有关行程问题的图象信息题的解法_
小学数学中的行程问题公式及解析
小学数学中的行程问题公式及解析一、基本行程问题行程问题的三个基本量是距离、速度和时间，按所行方向的不同可分为三种:(1)相遇问题:(2)相离问题;(3)追及问题。
行程问题的主要数量关系是:距离=速度x时间。
它大致分为以下三种情况:(1)相向而行:相遇时间=距离÷速度和(2)相背而行:相背距离=速度和*时间。
(3)同向而行:速度慢的在前，快的在后。
追及时间=追及距离÷速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。
追及距离=速度差x时间。
解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关有助于迅速地找到解题思路。
（一）相遇问题行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，(涉及两个或两个物体运动的问题)指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题相遇问题。
数量关系:路程÷速度和=相遇时间路程÷相遇时间=速度和速度和x相遇时间=路程温馨提示:（1）在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻所处的状态;(2)在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点(非常重要);(3)无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。
（2）解题秘诀:（3）(1)必须弄清物体运动的具体情况，运动方向(相向)，出发地点(两地)，出发时间(同时、先后)，运动路径(封闭、不封闭)，运动结果(相遇)等。
（4）(2)要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。
（二）追及问题追及问题也是行程问题中的一种情况。
这类应用题的特点是:①两个物体同时同一方向运动;②出发的地点不同(或从同一地点不同时出发，向同一方向运动);迫及路程=路程差=两个物体之间相距的路程迫及速度=速度差=快的速度-慢的速度慢的物体追上快的物体的所用的时间为追及时间③慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于可以追上。
详细的有关行程问题的解法
等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480Байду номын сангаас里。
解：设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480解这个方程，50x=480∴x=9.6
答：9.6小时后快车追上慢车。
（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+48050x=570
2.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
3.某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
3.分析：这属于行船问题，这类问题中要弄清：
（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；
（2）逆水速度=船在静水中的速度－水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米，
由题意得， 解得：x=32.5
答：A、B两地之间的路程为32.5千米。
4．解：设甲的速度为x千米/小时。 则
5.设两个城市之间的飞行路程为x千米。则
6．设甲、乙两码头之间的距离为x千米。则 ，x=80
答案
1.（1）分析：相遇问题，画图表示为：
二元一次方程组的应用(1)--行程问题
第二次甲一共走了 千米，乙一共 走了 千米，他们走的路程与总路程 之间的关系是 。
巩固练习2
1 、某站有甲、乙两辆汽车， 若甲车先出发1ｈ后乙车出发， 则乙车出发后5ｈ追上甲车； 若甲车先开出20ｋｍ后乙车出 发，则乙车出发4ｈ后追上甲 车．求两车速度．
（1）
解：设甲车每小时走x千米，乙车每小时走y 千米 X千米 5x千米
5、某部队执行任务，以8千 米/时的速度前进，通讯员 在队尾接到命令后把命令 传给排头，然后立即返回 排尾，通讯员来回的速度 均为12千米/小时，共用 14.4分钟，求队伍的长是 多少？
练习题 1、甲、乙两人相距36千米， 相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先 走2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇，甲、乙两人每 小时各走多少千米？
2、甲乙两人练习赛跑如 果甲让乙先跑10m，甲 跑5s就能追上乙，如果 乙先跑2s，那么甲跑4s 就能追上乙，求两人每 秒各跑多少米。
自学指导：
1、题中的已知量有__________ ，未知量有___________。 2、顺流船的航速：______________________________, 逆流船的航速：______________________________。 3、本题中的等量关系有哪些？
巩固练习1
1、A市至B市的航线长1200千米，一架飞机 从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风 飞往A市需3小时20分，求飞机的速度与风速。
甲先行2时走的路程 甲
相 遇
乙出发后甲、乙2.5时共走路程 乙
设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米 1、第一次甲一共走了 千米，乙一共走了 千米,他们走的路程与总路程之间的关系 是 ；
初中数学行程与图像教案
初中数学行程与图像教案1. 理解行程问题的基本概念，掌握行程问题的解决方法。
2. 能够根据行程问题绘制出相应的图像，通过图像更好地理解和解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、图形识别能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 行程问题的基本概念：路程、速度、时间。
2. 行程问题的解决方法：公式法、图像法。
3. 行程问题的图像表示：折线图、曲线图。
三、教学重点与难点1. 教学重点：行程问题的基本概念、解决方法以及图像表示。
2. 教学难点：行程问题的图像识别和运用图像解决行程问题。
四、教学过程1. 导入：通过一个实际行程问题引入课题，激发学生的兴趣。
2. 基本概念：介绍行程问题的基本概念，让学生理解路程、速度、时间之间的关系。
3. 解决方法：讲解行程问题的解决方法，包括公式法和图像法。
4. 图像表示：讲解如何用折线图和曲线图表示行程问题，让学生通过图像更好地理解和解决问题。
5. 实例分析：通过具体实例，让学生运用行程问题的解决方法和解题技巧。
6. 练习与拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并引导学生思考如何将行程问题运用到实际生活中。
7. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生明确行程问题的解决方法和图像的重要性，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考。
五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，了解他们对行程问题的理解和掌握程度。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估他们对行程问题的解决能力和图像的运用能力。
3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对本节课的教学内容和教学方法的满意程度，以及他们在学习过程中的困惑和问题。
六、教学资源1. 教学PPT：制作精美的PPT，直观地展示行程问题的图像和实例。
2. 练习题：准备一些与行程问题相关的练习题，巩固学生的学习成果。
3. 教学素材：收集一些实际的行程问题案例，用于实例分析和讨论。
七、教学建议1. 注重学生的参与，鼓励他们积极思考和提出问题。
行程问题解题技巧
行程问题解题技巧走走停停的要点及解题技巧一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做1.画出速度和路程的图;2.要学会读图;3.每一个加速减速、匀速要分清楚,这有利于你的解题思路;4.要注意每一个行程之间的联系;二、学好行程问题的要诀行程问题可以说是难度最大的奥数专题;类型多：行程分类细,变化多,工程抓住工作效率和比例关系,而行程每个类型重点不一,因此没有一个关键点可以抓题目难：理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学,动态分析需要较高的理解能力、逻辑分析和概括能力跨度大：从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度,需要不断的复习巩固来加深理解、夯实基础那么想要学好行程问题,需要掌握哪些要诀呢要诀一：大部分题目有规律可依,要诀是"学透"基本公式要诀二：无规律的题目有"攻略",一画画图法二抓比例法、方程法竞赛考试中的行程题涉及到很多中数学方法和思想比如：假设法、比例、方程等的熟练运用,而这些方法和思想,都是小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项;例1.甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行驶,甲100米/分,乙80米/分,两人每跑200米休息1分钟,甲需多久第一次追上乙解答这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被追上;很显然首先考虑在休息结束时的时间最少,如果不行再考虑在休息过程中被追上,最后考虑行进中被追上;其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否是在休息点追上的;由此首先考虑休息800÷200－1＝3分钟的情况;甲就要比乙多休息3分钟,就相当于甲要追乙800＋80×3＝1040米,需要1040÷100－80＝52分钟,52分钟甲行了52×100＝5200米,刚好是在休息点追上的满足条件;行5200米要休息5200÷200－1＝25分钟;因此甲需要52＋25＝77分钟第一次追上乙;例2.在400米环形跑道上,A、B两点的跑道相距200米,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步,甲每秒跑7米,乙每秒跑5米,他们每人跑100米都停5秒．那么,甲追上乙需要多少秒解答这是传说中的“走走停停”的行程问题;这里分三种情况讨论休息的时间,第一、如果在行进中追上,甲比乙多休息10秒,第二,如果在乙休息结束的时候追上,甲比乙多休息5秒,第三,如果在休息过程中且又没有休息结束,那么甲比乙多休息的时间,就在这5～10秒之间;显然我们考虑的顺序是首先看是否在结束时追上,又是否在休息中追上,最后考虑在行进中追上;有了以上的分析,我们就可以来解答这个题了;我们假设在同一个地点,甲比乙晚出发的时间在200/7＋5＝235/7和200/7＋10＝270/7的之间,在以后的行程中,甲就要比乙少用这么多时间,由于甲行100米比乙少用100/5－100/7＝40/7秒;继续讨论,因为270/7÷40/7不是整数,说明第一次追上不是在乙休息结束的时候追上的;因为在这个范围内有240/7÷40/7＝6是整数,说明在乙休息的中追上的;即甲共行了6×100＋200＝800米,休息了7次,计算出时间就是800/7＋7×5＝149又2/7秒;注：这种方法不适于休息点不同的题,具有片面性;例1、快车和慢车分别从A,B两地同时开出,相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了小时,慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间解答画一张示意图：设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时,从C到A用了=小时.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位,C到A15个单位.慢车每小时走2个单位,快车每小时走3个单位.有了上面"取单位"准备后,下面很易计算了.慢车从C到A,再加停留半小时,共8小时.此时快车在何处呢去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时,共行驶3×7=21单位.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14单位.现在慢车从A,快车从D,同时出发共同行走14单位,相遇所需时间是14÷2＋3＝小时.慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了＋＋＝小时.答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分;例2、小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米,小轿车和面包车同时从学校开出,沿着同一路线行驶,小轿车比面包车早10分钟到达城门,当面包车到达城门时,小轿车已离城门9千米,问学校到城门的距离是多少千米解答先计算,从学校开出,到面包车到达城门用了多少时间.此时,小轿车比面包车多走了9千米,而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时,因此所用时间=9÷6＝小时.小轿车比面包车早10分钟到达城门,面包车到达时,小轿车离城门9千米,说明小轿车的速度是面包车速度是 54-6＝48千米/小时.城门离学校的距离是48×＝72千米.答：学校到城门的距离是72千米.简单相遇的要点及解题技巧一、简单相遇问题的特点：二、1两个运动物体一般同时不同地或不同时不同地出发作相向运动．三、2在一定时间内,两个运动物体相遇;四、3相遇问题的解题要点：相遇所需时间=总路程÷速度和;五、解答相遇问题必须紧紧抓住"速度和"这个关键条件．主要数量关系是：六、二：简单相遇问题与追及问题的共同点：七、1是否同时出发八、2是否同地出发九、3方向：同向、背向、相向十、4方法：画图十一、三、简单相遇在解题时的入手点及需要注意的地方十二、相遇问题与速度和、路程和有关十三、1是否同时出发十四、2是否有返回条件十五、3是否和中点有关：判断相遇点位置十六、4是否是多次返回：按倍数关系走;十七、5一般条件下,入手点从"和"入手,但当条件与"差"有关时,就从差入手,再分析出时间,由此再得所需结果例1.两列对开的列车相遇,第一列车的车速为10米/秒,第二列车的车速为米/秒,第二列车的旅客发现第一列车在旁边开过时用了6秒,则第一列车的长度为多少米米米米解答D;解析：这里A,B两地的距离就为第一列车的长度,那么第一列车的长度为10+×6=135米;例2.甲、乙二人同时从相距60千米的两地同时相向而行,6小时相遇;如果二人每小时各多行1千米,那么他们相遇的地点距前次相遇点1千米;又知甲的速度比乙的速度快,乙原来的速度为千米/时千米/时千米/时千米/时解答B;解析：原来两人速度和为60÷6=10千米/时,现在两人相遇时间为60÷10+2=5小时,设原来乙的速度为X千米/时且乙的速度较慢,则5X+1=6X+1,解得X=4;注意：在解决这种问题的时候一定要先判断谁的速度快;例 3.每天早上李刚定时离家上班,张大爷定时出家门散步,他们每天都相向而行且准时在途中相遇;有一天李刚因有事提早离家出门,所以他比平时早7分钟与张大爷相遇;已知李刚每分钟行70米,张大爷每分钟行40米,那么这一天李刚比平时早出门分钟;答案D;解析：设每天李刚走X分钟,张大爷走Y分钟相遇,李刚今天提前Z分钟离家出门,可列方程为70X+40Y=70×X+Z－7+40×Y－7,解得Z=11,故应选择D;抓住了,两地距离不变,列方程;例1.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距B地54千米处相遇他们各自到达对方车站后立即返回原地,途中有在距A地42千米处相遇;求两次相遇地点的距离;解答设两次相遇地点的距离为x千米根据他们相遇时用的时间是相等的在距B地54千米处相遇时有：42+x/V甲=54/V乙在距A地42千米处相遇时有：542+x/V甲=x+422/V乙则42+x/54=108+x/x+84x2+72x-2304=0x-24x+96=0解得x=24,x=-96舍去所以两次相遇地点的距离为24千米;例2.在一次野外长跑比赛中,A、B两人同时从起点开始跑,A的速度为每秒3米,B的速度为每秒2米;途中,一辆汽车以每秒10米的速度迎面开来,在与A 相遇2分钟后,又遇B擦肩而过;问：当汽车与A擦肩而过时,A、B二人相距多远当汽车与B擦肩而过时,A、B二人相距多远解答当汽车与A擦肩而过、与B相向而行时,这道题可改编为：汽车与B相向而行,已知汽车每秒前进10米,B每秒前进2米,二者2分钟相遇,问两地相距多远非常容易的一道题,先将2分钟换算成120秒,然后按照公式速度和×时间＝距离的方法,得到：﹙10＋2﹚×120＝1440米;即：当汽车与A擦肩而过时A、B二人相距1440米我们把第二问也简化以下;A、B二人赛跑,已知A在B前面1440米的地方,二人同向而行,又知A的速度是每秒3米,B的速度是每秒2米,跑了2分钟时﹙就是汽车从相遇A到相遇B 的时间﹚,两人相距多远我们已知开始跑时﹙即汽车与A相遇时﹚,两人本来就相距1440米,二人速度差为每秒1米﹙3－2﹚;汽车走了120秒,两人的距离就增加了120米﹙1×120﹚;那么,2分钟时,两人距离应为1560米﹙120＋1440﹚;即：当汽车与B擦肩而过时,A、B二人相距1560米;多人行程的要点及解题技巧行程问题是小学奥数中难度系数比较高的一个模块,在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程问题的身影;行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等;每一类问题都有自己的特点,解决方法也有所不同,但是,行程问题无论怎么变化,都离不开“三个量,三个关系”：这三个量是：路程s、速度v、时间t三个关系：1.简单行程：路程=速度×时间2.相遇问题：路程和=速度和×时间3.追击问题：路程差=速度差×时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系,就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的;如“多人行程问题”,实际最常见的是“三人行程”例：有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙、丙相背而行;甲每分钟走40米,乙每分钟走38米,丙每分钟走36米;在途中,甲和乙相遇后3分钟和丙相遇;问：这个花圃的周长是多少米分析：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成,题目中所给的条件只有三个人的速度,以及一个“3分钟”的时间;第一个相遇：在3分钟的时间里,甲、丙的路程和为40+36×3=228米第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里,乙、丙两人的速度差造成的, 是逆向的追击过程,可求出甲、乙相遇的时间为228÷38-36=114分钟第二个相遇：在114分钟里,甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为40+38×114=8892米我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题,使解题思路更加清晰;总之,行程问题是重点,也是难点,更是锻炼思维的好工具;只要理解好“三个量”之间的“三个关系”,解决行程问题并非难事多人行程例题及答案一行程问题是小学奥数中难度系数比较高的一个模块,在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程问题的身影;多人行程---这类问题主要涉及的人数为3人,主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻,第三个人的位置,解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系;例1.甲乙丙三人同时从东村去西村,甲骑自行车每小时比乙快12公里,比丙快15公里,甲行小时到达西村后立刻返回;在距西村30公里处和乙相聚,问：丙行了多长时间和甲相遇答案一：设乙每小时行x公里,则甲为x+12,丙为x-15+12=x-312=x+122x=9甲为21公里,丙为6公里,212/21+6=小时丙行了小时和甲相遇答案二：在距西村30公里处和乙相聚,则甲比乙多走60公里,而甲骑自行车每小时比乙快12公里,所以,甲乙相聚时所用时间是60/12=5小时,所以甲从西村到和乙相聚用了=小时,所以,甲速是：30/=20公里/小时,所以,丙速是：20-15=5公里/小时,东村到西村的距离是：20=70公里,所以,甲丙相遇时间是：270/20+5=小时例2.难度：高难度甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时;有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇;求丙车的速度;解答解题思路：多人相遇问题要转化成两两之间的问题,咱们的相遇和追击公式也是研究的两者;另外ST图也是很关键第一步：当甲经过6小时与卡车相遇时,乙也走了6小时,甲比乙多走了660-486=72千米；这也是现在乙车与卡车的距离第二步：接上一步,乙与卡车接着走1小时相遇,所以卡车的速度为72-481=24第三步：综上整体看问题可以求出全程为：60+246=504或48+247=504第四步：收官之战：5048-24=39千米注意事项：画图时,要标上时间,并且多人要同时标,以防思路错乱例3.难度：高难度李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到千米外的冬令营报到;小时后,营地老师闻讯前来迎接,每小时比李华多走千米,又经过了小时,张明从学校骑车去营地报到;结果3人同时在途中某地相遇;问：张明每小时行驶多少千米解答老师出发时和李华相距×=千米,再过÷4+4+=2小时相遇,相遇地点距学校2×4+2=10千米,张明行驶的时间为小时,因此张明的速度为10÷=20千米/时;多人行程例题及答案二例1. AB两地相距30千米,甲乙丙三人同时从A到B,而且要求同时到达;现在有两辆自行车,但不许带人,但可以将自行车放在中途某处,后来的人可以接着骑;已知骑自行车的平均速度为每小时20千米,甲步行的速度是每小时5千米,乙和丙每小时4千米,那么三人需要多少小时可以同时到达解答因为乙丙步行速度相等,所以他们两人步行路程和骑车路程应该是相等的;对于甲因为他步行速度快一些,所以骑车路程少一点,步行路程多一些;现在考虑甲和乙丙步行路程的距离;甲多步行1千米要用1/5小时,乙多骑车1千米用1/20小时,甲多用1/5-1/20=3/20小时;甲步行1千米比乙少用1/4-1/5=1/20小时;,所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：1/20/3/20=1/3.这样设乙丙步行路程为3份,甲步行4份;如下图安排：这样甲骑车行骑车的3/5,步行2/5.所以时间为：303/5/20+302/5/5=小时;例2. 有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙、丙相背而行;甲每分钟走40米,乙每分钟走38米,丙每分钟走36米;在途中,甲和乙相遇后3分钟和丙相遇;问：这个花圃的周长是多少米解答这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成,题目中所给的条件只有三个人的速度,以及一个“3分钟”的时间;第一个相遇：在3分钟的时间里,甲、丙的路程和为40+36×3=228米第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里,乙、丙两人的速度差造成的,是逆向的追击过程,可求出甲、乙相遇的时间为228÷38-36=114分钟第二个相遇：在114分钟里,甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为40+38×114=8892米我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题,使解题思路更加清晰;总之,行程问题是重点,也是难点,更是锻炼思维的好工具;只要理解好“三个量”之间的“三个关系”,解决行程问题并非难事二次相遇的要点及解题技巧一、概念：二、两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题;三、二、特点：四、它的特点是两个运动物体共同走完整个路程;五、小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题;六、三、类型：七、相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程,求相遇时间,求速度;八、四、三者的基本关系及公式：九、它们的基本关系式如下：十、总路程=甲速+乙速×相遇时间十一、相遇时间=总路程÷甲速+乙速十二、另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度答题思路点拨：甲从A地出发,乙从B地出发相向而行,两人在C地相遇,相遇后甲继续走到B地后返回,乙继续走到A地后返回,第二次在D地相遇;一般知道AC和AD的距离,主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍;例1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行,在距B地54千米处相遇,它们各自到达对方车站后立即返回,在距A地42千米处相遇;请问A、B两地相距多少千米解答A;解析：设两地相距x千米,由题可知,第一次相遇两车共走了x,第二次相遇两车共走了2x,由于速度不变,所以,第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍,即54×2=x-54+42,得出x=120;例2.两汽车同时从A、B两地相向而行,在离A城52千米处相遇,到达对方城市后立即以原速沿原路返回,在离A城44千米处相遇;两城市相距千米解答D;解析：第一次相遇时两车共走一个全程,第二次相遇时两车共走了两个全程,从A城出发的汽车在第二次相遇时走了52×2=104千米,从B城出发的汽车走了52+44=94千米,故两城间距离为104+96÷2=100千米;绕圈问题：例3.在一个圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇,再过6分钟甲到B点,又过10分钟两人再次相遇,则甲环行一周需要A．24分钟 B．26分钟 C．28分钟 D．30分钟解答C;解析：甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇,用了6+10=16分钟;也就是说,两人16分钟走一圈;从出发到两人第一次相遇用了8分钟,所以两人共走半圈,即从A到B是半圈,甲从A到B用了8+6=14分钟,故甲环行一周需要14×2=28分钟;也是一个倍数关系;例1.两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出,一辆汽车每小时行56千米,另一辆汽车每小时行63千米,经过4小时后相遇;甲乙两地相距多少千米适于五年级程度解答两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时;一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是这辆汽车行驶的路程;两车行驶路程之和,就是两地距离;56×4=224千米63×4=252千米224+252=476千米综合算式：56×4+63×4=224+252=476千米答：甲乙两地相距476千米;例2.两列火车同时从相距480千米的两个城市出发,相向而行,甲车每小时行驶40千米,乙车每小时行驶42千米;5小时后,两列火车相距多少千米适于五年级程度解：此题的答案不能直接求出,先求出两车5小时共行多远后,从两地的距离480千米中,减去两车5小时共行的路程,所得就是两车的距离;480-40+42×5=480-82×5=480-410=70千米答：5小时后两列火车相距70千米;例3.两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来,第一列火车每小时行驶60千米,第二列火车每小时行驶55千米;两车相遇时,第一列火车比第二列火车多行了20千米;求甲、乙两地间的距离;适于五年级程度解：两车相遇时,两车的路程差是20千米;出现路程差的原因是两车行驶的速度不同,第一列火车每小时比第二列火车多行60-55千米;由此可求出两车相遇的时间,进而求出甲、乙两地间的距离;60+55×20÷60-55=115×20÷5=460千米答：甲、乙两地间的距离为460千米;追及问题的要点及解题技巧一、多人相遇追及问题的概念及公式多人相遇追及问题,即在同一直线上,3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题;所有行程问题都是围绕""这一条基本关系式展开的,比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这两条公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可迎刃而解．二、多次相遇追及问题的解题思路所有行程问题都是围绕""这一条基本关系式展开的,多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这个公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1.两地相向出发：第1次相遇,共走1个全程；第2次相遇,共走3个全程；第3次相遇,共走5个全程；…………,………………；第N次相遇,共走2N-1个全程；注意：除了第1次,剩下的次与次之间都是2个全程;即甲第1次如果走了N 米,以后每次都走2N米;2.同地同向出发：第1次相遇,共走2个全程；第2次相遇,共走4个全程；第3次相遇,共走6个全程；…………,………………；第N次相遇,共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差火车过桥的要点及解题技巧一、什么是过桥问题火车过桥问题是行程问题的一种,也有路程、速度与时间之间的数量关系,同时还涉及车长、桥长等问题;基本数量关系是火车速度×时间=车长+桥长二、关于火车过桥问题的三种题型：1基本题型：这类问题需要注意两点：火车车长记入总路程；重点是车尾：火车与人擦肩而过,即车尾离人而去;如：火车通过一条长1140米的桥梁用了50秒,火车穿过1980米的隧道用了80秒,求这列火车的速度和车长;过桥问题一列火车通过800米的桥需55秒,通过500米的隧道需40秒;问该列车与另一列长384、每秒钟行18米的列车迎面错车需要多少秒钟火车相遇2错车或者超车：看哪辆车经过,路程和或差就是哪辆车的车长如：快、慢两列火车相向而行,快车的车长是50米,慢车的车长是80米,快车的速度是慢车的2倍,如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒,那么,坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少3综合题：用车长求出速度；虽然不知道总路程,但是可以求出某两个时刻间两人或车之间的路程关系如：铁路旁有一条小路,一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去,8点时追上向南行走的一名军人,15秒后离他而去,8点6分迎面遇到一个向北走的农民,12秒后离开这个农民;问军人与农民何时相遇例1.一列火车长150米,每秒钟行19米;全车通过长800米的大桥,需要多少时间解答列车过桥,就是从车头上桥到车尾离桥止;车尾经过的距离=车长+桥长,车尾行驶这段路程所用的时间用车长与桥长和除以车速;解：800+150÷19=50秒答：全车通过长800米的大桥,需要50秒;例2.一列火车长200米,以每秒8米的速度通过一条隧道,从车头进洞到车尾离洞,一共用了40秒;这条隧道长多少米解答先求出车长与隧道长的和,然后求出隧道长;火车从车头进洞到车尾离洞,共走车长+隧道长;这段路程是以每秒8米的速度行了40秒;解：1火车40秒所行路程：8×40=320米2隧道长度：320-200=120米答：这条隧道长120米;例3.一列火车长119米,它以每秒15米的速度行驶,小华以每秒2米的速度从对面走来,经过几秒钟后火车从小华身边通过解答本题是求火车车头与小华相遇时到车尾与小华相遇时经过的时间;依题意,必须要知道火车车头与小华相遇时,车尾与小华的距离、火车与小华的速度和;解：1火车与小华的速度和：15+2=17米/秒2相距距离就是一个火车车长：119米3经过时间：119÷17=7秒答：经过7秒钟后火车从小华身边通过;例1.某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米的铁桥用23秒,该列车与另一列长320米,速度为每小时行千米的火车错车时需要秒;解答火车过桥问题公式：车长+桥长/火车车速=火车过桥时间速度为每小时行千米的火车,每秒的速度为18米/秒,某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米的铁桥用23秒,则该火车车速为：250-210/25-23=20米/秒路程差除以时间差等于火车车速.该火车车长为：2025-250=250米。
行程问题ppt课件
Part
06
行程问题述：通过画图的方式，将行程问题中的信息以图形的方式呈现出来，有助 于直观地理解问题，找出关键信息，从而解决问题。
代数法
总结词：通用性强
详细描述：将行程问题中的未知数用代数式表示，通过设立方程或方程组来求解，这种方法通用性强，适用于各种行程问题 。
02 03
详细描述
追及问题涉及到两个物体在同一方向上移动，一个物体追赶另一个物体 直到它们相遇。这类问题需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们 之间的相对运动关系。
公式
距离 = 速度 × 时间
环形跑道问题
总结词
环形跑道问题主要研究在环形跑道上运动的物体之间的相对位置关系。
详细描述
在环形跑道问题中，物体在同一起点出发，沿着环形跑道运动，直到再次相遇。这类问题 需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们之间的相对运动关系。
Part
02
基础行程问题解析
匀速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度保持不变。
详细描述
匀速直线运动是速度恒定的运动，即单位时间内通过的距离相等。在匀速直线 运动中，速度、时间和距离之间的关系可以用公式表示为：速度 = 距离 / 时间。
匀加速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度逐渐增加。
详细描述
行程问题ppt课件
• 行程问题简介 • 基础行程问题解析 • 复杂行程问题解析 • 行程问题的数学模型 • 行程问题的实际应用 • 行程问题的解题技巧
目录
Part
01
行程问题简介
行程问题的定义
总结词
行程问题是指在一定条件下，寻找一条满足特定要求的旅行路线，通常需要考虑时间、 距离、成本等因素。
例谈一次函数图象之行程问题的解读
例谈一次函数图象之行程问题的解读王长平摘要：函数图象的解读，历来是初中生数学学习的难点之一.本文以一次函数图象中的行程问题为例，揭示了解读这类问题的方法.关键词：函数图象;行程问题;解读与函数图象有关的题型，是近年来中考考查的热点之一.解读函数图象，获取其中有效信息，是解决这类问题的关键.初中生由于生活知识储备和生活经验不够丰富，解读图象信息经常感到力不从心.笔者以一次函数图象中的有关行程问题为例，谈谈如何解读这类函数的图象.1坐标系中只有一个函数图象解读这类函数图象，首先必须搞清楚横轴和纵轴分别表示什么，明确自变量和函数;其次要通过观察图象，理清函数随着自变量取值的增加发生了怎样的变化.1.1路程是时间的函数在有关行程问题的一次函数图象中，最常见的就是路程是时间的函数.当速度一成不变时，图象是一条射线，学生比较好理解，这里不作解读.需要给学生解读的是其中速度有所改变的一类.例1（2016年山西省太原市七年级期中试题）小英每天骑车上学校，都是先上坡后下坡.小英行驶的路程y（单位：m）与行驶的时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图1，若从学校返回时上坡、下坡的速度与去时相同.求出小英从学校回到家的时间.解读题目中所有的信息都在图中.正确解读图象信息对解决问题至关重要.横轴表示小英从家行驶到学校的时间，纵轴表示小英行驶的路程.图中两条线段反映了路程随时间的变化不是一以贯之，而是分两个部分的.第一部分，小英骑车20分钟，行驶了2000米，这段路是上坡路，可算出其速度是100米/分钟;第二部分，小英骑车24-20=4分钟，行驶了6000-2000=4000米，这段路是下坡路，可算出其速度是1000米/分钟.返回时，原来的上坡路变成了下坡路，而原来的下坡路变成了上坡路.根据“返回时上坡、下坡的速度相同”，可算出返回的时间为：4000÷100+2000÷1000=42分钟.小英从学校回到家的时间是42分钟.本题中行驶的路程是行驶时间的函数，简单明了，学生易于解读.如果两车（或两人）之间的距离是时间的函数，这种类型的函数图象，初中生解读起来往往就有些困难的了.解读这类函数图象，有时用方程（或方程組）较方便，有时用函数图象解决方便，两种解读方法都要向学生介绍，给学生解题提供更多的方法选择.（收稿日期：2019-12-25）。
行程问题的解题技巧和方法
行程问题的解题技巧和方法介绍在日常生活中，我们经常面临行程安排的问题。
无论是规划旅行还是安排工作日程，合理的行程安排对我们的生活具有重要意义。
本文将介绍一些解决行程问题的技巧和方法，帮助读者更好地规划自己的行程。
行程问题的来源和类型行程问题通常分为两类：旅行行程问题和工作日程问题。
旅行行程问题涉及到如何合理地安排旅行路线、景点游览顺序、交通工具选择等；而工作日程问题则是关于如何合理安排工作任务、会议安排、时间分配等。
解决行程问题的技巧和方法以下是一些解决行程问题的技巧和方法，可以帮助读者更好地规划自己的行程。
旅行行程问题的解决技巧和方法1.确定旅行目的地和时间：首先需要明确旅行的目的地和出行的时间，这将有助于确定有关行程安排的其他要素。
2.研究目的地：了解目的地的景点、气候、交通等信息，帮助做出更明智的决策。
3.制定旅行路线：根据目的地景点的位置和开放时间，制定一个合理的旅行路线。
考虑景点之间的交通便利性、旅行时间等因素，避免来回折腾。
4.合理安排游览时间：根据景点的特点和自己的兴趣，合理安排游览时间，避免时间过长或过短。
5.选择合适的交通工具：根据旅行路线和自己的预算，选择合适的交通工具，如飞机、火车、汽车等。
同时，预先购买车票或订票有助于降低成本和提前规划行程。
6.考虑食宿问题：根据旅行路线，提前安排好合适的食宿，以免到达目的地后再苦苦寻找，浪费时间和精力。
工作日程问题的解决技巧和方法1.列出工作任务：首先将需要完成的工作任务列出来，并根据重要性和紧急程度进行排序。
2.估算任务完成时间：对每个工作任务估计所需的完成时间，以便更好地分配时间和优先处理。
3.合理分配时间：根据工作任务的紧急程度和时间估计，合理分配每天工作的时间段。
4.避免过度安排：不宜在同一时间段内安排过多的工作任务，以免无法有效完成。
5.留出灵活时间：在行程中留出一些灵活的时间，以应对可能的变动和突发事件。
6.合理安排会议和约会：将会议和约会集中在一天或几天内安排，以减少工作中的中断和时间浪费。
初一行程问题解题技巧
初一行程问题解题技巧
初一数学行程问题的解题技巧主要有以下几点：
1. 仔细阅读题目，找出已知条件：首先，需要清晰地理解问题，知道题目给出的条件是什么，要求解决什么问题。
这是解决任何数学问题的基础。
2. 画图分析：对于复杂的行程问题，可以通过画图的方式来清晰地表示出每个人或车辆的行程情况。
这样有助于更好地理解问题，找到解决的方法。
3. 设未知数：根据题目的描述，设立未知数。
例如，如果不知道某人的速度，就可以设他的速度为v。
4. 建立数学方程：根据题目中的等量关系，建立数学方程。
例如，如果两个人同时出发，但是一个人走得快，一个人走得慢，那么他们走的总路程就是速度乘以时间，根据这个等量关系就可以建立一个方程。
5. 解方程：使用代数方法解方程，找出未知数的值。
6. 检验答案：将找到的解代入原方程进行检验，确认答案的正确性。
同时也要注意检查答案是否符合题目的实际情况。
行程问题柳卡图
行程问题-柳卡图1、关于柳卡图在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。
轮船在途中所花的时间来去都是7昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。
问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”此题的叙述如下：每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？他先画了如下一幅图：这是一张运行图.画两条平行线，一条直线表示哈佛，另一条表示纽约.那么，从哈佛或纽约开出的轮船，可用图中的两组平行线簇来表示.图中每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）. 而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.2、在多次相遇里的行程问题应用多次相遇行程问题的必备工具一一柳卡图。
柳卡图，也称为折线图，可以很好的解决复杂的行程问题。
快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
初中数学专题行程问题
初中数学专题行程问题行程问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的问题。
常用的基本公式是：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度。
行程问题是个非常庞大的类型，多年来在考试中屡用不爽，所占比例居高不下。
下面我们将行程问题归类，由易到难，逐步剖析。
1.单人单程：例1：甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从80km/h提高到100km/h，运行时间缩短了3h。
甲，乙两城市间的路程是多少？分析】设甲，乙两城市间的路程为xkm，那么列车在两城市间提速前的运行时间为xxh，提速后的运行时间为h。
根据等量关系式，提速前的运行时间减去提速后的运行时间等于缩短的时间3h，列出方程80x/(100-80)-x/(100-80)=3，解得x=300km。
例2：某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s。
求火车的速度和长度。
分析】设火车的速度为x m/s，火车的长度为y m，用线段表示大桥和火车的长度，根据题意可画出示意图。
根据等量关系式，列出方程组60x=1000+y，40x=1000-y，解得x=25m/s，y=300m。
举一反三：1.XXX家和学校相距15km。
XXX从家出发到学校，XXX先步行到公共汽车站，步行的速度为60m/min，再乘公共汽车到学校，发现比步行的时间缩短了20min，已知公共汽车的速度为40km/h，求XXX从家到学校用了多长时间。
设XXX步行到公共汽车站的时间为t1 min，公共汽车行驶的时间为t2 min，则有15=60t1/1000+40t2/60，以及t1-t2=20，解得t1=40min，t2=20min，所以XXX从家到学校用了60min。
2.根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km。
小学奥数系列行程问题习题及详解
行程问题行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一（计算、数论、几何、行程）。
具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。
现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。
一般行程问题相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和行程问题几大题型追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差“火车过桥问题”“流水行船问题”“钟表问题”行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，基本数量关系如下：速度×时间=路程；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间。
注意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程÷总时间，而不是两个（或几个）速度相加再除以2。
行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。
涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题和领先问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。
但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度×时间=路程（路程÷时间=速度，路程÷速度=时间）。
在各类行程问题中进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗”，希望学习者能深入理解其中包含的数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。
相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和。
有关火车的行程问题解析
有关火车的行程问题解析
火车车长问题：
1）基本题型：这类问题需要注意两点：火车车长记入总路程；重点是车尾：火车与人擦肩而过，即车尾离人而去。
【例1】火车通过一条长_40米的桥梁用了50秒，火车穿过_80米的隧道用了80秒，求这列火车的速度和车长。
（过桥问题）
【例2】一列火车通过8_米的桥需55秒，通过5_米的隧道需40秒。
问该列车与另一列长384、每秒钟行_米的列车迎面错车需要多少秒钟？（火车相遇）
2）错车或者超车：看哪辆车经过，路程和或差就是哪辆车的车长
【例3】快、慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车的2倍，如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么，坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少？
3）综合题：用车长求出速度；虽然不知道总路程，但是可以求出某两个时刻间两人或车之间的路程关系
【例4】铁路旁有一条小路，一列长为1_米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，_秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北走的农民，_秒后离开这个农民。
问军人与农民何时相遇？
有关火车的行程问题解析.到电脑，方便收藏和打印：。
例析与一次函数有关的行程问题
依题意 。 １ｘ ５ ＝３ ０ ． ｘ ０ 得 ５ ＋４ ｘ ６ ０ 解得 ＝６． 所 以．两人相遇处离体育馆 的距离为 ６ｘ ０
１ ＝９０ 米 ） ５ ０（ ．
处追 上 了 乙．
点评 ： 法 １ 解 是与行程 问题有关 的一次 函
数试题 的常用方法 ， 易理解 ， 容 但计算量较大 ， 显得 比较烦琐 ． 解法 ２是在读懂 图象 提供信息 的基础 上 ， 助 于路 程 、 度 、 间之 间 的关 借 速 时
．
直线 Ａ Ｂ的 函数 关 系式 为 ｓ ＝一１０＋ ８ｔ
３０ ． ６ ｏ
解 法 ２ 从 图象可以看出 ： ： 父子俩从出发到 设父子俩相遇时． 小明走过的路程为 米．
里出发骑 自行 车以他 ３ 的速度给他送票 ， 倍 两 相遇共用 了 １ 分钟． ５
人在途 中相遇 ，相遇后小 明立 即坐父亲的 自行
系， 通过 列方程 使 问题 得 到巧妙地 解决 ， 此种 方法简捷 明了．
二 、 遇 问题 相
０１ ．
所以点 的坐标为（ ，０） １ ９ ０ ５ ．
设直线 Ａ Ｂ的函数关系式为 Ｓ Ｈ． ＝ ６（ ≠
由直线 Ａ Ｂ经过点 （，６ ０ 、 （５９０ ， ０ ３０ ）Ｂ １ ，０ ）
・ ． ．
运动员所跑 的路程 ，ｍ） ， 与比赛时间 （） 间的 （ ｓ之
关系 ， 根据图象解答下列 问题 ： （） １甲摔倒前 ，
追上 乙？
线段 Ｏ Ｄ的解析式为 ｙ ． ． ＝６ ｘ ４
设线段 Ｂ Ｃ的解析式为 ｙ ２ ． ＝ｋ ＋ｂ ｘ 把 （０２ ０ ，１０ ８ ０ 分别代 入 ｙ ｚ－ ４ ，０ ） （２ ， ） ０ ＝ｋ ４ ｘ－
解方 程组ｆ ６ｘ ｙ ４， ～
第一讲 行程问题
第一讲行程问题第一讲行程问题2010-12-28 10:54第一讲行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量×人数.工作量=工作效率×时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离= 甲的速度×时间-乙的速度×时间=（甲的速度-乙的速度）×时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6＝1.5（小时）.小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.城门离学校的距离是48×1.5＝72（千米）.答：学校到城门的距离是72千米.例2小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）·因此，小张走的距离是75× 20＝ 1500（米）.答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解一：自行车1小时走了30×1-已超前距离，自行车40分钟走了自行车多走20分钟，走了因此，自行车的速度是答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是15.自行车速度是35- 15＝ 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距离=甲的速度×时间+乙的速度×时间=（甲的速度+乙的速度）×时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例5小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是36÷（3＋1）＝9（分钟）.答：两人在9分钟后相遇.例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）.本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例7甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.解：先画一张行程示意图如下设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点（或E点）相遇所用时间是28÷5＝ 5.6（小时）.比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是12÷0.4＝30（千米/小时）.同样道理，乙的速度是16÷0.4＝40（千米/小时）.A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.答： A，B两地距离是 420千米.很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？解：（1）小张从 A到 B需要1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分钟）；当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分钟）.从出发到相遇的时间是25＋ 15＝ 40 （分钟）.（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走1÷2×60=30分钟，即他再走60分钟到达终点.小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.二、环形路上的行程问题人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.例9小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是500÷（220-180）＝12.5（分）.220×12.5÷500＝5.5（圈）.答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是80×3＝240（米）.240-60=180（米）.180×2＝360（米）.答：这个圆的周长是360米.在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60＝2（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了 6＋2=8（千米）.因此，他们的速度分别是小张10÷2＝5（千米/小时），小王8÷2=4（千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.例12小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？解：画示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3.5×3＝10.5（千米）.从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是10.5-2＝8.5（千米）.每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了3.5×7＝24.5（千米），24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.就知道第四次相遇处，离乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地点离乙村1千米.下面仍回到环行路上的问题.例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：12＋15＝27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.出发后2小时10分小张已走了此时两人相距24-（8＋11）=5（千米）.由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是5÷（4＋6）＝0.5（小时）.2小时10分再加上半小时是2小时40分.答：他们相遇时是出发后2小时40分.例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米0.30÷（5-3）＝15（秒）.因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒）.B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，，105，150，195，……再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是出发后30÷（10-5）=6（秒），以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要90÷（10-5）＝18（秒），A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，，78，96，…对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD 上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶CD所需时间是1.根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与P→C→B所用时间相等.PC上所需时间-PD上所需时间=DA所需时间-CB所需时间=18-12=6.而（PC上所需时间+PD上所需时间）是CD上所需时间24.根据“和差”计算得PC上所需时间是（24+6）÷2＝15，PD上所需时间是24-15＝9.现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M是PC 中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有BN上所需时间-AN上所需时间=P→D→A所需时间-CB所需时间=（9＋18）-12= 15.BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间=16.立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.三、稍复杂的问题在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：（1）在行程中能设置一个解题需要的点；（2）灵活地运用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？解：画一张示意图：图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要130÷2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是130＋65=195（分钟）＝3小时15分.答：小李从乙地到甲地需要3小时15分.上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观简明些.例17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”？姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？解：先画一张示意图设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成：骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.具体计算如下：不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家到A的距离是4个单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是1＋1.5＝2.5（单位）.每个单位是2000÷2.5＝800（米）.因此，从公园到家的距离是800×1.5＝1200（米）.答：从公园门口到他们家的距离是1200米.这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.例18 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B 到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？解：画一张示意图：设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是14÷（2＋3）＝2.8（小时）.慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.例19一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B 是3千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此顺水速度∶逆水速度=5∶3.由于两者速度差是8千米.立即可得出A至B距离是 12＋3=15（千米）.答：A至B两地距离是15千米.例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的解一：画出如下示意图：当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的到达D处，这样，D把第一段分成两部分时20分相当于因此就知道，汽车在第一段需要第二段需要30×3＝90（分钟）；甲、乙两市距离是答：甲、乙两市相距185千米.把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例8、例13也是类似思路，仅仅是问题简单些.还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2.时间一样.第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.因此，三段路程所用时间的比是5∶9∶2.汽车走完全程所用时间是80×2＝160（分种）.例21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？解：设原速度是1.％后，所用时间缩短到原时间的这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.用原速行驶需要同样道理，车速提高25％，所用时间缩短到原来的如果一开始就加速25％，可少时间现在只少了40分钟， 72-40＝32（分钟）.说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间真巧，320-160＝160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长答：甲、乙两地相距270千米.十分有意思，按原速行驶120千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有x∶120＝72∶32.五年级数学应用----行程问题五年级数学应用----行程问题2010-12-13 20:25一、基本知识（一）主要数量关系1.路程=速度×时间2.总路程=速度和×时间3.路程差=速度差×追击时间（二）行程问题的情形1.相向而行：相遇时间=距离÷速度和2.相背而行：相背距离=速度×时间3.同向而行：追及时间=追及距离÷速度差4.追及问题的数量关系是：速度差×追及时间=追及路程追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。
小学五年级奥数第36讲 火车行程问题(含答案分析)
第36讲火车行程问题一、专题简析：有关火车过桥、火车过隧道、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。
在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。
如果有些问题不容易一下子看出运动过程中的数量关系，可以利用作图或演示的方法来帮助解题。
解答火车行程问题可记住以下几点：1、火车过桥（或隧道）所用的时间=[桥（隧道长）＋火车车长]÷火车的速度；2、两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间=两火车车身长度和÷两车速度和；3、两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身长度和÷两车速度差。
二、精讲精练例1甲火车长210米，每秒行18米；乙火车长140米，每秒行13米。
乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。
甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？练习一1、一列快车长150米，每秒行22米；一列慢车长100米，每秒行14米。
快车从后面追上慢车到超过慢车，共需几秒钟？2、小明以每秒2米的速度沿铁路旁的人行道跑步，身后开来一列长188米的火车，火车每秒行18米。
问：火车追上小明到完全超过小明共用了多少秒钟？例2 一列火车长180米，每秒钟行25米。
全车通过一条120米的山洞，需要多长时间？练习二1、一列火车长360米，每秒行18米。
全车通过一座长90米的大桥，需要多长时间？2、一座大桥长2100米。
一列火车以每分钟800米的速度通过这座大桥，从车头上桥到车尾离开共用3.1分钟。
这列火车长多少米？例3 有两列火车，一车长130米，每秒行23米；另一列火车长250米，每秒行15米。
现在两车相向而行，从相遇到离开需要几秒钟？练习三1、有两列火车，一列长260米，每秒行18米；另一列长220米，每秒行30米。
现两列车相向而行，从相遇到相离需要几秒钟？2、一列火车长500米，要穿过一个长150米的山洞，如果火车每秒钟行26米，那么，从车头进洞到车长全部离开山洞一共要用几秒钟？例4 一列火车通过2400米的大桥需要3分钟，用同样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，只用了1分钟。
有关行程的图象信息题
有关行程的图象信息题
刘继征
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2014(000)012
【摘要】求解行程图象信息题时，首先分清两个坐标轴各表示哪个变量；其次，找出图象中的特殊点，并将图象中的图形信息转化为数字信息；第三，熟练运用待定系数法求函数解析式．现举例加以说明，供参考．
【总页数】2页(P24-25)
【作者】刘继征
【作者单位】山东省临清市北门里街颐清园小区19号楼7单元2楼西户,252600【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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小学奥数行程问题分类讨论
小学奥数行程问题分类讨论行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一计算、数论、几何、行程;具体题型变化多样,形成10多种题型,都有各自相对独特的解题方法;现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下,希望各位看过之后给予更加明确的分类;一、一般相遇追及问题;包括一人或者二人时同时、异时、地同地、异地、向同向、相向的时间和距离等条件混合出现的行程问题;在杯赛中大量出现,约占80%左右;建议熟练应用标准解法,即s=v×t结合标准画图基本功解答;由于只用到相遇追及的基本公式即可解决,并且要就题论题,所以无法展开,但这是考试中最常碰到的,希望高手做更为细致的分类;二、复杂相遇追及问题;1多人相遇追及问题;比一般相遇追及问题多了一个运动对象,即一般我们能碰到的是三人相遇追及问题;解题思路完全一样,只是相对复杂点,关键是标准画图的能力能否清楚表明三者的运动状态;2多次相遇追及问题;即两个人在一段路程中同时同地或者同时异地反复相遇和追及,俗称反复折腾型问题;分为标准型如已知两地距离和两者速度,求n次相遇或者追及点距特定地点的距离或者在规定时间内的相遇或追及次数和纯周期问题少见,如已知两者速度,求一个周期后,即两者都回到初始点时相遇、追及的次数;标准型解法固定,不能从路程入手,将会很繁,最好一开始就用求单位相遇、追及时间的方法,再求距离和次数就容易得多;如果用折线示意图只能大概有个感性认识,无法具体得出答案,除非是非考试时间仔细画标准尺寸图;一般用到的时间公式是只列举甲、乙从两端同时出发的情况,从同一端出发的情况少见,所以不赘述：单程相遇时间：t单程相遇=s/v甲+v乙单程追及时间：t单程追及=s/v甲-v乙第n次相遇时间：Tn= t单程相遇×2n-1第m次追及时间：Tm= t单程追及×2m-1限定时间内的相遇次数：N相遇次数= Tn+ t单程相遇/2 t单程相遇限定时间内的追及次数：M追及次数= Tm+ t单程追及/2 t单程追及注：是取整符号之后再选取甲或者乙来研究有关路程的关系,其中涉及到周期问题需要注意,不要把运动方向搞错了;简单例题：甲、乙两车同时从A地出发,在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶,已知甲车的速度是每小时30千米,乙车的速度是每小时20千米,问1第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙追及相遇2相遇时距离中点多少千米350小时内,甲乙两车共迎面相遇多少次三、火车问题;特点无非是涉及到车长,相对容易;小题型分为：1火车vs点静止的,如电线杆和运动的,如人s火车=v火车±v人×t经过2火车vs线段静止的,如桥和运动的,如火车s火车+s桥=v火车×t经过和s火车1+s 火车2=v火车1±v火车2×t经过合并1和2来理解即s和=v相对×t经过把电线杆、人的水平长度想象为0即可;火车问题足见基本公式的应用广度,只要略记公式,火车问题一般不是问题;3坐在火车里;本身所在火车的车长就形同虚设了,注意的是相对速度的计算;电线杆、桥、隧道的速度为0弱智结论;四、流水行船问题;理解了相对速度,流水行船问题也就不难了;理解记住1个公式顺水船速=静水船速+水流速度就可以顺势理解和推导出其他公式逆水船速=静水船速-水流速度,静水船速=顺水船速+逆水船速÷2,水流速度=顺水船速-逆水船速÷2,对于流水问题也就够了;技巧性结论如下：1相遇追及;水流速度对于相遇追及的时间没有影响,即对无论是同向还是相向的两船的速度差不构成“威胁”,大胆使用为善;2流水落物;漂流物速度=水流速度,t1= t2t1：从落物到发现的时间段,t2：从发现到拾到的时间段与船速、水速、顺行逆行无关;此结论所带来的时间等式常常非常容易的解决流水落物问题,其本身也非常容易记忆;例题：一条河上有甲、乙两个码头,甲码头在乙码头的上游50千米处;一艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶,两船的静水速度相同;客船出发时有一物品从船上落入水中,10分钟后此物品距客船5千米;客船在行驶20千米后掉头追赶此物品,追上时恰好和货船相遇;求水流速度;五、间隔发车问题;空间理解稍显困难,证明过程对快速解题没有帮助;一旦掌握了3个基本公式,一般问题都可以迎刃而解;1在班车里;即柳卡问题;不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成;如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易;例题：A、B是公共汽车的两个车站,从A站到B站是上坡路;每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车;已知从A站到B站单程需要105分钟,从B站到A站单程需要80分钟;问8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B 站开来的汽车2在班车外;联立3个基本公式好使;汽车间距=汽车速度+行人速度×相遇事件时间间隔------1汽车间距=汽车速度-行人速度×追及事件时间间隔------2汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔------31、2合并理解,即汽车间距=相对速度×时间间隔分为2个小题型：1、一般间隔发车问题;用3个公式迅速作答;2、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数;标准方法是：画图-尽可能多的列3个好使公式-结合s全程=v×t-结合植树问题数数;例题：小峰在骑自行车去小宝家聚会的路上注意到,每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰;小峰骑车到半路车坏了,于是只好坐出租车去小宝家;这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车,已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍,如果这3种车辆在行驶过程中都保持匀速,那么公交车站每隔多少分钟发一辆车六、平均速度问题;相对容易的题型;大公式要牢牢记住：总路程=平均速度×总时间;用s=v×t写出相应的比要比直接写比例式好理解并且规范,形成行程问题的统一解决方案;七、环形问题;是一类有挑战性和难度的题型,分为“同一路径”、“不同路径”、“真实相遇”、“能否看到”等小题型;其中涉及到周期问题、几何位置问题审题不仔细容易漏掉多种位置可能、不等式问题针对“能否看到”问题,即问甲能否在线段的拐角处看到乙;仍旧属于就题论题范畴,不展开了;八、钟表问题;是环形问题的特定引申;基本关系式：v分针= 12v时针1总结记忆：时针每分钟走1/12格,°;分针每分钟走1格,6°;时针和分针“半”天共重合11次,成直线共11次,成直角共22次都在什么位置需要自己拿表画图总结;2基本解题思路：路程差思路;即格或角分针=格或角时针+格或角差格：x=x/12+开始时落后时针的格+终止时超过时针的格角：6x=x/2+开始时落后时针的角度+终止时超过时针的角度可以解决大部分时针问题的题型,包括重合、成直角、成直线、成任意角度、在哪两个格中间,和哪一个时刻形成多少角度;例题：在9点23分时,时针和分针的夹角是多少度从这一时刻开始,经过多少分钟,时针和分针第一次垂直3坏钟问题;所用到的解决方法已经不是行程问题了,变成比例问题了,有相应的比例公式;这里不做讨论了,我也讨论不好,都是考公务员的题型,有难度;九、自动扶梯问题;仍然用基本关系式s扶梯级数=v人速度±v扶梯速度×t上或下解决最漂亮;这里的路程单位全部是“级”,唯一要注意的是t上或下要表示成实际走的级数/人的速度;可以PK掉绝大部分自动扶梯问题;例题：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子在行驶的扶梯上上下走动,女孩由下向上走,男孩由上向下走,结果女孩走了40级到达楼上,男孩走了80级到达楼下;如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍,则当该扶梯静止时,可看到的扶梯梯级有多少级十、十字路口问题;即在不同方向上的行程问题;没有特殊的解题技巧,只要老老实实把图画对,再通过几何分析就可以解决;十一、校车问题;就是这样一类题：队伍多,校车少,校车来回接送,队伍不断步行和坐车,最终同时到达目的地即到达目的地的最短时间,不要求证明分4种小题型：根据校车速度来回不同、班级速度不同班不同速、班数是否变化分类;1车速不变-班速不变-班数2个最常见2车速不变-班速不变-班数多个3车速不变-班速变-班数2个4车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图-列3个式子：1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间;2、班车走的总路程;3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间;最后会得到几个路程段的比值,再根据所求代数即可;此类问题可以得到几个公式,但实话说公式无法记忆,因为相对复杂,只能临考时抱佛脚还管点儿用;孩子有兴趣推导一下倒可以,不要死记硬背;简单例题：甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩,甲、乙两班的步行速度都是每小时4千米;学校有一辆汽车,它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生;为了使两班学生在最短时间内到达公园,那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米十二、保证往返类;简单例题：A、B两人要到沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水;如果不准将部分食物存放于途中,其中一个人最远可深入沙漠多少千米要求两人返回出发点这类问题其实属于智能应用题类;建议推导后记忆结论,以便考试快速作答;每人可以带够t天的食物,最远可以走的时间T1返回类;保证一个人走的最远,所有人都要活着回来1、两人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t;2、多人：没搞明白,建议高手补充;2穿沙漠类保证一个人穿过沙漠不回来了,其他人都要活着回来共有n人包括穿沙漠者即多人助1人穿沙漠类;1、中途不放食物：T≤2n/n+1×t;T是穿沙漠需要的天数;2、中途放食物：T=1+1/3+1/5+1/7+…+1/2n-1×t还有几类不甚常见的杂题,没有典型性和代表性,在此不赘述;希望大家完善以上的题型分类,因为奥数好玩;概念行程问题是反映物体匀速运动的应用题;行程问题涉及的变化较多,有的涉及一个物体的运动,有的涉及两个物体的运动,有的涉及三个物体的运动;涉及两个物体运动的,又有"相向运动"相遇问题、"同向运动"追及问题和"相背运动"相离问题三种情况;但归纳起来,不管是"一个物体的运动"还是"多个物体的运动",不管是"相向运动"、"同向运动",还是"相背运动",他们的特点是一样的,具体地说,就是它们反映出来的数量关系是相同的,都可以归纳为:速度×时间=路程;折叠编辑本段详述要正确的解答有关"行程问题"的应用题,必须弄清物体运动的具体情况;如运动的方向相向,相背,同向,出发的时间同时,不同时,出发的地点同地,不同地,运动的路线封闭,不封闭,运动的结果相遇、相距多少、交错而过、追及;两个物体运动时,运动的方向与运动的速度有着很大关系,当两个物体"相向运动"或"相背运动"时,此时的运动速度都是"两个物体运动速度的和"简称速度和,当两个物体"同向运动"时,此时两个物体的追击的速度就变为了"两个物体运动速度的差"简称速度差;当物体运动有外作用力时,速度也会发生变化;如人在赛跑时顺风跑和逆风跑;船在河中顺水而下和逆水而上;此时人在顺风跑是运动的速度就应该等于人本身运动的速度加上风的速度,人在逆风跑时运动的速度就应该等于人本身的速度减去风的速度;我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度会发现,顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度;同样比较"顺水而下"与"逆流而上",两个速度之间也相差着两个"水流的速度";折叠编辑本段公式折叠流水问题船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶逆,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫做流水问题;流水问题,是行程问题中的一种,因此行程问题中三个量速度、时间、路程的关系在这里将要反复用到.此外,流水行船问题还有以下两个基本公式:顺水速度=船速+水速;1逆水速度=船速-水速;2这里,船速是指船本身的速度,也就是在静水中单位时间里所走过的路程;水速,是指水在单位时间里流过的路程;顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程请注意单位名称统一;根据加减法互为逆运算的关系,由公式1可以得到:水速=顺水速度-船速,由公式2可以得到:水速=船速-逆水速度;船速=逆水速度+水速;这就是说,只要知道了船在静水中的速度,船的实际速度和水速这三个量中的任意两个,就可以求出第三个量;另外,已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式1和公式2,相加和相减就可以得到:船速=顺水速度+逆水速度÷2,水速=顺水速度-逆水速度÷2;时间速度=时间折叠火车过桥桥长+车长÷速度=时间桥长+车长÷时间=速度速度时间=桥长+车长折叠编辑本段例题折叠流水行船问题例:一只轮船从甲地开往乙地顺水而行,每小时行28 千米,到乙地后,又逆水航行,回到甲地;逆水比顺水多行2 小时,已知水速每小时4 千米;求甲乙两地相距多少千米分析:此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间,或者逆水速度和逆水的时间;已知顺水速度和水流速度,因此不难算出逆水的速度,但顺水所用的时间,逆水所用的时间不知道,只知道顺水比逆水少用2小时,抓住这一点,就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间,这样就能算出甲乙两地的路程;列式为28-4×2=20 千米20×2=40千米40÷4×2=5小时28×5=140 千米;综合式:28-4×2×2÷4×2×28折叠环形上的相遇问题例:甲、乙二人同时从起点出发,在环形跑道上跑步,甲的速度是每秒跑4米,乙的速度是每秒跑米,甲跑__________圈后,乙可超过甲一圈;分析:甲乙速度不变,由于时间一定,速度与路程成正比例;甲、乙速度比为5:6,甲、乙所行路程比也为5:6;甲乙路程相差一份,这一份代表一圈;由此可得,甲走5份,就走了5圈;折叠电梯问题例:商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子在行驶的扶梯上上下走动,女孩由下往上走,男孩由上往下走,结果女孩走了40级到达楼上,男孩走了80级到达楼下;如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍,则当该扶梯静止时,可看到的扶梯梯级有多少级分析:因为男孩的速度是女孩的2倍,所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同,在这段时间中,自动扶梯向上运行了80-40÷2=20级所以扶梯可见部分有80-20=60级;折叠发车问题例:小敏走在街上,注意到:每隔6分钟有一辆30路公交车从身后超过她,每隔2分钟,马路对面30路公交车迎面驶来,假设小敏步行速度一定,30路车总站发生间隔时间一定,问30路公交车每隔多久发一班车分析:解:设30路公交车速度为X,小敏行速为Y,30路公交车每隔Z分钟发一班车,则追距=XZ,由已知得下方程组:XZ/X-Y=6XZ/X+Y=2解上方程组,得Y=X/2XZ=6X-Y=6X-X/2=3XZ=3答:30路车每隔3分钟发一班车;折叠接送问题例:某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天,专家为了早些到厂,比平时提前一小时出发,步行去工厂,走了一段时间后遇到来接他的汽车,他上车后汽车立即调头继续前进,进入工厂大门时,他发现只比平时早到10分钟,问专家在路上步行了多长时间才遇到汽车设人和汽车都作匀速运动,他上车及调头时间不记分析:设专家从家中出发后走到M处如图1与小汽车相遇;由于正常接送必须从B→A→B,而题中接送是从B→M→B恰好提前10分钟;则小汽车从M→A→M刚好需10分钟;于是小汽车从M→A只需5分钟;这说明专家到M处遇到小汽车时再过5分钟,就是以前正常接送时在家的出发时间,故专家的行走时间再加上5分钟恰为比平时提前的1小时,从而专家行走了:60一5=55分钟;折叠追及问题例:甲、乙同时起跑,绕300米的环行跑道跑,甲每秒跑6米,乙每秒跑4米,第二次追上乙时,甲跑了几圈分析:甲第一次追上乙后,追及距离是环形跑道的周长300米;第一次追上后,两人又可以看作是同时同地起跑,因此第二次追及的问题,就转化为类似于求解第一次追及的问题;甲第一次追上乙的时间是:300÷2=150秒甲第一次追上乙跑了:6×150=900米这表明甲是在出发点上追上乙的,因此,第二次追上问题可以简化为把第一次追上时所跑的距离乘二即可,得甲第二次追上乙共跑了:900+900=1800米那么甲跑了1800÷300=6圈折叠相遇问题例:甲乙二人分别从A、B两地同时出发,并在两地间往返行走;第一次二人在距离B点400米处相遇,第二次二人又在距离B点100米处相遇,问两地相距多少米分析:1第一次二人在距离B点400米处相遇.说明第一次相遇时乙行400米.2甲、乙从出发到第二次相遇共行3个全程;从第一次相遇后时到第二次相遇他们共行2个全程;在这2个全程中甲行400+100=500米;说明甲在每个全程中行500/2=250米;3因此在第一次相遇时一个全程250+400=650米答:两地相距650米;折叠过桥问题例:某人步行的速度为每秒钟2米,一列火车从后面开来,越过他用了10秒钟,已知火车的长为90米,求列车的速度;分析:火车越过人时,车比人多行驶的路程是车长90米,追及时间是10秒,所以速度差是90÷10=9米/秒,因此车速是2+9=11米/秒;。
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6
t(小时)
乙 甲
10
乙 甲 10 甲 乙 3 t(小时) 作者： 图Mrchen 5 1 0 图6 2
t(小时)
0
2019/4/3
1
图4
3
t(小时)
0
1
S(千米)
B
甲
图1
t(小时)
图1表示甲从A出发，到B地后又返回A地；
AO C
S(千米)
甲
B
A
图2表示甲从A地出发，到B地休息1小时后 继续前至C地；
有关行程问题的图象信息题的解法
这类问题是中招中的常见题型，一般要注意以下两方面的问题： 1.正确解读图象.例如以下常见的几种图象含义为：（S表示 路程，t表示时间）
S(千米) S(千米) S(千米)
乙 甲
B
甲
图1
t(小时)
C
甲
10 0
图3
B AO A 0 23
图2
S(千米) S(千米) S(千米) t(小时)
t(小时)
0 23
图2
S(千米)
乙 甲
10 0
图3
图3表示甲、乙同时异地出发，甲在乙前 面10千米处，乙行走6小时追上甲；
6
t(小时)
2019/4/3
作者：Mrchen
2
S(千米)
乙 甲 0 1 3
t(小时)
图4表示甲、乙同地异时出发，甲比乙早 出发1小时，乙走后2小时追上甲；
图4
S(千米)
乙 甲 10
5
例2.(03年江苏盐城)一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程 与时间的函数图象如图所示.试根据图象，回答下列问题： （1）慢车比快车早出发______小时，快车追上慢车时行驶了______千米， 快车比慢车早________小时到达B地； （2）在下列3个问题中任选一题求解（多做不加分）。 y(千米) ①快车追上慢车需几个小时？ E C (B) ②求慢车、快车的速度。 快车 ③求A、B两地之间的路程。
2019/4/3 作者：Mrchen 4
解：（1）由图可以看出：自行车出发较早，早3个小时； 摩托车到达乙地较早，早3个小时． （2）对自行车而言：行驶的距离是80千米，耗时8个小时， 所以其速度是：80÷8＝10（千米/时）； 对摩托车而言：行驶的距离是80千米，耗时2个小时， 所以其速度是：80÷2＝40（千米/时）．
距离(千米) 30 25 20 15 10 5 A 0 1 2 3 4 5 6 F 时间(小时) B C D E
2019/4/3
作者：Mrchen
7
0
1
3 图5
图5表示甲、乙异地出发，甲在乙前面10 千米处，且甲比乙早出发1小时，乙走后2 小时追上甲；
t(小时)
S(千米)
10
甲 乙
图6表示甲、乙分别从相距10千米的两地同 时出发，2小时后相遇。
t(
作者：Mrchen
3
2.要学会根据图象提供的数据信息结合公式进行计算，同时 还要善于根据图象中的数量关系列方程、不等式或者求函数解 析式。有时若能利用图形的几何性质，往往能得到巧妙的解法。
C
B
A
D
（3）设表示自行车行驶过程的函数解析式为：y＝kx， ∵ x＝8时，y＝80， ∴ 80＝8k，解得k＝10， ∴ 表示自行车行驶的函数解析式为y＝10x； 设表示摩托车行驶过程的函数解析式为：y＝ax＋b， ∵ x＝3时，y＝0，而且x＝5时，y＝80； 0 3a b a 40 ∴ ，解得
B
例1.如图表示一骑自行车者和一骑摩托车 者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函 数图像（分别为正比例函数和一次函 数）．两地间的距离是80千米．请你根据 图像回答或解决下面的问题：
A
D C
（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到到达乙地较早？早到多少时间？ （2）两人在途中行驶的速度分别是多少？ （3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写 出自变量的取值范围）； （4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中且①自行车行驶在摩托车前面； ②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面． （02年河北省中考 改编）
276
P 慢车 F
解:(1)由图象可知:慢车比快车早出发2小时，快车 追上慢车时行驶了276千米，快车比慢车早4小时 到达。
(A ) 0
2
D
14 18
x(小时)
276 (2)解法1：设快车经过t小时追上慢车，有图象可知快车的速度为每小时 千米 t
276 慢车的速度为每小时 t 2
千米。
276 276 18 ( 14 2 ) 又因为它们所走的路程相等，所以 t 2 t
80 5a b
b 120
表示摩托车行驶过程的函数解析式为y＝40x－120． y＝10x （4）解方程组 ， 得：x=4,y=5, y＝40x－120 再由图象可知当在3＜x＜5时间段内两车均行驶在途中，其中 当3＜x＜4时，自行车行驶在摩托车的前面；当x=4时自行车与 2019/4/3 作者：Mrchen 摩托车相遇；当4＜x＜5时，自行车行驶在摩托车的后面。 ∴
解得：t=4(小时)，V慢=276÷（2+4）=46（千米/小时），V快=276÷4=69 2019/4/3 作者： Mrchen （千米）。 （千米 /小时），A、B间的路程为69 ×12=828
6
练一练
1. (04哈尔滨市)小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离 家的距离y（千米） 与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象. （1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此 时离家多远？ （2）求小明出发两个半小时离家多远？ （3）求小明出发多长时间距家12千米？