确；对于B ，由A 知圆台的母线长为10，则根据圆台的侧面积公式10(16)70S ππ=⨯⨯+=，故B 正确； 对于C ，由题意，侧面全展开的圆心角为22ππ=，∴此时||AC ==但线段AC 有小部分不在扇环上，∴由点A 出发沿侧面到达点C 的最短距离大于C 错误；对于D ，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，=∴在圆台内放置一个任意转动的正方体，4=，故D 正确．〖答 案〗ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．复数22(56)(3)m m m m i -++-是纯虚数，则实数m = ．〖解 析〗当2223560,20330m m m m m z m m m m ⎧==-+=⎧⇒=⎨⎨≠≠-≠⎩⎩或时即时复数为且纯虚数． 〖答 案〗214．从直线a ，b 和平面β这三个空间元素中取两个，若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系，则所取的两个元素也有平行或垂直关系．写出一个满足题意的真命题：若 ，则 ．〖解 析〗已知a ，b 是两条不重合的直线，β是平面． 若a β⊥，b β⊥，则//a b ． 〖答 案〗a β⊥，b β⊥；//a b15．记锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin cos sin cos B C B C A +=+，若BE ，CF 是ABC ∆的两条高，则BECF的取值范围是 ．〖解 析〗由222sin sin cos sin cos B C B C A +=+，，得222sin sin sin sin sin B C B C A -=-，再由正弦定理得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=，故sin()sin sin 113sin sin sin 22B BE c A c CCF b A b BB π+======，又ABC ∆为锐角三角形，或02032B B ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，即62B ππ<<，tan )B ∈+∞．故11(,2)22BE CF =． 〖答 案〗1(2，2)16．某电池厂有A ，B 两条生产线制造同一型号可充电电池．现采用样本量比例分配的分层随机抽样，厦门中学生助手从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：则20个产品组成的总样本的方差为 ． 〖解 析〗根据题意，总体的平均数812210200204812812x =⨯+⨯=++， 则其方差222812[4(204210)][4(200204)]28812812S =⨯+-+⨯+-=++． 〖答 案〗28四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知12,e e 是两个单位向量，1122,6AB e AC e e ==--，且||37BC = （1）求12,e e 的夹角；（2）若D 为线段BC 上一点，2DC BD =，求证：AD AB ⊥． （1）解：根据题意，设12,e e 的夹角为θ， 1122,6AB e AC e e ==--，且||37BC =，则22212||()(36)4536cos 63BC AC AB e e θ=-=--=+=，变形可得1cos 2θ=， 又由0θπ，则3πθ=；（2）证明：若D 为线段BC 上一点，2DC BD =，则2DC BD =， 则11212112(36)233AD AB BD AB BC e e e e e =+=+=+--=-，则有21121122(2)240AD AB e e e e e e ⋅=⋅-=-⋅=， 故AD AB ⊥．18．（12分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过E 作平面α，使得//α平面BDF ．（1）作出α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面，写出作图过程并说明理由；（2）求平面α与平面BDF 的距离． 解：（1）如图，连接11B D ，1EB ，1ED ，由正方体的结构特征可得，11//B D BD ，1//B E DF ， 而1111B D B E B =，∴平面11//B D E 平面BDF ；（2）平面11//B D E 平面BDF ；∴平面α与平面BDF 的距离，即为1B 到平面BDF 的距离，由已知可得，BD =，BF DF ==12BDF S ∆=⨯，设1B 到平面BDF 的距离为h ，则由11D BB F B BDF V V --=，得111222323⨯⨯⨯⨯=，得h ．故平面α与平面BDF ． 19．（12分）防洪是修建水坝的重要目的之一．现查阅一条河流在某个水文站50年的年最大洪峰流量（单位：31100)m s -⋅的记录，厦门中学生助手统计得到如图部分频率分布直方图：记年最大洪峰流量大于某个数的概率为p ，则年最大洪峰流量不大于这个数的概率为1p -．定义重现期（单位：年）为概率的倒数．规定：当50%p <时，用p 报告洪水，即洪水的重现期1T p =；当50%p >时，用1p -报告枯水，即枯水的重现期11T p=-．．如1100p =，则报告洪水，重现期100T =（年)，通俗的说法就是“百年一遇“． （1）补齐频率分布直方图（用阴影表示），并估计该河流年最大洪峰流量的平均值x （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）现拟在该水文站修建水坝，要求其能抵挡五十年一遇的洪水．用频率估计概率，求它能承受的最大洪峰流量（单位：31100)m s -⋅的最小值的估计值．解：（1）设[40，50)的频率为x ，则(0.0080.020.0440.004)101x +++⨯+=， 解得0.24x =，所以[40，50)组的纵轴为0.024． 所以频率分布直方图如下所示：所以该河流年最大洪峰流量的平均值(0.008150.02250.044350.024450.00455)1034.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（2）依题意可得150p =，即1110.9850p -=-=， 设最大洪峰流量估计值为y ，(0.0080.020.0440.024)10(50)0.0040.98y +++⨯+-⨯=， 解得55y =，所以它能承受的最大洪峰流量（单位：1001)ms 的最小值的估计值为55． 20．（12分）如图，三棱台111ABC A B C -中，1BC CC ⊥，112AB BC CA B C ===，111CC C =．（1）求证：1AB BC ⊥；（2）若二面角1C BC A --的平面角为60︒，求直线1AC 与平面1BCC B 所成角的正弦值． （1）证明：取BC 中点D ，连接AD ，1B D ，因为1122BC B C ==，则11DC B C =，又1BC CC ⊥，且11//DC B C ，故11DCC B 为矩形，故1B D BD ⊥，又AB BC CA ==，故AD BD ⊥，又1B D ，AD ⊂平面1B AD ，故BD ⊥平面1B AD ，又1AB ⊂平面1B AD ，故1AB BC ⊥；（2）解：由（1）因为BD ⊥平面1B AD ，故二面角1C BC A --的平面角即为160ADB ∠=︒，取1B D 中点E ，连接AE ，1EC ，设112B C =，则111112,2BD DC CC B C B E ED C E AD =======故3AE ==，故222AE ED AD +=，所以AE ED ⊥，又AE ⊂平面1ADB ，故BD AE ⊥，又BD ED D =，故BD ，ED ⊂平面11BCC B ，故AE ⊥平面11BCC B ，故直线1AC 与平面1BCC B 所成角的为1AC E ∠，故113sin 4AE AC E AC ∠==， 即直线1AC 与平面1BCC B 所成角的正弦值为34． 21．（12分）厦门中学生助手组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在A 类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响．（1）求小明在第一轮得40分的概率；（2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？解：（1）对A 类的5个问题进行编号：a ，b ，c ，d ，e ，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，则有：{(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)}d e ， 共10种，设小明只能答对4个问题的编号为a ，b ，c ，d ，则小明在第一轮得40分有{(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)}c d ，共6种， 则小明在第一轮得0分的概率为63105P ==． （2）由（1）知小明在第一轮得40分的概率为35， 则小明在第一轮得0分的概率为32155-=， 依题意两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分，∴当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：10.50.5[0.5(10.5)(10.5)0.5]0.125P =⨯⨯⨯-+-⨯=，23(0.40.60.60.4)0.2885P =⨯⨯+⨯=， 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：30.50.50.50.50.0625P =⨯⨯⨯=，430.40.40.0965P =⨯⨯=， 当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为：5[0.5(10.5)(10.5)0.5]0.50.50.125P =⨯-+-⨯⨯⨯=，620.40.40.0645P =⨯⨯=， 当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳晋级复赛的概率为：7[(10.5)(10.5)]0.50.50.0625P =-⨯-⨯⨯=，∴小芳晋级复赛的概率为：13570.1250.06250.1250.06250.375P P P P +++=+++=，小明晋级复赛的概率为：2460.2880.0960.0640.448P P P ++=++=．0.4480.375>，∴小明更容易晋级复赛．22．（12分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 0a C C b c +--=，b =（1）若a =，求c ；（2）点A ，B ，C 分别在等边DEF ∆的边DE ，EP ，FD 上（不含端点）．若DEF ∆面积的最大值为c解：因为cos sin 0a C C b c +--=，所以由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=， 因为()B A C π=-+，所以sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C +-+-=，sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C ---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=，因为sin 0C ≠cos 1A A -=，所以1sin()62A π-=， 因为5()(,)666A πππ-∈-，所以3A π=，因为a =3b =，所以由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，2213c=+-，23180c c--=，(3)(6)0c c+-=，得3c=-（舍去），或6c=．（2）由（1）可知3Aπ=，b=由于△DEF面积的最大值为2=DE=所以DE的最大值为因为60CAB∠=︒，所以120DAC BAE∠+∠=︒，因为120DAC ACD∠+∠=︒，所以ACD BAE∠=∠，设ACD BAEα∠=∠=，则120ABEα∠=︒-，在ACD∆中，由正弦定理得sin60sinAC ADα=︒，得sinADα=，在ABE∆中，由正弦定理得：sin sinAB AEE ABE=∠，所以sin60sin(120)c AEα=︒︒-，得sin(120)sin60cAEα=⋅︒-︒，所以sin sin(120)sin60cDE AD AEαα=+=+⋅︒-︒1sin(120)]sin60cαα=+︒-︒1sin120cos cos120sin)sin60c cααα=+︒-︒︒11)sin cos]sin602cαα=︒)αθ=+，其中2tan12cθ=，所以当sin()1αθ+=时，DE取得最大值，=整理得：2321c++=，，即2180c+-=，所以(0c c-+=，解得c=c=-．。
福建省厦门市高一下期末考试数学试卷及答案解析
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2020-2021学年福建省厦门市高一下数学期末试卷
一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．设z =1−i 1+i +2i ，则|z |＝（ ）
A ．0
B ．12
C ．1
D ．√2 2．在四边形ABCD 中，若AC →=AB →+AD →，则（ ）
A ．ABCD 为矩形
B ．ABCD 是菱形
C ．ABC
D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形
3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列条件中能推出m ⊥n 的是（ ）
A ．m ⊥α，n ∥β，α⊥β
B ．m ⊥α，n ⊥β，α∥β
C ．m ⊂α，n ⊥β，α∥β
D ．m ⊂α，n ∥β，α⊥β
4．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷．为调查某两家订餐
软件的商家的服务情况，统计了它们订餐“送达时间”（时间：分钟），得到茎叶图如图所示，则（ ）
A ．甲款APP 送餐时间更稳定，中位数为26
B ．甲款APP 送餐时间更稳定，中位数为27
C ．乙款APP 送餐时间更稳定，中位数为31
D ．乙款APP 送餐时间更稳定，中位数为36
5．袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（ ）
A ．至少有一个白球；全部都是红球
B ．至少有一个白球；至少有一个红球
C ．恰有一个白球；恰有一个红球
D ．恰有一个白球；全部都是红球
6．袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（ ）
A ．至少有一个白球；全部都是红球。
福建省厦门市集美高中2024届数学高一第二学期期末调研试题含解析
福建省厦门市集美高中2024届数学高一第二学期期末调研试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，若2,30,a b A ===︒则B 等于（ ） A ．30B ．30150︒︒或C ．60︒D ．60120︒︒或2．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB •的最大值是（） A ．5B ．10CD3．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z =x -y 的取值范围是 A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]4．以n S ,T n 分别表示等差数列{}{}n b n a ，的前n 项和，若S 73n n nT n =+，则55a b 的值为A ．7B ．214C ．378 D ．235．已知平面向量()1,1a =-，()2,b x =-，若a b ⊥，则实数x =( ) A ．-2B ．-1CD ．26．将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A ．cos(2)3y x π=+B ．cos(2)6y x π=+C ．cos(2)3y x π=-D ．cos(2)6y x π=-7．在ABC 中，已知其面积为22()S a b c =--，则cos A = （ ）A ．34B ．1315C ．1517D ．17198．已知扇形AOB 的圆心角3AOB π∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．6D ．129．直线l ：20ax y +-=与圆22:2440M x y x y +--+=的位置关系为（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定 10．已知等比数列的公比为，且，数列满足，若数列有连续四项在集合中，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
福建省厦门市高一下学期期末数学试卷(理科)
福建省厦门市高一下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）全集，集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·衡水模拟) 规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的，则输出的为（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分）(2018·吉林模拟) 已知，，则的大小关系是（）A . cB .C .D .4. （2分） (2018高一下·大同期末) 设四边形为平行四边形，， .若点满足，，则（）A . 20B . 9C . 15D . 65. （2分） (2016高一上·上杭期中) 函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（）A . （﹣3，﹣2）B . （﹣2，﹣1）C . （﹣1，0）D . （0，1）6. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定7. （2分）(2017·沈阳模拟) 已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），给出以下四个命题：①∀x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x）；②∀x1 ，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2 ，有；③∀x1 ，x2∈（0，1），有；④∀x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|．其中所有真命题的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①②③D . ①②③④8. （2分） (2016高一下·华亭期中) 将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2 ，有|x1﹣x2|min= ，则φ=（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·广东期末) 已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A . 17B .C .D . 1810. （2分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则=（）A . 8B . 4C . 2D . 111. （2分）一船自西向东匀速航行上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A . 海里/小时B . 海里/小时C . 海里/小时D . 海里/小时12. （2分） (2017高二下·南昌期末) 对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=sin x；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|其中存在“可等域区间”的“可等域函数”为（）A . ①B . ②C . ①②D . ①②③二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·杭州期中) 函数的定义域是________.14. （1分）下表提出了某厂节能耗技术改造后，在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产耗能（吨）的几组相对数据．根据上表提供的数据，求出关于的线性回归直线方程，那么表中 ________．15. （1分） (2016高二上·辽宁期中) 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm 的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为________．16. （1分） (2016高一上·密云期中) 函数的零点个数是________个．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）化简：18. （5分） (2016高二下·凯里开学考) 某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．（Ⅰ）估计所抽取的数学成绩的众数；（Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为[80，90）和[90，100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90，100]恰有1人的概率．19. （15分） (2016高二上·宜昌期中) 已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．20. （15分）已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系式；（2）求△OQP面积的最小值；（3）求||PO|﹣|PA||的最大值．21. （10分） (2017高一上·昌平期末) 已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．22. （10分） (2015高一下·沈阳开学考) 设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知复数11iz =+，则复数z 共轭复数的虚部为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数和复数的定义可得结果.【详解】()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++- ，则11i 22z =+，故复数z 共轭复数的虚部为12.故选：D.2．高一､1班有学生54人，高一､2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成44⨯方队，进行会操比赛，则高一､1班和高一､2班分别被抽取的人数是（）A ．9､7B ．15､1C ．8､8D ．12､4【答案】A【分析】利用分层抽样的定义求解即可【详解】由题意得高一､1班被抽取的人数为541695442⨯=+人，高一､2班被抽取的人数421675442⨯=+人，故选：A3．甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（）A ．两人都做对的概率是0.72B ．恰好有一人做对的概率是0.26C ．两人都做错的概率是0.15D ．至少有一人做对的概率是0.98【答案】C【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B ；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，故两人都做对的概率是0.80.90.72⨯=，所以A 正确；恰好有一人做对的概率是0.8(10.9)(10.8)0.90.26⨯-+-⨯=，故B 正确；两人都做错的概率是(10.8)(10.9)0.02-⨯-=，故C 错误；至少有一人做对的概率是1(10.8)(10.9)0.98--⨯-=，故D 正确，故选：C4．已知向量(1,2)a =- ，(2,)b m = ，若a b ⊥，则m =（）A ．1-B ．1C ．14-D ．14【答案】B【分析】根据向量的数量积运算法则计算即可；【详解】因为a b ⊥，所以1220,1m m -⨯+==，故选：B.5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的最大盛水量为（）A ．368cm πB ．3152cm πC ．32010cm πD ．3204cm π【答案】B【分析】由题得上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，代入台体体积公式，即可得答案.【详解】由题意得上底面半径为4，面积21=4=16S ππ⨯，下底面半径为6，面积22=6=36S ππ⨯，圆台高h 为6，则圆台的体积()()121211=++16361636615233V S S S S h πππππ=++⨯⨯=3cm .故选：B6．已知复数1z ，2z ，则“12z z R ⋅∈”是“12z z =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取112z i =+，224i z =-举例说明充分性不成立；再由复数的乘法运算证明必要性成立，由此即可得出结论.【详解】举反例说明充分性不成立：取112z i =+，224i z =-，则()()1212i 24i =2+8=10z z R =+-∈⋅，但得不出12z z =，下面证明必要性成立：若i z a b =+(),,0a b R b ∈≠，则z 的共轭如实为i z a b =-，所以()()22i i z z a b a b a b R ⋅=-+=+∈成立，所以由1z 与2z 互为共轭复数能得到12z z R ⋅∈；所以“12z z R ⋅∈”是“12z z =”的必要不充分条件.故选：B7．在ABC 中，角A ､B ､C 对边分别为a ､b ､c ，且cos 3sin 3A aB b=，当7a =，2b =时，ABC 的面积是（）A ．32B ．72C ．332D ．372【答案】C【分析】利用正弦定理求出3A π=，利用余弦定理求出3c =，即可求出ABC 的面积.【详解】对于cos 3sin 3A aB b =，用正弦定理得：cos 3sin sin 3sin A A B B=.因为()0,A π∈，且tan 3A =,所以3A π=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2174222c c =+-⨯⨯,解得：3c =（1c =-舍去）.所以ABC 的面积是11333sin 232222S bc A ==⨯⨯⨯=.故选：C8．某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能．．．通过试用期的有（）A ．甲、乙B ．甲、丙C ．乙、丙D ．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据甲乙丙的统计数据，判断他们的合格品数是否有可能低于22，只要不低于22，则一定能通过.【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于2，所以甲一定能通过；对于乙：设乙每天的合格品件数为(1,2,3,4,5),iia i a Z =∈，则521(23)15ii a =-≤∑，即521(23)5i i a =-≤∑.若乙有不止一天的合格品数低于21，521(23)5i i a =->∑，不合题意；若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取121a =，21(23)4a -=，因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到521(23)5i i a =->∑，不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过；对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过；所以甲、乙一定能通过，A 正确；故选：A.二、多选题9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的扇形图．则下面结论中正确的是（）A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】BCD【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为a ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2a ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前农村的经济收入为a ，则新农村建设后农村的经济收入为2a ，对A ，新农村建设前的种植收入为60%0.6a a ⨯=，新农村建设后的种植收入为237%0.74a a ⨯=，种植收入增加，故A 错误；对B ，新农村建设前的其他收入为4%0.04a a ⨯=，新农村建设后的其他收入为25%0.1a a ⨯=，增加了一倍以上，故B 正确；对C ，新农村建设前的养殖收入为30%0.3a a ⨯=，新农村建设后的养殖收入为230%0.6a a ⨯=，增加了一倍，故C 正确；对D ，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为()230%28% 1.16a a ⨯+=，超过了经济收入的一半，故D 正确.故选：BCD.10．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C ∠=，c =2．则下列结论正确的是（）A ．△ABC 的周长最大值为6B ．AC AB ⋅的最大值为4323+C ．cos cos 2b A a B +=D ．cos cos BA 的取值范围为()3,3,2∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】AB【分析】A 选项，利用余弦定理和基本不等式即可求解周长的最大值；B 选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得2242b a AC AB +-⋅= ，再利用正弦定理和三角恒等变换得到2283πcos 236b a B ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，结合B 的取值范围即可求出AC AB ⋅ 的最大值；C 选项，结合B 选项中的正弦定理进行求解即可；D 选项，用()cos cos B A C =-+进行变换得到cos 31tan cos 22B A A =-，结合A 的取值范围即可得到cos cos BA的取值范围．【详解】对于A ，由余弦定理得2241cos 22a b C ab +-==，解得224a b ab +=+，所以()22+343+42a b a b ab ⎛⎫+=+≤⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时，等号成立，解得+4a b ≤，当且仅当2a b ==时，等号成立，则△ABC 周长4+26l a b c =++≤=，所以△ABC 周长的最大值为6，故A 正确；对于B ，由222224cos 22b c a b a AC AB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=，又由正弦定理得243πsin sin 3sin3a b A B ===，则43sin 3a A =，43sin 3b B =，所以()22222216162πsin sin sin sin 333b a B A B B ⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4π1cos 2161cos 283π3cos 232236B B B ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=-- ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则2283πcos 236b a B ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的最大值为833，即2242b a +-的最大值为4323+，所以AC AB ⋅的最大值为4323+，故B 正确；对于C ，结合B 选项得()()434343433cos cos sin cos sin cos sin sin 233332b A a B B A A B A B C +=+=+==⨯=，故C 错误；对于D ，由π31cos sin cos cos 31322tan cos cos cos 22A A A B A A A A ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭===-，又2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()tan ,30,A ∞∞∈--⋃+，所以()311tan ,2,222A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AB ．【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解．11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x 表示红色骰子的点数，y 表示绿色骰子的点数，定义事件：A =“7x y +=”，B =“xy 为奇数”，C =“3x >”，则下列结论错误的是（）A ．B 与C 相互独立B ．A 与B 对立C ．A 与C 相互独立D ．A 与B 互斥但不对立【答案】CD【分析】应用表格列举出(,)x y xy +的所有可能情况，根据题设描述及独立事件、互斥、对立事件定义判断各项正误即可.【详解】下表中行表示x ，列表示y ，则(,)x y xy +1234561(2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(7,6)2(3,2)(4,4)(5,6)(6,8)(7,10)(8,12)3(4,3)(5,6)(6,9)(7,12)(8,15)(9,18)4(5,4)(6,8)(7,12)(8,16)(9,20)(10,24)5(6,5)(7,10)(8,15)(9,20)(10,25)(11,30)6(7,6)(8,12)(9,18)(10,24)(11,30)(12,36)满足事件A 有(7,6)、(7,10)、(7,12)、(7,12)、(7,10)、(7,6)共6种，满足事件B 有(2,1)、(4,3)、(6,5)、(4,3)、(6,9)、(8,15)、(6,5)、(8,15)、(10,25)共9种，满足事件C 有(5,4)、(6,5)、(7,6)、(6,8)、(7,10)、(8,12)、(7,12)、(8,15)、(9,18)、(8,16)、(9,20)、(10,24)、(9,20)、(10,25)、(11,30)、(10,24)、(11,30)、(12,36)，即后3列，共18种，所以事件AB 有0种，事件BC 有3种，事件AC 有3种，则B 错，D 对，所以1()6P A =，1()4P B =，1()2P C =，()0P AB =，1()()12P AC P BC ==，则()()()P BC P B P C ≠，()()()P AC P A P C =，A 错，C 对，故选：CD12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、E 、F 分别为1CC 、BC 、CD 的中点，则下列说法正确的是（）A ．AP 与EF 所成角为60︒B ．点1A 到平面PEF 的距离为334C ．直线1A B 与平面PEF 所成角的正弦值为63D ．平面1PED 截正方体得到的截面图形是梯形【答案】CD【分析】对于A ，连接,AC BD ，交于点O ，则由正方体的性质和三角形的中位线定理可得EF AP ⊥，从而可求得AP 与EF 所成角，对于BC ，建立如所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，对于D ，连接11,,BC AD AE ，利用正方体的性质和三角形的中位线定理可得结论【详解】对于A ，连接,AC BD ，交于点O ，则AC BD ⊥，因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为1AC CC C = ，所以BD ⊥平面ACP ，因为AP ⊂平面ACP ，所以BD AP ⊥，因为E 、F 分别为BC 、CD 的中点，所以E 、F 分别为1CC 、BC 、CD 的中点，EF ∥BD ,所以EF AP ⊥，所以AP 与EF 所成角为90︒，所以A 错误，对于B ，如图建立空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(,1,0),(0,,0),(0,1,)222A E F P ，(1,1,0)B所以111111(1,1,),(,,0),(0,,)22222PA EF FP =-=--= ,设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =，则1102211022n EF x y n FP y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1z =，则(1,1,1)n =- ，所以点1A 到平面PEF 的距离为111153263PA n d n ++⋅===，所以B 错误，对于C ，1(0,1,1)BA =-，设直线1A B 与平面PEF 所成角为θ，则126sin cos ,332BA n θ===⨯，所以C正确，对于D ，如图，连接11,,BC AD AE ，则1BC ∥1AD ，11BC AD =，因为点P 、E 分别为1CC 、BC 的中点，所以EP ∥1BC ，112EP BC =，所以EP ∥1AD ，112EP AD =，所以四边形1AEPD 为梯形，所以平面1PED 截正方体得到的截面图形是梯形，所以D正确故选：CD三、填空题13．向量(1,2)a = ，向量(1,0)b =- ，则b 在a上的投影向量是.【答案】12(,)55--【分析】根据投影向量的定义写出b 在a上的投影向量.【详解】b 在a上的投影向量为21(1)2012(1,2)(,)55||||(5)a b a a a ⋅⨯-+⨯⋅=⋅=--.故答案为：12(,)55--14．ABC 中，5AB AC ==，8BC =，则此三角形的外接圆半径是.【答案】256【分析】根据余弦定理，可得cos A ，进而可得sin A 的值，根据正弦定理，即可得答案.【详解】由余弦定理得2222525647cos 225525AC AB BC A AC AB +-+-===-⋅⨯⨯，因为(0,)A π∈，所以224sin 1cos 25A A =-=，设外接圆半径为R ，由正弦定理得8224sin 25BC R A ==，解得256R =故答案为：25615．某单位对全体职工的某项指标进行调查．现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为．【答案】3.56【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.【详解】解：设男职工的指标数分别为1220,,,x x x ，女职工的指标数分别为125,,,y y y ，则()20202117742020ii i i x x ,==-==∑∑，()5521188155ii i i y y ,==-==∑∑，所以2020211140802049i ii i x ,x ====+⨯∑∑，55211405564i i i i y ,y ====+⨯∑∑，所以本次调查的总样本的平均数为2051114040722525i i i i x y .==++==∑∑，本次调查的总样本的方差是()()2052211727225i i i i x .y .==-+-∑∑20205522221111144207214457225i i i i i i i i x .x .y .y .====-+⨯+-+⨯=∑∑∑∑228020492072556457225..+⨯-⨯++⨯-⨯=3.56=故答案为：3.56四、双空题16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，2AC =，3BC =，13CC =，则该直三棱柱外接球的表面积为；设P 为线段1B C 上的动点，则1AP PC +的最小值为．【答案】16π19【分析】根据题意将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ACBD A C B D -，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，从而可求出直三棱柱外接球的表面积，将11C B C △绕1B C 展开至与平面11BCC B 垂直的位置，则11,,,A C C B 共面，连接1AC ，则1AC 的长就是1AP PC +的最小值，然后利用余弦定理可求得结果【详解】因为直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，所以将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ACBD A C B D -，如图所示，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球就是长方体1111ACBD A C B D -外接球，因为2AC =，3BC =，13CC =，所以外接球的直径为222124394R AC BC CC =++=++=，所以外接球的半径为2R =，所以直三棱柱外接球的表面积为24216ππ⨯=，直三棱柱中，侧面与底面垂直，因为AC BC ⊥，平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AC ⊥平面11BCC B ，因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥，将11C B C △绕1B C 展开至与平面11BCC B 垂直的位置，则11,,,A C C B 共面，如图所示，连接1AC ，则1AC 的长就是1AP PC +的最小值，在11CC B 中，1111190,3,3B C C B C CC ∠=︒==，则13923B C =+=，在1ACB 中，190,2ACB AC ∠=︒=，在1ACC △中，由余弦定理得22211112cos AC AC CC AC CC ACC =+-⋅∠1149223cos(90)B CC =+-⨯⨯︒+∠11312sin B CC=+∠1111312B C B C=+⨯313121923=+⨯=,所以119AC =，所以1AP PC +的最小值为19，故答案为：16π，19五、解答题17．已知向量()()1,0,3,a b a a b ==⊥- ．(1)求a b + ；(2)求a 与a b + 的夹角的余弦值．【答案】(1)23(2)33【分析】（1）由()a ab ⊥- 可求出1a b ⋅= ，再将数量积和模长代入即可求出答案.（2）由向量的夹角公式代入即可求出答案.【详解】（1）因为()1,0a = ，所以1a = 由()a ab ⊥- 得()20a a b a a b ⋅-=-⋅= 解得1a b ⋅= ．所以2||a b a b +=+ 22222121323a a b b =+⋅+=+⨯+= ．（2）因为()22a a b a a b ⋅+=+⋅= ．所以()cos ,a a b a a b a a b ⋅++=+ ．23323==所以a 与a b + 的夹角的余弦值33．18．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，E 为SD 的中点.(1)求证：SB ∥平面EAC ；(2)若SA AD =，求证：AE SC ⊥.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，∵,O E 分别为,BD SD 的中点，则SB OE ，SB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，∴SB 平面EAC .（2）∵SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SA CD ⊥，又∵ABCD 为矩形，则AD CD ⊥，且,SA AD ⊂平面SAD ，SA AD A⋂=∴CD ⊥平面SAD ，由AE ⊂平面SAD ，可得CD AE ⊥，若SA AD =，且E 为SD 的中点，则SD AE ⊥，,CD SD ⊂平面SCD ，CD SD D ⋂=，则⊥AE 平面SCD ，SC ⊂平面SCD ，故AE SC ⊥.19．中国共产党第二十次全国代表大会将于2022年下半年在北京召开．某学校组织全校学生进行了一次“党代会知识知多少？的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间[]50,100，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值，并估计这40名学生测试成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成党代会知识宣讲团．若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人测试成绩位于区间[]90,100的概率．【答案】(1)0.03a =；平均数为74.5，中位数为75．(2)1121【分析】（1）通过频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1求出a ，进而可求得平均数及中位数；（2）列出7人中随机抽取2人的21种情况，确定至少有1人测试成绩位于区间[]90,100有11种，即可得解.【详解】（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以()100.0150.020.0250.011⨯++++=a ，解得0.03a =．所以样本中40名学生的测试成绩的平均数550.15650.2750.3850.25950.174.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．设这40名学生的测试成绩的中位数为x ，由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，故中位数落在第3组，于是有()700.030.350.5-⨯+=x ，解得75x =．即这40名学生的测试成绩的中位数为75．（2）由分层随机抽样可知，在区间[]80,90应抽取5人，记为a ，b ，c ，d ，e ，在区间[]90,100应抽取2人，记为A ，B ，从中任取2人的所有可能结果为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),c B ，(),d e ，(),d A ，(),d B ，(),e A ，(),e B ，(),A B ，共21种．其中至少有一人测试成绩位于区间[]90,100内有：(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),e A ，(),e B ，(),A B ，共11种．所以，至少有一人的测试成绩位于区间[]90,100内的概率为1121．20．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，其中//,224,60AB DC AB BC CD BCD ∠==== ，平面PBD ⊥平面ABCD .(1)证明：PB AD ⊥；(2)若PB PD =，且PA 与平面ABCD 所成角的正弦值为32222，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)33.【分析】（1）在梯形中结合余弦定理证明AD BD ⊥，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理作答.（2）取BD 中点O ，利用线面角求出四棱锥的高PO ，再计算体积作答.【详解】（1）因2,60BC CD BCD ∠=== ，则BCD △为等边三角形，即122BD AB ==，又//AB DC ，有=60ABD ∠︒，在ABD △中，222221=+2cos =4+2242=122AD AB BD AB BD ABD -⋅∠-⨯⨯⨯，于是得222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面=ABCD BD ，AD ⊂平面ABCD ，因此AD ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，所以PB AD ⊥.（2）取BD 中点O ，连PO ，如图，PB PD =，则PO BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面=ABCD BD ，PO ⊂平面PBD ，则PO ⊥平面ABCD ，连接AO ，则AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，即∠PAO 为PA 与平面ABCD 所成角，有322sin 22PAO ∠=，则3an 133t 1PAO ∠=，而2213AO AD DO =+=，于是得3PO =，梯形ABCD 的面积为2213132322332424ABD BCD S S S AD BD BC =+=⋅+=⨯⨯+⨯= ，所以四棱锥P ABCD -的体积133331333P ABCDS PO V -=⨯⨯==⋅.21．甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．(1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为23，求甲获得本场比赛胜利的概率；(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为12，23，34，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大．【答案】(1)2027(2)丁【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解；（2）分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.【详解】（1）解：设甲在第i 局获胜为事件()1,2,3i A i =，事件B =“甲获得本场比赛胜利”，则()()12123123B A A A A A A A A =⋃⋃，所以()2222222220113333333327P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率11232351122343412P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率2231312112342423P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率3312123112423234P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为123P P P <<，所以，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大．22．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin 0a C a C b c +--=．(1)若ABC 的面积为34，求a 的最小值；(2)若π3A =，BC 边上的中线长为52，且ABC 的外接圆半径为3，求ABC 的周长．【答案】(1)1(2)333+．【分析】（1）由cos 3sin 0a C a C b c +--=和ABC 的面积为34，可得π3A =，bc ＝1，后由余弦定理结合基本不等式可得答案；（2）由ABC 的外接圆半径为3，结合正弦定理可得3a =.由BC 的中点为E ，可得2225c b bc ++=，后由余弦定理可得答案.【详解】（1）2cos 3sin 0cos 3sin a C a C b c ab C ab C b bc+--=⇒+=+()222222233231222cos a b c b bc b c a bc bc A +-⇒+=+⇒+-+=⇒+=，又13sin 24bc A =，则2232212322sin cos sin tan cos cos A A A A A A ===+，又()0,πA ∈，则π3A =.13sin 124ABC S bc A bc ==⇒= ，又2221cos 22b c a A bc +-==，所以2221b c a +-=，则22222122b c a bc a a =+--=-≥，解得1a ≥，当且仅当b ＝c ＝1时取等号，故a 的最小值为1；（2）由正弦定理得23sin 3a A ==，设BC 的中点为E ，则1()2AE AB AC =+ ，两边平方得()22212cos 4AE AB AC AB AC A =++⋅⋅ ，即()2225124c b bc ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2225c b bc ⇒++=①由余弦定理得222222cos 9a b c bc A b c bc =+-=+-=②，①－②得8bc =，又22()39a b c bc =+-=，解得33b c +=，故ABC 的周长为333a b c ++=+．。
2021-2021学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2021学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．化简sin15cos5cos15sin5-︒︒︒︒结果为（ ） A ．sin10︒ B ．cos10︒ C ．sin 20︒ D ．cos20︒【答案】A【解析】直接利用两角差的正弦函数公式求出结果． 【详解】sin15cos5cos15sin5sin(155)sin10︒︒-︒︒=︒-︒=︒．故选：A ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的差角公式的逆用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2．集合{}2230A x x x =--≤，{}1B x x =>.则A B =（ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,-+∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】因为{}2230A x x x =--≤{|13}x x =-，{|1}B x x =>，(1A B ∴⋂=，3]．故选：B ． 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．3．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（ ）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a【答案】D【解析】着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，分别得出，即可得出{}n a 的通项公式． 【详解】着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，分别为：11a =，23a =，23333a =⨯=，234333a =⨯=，因此{}n a 的通项公式可以是：13-=n n a ． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知实数x ，y 满足条件0260y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．8D ．9【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】由约束条件0260y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩作出可行域如图，联立260y xx y =⎧⎨+-=⎩，解得(2,2)A ．化3z x y =+为33x zy =-+， 平移直线33x z y =-+， 由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2328+⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 5．在等比数列{}n a 中，22a =，3564a a =，则5612a a a a +=+（ ）A ．4B ．8C ．16D ．64【答案】C【解析】利用等比数列通项公式列方程求出首项和公比，由此能求出结果． 【详解】在等比数列{}n a 中，22a =，3564a a =．∴124112·64a q a q a q =⎧⎨=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或112a q =-⎧⎨=-⎩， 4545611121116a a a q a q q a a a a q ++===++． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列中两项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a ，b ，c 是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．若αβ⊥，βγ⊥，则//αγC ．若a b ⊥，a α⊥，则//b αD ．若//αβ，a α⊥，则a β⊥【答案】D【解析】对于A ，a 与c 相交、平行或异面；对于B ，α与γ相交或平行；对于C ，//b α或b α⊂；对于D ，由线面垂直的判定定理得a β⊥． 【详解】由a ，b ，c 是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，知： 对于A ，若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，若αβ⊥，βγ⊥，则α与γ相交或平行，故B 错误； 对于C ，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，故C 错误；对于D ，若//αβ，a α⊥，则由线面垂直的判定定理得a β⊥，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7．已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n n +-=+，则10a =（ ）A ．910B ．1011 C ．1910D ．2111【答案】C【解析】首先根据题意得到()111111n n a a n n n n +-==-++，从而得到()()()()10910932211011110…-+-++-+-=-=-a a a a a a a a a ，即可得到答案. 【详解】 因为()111111n n a a n n n n +-==-++，所以()()()()1091093221…-+-++-+-a a a a a a a a10111111111119108923210…⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a解得101910a =. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据数列递推公式求数列的项，同时考查了裂项法求和，属于中档题. 8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过BE 的平面α与直线1A F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）A 5B ．5C ．4D ．5【答案】B【解析】首先取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，易证1//A F 平面EBCG ，从而得到平面EBCG 为所求截面，再计算其面积即可. 【详解】取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，如图所示：因为1//A E FC ，所以四边形1A ECF 为平行四边形，所以1//A F EC . 又1⊄A F 平面EBCG ，EC ⊂平面EBCG ， 所以1//A F 平面EBCG ，即平面EBCG 为所求截面. 所以22215BE +25=⨯=EBCG S BE BC . 故选：B 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，同时考查了正方体的截面，属于简单题.二、多选题9．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23 C ．32D ．3【答案】BD【解析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ．【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．10．已知a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2a b c +> B ．a b b c ->-C ．ac bc >D ．11a cb c<-- 【答案】AD【解析】根据a b c >>，取特殊值即可排除错误选项，再根据不等式性质，利用作差法可得到正确选项． 【详解】根据a b c >>，取1a =，0b =，1c =-，则可排除BC ． 因为20a b c a c b c +-=-+->，所以2a b c +>； 因为()()110b a a c b c a c b c --=<----，所以11a c b c<--， 故选：AD ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及作差的应用，属基础题．11．已知函数()cos f x x x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 1C ．()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数 D ．56π为()f x 的一个零点 【答案】ACD【解析】首先根据题意得到()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图象性质依次判断选项即可. 【详解】()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭对选项A ，()f x 的最小正周期为2π，故A 正确； 对选项B ，当sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 的最大值为2，故B 错误；对选项C ，因为2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，53,,62622πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x ，所以()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故C 正确； 对选项D ，552sin 2sin 0666ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ， 所以56π为()f x 的一个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查正弦函数图象的性质，属于简单题.12．如图，在正四棱锥P ABCD -（底面ABCD 为正方形，P 在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（ ）A ．AC PB ⊥B ．AB 与PD 所成角等于BC 与PD 所成角 C ．若平面PAD平面PBC l =.则//l ADD ．平面PAD 与平面PBC 所成二面角与APB ∠相等或互补 【答案】ABC【解析】对于A 项，由AC ⊥平面PBD ，可得AC PB ⊥；对于B ，利用AB 与PD 所成角为PDC ∠，BC 与PD 所成角为PDA ∠，可判断正误；对于C ，证明//AD 平面PBC ，可得 //l AD ， C 正确；根据平面PAD 与平面PBC 的所成二面角等于过P 作AD ，BC 的垂线所成的角判断．【详解】对于A 项，连结BD ，与AC 交于点O ，则BD AC ⊥，又知PO ⊥平面ABCD ，所以PO AC ⊥，又POBD O =，所以AC ⊥平面PBD ，所以AC PB ⊥，A 正确；对于B ，AB 与PD 所成角为PDC ∠，BC 与PD 所成角为PDA ∠，因为PCD PAD ∆≅∆，所以PDC PDA ∠=∠，故B 正确；对于C ，由于//AD BC ，所以//AD 平面PBC ，AD ⊂平面PAD ，平面PAD平面PBC l =，所以 //l AD ，所以C 正确；对于D ，由C 项可知，平面PAD 与平面PBC 的所成二面角为过P 作AD ，BC 的垂线所成的角，显然与APB ∠无联系，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题主要考查正四棱锥的性质，考查异面直线所成的角、二面角以及线面平行的判断与线面平行的性质，同时考查了线面垂直的判断与性质，考查了空间想象能力，属于综合题．三、填空题13．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是______.【答案】()1,2-【解析】根据函数的图象即可得到不等式的解集. 【详解】由图知：不等式20ax bx c ++>的解集是()1,2-， 故答案为：()1,2-【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，属于简单题.14．如图.网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为______.【答案】45π【解析】由三视图还原几何体，该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4，求出母线长，再由圆锥侧面积公式求解． 【详解】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4， 则母线长222425l =+=∴该几何体的侧面积为45S rl ππ==．故答案为：45π． 【点睛】本题考查由三视图求面积、关键是由三视图还原几何体，考查了空间想象能力，是中档题．15．等腰三角形顶角的余弦值为513，则一个底角的正切值为______. 【答案】32【解析】首先利用倍角公式的应用求出三角函数的顶角的半角三角函数值，进一步利用切化弦思想求出结果． 【详解】设三角形的顶角为A ，一个底角为B 则B 与2A互余， 由于等腰三角形顶角的余弦值为513， 所以5cos 13A =， 所以252cos1213A -=， 所以2182cos213A =，解得cos sin 2A B ==．则sincos 2A B =，3tan 2B ===故答案为：32【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数的关系，二倍角的余弦公式，三角函数值的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、双空题16．已知数列{}n a 满足()112335212n n a a a n a ++++⋅⋅⋅+-=，则3a =______，若对任意的*N n ∈，()1nn a λ≥-恒成立，则λ的取值范围为______.【答案】858453λ-≤ 【解析】①直接利用赋值法的应用求出数列的各项，进一步确定结果．②利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出参数的取值范围． 【详解】数列{}n a 满足112335(21)2n n a a a n a ++++⋯+-=，则当1n =时，2124a ==，当2n =时，312328a a +==，解得243a =， 当3n =时，4123352a a a ++=，解得385a =， 数列{}n a 满足112335(21)2n n a a a n a ++++⋯+-=，① 所以当2n 时，123135(23)2n n a a a n a -+++⋯+-=，② ①-②得：1(21)222n n n n n a +-=-=，整理得221nn a n =-（首相不符合通项），所以4(1)2(2)21n n n a n n =⎧⎪=⎨⎪-⎩，2n ≥时，1124211221212n n n nn n n a a +++>+-==-对任意的*n N ∈，(1)n n a λ-恒成立，所以：当n 为偶数时，只需满足()n max a λ，即当2n =时，243a λ=， 当n 为奇数时，只需满足()n max a λ≥-，即当1n =时，14a -=-，3n ≥奇数时，385n a a ≤=-，所以)85(n max a λ=-≥-故实数λ的取值范围是8453λ-≤， 故答案为：8453λ-≤． 【点睛】本题考查的知识要点：赋值法的应用，递推关系求通项，数列的单调性与最值，以及数列不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想的应用，属于难题五、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，满足cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若D是BC 边上的中点，AD =1AB =，求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）332. 【解析】(1)由正弦定理进行边化角可得1cos 2B =，从而求得答案； (2)根据余弦定理求出BC ，由面积公式可求出结果. 【详解】(1)根据正弦定理，由cos cos 2cos a C c A b B +=得:sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，即()sin +2sin cos sin 2sin cos A C B B B B B ==，， 所以1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=；(2）在ABD △中，由余弦定理得()222222171cos 2212BD AB BD AD B AB BD BD+-+-===⋅⨯⨯，解得3BD =，所以6BC =，由三角形的面积公式得11333sin 162222ABCSAB BC B =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，属于中档题．18．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -（底面ABC 是正三角形，侧棱与底面垂直），12AB AA ==，D ，E 分别是1AA ，1CB 的中点.（1）证明：//DE 平面ABC ； （2）求三棱锥E ABC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】（1）取1CC 的中点E '，连接DE '，EE '，分别证明//DE '平面ABC ，//EE '平面ABC ，可得平面//DEE '平面ABC ，从而得到//DE 平面ABC ；（2）由E 为1CB 的中点，可得E 到底面ABC 的距离等于1112BB =，再求出底面ABC∆的面积，代入棱锥体积公式求解． 【详解】（1）如图，取1CC 的中点E '，连接DE '，EE '， //AD CE '，AD CE ='，∴四边形ACE D '为平行四边形，则//DE AC '，AC ⊂平面ABC ，DE '⊂/平面ABC ，//DE ∴'平面ABC ；E ，E '分别为1CB ，1CC 的中点，11////EE B C BC ∴'，BC ⊂平面ABC ，EE '⊂/平面ABC ，//EE ∴'平面ABC ，又DE EE E '⋂'='，∴平面//DEE '平面ABC ，DE ⊂平面DEE '则//DE 平面ABC ； （2）E 为1CB 的中点，E ∴到底面ABC 的距离等于1112BB =．又底面ABC ∆是边长为2的等边三角形，∴1322322ABC S ∆=⨯⨯⨯=． ∴133133E ABC V -=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定以及锥体的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查了计算能力，是中档题．19．在①36S a =，②420S =，③14724a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足36a = . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）121(44)3n n T n n +=-++.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，分别取三个不同条件，与36a =联立求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）把（1）中求得通项公式代入2n an n b a =+，利用数列的分组求和与等差数列及等比数列的前n 项和公式求解． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ．若选择条件①36S a =，则由36a =，得11126335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩， 解得122a d =⎧⎨=⎩，22(1)2n a n n =+-=∴；若选择条件②420S =，则由36a =，得1126434202a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得122a d =⎧⎨=⎩，22(1)2n a n n =+-=∴； 若选择条件③14724a a a ++=，则由36a =，得11263(3)24a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得122a d =⎧⎨=⎩，22(1)2n a n n =+-=∴；（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有2n a n =．则2222n an n n b a n =+=+，{}n b ∴的前n 项和123(4444)2(123)n n T n =+++⋯+++++⋯+124(14)(1)12(44)1423n n n n n n +⨯-+=+⨯=-++-．【点睛】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的前n 项和，考查分组求和的应用，考查计算能力，是中档题．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，1PA PD CD BC ====.（1）证明：BD ⊥平面PAD ；（2）求直线AB 与平面PBD 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）30.【解析】（1）推导出BC DC ⊥，AD BD ⊥，取AD 中点O ，连结PO ，则PO AD ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，由此能证明BD ⊥平面PAD ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与平面PBD 所成角的大小． 【详解】 （1）证明：在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，1PA PD CD BC ====． BC DC ∴⊥，22112AD BD ∴==+222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，取AD 中点O ，连结PO ，则PO AD ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PO BD ∴⊥，PO AD O ⋂=，BD ∴⊥平面PAD ．（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，1PA PD CD BC ====，2AD =222AP DP AD ∴+=，AP DP ∴⊥，(2A 0，0)，(0B 20)，(0D ，0，0)，2(P 02， (2AB =-2，0)，2(2DP =02，(0DB =2，0)， 设平面PBD 的法向量(n x =，y ，)z ，则22·02·20n DP x z n DB y ⎧=+=⎪⎨⎪==⎩，取1x =，得(1n =，0，1)-， 设直线AB 与平面PBD 所成角为θ，则||21sin 2||||22AB n AB n θ===，30θ∴=︒．∴直线AB 与平面PBD 所成角的大小为30．【点睛】本题考查线面垂直的证明、面面垂直的性质，考查线面角向量法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力与空间想象能力，是中档题． 21．已知2()2(2)f x x a x a =-++，a R ∈. （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，求2112x x x x +的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）6.【解析】（1）根据函数2()2(2)f x x a x a =-++的解析式，可将()0f x >化为(2)(1)0x a x -->，分类讨论可得不等式的解集．（2）由方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，21x a ⇒>，利用韦达定理可得2222211212121212123()()21422141a x x x x x x x x a x x x x x x a a +++--+===-=+--，再结合均值不等式即可． 【详解】（1）由()0f x >得(2)(1)0x a x -->，当2a >时，原不等式的解集为(-∞，1)(2a⋃，)+∞，当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠，当2a <时，原不等式的解集为(-∞，)(12a⋃，)+∞；（2）方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，等价于22(3)10x a x a -++-=有两个正实数根1x ，2x ，∴()()2121238103012102a a a x x a a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⇒>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，则2222211212121212123()()211622[(1)]21212a x x x x x x x x a a x x x x x x a +++-+===-=-++--()1162?21?621a a ≥+-=- 当且仅当5a =时取等号，故2112x x x x +的最小值为6． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于综合题．22．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某市的一条健康步道，AB ，AC 为线段，BC 是以BC 为直径的半圆，23km AB =，4km AC =，6BAC π∠=.（1）求BC 的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A D C --（B ，D 在AC 两侧），AD ，CD 为线段.若3ADC π∠=，A 到健康步道B C D --的最短距离为23km ，求D 到直线AB 距离的取值范围.【答案】（1）π；（2）43(2,2]3+. 【解析】（1）利用余弦定理求出半径，利用圆的周长公式可得结果；（2）先求出D 点的大致轨迹，再结合正弦定理、圆的几何性质求最D 点到直线AB 距离的最值即可求解． 【详解】（1）在ABC ∆ 中，由余弦定理可得， 31612242322BC =+-⨯⨯⨯=， ⇒1212BC ππ=⨯⨯⨯=．（2）D 的轨迹为ADC ∆ 外接圆的一部分，设ADC ∆ 外接圆的半径为R ， 由正弦定理442332R R =⇒=，且满足23AD ，由（1）得：222AB BC AC +=，所以ABC ∠为直角， 过D 作DE AB ⊥于E ，设所求距离为d ，①当DE 通过圆心O 时，d 达到最大，由几何关系得，四边形OCBE 为矩形， 所以4432233max d R OE R BC =+=+=+=+，此时满足23AD ， ②当D 无限接近C 时，此时2d →，综上：所求D 到直线AB 距离d 的取值范围为43(2,2]3+．【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，动点到定直线距离的最值问题，同时对学生推理分析，数形结合，运算求解的能力有一定的要求，属于中档题．。
福建省厦门市高一下学期数学期末考试试卷
福建省厦门市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
(共10题；共50分)1. （5分）设全集是实数集,,则（）A .B .C .D .2. （5分）从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是（）A .B .C .D .3. （5分）设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有恒成立，则不等式的解集是（）A .B .C .D .4. （5分） (2017高二上·大庆期末) 将8个半径为1实心铁球溶化成一个大球，则这个大球的半径是（）A . 8B . 2C . 2D .5. （5分） f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）在x=1处的函数值为0，则（）A . f（x﹣1）一定是奇函数B . f（x﹣1）一定是偶函数C . f（x+1）一定是奇函数D . f（x+1）一定是偶函数6. （5分） (2018高一下·宜昌期末) 下列命题正确的是（）A . 经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直B . 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C . 经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D . 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直7. （5分）“a=”是“直线l1：（a+2）x+（a﹣2）y=1与直线l2：（a﹣2）x+（3a﹣4）y=2相互垂直”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （5分）如图所示，是圆上的三个点，的延长线与线段交于圆内一点,若，则（）A .B .C .D .9. （5分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A .B . 3C . 3或D . 3或10. （5分） (2019高一上·宁波期中) 已知是定义域为的偶函数，当时，，则的解集为（）A .B .C .D .二、填空题:本大题共6小题，共32分，其中第11-14题，每小题 (共6题；共32分)11. （5分）(2017·东城模拟) 已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=________．12. （5分） (2018高一下·攀枝花期末) 平面向量，，．若对任意实数t都有，则向量 ________.13. （5分） (2017高二下·夏县期末) 某次竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________14. （5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取________ 名学生．15. （6分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为________16. （6分）(2018·全国Ⅱ卷文) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若的面积为8，则该圆锥的体积为________三、解答题:本大题共5小题，第17题12分，其余每小题14分，共 (共5题；共68分)17. （12分）已知△ABC的周长为，且sinB+sinC=sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若S△ABC=3sinA，求cosA的值．18. （14分） (2017高一下·淮北期末) 已知角α终边上一点P（4，3 ），求．19. （14.0分） (2017高一下·福州期中) 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的频率．20. （14分） (2018高一下·石家庄期末) 四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面 .（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论.21. （14分） (2015高一下·南通开学考) 已知函数f（x）= 为奇函数．（1）求实数m的值；（2）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调减函数；（3）若关于x的不等式f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2020-2021学年福建省厦门市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知（1+i）z＝2i，则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．已知，是两个不共线的向量，且，，若A，B，C三点共线，则实数λ＝（）A．﹣4B．﹣1C．1D．43．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412 451 312 533 224 344 151 254 424 142435 414 335 132 123 233 314 232 353 442据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（）A．0.4B．0.45C．0.55D．0.64．厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点．甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（）A．B．C．D．5．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．B．1C．2D．46．为庆祝建党100周年，某校组织“心中歌儿献给党”歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分．可以判断出一定有出现100分的是（）A．平均数为97，中位数为95B．平均数为98，众数为98C．中位数为95，众数为98D．中位数为96，极差为87．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知cos B＝，c＝2a，AC边上的中线长度为m，则＝（）A．B．C．1D．8．如图（1）平行六面体容器ABCD﹣A1B1C1D1盛有高度为h的水，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．固定容器底面一边BC于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A，B1，C1，D四点，则h的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．某学生为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市2020年月平均气温的相关数据，得到折线图（如图），则（）A．甲城市有3个月的月平均气温低于0℃B．甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大C．甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低D．甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小10．复数z的共轭复数为，则（）A．z与在复平面内对应的点关于实轴对称B．z在复平面内对应的点在虚轴上C．若|z﹣1|＝|z+1|，则在复平面内对应的点在实轴上D．若||＝1，则z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆11．如图是长方体的平面展开图，AB＝3，BE＝2，BC＝4，则在该长方体中（）A．B，C，F，G四点共面B．直线AE与直线GC平行C．直线BH与平面ACG的距离为3D．三棱锥B﹣DFH外接球的表面积为29π12．已知向量，在向量上的投影向量为，则（）A．B．与方向相同的单位向量为或C．的最小值为0D．的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知1+i是关于x的一元二次方程x2+px+2＝0（其中p∈R）的一个根，则p＝．14．为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了10名学生，统计其参加活动的时长（单位：小时），得到以下数据：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22，则该组数据的75%分位数为．15．若平面上的三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态．已知，，且与的夹角为，则与的夹角为．16．厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素．小明计划测量双子塔A塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°．则塔的高度约为米．（精确到个位）参考数据：sin4°≈0.07，sin33.1°≈0.55，sin63.7°≈0.90，sin79.2°≈0.98．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．（1）设，，用，表示，；（2）已知ED⊥EF，求证：．18．如图，在长方体木料ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝2，E为棱A1B1的中点，要过点E和棱BC将木料锯开．（1）在木料表面画出符合要求的线，写出作图过程并说明理由；（2）写出切割后体积较大的几何体的名称，并求出它的体积．19．甲、乙两人进行投篮比赛，约定赛制如下：选定投篮位置，并在同一位置连续投篮三次，站在3分线外每次投中得3分，站在3分线内每次投中得2分，总得分高者胜出．假设乙同学在3分线内投篮，每次投中概率为0.7，在3分线外投篮，每次投中概率为0.4．用Y表示乙投中，N表示乙未投中，假设每次能否投中是独立的．（1）观察乙的投篮情况，根据树状图填写样本点，并写出样本空间；（2）已知甲三次总得分为4分，若乙想赢得比赛，你建议他位置选在3分线内还是3分线外，为什么？20．某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．身高（单位：cm）[145，155）[155，165）[165，175）[175，185）[185，195]频数m p q64方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．（1）根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二中总样本的均值及方差；（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD是正方形．（1）直线AC与平面PBD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（2）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为60°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．22．在①c（a cos B﹣b cos A）＝a2﹣1；②b cos A+ab cos B＝c；③4S sin B＝cos（A﹣C）+cos B 中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．问题：设钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．S为△ABC的面积，_______．（1）求b；（2）若点O为△ABC的外心，△OAC的面积为，求△OAB与△OBC的面积之和的最大值．参考答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知（1+i）z＝2i，则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i解：（1+i）z＝2i，可得z＝＝＝1+i．故选：A．2．已知，是两个不共线的向量，且，，若A，B，C三点共线，则实数λ＝（）A．﹣4B．﹣1C．1D．4解：∵，是两个不共线的向量，且，，A，B，C三点共线，∴，即＝﹣2t，∴，解得实数λ＝﹣4．故选：A．3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412 451 312 533 224 344 151 254 424 142435 414 335 132 123 233 314 232 353 442据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（）A．0.4B．0.45C．0.55D．0.6解：在20组随机数中，三位数字中有数字1的即可，故共有9个随机数中含有数字1，所以一年内至少有1台设备需要维修的概率为．故选：B．4．厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点．甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（）A．B．C．D．解：令事件A为甲乙在相同站点下车，则P（A）＝×+×+×＝，所以P（）＝1﹣P（A）＝1﹣＝．故选：C．5．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．B．1C．2D．4解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据侧面展开图是面积为2π的半圆，所以，解得l＝2，r＝1，所以圆锥的底面半径为1．故选：B．6．为庆祝建党100周年，某校组织“心中歌儿献给党”歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分．可以判断出一定有出现100分的是（）A．平均数为97，中位数为95B．平均数为98，众数为98C．中位数为95，众数为98D．中位数为96，极差为8解：对于A，平均数为97，中位数为95，假设前两个数最大取95可推出后两个数都是100，∴选A；对于BCD中的数据都不能判断最高分是多少，∴不选BCD．故选：A．7．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知cos B＝，c＝2a，AC边上的中线长度为m，则＝（）A．B．C．1D．解：因为cos B＝，c＝2a，AC边上的中线长度为m，所以在△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得b2＝a2+4a2﹣2a•2a•＝2a2，可得b＝a，又因为cos∠ADB＝﹣cos∠BDC，所以由余弦定理可得＝﹣，整理可得m＝a，所以＝＝1．故选：C．8．如图（1）平行六面体容器ABCD﹣A1B1C1D1盛有高度为h的水，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．固定容器底面一边BC于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A，B1，C1，D四点，则h的值为（）A．B．C．D．解：作A1E⊥AD于点E，A1F⊥AB于点F，因为∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则A1E＝A1F＝AA1•sin60°＝2×，AE＝AF＝AA1•cos60°＝2×，又∠EAF＝∠BAD＝60°，所以△AEF为正三角形，则EF＝AE＝1，取EF的中点G，连接AG，A1G，则AG⊥EF，A1G⊥EF，EG＝FG＝＝，又AG∩A1G＝G，所以EF⊥平面AA1G，则AG＝，A1G＝，由余弦定理可得，＝，则＝，作A1H⊥AG于H，因为EF⊥平面AA1G，A1H⊂平面AA1G，所以RF⊥A1H，又AG∩EF＝G，则A1H⊥平面ABCD，所以点A1到平面ABCD的距离为d＝A1H＝AA1•sin∠A1AG＝，故平面A1B1C1D1到平面ABCD的距离为d＝，由题意可知，所盛水的体积为平行六面体容器ABCD﹣A1B1C1D1的一半，所以h＝．故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．某学生为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市2020年月平均气温的相关数据，得到折线图（如图），则（）A．甲城市有3个月的月平均气温低于0℃B．甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大C．甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低D．甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小解：由折线图可得，甲城市在1月，2月，12月的月平均气温低于0℃，故A选项正确，甲，乙城市都在7月取得月平均气温的最大值，甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值小，故B选项错误，由折线图可知，乙城市的月平均折线图均在甲城市的月平均折线图的上方，甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低，故C选项正确，由折线图可知，甲城市月平均气温比乙城市月平均气温波动大，甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差大，故D选项错误．故选：AC．10．复数z的共轭复数为，则（）A．z与在复平面内对应的点关于实轴对称B．z在复平面内对应的点在虚轴上C．若|z﹣1|＝|z+1|，则在复平面内对应的点在实轴上D．若||＝1，则z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆解：对于A，由共轭复数的定义可知，z与在复平面内对应的点关于实轴对称，故选项A正确；对于B，设z＝a+bi，则z＝a2+b2为实数，故选项B错误；对于C，|z﹣1|＝|z+1|表示点Z对应的点到A（1，0），B（﹣1，0）的距离相等，则点Z在过线段AB中点的直线上，所以在复平面内对应的点也在过线段AB中点的直线上，故选项C错误；对于D，由复数模的几何意义可知，若||＝1，则z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆，故选项D正确．故选：AD．11．如图是长方体的平面展开图，AB＝3，BE＝2，BC＝4，则在该长方体中（）A．B，C，F，G四点共面B．直线AE与直线GC平行C．直线BH与平面ACG的距离为3D．三棱锥B﹣DFH外接球的表面积为29π解：由长方体的平面展开图，还原长方体FEBA﹣GHCD，则FG∥BC，所以B，C，F，G四点共面，故选项A正确；由图可知，直线AE与直线CG为异面直线，不平行，故选项B错误；因为BH∥平面AGH，所以点B到平面AGH的距离即为直线BH到平面AGH的距离d，由等体积法V H﹣ACG＝V A﹣CGH，则，因为在△CGH中，CG＝，AC＝5，AG＝，所以，又，所以＝，故选项C错误；因为三棱锥B﹣DFH的外接球即为长方体的外接球，所以2R＝，则三棱锥B﹣DFH的外接球的表面积为29π，故选项D正确．故选：AD．12．已知向量，在向量上的投影向量为，则（）A．B．与方向相同的单位向量为或C．的最小值为0D．的最小值为解：由已知可得，所以设，选项A：因为，，所以，故A正确，选项B：因为|＝，所以与方向相同的单位向量为或，故B正确，选项C：因为，所以＝20λ2﹣20λ＝20（）2﹣5，所以当时，的最小值为﹣5，故C错误，选项D：因为||2＝（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5，所以当λ＝1时，||的最小值为，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知1+i是关于x的一元二次方程x2+px+2＝0（其中p∈R）的一个根，则p＝﹣2．解：∵1+i是关于x的一元二次方程x2+px+2＝0（其中p∈R）的一个根，∴由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，1﹣i是一元二次方程x2+px+2＝0的另一根，则﹣p＝（1+i）+（1﹣i）＝2，∴p＝﹣2．故答案为：﹣2．14．为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了10名学生，统计其参加活动的时长（单位：小时），得到以下数据：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22，则该组数据的75%分位数为16．解：10×75%＝7.5，其比邻整数为8，找到第8个数为16，故答案为：16．15．若平面上的三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态．已知，，且与的夹角为，则与的夹角为．解：根据题意，设与的夹角为θ，三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态．则++＝，变形可得：+＝﹣，则有|+|2＝|﹣|2，即||2＝2+2+2•＝1，则||＝1，又由++＝，则+＝﹣，则有|+|2＝|﹣|2，即2+2+2•＝2，变形可得cosθ＝﹣，又由0≤θ≤π，则θ＝，故答案为：．16．厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素．小明计划测量双子塔A塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°．则塔的高度约为30米．（精确到个位）参考数据：sin4°≈0.07，sin33.1°≈0.55，sin63.7°≈0.90，sin79.2°≈0.98．解：设塔高CD，AB＝42，∠CAE＝26.3°，∠CBF＝22.3°，∠FBD＝10.8°，所以∠ABC＝112.3°，∠BAC＝63.7°，所以∠ACB＝4°在△ABC中，由正弦定理：＝，即＝，所以sin4°≈0.07，sin63.7°≈0.90，所以BC＝540，在△BCD中，∠BDC＝90°﹣10.8°＝79.2°，∠CBD＝22.3°+10.8°＝33.1°，由正弦定理可得：＝，即＝，解得：CD≈30.3，故答案为：30．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．（1）设，，用，表示，；（2）已知ED⊥EF，求证：．解：（1）因为AE＝2BE，则，所以，＝；（2）证明：因为ED⊥EF，所以，即（）＝，即|，所以AB＝．18．如图，在长方体木料ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝2，E为棱A1B1的中点，要过点E和棱BC将木料锯开．（1）在木料表面画出符合要求的线，写出作图过程并说明理由；（2）写出切割后体积较大的几何体的名称，并求出它的体积．解：（1）因为BC∥面A1B1C1D1，所以过直线BC及点E的平面，与平面A1B1C1D1的交线EF，EF必平行BC，故在面A1B1C1D1，内作EF∥BC交D1C1于点F，故过点E和棱BC将木料锯开，故锯子所经过的平面与长方体表面的交线围成四边形EFCB．（2）切割后体积较大的几何体的名称为四棱锥ABEA1﹣DCFD1，，它的体积V＝S•AD＝（1+2）×1×1＝．19．甲、乙两人进行投篮比赛，约定赛制如下：选定投篮位置，并在同一位置连续投篮三次，站在3分线外每次投中得3分，站在3分线内每次投中得2分，总得分高者胜出．假设乙同学在3分线内投篮，每次投中概率为0.7，在3分线外投篮，每次投中概率为0.4．用Y表示乙投中，N表示乙未投中，假设每次能否投中是独立的．（1）观察乙的投篮情况，根据树状图填写样本点，并写出样本空间；（2）已知甲三次总得分为4分，若乙想赢得比赛，你建议他位置选在3分线内还是3分线外，为什么？解：（1）由树状图如图，样本空间Ω＝{NNN，NNY，NYN，NYY，YNN，YNY，YYN，YYY}；（2）记A＝“乙在3分线外赢得比赛“，则P（A）＝P（NYY∪YNY∪YYN∪YYY）＝0.6×0.4×0.4+0.4×0.6×0.4+0.4×0.4×0.6+0.4×0.4×0.4＝0.352；记B＝“乙在3分线内赢得比赛“，P（B）＝P（YYY）＝0.7×0.7×0.7＝0.343，所以P（B）＜P（A），所以建议乙的位置选在3分线外．20．某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．身高（单位：cm）[145，155）[155，165）[165，175）[175，185）[185，195]频数m p q64方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．（1）根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二中总样本的均值及方差；（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？解：（1）因为身高在区间[185，195）的频率为0.008×10＝0.08，频数4，所以n＝＝50，故m＝0.008×10×50＝4，p＝0.04×10×50＝20，q＝50﹣4﹣20﹣6﹣4＝16，所以身高在区间[165，175）的频率为＝0.32，在区间[175，185）的频率为＝0.12，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：150×0.008×10+160×0.04×10+170×0.032×10+180×0.012×10+190×0.008×10＝12+64+54.4+21.6+15.2＝167.2cm；（2）把男生样本记为x1，x2，...，x25，其均值记为，方差记为；把女生样本记为y1，y2，...，y25，其均值记为，方差记为，则总样本均值＝+＝＝165，又因为，所以＝2（﹣）＝0，同理可得，所以总样本方差s2＝[]＝[+]＝{25[+（）²]+25[+（）²]}＝{25[16+（170﹣165）²]+25[20+（160﹣165）²]}＝43；（3）两种方案总样本均值的差为167.2﹣165＝2.2．用方案二总样本均值作为总体均值的估计不合适，原因为：没有按照等比例进行分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此样本的代表性比较差．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD是正方形．（1）直线AC与平面PBD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（2）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为60°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．解：（1）直线AC与平面PBD不垂直.证明如下：分别取AD、AB的中点M、N，连接PM，PN，MN，∵PA＝PD，∴PM⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PM⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PM，又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，且MN∥BD，∴AC⊥MN，又∵MN∩PM＝M，∴AC⊥平面PMN，∵过同一点P只能作唯一平面PMN垂直于AC，∴直线AC与平面PBD不垂直．（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD，又∵AD、PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，CD⊥AD，∴二面角P﹣CD﹣B的平面角为∠PDA＝60°，设AB＝a，∴Rt△PDC的面积为S＝×PD×CD＝，Rt△BCD的面积为×BC×CD＝，取AD的中点M，连接PM，∵PA＝PD，∴PM⊥AD，由（1）知，PM⊥平面ABCD，设点B到平面PCD的距离为h，∵V P﹣BCD＝V B﹣PCD，即×S△BCD×PM＝×S△PCD×h，得h＝PM＝，∵PB＝，∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．22．在①c（a cos B﹣b cos A）＝a2﹣1；②b cos A+ab cos B＝c；③4S sin B＝cos（A﹣C）+cos B 中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．问题：设钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．S为△ABC的面积，_______．（1）求b；（2）若点O为△ABC的外心，△OAC的面积为，求△OAB与△OBC的面积之和的最大值．解：（1）选①，因为c（a cos B﹣b cos A）＝a2﹣1，所以c（a•﹣b•）＝a2﹣1，所以a2﹣b2＝a2﹣1，所以b＝1．选②，由b cos A+ab cos B＝c，得sin B cos A+b sin A cos B＝sin C，因为sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，所以b sin A cos B＝sin A cos B，所以b＝1，或B＝，因为△ABC是钝角三角形，所以B≠，所以b＝1．选③，因为4S sin B＝cos（A﹣C）+cos B，所以4×ac sin2B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C），所以2ac sin2B＝2sin A sin C，所以2b2ac＝2ac，所以b＝1．（2）设△ABC的外接圆的半径为R，因为△OAC的面积为，所以＝，所以R＝1，所以△OAC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，法一：①因为A或C为钝角时，△OAB与△OBC的面积之和的最大值相同，所以不妨设A为钝角，如图（1），设∠BOA＝θ，则∠BOC＝60°+θ，所以S△OBC+S△OAB＝[sin（60°+θ）+sinθ]＝（sinθ+cosθ）＝sin（θ+30°），因为θ＝180°﹣2（A﹣60°）＝300°﹣2A，90°＜A＜150°，所以0°＜θ＜120°，所以当θ＝60°，△OAB与△OBC的面积之和最大值为；②当B为钝角时，如图（2），设∠BOA＝θ，则∠BOC＝60°﹣θ，所以S△OBC+S△OAB＝[sin（60°﹣θ）+sinθ]＝（sinθ+cosθ）＝sin（θ+60°），因为0＜θ＜60°，所以当θ＝30°，△OAB与△OBC的面积之和最大值为，因为，所以△OAB与△OBC的面积之和最大值为．法二：①当A或C为钝角时，同法一；②当B为钝角时，如图（2），则有△OAB与△OBC的面积之和小于扇形OABC的面积，因为扇形OABC的面积为，所以△OAB与△OBC的面积之和小于，因为＜，所以△OAB与△OBC的面积之和最大值为．法三：设∠BOA＝α，则∠BOC＝β，所以S△OBC+S△OAB＝（sinα+sinβ）＝×2sin cos＝sin cos．①当A或C为钝角时，|α﹣β|＝60°，如图（1），则cos＝cos30°＝，不妨设a＜β，则β＝α+60°，得α+β＝2α+60°，因为α＝180°﹣2（A﹣60°）＝300°﹣2A，90°＜A＜150°，所以0°＜α＜120°，所以60°＜α+β＜300°，所以当α+β＝180°时，△OAB与△OBC的面积之和最大值为；②当B为钝角时，α+β＝60°，如图（2），则sin＝，所以当α＝β时，△OAB与△OBC的面积之和最大值为，因为＜，所以△OAB与△OBC的面积之和最大值为．。
福建省厦门市高一下学期期末数学试卷(文科)
福建省厦门市高一下学期期末数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019高一上·株洲月考) 已知角满足，则表达式的取值集合为（）A .B .C .D .2. （2分）已知=﹣5，那么tanα的值为（）A . -2B . 2C .D . -3. （2分） (2016高一下·烟台期中) “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一下·安徽月考) 已知，，且，则向量与向量的夹角为（）A .B .C .D .5. （2分）执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（）A . 6B . 5C . 4D . 36. （2分）(2016·枣庄模拟) 某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样方法，抽取6个班进行调查，若抽到的编号之和为87，则抽到的最小编号为（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分） (2016高二上·万州期中) 过点（3，1）作一直线与圆（x﹣1）2+y2=9相交于M、N两点，则|MN|的最小值为（）A .B . 2C . 4D . 68. （2分） (2016高一下·延川期中) 将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A . -B . -C .D .9. （2分）若的最小值为，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为，且图像过点（0，1），则其解析式是（）A .B .C .D .10. （2分）将曲线按照变换后的曲线的最小正周期与最大值分别为（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·漯河模拟) 已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为（）A .B .C .D .12. （2分）若关于x的方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为________ ．14. （1分） (2020高一下·西安期末) 已知函数（，，）在半个周期内的图象如图所示，则 ________．15. （1分）已知ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为________16. （1分） (2017高二下·安徽期中) 设，对任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2019高一下·湖州期末) 如图所示，是边长为的正三角形，点四等分线段．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若点是线段上一点，且，求实数的值．18. （10分）(2019·恩施模拟) 从甲、乙两班各随机抽取10名同学，下面的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文题目中的成绩（单位：分）.已知语文作文题目满分为60分，“分数分，为及格；分数分，为高分”，若甲、乙两班的成绩的平均分都是44分，（1）求的值；（2）若分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，求抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.19. （5分）(2017·江苏) 已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[0，π]．（Ⅰ）若∥ ，求x的值；（Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．20. （5分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327表中的数据显示，与y之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y关于的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = ， = ﹣．21. （10分）已知函数 .（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）写出的值域、最小正周期、对称轴，单调区间.22. （15分）已知函数的最大值为．（1）求常数的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
福建省厦门市高一下学期数学期末考试A卷
福建省厦门市高一下学期数学期末考试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）如图所示的程序在电脑屏幕上显示的结果为（）A=2x=APRINT“x=”;xENDA . 2B . “x=”;xC . “x=”;2D . x=22. （2分）已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是An ， Bn ，且 = ，则 =（）A . 2B .C .D .3. （2分） (2018高二上·宾阳月考) 用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为125，则第1组中按此抽签方法确定的号码是（）A . 7B . 5C . 4D . 34. （2分）已知实数x、y满足约束条件，若使得目标函数ax+y取最大值时有唯一最优解(1,3)，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·保定月考) 学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是（）A . 对立事件B . 不可能事件C . 互斥但不对立事件D . 不是互斥事件6. （2分）设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数）， ,若任取，则满足的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 若集合，集合，则（）A .B .C .D .8. （2分）某饮料店某5天的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的数据如表：x﹣2﹣1012y54221甲、乙、丙、丁四位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的四个线性回归方程：① =﹣x+3，② =﹣x+2.8，③ =﹣x+2.6，④ =﹣x+2.4，其中正确的方程是（）A . ①B . ②C . ③D . ④9. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A . 6B . 8C . 10D . 1510. （2分）的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，给出下列三个叙述：①②③以上三个叙述中能作为“是等边三角形”的充分必要条件的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个11. （2分）设等差数列的前n项和为，若S3=9,S6=36，则a7+a8+a9=（）A . 63B . 45C . 36D . 2712. （2分） (2017高二上·南阳月考) 钝角三角形的三边为，，，其最大角不超过，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2015高三上·盐城期中) 设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3 ， S9 ， S6成等差数列，且a2+a5=2am ，则m=________．14. （1分）(2016·嘉兴模拟) 己知，，，且，则的最小值为________．15. （1分）(2019·通州模拟) 某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，则这组数据的方差为________．16. （1分）把二进制数1 001(2)化成十进制数为________17. （1分）(2018·山东模拟) 的面积，角、、的对边分别为、、，，，的内切圆半径等于________．三、解答题 (共6题；共60分)18. （10分） (2016高一下·张家港期中) 如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向用与B相距10 海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C的北偏西30°方向且与C相距海里处有一个暗礁E，周围海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？若有危险，则从有危险开始，经过多少小时后能脱离危险？若无危险，请说明理由．19. （10分）(2013·湖南理) 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．20. （10分） (2016高一下·南平期末) 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S3=9，a1 ，a3 ， a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn=（an﹣1）2n，求数列{bn}的前n项和Tn．21. （10分） (2016高一下·辽源期中) 解答（1）解不等式＜0．（2）若关于不等式x2﹣4ax+4a2+a≤0的解集为∅，则实数a的取值范围．22. （10分） (2017高一下·沈阳期末) 已知，点，（1）以为对角线作正方形/ (点依次逆时针排列），求出的坐标，并求出点的坐标；（2）设为与垂直的单位向量，求向量的坐标，并求边上的高的长.23. （10分） (2016高一下·天津期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn= ，数列{cn}的前n项和为Tn．①求Tn；②对于任意的n∈N*及x∈R，不等式kx2﹣6kx+k+7+3Tn＞0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共6题；共60分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
福建省厦门市高一下学期期末数学试卷
福建省厦门市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若a,b>0，则"a>b" 是“a3+b3>a2b+ab2”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分且必要条件D . 既非充分也非必要条件2. （2分） (2016高一下·承德期中) 若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）A .B .C . ﹣2D .3. （2分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A . y＝sinB . y＝cosC . y＝sinD . y＝cos4. （2分）如果，则tanα的值为（）A . ﹣2B . 2C .D .5. （2分）(2018·全国Ⅱ卷理) 已知向量，满足=1, ⋅=−1 ，则·(2-)=（）A . 4B . 3C . 2D . 06. （2分）已知向量 =（x﹣1，2）， =（2，1），则∥ 的充要条件是（）A .B . x=﹣1C . x=5D . x=07. （2分） (2016高二上·开鲁期中) 数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是（）A . an=2n﹣1B . an=2n+1C . an=4n﹣1D . an=4n+18. （2分） (2017高一上·武清期末) 要得到函数y=3cosx的图象，只需将函数y=3sin（2x﹣）的图象上所有点的（）A . 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度B . 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度C . 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度D . 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度9. （2分） (2016高一下·吉林期中) 已知实数a，b满足，x1 ， x2是关于x的方程x2﹣2x+b ﹣a+3=O的两个实根，则不等式0＜x1＜1＜x2成立的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是（）A . α＝，β＝B . α＝，β＝C . α＝，β＝D . α＝，β＝11. （2分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+k在一个周期内的图象如图，函数f（x）解析式为（）A . f（x）=4sin（ x+ ）﹣1B . f（x）=2sin（2x﹣）+1C . f（x）=4sin（ x+ ）D . f（x）=2sin（2x﹣）+112. （2分）(2017·上饶模拟) 老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生的回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．成绩出来后发现，四名学生中有且只有两人说对了，他们是（）A . 甲、丙B . 乙、丁C . 丙、丁D . 乙、丙二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）不等式的解集为________．14. （1分） (2018高三上·云南月考) 已知，则 =________；15. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 函数（）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为________．16. （1分）如图，为测量山高l，选择A和另一座山的山顶|PA|为测量观测点．从MB=MC点测得△ABC点的仰角60°，C点的仰角45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=________m．三、解答题： (共6题；共50分)17. （5分）已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=•﹣．（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值．18. （10分） (2016高一下·老河口期中) 如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤ ）的图象与y轴交于点（0，1）．（1）求φ的值．（2）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求tan∠MPN的值．19. （10分） (2016高一下·肇庆期末) 设数列{an}的前n项和为Sn=n2 ， {bn}为等比数列，且a1=b1 ， b2（a2﹣a1）=b1 ．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式．（2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．20. （10分） (2016高一下·海珠期末) 一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：原料磷酸盐（单位：吨）硝酸盐（单位：吨）种类甲420乙220现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．（1）设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？21. （10分）(2018高二下·大名期末) 已知的内角的对边分别为.（1）求；（2）若，求的面积.22. （5分） (2016高二上·凯里期中) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a2=﹣5，S5=﹣20．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式Sn＞an成立的n的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
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福建省厦门市高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（）
A . 322
B . 402
C . 342
D . 365
2. （2分）赋值语句M=M+3表示的意义（）
A . 将M的值赋给M+3
B . 将M的值加3后再赋给 M
C . M和M+3的值相等
D . 以上说法都不对
3. （2分） (2016高一上·德州期中) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示）．则该样本的中位数、众数、极差分别是（）
A . 46 45 56
B . 46 45 53
C . 47 45 56
D . 45 47 53
4. （2分）某种商品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中的m的值为（）
A . 45
B . 50
C . 55
D . 60
5. （2分）已知，则的值是（）
A .
B .
C .
D . 1
6. （2分） (2019高三上·凤城月考) 《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2017·辽宁模拟) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象在 y轴左侧的第一个最高点为（﹣，3），第﹣个最低点为（﹣，m），则函数f（x）的解析式为（）
A . f（x）=3sin（﹣2x）
B . f（x）=3sin（2x﹣）
C . f（x）=3sin（﹣2x）
D . f（x）=3sin（2x﹣）
8. （2分）（）
A . tanx
B . sinx
C . cosx
D . cotx
9. （2分）在中，已知D是AB边上的一点，若，，则（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2016高三上·贵阳模拟) 在边长为1的正三角形ABC中， =2 ，则• =（）
A .
B .
C .
D . 1
11. （2分） (2016高一下·邢台期中) 为了得到函数y=3sin（2x+ ）的图象，只要把函数y=3sinx的图象上所有的点（）
A . 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移个单位长度
B . 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移个单位长度
C . 向右平移个单位长度，再把所得图象所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
D . 向左平移个单位长度，再把所得图象所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
12. （2分）已知，则的值为（）
A .
B . 7
C .
D . －7
二、填空题 (共8题；共8分)
13. （1分）已知向量 =（2，3）， =（﹣1，2），若m +n 与﹣3 共线，则 =________．
14. （1分） (2018高一下·山西期中) 一个半径为2的扇形，若它的周长为，则扇形圆心角的弧度数为________．
15. （1分） (2018高一下·珠海月考) 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为________
16. （1分）已知tanx=3，则的值为________．
17. （1分）(2017·太原模拟) 现采取随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示集中目标，以4个随机
数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击四次至少击中三次的概率为：________．
18. （1分） (2019高一下·上海月考) 若，且，求
________.
19. （1分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为________
20. （1分） (2017高三上·苏州开学考) 已知函数f（x）= 若关于x的方程f（x）=k（x+1）有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
三、解答题 (共5题；共40分)
21. （10分） (2019高二上·鹤岗期末) 2017年10月18日至24日，中国共产党第十九次全国人民代表大会在北京顺利召开．大会期间，北京某高中举办了一次“喜迎十九大”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图．
（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；
（2）完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．
附：
22. （5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数；乙组有一个数据模糊，用X表示．
（Ⅰ）若x=8，求乙组同学植树的棵数的平均数；
（Ⅱ）若x=9，分别从甲、乙两组中各随机录取一名学生，求这两名学生植树总棵数为19的概率；
（Ⅲ）甲组中有两名同学约定一同去植树，且在车站彼此等候10分钟，超过10分钟，则各自到植树地点再会面．一个同学在7点到8点之间到达车站，另一个同学在7点半与8点之间到达车站，求他们在车站会面的概率．
23. （10分） (2016高三上·扬州期中) 已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2 ．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个
单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．
24. （5分） (2016高一上·荆门期末) 已知向量与的夹角为，，| |=3，记
，
（I）若，求实数k的值；
（II）当时，求向量与的夹角θ．
25. （10分） (2015高三上·承德期末) 如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．
（1）求证：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共8题；共8分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
三、解答题 (共5题；共40分) 21-1、
21-2、
22-1、
23-1、
23-2、
24-1、25-1、
25-2、。