偏微分方程求解例题

偏微分方程数学考试试题

偏微分方程数学考试试题
1. 求解以下偏微分方程：
a. $ \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} $
b. $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 5 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
c. $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
2. 考虑以下边界条件问题：
$ u(0,t) = 0 $
$ u(1,t) = 2t $
$ u(x,0) = \sin(\pi x) $
求解该问题的解析解。

3. 对于给定的偏微分方程，尝试通过变量分离的方法求解。

证明解的唯一性。

4. 考虑一维热传导方程：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
其中 $ \alpha $ 是热扩散系数。

解释在不同参数 $ \alpha $ 下方程的行为和性质。

5. 讨论偏微分方程的数值解法，比较有限差分法和有限元法的优缺点并举例说明。

6. 推导一维波动方程的解，并给出波动方程的初边值问题求解方法。

7. 请给出二阶常系数齐次线性偏微分方程的通解形式，并解释其中
每一个参数的物理意义。

8. 推导热传导方程的一维解，并讨论热源对温度分布的影响。

以上就是本次数学考试试题，请同学们认真作答，加油！。

2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案

2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案在2024年的考研数学试卷中，偏微分方程题目一直是考生们关注和备考的重点。

本文将详细解析2024年考研数学偏微分方程题目，并提供详细的解答和答案。

一、第一题题目描述：给定二阶常系数线性偏微分方程 $\frac{{\delta^2u}}{{\delta x^2}} + c\frac{{\delta u}}{{\delta t}} + ku = f(x, t)$，其中 $u = u(x, t)$ 为未知函数，$c, k$ 为常数，$f(x, t)$ 为已知连续函数。

要求求解此偏微分方程。

解析：根据题目所给的偏微分方程可知，我们需要求解二阶常系数线性偏微分方程。

此类方程的典型特点是对时间 $t$ 的导数项和对空间$x$ 的二阶导数项。

我们可以采用特征线法来求解此类方程。

首先，我们设方程的通解形式为 $u(x, t) = X(x)T(t)$，其中$X(x)$ 和 $T(t)$ 分别是 $x$ 和 $t$ 的函数。

将通解带入方程中得到：$\frac{{X''}}{{X}} + c\frac{{T'}}{{T}} + k = \frac{{f(x, t)}}{{XT}}$由于方程的左侧只与 $x$ 有关，右侧只与 $t$ 有关，故两侧等于某个常数 $-\lambda$。

得到两个常微分方程：$X'' + \lambda X = 0$ 和 $T' + \left(c -\lambda\right) T = 0$对于方程 $X'' + \lambda X = 0$，根据 $\lambda$ 的值分为三种情况讨论：1. 当 $\lambda > 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)$。

2. 当 $\lambda = 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = Ax + B$。

(完整word版)偏微分方程数值解习题解答案

L试讨论逼近对蘇程詈+若。

的差分沁1)2)q1 二：行口匚1）解：设点为（X ? ，/曲）屮则町=讥心厶）=班勺厶+J + °（工心）（Y ）+0（F ）.ot所以截断误差为：3E=丄 ------ + ---- 「 T h 啰_喟+竺护一 o （F ）T= 0（T + 力”2）解：设点为：（X y ，/林1 ） 3则町=讥勺,_）=以E ，_+1）+ （Y ） +o （巧卩 ot “；：；=班心+1 厶+i ）=叽厶+i ）+滋（ h ）+ * 臥工心）（为 2）+o ox (X)d心;=班心亠心）=班心，/+1）+敕:;D （一力）+ 3 役;D（血 2）+0（亥2）«截断误差为：2舟A 1 ” E= ------------ + ------------ — （―+ _） T h dt dx叭：=班％厶+i ）+敗？心）（_勿+0 @2）〜dx-(史+空八dt dx 呼1_吋】+竺丛Q —O （X ）-(叱 3 +dtdx 22・试用积分插值法推导知铁。

逼近的差分裕式班勺厶叙）一班勺，乩i）+ ——-——£）dtTq2 “-” *\ | (— 4- —)dxdt = | (un t 4- un x)ds = 0* dt & \得-U] /J+U2 r+x^ A-u4 r = 0+JE (j-l? n)F (j,n)G (j^n+l)H (j-l,n+l)^% ~ 的=旳=竹“4 = W/-lMf MTh=h T-T-ll"h + LL r H + ll：4h —LL：N =Op第二章第三章第四章第五章第六章P781.如果①'（0）二0,则称工。

是』（0）的驻点（或稳定:点）-设矩阵A对称（不必正定），求证忑是』（工）的驻点.的充要条件是1心是方程加二&的解B 42・试用积分插值法推导知铁。

逼近的差分裕式证：充分性：①⑻二J 缶)+ 乂(加° -b t ^+—(Ax r x)①'(Ji) = (Ax c - A, x) + A{Ax r x) aEff))S 宀沪若①0)二Q,即(山° 一氛对=0 心怎宀A X Q -h = ()目卩 Ax-b^则帀是方程Ax^b 的解卩必要性*若心是芳程A^ = b^\解则 Ax a —h - 0 (J 4X 0 — Z?,x) = 0+^◎ (0)=(吐命-b t x) - 0+J所以町是』0)的驻点dpg%3：证明非齐次两点边值间题心現(&)二 e it (E)二 Qu与T 7面的变分间题等价：求血EH 】，认@) = G 使 J(w t ) = min J(y)其中心SiuHU (2)-d』(#) =壬仗站)-(7» —芒⑹戲(D) +而久込叭如(2.13)(提示；先把边值条件齐衩化)+d dxO 字)+梓二/ ax13页证明：令 = w(x) + v(x)其中 w(x) = Q + (x-a)0 w(a) = a yv @) = “v(a) = 0 v(^>) = 0®所以2S = 瞥+qu = j DX DX Pd r /w 血、《, 乂、 f"丁〔P(T + ：F)]+Q(W + V )" ax dx ax* 丫 d z dv. 产 / d dw 、豪令 = - — O —) +(?v = /-(- —^> — +^w) = y;^ ax ax dx ax 所以(1)的等价的形式2厶” =一?0 字)= 卩ax axu(a) = a u\b) = 0a其中久=/-(-£■去字+0W )"ax ax 则由定理22知，讥是辺值间题（2）的解的充要条件是且满定变分方程"ogf)-C/i 小 0 Vve^Pr (Zv> 一 /j )tdx + p @»： (b)f @) ① W = J(u) = J(u.+^)^— a （u^ + 兔，以.+ 无）一（/,功・ +加）［以・（E ）+加@）］ 2 □2=J(认)+ N[a@・,f)-(/,£)-+乙agd-Qfm 沁卜• Q dx dx 「（加•一/）加x +卩@加：（砂@）-卩@）戊@） Ja（3） => （4）所以可证得• 3必要性：若如是边值间题（1）的解。

偏微分方程数值解法题解

偏微分方程数值解法（带程序）例1 求解初边值问题22,(0,1),012,(0,]2(,0)12(1),[,1)2(0,)(1,)0,0u ux t t x x x u x x x u t u t t ⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩∂∂=∈>∂∂∈=-∈==>要求采用树脂格式 111(2)n n n n nj j j j j u u u u u λ++-=+-+，2()tx λ∆=∆，完成下列计算：（1）取0.1,0.1,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

（2）取0.1,0.5,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

（3）取0.1, 1.0,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

并与解析解22()22181(,)sin()sin()2n t n u n x t n x e n ππππ∞-==∑进行比较。

解：程序function A=zhongxinchafen(x,y,la) U=zeros(length(x),length(y)); for i=1:size(x,2)if x(i)>0&x(i)<=0.5 U(i,1)=2*x(i); elseif x(i)>0.5&x(i)<1 U(i,1)=2*(1-x(i)); end endfor j=1:length(y)-1for i=1:length(x)-2U(i+1,j+1)=U(i+1,j)+la*(U(i+2,j)-2*U(i+1,j)+U(i,j)); end endA=U(:,size(U,2))function u=jiexijie1(x,t) for i=1:size(x,2) k=3;a1=(1/(1^2)*sin(1*pi/2)*sin(1*pi*x(i))*exp(-1^2*pi^2*t));a2=a1+(1/(2^2)*sin(2*pi/2)*sin(2*pi*x(i))*exp(-2^2*pi^2*t));while abs(a2-a1)>0.00001a1=a2;a2=a1+(1/(k^2)*sin(k*pi/2)*sin(k*pi*x(i))*exp(-k^2*pi^2*t));k=k+1;endu(i)=8/(pi^2)*a2;endclc; %第1题第1问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.001:t1];y2=[0:0.001:t2];y3=[0:0.001:t3];la=0.1;subplot(131)A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u3,'color','b','linewidth',1); title('例1(1)');subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解');subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第2问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.005:t1];y2=[0:0.005:t2];y3=[0:0.005:t3];la=0.5;subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(2)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第3问 clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.01:t1];y2=[0:0.01:t2];y3=[0:0.01:t3];la=1.0; subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold on line(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2) line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3) line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(3)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解'); 运行结果：表1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解例2 用Crank-Nicolson 格式完成例1的所有任务。

偏微分方程数值解法题解

偏微分方程数值解法（带程序）例1 求解初边值问题22,(0,1),012,(0,]2(,0)12(1),[,1)2(0,)(1,)0,0u ux t t x x x u x x x u t u t t ⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩∂∂=∈>∂∂∈=-∈==>要求采用树脂格式 111(2)n n n n nj j j j j u u u u u λ++-=+-+，2()tx λ∆=∆，完成下列计算：（1）取0.1,0.1,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

（2）取0.1,0.5,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

（3）取0.1, 1.0,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。

并与解析解22()22181(,)sin()sin()2n t n u n x t n x e n ππππ∞-==∑进行比较。

解：程序function A=zhongxinchafen(x,y,la) U=zeros(length(x),length(y)); for i=1:size(x,2)if x(i)>0&x(i)<=0.5 U(i,1)=2*x(i); elseif x(i)>0.5&x(i)<1 U(i,1)=2*(1-x(i)); end endfor j=1:length(y)-1for i=1:length(x)-2U(i+1,j+1)=U(i+1,j)+la*(U(i+2,j)-2*U(i+1,j)+U(i,j)); end endA=U(:,size(U,2))function u=jiexijie1(x,t) for i=1:size(x,2) k=3;a1=(1/(1^2)*sin(1*pi/2)*sin(1*pi*x(i))*exp(-1^2*pi^2*t));a2=a1+(1/(2^2)*sin(2*pi/2)*sin(2*pi*x(i))*exp(-2^2*pi^2*t));while abs(a2-a1)>0.00001a1=a2;a2=a1+(1/(k^2)*sin(k*pi/2)*sin(k*pi*x(i))*exp(-k^2*pi^2*t));k=k+1;endu(i)=8/(pi^2)*a2;endclc; %第1题第1问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.001:t1];y2=[0:0.001:t2];y3=[0:0.001:t3];la=0.1;subplot(131)A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u3,'color','b','linewidth',1); title('例1(1)');subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解');subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第2问clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.005:t1];y2=[0:0.005:t2];y3=[0:0.005:t3];la=0.5;subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold online(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2)line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3)line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(2)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解');clc; %第1题第3问 clear;t1=0.01;t2=0.02;t3=0.1;x=[0:0.1:1];y1=[0:0.01:t1];y2=[0:0.01:t2];y3=[0:0.01:t3];la=1.0; subplot(131);A1=zhongxinchafen(x,y1,la);u1=jiexijie1(x,t1)line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);hold on line(x,u1,'color','b','linewidth',1);A2=zhongxinchafen(x,y2,la);u2=jiexijie1(x,t2) line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);A3=zhongxinchafen(x,y3,la);u3=jiexijie1(x,t3) line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('例1(3)'); subplot(132);line(x,u1,'color','b','linewidth',1); line(x,u2,'color','b','linewidth',1);line(x,u3,'color','b','linewidth',1);title('解析解'); subplot(133);line(x,A1,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5); line(x,A2,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);line(x,A3,'color','r','linestyle',':','linewidth',1.5);title('数值解'); 运行结果：表1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解表3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图1：取0.1,0.1,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图2：取0.1,0.5,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解图3：取0.1, 1.0,x λ∆==0.01,0.02,0.1,t =时刻的解析解与数值解例2 用Crank-Nicolson 格式完成例1的所有任务。

偏微分方程求解例题

偏微分方程求解例题下面是一个求解偏微分方程的例题:问题：求解以下偏微分方程:$abla^2u=f(x,y,z)$解法:首先，我们需要对偏微分方程进行化简。

可以通过选择适当的变量代换或积分方法来实现。

这里，我们选择采用变量代换法，将偏微分方程化简为:$abla^2u=f(x,y,z)$$ightarrowabla^2u=u_x^2+u_y^2+u_z^2-f$$u_x=Acos(x)+Bsin(x)$,$u_y=Asin(y)+Bcos(y)$,$u_z=Ccos(z)+Ds in(z)$$ightarrowabla^2u=A^2cos^2(x)+B^2sin^2(x)+C^2cos^2(z)+D^2sin^2(z)-f$ $u_x=Acos(x)$,$u_y=Bsin(y)$,$u_z=Ccos(z)$$ightarrowabla^2u=A^2cos^2(x)+B^2sin^2(x)+C^2cos^2(z)+D^2sin^2(z)-f$ 将上述化简后的偏微分方程再次化简，得到:$abla^2u=A^2cos^2(x)+B^2sin^2(x)+C^2cos^2(z)+D^2sin^2(z)-f$ $ightarrowabla^2u=frac{1}{r^2}frac{partial}{partialr}(r^2frac{partial u}{partialr})+frac{1}{rsintheta}frac{partial}{partialtheta}(sinthetafrac{partial u}{partialtheta})+frac{1}{sin^2theta}frac{partial^2 u}{partialz^2}-frac{f}{r^2sin^2theta}$其中，$r=sqrt{x^2+y^2+z^2}$,$theta=frac{pi}{2}-x$现在我们可以对上述偏微分方程求解。

考虑到该偏微分方程属于椭圆型偏微分方程，可以使用椭圆型偏微分方程的通解公式求解。

2024年考研高等数学一偏微分方程概念与方法历年真题

2024年考研高等数学一偏微分方程概念与方法历年真题一、简介偏微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术领域。

作为考研高等数学的一部分，偏微分方程是必考的内容之一。

本文将对2024年考研高等数学一偏微分方程概念与方法历年真题进行分析和讨论。

二、问题一【2023年考研高等数学一真题】设u(x, t)为一个具有连续偏导数的二元函数，满足偏微分方程：∂u/∂t + ∂u/∂x = 0其中x为实数，t为正实数。

已知初始条件为u(x, 0) = sin(x)，求解u(x, t)。

解答：根据题目中的偏微分方程和初始条件，可以使用分离变量法对该问题进行求解。

假设u(x, t)的解为u(x, t) = X(x)T(t)，其中X(x)为只与x 相关的函数，T(t)为只与t相关的函数。

代入偏微分方程，得到：X'(x)T(t) + X(x)T'(t) + X(x)T(t) = 0整理后，得到两个关于X(x)和T(t)的方程：X'(x)/X(x) = -T'(t)/T(t) = λ对于X(x)的方程，得到X'(x)/X(x) = λ，即X'(x) - λX(x) = 0。

求解该常微分方程得到X(x) = C1e^(λx)，其中C1为常数。

由于要满足题目中给出的初始条件u(x, 0) = sin(x)，可以得到X(x) = sin(x)。

对于T(t)的方程，得到T'(t)/T(t) = -λ。

求解该常微分方程得到T(t) = C2e^(-λt)，其中C2为常数。

将X(x)和T(t)代入u(x, t) = X(x)T(t)，得到：u(x, t) = (C1sin(x))(C2e^(-λt))由于X(x)和T(t)的函数形式已经确定，我们只需要确定C1、C2和λ的值即可。

根据初始条件u(x, 0) = sin(x)，可以得到C1 = 1。

由于t为正实数，所以C2e^(-λt)不能为0。

偏微分例题

当涉及到偏微分时，以下是一个例子：问题：考虑函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，计算f 对x 和y 的偏导数。

解答：要计算函数f 对x 的偏导数，我们将y 视为常数，只关注x。

同样，要计算f 对y 的偏导数，我们将x 视为常数，只关注y。

对x 求偏导数：∂f/∂x = ∂/∂x (x^2 + 2xy + y^2)= ∂/∂x (x^2) + ∂/∂x (2xy) + ∂/∂x (y^2)= 2x + 2y(∂x/∂x) + 0 (注意∂x/∂x = 1，因为x 对自身的偏导数为1)= 2x + 2y对y 求偏导数：∂f/∂y = ∂/∂y (x^2 + 2xy + y^2)= ∂/∂y (x^2) + ∂/∂y (2xy) + ∂/∂y (y^2)= 0 + 2x(∂y/∂y) + 2y (注意∂y/∂y = 1，因为y 对自身的偏导数为1)= 2x + 2y因此，函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 对x 和y 的偏导数分别为：∂f/∂x = 2x + 2y∂f/∂y = 2x + 2y这就是函数f 对x 和y 的偏导数的计算结果。

当谈及偏微分方程的例题时，以下是一个简单的例子：考虑一个二维热传导问题，假设有一块均匀导热的平板，其温度分布由偏微分方程描述：∂u/∂t = k (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u(x, y, t) 是时间t、位置(x, y) 处的温度，k 是热传导系数。

现在，假设该平板在x 轴方向上的长度为L，y 轴方向上的长度为H。

给定边界条件如下：u(0, y, t) = 0, 0 ≤ y ≤ H （左边界）u(L, y, t) = 0, 0 ≤ y ≤ H （右边界）u(x, 0, t) = 0, 0 ≤ x ≤ L （下边界）u(x, H, t) = f(x, t), 0 ≤ x ≤ L （上边界）其中f(x, t) 是给定的边界条件函数。