15.6-实系数一元二次方程(1)(2)

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实系数一元二次方程

实系数一元二次方程
实系数一元二次方程
一元二次方程（又称“二次多项式方程”）是指一个等式的次数较高，且只包含一个未知数的方程。

在一元二次方程中，自变量有且只有一个，称为一元二次函数，即 y=ax2+bx+c（a≠ 0）。

解一元二次方程的方法主要有三种：
1、因式分解法
因式分解法是一种常用方法，只要把方程改为一种可以分解的形式，便可以得到解。

步骤：
（1）首先，将一元二次方程化为相当于 0 的形式。

（2）把一元二次方程转换为包含两个未知数的多项式形式：
ax2+bx+c=d。

（3）用因数分解的方法把 d 分解成两个实数的乘积：d=e·f。

（4）将 ae 和 bf 分别作为新的因式，并同时入方程，即：
ax2+bx+c=ae+bf，再把此多项式撤分，可得 x 的解。

2、求根公式法
求根公式法是通过特定的公式来求解方程的一种方法，只有在一元二次方程系数为实数时才适用，其求根公式为：
x1= -b+√(b2-4ac) /2a
x2= -b-√(b2-4ac) /2a
3、图解法
图解法也是一个求一元二次方程解的方法，也是利用函数图像来分析一元二次方程解的方法，即将方程图像化，通过图像中的拐点、凹点及相关函数曲线的性质来分析、计算方程的解。

初中数学知识点总结：一元二次方程

初中数学知识点总结：一元二次方程
关于初中数学知识点总结：一元二次方程
下面是对一元二次方程的基本概念知识点的讲解。

一元二次方程的基本概念
1．一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2.
2．一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2.
3．一元二次方程3x2-5x-7=0的.二次项系数为3，常数项是-7.
4．把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0.
通过上面的讲解，相信同学们可以很好对一元二次方程的基本概念知识点的掌握，希望同学们做的很好。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合
三个规定：
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

上海二期课改高中数学教材目录(全)

上海二期课改高中数学教材目录（全）高一（上）第1章集合和命题一、集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二、四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三、充分条件与必要条件1.5 充分条件, 必要条件四、逻辑初步（* 拓展内容）1.6 命题的运算五、抽屉原则与平均数原则（* 拓展内容）1.7 抽屉原则与平均数原则第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用课题一最大容积问题2.5 不等式的证明（拓展内容）第3章函数的基本性质3.1 函数的概念3.2 函数关系的建立课题二邮件与邮费问题课题三上海出租车计价问题3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质函数的零点（拓展内容）第4章幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数4.1 幂函数的性质与图像二、指数函数4.2 指数函数的图像与性质三、对数4.3 对数概念及其运算换底公式（拓展内容）四、反函数4.4 反函数的概念五、对数函数4.5 对数函数的图像与性质六、指数方程和对数方程4.6 简单的指数方程4.7 简单的对数方程课题四声音传播问题高一（下）第5章三角比一、任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比课题一用单位圆中有向线段表示三角比二、三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6 三角比的积化和差与和差化积（拓展内容）三、解斜三角形5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形课题二测建筑物的高度第6章三角函数一、三角函数的性质与图像6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像6.2 正切函数的性质和图像课题三制作弯管6.3 函数的图像函数的性质（拓展内容）二、反三角函数与最简三角方程（拓展内容）6.4 反三角函数6.5 最简三角方程第7章数列7.1 数列7.2 等差数列与等比数列7.3 等差数列与等比数列的通项公式7.4 等差数列的前n项和7.5 等比数列的前n项和雪花曲线（* 拓展内容）课题五组合贷款购房中的数学问题第8章数学归纳法8.1 归纳——猜想——证明8.2 数归纳法的应用高二（上）第9章行列式初步9.1 二阶行列式9.2 三阶行列式第10章平面向量10.1 向量10.2 向量的加减法10.3 实数与向量的乘积10.4 向量的坐标表示及其运算10.5 向量的数量积10.6 向量的应用（* 拓展内容）课题一宇航员的训练第11章坐标平面上的直线11.1 直线的方程11.2 直线的倾斜角和斜率11.3 两条直线的位置关系11.4 点到直线的距离第12章圆锥曲线12.1 曲线和方程12.2 圆的方程课题二追捕走私船12.3 椭圆的标准方程12.4 椭圆的性质12.5 双曲线的标准方程12.6 双曲线的性质课题三探索点的轨迹12.7 抛物线的标准方程12.8 抛物线的性质课题四做一个有趣的实验高二（下）第13章排列与组合一、排列13.1 计数原理I——乘法原理13.2 排列二、组合13.3 组合13.4 计数原理II——加法原理课题一旅行商问题第14章数列的极限14.1 数列的极限14.2 极限的运算法则14.3 无穷等比数列各项的和课题二数列极限在面积计算中的应用第15章复数15.1 复数的概念15.2 复数的坐标表示15.3 复数的加法与减法15.4 复数的乘法与除法15.5 复数的平方根与立方根复数的立方根（* 拓展内容）15.6 实系数一元二次方程第16章空间图形一、平面16.1 平面及其表示法16.2 平面的基本性质二、空间点、直线、平面的位置关系16.3 空间直线与直线的位置关系16.4 空间直线与平面的位置关系16.5 空间平面与平面的位置关系（* 拓展内容）三、多面体16.6 多面体的概念16.7 多面体的直观图16.8 棱柱、棱锥和棱台的体积及表面积课题三凸多面体的顶点数、棱数和面数的关系高中三年级（文科）第17章经济生活中的数学问题17.1 存款课题一连续复利17.2 货款17.3 现值和终值17.4 保险第18章线性规划18.1 满足条件的解集18.2 线性规划问题及其解法课题二线性规划在生活中的应用第19章优选与统筹一、试验设计的若干方法19.1 二分法19.2 0.618法二、统筹规划19.3 统筹规划课题三组装一辆自行车的工序流程第20章概率初步20.1 概率20.2 频率20.3 期望值20.4 事件和的概率20.5 独立事件积的概率课题四福利彩票中的概率计算第21章基本统计方法21.1 总体和样本21.2 抽样技术21.3 实例分析课题五抽样调查实习高中三年级（理科）第17章参数方程和极坐标方程一、参数方程17.1 曲线的参数方程17.2 直线和圆锥曲线的参数方程课题一轨迹探究二、极坐标方程17.3 极坐标系第18章空间向量及其应用18.1 空间向量18.2 空间向量的坐标表示18.3 空间直线的方向向量和平面的法向量18.4 空间向量在度量问题中的应用课题二飞行机器人位置的确定第19章线性规划19.1 线性规划问题19.2 线性规划的可行域19.3 线性规划的解课题三线性规划在生活中的应用第20章概率初步20.1 随机事件和概率20.2 概率的性质和加法公式20.3 独立随机事件20.4 期望值课题四中国邮政贺年有奖明信片的中奖率计算第21章基本统计方法21.1 总体和样本21.2 抽样技术21.3 实例分析21.4 正态分布（拓展内容）拓展型课程专题1矩阵初步1.1 向量的另一种定义1.2 矩阵的概念1.3 矩阵加减法及矩阵与实数的乘积1.4 矩阵的乘法1.5 逆矩阵课题平面图形的矩阵变换专题2 坐标变换与一般二次曲线2.1 坐标系的平移变换2.2 坐标系的旋转变换2.3 一般二元二方方程的讨论与化简专题3 二项式定理3.1 二项式定理3.2 二项式系数的应用专题4 数学建模初步4.1 数学建模的一般步骤4.2 简单数学模型举例专题5 曲线拟合5.1 直接观察法5.2 最小二乘法专题6 复数的三角形式6.1 复数的三角表示6.2 复数三角形式的乘法和除法6.3 复数的乘方和开方6.4 复数三角形式的应用专题7 常见曲线的极坐标方程7.1 圆锥曲线的统一的极坐标方程7.2 几种特殊曲线的极坐标方程课题玫瑰线专题8 随机变量8.1 随机变量8.2 二项式分布8.3 随机变量的数学期望和方差附一期课改高三年级数学课本目录第17章导数及其应用一、导数的概念17.1 变化率与导数17.2 切线与导数17.3 导函数二、导数的运算17.4 导数的运算法则17.5 基本导数公式三、导数的应用17.6 函数的增减性17.7 函数的极值与最大值、最小值第18章定积分及其应用一、定积分的概念18.1 定积分的概率18.2 定积分的性质18.3 基本定积分公式二、定积分的应用18.4 平面图形的面积18.5 体积三、微积分史话。

一元二次方程的解法与性质

一元二次方程的解法与性质一元二次方程是数学中常见的方程形式，其解法和性质是初等代数中的重要知识点。

本文将介绍一元二次方程的解法和性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、一元二次方程的解法一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数系数，且a ≠ 0。

下面将介绍一元二次方程的解法。

1. 求解一元二次方程的根根据求根公式可得一元二次方程的根为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

其中，±表示两个根，分别对应正负号。

2. 判别式的作用一元二次方程的判别式为Δ=b^2-4ac，根据判别式可以判断方程有几个实根，以及根的性质。

- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

3. 几种特殊情况的解法- 当a=0时，方程变为一元一次方程，解法与一元一次方程相同；- 当b=0，且c≠0时，方程的解为x=±√(-c/a)，即只有一个实根；- 当c=0时，方程的解为x=0和x=-b/a，即有两个实根。

二、一元二次方程的性质1. 图像特征一元二次方程对应的函数图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负确定。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

2. 对称性质一元二次方程的图像关于直线x = -b / (2a) 对称。

也就是说，对于方程y = ax^2 + bx + c，该抛物线上任意一点P(x1, y1)，若存在点Q(x2, y2)，则点Q关于直线x = -b / (2a)对称。

3. 零点性质一元二次方程的零点为方程的解，也就是使方程等于零的x值。

根据二次函数的图像特点，如果抛物线与x轴相交于两点，则方程有两个不相等的实根；如果抛物线与x轴相切于一个点，则方程有两个相等的实根；如果抛物线与x轴没有交点，则方程没有实根。

一元二次方程课件

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计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时，方程有两个不相等的实根
当$Delta < 0$时，方程无实根，即根为复数
当$Delta = 0$时，方程有两个相等的实根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与方程根相关的问题，如判断方程的根的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。

实系数一元二次方程

实系数一元二次方程知识点：1.实系数一元二次方程虚根求根公式；2.实系数一元二次方程虚根与系数的关系；3.12ω=-+的应用；4.实系数一元高次方程的求解；5.综合应用；教学过程：1.实系数一元二次方程求根公式：设一元二次方程20(0,,,)ax bx c a a b c R ++=≠∈2.设方程31x =的一个虚根为122ω=-+，则有：3.实系数一元n 次方程的解的规律：例1.解下列方程：（1）2230x +=；（2）23320x x -+-=；（3）210x x ++=；例2.设32i +是方程220,,x bx c b c R ++=∈的一个根，求,b c 的值；例3.设,αβ是方程2230x x -+=的两个根，则：22αβ+= ；11αβ+= ；βααβ+= ； 33αβ+= ；||αβ-= ；例4.设m R ∈，一元二次方程20x x m ++=的两个根为,αβ，且||3αβ-=。

（1）若x R ∈，求实数m 的值；（2）若x C ∈，求实数m 的值；例5.已知关于x 的实系数方程2230x kx k k ++-=有一个模为1的复数根，求实数k 的值。

例6.设2i +是方程4322250x x ax bx -+++=的一个根，求实数,a b 的值，及方程的其它根。

例7.已知,αβ是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个虚根，且，求αβ的值；作业：1.在复数集中因式分解：（1）2243x x -+；（2）21x x -+-；（3）322x x -+；2.（1）设两个数的和为4，积为6，求这两个数；（2）设两个数的差为4，积为6，求这两个数；3.设m R ∈，一元二次方程2236(1)10x m x m --++=的两个根为,αβ，且。

求m 的值；4.已知关于x 的方程2(21)20,x a x a a R -+++=∈有虚数根，是否存在实数a 使得虚数根的立方是实数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

一元二次方程课件

投资收益
在物理学中，物体的运动速度、加速度和时间之间存在二次函数关系。例如，在自由落体运动中，物体下落的距离与时间的关系可以用二次函数来描述。
物体运动
在平面几何中，一些图形如圆形、椭圆、抛物线等可以用一元二次方程来表示。例如，圆的一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D^2+E^2-4F>0。
在一些古代文学作品中，一元二次方程被用作解决情节问题的工具，如中国的古代小说《水浒传》等。
在一些古代音乐作品中，也体现了一元二次方程的思想，如音乐中的和声与一元二次方程的根的关系。
在现代数学中，一元二次方程被广泛应用于代数学、几何学、物理学等多个领域。
在经济学中，一元二次方程被用于研究价格与需求之间的关系，以及如何制定最优价格策略等。
D的符号决定了方程根的情况，是判断方程根存在与否的重要依据。
根的判别式可以应用于解一元二次方程，根据D的符号可以判断方程根的情况。
也可以用于求解一元二次方程的根的公式，通过D可以求出方程的两个实数根。
04
CHAPTER
一元二次方程的实际应用
假设投资金额为p，年利率为r，投资时间为t年，那么未来某一时刻的投资收益为E=p(1+r)^t。当收益时间t和年利率r固定时，投资收益E与投资金额p成二次函数关系。
06
CHAPTER
一元二次方程的历史与文化
在中世纪，阿拉伯数学家开始深入探讨一元二次方程的解法，并发展出了一些新的方法。
到了文艺复兴时期，欧洲数学家如笛卡尔和费马等人对一元二次方程有了更深入的认识，并为其提供了更多的解法。
一元二次方程源于古希腊数学家，如毕达哥拉斯和欧几里得等，他们开始研究如何求解一元二次方程。

高中数学-学生-实系数一元二次方程

主课题：实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
和实数一样，复数和 ,若满足，则称是的平方根。因为，所以的平方根是两个数。
（1）求法：利用复数相等求复数的平方根
（2）1的立方根：
的常用结论：；；
思考：当时，取何值？
2．实系数一元二次方程在复数集中恒有解．当判别式时，方程有两个实数解；当判别式时，方程有两个虚根，且互为共轭．
（1）在复数集中，实系数一元二次方程的根的性质：实系数一元二次方程在复数集中一定有两个根，它们是两个实根或者是一对共轭虚根。此性质可推广到实系数一元n次方程在复数集中的情况也成立。
（2）实系数一元二次方程在复数范是一元二次方程的根，则
2.在复数范围内分解因式 ________
7.设等比数列其中：
（1）求的值；
（2）试求使的最小自然数
（3）对于（2）中的，求的值。
例4.求与自身的平方共轭的复数
例5.已知复数是的平方根，求的值。
例6.设方程的两根为，且，求实数m的值。
例7.已知为实系数一元二次方程的两个根，为虚数，且 ,求的值。
例8.若关于的方程至少有一个模为1的根，求实数的值。
例9. 是方程的两个根，其中求的值。
备选例题
1.对任意非零复数，定义集合，设是方程
3.已知复数满足且，则 ________
4.方程的解集是________
5.方程的两根为__________
6.已知是实系数方程的根，则 ______
7.复数的平方根是（）
8.下列命题在复数集中是否正确？为什么？

高中数学-教师-实系数一元二次方程

（2）若模为1的根是虚根，则此时
因为实系数一元二次方程的共轭虚根成对出现，所以设模为1的虚根为，则另一根为。
由韦达定理得又（舍）或
或
例9. 是方程的两个根，其中求的值。
解：当
（1）（2）
当
备选例题
1.对任意非零复数，定义集合，设是方程
的一个根，试用例举法表示集合
解：是的根，则或
（1）若且，则方程有两个实数根。
（2）若且是方程的两个根，则；
（3）若且是方程的两个根，则；
（4）若且是方程的根，则也是方程的根。
答案：（1）、（2）（4）正确，（3）不正确
精解名题
例1．关于的方程的两根的模的和为，求实数的值。
解：解：
(1)当，即时，
，且
与同号
当时，
当时，有
2.设复数是实系数方程的根，又为实数，求点的轨迹。
解：实系数方程的根，也是此方程的根。
为实数( )
，即
得判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练
2．一元二次方程的系数含有虚数时，判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。
3．分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的形式是不同的。
高中数学备课组
教师
班级
学生
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学生情况：
主课题：实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
和实数一样，复数和 ,若满足，则称是的平方根。因为，所以的平方根是两个数。
（1）求法：利用复数相等求复数的平方根
（2）1的立方根：

七年级上册数学一元二次方程

七年级上册数学一元二次方程
七年级上册通常不包括一元二次方程的学习内容，这一部分通常在高中数学课程中进行讲解。

不过，我可以简单介绍一下一元二次方程的基本概念。

一元二次方程是一个具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和 c 是实数常数，且 a ≠0。

其中，x 表示未知数，而a、b 和 c 分别表示方程的系数。

一元二次方程的解可以通过使用求根公式来求得，该公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式中的±表示可以取正负两个值，即方程可能有两个解、一个解或无解，具体取决于b^2 - 4ac 的值。

解一元二次方程的过程主要包括以下几个步骤：
1. 将方程化为标准形式ax^2 + bx + c = 0。

2. 根据求根公式计算出x 的值，注意判断b^2 - 4ac 的值确定解的情况。

3. 如果方程有解，则将解带入原方程验证。

希望这些简单的介绍对你有所帮助。

如果你需要更详细的讲解或有其他数学问题，欢迎继续提问。

2021年高一数学暑假作业实系数一元二次方程含解析沪教版

实系数一元二次方程一、单选题1．设1z ，2z是非零复数，且满足2211220+=z z z ，则1z 与2z 的关系是（）．A ．12z z >B ．12z z <C ．12=z zD ．不确定【答案】C 【分析】将方程两边同时除以22z ，化为12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出12z z ，再求出其模，即可得到答案.【详解】因为2211220+=z z z ，且20z ≠，所以21122()10z z z z +=，所以2121(4z z =-，所以1212z i z ==±，所以1212z i z =±，所以121||||122z i z =±=，所以12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题.2．设z C ∈，方程2||0+=z z 的根有（）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】将z 表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，代入方程得220,20,a b ab ⎧⎪-+⎨=⎪⎩ 解得0,0a b ==或±1，所以方程2||0+=z z 的根有3个.故答案选：C【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.3．已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，且123x x +=，则a =（）A ．12B ．72C ．12或72D ．不存在【答案】A【分析】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，所以∆<0，可得1a <，利用根与系数的关系可得()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->，设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈，则12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩，根据123x x +=，可得2294m n +=可求得答案. 【详解】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，()()2244441610a a a a ∆=--+=-<，所以1a <()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈ 所以12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩ 123x x +=，即123x x +==，即2294m n += 由2221244x x m n a a ⋅=+=-+，即()2294424a a a -+=-=，解得12m =或72m =. 又1222x x m a +==，1a <，则1m <，所以12m = 所以12a = 故选：A【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、填空题4．若实系数方程20x mx m ++=有虚根，则实数m 的取值范围是________.【答案】(0,4)【分析】由已知可得∆<0，求解即可.【详解】实系数方程20x mx m ++=有虚根，24(4)0,04m m m m m ∴∆=-=-<<<.故答案为：(0,4).【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，考查计算求解能力，属于基础题.5．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.【答案】2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数.【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i ±【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.三、解答题6．已知一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2，求下列各式的值：（1）x 12+x 22；（2）|x 1-x 2|.【答案】（1）254（2【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算即可.【详解】因为一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2，所以1232x x +=-，122x x ⋅=-，（1）x 12+x 22()212129252444x x x x =+-⋅=+=，（2）|x 1-x 2|====【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，考查了运算能能力，属于中档题.7．已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，向量(,)=m b c ，(8,)=n t ，求实数λ和t ，使得m n λ=．【答案】12λ=-，10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ，再根据向量共线可求得结果.【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，∴2i +也是方程的根．则[(2)(2)]4=--++=-b i i ，(2)(2)5=-+=c i i ．∴(4,5)=-m ，由m n λ=，得(4,5)(8,)-=t λ．∴485t λλ-=⎧⎨=⎩．∴1210t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为：12λ=-，10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题.8．已知复数12,z z 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两根，且复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，若122123z z i +=-，其中i 是虚数单位.（1）求复数12,z z ；（2）若复数z 满足1z =，求1z z -的最大值和最小值.【答案】（1）1243,43z i z i =+=-；（2）最大值6，最小值4；【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的性质进行求解即可；（2）根据1z z -的几何意义，结合圆的性质进行求解即可.【详解】（1）因为122123z z i +=-，所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根，因此复数12,z z 互为共轭复数，因为复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，所以设1(0,0)z a bi a b =+>>，则2z a bi =-，所以31242()12333a a a bi a bi i b b ==⎧⎧++-=-⇒⇒⎨⎨-=-=⎩⎩，所以1243,43z i z i =+=-；（2）因为复数z 满足1z =，设(,)z x yi x y R =+∈，所以221x y +=，所以复数z 在复平面上对应的点在单位圆221x y +=上，1z z -表示点(4,3)到圆221x y +=上一点的距离，显然1z z -16=，14=. 所以1z z -的最大值6，最小值4.9．方程20x px p ++=p 的值．【答案】2p =1p =或3p =【分析】设方程的两根为1x ，2x ，则两根在复平面内对应的点之间的距离就是12x x -，由复数模的性质可得()()2212121243x x x x x x -=+-=，利用根与系数的关系式代入，可得到关于p 的方程，解方程可求p 的值.【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则()2212121233x x x x x x -=⇔-=⇔-= ()2121243x x x x ⇔+-=，由韦达定理可得243-=p p ．当243-=⇒=p p p 2当2431-=-⇒=p p p 或3p =.【点睛】本题考查了复数的几何意义以及一元二次方程根与系数的关系，把复数在复平面上对应点的距离转化为复数差的模的形式是解题的关键，属于中档题.10．方程220x x m ++=的两个虚根为1z ，2z ，且12212<+-z z i ，求实数m 的范围．【答案】251,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．根据韦达定理可得211a m b =-⎧⎨=+⎩，再根据模长公式化简不等式可得403b <<，由21m b =+可得答案. 【详解】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．因为方程220x x m ++=有虚根，m R ∈，所以2240m ∆=-<，解得1m ，根据韦达定理得12122z z z z m +=-⎧⎨=⎩，∴2222a m a b =-⎧⎨=+⎩，即211a m b =-⎧⎨=+⎩，因为12212<+-z z i ，所以22124|||12|z z i <+-，所以224|1||(2)|bi b i -+<-+，所以2244(2)b b +<+，所以2340b b -<，所以403b <<，所以21609b <<， ∴225119m b <=+<． ∴251,9⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.11．已知方程240x x m ++=的两根为α，β且满足||6-=αβ，求实数m 的值.指出下面的解法是否有错误，若有请分析错误原因，并给出正确的解答；若没有，请说明理由.||6-=αβ，得2||36-=αβ.∴2()436+-=αβαβ.由方程的根与系数的关系，得2(4)436--=m .解方程，得5m =-.【答案】有错误，理由见解析，5m =-或13m =.【分析】利用举反例的方法，说明错误原因.按照0∆≥和∆<0进行分类讨论，由此求得m 的所有可能取值.【详解】上面解法有错误，原因是当x C ∈时，2z 不一定等于2||z .如z i ，则221,1z z =-=. 正确解法：（1）当1640m ∆=-≥，即4m ≤时，有,R αβ∈，此时解答同上面解法；（2）当∆<0，即4m >时，方程有共轭虚根，两根为42-±=2-.依题意||||6-==αβ.解方程，得13m =.综上所述，5m =-或13m =.【点睛】本小题主要考查在复数范围内求一元二次方程的根，属于中档题.12．方程2236(1)10x m x m --++=的两个虚根的模之和为2，求实数m 的值.【分析】设1x ，2x 是方程的两个根，计算∆<0得到3322-+<<m ，计算11x =，代入数据计算得到答案.【详解】设1x ，2x 是方程的两个根，因为方程有两个虚根，∴∆<0，即()2236(1)4310--⨯+<m m ，化简得2310-+<m m ，解不等式得3322+<<m ，∵122x x +=，且12x x =，∴11x =1=1=.∴22m =，∴m =，检验取m .【点睛】本题考查了方程的虚根，意在考查学生的计算能力和应用能力.13．设1x ，2x 是方程22230()++-=∈x ax a a a R 的两根，求12x x +（用含a 的解析式表示）.【答案】123(18)2(01)(80)a a a x x a a ⎧≥≤-⎪+=≤<-<<⎩或【分析】根据判别式讨论方程根的情况，若0∆≥，再对两实根的符号讨论，结合根与系数关系，即可得出结论；若∆<0，方程两根为共轭虚数，利用模的关系，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）当方程有实根时，2298()(8)0a a a a a ∆=--=+≥，得0a ≥或8a ≤-，若2120x x a a =-≥，得1a ≥或0a ≤.∴当1a ≥或8a ≤-时，12,x x 同号，121232a x x x x ++==；当01a ≤<时，12,x x 异号，1212x x x x -+=== . （2）当方程有虚根时，(8)a a ∆=+<0，得80a -<<.∴1212+===x x x=.综上：123(18)2(01)(80)a a a x x a a ⎧≥≤-⎪+=≤<-<<⎩或【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，以及根与系数关系的应用，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.14．若1z ，2z是实系数一元二次方程的两个虚根，2=ω||2ω≤. 求：（1）实数a 的取值范围；（2）|(4)|-+a ai 的最大值.【答案】（1）11a -≤≤；（2【分析】（1）根据实系数方程的两个虚数根互为共轭复数得其模相等，利用模的性质可得a 的范围；（2）求出|(4)|-+a ai ，结合二次函数性质可得结论．【详解】（1）1z ，2z 是实系数一元二次方程的两个虚根，∴12=z z，||==ω2||2a =≤，所以||1a ≤；（2）|(4)|-+==a ai 11a -≤≤上单调递减，所以当1a =-时取到最大【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的性质，在复数乘除法运算中利用模的性质求模可以更加简便．1212z z z z =，1122z z z z =．。

一元二次方程的基本概念与常见求解方法

一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠．要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠，的一元二次方程．（2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。

（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，，是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解．一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1）若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2）若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3）已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4）当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1）用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-．（2）用配方法解方程：22310x x ++=．（3）用分解因式法解方程：2()2136x x -=-．（4）用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1）解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=．（2）解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=．【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和有公共根，则该公共根为．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1）解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2）解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1）解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069．（3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--．（2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭．（3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是。

(人教版)九年级数学上册：《一元二次方程》全章知识小结

《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2（2）一元二次方程的一般形式：ax +bx+c=0(a ≠ 0) ，，并且未知数的最高次其中 ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。

（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程* （ 4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是 : ①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为 1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（ mx+n）2=p 的形式；⑤如果 p≥ 0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。

（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式2－ 4ac≥ 0时， ? ax2+bx+c=0 ，当⊿＝ b将 a、 b、 c 代入求根公式x=bb2 4ac2≥ 0）就得到方程的根．2a（ b -4ac（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0, 从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

3、一元二次方程根的判别式22（1）⊿＝ b －4ac 叫一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠ 0) 的根的判别式。

九年级上册数学一元二次方程知识点

九年级上册数学一元二次方程知识点一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 判断一元二次方程的方法。

- 首先看方程是否为整式方程。

- 然后看是否只含有一个未知数。

- 最后看未知数的最高次数是否为2。

例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程，而x^3+2x^2-x = 0不是（因为最高次数是3），(1)/(x)+x^2=1也不是（因为它不是整式方程）。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于形如(x + m)^2=n(n≥0)的方程，可以使用直接开平方法。

- 例如，对于方程(x - 3)^2=16，则x - 3=±4，解得x_1=7，x_2=- 1。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，即ax^2+bx=-c。

- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。

- 配方，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2，得到(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。

- 然后用直接开平方法求解。

- 例如，解方程x^2+6x - 7 = 0。

- 移项得x^2+6x = 7。

- 配方：x^2+6x+9 = 7 + 9，即(x + 3)^2=16。

- 解得x_1=1，x_2=-7。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。

一元二次方程的基本解法

一元二次方程的基本解法嘿，小伙伴们，今天咱们聊聊一元二次方程。

别一听这个名词就头大，其实它就是个数学小怪兽，但说白了，也就是我们经常见到的那种“x的平方加上x再加上常数等于零”的方程。

我们一步步来，把它拆解开，搞清楚怎么解这个方程，让它不再那么神秘。

1. 一元二次方程是什么？一元二次方程，其实就是含有一个未知数的二次方程，形如：ax² + bx + c = 0。

听起来有点拗口，对吧？别担心，咱们举个例子，帮大家更好地理解。

1.1 方程的组成部分ax²：这里的a是二次项的系数，它决定了方程的开口方向和大小。

bx：b是一次项的系数，它决定了方程的斜率。

c：c是常数项，也就是方程的“常驻”部分。

拿一个具体的方程来看，比如：2x² + 3x 5 = 0。

这就是个一元二次方程，我们的目标就是找到x的值，让这个方程成立。

1.2 方程的几何意义如果把方程画在坐标系上，你会发现它的图像是一条抛物线。

找方程的解，就是找这条抛物线和x轴交点的位置。

说白了，就是找那些“x”值，让方程的值变成零。

2. 解一元二次方程的常见方法好了，了解了方程的基本概念，我们来看看具体的解法吧。

一般来说，有几种常用的办法。

2.1 配方法这方法有点像玩魔术，咱们把方程变得简单易解。

首先，把方程改写成一个完全平方的形式。

举个例子，我们来看方程：x² + 6x + 8 = 0。

1. 把方程左边调整为完全平方：我们可以把x² + 6x变成(x + 3)² 1，然后得到(x + 3)² 1 + 8 = 0。

2. 化简方程：变成(x + 3)² + 7 = 0。

3. 解方程：我们把(x + 3)² = 7，开方得到x + 3 = ±√(7)，但因为√(7)是虚数，这表明方程没有实数解。

配方法虽然有点复杂，但它特别适合用来解决某些特殊类型的方程。

2.2 求根公式这个方法就像是数学界的万能钥匙。

一元二次次方程

一元二次次方程
一元二次方程是高中数学中的一个重要概念，它的一般形式为ax+bx+c=0，其中a、b、c是已知实数，且a≠0。

解二次方程的方法有因式分解、配方法和公式法等多种，根据不同的情况采用不同的方法可以使解题更加简便。

二次方程的根可以是实数或者复数，根的个数与判别式Δ=b-4ac有关，当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有一个重根；当Δ<0时，方程有两个共轭复数根。

在实际生活中，二次方程广泛应用于物理、经济、工程等领域，对于学习和应用二次方程都有着重要的意义。

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实系数一元二次方程

（1）实系数一元二次方程一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推行和完善.为了实际应用和数学自身进展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。

那么实系数一元二次方程20b ac∆=-<时方ax bx c++=，当240程在复数集中解的情形一样需要进一步研究.因此，本节课主若是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情形和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题.二、教学目标设计明白得实系数一元二次方程在复数集中解的情形；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；明白得实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用.三、教学重点及难点在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.四、教学用具预备电脑、实物投影仪五、教学流程设计六、教学进程设计（一）温习引入20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，咱们回忆一下：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根：22b x a a=-± “复数的平方根与立方根”，大伙儿明白-1的平方根是:i ±.设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有无解？设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？[说明] 设问①学生能够依照“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.（二）教学新课一、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情形：设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且.因为0a ≠，因此原方程可变形为2b c x x a a+=-，配方得22()()22b b c x a a a+=-，即2224()24b b ac x a a-+=. （1）当240b ac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x a a=-±；（2）当240b ac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a=-；（3）当240b ac ∆=-<时，22404b ac a -<，由上一堂课的教学内容知，2244b ac a-的平方根为2a±，即i ab ac a b x 2422-±=+，现在原方程有两个不相等的虚数根22b x a a=-±.（22b x a a=-±为一对共轭虚数根） [说明]实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0∆≥时，有两个实根；当0∆<时，有一对共轭虚根.设问③：若43i -是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？什么缘故？回到引入部份设问②：在复数范围内解一元二次方程210x x ++=.（122x i =-±，即为上节课学习过的ω）例1（1）在复数集中解方程：2320x x ++=；（2）在复数集中解关于x 的方程：240()x ax a R ++=∈.解：（1）因为△=1432230-⨯⨯=-<，因此方程2320x x ++=的解为1166x =-+，2166x =--. （2）因为△=16-a 2，因此当△>0，即44a a <->或时，原方程的解为12a x -+=，22a x --=. 当△=0，即4a =±时，假设4a =，那么原方程的解为122x x ==-；假设4a =-，那么原方程的解为122x x ==.当△<0，即44a -<<时，原方程的解为122a x =-+,222a x =--. 提示学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.[说明]例1(2)需分类讨论，要求较高，建议选用，也能够换成讲义上的例题1（P91）例 2 已知一元二次方程20()x mx n m n R ++=∈、，试确信一组m n 、的值，使该方程别离有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.[说明]例2属于开放性问题，比较容易入手，能够让基础不睬想的同窗尝试回答，增强互动.既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式2(0)ax bx c a b c R a ++∈≠、、且在复数范围内总能够分解成两个一次因式的乘积.假设方程20ax bx c ++=的两个解别离为1x x 2、，那么212()()ax bx c a x x x x ++=--.例3 在复数集中分解因式：（1）22x x -+；（2）2245x x -+.解：（1）22x x -+=11()()22x x ---. （2）（见讲义P91）提示学生注意：分解二次三项式2ax bx c ++时，应提取二次项的系数a .二、实系数一元二次方程中根与系数的关系关于实系数一元二次方程20ax bx c ++=，当其有实数根时，咱们在初中已经学习过了根与系数的关系：12b x x a+=-，12c x x a⋅=（即韦达定理）. 设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是不是也知足根与系数关系？利用求根公式122a x =-+,222a x =--容易验证12b x x a +=-，12c x x a⋅=. 例4 已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数p 、q 的值.解：（见讲义P91例2）（三）巩固练习见讲义P91练习（1）；P92练习（2）说明]以上练习能够依照时刻选择一部份在课堂上完成，其余可作为课后练习.（四）课堂小结本节课要紧讨论了实系数一元二次方程解的情形，明白了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，表现了分类讨论的数学思想.（五）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组试探题：（补充题及备选题）（1）在复数集中分解因式：416x -.（2）方程25||60z z -+=在复数集中解的个数为（）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（3）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位). 参考答案：（1）(2)(2)(2)(2)x x x i x i +-+-（2）C（3）原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23, ∴原方程的解是z=-21±23i. [说明]补充的试探题，可作为学有余力的同窗的能力训练题，也可作为教师的备选题．七、教学设计说明本节课由温习引入，带着问题，利用负数的开平方，开展本节课的探讨.例题设计主若是为了表现以下三个问题：（1）在复数集中解实系数一元二次方程；（2）在复数范围内对二次三项式进行因式分解；（3）实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数关系的初步应用.。

一元二次方程所有公式汇总

一元二次方程所有公式汇总一、一元二次方程的一般形式。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、求根公式。

对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

1. 当b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。

2. 当b^2-4ac = 0时，方程有两个相等的实数根。

3. 当b^2-4ac<0时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根。

三、根与系数的关系（韦达定理）对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，设其两根为x_1，x_2。

1. x_1+x_2=-(b)/(a)2. x_1· x_2=(c)/(a)四、一元二次方程的解法公式。

1. 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥0)，其解为x=±√(k)。

- 对于方程(ax + b)^2=k(k≥0)，其解为ax + b=±√(k)，即x=(-b±√(k))/(a)(a≠0)。

2. 配方法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，步骤如下：- 首先将二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。

- 然后在等式两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 配方得到(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，再用直接开平方法求解。

3. 公式法。

- 直接代入求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(a≠0)求解。

4. 因式分解法。

- 当一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)可以分解为(mx + p)(nx+q)=0的形式时，- 则mx + p = 0或nx+q = 0，解得x =-(p)/(m)或x=-(q)/(n)。