偏微分方程求解例题

偏微分方程数学考试试题

偏微分方程数学考试试题
1. 求解以下偏微分方程：
a. $ \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} $
b. $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 5 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
c. $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
2. 考虑以下边界条件问题：
$ u(0,t) = 0 $
$ u(1,t) = 2t $
$ u(x,0) = \sin(\pi x) $
求解该问题的解析解。

3. 对于给定的偏微分方程，尝试通过变量分离的方法求解。

证明解的唯一性。

4. 考虑一维热传导方程：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
其中 $ \alpha $ 是热扩散系数。

解释在不同参数 $ \alpha $ 下方程的行为和性质。

5. 讨论偏微分方程的数值解法，比较有限差分法和有限元法的优缺点并举例说明。

6. 推导一维波动方程的解，并给出波动方程的初边值问题求解方法。

7. 请给出二阶常系数齐次线性偏微分方程的通解形式，并解释其中
每一个参数的物理意义。

8. 推导热传导方程的一维解，并讨论热源对温度分布的影响。

以上就是本次数学考试试题，请同学们认真作答，加油！。

2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案

2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案在2024年的考研数学试卷中，偏微分方程题目一直是考生们关注和备考的重点。

本文将详细解析2024年考研数学偏微分方程题目，并提供详细的解答和答案。

一、第一题题目描述：给定二阶常系数线性偏微分方程 $\frac{{\delta^2u}}{{\delta x^2}} + c\frac{{\delta u}}{{\delta t}} + ku = f(x, t)$，其中 $u = u(x, t)$ 为未知函数，$c, k$ 为常数，$f(x, t)$ 为已知连续函数。

要求求解此偏微分方程。

解析：根据题目所给的偏微分方程可知，我们需要求解二阶常系数线性偏微分方程。

此类方程的典型特点是对时间 $t$ 的导数项和对空间$x$ 的二阶导数项。

我们可以采用特征线法来求解此类方程。

首先，我们设方程的通解形式为 $u(x, t) = X(x)T(t)$，其中$X(x)$ 和 $T(t)$ 分别是 $x$ 和 $t$ 的函数。

将通解带入方程中得到：$\frac{{X''}}{{X}} + c\frac{{T'}}{{T}} + k = \frac{{f(x, t)}}{{XT}}$由于方程的左侧只与 $x$ 有关，右侧只与 $t$ 有关，故两侧等于某个常数 $-\lambda$。

得到两个常微分方程：$X'' + \lambda X = 0$ 和 $T' + \left(c -\lambda\right) T = 0$对于方程 $X'' + \lambda X = 0$，根据 $\lambda$ 的值分为三种情况讨论：1. 当 $\lambda > 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)$。

2. 当 $\lambda = 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = Ax + B$。

(完整word版)偏微分方程数值解习题解答案

L试讨论逼近对蘇程詈+若。

的差分沁1)2)q1 二：行口匚1）解：设点为（X ? ，/曲）屮则町=讥心厶）=班勺厶+J + °（工心）（Y ）+0（F ）.ot所以截断误差为：3E=丄 ------ + ---- 「 T h 啰_喟+竺护一 o （F ）T= 0（T + 力”2）解：设点为：（X y ，/林1 ） 3则町=讥勺,_）=以E ，_+1）+ （Y ） +o （巧卩 ot “；：；=班心+1 厶+i ）=叽厶+i ）+滋（ h ）+ * 臥工心）（为 2）+o ox (X)d心;=班心亠心）=班心，/+1）+敕:;D （一力）+ 3 役;D（血 2）+0（亥2）«截断误差为：2舟A 1 ” E= ------------ + ------------ — （―+ _） T h dt dx叭：=班％厶+i ）+敗？心）（_勿+0 @2）〜dx-(史+空八dt dx 呼1_吋】+竺丛Q —O （X ）-(叱 3 +dtdx 22・试用积分插值法推导知铁。

逼近的差分裕式班勺厶叙）一班勺，乩i）+ ——-——£）dtTq2 “-” *\ | (— 4- —)dxdt = | (un t 4- un x)ds = 0* dt & \得-U] /J+U2 r+x^ A-u4 r = 0+JE (j-l? n)F (j,n)G (j^n+l)H (j-l,n+l)^% ~ 的=旳=竹“4 = W/-lMf MTh=h T-T-ll"h + LL r H + ll：4h —LL：N =Op第二章第三章第四章第五章第六章P781.如果①'（0）二0,则称工。

是』（0）的驻点（或稳定:点）-设矩阵A对称（不必正定），求证忑是』（工）的驻点.的充要条件是1心是方程加二&的解B 42・试用积分插值法推导知铁。

逼近的差分裕式证：充分性：①⑻二J 缶)+ 乂(加° -b t ^+—(Ax r x)①'(Ji) = (Ax c - A, x) + A{Ax r x) aEff))S 宀沪若①0)二Q,即(山° 一氛对=0 心怎宀A X Q -h = ()目卩 Ax-b^则帀是方程Ax^b 的解卩必要性*若心是芳程A^ = b^\解则 Ax a —h - 0 (J 4X 0 — Z?,x) = 0+^◎ (0)=(吐命-b t x) - 0+J所以町是』0)的驻点dpg%3：证明非齐次两点边值间题心現(&)二 e it (E)二 Qu与T 7面的变分间题等价：求血EH 】，认@) = G 使 J(w t ) = min J(y)其中心SiuHU (2)-d』(#) =壬仗站)-(7» —芒⑹戲(D) +而久込叭如(2.13)(提示；先把边值条件齐衩化)+d dxO 字)+梓二/ ax13页证明：令 = w(x) + v(x)其中 w(x) = Q + (x-a)0 w(a) = a yv @) = “v(a) = 0 v(^>) = 0®所以2S = 瞥+qu = j DX DX Pd r /w 血、《, 乂、 f"丁〔P(T + ：F)]+Q(W + V )" ax dx ax* 丫 d z dv. 产 / d dw 、豪令 = - — O —) +(?v = /-(- —^> — +^w) = y;^ ax ax dx ax 所以(1)的等价的形式2厶” =一?0 字)= 卩ax axu(a) = a u\b) = 0a其中久=/-(-£■去字+0W )"ax ax 则由定理22知，讥是辺值间题（2）的解的充要条件是且满定变分方程"ogf)-C/i 小 0 Vve^Pr (Zv> 一 /j )tdx + p @»： (b)f @) ① W = J(u) = J(u.+^)^— a （u^ + 兔，以.+ 无）一（/,功・ +加）［以・（E ）+加@）］ 2 □2=J(认)+ N[a@・,f)-(/,£)-+乙agd-Qfm 沁卜• Q dx dx 「（加•一/）加x +卩@加：（砂@）-卩@）戊@） Ja（3） => （4）所以可证得• 3必要性：若如是边值间题（1）的解。

偏微分方程数值解法题解

偏微分方程数值解法（带程序）例1 求解初边值问题22,(0,1),012,(0,]2(,0)12(1),[,1)2(0,)(1,)0,0u ux t t x x x u x x x u t u t t ⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩∂∂=∈>∂∂∈=-∈==>要求采用树脂格式 111(2)n n n n nj j j j j u u u u u λ++-=+-+，2()tx λ∆=∆，完成下列计算：（1）取0.1,0.1,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

（2）取0.1,0.5,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

（3）取0.1, 1.0,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

并与解析解22()22181(,)sin()sin()2n t n u n x t n x e n ππππ∞-==∑进行比较。

解：程序function A=zhongxinchafen(x,y,la) U=zeros(length(x),length(y)); for i=1:size(x,2)if x(i)>0&x(i)<=0.5 U(i,1)=2*x(i); elseif x(i)>0.5&x(i)<1 U(i,1)=2*(1-x(i)); end endfor j=1:length(y)-1for i=1:length(x)-2U(i+1,j+1)=U(i+1,j)+la*(U(i+2,j)-2*U(i+1,j)+U(i,j)); end endA=U(:,size(U,2))function u=jiexijie1(x,t) for i=1:size(x,2) k=3;a1=(1/(1^2)*sin(1*pi/2)*sin(1*pi*x(i))*exp(-1^2*pi^2*t));a2=a1+(1/(2^2)*sin(2*pi/2)*sin(2*pi*x(i))*exp(-2^2*pi^2*t));while abs(a2-a1)>0.00001a1=a2;a2=a1+(1/(k^2)*sin(k*pi/2)*sin(k*pi*x(i))*exp(-k^2*pi^2*t));k=k+1;endu(i)=8/(pi^2)*a2;endclc; %第1题第1问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.001:t1];y2=[0:0.001:t2];y3=[0:0.001:t3];la=0.1;subplot(131)A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u3,'color','b','linewidth',1); title('例1(1)');subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解');subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第2问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.005:t1];y2=[0:0.005:t2];y3=[0:0.005:t3];la=0.5;subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(2)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第3问 clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.01:t1];y2=[0:0.01:t2];y3=[0:0.01:t3];la=1.0; subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold on line(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2) line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3) line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(3)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解'); 运行结果：表1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解例2 用Crank-Nicolson 格式完成例1的所有任务。

偏微分方程数值解法题解

偏微分方程数值解法（带程序）例1 求解初边值问题22,(0,1),012,(0,]2(,0)12(1),[,1)2(0,)(1,)0,0u ux t t x x x u x x x u t u t t ⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩∂∂=∈>∂∂∈=-∈==>要求采用树脂格式 111(2)n n n n nj j j j j u u u u u λ++-=+-+，2()tx λ∆=∆，完成下列计算：（1）取0.1,0.1,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

（2）取0.1,0.5,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

（3）取0.1, 1.0,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

并与解析解22()22181(,)sin()sin()2n t n u n x t n x e n ππππ∞-==∑进行比较。

解：程序function A=zhongxinchafen(x,y,la) U=zeros(length(x),length(y)); for i=1:size(x,2)if x(i)>0&x(i)<=0.5 U(i,1)=2*x(i); elseif x(i)>0.5&x(i)<1 U(i,1)=2*(1-x(i)); end endfor j=1:length(y)-1for i=1:length(x)-2U(i+1,j+1)=U(i+1,j)+la*(U(i+2,j)-2*U(i+1,j)+U(i,j)); end endA=U(:,size(U,2))function u=jiexijie1(x,t) for i=1:size(x,2) k=3;a1=(1/(1^2)*sin(1*pi/2)*sin(1*pi*x(i))*exp(-1^2*pi^2*t));a2=a1+(1/(2^2)*sin(2*pi/2)*sin(2*pi*x(i))*exp(-2^2*pi^2*t));while abs(a2-a1)>0.00001a1=a2;a2=a1+(1/(k^2)*sin(k*pi/2)*sin(k*pi*x(i))*exp(-k^2*pi^2*t));k=k+1;endu(i)=8/(pi^2)*a2;endclc; %第1题第1问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.001:t1];y2=[0:0.001:t2];y3=[0:0.001:t3];la=0.1;subplot(131)A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u3,'color','b','linewidth',1); title('例1(1)');subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解');subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第2问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.005:t1];y2=[0:0.005:t2];y3=[0:0.005:t3];la=0.5;subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(2)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第3问 clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.01:t1];y2=[0:0.01:t2];y3=[0:0.01:t3];la=1.0; subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold on line(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2) line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3) line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(3)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解'); 运行结果：表1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解例2 用Crank-Nicolson 格式完成例1的所有任务。

偏微分方程求解例题

偏微分方程求解例题下面是一个求解偏微分方程的例题:问题：求解以下偏微分方程:$abla^2u=f(x,y,z)$解法:首先，我们需要对偏微分方程进行化简。

可以通过选择适当的变量代换或积分方法来实现。

这里，我们选择采用变量代换法，将偏微分方程化简为:$abla^2u=f(x,y,z)$$ightarrowabla^2u=u_x^2+u_y^2+u_z^2-f$$u_x=Acos(x)+Bsin(x)$,$u_y=Asin(y)+Bcos(y)$,$u_z=Ccos(z)+Ds in(z)$$ightarrowabla^2u=A^2cos^2(x)+B^2sin^2(x)+C^2cos^2(z)+D^2sin^2(z)-f$ $u_x=Acos(x)$,$u_y=Bsin(y)$,$u_z=Ccos(z)$$ightarrowabla^2u=A^2cos^2(x)+B^2sin^2(x)+C^2cos^2(z)+D^2sin^2(z)-f$ 将上述化简后的偏微分方程再次化简，得到:$abla^2u=A^2cos^2(x)+B^2sin^2(x)+C^2cos^2(z)+D^2sin^2(z)-f$ $ightarrowabla^2u=frac{1}{r^2}frac{partial}{partialr}(r^2frac{partial u}{partialr})+frac{1}{rsintheta}frac{partial}{partialtheta}(sinthetafrac{partial u}{partialtheta})+frac{1}{sin^2theta}frac{partial^2 u}{partialz^2}-frac{f}{r^2sin^2theta}$其中，$r=sqrt{x^2+y^2+z^2}$,$theta=frac{pi}{2}-x$现在我们可以对上述偏微分方程求解。

考虑到该偏微分方程属于椭圆型偏微分方程，可以使用椭圆型偏微分方程的通解公式求解。

2024年考研高等数学一偏微分方程概念与方法历年真题

2024年考研高等数学一偏微分方程概念与方法历年真题一、简介偏微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术领域。

作为考研高等数学的一部分，偏微分方程是必考的内容之一。

本文将对2024年考研高等数学一偏微分方程概念与方法历年真题进行分析和讨论。

二、问题一【2023年考研高等数学一真题】设u(x, t)为一个具有连续偏导数的二元函数，满足偏微分方程：∂u/∂t + ∂u/∂x = 0其中x为实数，t为正实数。

已知初始条件为u(x, 0) = sin(x)，求解u(x, t)。

解答：根据题目中的偏微分方程和初始条件，可以使用分离变量法对该问题进行求解。

假设u(x, t)的解为u(x, t) = X(x)T(t)，其中X(x)为只与x 相关的函数，T(t)为只与t相关的函数。

代入偏微分方程，得到：X'(x)T(t) + X(x)T'(t) + X(x)T(t) = 0整理后，得到两个关于X(x)和T(t)的方程：X'(x)/X(x) = -T'(t)/T(t) = λ对于X(x)的方程，得到X'(x)/X(x) = λ，即X'(x) - λX(x) = 0。

求解该常微分方程得到X(x) = C1e^(λx)，其中C1为常数。

由于要满足题目中给出的初始条件u(x, 0) = sin(x)，可以得到X(x) = sin(x)。

对于T(t)的方程，得到T'(t)/T(t) = -λ。

求解该常微分方程得到T(t) = C2e^(-λt)，其中C2为常数。

将X(x)和T(t)代入u(x, t) = X(x)T(t)，得到：u(x, t) = (C1sin(x))(C2e^(-λt))由于X(x)和T(t)的函数形式已经确定，我们只需要确定C1、C2和λ的值即可。

根据初始条件u(x, 0) = sin(x)，可以得到C1 = 1。

由于t为正实数，所以C2e^(-λt)不能为0。

偏微分例题

当涉及到偏微分时，以下是一个例子：问题：考虑函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，计算f 对x 和y 的偏导数。

解答：要计算函数f 对x 的偏导数，我们将y 视为常数，只关注x。

同样，要计算f 对y 的偏导数，我们将x 视为常数，只关注y。

对x 求偏导数：∂f/∂x = ∂/∂x (x^2 + 2xy + y^2)= ∂/∂x (x^2) + ∂/∂x (2xy) + ∂/∂x (y^2)= 2x + 2y(∂x/∂x) + 0 (注意∂x/∂x = 1，因为x 对自身的偏导数为1)= 2x + 2y对y 求偏导数：∂f/∂y = ∂/∂y (x^2 + 2xy + y^2)= ∂/∂y (x^2) + ∂/∂y (2xy) + ∂/∂y (y^2)= 0 + 2x(∂y/∂y) + 2y (注意∂y/∂y = 1，因为y 对自身的偏导数为1)= 2x + 2y因此，函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 对x 和y 的偏导数分别为：∂f/∂x = 2x + 2y∂f/∂y = 2x + 2y这就是函数f 对x 和y 的偏导数的计算结果。

当谈及偏微分方程的例题时，以下是一个简单的例子：考虑一个二维热传导问题，假设有一块均匀导热的平板，其温度分布由偏微分方程描述：∂u/∂t = k (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u(x, y, t) 是时间t、位置(x, y) 处的温度，k 是热传导系数。

现在，假设该平板在x 轴方向上的长度为L，y 轴方向上的长度为H。

给定边界条件如下：u(0, y, t) = 0, 0 ≤ y ≤ H （左边界）u(L, y, t) = 0, 0 ≤ y ≤ H （右边界）u(x, 0, t) = 0, 0 ≤ x ≤ L （下边界）u(x, H, t) = f(x, t), 0 ≤ x ≤ L （上边界）其中f(x, t) 是给定的边界条件函数。

偏微分方程应用考试试题

偏微分方程应用考试试题题目一：1. 一个热传导问题：矩形金属板的热传导方程为∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)，其中 u(x,y,t) 表示温度分布， x，y 为空间变量， t 为时间变量, α 是一个正常数。

如果矩形板的边界满足以下条件:u(0,y,t) = 100, u(L,y,t) = 200, 0 ≤ y ≤ H, 0 ≤ t，(1)∂u/∂y(x,0,t) = 0，∂u/∂y(x,H,t) = 0，0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t，(2)u(x,y,0) = 0，0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ H，(3)其中 L 和 H 是正常数。

(a) 在给定的边界条件和初始条件下，求出热传导问题的解 u(x,y,t)。

(b) 求出 u(x,y,t) 在 y = H/2 处的时间变化情况。

(c) 使用有限差分方法求出 u(x,y,t) 的近似解。

2. 一个扩散问题：一维扩散方程为∂u/∂t = D * ∂²u/∂x²，其中 u(x,t) 表示某物质在空间 x 处的浓度分布，时间 t 为时间变量， D 是该物质的扩散系数。

如果在给定边界条件和初始条件下，扩散问题的解为：u(x,t) = A * exp(-α² * D * t) * sin(α * x + φ),其中 A，α 和φ 是常数。

(a) 求解上述扩散问题的边界条件和初始条件。

(b) 给定某初始条件，在一定时间范围内，描述u(x,t) 的变化情况。

题目二：1. 一个波动方程问题：一维波动方程为∂²u/∂t² = c² * ∂²u/∂x²，其中 u(x,t) 表示波动的振幅， x 为空间变量，t 为时间变量, c 是波速。

如果波动问题的解为：u(x,t) = A * sin(k * x - ω * t + φ),其中 A，k，ω 和φ 是常数。

现代偏微分方程题

现代偏微分方程题现代偏微分方程是数学中的重要分支，研究的是包括空间和时间上的变量的方程。

这些方程在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用，可以描述各种现象和过程。

本文将以三个经典的现代偏微分方程为例，介绍它们的基本概念、主要性质和应用。

第一个经典的现代偏微分方程是热传导方程。

它描述了物体内部的温度分布随时间的变化。

在一维情况下，热传导方程可以写为：∂u/∂t=α∂²u/∂x²其中，u(x,t)是温度函数，x是空间变量，t是时间变量，α是热扩散系数。

这个方程的解决方法是通过分离变量并应用初始条件和边界条件来得到。

热传导方程的应用非常广泛。

例如，在工程学中，可以用来模拟热处理过程中金属的温度变化；在天气预报中，可以描述大气层中的温度分布。

此外，还可以用来研究传热现象、热力学平衡等问题。

第二个经典的现代偏微分方程是波动方程。

它描述了波的传播过程，如声波、光波等。

一维情况下的波动方程可以写为：∂²u/∂t²=c²∂²u/∂x²其中，u(x,t)是波函数，c是波速。

波动方程的解决方法是通过分离变量并应用初始条件和边界条件来得到。

波动方程常用于描述声学、光学等领域中波的传播过程。

例如，在声学中，可以用来模拟音波在空气中的传播；在光学中，可以用来研究光在介质中的传播。

此外，还可以应用于地震学、电磁学等领域。

第三个经典的现代偏微分方程是扩散方程。

它描述了物质的浓度分布随时间的变化，例如扩散过程中的溶质浓度。

扩散方程可以写为：∂u/∂t=D∂²u/∂x²其中，u(x,t)是物质浓度函数，D是扩散系数。

扩散方程的解决方法通常是应用初始条件和边界条件来求解。

扩散方程在生物学、化学等领域中有广泛的应用。

例如，在生物学中，可以用来研究细胞内物质的扩散过程；在化学反应中，可以描述反应物浓度随时间和空间的变化。

此外，还可以应用于环境科学、材料科学等领域。

偏微分方程数值解例题答案

二、改进的Euler 方法梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(y x f 的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler 公式求得一个初步的近似值1+n y ,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1+n y ,即将1+n y 校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler 方法:预测: ),,(1n n n n y x hf y y +=+ 校正:)].,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y(1.15)这个计算公式也可以表示为11(,),(,),1().2p n n nc n n p n p cy y hf x y y y hf x y y y y ++⎧=+⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩例1 取步长0.1h =，分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题d (1),01,d (0) 1.yy xy x xy ⎧=-+≤≤⎪⎨⎪=⎩ 解这个初值问题的准确解为()1(21)xy x e x =--. 根据题设知).1(),(xy y y x f +-=(1) Euler 方法的计算式为)],1([1.01n n n n n y x y y y +⨯-=+由1)0(0==y y , 得,9.0)]101(1[1.011=⨯+⨯⨯-=y,8019.0)]9.01.01(9.0[1.09.02=⨯+⨯⨯-=y这样继续计算下去，其结果列于表9.1.(2) 改进的Euler 方法的计算式为110.1[(1)],0.1[(1)],1(),2p n n n n c n p n p n p c y y y x y y y y x y y y y ++⎧=-⨯+⎪=-⨯+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩由1)0(0==y y ，得110.1[1(101)]0.9,10.1[0.9(10.10.9)]0.9019,1(0.90.9019)0.900952p c y y y ⎧=-⨯⨯+⨯=⎪⎪=-⨯⨯+⨯=⎨⎪⎪=+=⎩ 20.900950.1[0.90095(10.10.90095)]0.80274,0.900950.1[0.80274(10.20.80274)]0.80779,1(0.802740.80779)0.805262p c y y y ⎧=-⨯⨯+⨯=⎪⎪=-⨯⨯+⨯=⎨⎪⎪=+=⎩ 这样继续计算下去，其结果列于表9.1.从表9.1可以看出,Euler 方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler 方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler 方法的精度比Euler 方法高.例2 试用Euler 方法、改进的Euler 方法及四阶经典R-K 方法在不同步长下计算初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤+-=1)0(,10),1(d d y x xy y xy在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果.解对上述三种方法,每执行一步所需计算)1(),(xy y y x f +-=的次数分别为1、2、4。

chapter1偏微分方程定解问题

第一章．偏微分方程定解问题偏微分方程：是指含有多元的未知函数u u(x) , ( , , , )x 及其若干阶偏导数的关式x1 x x n2u u u u 。

（1）F(x,u, , ,..., ,..., ) 0mx x x n x x x1 2 1 2m m mn1 2 n其中，最高阶导数的阶数m 1 为方程的阶。

我们把从物理问题中导出的偏微分m m m2 n方程、常微分方程、积分方程称为数学物理方程。

如果（1）式中与u(x) 有关的部分是u 及u 的偏导数的线性组合，则称方程（1）是线性偏微分方程。

偏微分方程的解：如果多元函数u( , ,, ) 在空间区域V 内具有方程中出现的各阶连x1 x x n Rn2续偏导数，并使（1）式成为恒等式，则称此函数为方程（1）在区域V 内的解或称古典解。

1.1 数理方程中的三个典型方程1.1.1 数理方程中的三个典型方程：2ua u f (t, x) （波动方程）2t2发展方程ua u f (t, x) （热传导方程）2t x ),nn1,2,3稳态方程: x ,u f ( ) （场位方程）x (x ,x ,1 21.2 定解问题及其适定性：1.2.1 通解和特解偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如：例1.2.1：求解二阶偏微分方程 2 0u ，u u(,) 。

解：两边依次对，积分，得u ，f () g()对于任意C ( )函数f 和g ，都是方程在全平面的解。

1 R#称m 阶偏微分方程的含有m 个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或某些任意函数为常数的解为方程的一个特解。

通解中的任意函数一旦确定，通解就成了特解。

对于一般的偏微分方程，找出通解非常困难。

但我们可以根据方程的物理背景或数学特点，找出某些特定形式的特解来满足实际需要。

例如，根据解析函数的实、虚部是调和函数，即可得到二维Lapl a ce 方程0 u ，周期解u e y ，多项式解u 的中心对称解 ln 1 (r 0)x sin2ru 等。

偏微分方程习题精练2 PPT

f1 f1
(2x) (1)
f2 (0) 1
f2 (2x 1)
(x),
2 (
x),
f1(1)
f2 (0)
1
(
1 2
)
2
(
1 2
)
,
即
f1(2x) 1(x) f2 (2x 1) 2
f2 (0), (x) f1(1),
从而
f1
(
X
)
1
(
X 2
)
f 2 (0),
f
2
(Y
)
2
(
Y
2
g[(1 )x] u1( )d
x0
c1
③
x
(1 ) f [(1 )x] (1 )g[(1 )x] (1 2 ) u1( )d c ④
x0
①，④联立，求得
X
f
(X
)
1
2
X
u0
( 1
)
1
2
2
1
u1 ( )d
x0
c 2
,
Y
g(Y )
1
2
Y
u0
( 1
)
1
2
2
1
u1 ( )d
x0
利用这一性质，我们可以求解第四问题
u 0,
u 0 (),
(0 )
u 1 (),
0 (0) 1 (0).
此时得到的是级数形式的解.
2.高维波动方程初值问题的Poisson 公式与降维法
(1)Poisson公式的应用
Poisson 公式给出了波动方程 Cauchy
问题解的表达式，直接利用 Poisson 公式求

初次接触偏微分的应用练习题

初次接触偏微分的应用练习题偏微分方程是数学中的重要概念，它在科学、工程和经济等领域中有广泛的应用。

为了帮助大家更好地理解和掌握偏微分方程的应用，本文将介绍一些偏微分方程的练习题，并给出详细的解答过程。

练习题一：热传导方程考虑一个一维的热传导问题，假设一个长为L的金属棒，两端被恒定温度T1和T2的热源加热。

设该金属棒的热传导满足热传导方程：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中u(x,t)表示金属棒上的温度分布，α为热传导系数。

问题1：金属棒的初始温度分布为u(x,0) = f(x)，求解金属棒上的温度分布u(x,t)。

解答1：根据问题的条件，我们可以得到以下方程：∂u/∂t = α∂²u/∂x²u(x,0) = f(x)根据偏微分方程的特点，我们可以尝试使用分离变量法进行解答。

假设u(x,t)的解可以表示为u(x,t) = X(x)T(t)，则可得到以下两个常微分方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)将常微分方程进行分离变量，可得到两个独立的方程：X''(x)/X(x) = -λ²T'(t)/αT(t) = λ²其中λ为分离变量的常数，根据金属棒的边界条件，可以得到以下边界条件：X(0) = 0X(L) = 0对第一个常微分方程进行求解，可得到以下的特解：X(x) = Csin(λx)根据边界条件，我们可以确定λ的值为nπ/L，其中n为正整数。

因此，金属棒上的温度分布可以表示为：u(x,t) = ΣCnsin(nπx/L)e^(-α(nπ/L)²t)问题2：求解金属棒上任意位置x处的温度。

解答2：根据问题的条件，我们可以使用傅里叶级数展开来求解。

傅里叶级数可以表示任意函数f(x)在[-L,L]上的展开式：f(x) = Σ(Ansin(nπx/L) + Bncos(nπx/L))根据问题1的解答，将金属棒上的温度分布代入傅里叶级数展开中，可得到以下的展开式：u(x,t) = ΣΣCnsin(nπx/L)e^(-α(nπ/L)²t)根据傅里叶级数展开的特点，我们可以得到以下结论：Cn = 2/L∫[0,L]f(x)sin(nπx/L)dx因此，金属棒上任意位置x处的温度可以表示为：u(x,t) = Σ2/L∫[0,L]f(x)sin(nπx/L)dxsin(nπx/L)e^(-α(nπ/L)²t)练习题二：扩散方程考虑一个二维的扩散问题，假设一个正方形区域上的物质满足扩散方程：∂u/∂t = D(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)问题：正方形区域的初始浓度分布为u(x,y,0) = f(x,y)，求解正方形区域上的浓度分布u(x,y,t)。

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