子集与推出关系

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1.6 子集与推出关系

即 A B 与等价。
总结
1、集合间具有包含关系的充要条件是这些集合的性质具有推出关系。
2、设具有性质p的对象组成集合A，具有性质q的对象组成集合B，则：（1）若A B，则p是q的充分条件。
（2）若A B，则p是q的充分不必要条件。
（3）若A B，则p是q的必要条件。（4）若A B，则p是q的必要不充分条件。（5）若A = B，则p、q互为充要条件。
反之， A B则若 x A( x 5) 可以推得 x B( x 3)
即x>5可以推出x>3
二、建立子集与推出关系的联系
设A={a|a具有性质
}，B={b|b具有性质 }
等价
则 A B 与
证明：（1）充分性即证 ( A B) ( ) 如果x具有性质，那么 x A ，而 A B, x B 则x 具有性质，即 (2) 必要性即证 ( ) ( A B) 若 x A ,则x具有性质 X具有性质 x B A B

三、例题与应用
1、用子集与推出关系说明是的什么条件：
(1) : x 1; : x 1
2
（ 2）
: 正整数n被5整除， : 正整数n的个位数是5
2、设
: 1 x 3, : m 1 x 2m 4, m R
是的充分条件，求m的取值范围。

四、学生练习
• P24 练习1.6
五、巩固提高
1、已知 P : x 2 或 x 10 , q : x 1 m 或 x 1 m 若非p是非q的必要非充分条件，求实数m的取值范围。

初高中数学衔接课程教案18-子集与推出关系

初高中数学衔接课程教案18 子集与推出关系一、知识点梳理 1、子集与推出关系：设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则A B ⊆与αβ⇒等价． 2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质（1）若A B ⊆，则α是β的充分条件；（2）若A B ⊂，则α是β的充分非必要条件；（3）若A B ⊇，则α是β的必要条件；（4）若A B ⊃，则α是β的必要非充分条件；（4）若A B =，则α是β的充要条件．3、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价．设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：二、典型例题例1、试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件：（1）α：2>x ；β：2≥x （2）α：21x =；β：1x =（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或，乙：x A B ∈⋂ 解：(1)设{}2>=x x A ，{}2≥=x x B ， ∵ A ⊂B ，∴ α是β的充分非必要条件．(2) 设{}12==x x A ，{}1==x x B ，∵{}1,1-=A ，{}1=B ，A ⊃B ，∴ α是β的必要非充分条件．（3）甲是乙的充分必要条件（4）甲是乙的必要不充分条件例2、利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件．写出31x -<<的充分条件写出31x -<<的必要条件写出31x -<<的充要条件解：答案不唯一例3、判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}5,n Z B n n =∈的个位数是之间的关系．解：设*,5:N k k n ∈=α，: 5 n β是个位数是的整数，αβ⇒ ，∴B A ⊂．例4、设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B例5、“22x -<<”是“260x x --<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A例6、设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围．解：设{}|13A x x =≤≤，{}|124B x m x m =+≤≤+ 因为α是β的充分条件，即αβ⇒，所以A B ⊆由右图可得11324m m +≤⎧⎨≤+⎩，解得102m -≤≤所以m 的取值范围是102m -≤≤．例7、设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围．解：设{}|23A x x =≤<，{}|11,B x x m x m m R =≤->+∈或α是β的充分条件，即αβ⇒，A B ∴⊆画数轴分析可得13m -≥或12m +<，解得4m ≥或1m < 所以m 的取值范围是4m ≥或1m <．11324m m x ++例8、若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______条件．解：设命题α对应的集合为A ，命题β对应的集合为B ，命题γ对应的集合为Cα是β的充要条件，A B ∴=又β是γ的必要非充分条件，C B ∴⊆C A ∴⊆，γα⇒，所以γ是α的充分非必要条件．例9、设A 、B 、C 三个集合，A B 是A(B ∪C)的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分析可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时，显然A(B ∪C)，但AB 不成立，综上所述：“A B”“A (B ∪C)”，而“A (B ∪C)”“AB”．即“A B”是“A(B ∪C)”的充分条件(不必要)．A=BC三、巩固练习1．若非空集合M N ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的条件．答案：必要非充分2．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A3．如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个正根和一个负根的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C4．p 是q 的充要条件的是：（）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解B ．p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ．p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比答案：C5．若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B6．命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（）Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<< Ｄ．12x -<< 答案：B7．（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．答案：（1）必要不充分条件，（2）充分不必要条件8．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．答案：必要不充分条件9．判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}； (2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．解：(1) 因为x 是12的约数⇒x 是36的约数，所以A ⊆B ． (2) 因为x ＞5 ⇒x ＞3，所以B ⊆A ．(3) 因为x 是矩形⇔x 是有一个角为直角的平行四边形，所以A ⇔B ．10．已知A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆B ．解：因为A ⊆B ，则x 是等腰三角形⇒x 具有性质p (x )， p (x )：x 是三角形，所以 B ＝{x | x 是三角形}．11．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件．（1）:1x α=且2y =；:3x y β+= （2）:0a b α+>；:0,0a b β>> （3）:0xy α>；:x y x y β+=+解：（1）充分非必要条件；（2）必要非充分条件；（3）充分非必要条件12．设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．解：4m ≥13．设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？解： ∴qp ．（2）举反例，取14,2αβ==上述讨论可知：a ＞2，b ＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．(1)1a 2b 1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩。

《子集与推出关系》课件

子集与推出关系的联系
子集是推出关系的一种特殊形式
子集是集合之间的包含关系，而推出关系是逻辑推理的一种形式，其中前提集合的子集决定了结论的真假。
子集关系有助于理解推出关系
了解子集的概念和性质有助于深入理解推出关系的逻辑结构和推理规则。
子集与推出关系的区别
定义范围不同
子集是集合之间的包含关系，而推出关系是逻辑推理的形式。
推出关系在逻辑推理中的应用
推出关系的定义
01
如果从一组命题中，可以推断出另一个命题，则称该组命题是
前者的推出关系。
推出关系的性质
02
推出关系具有传递性、反身性和对称性。
推出关系在逻辑推理中的作用
03
推出关系是逻辑推理中的基本关系，可以用于进行推理、演绎
和归纳等逻辑推理过程。
04
子集与推出关系的联系与区别
《子集与推出关系》ppt课件
目录
• 子集的定义与性质 • 推出关系的定义与性质 • 子集与推出关系的应用 • 子集与推出关系的联系与区别
01
子集的定义与性质
子集的定义
子集的定义
如果集合A中的每一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A是集合B的子集。
符号表示
空集与任何集合的关系
空集是任何集合的子集，即∀B，空集 ⊆ B。
推出关系可以用来描述因果关系、条件关系等。
在数学中，推出关系通常用箭头（→）表示，例如A→B。
推出关系的性质
传递性
如果A→B且B→C，则A→C。
反身性
对于任何命题A，A→A总是成立。
反对称性
如果A→B且B→A，则A=B。
推出关系的表示方法
01
02

1.6子集与推出关系学案

第一章：集合与命题第六节：子集与推出关系【知识讲解】集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。

在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。

因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。

集合元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x（2）子集与推出关系因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆。

反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。

因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价。

集合元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x B A ⊆35>⇒>x x把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。

集合元素的性质（命题） {}α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B =β B A ⊆βα⇒ B A ⊇ βα⇐B A = βα⇔[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。

例题分析例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系。

例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。

例3：设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，α是β的充分条件，求m 的取值范围。

巩固练习1.下列说法不正确的是。

① 2<x ”是“4<x ”的必要条件； ③“0=xy ”是“0=y ”的充分条件； ② 0=x ”是022=+y x 的必要条件； ④“2x <1”是“1<x ”的充要条件2.试用子集与推出关系判断命题A 是B 的什么条件？（1）A:该平面图形是四边形 B:该平面图形为梯形（2）A: 3x =,B: (3)(4)0x x --=（3）A: 1x ≠-，B: 1x ≠3.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B 、必要不充分条件C ．充要条件D 、既不充分也不必要条件4.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B 、必要不充分条件C ．充要条件D 、既不充分也不必要条件四、课堂小结课后作业：1.用子集与推出关系来说明α 是β什么条件（1）αβ：a+b=3,:a=1且b=2,则α 是β的条件；（2）0,x y x y x y αβ+：=+,:则α 是β的条件；；（3）41x x αβ：是奇数,:被除余，则α 是β的条件；；（4）x y x y αβ+：1，1,:2,则α 是β的条件；（5）ABC ABC αβ：三角形是等腰三角形,:三角形是直角三角形，则α 是β的条件条件；。

1.6-子集与推出关系

3、掌握证明充要条件的两个基本步骤；
目标与要求准备与导入探究与深化练习与评价回顾与小结作业与拓展资源与链接
〔作业与拓展一〕
(2-1)
1、填空：
已知集合A={a|a具有性质p}，B={b|b具有性质q}
（1）若A B，则p是q的__________条件。
（2）若AB，则p是q的__________条件。
目标与要求准备与导入探究与深化练习与评价回顾与小结作业与拓展资源与链接
〔准备与导入二〕
子集与推出关系
(1-1)
研究集合的包含关系与集合性质的推出关系之间的联系
集合
A={x|x>5} B={x|x>3}
A {x | x2 1} B {x | x 1}
A {( x, y) | x.y 0} B {( x, y) | x 0, y 0}
集合之间的关系 A B
AB
A B
集合性质的推出关系
x 5 x 3
x2 1 x 1
x.y 0 x 0,且y 0
目标与要求准备与导入探究与深化练习与评价回顾与小结作业与拓展资源与链接
〔探究与深化一〕
(1-1)
已知：A={x|x具有性质α}， B={x|x具有性质β} 求证： A B与a b等价
〔作业与拓展二〕
(2-2)
4、如果命题P:m<-3，q:方程x²-x-m=0无实根，那么p是q的什么条件？
目标与要求准备与导入探究与深化练习与评价回顾与小结作业与拓展资源与链接
以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！
目标与要求准备与导入探究与深化练习与评价回顾与小结作业与拓展资源与链接

运用联系思想提升思维品质--＂子集与推出关系＂教学实录与评析

问题２：已知集合Ａ＝｛ｎ１ｎ的个位数是５，ｎＮ｝，Ｂ＝
建立 “ 集合”与 “ 命题”内在联系的初步尝试．鉴于当前这一内｛ｎｌ＝５ｋ，ｋＥＮ｝，试问集合Ａ、曰之间的关系如何？（教师容没有引起多数教师高度重视的状况，上海市虹口区举办了一读题．）
师：大家想想，集合Ａ、之间的关系 ‘ ＿ＣＢ”与ＯＬ、之
一
、
间的推出关系 “
”有怎样的内在联系？我们再来看一个问
“ 子集与推出关系 ”是上海市高中数学教材第一章 “ 集合与题．（投影问题２．）
命题 ”的最后一节内容，探讨子集与推出关系之间的联系，是
２７
中国
２０１３年第１１期
ＺＨＯＮＧＧＵＯＳＨＵＸＵＥＪＩＡＯＹＵ
因此具有性质卢，即ａ＝．由此得到，这个猜想是正确的．
４．例题讲解，理解应用
下面来看例题（投影例１）．例１试用子集与推出关系，判断是口的什么条件
则ＡＢ． ” 当然需要 — —
生Ａ：证明．（师生共同说出．）
（教师读题，学生看题，然后学生回答，教师板书．）
呢？
生：范围比 “ ＜４ ”小，也就是其构成的集合是｛Ｉ＜４｝
的子集．系，而充分条件、必要条件是由推出关系定义的，那么子集、 “ 推出关系和充分（或必要）条件三者之间到底有怎样的联系呢？今天我们来学习 “ １．６子集与推出关系 ” ．（板书课题．）

子集与推出关系

≠
α 是β的充分非必要条件.
2）α : x为有理数
β：x为实数充分非必要条件
3）α：正整数n被5整除，
Hale Waihona Puke β：正整数n的个位数字是5
3) 解：A={n| n=5k, k ∈N * },
B={n | n的个位数为5}，而A= {n | n的个位数为5}∪ {n | n的个位数为0}，显然可知：B⊆A，那么“正整数n的个位数为5”是“正整数n被5整除”的充分非必要条件，即“正整数n被 5整除”是“正整数n的个位数为5”的必要非充分条件
• 基本练习：试用子集与推出关系来判断命题A是B 的什么条件？
（1）A：该平面图形是四边形
B：该平面图形为梯形该平面图形为梯形显然， ⊆ ，的充分非必要条件，解：显然，B⊆A，则B为A的充分非必要条件，即为的充分非必要条件 A为B的必要非充分条件为的（2）A：x=3 B:（x-3)(x-4)=0 ：（解：A⊆B，则A为B的充分非必要条件 ⊆ ，为的 (3) A: |x|<2, B: x >-3 解： A={x|-2<x<2}, B={x| x>-3} A⊆B，则A为B的充分非必要条件 ⊆ ，为的 (4) A:x≠-1 B: |x| ≠1 解： A={x| x ≠-1}, B={x | x ≠±1} ± B⊆A，则B为A的充分非必要条件， ⊆ ，为的充分非必要条件，即A为B的必要非充分条件为的
变式联系，巩固新知识：变式联系，巩固新知识：（1）设α：2≤x<5, β:m-1 ≤ x≤4m+1,m ∈R ：充分条件，且α为 β充分条件，求m的范围为充分条件的范围解：设A={x| 2 ≤x<5}, B={x| m-1 ≤x ≤4m+1} 由于α⇒ ，由于 ⇒β，则A⊆B 那么有： ⊆ 那么有： m-1 ≤2且5 ≤4m+1 ⇒1 ≤m ≤3 且

第13讲：充分、必要条件与子集推出关系

（6）已知，，
解：(1)设，，∵ A B, ∴ 是的充分非必要条件。（2）设，，∵ , ，A B, ∴ 是的必要非充分条件。（3）必要非充分条件；（4）是的必要不充分条件
（5）既不充分也不必要条件
（6）因为，或，，
所以，是的充分非必要条件．
例4、已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？
所以的取值范围是。
变式练习：
设，是的充分条件，求的范围。
解：设，
是的充分条件，即，
画数轴分析可得或，解得或
所以的取值范围是或。
例7、试用子集与推出关系判断是β（甲是乙）的什么条件：
（1）：；：
（2）：；：
（3）甲：，乙：
（4）设，甲：，乙：
解：(1)设，，
∴A (B∪C)．
但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，
显然A (B∪C)，但A B不成立，
综上所述：“A B” “A (B∪C)”，而
“A (B∪C)” “A B”．
即“A B”是“A (B∪C)”的充分条件(不必要)．
【课后作业】充分与必要条件
A组
1．或的一个充分非必要条件是（B）
（A）（B）（C）（D）
（1）若，则 ,（2）若，则 .
易得出结论；命题(1)为真命题，命题(2)为假命题．
讨论：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
我们将由此推出关系，引入新的概念：
给出定义：命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．

高中数学—04—子集与推出关系—教师版

子集与推出关系知识梳理1、子集与推出关系：设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则 A B ⊆ 与 αβ⇒ 等价． 2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质（1）若A B ⊆，则α是β的充分条件；（2）若A B ⊂，则α是β的充分非必要条件；（3）若A B ⊇，则α是β的必要条件；（4）若A B ⊃，则α是β的必要非充分条件；（4）若A B =，则α是β的充要条件．3、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价．设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：例题解析一、子集与推出关系【例1】用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：（1）命题α：我是上海人；命题β：我是中国人，A =｛x ︱x 是上海人｝； B =｛x ︱x 是中国人｝．则命题α 命题β； A B ．（2）A =｛x ︱1x >｝；B =｛x ︱3x >｝，命题α：1x >；命题β：3x >．则A B ；命题α 命题β．【难度】★【答案】（1）⇒，⊆；（2）⊇，⇐．【例2】试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件：（1）α：2>x ；β：2≥x ；（2）α：21x =；β：1x =；（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==；（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或，乙：B A x I ∈．【例3】试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件．（1）1:=x α，1:2=x β（2）:α正整数n 被5整除, :β正整数n 的个位数是5 【难度】★【答案】(1)充分非必要条件；(2)必要非充分条件【说明】体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系．【例4】试用子集与推出关系来说明集合A 与B 的关系．（1）{}12A x x =是的约数， {}36B x x =是的约数（2）{}1A x x =>，{}3B x x =>（3）{}A x x =是矩形，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形【难度】★【答案】（1）A B ≠⊂ （2）A B ≠⊃ （3）A B =【说明】体会运用推出关系来研究集合之间的包含关系．【例5】利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件．（1）写出31x -<<的充分条件；（2）写出31x -<<的必要条件；（3）写出31x -<<的充要条件．【难度】★ 【答案】答案不唯一【例6】（1）设,x y R ∈，若α：220x y +=，β：0xy =，则α是β的条件．（2）设,x y R ∈，若α：,x y 都不为零，β：0xy >，则α是β的条件．（3）设α：3a b +=，β：1a =且2b =，则α是β的条件．（4）设α：0≠x 且0≠y ，β：0≠+y x ，则α是β的条件．【难度】★★【答案】充分非必要，必要非充分，必要非充分，充分非必要【例7】（1）设α：三角形中有一个角是直角，β：三角形的三边满足222AB BC AC +=,则α是β 的条件．（2）“该平面图形是四边形”是“该平面图形是梯形”的条件．【难度】★★【答案】必要非充分，必要非充分【巩固训练】1．“2x =”是“2320x x -+=”的条件．【难度】★【答案】充分非必要2．“2x ≥”是“2x >”的条件．【难度】★ 【答案】必要非充分3．k 除以4余1，β：k 除以2余1，则α是β的条件．【难度】★★ 【答案】充分非必要4．α：是整数的12的数，β：与整数相差12的数，则α是β的条件．【难度】★★【答案】必要非充分5．设α：x 是奇数，β：x 被4除余1，则α是β的条件．【难度】★★【答案】必要非充分6．“0xy <”的一个充要条件是（）A .0x >B .0y <C .,x y 异号D .0,0x y =>【难度】★★ 【答案】C7．设α：实数x 2=，β:4x =-或1x =,则α是β的条件．【难度】★【答案】充要8．下列各式中，α是β的必要非充分条件的是（）（1）α：()()120x x -+=， β：2x =-（2）α：2b ac =，β：a b b c= （3）α：,a b 不都为偶数， β：a b +不为偶数（4）α：1x =且2y =-， β：2xy =- A .(1)(2)(3) B .(1)(3)(4) C .(2)(4) D .(1)(3)【难度】★★ 【答案】A二、子集与推出关系与集合、命题、充分条件与必要条件等综合应用【例8】设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤ ，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【难度】★ 【答案】B【例9】若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______条件．【例10】给定两个命题p ，q .若非p 是q 的必要而不充分条件，则p 是非q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★【答案】 A【提示】本题利用等价法来判断p 与非q 的关系，即利用了互为逆否命题的两个命题真假性相同这一原理．【解析】利用等价转换的思想，根据题意可知，q ⇒非p ，但非p q ，那么其逆否命题p ⇒非q ，但非q p ，即p 是非q 的充分而不必要条件．【例11】设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围．【例12】设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围．【难度】★★【答案】设{}|23A x x =≤<，{}|11,B x x m x m m R =≤->+∈或α是β的充分条件，即αβ⇒，A B ∴⊆画数轴分析可得13m -≥或12m +<，解得4m ≥或1m < 所以m 的取值范围是4m ≥或1m <．【例13】若1122,,,a b a b R ∈，且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的（） A .充分非必要条件 B .必要非充分条件【例14】设2:60a a α+-=，β：10mb +=，若β是α的充分条件，求m 的值．【例15】设,m a R ∈，()()211f x x a x =+-+，()224g x mx ax =++，若“对一切实数x ，()0f x >”是“对一切实数x ，0g x >”的充分条件，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1．设α：0(0)x a a <<>，β：102x a ≤-，若α是β的充分条件，求实数a 的取值范围．2．设{}2A x x =≥，{}B x x a =>，求满足B A ≠⊂的一个充分条件．【难度】★【答案】3a >（答案不唯一）3．设A 、B 、C 三个集合，A ⊂≠B 是A ⊂≠(B ∪C)的（） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】A【解析】∵A ⊂≠B 是B ⊆(B ∪C)∴A ⊂≠(B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时，显然A ⊂≠(B ∪C)，但A ⊂≠B 不成立，综上所述：“A ⊂≠B”⇒“A ⊂≠(B ∪C)”，而“A ⊂≠(B ∪C)”/⇒“A ⊂≠B”．即“A ⊂≠B”是“A ⊂≠(B ∪C)”的充分条件(不必要)． 4．已知α：集合{}{}24P x x Q x x a ≠=-<<⊂=>，β：{}2a x x ∈≤-，则α与β的推出关系是（）A .αβ⇒B .αβ⇔C .βα⇒D .αβ≠> 【难度】★★【答案】B5．已知命题:14x -≤≤，命题m x m -≤≤-13:β，且βα是的必要条件，求实数m 的取值范围． {}因为βα⇒，所以B A ⊆． 16．如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个正根和一个负根的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★【答案】C7．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．【难度】★★★【解答】证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==，于是||||||x y x y +=+如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++ 得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．反思总结1．在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手：方法一：直接用逻辑推理的方法进行推理；方法二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题．2．本节课，我们利用等价转化的思想把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，具体如下:(1)A B ⊆ ⇔α是β的充分条件； (2)A B ⊇ ⇔α是β的必要条件； (3)A B ≠⊂ ⇔α是β的充分非必要条件；(4)A B ≠⊃⇔α是β的必要非充分条件； (5)A B =⇔α是β的充要条件．课后练习1．若非空集合M N ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的条件．【难度】★ 【答案】必要非充分2．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★ 【答案】A3．p 是q 的充要条件的是：（）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解B ． p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ． p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比【难度】★★ 【答案】C4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C ，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【难度】★★【答案】C【解析】如图可知，存在集合C ，使A⊆C ，B⊆∁U C ，则有A∩B ＝∅.若A∩B ＝∅，显然存在集合C ，满足A⊆C ，B⊆∁UC.故选C.5．（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．【难度】★★【答案】（1）必要不充分条件，（2）充分不必要条件6．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．【难度】★★【答案】必要不充分条件7．设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ⊆B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题⊆：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件；命题⊆：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( )A ．命题⊆和命题⊆都成立B ．命题⊆和命题⊆都不成立C ．命题⊆成立，命题⊆不成立D ．命题⊆不成立，命题⊆成立【难度】★★★【答案】A【解析】命题①显然正确．对于命题②：设d (A )＝a ，d (B )＝b ，d (C )＝c ，则d (A ，C )≤|a ＋c |＝|a －b ＋b －c |≤|a －b |＋|b －c |≤d (A ，B )＋d (B ，C )，所以命题②也成立．故选A.8．判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}；(2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．【难度】★★【解答】(1) 因为 x 是12的约数⇒ x 是36的约数，所以 A ⊆ B ．(2) 因为 x ＞5 ⇒ x ＞3，所以 B ⊆ A ．(3) 因为 x 是矩形 ⇔ x 是有一个角为直角的平行四边形，所以 A ⇔ B ．9．已知 A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆ B ．【难度】★★【解答】因为A ⊆B ，则x 是等腰三角形⇒ x 具有性质p (x )，p (x )：x 是三角形，所以 B ＝{x | x 是三角形}．10．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件．（1）:1x α=且2y = ； :3x y β+=（2）:0a b α+> ；:0,0a b β>> （3）:0xy α> ； :x y x y β+=+【难度】★★【答案】（1）充分非必要条件；（2）必要非充分条件；（3）充分非必要条件11．设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．【难度】★★【解答】4m ≥12．设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？【解答】∴q p ． 113．已知函数2)(bx ax x f -=（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f 求证b a 2≤.（2）当0a >时，求证；对任意[]1)(,1,0≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-.(1)1a 2b 1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩。

子集与推出关系.doc

1.6子集与推出关系（导学案）组卷：姜汉明审卷：周海英上课日期：________年____月____日；班级_______学号____姓名__________ 学习目标：1、理解集合的包含关系与推出关系的等价性，并掌握用集合间的包含关系进行推理的方法；2、逐步形成逻辑思维能力及等价转化思想，了解集合知识的广泛应用性；学习重点:集合间的包含关系与推出关系的理解与运用学习难点:子集与推出关系等价性学习过程：一、新知导学：1. 回顾：一般地，用α、β分别表示两件事，（1）．如果α这件事成立，可以推出β这件事也成立，即α_____β，那么α叫做β的_____条件（2）如果β_____α，那么α叫做β的_____条件。

（3）如果既有α⇒β，又有β⇒α，就记作：α_____β，那么α叫做β的_____条件。

2．引例：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：(1)｛x x 是奉贤人｝________｛x x 是上海人｝我是奉贤人 ________ 我是上海人(2)x>5 ________ x>3 {x|x>5} ________ {x|x>3}(3){x|x 2=1}_______{x|x=1} x 2=1 _______ x=13．问题思考从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？规律：将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，若A ⊆B ，则α⇒β；反之，若α⇒β，则A ⊆B 。

4。

概念：(1)定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。

设A 、B 是非空集合，A={}α具有性质a a ， {}β具有性质b b B =，则βα⇒⊆与B A 等价(2) 一般地，证明：①充分性（“A ⊆B ”⇒“α⇒β” ）②必要性（“α⇒β”⇒“A ⊆B ” ）(3)进一步剖析引例中的条件关系。

二、新知探究：例1：利用集合与推出关系讨论α是β的什么条件？(1)A ⊆B ⇔α是β的____条件； (2)A ⊇B ⇔α是β的____条件； (3)A____B ⇔α是β的充分非必要条件； (4) A____B ⇔α是β的必要非充分条件； (5) A ＝B ⇔α是β的充要条件。

高一数学上册《子集与推出关系》教案、教学设计

二、学情分析
在高一数学上册的教学过程中，学生对集合知识已有一定的了解，掌握了集合的基本概念和简单运算。然而，子集与推出关系作为集合知识的一个难点，对学生来说是一个新的挑战。在此阶段，学生具有较强的求知欲和好奇心，但逻辑思维能力、抽象思维能力尚在发展中，需要教师在教学中给予适当的引导和启发。
学生在学习本章节内容时，可能会在以下几个方面遇到困难：一是理解子集与推出关系的定义，特别是对于空集和非空集合的子集关系；二是运用集合运算解决实际问题时，可能会出现混淆和错误；三是将推出关系应用于集合问题中，学生可能难以把握逻辑推理的严谨性。
6.注重过程评价，关注学生个体发展。在教学过程中，关注学生的学习态度、思考过程和合作交流等方面，给予积极的评价，激发学生的学习积极性。
7.拓展知识视野，提高学生数学素养。结合子集与推出关系，引导学生了解相关的数学历史、数学文化等，拓展学生的知识视野，提高学生的数学素养。
8.及时反馈，调整教学策略。在教学过程中，关注学生的反馈信息，了解学生的学习状况，根据学生的需求调整教学策略，确保教学效果。
5.针对本章节的学习，请学生撰写一篇学习心得，内容可以包括：学习子集与推出关系的心得体会、在解决问题过程中遇到的困难，培养自主学习能力。
在完成作业过程中，学生可以参考课本、课堂笔记以及网络资源。但我鼓励学生独立思考，尽量自己解决问题。我会及时批改作业，给予反馈，帮助学生找到问题所在，提高学习效果。
4.通过对集合知识的综合运用，培养学生举一反三、触类旁通的能力，提高学生的数学素养。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学学科的积极态度，激发学生学习数学的兴趣和热情，增强学生的自信心。
2.引导学生体验数学的逻辑美，培养学生对数学的敬畏之心，提高学生的数学审美能力。

1.6子集和推出关系

1.6子集与推出关系我们知道x＞5是x＞3的充分条件，如果把x＞5和x＞3分别看成构成集合A和集合B 的元素所具有的性质，记集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞3}，因为集合A的元素性质“x ＞5”可以推出集合B的元素性质“x＞3”，于是，如果x∈A，即x＞5，可推得x＞3，那么x∈B，所以得到A⊆B,反之亦然.由此,可建立子集与推出关系的联系：设A、B是非空集合，A={a|a具有的性质α}，B={b|b具有的性质β}，则A⊆B与α⇒β等价.证明如下：（1）充分性：如果a1具有性质α，那么a1∈A，而A⊆B，所以a1∈B。

因此a1具有性质β，即α⇒β.（2）必要性：如果a1∈A，那么a1具有性质α，由α⇒β，可推得a1具有性质β，所以a1∈B，因此A⊆B.综上所述，A⊆B与α⇒β等价.子集与推出关系是指集合的包含关系和集合性质的推出关系.例1试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件.（1）α：x=1，β：x2=1；（2）α：正整数n被5整除，β：正整数n的个位数是5.变式训练-1 试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件.（1）α：x=0，β：x 3=x ；（2）α：x ＞1，β：x ＞3；（3）α：y 是正整数，β：y 是非零自然数；（4）α：x=3，β：|x-4|=1；（5）α：使得关于x 的方程（a+1）x 2+x-a=0，β：a=-21.例2设α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，α是β的充分条件，求m的取值范围.变式训练-2设p：x≤2，q：x＜a+2（a∈R），p是q成立的必要条件，求a的范围.思维误区点拨本节知识在理解与运用中常出现的错误是：对子集（真子集）、推出关系与充要条件之间的等价关系模糊不清.【例】设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【错解】A【错解分析】由N⊆M，M N可知，a∈M是a∈N的必要不充分条件而非充分不必要条件，这样理解就很容易将题目解错，同学们在解题时要非常注意.【正解】B感知高考（2009·浙江）已知a、b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【点拨】可以互相推出则为充分必要条件.课后练习1.试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件.（1）α：x=1且y=2，β：x+y=3；（2）α：a+b＞0，β：a＞0，b＞0；（3）α：xy＞0，β：|x+y|=|x|+|y|；（4）α：某数是整数的31，β：某数与整数相差31.2.设α：1≤x ＜4，β：x ＜m ，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围.3.设α：x 2-1=0，x ∈R ；β：x 2-2px+q=0，x ∈R ；α是β的必要不充分条件.试求p 、q 的值.4.已知集合A={x|x ≤1-a 或x ≥1+a}，其中a ＞0，B={x|2x-1＜3x+5且5x-2＜3x+6}. 求证：A ∩B=∅的充要条件是a ≥7.5.求方程x2+（2m-1）x+m2=0（m∈R）有两个大于1的根的充要条件.。

2019-2020年高一数学上册必修11.6《子集与推出关系》教案2篇

2019-2020年高一数学上册必修11.6《子集与推出关系》教案2篇一、教学内容分析这节内容是本教材新增内容，探讨集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。

在第一章中，继集合的有关内容、四种命题形式、充分条件与必要条件之后进行学习，将集合与命题加以沟通，融为一体，是对本章知识的一个完善，体现了数学知识的统一性，并有助于学生更深刻地领会有关概念，提高综合运用能力。

二、教学目标设计了解集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；领会集合与命题之间的对应关系，学会运用。

三、教学重点及难点集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；集合与命题之间的关系在解决问题中的灵活运用。

四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习引入1、复习：（1）集合的表示方法以及集合之间的关系。

（2）命题与推出关系。

2、思考：集合与命题之间有什么联系。

[说明]复习相关知识，从本章的课题“集合与命题”引入新课。

二、学习新课1．建立联系（1）集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。

在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。

因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。

[说明]含关系与命题的推出关系之间的联系。

（2）子集与推出关系因为“”可推出“”，所以，若，则，即。

反之，如果，即若，则，那么可由“”推出“”。

因此，“”与“”等价。

（填入上表）[说明]含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。

2．例题分析例1：判断命题，之间的推出关系。

解：设，，，，因此。

例2：判断集合，之间的关系。

解：设，，，。

[说明]通过例1、例2，让学生初步体会判断集合之间的包含关系或判断命题之间的推出关系可以相互转化，互为所用。

例3：设，，是的充分条件，求的取值范围。

解：设，，是的充分条件，，，解得。

第13讲：充分、必要条件与子集推出关系

第十三讲：充分、必要条件与子集推出关系【复习要求】1．理解命题的概念。

2．理解四种命题之间的内在联系；3．掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义与判定；【复习重点】1. 充分条件、必要条件的概念。

2. 子集与推出关系等价性的理解与应用；3. 掌握判断命题推出关系的方法。

【复习难点】1. 判断命题的充分条件、必要条件。

2. 子集与推出关系等价性的证明；3. 确定参数范围和判断推出关系。

【知识梳理】一、充分条件与必要条件我们在上一节课学习了命题与推出的关系，命题的四种形式，等价命题，你能分别概括出它们的内容和性质吗？如：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若22x a b >+，则2x ab >, （2）若0ab =，则0a =.易得出结论；命题(1)为真命题，命题(2)为假命题．讨论：对于命题“若p ，则q ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？我们将由此推出关系，引入新的概念：给出定义：命题“若p ，则q ” 为真命题，是指由p 经过推理能推出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立．换句话说，只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，这时我们称条件p 是q 成立的充分条件．一般地，“若p ，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ． 1、充分与必要条件的概念：（1）充分条件：若αβ⇒，则α是β的充分条件；（2）必要条件：若βα⇒，则α是β的必要条件；（3）充要条件：若既有αβ⇒，又有βα⇒，则α是β的充分必要条件，简称充要条件，β也是α的充要条件。

2、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价。

3、充要条件的证明：证明过程必须是“双向”的，即：既要由条件推出结论（充分性），又要由结论推出条件（必要性）。

4、四种命题形式如果原命题或原命题的逆否命题成立，则原命题的条件是结论成立的充分条件；如果原命题的否命题或逆命题成立，则原命题的条件是结论成立的必要条件；如果四种命题形式都成立，那么原命题的条件是结论成立的充要条件；若四种命题形式都不成立，那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。

第13讲：充分、必要条件与子集推出关系

第十三讲：充分、必要条件与子集推出关系【复习要求】1．理解命题的概念。

2．理解四种命题之间的内在联系；3．掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义与判定；【复习重点】1. 充分条件、必要条件的概念。

2. 子集与推出关系等价性的理解与应用；3. 掌握判断命题推出关系的方法。

【复习难点】1. 判断命题的充分条件、必要条件。

2. 子集与推出关系等价性的证明；3. 确定参数范围和判断推出关系。

2、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价。

3、充要条件的证明：证明过程必须是“双向”的，即：既要由条件推出结论（充分性），又要由结论推出条件（必要性）。

数学《子集与推出关系》教案(沪教版高一上)

1.6 子集与推出关系一、教学内容分析《子集与推出关系》是上海市新课程改革推行以来，试验本教材中新增加的一节教学内容，它安排在第一章的最后一节，以往上海的教材中是没有这部分内容的。

这节内容的增加对第一章中集合、条件推出等知识作了一个系统的整合，使教学内容更为完善，也让学生初步了解了集合知识在现代数学中的重要作用。

二、教学目标1、理解集合的包含关系与推出关系的等价性，并掌握用集合间的包含关系进行推理的方法；2、逐步形成逻辑思维能力及等价转化思想，了解集合知识的广泛应用性；3、进一步树立辩证唯物主义观点，增强热爱家乡，热爱祖国的民族情感。

三、教学重点及难点教学重点：集合间的包含关系与推出关系的理解与运用教学难点：子集与推出关系等价性四、教学过程设计一、课程引入1．复习充分、必要条件2．引例：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：(1)｛x x 是奉贤人｝________｛x x 是上海人｝我是奉贤人 ________ 我是上海人(2) x>5 ________ x>3 {x|x>5} ________ {x|x>3}(3) {x|x 2=1}_______{x|x=1} x 2=1 _______ x=13．讨论从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，若A ⊆B ，则α⇒β；反之，若α⇒β，则A ⊆B 。

二、学习新课1．概念辨析(1)定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。

(2) 一般地，证明：①充分性（“A ⊆B ”⇒“α⇒β” ）②必要性（“α⇒β”⇒“A ⊆B ” ）(3)进一步剖析引例中的条件关系。

2．例题分析例1：请同学们四人一组，每人举出α、β，然后利用集合与推出关系共同讨论α是β的什么条件？(学生自行给出，小组研究)结论：(1) A ⊆B ⇔α是β的充分条件；(2) A ⊇B ⇔α是β的必要条件；(3) A B ⇔α是β的充分非必要条件； (4) A B ⇔α是β的必要非充分条件； (5) A ＝B ⇔α是β的充要条件。

子集与推出关系

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