第4章 正弦交流电的基本概念

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第4章 正弦交流电的基本概念
4.1 4.2 4.3 引言 正弦交流电的三要素 正弦电量的相量表示法
4.4 正弦交流电路中的元件
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4.1 引 言
电路中的电量有周期性变化和非周期性变化两类。我们
把波形的大小和方向随时间作正弦周期性变化的电量称为正 弦交流电，如图4.1所示。
图4.1 正弦交流电
同理，电压相量的最大值表示为
U e jj U j U m m m
电流和电压的有效值相量表示为
(4.14)
I U
I m 2 U
m

I m e jj 2 2
I e jj Ij U e jj Uj
(4.15)
U m e jj
2
(4.16)
18 【例4.1】 已知
本、最重要的电量形式，其应用非常广泛。正弦交流电也可
简称交流电。
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4.2 正弦交流电的三要素
4.2.1 变化的快慢
正弦交流电变化的快慢可用三种方式表示。 1. 周期T 交流电量往复变化一周所需的时间叫一个周期，用字母T表 示，单位是秒(s)，如图4.1所示。 2. 频率f 每秒内波形重复变化的次数称为频率，用字母f表示，单位 是赫兹(Hz)。频率和周期互为倒数，即
(4.9)
(4.10)
即正弦量的最大值等于有效值的 2 倍。 有效值是一个非常重要的概念，所有用电设备铭牌上标注 的都是有效值。
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4.3 正弦电量的相量表示法
由于复数可用来表示矢量，矢量可用来表示正弦量，因
而复数也就可以表示正弦量。为了与一般的复数及表示空间 矢量的复数相区别，我们把表示正弦时间函数的复数叫做相 量，并用在大写字母上方加点表示。 设正弦电量是i=Im sin(ωt+j)，现在讨论复数指数函数 Imej(ωt+j)的展开式: Imej(ωt+j)=Im[cos(ωt+j)+j sin(ωt+j)] =Im cos(ωt+j)+jImsin(ωt+j)
3 正弦交流电的数学表达式为
i=Im sin(ωt+j)
(4.1)
式中，i表示正弦交流电的瞬时值；ω表示正弦交流电变化的 快慢，称为角速度；Im表示正弦交流电的最大值，称为幅值；
j表示正弦交流电的起始位置，称为初相位。
正弦交流电比恒定直流电更容易产生、传输和分配，使 用正弦交流电的电机、电器等用电设备可获得较好的性能， 并且正弦交流电的信号经过各种数学运算(如四则运算、微 积分)后仍是正弦函数，这些特性使得正弦交流电成为最基
式(4.24)可知电感上电压的相位超前电流90°，如图4.7(d)所示。 由于
因而
π I Iji , U U ji 2 π U j i U π 2 X L j X L Iji 2 I
(4.25)
(4.26)
入上式得到
1 T 2 2 Im I 0.707I m 0 I m sin (t j ) d t T 2
2
T
(4.7)
此式叫均方根值，即有效值的定义式。设i=Im sin(ωt+j)，并带
(4.8)
13 同理有
U E Um 2 Em 2 0.707 Um 0.707Em
上式的虚部恰好就是正弦电流的表达式，即
i=Im[Imej(ωt+j)]=Im sin(ωt+j) (4.11)
15 因为正弦电量是由振幅、频率和相位这三要素决定的，
在频率相同的正弦电量激励下，电路中的各个电量都具有相
同的频率，所以确定一个正弦电量就只需振幅和相位两个要 素，则
i＝Im [Imej(ωt＋j) ] ＝Im[Imejjejt]＝Im[İmejωt]
W直=I2RT
T T
(4.5)
当正弦电流i流过电阻R时,在相同时间T内电阻消耗的电能为
W交＝0 p(t ) d t 0 Ri 2 (t ) d t
(4.6)
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图4.3 有效值的概念 (a) 交流；(b) 直流
12 根据有效值的定义
W 直= W 交
则有
பைடு நூலகம்
I RT 0 Ri 2 (t ) d t 1 T 2 I i (t ) d t 0 T
压相位90°， 如图4.8(c)所示。
(4.29)
上式表明电容上的电压、电流同频，但电容上电流相位超前电
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图4.8 电容元件
(a) 电路；(b) XC的频率特性；(c) 相位关系；(d) 相量关系；(e) 电路模型
29 若电容上的电压和电流用相量表示：
π U Uju , I I ju 2
当j1<j2时，u滞后于i(或i超前于u)。
当j1=j2时，u与i同相。 当Δj=±π/2时，称u与i正交；而Δj=±π时，称u与i反相。 以上五种情况分别如图4.2中(a)、(b)、(c)、(d)和(e)所示。
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图4.2 正弦量的相位关系 (a) u超前；(b) u滞后；(c) 同相；(d) 正交；(e) 反相
其参考正方向如图4.6(a)所示。
(4.17)
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图4.6 电阻元件 (a) 电路；(b) 波形；(c) 相量图；(d) 模型电路
22 设i＝Imsin(ωt＋j)，则
u＝Ri＝RImsin(ωt＋j)＝Umsin(ωt＋j)
其中
Um U m I m R 或 Im R U I 或 U IR R
u1 2 2 0 2sin (3 1 4 t－1 5 0) V u 2 －2 2 0 2sin (3 1 4 t－3 0) V
试画出它们的相量图，求出u=u1+u2及其有效值。
解 u1和u2的有效值相量为
3 1 U1 220 150 220 j V 2 2 3 1 U 2 220(180 30) 220 j V 2 2 U U 3 220 381180 U V
(4.18) (4.19)
有效值

上式表明电阻的电压和电流是两个同频率、同相位的正弦量，
如图4.6(b)所示。
将电流、电压分别用相量式表示：
Ij , U Uj I U U I R R 或 U R I
(4.20) (4.21)
则
23 4.4.2 电感元件
式中 İm＝Imejj
(4.12)
(4.13)
İm叫做电流的最大值相量，它由振幅和初相位确定；ejj
叫旋转因子，它是模为1、辐角为ωt且随时间不断旋转的单 位相量。 相量也可以画在复平面上，用有向线段表示，叫相量图， 如图4.4所示。
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图4.4 相量图
17 利用相量图，常可使相量之间的关系更加清楚。
引入有效值的概念是为了研究交流电量在一个周期中的平
均效果。它的定义是: 让正弦交流电和直流电分别通过两个阻值 相等的电阻，如果在相同时间T内(T可取为正弦交流电的周期)两 个电阻消耗的能量相等，则我们把该直流电称为交流电的有效 值，如图4.3所示。
当直流电流I流过电阻R时，该电阻在时间T内消耗的电能为
(4.22)
式中：ULm＝ωLIm或UL＝ωLI。定义XL＝ωL＝2πfL，称XL 为感抗，则
Um U L X L Im I
(4.23)
感抗XL所呈现的物理意义是: 对于一定的电感L，当频率增高时，
其所呈现的感抗增大；反之亦然，如图4.7(b)所示。
25 又有
π (4.24) ju ji 2 由式(4.22)可知电感上的电压和电流同频，如图4.7(c)所示。由
设一电感元件，其电压、电流和电感电势采用关联参考
方向，如图4.7(a)所示。
图4.7 电感元件 (a) 电路；(b) XL的频率特性；(c) 相位关系；(d) 相量关系；(e) 电路模型
24 设通过电感的电流为
i=Im sin(ωt+ji)
则
di π u L e L LIm sin t ji dt 2 U L m sin( t ju )
(4.27)
上式中 或
Um 1 1 XC I m C 2fC
(4.28)
27 XC称为电容的容抗。它的物理意义是: 当电容C一定时，频率越
高，电容对交流电流所呈现的阻碍作用越小，即容抗越小。当
f=0时，XC→∞，电容相当于开路。XC的频率特性如图4.8(b)所示。 又有
π ji ju 2
不出完整的表达式。
2. 相位差 相位差是指两个同频率的正弦电量在相位上的差值。由 于我们讨论的是同频正弦交流电，因而相位差实际上等于两 个正弦电量的初相之差。例如：
7 u=Um sin(ωt+j1)
i=Im sin(ωt+j2)
则相位差 Δj=(ωt+j1)－(ωt+j2)=j1－j2 的相位关系是u超前于i(或i滞后于u)。 (4.4) 当j1>j2时，u比i先达到正的最大值或先达到零值，此时它们
1 2
故
u 381 2sin(314 t－ 180) V
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和U U 1 2
的相量图如图4.5所示。
图4.5 例4.1相量图
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4.4 正弦交流电路中的元件
4.4.1 电阻元件
对线性电阻，在正弦交流电的激励下，其伏安关系在任一 瞬间都服从欧姆定律，故有
u i 或 u iR R
6 4.2.2 相位
1. 相位和初相位
正弦电量的表达式中，(ωt+j)叫做交流电的相位。t=0时， ωt+j=j称为初相位(简称初相)，它是确定交流电量初始状态