排列和组合

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《排列与组合》教学设计优秀9篇

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排列组合和排列组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式

排列 P------和顺序有关

组合 C -------不牵涉到顺序的问题

排列分顺序,组合不分

例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"

把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).

2．组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示.

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

3．其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝

p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为

c(m+k-1,m).

排列（Pnm(n为下标，m为上标)）

Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n

排列与组合

(2)4名男生互不相邻．
(3)若4名男生身高各不相等，按从高到低的一种顺序站． (4)老师不站中间，女生不站两端．
[课堂记录]
(1)2名女生站在一起有站法 A22种，将2名女生视
为一个元素与其他 5 人全排列，有 A66 种排法，所以共有不同站法
A22A66＝1440(种)．
(2)老师和女生先站，有站法A33种，再在老师和女生站位的间
这里，m、n∈N*，并且 m≤n，组合数公式还可以写成 n！ Cn ＝，且规定 Cn0＝ 1. m！n－m！
m
(3)组合数的性质： ①Cn ＝ ② Cn＋1
m
m
Cnn－m
；
－
＝Cnm＋Cnm 1.
1 ．从 4 台甲型与 5 台乙型电视机中任选出 3 台，其中至少有甲、乙型电视机各一台，则不同的取法共有( A．140种 B．84种 C．70种 D．35种解析：从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，有C42C51＋C41C52＝70种选法．答案：C )
n－1！ n ＝nCn－1k－1. k－1！[n－1－k－1]！
热点之二
排列应用题
求排列应用题的主要方法有：
1．直接法：把符合条件的排列数直接列式计算． 2．特殊元素(或位置)优先安排的方法．即先排特殊元素或特殊位置． 3．排列、组合混合问题先选后排的方法．

数学排列组合：计算排列和组合

数学排列组合：计算排列和组合在数学中，排列和组合是基础的数学概念。它们在各个领域都有广

泛的应用，尤其在概率论、统计学和计算机科学中更是不可或缺的。

本文将介绍排列和组合的概念以及计算方法，并探讨它们的应用。

一、排列

排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序进

行排列。对于给定的n个元素，其排列数P(n, r)表示从n个元素中选取

r个元素的不同排列方式的总数。其中，n为元素总数，r为要选取的元素数。

利用排列的计算公式可以求得排列数，计算公式如下：

P(n, r) = n! / (n-r)!

其中，!表示阶乘运算，即将一个正整数与小于它的正整数的乘积。例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。

举个例子，假设有4个学生要参加一场比赛，他们的名字分别为A、B、C、D。问按照什么顺序他们排队，总共有多少种可能的排列方式？

根据排列的计算公式，可以得到：

P(4, 4) = 4! / (4-4)! = 4! / 0! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

所以，这4个学生排队的方式有24种。

二、组合

组合是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑其顺序。对于给定的n个元素，其组合数C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素的不同组合方式的总数。

利用组合的计算公式可以求得组合数，计算公式如下：

C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)

举个例子，假设有6个球员参加篮球比赛，需要从中选取3个球员组成一支队伍。问总共有多少种可能的组合方式？

根据组合的计算公式，可以得到：

排列与组合定理和公式

定义: 1、从S中有序选取的r个元素称作S的⼀个r排列。S的不同r排列总数记作P（n，r），r=n时，称为S的全排列。

2、从S中⽆序选取的r个元素称作S的⼀个r组合。S的不同r组合总数记作C（n，r）。

推论 1、元素⼀次排成⼀个圆圈的排列称为环排列。S的环排列数等于 P（n，r）/r，其实就是线性排列数的1/r。

推论 2、C（n，r）= C（n-1，r-1）+C（n-1，r）。该公式就是杨辉三⾓形，也称作Pascal公式。

定义：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集，n=n1+n2+...+nk表⽰S中的元素总数。

（1）从S中有序选取的r个元素称为S的⼀个r排列。r=n的排列称为S的全排列。

（2）从S中⽆序选取的r个元素称为S的⼀个r组合。

定理：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集

（1）S的全排列数是n!/（n1! n2! n3!...nk!）.

（2）若r<=ni, i=1，2，3，...，k,那么S的 r 排列数是k^r。

（3）若r<=ni, i=1,2,3,..k，那么S的 r 组合数是C（k+r-1 , r）.即T={R*1, (K-1)**},等于（k+r-1）!/（r! *（k-1）!）.格路径数：

定理：从（r，s）到（p，q）的矩形格路径的条数等于⼆项式系数

C（p-r+q-s, p-r）=C（p-1+q-s, q-s）.

定理：令n为⾮负整数，则从（0，0）到（n，n）的下对⾓线矩形格路径的条数等于第n个Catalan数

排列与组合的关系

排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．

【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．

（1）高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

【思考与分析】（1）①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．解：（1）①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）

（2）①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法；

（3）①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积；

（4）①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法．

排列与组合的区别技巧

排列和组合是数学中常见的概念，用于计算一定范围内的排列或组合的个数。尽管这两个概念听起来很相似，但实际上它们有着本质的区别。在本文中，我们将探讨排列和组合的区别以及如何应用它们。

1. 排列和组合的定义

排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其排列数用P(n,m)表示，公式为：

P(n,m) = n!/(n-m)!

其中n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。P(5,3)就表示从5个元素中取3个元素的排列数，它的计算式为5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60。

C(5,3)表示从5个元素中选出3个元素组成的集合数，它的计算式为5!/(3! × 2!) = 10。

AB AC BA BC CA CB

这是因为“AB”和“BA”被视为两种不同的排列方式，因为它们的元素顺序不同。排列相对于元素的顺序是敏感的。

应用排列与组合的场景非常广泛，例如在密码学、计算机科学、统计学、经济学等多个领域都有着重要的应用。

在密码学中，排列和组合被用于计算密码中可能的排列组合，以及在密码破解时破译密码。

在计算机科学中，排列和组合被用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度，以及进行搜索和排序算法等操作。

在经济学中，排列和组合被用于计算市场需求和供应的排列组合，以及进行产业分析和商业决策等操作。

4. 总结与结论

排列和组合是数学中常用的概念。其最大的区别在于元素的顺序是否重要。排列相对于元素的顺序是敏感的，而组合相对于元素的顺序是不敏感的。我们可以应用排列和组合计算密码、算法复杂度、统计概率以及进行商业决策等多个领域。在应用排列和组合时，我们需要根据不同情况选择适当的计算方式。在实际应用中，我们需要了解排列和组合的特性，并选择适当的计算方式。下面我们将深入探讨排列和组合的特性及其应用。

排列组合基础知识

关于排列组合的一些基础知识

1. 排列：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。

2. 组合：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的方式进行组合，称为从n个元素中取出m个元素的组合。

3. 排列的公式：A(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）。

4. 组合的公式：C(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）÷m×（m-1）×（m-2）×...×2×1。

5. 重复排列：在排列时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与排列的顺序有关，这种排列称为重复排列。

6. 重复组合：在组合时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与组合的方式无关，这种组合称为重复组合。

7. 排列数的性质：若A(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则A(n,m)=A(n,n-m)；若n=m则A(n,m)=1。

8. 组合数的性质：若C(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则C(n,m)=C(n,n-m)；若n=m则C(n,m)=1。

9. 插空法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插空法。

10. 捆绑法：在排列或组合时，先将几个元素捆绑在一起，作为一个元素处理，然后再对其他元素进行排列或组合的方法称为捆绑法。

11. 插板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插板法。

12. 隔板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，中间插

排列和组合的公式

排列与组合的定义和公式：Cmn=AmnAmm=n(n1)(n2)(nm+1)m!=n!m!(nm)!，n，m∈N排列组合是组合学最基本的概念。从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.

1、排列是在组合的基础上按一定条件重新的进行组合。

2、数列（sequence of number）是以正整数集为定义域的函数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。著名的数列有斐波那契数列、三角函数、卡特兰数、杨辉三角等。

3、数列是数与数之间按一定规律排起来的数。数列项是看这组按一定规律排起来的数的个数，第一个数称为首项，最后一个数称为末项，一共有几个数，就是一共有几项，简称项数。

6.3 排列与组合

固定一个男生的排法，把5位女生插在10个男生之间，每两个男生之间只能插一个女生，而且5个女生之间还存在着排序问题，
故可有 P (10,5) 种排法。由乘法原则知，共有 9! P (10,5) 种排法。
集合的组合
n元集合S的r组合是指从S中取出r个元素的一种
n r 无序选择，其组合数记为或 C (n, r ) 或 Cn r 定理 6.11 若 0 r n, 则
定理6.13 多重集合 M {k1 a1 , k2 a2 ,, kn an }
( k1 k2 kn )! 全排列数为 k1 ! k2 ! kn !
证明：集合M中共有 k1 k2 kn 个元素。
a1 占集合M的全排列中的 k1 个位置。 k1 k2 k n 选取 a1 所占位置的方法数为 k1
多重集合M { a1 , a2 ,, ak }
r
的r排列数为 k 。证明：在构造M的一个r排列时第一项有k种选择，第二项有k种选择，……，第r项有k种选择。由于M中的每个元素都是无限重的，所以r排列中的任一项都有k种选择， r 且不依赖于前面已选择的项，故M的r排列数为 k 由上面的证明易知，若M中每个元素的重数至少为r，则定理的结论仍然成立。
解：A单位7人共有 7! 种排列。设 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 是A的一个排列。 B单位3人中的第一人有6种选择两端固定后，

什么是排列和组合

排列和组合是数学中重要的概念，用于描述对象的不同选择和排列

方式。它们在概率论、组合数学、统计学等领域有广泛的应用。本文

将从基本概念、性质和应用三个方面来介绍排列和组合。

一、基本概念

排列指的是从给定的一组元素中选取若干个元素进行有序排列的方式。组合则指的是从给定的一组元素中选取若干个元素形成一个子集

的方式。

1.1 排列

排列的基本思想是考虑每个位置的选择，从而确定不同的排列方式。假设有n个元素，要选取k个进行排列，那么排列的总数可以表示为

P(n, k)。

1.2 组合

组合的基本思想是在排列的基础上，忽略元素的顺序。也就是说，

只考虑元素的选择而不考虑它们的排列方式。选择k个元素的组合数

可以表示为C(n, k)。

二、排列和组合的性质

2.1 排列的性质

- 对于n个元素进行全排列，总数为n!

- 从n个元素中选取k个进行排列时，排列数可以表示为P(n, k) = n! / (n-k)!

- 当k > n时，P(n,k) = 0

2.2 组合的性质

- 从n个元素中选取k个进行组合时，组合数可以表示为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

- 当k > n时，C(n,k) = 0

- C(n,0) = C(n,n) = 1

三、排列和组合的应用

3.1 概率论

在概率论中，排列和组合可以用来计算可能性和事件发生的概率。

例如，一个有限样本空间中的事件总数可以通过排列的方式进行计算。

3.2 组合数恒等式

组合数恒等式是排列和组合的一个重要应用。通过恒等式的变形，

我们可以推导出一些组合数的性质和关系。

排列和组合的区别有哪些不同

排列和组合的区分主要体现在意思不同、侧重点不同、出处不同这三个方面上，详细区分如下，供大家参考。

排列和组合的区分

一、意思不同

1、排列：按次序站立或摆放。

例句：哥哥把需要用的参考书排列在桌子上。

2、组合：组织成为整体。

例句：全部这些替代的组合，构成一个补偏救弊的系统。

二、侧重点不同

1、排列：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重复排列。

例句：代表们的名单是按姓氏笔画的挨次排列的。

2、组合：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，组成一个子集，而不考虑其元素的挨次，称为从n个中取r个的无重组和。

例句：台上的这个组合是五位光荣夺目的二八佳人组成的。

三、出处不同

1、排列：清·采蘅子《虫鸣漫录》卷二：“观看亲执桴鼓，一击而排列如墙。”

白话译文：一边观看一遍击战鼓，打了一下就排列成一堵墙。

2、组合：徐特立《读书日记一则》：“就是由于农夫没有比在城市的同学与工人的简单组合。”

排列和排列数

(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，根据肯定的挨次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

从排列的意义可知，假如两个排列相同，不仅这两个排列的元素必需完全相同，而且排列的挨次必需完全相同，这就告知了我们如何推断两个排列是否相同的方法。

(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部排列

当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！

组合和组合数

(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

排列组合概念

排列组合是数学中一种研究对象按照一定条件排列组成新的组合的方法或计算公式。

它是组合数学的一个重要分支，广泛应用于概率论、计算机科学、统计学等领域。

排列（Permutation）：指从某一数量的元素中取出一定数量的元素，并按照顺序构成

新的组合的方法。排列会考虑元素之间的顺序，顺序不一样的组合被视为不同的排列。

组合（Combination）：指从某一数量的元素中取出一定数量的元素，而不考虑它们的

排列顺序，构成新的组合的方法。组合不考虑顺序，顺序不一样的情况被视为相同的

组合。

排列和组合的计算公式如下：

1. 排列公式：从n个不同元素中取出r个元素进行排列，可构成的个数记为P(n, r)，

计算公式为：

P(n, r) = n! / (n-r)!

其中，n!表示n的阶乘，即 n \* (n-1) \* (n-2) \* ... \* 1。

1. 组合公式：从n个不同元素中取出r个元素（0 ≤ r ≤ n）进行组合，可构成的个数记

为C(n, r)，计算公式为：

C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)

其中，r!表示r的阶乘，即 r \* (r-1) \* (r-2) \* ... \* 1。

了解排列组合概念及其计算方法有助于解决实际生活中的很多问题，尤其是在统计、

概率和数据分析等领域中具有重要应用。

排列与组合

须不站在一起，则有多少排队方法？
例6、若有七个人排队，要求A、B、C三个人中间至少隔一个人，则有多少排队方法？
综合练习
例7：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；
（3）三个女生排在一起；
对于相邻问题，常用“捆绑法”
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号表示。
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
“一个排列”是指：从 n 个不同元素中，任取 m个元素
按照一定的顺序排成一列，不是数；
“排列数”是指从 n个不同元素中，任取 m个元素的 m 只表示所有排列的个数，是一个数；所以符号 An 排列数，而不表示具体的排列。
体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分
配方法共有多少种?
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
C C A
6 4
2
2
3 3
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士. 1 2 1 2
(C3 C6) (C 2 C 4) 1 540
课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有种。 9 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中 9 至多有一个人参加，则有不同的选法种数为。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ C ） 3 2 3 3 2 3 A.(C8 C7 )(C7 C82 ) B.(C8 C7 ) (C7 C82 )

排列组合基本概念及公式

1.排列组合基本概念及公式？

答：排列与组合的定义和公式：Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!，n，m⋯N排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

排列与组合

课上讲解： 1．排列

(1)排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

(2)排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m

n 表示． (3)排列数公式

A m

n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)． (4)全排列数公式

A n

n ＝n (n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)． 2．组合

(1)组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C m

n 表示． (3)组合数公式 C m n

＝A m

n A m

＝

n n －1n －2…n －m ＋1m ！＝n ！

m ！n －m ！

(n ，m ∈N *

，且m ≤n )．特别地C 0

n ＝1.

(4)组合数的性质：①C m

n ＝C n －m

n ；②C m

n ＋1＝C m

n ＋C m －1

n . 3.排列与组合的区别

排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 4.处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。

排列和组合

《排列与组合》教学设计优秀9篇

排列组合和排列组合计算公式

排列与组合

数学排列组合：计算排列和组合

排列与组合定理和公式

排列与组合的关系

排列与组合的区别技巧

排列组合基础知识

排列和组合的公式

6.3 排列与组合

什么是排列和组合

排列和组合的区别 有哪些不同

排列组合概念

排列与组合

排列组合基本概念及公式

排列与组合

排列和组合的区别有哪些不同