二重积分的计算法

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二重积分的计算法

这是先对 y，后对的x 两次积分(适合于型X区域).
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于 y轴的平面
去截曲顶柱体,此时D为
D : c y d 1( y) x 2 ( y)
f (x, y)dxdy
d
dy
2 ( y) f (x, y)dx
c
1 ( y )
D
这是先对 x，后对的y 两次积分.
y
x 1( y)
d
y
d
x 1( y)
y
y
c
x 2 ( y)
c
o
x
o
x 2 ( y)
x
如果去掉以上结论中关于 z f (x, y) 0, (x, y) D 的限制，则上述结论仍是成立的.
a x b
D
(
x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x , y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f( y
x, y
y
)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) f (x, y)dx
a
a
d
y
d
I c Q( y)dy

二重积分的计算方法

线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例 1
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解积分区域如图
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
（6）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（7）若D对称于直线y x,则 f ( x, y)d f ( y, x)d .
D1
D2
(或 f ( x, y)d f ( y, x)d ). 对称于直线y x

(t

1 2
sin
2t
)

|04
1
4 说明：
(11分）
形如积分 f ( x, y) d , max{ f ( x, y), g( x, y)}d ,
D
D
min{ f ( x, y), g( x, y)}d , sgn{ f ( x, y) g( x, y)}d
D
D
等的被积函数均应当做分区域函数看待，利用积分的
的可加性分区域积分。
(17)(本题满分 11 分)2008 年数学二、三 y
计算 max{xy,1}dxdy,其中
D
D={(x, y) | 0 x 2,0 y 2}.
解曲线xy 1将区域D分成
2
D2 D1
o
2x
两个区域D1和D2
D

二重积分计算法

11
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd

二重积分的计算法

24 3
6 1 8
整理ppt
15
例6. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0, Dx
x所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 sinxdxdy Dx
:
0
D
:
0
dx
0
x
y x
x sin x 0x
d
y
y yx
D x
o x
0
sinxdx
x
x x yd 1
y 2 1
1 2
x
y
2
x dx
1
2 y
yx
1
2
1
12x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
1y2o yx2
1 x2x
2
I d y
1
2yx y d
x
2 1
1 2
x
2
y
2
2
dy
y
1
2y1 2y3
dy
9 8
整理ppt
14
例5. 计算 Dxyd, 其中D 是抛物线
解 y 2ax x y 2
2a
y 2axx2 xaa2y2 2a
Dx:
0x2a 2axx 2axx2
a 2a
整理ppt
12
0 ya
Dy1
: y2 2a
x
a
a2 y2
2a
Dy2:2ax0ayaa2y2
a
a y 2a
Dy3
:
y2 2a
x
2a
a 2a
= 原式

二重积分的计算法

y2 x
y 2x x2
原式
1
2 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx .
例1
计算二重积分

D
1x 4Fra biblioteky 3

dxdy
,其中
D
为矩形：
D : 2 x 2, 1 y 1.
解1 先积 y 再积 x
D
1
x 4

例6. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
因此取D 为X – 型域 :
D
:
0 0

y x

x

D x o x

D
sin x
x
dxd
y

0
sin x
x
dx
x
0 d
y

0 sin x dx
0
c
Q( y)
.
x=(y)
x
问题：Q( y)是什么图形？
y
x=(y)
d
y
D
也是曲边梯形 !
二重积分的计算（D是曲线梯z 形区域）
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
Q( y ) =
ψ( y)
f ( x, y)dx φ( y)
0
c
z=f (x,y)
D (x, y) 0 y 2,1 x 1.
y
解：先画出区域D的图形，因为 D1

二重积分计算方法

二重积分计算方法
二重积分是指同时计算两个复杂变量，如空间或一维时间尺度上均有复杂变量，即进行双重多元积分运算。

二重积分法是科学研究和工程分析的β解析最常用的
计算方法。

由于经常需要解决复杂的数学问题，因此二重积分的计算在现代科学和工程领域有着广泛的应用。

二重积分计算方法是以一维自变量再组合成双维自变量，它首先将单重积分划
分为两个子题，即沿着一个方向进行单重积分，其次再沿着另一个方向进行单重积分。

例如，有一个变量专为u，如果将u偏导后的复杂函数用二维变量X和y来表示，则：
du=f(x,y)dxdy
二重积分可以通过两个步骤来完成:在第一步中，x先作为自变量，上下限的
特定的h, k ,f (x, y) 求定积分，第二步中，y作为自变量，对每一个固定的x，求解特定h, k 等积分。

二重积分法在微分方程、概率理论、拟静力学，拉格朗日
方法以及费马多元法等领域得到了广泛应用。

此外，二重积分法可以进行在线计算，在互联网领域有着重要应用。

现代技术
在二重积分法方面取得了新的进展，特别是机器学习等技术对二重积分法的计算和应用有着深远的影响。

现有的技术可以更加聪明的理解和处理信息，这也大大提高了利用二重积分法研究互联网数据的效率。

综上所述，二重积分计算方法是一种数学运算的技术，在现代科学和工程领域，它被广泛应用于多种多样的领域，特别是在互联网领域，二重积分法为研究者提供了更大的可能性，研究互联网数据更快更有效地获取信息。

计算二重积分的几种简便方法

计算二重积分的几种简便方法一、极坐标法在二维平面上，如果点P在直角坐标系中的坐标为（x，y），那么以O点为极点，OP 线段所在直线为极轴的极坐标（r，θ）满足以下关系式：x=r*cosθy=r*sinθ将函数f(x,y)转化为g(r,θ)表示，则有：根据二重积分的定义式，可以得到用极坐标表示的二重积分：∬Df(x,y)dxdy=∬g(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中，D为定义域，r为极径。

二、对称性法对称性法即利用函数在定义域内的对称性简化计算。

具体方法如下：1. 翻折对称：如果定义域D为一个轴对称图形，那么可以将积分区域缩小一半，只计算一侧再乘以2。

3. 奇偶性：如果函数f(x,y)满足奇偶性，即满足f(-x,y)=-f(x,-y)或f(-x,-y)=f(x,y)，则可以将定义域限定在一个象限内（通常是第一象限），依次计算再乘以4或2。

轮换对称法即利用极坐标系下的轮换对称性简化计算。

对于一个n边形，将其边每隔2π/n取一条，则这些边的边长相等，角度之和为2π，因此在极坐标系下具有轮换对称性。

具体方法如下：1. 将定义域D分成n份，每份的极角为（k-1）2π/n和k2π/n（k=1,2,...,n）。

2. 对于每份，取中心点和每条边上的一个点，计算这些点构成的区域上的积分。

3. 最后将n份的积分相加即得到原积分。

四、正交性法正交性法即根据正交性定理，将一些特殊的函数乘在被积函数上，使之变成正交函数的线性组合，从而简化计算。

常用的正交函数有勒让德多项式、柯西-斯瓦茨函数等。

1. 将f(x,y)表示为一些正交函数的线性组合。

2. 考虑在正交函数构成的正交系下计算积分。

3. 利用正交性定理，将积分转化为正交基上的系数计算，从而得到简化后的积分表达式。

五、变换法变换法即通过适当的变换将一些定义域较为复杂的积分转化为更加简单的形式。

常见的变换有参数化、奇异变换、极坐标变换等。

1. 找到适当的变换使定义域变得简单。

求二重积分的方法

求二重积分的方法在数学中，二重积分是一种重要的积分形式，它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。

求解二重积分的方法有很多种，本文将介绍几种常见的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握二重积分的计算技巧。

一、直角坐标系下的二重积分。

在直角坐标系下，二重积分的计算通常采用先对x进行积分，再对y进行积分的方法。

对于给定的二元函数f(x,y)，其在有界区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy。

其中积分区域D可以用不等式形式表示为D={(x,y)|a≤x≤b,g1(x)≤y≤g2(x)}，此时二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dy)dx。

其中内层积分是对y进行积分，外层积分是对x进行积分。

在实际计算中，可以先对y进行积分，再对x进行积分，也可以反过来进行计算，选择合适的积分顺序可以简化计算过程。

二、极坐标系下的二重积分。

在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算会更加方便。

对于给定的二元函数f(x,y)，其在极坐标下的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ。

其中积分区域D可以用极坐标形式表示为D={(r,θ)|α≤θ≤β, h1(θ)≤r≤h2(θ)}。

在极坐标系下，二重积分的计算可以简化为对r和θ的积分，适用于一些具有极向对称性的函数。

三、变量代换法。

对于一些复杂的二重积分，可以通过变量代换的方法来简化计算。

常见的变量代换包括直角坐标系到极坐标系的转换、直角坐标系到柱坐标系的转换、直角坐标系到球坐标系的转换等。

通过适当的变量代换，可以将原积分区域D变换为一个更简单的区域，从而简化积分的计算。

四、二重积分的性质。

在计算二重积分时，还可以利用二重积分的性质来简化计算。

例如，二重积分具有线性性质，可以将一个复杂的二重积分拆分为若干个简单的二重积分相加；二重积分的积分区域可以进行分割，将原积分区域分割为若干个简单的子区域，分别计算再相加等。

二重积分计算技巧总结

D
4 2 首先 O 在区域内，所以 r 0 ，然后过 O 作射线，射线与 y 1 相交，就将参数方程代入被
O 与区域内点的连线的张角范围为 : 交的曲线得到 r sin 1 r
1 1 ，于是 D : ;0 r sin 4 2 sin
y2 y u u ,v 则 x 2 , y . v v x x
1 v2 J 1 v

2u u v3 4 u v 2 v
于是原区域 D 变换成新区域 D m, n , ，这样原来不规则的区域变成了矩形区域，方便积分。面积 S
1dxdy 1 J dudv
1 1 1 (u v) , y (v u ) ，则 J= 2 2 2 D 的边界一一对应得到新区域 D ： 1 x 0 u v 0 u v 2 1 y 0 v u 0 u v 2 x
x y 1
1 1 u v v u 1 v 1 2 2
D D

dv n (n 2 m 2 )( 3 3 ) u d u v 4 m 6 3 3
（2）极坐标下的二重积分极坐标代换法基本格式为：
x r cos y r sin
被积函数 f x, y 化为 f r cos , r sin r ，接下来重要的是讨论 r , 的范围。其中 r , 的范围由于积分次序的不同而不同。若积分次序为先 r 后，则对应方法为“张角射线” ，其中确定张角的方法为，原点与区域内点的连线的最小、最大夹角；作射线确定 r 的范围：过原点 O 作射线，把先后与所作射线相交的边界线化成 r r 的形式，就确定出 r 的范围。比如：求 f x, y dxdy ，其中 D 的范围如图：

第二节_二重积分的计算法

第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。

则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。

二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。

计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。

1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。

具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。

(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。

(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。

(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。

2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。

具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。

(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。

(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。

(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。

3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。

具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。

(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。

(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。

(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。

4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。

二重积分的计算方法

2 d
0
R2 R1
r3
dr
8
( R24
-
R14 ),
如果积分域 D 是整个环形，显然有
x 与直线 y = x - 2 所围成D的区域.
解画出积分区域 D 如图，并求出边界曲线的交点 (1, -1) 及 (4, 2)，由图可见，先积 x (内积分) 后积 y
(外积分)较为简便.
由定限示意图有
2
y2
xy d
d -1
y y2
xyd x
D
2 x2 y2
-1
2
y y2
dy
= 1 2 [ y( y 2)2 - y5 ]d y 2 -1
积，则曲顶柱体体积 V 的微元 dV 为
dV A( x)d x,
b
V A( x)d x. a
式中面积函数 A(x) 是一个
以区间 [1(x) , 2(x)] 为底
边、以曲线 z= f (x,y)(x 是固定的)为曲边的曲边梯形，
其面积可表示为
A( x) 2( x) f ( x, y)d y. 1( x)
则 f (x, y)d
D
f ( x, y)d f ( x, y)d
D1
D2
1x
2
2- x
0d x 0 f (x, y)d y 1 d x0 f (x, y)d y,
如果先积 x 后积 y ，则为
1
2- y
f (x, y)d 0d y y f (x, y)d x.
D
例 3 计算二重积分 xyd , 其中 D 是抛物线 y2 =
且与边界曲线交点纵坐标分别为 y = 1(x) 和 y = 2(x)，如果 2(x)≥ 1(x)，那么 1(x)就对 y 积分(内积分) 的下限，2(x) 就是对 y 积分(内积分)的上限.

二重积分的计算

证毕。
b | x dx
dx
1 b (b − t )n f ( t )dt = ∫a n
关于对称性的定理（关于 x 轴、y 轴、设 D1 , D2 是对称的两部分. 原点、或某直线）. (1) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相等，则 ∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ
y
x = −1
y=x
1
D
y 1 + x 2 − y 2 dσ ∫∫
D
= ∫ dx ∫ y 1 + x 2 − y 2 dy
−1
1
x
−1
x o 1
y =1
x
= ∫ dx ∫ y 1 + x − y dy −1
2 2
1
1
x
= = = =
1 1 2 2 dx ∫ 1 + x − y (− ) d (1 + x 2 − y 2 ) ∫− 1 x 2 1 1 dx ∫ 1 1 + x 2 − y 2 d (1 + x 2 − y 2 ) (− ) ∫ x 2 −1 3 1 1 2 2 2 2 1 (− ) ∫ (1 + x − y ) | dx 2 −1 3 x 1 2 1 3 (− ) ∫−1 (| x | −1) dx 2 3
D2 D1
(2) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相反，则 ∫∫ f ( x , y )dσ = − ∫∫ f ( x , y )dσ
D2 D1
D : x 2 + y 2 ≤ R 2 , ( R > 0) 例6 设 ( 2) ∫∫ x | y | dσ 求 (1) ∫∫ | xy | dσ

二重积分的计算与应用

二重积分的计算与应用在数学的领域中，二重积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个科学领域。

本文将探讨二重积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。

一、二重积分的定义与计算方法二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分运算。

设有函数f(x, y) 定义在平面上的有界闭区域 D 上，记作：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示平面上一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数，dxdy 表示对 x, y 的积分。

二重积分可以通过以下两种常用方法进行计算：1. 直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示 x 轴与 y 轴所围成的区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。

使用直角坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为两个一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域划分为若干个小矩形或小平行四边形；在每个小矩形或小平行四边形上取一点(xi, yj)；设Δxi 和Δyj 分别为小矩形或小平行四边形的宽度和高度；计算 f(xi, yj) 与Δxi Δyj 的乘积的和，即为所求的二重积分。

2. 极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示极坐标系下的一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。

使用极坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域在极坐标系下表示为R ≤ r ≤ S, α ≤ θ ≤ β；将x = rcosθ，y = rsinθ 进行替换，使得函数 f(x, y) 转化为 F(r, θ)；计算F(r, θ) 与 r 的积分后再对θ 进行积分，即为所求的二重积分。

二、二重积分的应用1. 几何应用二重积分可用于计算平面图形的面积。

通过在直角坐标系或极坐标系下进行适当的变换，将图形转化为简单的几何图形（如矩形、圆、扇形等），然后进行二重积分的计算，便可得到所求图形的面积。

二重积分的计算方法

二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。

在实际运用中，可以通过直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。

一、直接计算法直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。

其基本步骤是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。

1.内部积分内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。

可以根据具体的题目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。

2.外部积分外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。

同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。

需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者使用边界定理简化计算。

二、换元法换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。

换元法分为直角坐标系的变换和极坐标系的变换两种情况。

1.直角坐标系的变换直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。

常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。

例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。

2.极坐标系的变换极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。

极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。

极坐标系变换需要通过变量替换来实现，通常需要将原函数和积分上下限由直角坐标形式转换为极坐标形式，再进行计算。

换元法可以大大简化积分计算过程，但需要选择合适的坐标变换，有时会引入更多的计算量。

需要根据具体问题的特点来决定选择哪种变换。

三、几何意义根据题目所给的条件，可以确定积分范围和被积函数形式，将二重积分转化为面积或长度的几何问题。

二重积分的计算方法

二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。

（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。

（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。

这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。

二重积分的概念和计算方法

二重积分的概念和计算方法二重积分是在二维平面上对一些区域上的函数进行求和的操作。

它可以用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量，也可以用于解决求解二元函数的平均值、概率密度等问题。

在本文中，我们将讨论二重积分的概念以及几种常见的计算方法。

一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的一个闭区域D上的函数f(x,y)进行求和的操作，可以表示为：∬Df(x,y)dA其中D表示区域D上的面积，f(x,y)表示在点(x,y)上的函数值，dA 表示在D上的一个微小面积元素。

对于二重积分的计算，可以分为定积分和区域积分两种方法。

定积分的计算是将区域D划分成许多小的矩形面积，并将这些小矩形的面积乘以对应的函数值求和。

区域积分的计算是将区域D分成许多小的曲面元素，并将这些小曲面的面积乘以对应的函数值求和。

二、二重积分的计算方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，我们可以通过在区域D上设置两个变量x和y，将原来的二重积分转化为两个一重积分的问题。

将区域D分成许多小的矩形面积，每个小矩形的面积为ΔA，左下角的坐标为(x,y)，则我们可以得到二重积分的计算公式为：∬D f(x,y) dA = lim ΔA→0 Σ f(x,y)ΔA其中Σ表示对所有小矩形面积求和。

对于简单的区域D，我们可以直接通过计算极限来求解二重积分。

但对于较为复杂的区域D，可以使用变量替换、拆分区域等方法来简化计算过程。

2.极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，我们可以通过引入极角θ和极径ρ，将二重积分转化为极坐标下的一重积分问题。

区域D可以用极坐标表示为：D={(ρ,θ)，α≤θ≤β，g(θ)≤ρ≤h(θ)}。

对于极坐标下的二重积分公式，我们有：∬D f(x,y) dA = ∫βα ∫h(θ)g(θ) f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ。

通过将二重积分转化为极坐标系下的一重积分问题，可以简化复杂区域的计算过程。

3.坐标变换方法对于一些特殊的区域D，我们可以通过坐标变换来简化二重积分的计算过程。

二重积分的计算法

x
4
利用公式 (1)，得
z
V1 R2 x2 d
D
R
[
R2 x2
R2 x2 dy]dx
00

R
[
0
R2 x2 y]0 R2 x2 dx
x
R(R2 x2 )dx 2 R3
0
3
o R
y
y
Ry R2 x2
从而所求立体体积为
V

8V1

16 3
R3
0
1 ex2 2
1 0
1 (1 e1 ) 2
评注本例中两题不能交换积分次序，因为先
积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而二重积分计算不出来.
3
例5 求两个底圆半径都等于R的 z 直交圆柱面所围成的立体体积.
解设两圆柱面方程分别为
x2+y2=R2 及 x2+z2=R2
利用立体关于坐标面的对称性，
18
0
设 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 , x 0, y 0}, y
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 , x 0, y 0}
S
S {( x, y) | 0 x R,0 y R} 由于e x2 y2 0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式
y
D1 o 2 4x
D2
D1 : 0 2, 0 2 D2 : 2 4, 0 2
4 x2 y2 dxdy 4 x2 y2 dxdy
D
D1 D2

2
d
2(4 2) d

二重积分的计算方法

x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
1 0
x 1
e
t 2
1 dt , 求0 f ( x )dx.
1 解(一)： f ( x )dx [ xf ( x )] 0 xf ( x )dx 1 0
f (1) xe
1 0
x2
dx [ 1 e x ]1 1 (e 1 1). 0 2 2
2
解(二) I ( e dt )dx
1 x 0 1
t 2
t
2 t t 0
( e dt )dx dt e dx
1 0 1 x
1 0
t 2

1 t 2 e tdt 0
1 1 (e 1). 2
练习设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A ，
1 0
求 dx f ( x ) f ( y )dy .
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
x
f ( x )dx f ( y )dy,
0
故2 I
f ( x )dx
1 0
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy

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f 2x0
1x0
x0, y dy
将x0换成x，得
V
b
a
A xdx
b a
2 x 1 x
f
x, y dydx
y
O
A(x0 )
y 2(x)
a x0
y 1(x)
bx
f (x, y)dxdy
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
先对y后x积分
D
a
1( x)
若D（X型）： 1 x y 2 x, a x b
的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新
确立积分限，得到二次积分。
解将所给积分限还原成D的图形，由 D D1 D2
其中 D1 : 0 y x, 0 x 1， D2 : 0 y 2 x,1 x 2
知D是由y=x，y=2－x，y=0三条直线所围成，
y
于是按Y型域定限
D : y x 2 y,0 y 1
第二节二重积分的计算法
一利用直角坐标计算二重积分
f x, yd
y
D
面积元素 d dxdy
x
利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。
积分区域
X-型区域
D :1 x y 2 x,a x b
y y 1 x
D
Y-型区域
D :1 y x 2 y,c y d
y
x 1(y)
e1 y2 x y dy
0
0
0
0
1
1 yey2 dy 1 1ey2 dy2 1 e 1
0
20
2
D
0
1
x
例5 交换二次积分的顺序
1
x
2
2x
0 dx0 f (x, y)dy 1 dx0 f (x, y)dy
分析要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定
积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给
1
y2
D
2 y2
[ xydx]dy
1 y2
2
[y
1
x2 2
]
y y
2
2
dy
2 ( y( y 2)2 y5 )dy 1
1 [ y4 24
4 3
y3
2y2
y6 6
]21
55 8
把D看作X型域由于在[0，1]和[1，4]上下边界的表达式不同，所以
要用直线x=1将D分成两个区域 D1 和 D2
d
x 2(y)
D
y 2 x
0a
bx
y
y 1x
D
y 2x
0a
bx
c
O y d x 1(y) D
x
x 2(y)
c
O
x
设D（X型）： 1 x y 2 x, a x b
利用平行截面面积已知,求立体体积的方法:
z
取x0 a,b，则有曲边梯形A x0 :
z f (x, y)
A x0
I
1
dy
y
y
1 x2 y2 dx
1 1
则积分较繁。
例4 求 I ey2 d , D : y x, y 1, x 0 所围成。 D
分析
若先 y后 x 积分，则 I
1
dx
1ey2 dy无法积分。
0
x
解先x后y积分，Y型 D : 0 x y,0 y 1
y
I
1
dy
y e y2 dx
]1计算 xyd ，其中D是由抛物线 y 2 =x D 及直线 y x 2 所围成的区域。
解把D看作Y型域 D : y2 x y 2, 1 y 2,
y
2
x y2
y
(4, 2)
D
x y2
O
x
1
(1, 1)
则
2
y2
xyd dy xydx
y
它们分别用以下不等式表示：
(4, 2)
y x
D1 : x y x, 0 x 1
D2 : x 2 y x, 1 x 4 O
D1 D2
x1
x4
x
xyd xyd xyd
D
D1
D2
y x
y x2 (1, 1)
1x
4x
[ xydy]dx [ xydy]dx
0 x
1 x2
例3 求 I y 1 x2 y2 d , D : y x, x 1, y 1所围.
D
解 X型 D : x y 1, 1 x 1
y
I
1
dx
1
y
1 x2 y2 dy
1
x
1 3
1 1
1
x2
y2
3
2
1 dx 2 x3
1
D
1
0
1
x
若Y型 D : 1 x y, 1 y 1
故D是由 x 0, x 1, y 0, y 1 x
所围成的，于是
Y型 D : 0 x 1 y,0 y 1,
y 1 x 1 y
0
1x
1
dx
1 x
f x, y dy
1
dy
1 y
f
x, y dx
0
0
0
0
2由 1 0
dy
y
y
f
x,
y dx的积分限，有
Y型 D : y x y,0 y 1,
1
D1 D2
0
1
2x
1
x
2
2x
0 dx0 f (x, y)dy 1 dx0 f (x, y)dy
1
2 y
0 dyy f (x, y)dx
例6 交换二次积分的顺序
1
1
dx
1x f x, y dy;
0
0
2
1
0
dy
y
y
f
x,
ydx
解 1由二次积分限，有
X型 D : 0 y 1 x, 0 x 1,
则
f (x, y)dxdy
b
dx
2(x) f (x, y)dy (先y后x积分)
D
a
1( x)
若D为（Y型）： 1 y x 2 y, c y d
则
f (x, y)dxdy
d
dy
2 ( y) f (x, y)dx
D
c
1( y)
先对x后y积分
求二重积分的方法：
将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算
y
故D是由 y 0, y 1, x y, x y
y x 1,1
所围成的，于是 D : x2 y x, 0 x 1,
y x2
0
1x
1
dy
y f x, y dx
1
dx
x f x, ydy
0
y
0
x2
例7 设f x在0,c上连续，证明
c
y
若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域，使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和就是所给二重积分的值。
f x, yd f x, yd f x, yd
D
D1
D2
D D1 D2
D1
D2
例1 计算 xyd，其中D是由直线y=1,x=2,
D
及y=x所围区域。
y
解法 1 把D看成X型域，则 D :1 y x,1 x 2,
yx D
y 1
2x
xyd 1 [1 xydy]dx
D
O
1 x2
x
2
[x
1
y2 2
]1x dx
2
(
x3
x )dx
12 2
[ x4 8
x2 4
]12
9 8
解法 2 把D看成Y型域，则
22
xyd 1 [y xydx]dy
D
y
2
[
1
y
x2 2
]2y
dy
2
2
(2 y
y3
)dy
1
2
y 1
[y2
y4 8