第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节平面向量应用举例
清华复变函数复数与扩充复平面
函数的连续性
连续性的定义
如果对于复平面上的任意一点$z_0$，当$z$ 趋于$z_0$时，函数$f(z)$都趋于$f(z_0)$， 则称函数在点$z_0$处连续。
连续性的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序性、可积性等 性质。
连续性与可微性
连续函数不一定可微，但可微的复变函数一 定是连续的。
03 扩充复平面
信号处理
在信号处理领域，复数常用于表示和处理信号，如频谱分析和滤波 器设计等。
电气工程
在电气工程中，交流电的电压、电流和阻抗等常用复数表示，方便进 行计算和分析。
在其他领域的应用
金融
在金融领域，复数常用于描述和计算复杂的金融衍生 品，如期权、期货等。
生物医学工程
在生物医学工程中，复数用于描述和解释生物系统的 电特性和生理过程。
级数收敛性
洛朗兹级数的收敛性取决于函数的性质和收敛半 径，通常需要满足一定的条件才能收敛。
3
应用
洛朗兹级数在解决复变函数的积分、微分等问题 中具有重要应用，也是研究复变函数的重要工具 之一。
06 扩充复平面的应用实例
在物理学中的应用
量子力学
复数在量子力学中有着广泛的应用，如波函数通常表示为复数形 式，描述微观粒子的状态。
复数的四则运算
总结词
复数的加法、减法、乘法和除法运算都有明确的几何意义。
加法
将两个复数的实部和虚部分别相加或相减，得到新的复数。这对应于 平面上两点的线性组合或向量的线性组合。
乘法
将一个复数的实部和虚部分别乘以另一个复数的实部和虚部分别，得 到新的复数。这对应于平面上的旋转和平移变换。
除法
将一个复数除以另一个非零复数，得到新的复数。这对应于平面上的 相似变换。
2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第3课时
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
4．数量积的坐标运算 ． 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ＝ ， ＝ ， (1)a·b＝______________. ＝ a1b1＋a2b2 (2)a⊥b⇔______________. ⊥ ⇔ a1b1＋a2b2＝0
a2＋a2 1 2 (3)|a|＝_________ ＝_________.
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
3．数量积的运算律 ． (1)交换律 交换律a·b＝_______. ＝ b·a 交换律 · ＋ · (2)分配律(a＋b)·c＝___________. (2)分配律 分配律(a＋b)·c＝ a·c＋b·c ( )· ＝ a·(λb) ． ·( ) (λa)·b (3)对λ∈R，λ（a·b）＝_______＝_______． 对 ∈ ， （ ）
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
解析： AB＝ ， 解析： (1)在△ABC 中， C＝90°， ＝5， 在 ∠ ＝ ， AC＝4， ＝ ， 3 故 BC＝3，且 cos∠ABC＝5， ＝ ， ∠ ＝ → → AB与BC的夹角 θ＝π－∠ABC， ＝ － ， → → → → ∴ AB · BC ＝ － | AB || BC |cos ∠ ABC ＝ － 3 5×3× ＝－ ×引入
栏目导引
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0 ∵ ＋ ⊥ － ， ＋ － ＝ 即 2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0 － ∴ － 5 5 ∴2×5＋3a·b－2×4＝0，∴a·b＝－2， × ＋ － × ， ＝－ a·b ＝－1， ∴cos θ＝|a||b|＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π. ＝ ∈ ， ， ＝
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(共13张PPT) 2
[点评] 本题条件 OA ＋2 OB ＋3 OC ＝0 与三角形的重心性 质GA ＋GB ＋GC ＝0 十分类似，因此我们通过添加辅助线，构
造一个三角形，使点 O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重 心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面 积比．
(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是 三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在 向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则( OA ＋ OB )· ＝ BA ( OB ＋ OC )· ＝( OC ＋ OA)· ＝0或| OA |＝| OB |＝| OC |.反之， CB AC 若| OA|＝| OB |＝| OC |，则点O是△ABC的外心．
2．关于“四心”的典型例题
已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线 的三个动点，若动点 P 满足 OP ＝ OA＋λ( AB ＋ AC )，λ∈(0，＋∞)， [例 1] 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． [解析] 由原等式， OP － OA ＝λ( AB ＋ AC )， AP ＝λ( AB 得 即 ＋ AC )， 根据平行四边形法则， AB ＋ AC 是△ABC 的中线所对 知
＝0，试求 S△BOC∶S△COA∶S△AOB 之值．
[解]
延长 OB 至 B1，使 BB1＝OB，
延长 OC 至 C1，使 CC1＝2OC，连接 AB1，AC1，B1C1，如图所示， 则 OB1 ＝2 OB ， OC1 ＝3 OC ，由条件，得 OA ＋ OB1 ＋ OC1 ＝0，所 1 以点 O 是△AB1C1 的重心．从而 S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝3S，其 中 S 表示△AB1C1 的面积， 1 1 1 1 1 1 所以 S△COA＝9S，S△AOB＝6S，S△BOC＝2S△B1OC＝2×3S△B1OC1＝18 S. 1 1 1 于是 S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝18∶9∶6＝1∶2∶3.
第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．若复数 z 满足 ＋i)z＝1－3i，则复数 z 在复平面上的 ． 满足(1＋ ＝ － ， 对应点在 A．第四象限 ． C．第二象限 ． B．第三象限 ． D．第一象限 ． ( )
1－3i (1－3i)( －i) － )(1－ ) － )( 解析： ＝－1－ ， 解析：由已知得 z＝ ＝ ＝ ＝－ －2i，则 1＋i )(1－ ) ＋ (1＋i)( －i) ＋ )( z 所对应的点为 －1，－ ，故 z 对应的点在第三象限． 所对应的点为(－ ，－ ，－2)， 对应的点在第三象限．
a＋2i ＋ (a＋2i)i ＋ ) 解析： 解析：由题可知 i ＝b＋i，整理可得 i2 ＝b＋i， ＋， ＋， ＝－1， ＝ ， 即 2－ai＝b＋i，根据复数相等可知 a＝－ ，b＝2， － ＝ ＋， ＝－ 所以 a＋b＝1. ＋ ＝
答案： 答案： B
3．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中 是虚数单位，则 ．若复数 是虚数单位， ＋ ， ＋ ，其中i是虚数单位 复数(z 的实部为________． 复数 1－z2)i的实部为 的实部为 ． 解析：∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i， 解析： ＋ ， ＋ ， ＝－20－ ， ∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－ －2i， ＝－ ＋ ＝－ 的实部为－ ∴复数(z1－z2)i的实部为－20. 复数 的实部为 答案： 答案：－20
答案：B 答案：
)(2＋ ) (1＋2i)( ＋i) ＋ )( 3．复数 ． 等于 (1－i)2 －) 5 A. 2 5 C. i 2 5 B．－ ．－ 2 5 D．－ i ．－ 2
(
)
)(2＋ ) (1＋2i)( ＋i) 2＋4i＋i＋2i2 ＋ )( ＋ ＋＋ 5i 5 解析： 解析： ＝ ＝ ＝－ . 2 (1－i)2 －) －2i －2i
高考一轮第四章 第四节 数系的扩充与复数ppt
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3＋i 5．若复数z满足z＋i＝ i ，则|z|＝________.
3＋i 解析：因为z＝ i －i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝ 17.
答案： 17
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1．复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外， 还要注意 (1)|z|＝|z－0|＝a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
－λ＋μ＝3， ∴ 2λ－μ＝－4， λ＝－1， 解得 μ＝2.
∴λ＋μ＝1.
答案：1
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[冲关锦囊] 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面 内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减
法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边
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[精析考题] [例1] 数a为 A．2 1 C．－2 B．－2 1 D.2 (2011· 安徽高考)设i是虚数单位，复数 1＋ai 为纯虚数，则实 2－i ( )
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[自主解答]
法一：因为
1＋ai 1＋ai2＋i ＝ 2－i 2－i2＋i
2－a＋2a＋1i ＝ 为纯虚数， 5 所以2－a＝0，a＝2； 1＋ai ia－i 法二：因为 ＝ 为虚数，所以a＝2. 2－i 2－i
2 2i3－4i 8 6 z2 1＋i 2i 2 2 解析：∵z2＝z·1，∴z＝z ＝ z ＝ ＝ ＝5＋5i. 5 3＋4i 3＋4i 1
答案：C
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[冲关锦囊]
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关 键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最 简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度 1＋i 1－i a＋bi (1)(1± ＝± i) 2i；(2) ＝i；(3) ＝－i；(4) i ＝b－ai； 1－i 1＋i
4-4第四节 数系的扩充与复数的引入(2015年高考总复习)
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第四章
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(2)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B， 若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( A．4＋8i C．2＋4i B．8＋2i D．4＋i )
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(3)已知复数 z1＝cos23° ＋isin23° 和复数 z2＝cos37° ＋isin37° ， 则 z1 · z2 为( 1 3 A.2＋ 2 i 1 3 C.2－ 2 i ) 3 1 B. 2 ＋2i 3 1 D. 2 －2i
(2)几何意义： 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法 则进行． 如右图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减
→ → → → → → OZ2－OZ1 OZ1＋OZ2 ，Z1Z2＝____________. 法的几何意义，即OZ＝____________
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高考这样考 1.考查复数的基本概念，复数相等的条件．
2.考查复数的代数形式的运算，复数的几何意义.
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备考这样做 1.要理解复数的相关概念如实部、 虚部、 纯虚数、 共轭复数等， 以及复数的几何意义． 2.要把复数的基本运算作为复习的重点， 尤其是复数的四则运 算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础.
第四节 数系的扩充与复数的引人-高考状元之路
第四节 数系的扩充与复数的引入预习设计 基础备考知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如),(R b a bi a ∈+的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的 和 ．若 ，则bi a + 为实数；若,0=/b 则bi a +为虚数；若 ，则bi a +为纯虚数．(2)复数相等：⇔+=+di c bi a ).,,,(R d c b a ∈(3)共轭复数：bi a +与di c +共轭⇔ ).,,,(R d c b a ∈(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，叫做实轴， 叫做虚轴，实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 各象限内的点都表示(5)复数的模： 向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模，记作 或 ，即=+=||||bi a z2．复数的几何意义(1)复数一一对应bi a z +=复平面内的点).,)(,(R b a b a Z ∈(2)复数一一对应bi a z +=平面向量OZ ).,R b a ∈3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=则：①加法：=++⋅+=+)()(21di c h a z z②减法：=+-+=-)()(21di c bi a z z③乘法：=+⋅+=)()(.21di c bi a z z④除法:=-+-+=++=))(())((21di c di c di c bi a di c bi a z z ).0(=/+di c(2)复数加法的运算定律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何,,,321c z z z ∈有=+2z z l =++321)(,z z z典题热身1．(2011．广东湛江一中月考)设复数,21,3421i z i z +=-=则复数21z z z =在复平面内所对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C2．(2011．山东高考)复数i ii z (22+-=为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为( ) A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D3．（2011．浙江宁海中学月考）若复数),(225R a i iai ∈+=--则实数a 的值为( ) 0.A 1.-B 1.C 2.D答案：A4．（2010．课标全国卷）已知复数,)31(32i iz -+=若z 是z 的共轭复数，则=⋅z z ( )41.A 21.B 1.C2.D 答案：A5．(2011．江西高考)若,,,2)(R y x i y i i x ∈+=-则复数+x =i y ( )i A +-2. i B +2. i c 21.- i D 21.+答案：B课堂设计 方法备考题型一 复数的基本概念【例1】求当实数m 为何值时，i m m m m m z )65(3622++++--= (1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)z 对应的点在复平面内的第二象限内，题型二 复数相等的概念及应用【例2】设存在复数z 同时满足下列条件：①复数z 在复平面内对应的点位于第二象限；).(82R a ai iz z z ∈+=+②试求a 的取值范围，题型三 复数的代数运算【例3】计算：;)31()22()1(54i i -+ .)12(32132)2(2010i ii -+++-题型四 复数的几何意义【例4】 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示,42,23,0i i +-+试求：BC AO ,)1(所示表的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B 点对应的复数．技法巧点1. 复数的代数运算(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知识有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的性质．(2)一些常用的结论：;2)1(2i i ±=±① ;11,11i ii i i i -=+-=-+② ,,1144i i i n n ==+③,124-=+n i ;34i i n -=+ ,03424144=++++++n n n n i i i i 其中n 为整数．2．复数的几何意义 (1)(2)∣ z ∣表示复数z 对应的点与原点的距离，||)3(21z z -表示两点间的距离，即表示复数1z 与2z 对应点间的距离.失误防范1．判定复数是实数，仅注重虚部等于O 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．对复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立，因此解此类方程的解，一般都是将实根代人方程，用复数相等的条件进行求解．3．两个虚数不能比较大小．4．利用复数相等di c bi a +=+列方程时，注意R d c b a ∈,,,的前提条件.0.52<z 在复数范围内有可能成立，例如：当i z 3=时，.092<-=z随堂反馈1．复数)1(2i i +的实部是 （ ） 1.-A 1.B 2.c 3.D答案：A2．(2010．陕西高考)复数ii z +=1在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：A3．(2010．天津高考)i 是虚数单位，复数=++-ii 2131（ ） i A +1. i B 55.+ i C 55.-- i D --1.答案：A4．（2010．辽宁高考）设a ，b 为实数，若复数,121i bia i +=++则（ ） 21,23.==b a A 1,3.==b a B 23,21.==b a C 3,1.==b a D 答案：A5．(2011．浙江台州调研)已知,31,221i z i z -=+=则复数12z z i +的虚部为答案：-1 高效作业 技能备考一、选择题1．（2010．广东高考）若复数,3,121i z i z -=+=则=21.z z ( )i A 24,+ i B +2. i C 22.+ i D +3.答案：A2．(2010．山东高考)若),,(2R b a i b ii a ∈+=+其中i 为虚数单位，则=+b a （ ） 1.-A 1.B 2.C 3.D答案：B3．（2010．杭州市模拟）若i i (2321+-=ω是虚数单位），集合},1,0,1{-=M 则下列结论中正确的是( ) M A ∈+3)1.(ω M B ⊆3.ω M c ≠⊂ω1.M D ∉+ωω2. 答案：A4．（2011．西城模拟）在复平面内，复数i i 32,56+-+对应的点分别为A ，B ．若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )i A 84.+ i B 28.+ i C 42.+ i D +4.答案：C5．(2011．宁波模拟)已知复数mi b i a +=+=4,23（其中i 为虚数单位），若复数,0)(2<b a 则实数m 的值为 ( ) 6.-A 6.B 38.c 38.-D 答案：A6．（2011．韶关模拟）已知,c z ∈i i z ,1|22|=--且为虚数单位，则|22|i z -+的最小值是( )2.A3.B4.c5.D答案：B二、填空题7．（2011．泉州模拟）复数ii z +=12的共轭复数=z 答案：i -18．(2011．铜陵调研)已知复数=-=+-=321,1,21z i z i z ,23i -它们所对应的点分别为A ，B ，C ．若 +=x ,y 则y x +的值是答案：59．(2011．江苏盐城中学月考)已知实数m ，n 满足-=+11im ni （其中i 是虚数单位），则双曲线122=-ny mx 的离心率为 答案：3三、解答题10.求当实数m 为何值时，++<+--=m m m m z 3)22lg(22,)2i(1)为纯虚数；(2)为实数； (3)对应的点在复平面内的第二象限内．11．若复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且,2||),31()3(121-+=-z i z i z 求⋅1z12．已知关于x 的方程：)(09)6(2R a ai x i x ∈=+++-有实数根b ．(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足,0||2||=---z bi a z 求z 为何值时，∣z ∣取得最小值，并求出∣z ∣的值.。
(完整版)数系的扩充与复数的引入
数系的扩充
复数的概念
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1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
数系的扩充
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复数的概念
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例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
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必修1 第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3。
2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2。
1 函数概念2。
2 函数的表示法2。
3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4。
1 二次函数的图像4。
2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2。
1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3。
3 指数函数的图像和性质§4 对数4。
1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5。
1 对数函数的概念5。
2 y=log2x的图像和性质5。
3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1。
1 利用函数性质判定方程解的存在1。
2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2。
1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4。
2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第1课时
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平面向 量的数 量积及 平面向 量应用 举例
第四章
知识点
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1.理解复数的基本概念． 理解复数的基本概念． 理解复数的基本概念 2.理解复数相等的充要条件． 理解复数相等的充要条件． 理解复数相等的充要条件 数系的 3.了解复数的代数表示法及其几何意 了解复数的代数表示法及其几何意 扩充与 义． 复数的 4.会进行复数代数形式的四则运算． 会进行复数代数形式的四则运算． 会进行复数代数形式的四则运算 引入 5.了解复数代数形式的加、减运算的几 了解复数代数形式的加、 了解复数代数形式的加 何意义. 何意义
解析： ＝－k(b－ ， 解析： 由已知得 a＋λb＝－ －3a)， ＋ ＝－
λ＝－1 ＝－ λ＝－ ＝－k ＝－ 3 ∴ ，解得 1 ＝ 3k＝1 ＝ k＝3
.
1 答案： 答案： －3
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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5．已知平面上不共线的四点 O、A、 B、C. ． 、 、 、 → |AB| → → → 等于________． 若OA－3OB＋2OC＝0， ， 则 等于 ． → |BC| → → → → 解析： 由已知得， OA－ OA OB＝2(OB－OC)， 解析： 由已知得， －OB＝2(OB－OC)， ，
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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给出下列命题： 【变式训练】 1.给出下列命题： 变式训练】 给出下列命题 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； 有向线段就是向量，向量就是有向线段； → → 为平行四边形； ②若AB＝DC，则 ABCD 为平行四边形； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ＝ ， ＝ ， ＝ ； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. ∥ ， ∥ ， ∥ 其中正确命题的个数是( 其中正确命题的个数是 A．0 ． C．2 ．
高三数学复习第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
提 升 学 科 素 养
演 练 知 能 检 测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]
回 扣 主 干 知 识
1．下列说法中正确的是
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的长度为零 C．长度相等的两个向量是相等向量
(
)
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突 破 热 点 题 型
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相
同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行， 则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反 向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命 题的个数是3. 答案：D
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第一节
平面向量的概念及其线性运算 向量的线性运算
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错 误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故 D错误．
演 练 知 能 检 测
答案：B
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第一节
平面向量的概念及其线性运算
2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量 CD
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突 破 热 点 题 型
位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任 意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向 量概念有关的问题．
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2020高考数学文科大一轮复习第四章平面向量_数系的扩充与复数的引入_ _课时作业 (2)
课时作业28 平面向量数量积的应用一、选择题1．(2019·株洲模拟)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( C )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( D )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 解析：∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．3．已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin2θ＋6cos 2θ的值为( B )A.12 B ．2 C ．22D ．－2解析：由题意可得m ·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2.故选B.4．(2019·安徽江南十校联考)已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，N 是边BC 上的点，且BN →＝2NC →，O 为△ABC 的外心，则AN →·AO →的值为( D )A ．8B ．10C ．18D ．9解析：由于BN →＝2NC →，则AN →＝13AB →＋23AC →，取AB 的中点为E ，连接OE ，由于O 为△ABC 的外心，则EO →⊥AB →，∴AO →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋EO →·AB →＝12AB →2＝12×62＝18，同理可得AC →·AO →＝12AC →2＝12×32＝92，所以AN →·AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋23AC →·AO →＝13AB →·AO →＋23AC →·AO →＝13×18＋23×92＝6＋3＝9，故选D. 5．(2019·广东广雅中学等四校联考)已知两个单位向量a ，b 的夹角为120°，k ∈R ，则|a －k b |的最小值为( B )A.34B.32C ．1D.32解析：∵两个单位向量a ，b 的夹角为120°， ∴|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12， ∴|a －k b |＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2＝1＋k ＋k 2＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122＋34，∵k ∈R ，∴当k ＝－12时，|a －k b |取得最小值32，故选B.6．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( C )A ．4B ．5C ．2D ．3解析：∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2.∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4，∴cos A ＝－22，∵0<A <π，∴sin A ＝22，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.7．(2018·天津卷) 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( A )A.2116B.32C.2516D ．3解析：解法1：如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)，令E (0，t )，t ∈[0，3]，∴AE →·BE →＝(－1，t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，t －32＝t 2－32t ＋32，∵t ∈[0，3]， ∴当t ＝－－322×1＝34时，AE →·BE →取得最小值，(AE →·BE →)min ＝316－32×34＋32＝2116.故选A.解法2：令DE →＝λDC →(0≤λ≤1)，由已知可得DC ＝3， ∵AE →＝AD →＋λDC →，∴BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋AD →＋λDC →，∴AE →·BE →＝(AD →＋λDC →)·(BA →＋AD →＋λDC →)＝AD →·BA →＋|AD →|2＋λDC →·BA →＋λ2|DC →|2＝3λ2－32λ＋32.当λ＝－－322×3＝14时，AE →·BE →取得最小值2116.故选A.二、填空题8．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是1 2.解析：如图所示，取AC 的中点D ， ∴OA →＋OC →＝2OD →， ∴OD →＝BO →，∴O 为BD 的中点， ∴面积比为高之比． 即S △AOC S △ABC＝DO BD ＝12. 9．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是2π3.解析：由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.10．已知△ABC 是直角边长为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是－1.解析：解法1：如图，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(－x,2－y )，PB →＋PC →＝(2－2x,2－2y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－x (2－2x )－y (2－2y )＝2(x －12)2＋2(y －12)2－1≥－1(当且仅当x ＝y ＝12时等号成立)，∴P A →·(PB →＋PC →)的最小值为－1.解法2：P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(P A →＋AB →＋P A →＋AC →)＝P A →·(2P A →＋AB →＋AC →)． 设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·(P A →＋AD →)＝2P A →·PD →， ∵－2|P A →|·|PD →|≤2P A →·PD →≤2|P A →|·|PD →|，∴(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →|·|PD →|，此时点P 在线段AD 上(异于A ，D )，设P A →＝λAD →(－1<λ<0)，则|P A →|＝|λAD →|＝－λ·2，|PD →|＝2＋2λ，∴－2|P A →|·|PD →|＝4(λ2＋λ＋14－14)＝4(λ＋12)2－1，∴当λ＝－12时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值－1.三、解答题11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0. ① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎪⎫32x ，32(y －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.∵b >0，∴y >0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B ，2cos 2C 2－1，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0. (1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)由题意知m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， 则c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0. 在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，整理得sin C cos B ＋sin B cos C －2sin A cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝2sin A cos C . 故sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， ∴2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， ∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.13．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则(D )A ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心B ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心 C ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心D ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心 解析：由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C＝λ|AB →||BC →|cos (180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C|AC →|cos C ＝0，所以AP →⊥BC →，则动点P的轨迹一定通过△ABC 的垂心．14．已知向量a ，b 满足：|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝12，若c ＝x a ＋y b ，其中x >0，y >0且x ＋y ＝2，则|c |的最小值是 3.解析：∵|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝12，当c ＝x a ＋y b 时，c 2＝x 2a 2＋2xy a ·b ＋y 2b 2＝x 2＋xy ＋y 2＝(x ＋y )2－xy ； 又x >0，y >0且x ＋y ＝2，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝1，当且仅当x ＝y ＝1时取“＝”，∴c 2≥(x ＋y )2－(x ＋y 2)2＝22－1＝3，∴|c |的最小值是 3. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·重庆市质量调研)已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部(不含边界)的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( A )A ．(23，1)B ．(23，2)C ．(712，1)D ．(2,3)解析：以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0,0)，A (3,0)，C (0,4)．设△ABC 的内切圆的半径为r ，因为I 是△ABC 的内心，所以(5＋3＋4)×r ＝4×3，解得r ＝1，所以I (1,1)．设P (x ，y )，因为点P 在△IBC 内部(不含边界)，所以0<x <1.因为AB →＝(－3,0)，AC →＝(－3,4)，AP →＝(x －3，y )，且AP →＝λAB →＋μAC →，所以⎩⎨⎧ x －3＝－3λ－3μ，y ＝4μ，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1－13x －14y ，μ＝14y ，所以λ＋μ＝1－13x ，又0<x <1，所以λ＋μ∈(23，1)，故选A.16．(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( A ) A.3－1 B.3＋1 C ．2 D ．2－ 3解析：解法1：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1,0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.解法2：由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.。
2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第4课时
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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1．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点 ．在复平面内，复数 ＝ ＋ 对应的点 位于( ) 位于 A．第一 B．第二象限 ． ． C．第三象限 D．第四象限 ． ．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
计算： 【变式训练】 2.计算： 变式训练】 计算 )(2＋ ) (－1＋i)( ＋i) ＋ )( (1＋2i)2＋3(1－i) ＋ ) ( －) (1) . ；(2) 3 i 2＋i ＋
)(2＋ ) (－1＋i)( ＋i) －3＋i ＋ )( ＋ 解析： ＝－1－ 解析： (1) ＝ ＝－ －3i. i3 －i (1＋2i)2＋3(1－i) －3＋4i＋3－3i ＋ ) ( －) ＋ ＋ － i (2) ＝ ＝ 2＋i 2＋i 2＋i ＋ ＋ ＋ i(2－i) ( －) ＝ 5 1 2 ＝5＋5i.
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
4＋2i ＋ 解析： 解析： (1) －(1－i)2＝ － 1－2i － )(1＋ ) (4＋2i)( ＋2i) ＋ )( ＋2i )(1＋ ) (1－2i)( ＋2i) － )( 10i ＝ 5 ＋2i＝4i. ＝ 1＋2i ＋ (2)∵ ∵ ＝1＋i， ＋， a＋bi ＋ )(1－ ) 1＋2i (1＋2i)( －i) 3＋i ＋ )( ＋ ＋ ＝ ＝ 2 ， ∴a＋bi＝ ＋ ＝ )(1－ ) 1＋i (1＋i)( －i) ＋ )( ＋ 3 1 ∴a＝2，b＝2. ＝ ＝ 答案： 答案： (1)D (2)A
高考数学专题平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点； 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD|＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP OP ＝12(OA ＋OB)． 2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB(λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD等于( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]， 所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－131.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA＋CD ＋EF＝( )A ．0B ． BEC ．ADD ． CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF，BF ＝CE，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE＋EF ＝CF.(2)由题意DE ＝CE ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] (1)D (2)12解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD＝2CE ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA ) ＝23CA＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23 [类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC＋CB＝AD ＋CE ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD成立．[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB ，BD共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c ， OD ＝d ， OE＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB|3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎨⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1. [类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ， DF ，CD.[解] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC－AB＝(1－k )AB ＋k 4AC，且AP ＝m AB ＋211AC， 所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 答案：311[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5， 得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3. 答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos a ，b ＝0，可得cos a ，b ＝12，又因为0≤ a ，b ≤π，所以 a ，b ＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD |＝12×5×20＝5.1.(2014·11＝(x 2，y 2)，若|＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B ．－23 C.56D ．－56解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC＝－1，则|BC |的最小值是( )A. 2 B ．2C. 6D ．6 解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC|＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC|min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．平面向量数量积的性质是高考的重点．归纳起来常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD的中点．若AC ·BE＝1 , 则AB 的长为________． 解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB|2＝1，∴|AB |＝12.答案：12角度二 平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126 B ．－126 C.112D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a－b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC＝0.∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时， ∵AC ⊥BC，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132. [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例)，b ＝(cos β，，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.[试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B.32 C.22D.12解析：选C 由题意知z ＝i i ＋1＝i (1－i )(i ＋1)(1－i )＝1＋i 2，|z |＝22，故选C. 2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 0121＋i 2＝i 1 006·1＋i 2＝i 2·1＋i 2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选C.2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A a ＋b i ＝51＋2i ＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2.3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D 复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝( )A.10 B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．(2)依题意得，z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i ，因此复数z ＝z 1z 2的共轭复数1－2i 在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案] (1)B (2)D [类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z －＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ＝(3，－4)，OA＝(－1,2)， OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[解析] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i. (2)由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i )2(1＋a i )(1－a i )＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B.[答案] (1)A (2)B解：∵z ＝3＋5i ，∴z －＝3－5i∴(1＋z )·z －＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC．5＋i D．5－i解析：选D由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋52－i＝3＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝3＋2＋i＝5＋i，所以z＝5－i.2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3i B．－2i C．i D．－i解析：选D依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.。
2019高考数学(理)一轮复习全套学案
2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节 集 合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件． 故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12， ﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节 函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。
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新课标高中数学教材目录大全新课标人教 A 版2．3 变量间的相关关系本章小结与复习必修一第三章概率第一章集合与函数的概念3．1 随机事件的概率1.1集合3．2 古典概型1.2函数及其表示3．3 几何概型1.3函数的基本性质本章小结与复习本章小结与复习必修四第二章基本初等函数(I)第一章三角函数2.1指数函数1．1 任意角和弧度制2.2对数函数1．2 任意角的三角函数2.3幂函数1．3 三角函数的诱导公式本章小结与复习1．4 三角函数的图象与性质第三章函数的应用3．1 函数与方程1．5 函数y=Asin( x+ )的图象3．2 函数模型及其应用1．6 三角函数模型的简单应用本章小结与复习本章小结与复习必修二第二章平面向量第一章空间几何体2．1 平面向量的实际背景及基本概.1．1 空间几何体的结构2．2 平面向量的线性运算1．2 空间几何体的三视图和直观图2．3 平面向量的基本定理及坐标表.1．3 空间几何体的表面积与体积2．4 平面向量的数量积本章小结与复习2．5 平面向量应用举例第二章点、直线、平面之间的位置关.本章小结与复习2．1 空间点、直线、平面之间的位.第三章三角恒等变换2．2 直线、平面平行的判定及其性. 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正.2．3 直线、平面垂直的判定及其性. 3．2 简单的三角恒等变换本章小结与复习本章小结与复习必修五第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率第一章解三角形3．2 直线的方程1．1 正弦定理和余弦定理3．3 直线的交点坐标与距离公式1．2 应用举例本章小结与复习1．3 实习作业第四章圆与方程本章小结与复习4．1 圆的方程第二章数列4．2 直线、圆的位置关系2．1 数列的概念与简单表示法4．3 空间直角坐标系2．2 等差数列本章小结与复习2．3 等差数列的前n 项和必修三2．4 等比数列第一章算法初步2．5 等比数列前n 项和1．1 算法与程序框图本章小结与复习1．2 基本算法语句第三章不等式1．3 算法案例3．1 不等关系与不等式本章小结与复习3．2 一元二次不等式及其解法第二章统计3．3 二元一次不等式(组)与简单的.2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体3．4 基本不等式ab≤a b2( a ≥ 0， b ≥0)WORD格式本章小结与复习1.2导数的计算选修 1——1 1.3 导数在研究函数中的应用第一章常用逻辑用语2.4生活中的优化问题举例1．1 命题及其关系 1.5 定积分的概念1．2 充分条件与必要条件 1.6 微积分基本定理1．3 简单的逻辑联结词 1.7 定积分的简单应用1．4 全称量词与存在量词本章小结与复习本章小结与复习第二章推理与证明第二章圆锥曲线与方程2.1合情推理与演绎推理2．1 椭圆 2.2 直接证明与间接证明2．2 双曲线 2.3 数学归纳法2．3 抛物线本章小结与复习本章小结与复习第三章数系的扩充与复数的引入第三章导数及其应用3.1数系的扩充和复数的概念3．1 变化率与导数 3.2 复数代数形式的四则运算3．2 导数的计算本章小结与复习3．3 导数在研究函数中的应用选修 2——33．4 生活中的优化问题举例第一章计数原理本章小结与复习1.1分类加法计数原理与分步乘法计.选修 1——21.2排列与组合第一章统计案例1.3二项式定理1．1 回归分析的基本思想及其初步.本章小结与复习1．2 独立性检验的基本思想及其初.第二章随机变量及其分布本章小结与复习2.1离散型随机变量及其分布列第二章推理与证明2.2二项分布及其应用2．1 合情推理与演绎证明 2.3 离散型随机变量的均值与方差2．2 直接证明与间接证明 2.4 正态分布本章小结与复习本章小结与复习第三章数系的扩充与复数的引入第三章统计案例3．1 数系的扩充和复数的概念 3.1 回归分析的基本思想及其初步应.3．2 复数代数形式的四则运算 3.2 独立性检验的基本思想及其初步.本章小结与复习本章小结与复习第四章框图新课标人教 B 版4．1 流程图4．2 结构图必修一第一章集合本章小结与复习综合复习与测试1.1集合与集合的表示方法选修 2——11.2集合之间的关系与运算本章小结与复习第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系第二章函数1.2充分条件与必要条件2.1 函数WORD格式1.3简单的逻辑联结词2.2 一次函数和二次函数1.4全称量词与存在量词2.3 函数的应用(I)本章小结与复习2.4函数与方程第二章圆锥曲线与方程本章小结与复习2.1曲线与方程第三章基本初等函数(I)2.2椭圆3.1 指数与指数函数2.3双曲线3.2 对数与对数函数2.4抛物线3.3 幂函数本章小结与复习3.4函数的应用(II)第三章空间向量与立体几何本章小结与复习3.1空间向量及其运算必修二3.2立体几何中的向量方法第一章立体几何初步本章小结与复习1．1 空间几何体选修 2——2 1．2 点、线、面之间的位置关系第一章导数及其应用本章小结与复习1.1变化率与导数第二章平面解析几何初步WORD格式2．1 平面直角坐标系中的基本公式第一章常用逻辑用语2．2 直线方程1．1 命题与量词2．3 圆的方程1．2 基本逻辑联结词2．4 空间直角坐标系1．3 充分条件、必要条件与命题的.本章小结与复习本章小结与复习必修三第二章圆锥曲线与方程第一章算法初步2．1 椭圆1．1 算法与程序框图2．2 双曲线1．2 基本算法语句2．3 抛物线1．3 中国古代数学中的算法案例本章小结与复习本章小结与复习第三章导数及其应用第二章统计3．1 导数2．1 随机抽样3．2 导数的运算2．2 用样本估计总体3．3 导数的应用2．3 变量的相关性本章小结与复习选修 1——2 本章小结与复习第一章统计案例 , 第三章概率3．1 随机现象 1.1 独立性检验3．2 古典概型 1.2 回归分析3．3 随机数的含义与应用本章小结与复习3．4 概率的应用第二章推理与证明 ,本章小结与复习2.1合情推理与演绎推理必修四 2.2 直接证明与间接证明第一章基本初等函数（Ⅱ）本章小结与复习1．1 任意角的概念与弧度制第三章数系的扩充与复数的引入, 1．2 任意角的三角函数 3.1 数系的扩充与复数的引入1．3 三角函数的图象与性质 3.2 复数的运算本章小结与复习第四章框图,第二章平面向量2.5流程图2．1 向量的线性运算 4.2 结构图2．2 向量的分解与向量的坐标运算本章小结与复习选修 2——1 2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第一章常用逻辑用语本章小结与复习2.2命题与量词第三章三角恒等变换2.3基本逻辑联结词3．1 和角公式 1.3 充分条件、必要条件与命题的.3．2 倍角公式和半角公式本章小结与复习3．3 三角函数的积化和差与和差化.第二章圆锥曲线与方程本章小结与复习3.2曲线与方程必修五 2.2 椭圆第一章解斜角三角形1.4双曲线WORD格式1．1 正弦定理和余弦定理 2.4 抛物线1．2 应用举例 2.5 直线与圆锥曲线本章小结与复习本章小结与复习第二章数列第三章空间向量与立体几何2．1 数列 3.1 空间向量及其运算2．2 等差数列 3.2 空间向量在立体几何中的应用2．3 等比数列本章小结与复习选修 2——2 本章小结与复习第三章不等式第一章导数及其应用3．1 不等关系与不等式 1.1 导数3．2 均值不等式 1.2 导数的运算3．3 一元二次不等式及其解法 1.3 导数的应用3．4 不等式的实际应用 1.4 定积分与微积分基本定理3．5 二元一次不等式(组)与简单线 .本章小结与复习本章小结与复习第二章推理与证明选修 1——1 2.1 合情推理与演绎推理WORD格式1.4直接证明与间接证明 1.6 垂直关系1.5数学归纳法 1.7 简单几何体的面积和体积1.6本章小结与复习2.6面积公式和体积公式的简单应用本章小结与复习第三章数系的扩充与复数2.4数系的扩充与复数的概念第二章解析几何初步2.5复数的运算 2.1 直线与直线的方程本章小结与复习3.3圆的圆的方程选修 2——33.4空间直角坐标系第一章计数原理本章小结与复习1.5基本计数原理必修三1.6排列与组合第一章统计1.7二项式定理 1.1 统计活动：随机选取数字本章小结与复习2.3从普查到抽样第二章概率2.4抽样方法1.3离散型随机变量及其分布列 1.4 统计图表1.4条件概率与事件的独立性 1.5 数据的数字特征1.5随机变量的数学特征 1.6 用样本估计总体1.6正态分布 1.7 统计活动：结婚年龄的变化本章小结与复习1.5相关性第三章统计案例1.6最小二乘估计2.5独立性检验本章小结与复习2.6回归分析第二章算法初步本章小结与复习2.5算法的基本思想北师大版2.6算法的基本结构及设计2.7排序问题必修一 2.4 几种基本语句第一章集合本章小结与复习3.5集合的含义与表示第三章概率3.6集合的基本关系 3.1 随机事件的概率3.7集合的基本运算 3.2 古典概型本章小结与复习2.7模拟方法 --概率的应用第二章函数本章小结与复习3.3生活中的变量关系必修四3.4对函数的进一步认识第一章三角函数3.5函数的单调性 1.1 周期现象与周期函数3.6二次函数性质的再研究 1.2 角的概念的推广3.7简单的幂函数 1.3 弦度制本章小结与复习3.8正弦函数第三章指数函数和对数函数3.9余弦函数1.2正整数指数函数 1.6 正切函数1.3指数概念的扩充 1.7 函数的图像1.4指数函数 1.8 同角三角函数的基本关系1.5对数本章小结与复习1.6对数函数第二章平面向量1.7指数函数、幂函数、对数函数.2.1 从位移、速度、力到向量本章小结与复习2.2从位移的合成到向量的加法第四章函数应用2.3从速度的倍数到数乘向量4.1函数与方程 2.4 平面向量的坐标4.2实际问题的函数建模 2.5 从力做的功到向量的数量积本章小结与复习2.6平面向量数量积的坐标表示必修二 2.7 向量应用举例第一章立体几何初步本章小结与复习1.1简单几何体第三章三角恒等变形1.2三视图 3.1 两角和与差的三角函数1.3直观图 3.2 二倍角的正弦、余弦和正切1.4空间图形的基本关系与公理 3.3 半角的三角函数1.5平行关系 3.4 三角函数的和差化积与积化和.1.7三角函数的简单应用第四章数系的扩充与复数的引入本章小结与复习2.7数系的扩充与复数的引入必修五 4.2 复数的四则运算第一章数列本章小结与复习选修 2——12.6数列2.7等差数列第一章常用逻辑用语2.8等比数列 1.1 命题2.9数列在日常经济生活中的应用 1.2 充分条件必要条件2.10本章小结与复习3.5全称量词与存在量词第二章解三角形3.6逻辑联结词“且”或“非”.1.8正弦定理与余弦定理本章小结与复习1.9三角形中的几何计算第二章空间向量与立体几何1.10解三角形的实际应用举例2.1 从平面向量到到空间向量本章小结与复习2.5空间向量的运算第三章不等式2.6向量的坐标表表示和空间向量.1.7不等关系2.4 用向量讨论垂直与平行1.8一元二次不等式2.5 夹角的计算1.9基本不等式2.6 距离的计算1.10简单线性规划本章小结与复习本章小结与复习第三章圆锥曲线与方程选修 1——13.1 椭圆第一章常用逻辑用语1.7抛物线2.8命题3.3 双曲线2.9充分条件必要条件3.4 曲线与方程2.10全称量词与存在量词本章小结与复习选修 2——2 1.4 逻辑联结词“且”或“非”本章小结与复习第一章推理与证明第二章圆柱曲线与方程2.8归纳与类比3.10椭圆 1.2 综合法与分析法3.11抛物线 1.3 反证法3.12双曲线 1.4 数学归纳法本章小结与复习本章小结与复习第三章变化率与导数第二章变化率与导数3.8变化的快慢与变化率 2.1 变换的快慢与变化率3.9导数的概念及其几何意义 2.2 导数的概念及其几何意义3.10计数导数 2.3 计数导数3.11导数的四则运算法则 2.4 导数的四则运算法则本章小结与复习1.8简单复合函数的求导法则第四章导数应用本章小结与复习2.4函数的单调性与极值第三章导数应用2.5导数在实际问题中的应用3.1 函数的单调性与极值本章小结与复习WORD格式4.3导数在实际问题中的应用选修 1——2本章小结与复习第一章统计案例第四章定积分2.7回归分析 4.1 定积分的概念2.8独立性检验 4.2 微积分基本定理本章小结与复习2.6定积分的简单应用第二章框图本章小结与复习1.6流程图第五章数系的扩充与复数的引入1.7结构图 5.1 数系的扩充与复数的引入本章小结与复习5.2复数的四则运算法则第三章推理与证明本章小结与复习3.1归纳与类比苏教版3.2数学证明3.3综合法与分析法必修一3.4反证法第一章集合本章小结与复习1.1集合的含义及其表示WORD格式1.8子集、全集、补集2.3 等比数列1.9交集、并集第三章不等式第二章函数概念与基本初等函数I 3.1 不等关系2.8函数的概念和图像3.2 一元二次不等式2.9指数函数3.3 二元一次不等式组与简单线性.2.10对数函数2.11幂函数2.12函数与方程2.11基本不等式ab≤a b2( a ≥ 0， b ≥0)选修1—— 1 2.6 函数模型及其应用必修二第 1 章常用逻辑用语第一章立体几何初步1．1 命题及其关系1.1 空间几何体1．2 简单的逻辑联结词1.2 点、线、面之间的位置关系1．3 全称量词与存在量词1.3 空间几何体的表面积和体积本章小结与复习第二章平面解析几何初步第 2 章圆锥曲线与方程2.1 直线与方程2．1 圆锥曲线2.2 圆与方程2．2椭圆2.3 空间直角坐标系2．3 双曲线必修三2．4 抛物线第一章算法初步2．5 圆锥曲线与方程1.1 算法的含义本章小结与复习1.2 流程图第 3 章导数及其应用1.3 基本算法语句3．1 导数的概念1.4 算法案例3．2 导数的运算第二章统计3．3 导数在研究函数中的应用2.1 抽样方法3．4 导数在实际生活中的应用2.2 总体分布的估计本章小结与复习选修1—— 2 2.3 总体特征数的估计2.4 线性回归方程第 1 章统计案例第三章概率1．1 假设检验3.1 随机事件及其概率1．2 独立性检验3.2 古典概型1．3 线性回归分析3.3 几何概型1．4 聚类分析3.4 互斥事件本章小结与复习必修四第 2 章推理与证明第一章三角函数2．1 合情推理与演绎推理1.1 任意角、弧度2．2 直接证明与间接证明1.2 任意角的三角函数2．3 公理化思想1.3 三角函数的图象与性质本章小结与复习第二章平面向量第 3 章数系的扩充与复数的引入2.1 向量的概念与表示3．1 数系的扩充2.2 向量的线性运算3．2 复数的四则运算2.3 向量的坐标表示3．3 复数的几何意义2.4 向量的数量积本章小结与复习2.5 向量的应用第 4 章框图第三章三角恒等变换4．1 流程图WORD格式图3.1 两角和与差的三角函数4．2 结构3.2 二倍角的三角函数本章小结与复习选修2—— 1 3.3 几个三角恒等式用语必修五第 1 章常用逻辑第一章解三角形1．1 命题及其关系1.1 正弦定理1．2 简单的逻辑连接词1.2 余弦定理1．3 全称量词与存在量词1.3 正弦定理、余弦定理的应用本章小结与复习第 2 章圆锥曲线与方程第二章数列3.7数列2．1 圆锥曲线3.8等差数列2．2椭圆WORD 格式2．3 双曲线 2.3 幂函数2．4 抛物线本章小结与复习2．5 圆锥曲线的统一定义必修二2．6 曲线与方程第三章三角函数本章小结与复习3.1弧度制与任意角第 3 章空间向量与立体几何 3.2 任意角的三角函数3．1 空间向量及其运算 3.3 三角函数的图象与性质3．2 空间向量的应用本章小结与复习2.13函数 y=Asin( x+ )的图象与性质选修 2——2本章小结与复习第一章导数及其应用第四章向量1．1 导数的概念 4.1 什么是向量1．2 导数的运算 4.2 向量的加法1．3 导数在研究函数中的应用 4.3 向量与实数相乘1．4 导数在实际生活中的应用 4.4 向量的分解与坐标表示1．5 定积分 4.5 向量的数量积本章小结与复习2.12向量的应用第二章推理与证明本章小结与复习2．1 合情推理与演绎推理第五章三角恒等变换2．2 直接证明与间接证明 5.1 两角和与差的三角函数2．3 数学归纳法 5.2 二倍角的三角函数本章小结与复习3.9简单的三角恒等变换第三章数系的扩充与复数的引入本章小结与复习3．1 数系的扩充必修三3．2 复数的四则运算第六章立体几何初步3．3 复数的几何意义 6.1 空间的几何体本章小结与复习1.11空间的直线与平面选修 2——3本章小结与复习第一章计数原理第七章解析几何初步1．1 两个基本原理7.1 解析几何初步1．2 排列7.2 直线的方程1．3 组合7.3 圆与方程1．4 计数应用题7.4 几何问题的代数解法1．5 二项式定理7.5 空间直角坐标系本章小结与复习本章小结与复习第二章概率必修四2．1 随机变量及其概率分布第八章解三角形2．2 超几何分布8.1 正弦定理2．3 独立性8.2 余弦定理2．4 二项分布8.3 解三角形的应用举例2．5 离散型随机变量的均值与方差本章小结与复习2．6 正态分布第九章数列本章小结与复习2.7数列的概念WORD格式第三章统计案例9.2 等差数列3．1 独立性检验9.3 等比数列3．2 回归分析9.4 分期付款问题中的有关计算本章小结与复习本章小结与复习湘教版第十章不等式1.11不等式的基本性质必修一10.2 一元二次不等式第一章集合与函数10.3 基本不等式及其应用1.8集合10.4 简单线性规划1.9函数的概念和性质本章小结与复习必修五本章小结与复习第二章指数函数、对数函数和幂函数第十一章算法初步2.11指数函数11.1 算法概念和例子2.12对数函数11.2 程序框图的结构WORD格式1.10基本的算法语句本章小结与复习本章小结与复习第二章圆锥曲线与方程第十二章统计初步2.14椭圆12.1 随机抽样 2.2 双曲线12.2 数据表示和特征提取 2.3 抛物线12.3 用样本估计总体 2.4 圆锥曲线的应用12.4 变量的相关性 2.5 曲线与方程本章小结与复习本章小结与复习第十三章概率第三章空间向量与立体几何13.1 概率的意义 3.1 尝试用向量处理空间图形13.2 互斥事件的概率加法公式 3.2 空间中向量的概念和运算13.3 古典概型 3.3 空间向量的坐标13.4 随机数与几何概型 3.4 直线的方向向量本章小结与复习2.13直线与平面的垂直关系选修 1——12.14平面的法向量第一章常用逻辑用语2.15直线与平面、平面与平面所成.3.10命题的概念和例子 3.8 点到平面的距离3.11简单的逻辑联结词 3.9 共面与平行3.12本章小结与复习本章小结与复习选修 2——2 第二章圆锥曲线与方程1.12椭圆第四章导数及其应用1.13双曲线 4.1 导数概念1.14抛物线 4.2 导数的运算1.15圆锥曲线的应用 4.3 导数在研究函数中的应用本章小结与复习2.8生活中的优化问题举例第三章导数及其应用2.9定积分与微积分基本定理1.12导数概念本章小结与复习1.13导数的运算第五章数系的扩充与复数1.14导数在研究函数的应用 5.1 解方程与数系的扩充1.15生活中的优化问题举例 5.2 复数的概念1.16本章小结与复习1.10复数的四则运算选修 1——21.11复数的几何表示第四章点数统计案例本章小结与复习2.13随机对照实验案例第六章推理与证明2.14事件的独立性 6.1 合情推理和演绎推理2.15列联表独立性分析案例 6.2 直接证明与间接证明2.16一员线性回归案例 6.3 数系归纳法2.17本章小结与复习本章小结与复习选修 2——3 第五章推理与证明2.9合情推理和演绎推理第七章计数原理2.10直接证明与间接证明7.1 两个计数原理本章小结与复习3.13排列第六章框图3.14组合WORD格式3.12知识结构图7.4 二项式定理3.13工序流程图本章小结与复习3.14程序框图第八章统计与概率本章小结与复习1.9随机对照试验第七章数系的扩充与复数1.10概率2.7解方程与数系的扩充8.3 正态分布曲线2.8复数的概念8.4 列联表独立性分析案例2.9复数的四则运算8.5 一元线性回归案例2.10副数的几何表示本章小结与复习本章小结与复习高中沪教版选修 2——1高一上册第一章常用逻辑用语4.4命题及其关系第一章集合和命题4.5简单逻辑联结词 1.1 集合WORD格式1.11四种命题的形式第十一章坐标平面上的直线1.12充分条件和必要条件11.1 直线的方程本章小结与复习2.15直线的倾斜角和斜率第二章不等式2.16两条直线的位置关系2.16不等式的基本性质11.4 点到直线的距离2.17一元二次不等式的解法本章小结与复习2.18其他不等式的解法第十二章圆锥曲线2.19基本不等式及其运用12.1 曲线和方程2.20不等式的证明12.2 圆的方程本章小结与复习3.13椭圆的标准方程第三章函数的基本性质3.14椭圆的性质1.16函数的概念12.5 双曲线的标准方程1.17函数关系的建立12.6 双曲线的性质1.18函数的运算12.7 抛物线的标准方程1.19函数的基本性质12.8 抛物线的方程本章小结与复习本章小结与复习第四章幂函数、指函数和对数函数第十三章复数2.10幂函数的性质和对数函数13.1 复数的概念2.11指数函数的图像与性质13.2 复数的坐标表示本章小结与复习1.17复数的加法与减法高一下册13.4 复数的乘法与除法第四章幂函数、指函数和对数函数13.5 复数的平方根与立方根1.12对数13.6 实系数一元二次方程1.13反函数本章小结与复习1.14对数函数高三上册1.15指数函数和对数函数第十四章空间直线与平面本章小结与复习2.18平面及其基本性质第五章三角比2.19空间直线与直线的位置关系2.11任意角的三角比14.3 空间直线与平面的位置关系2.12三角恒等式14.4 空间平面与平面的位置关系2.13解斜三角形本章小结与复习本章小结与复习第十五章简单几何体第六章三角函数3.15多面体的概念3.15三角函数的图像与性质15.2 多面体的直观图1.11反三角函数与最简三角方程15.3 旋转体的概念本章小结与复习2.11几何体的表面积高二上册15.5 几何体的体积第七章数列与数学归纳法15.6 球面距离4.6数列本章小结与复习4.7数学归纳法第十六章排列组合和二项式定理4.8数列的极限16.1 技术原理Ⅰ—乘法原理WORD格式本章小结与复习2.9排列第八章平面向量的坐标表示2.10技术原理Ⅱ—加法原理1.8向量的坐标表示及其运算16.4 组合1.9向量的数量积16.5 二项式定理1.10平面向量的分解定理本章小结与复习1.11向量的应用高三下册本章小结与复习第十七章概率论初步第九章矩阵和行列式初步5.3古典概念3.5矩阵17.2 频率与概念3.6行列式本章小结与复习本章小结与复习第十八章基本统计方法第十章算法初步1.2总体和样本10.1算法的概念18.2 抽样技术10.2程序框图18.3 统计估计本章小结与复习18.4实例分析高二下册本章小结与复习。
高三数学第四章第1课时精品课件
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【名师点评】
(1)三角形法则和平行四边形法则是向量线性
运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用
三角形法则； (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各 向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找 关系；④化简结果．
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跟踪训练
2．已知：在任意四边形 ABC BC 的中点，求证：EF＝ (AB＋DC)． 2
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解 2.题型以选择题、 两个向量共线的含义． 填空题为主，常与
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
解析几何相联系.
本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
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教材回顾•夯实双基
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证明：法一：如图所示， ∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， → → → → ∴EA＋ED ＝0，FB＋FC＝0. → → → → 又∵BF＋FE＋EA＋AB＝0， → → → → ∴EF＝AB＋BF＋EA.① → → → → 同理EF＝ED ＋DC＋CF，② 由①＋②得， → → → → → → → → → 2EF＝AB＋DC＋(EA＋ED )＋(BF＋CF)＝AB＋DC， → 1 → → ∴EF＝ (AB＋DC)． 2
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→ 1→ C.BC－ BA 2
→ 1→ D.BC＋ BA 2
3．已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有 → → → 一点 C，满足 2AC＋CB＝0，则OC等于( ) → → A．2OA－OB → → B．－OA＋2OB 2→ 1→ C. OA－ OB 3 3 1→ 2→ D．－ OA＋ OB 3 3
向量复数知识点
第一节平面向量的概念及其线性运算一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则三、向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.四、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.第二节平面向量的基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设＝x i ＋y j ，则向量的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标，即若＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，||＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a 与b ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.OA OA OA AB AB OA OB当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥b⇔a·b＝0.3．a·a＝|a|2，|a|＝a·a.4．cos θ＝a·b|a||b|.(θ为a与b的夹角) 5．|a·b|≤|a||b|.四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝a21＋a22.4．cos θ＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.(θ为a与b的夹角)第四节数系的扩充与复数的引入一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋b i为实数；若b≠0，则a＋b i为虚数；若a＝0，b≠0，则a＋b i为纯虚数．2．复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．4．复数的模：向量OZ―→的长度叫做复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a ＋b i|＝a2＋b2.二、复数的几何意义复数z＝a＋b i―→复平面内的点Z(a，b)―→平面向量.三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则OZ设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c ＋d (c ＋d i ≠0)． 2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.。
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的工具性作用．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面几何及
力学问题，要求较低，只是在2011·天津，2010·辽宁高考中各考
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
π 2 2 (2)若 α＝ ，则 a＝( ， )． 4 2 2 又由 b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)，得 2 2 a· (b＋c)＝( ， )· (cos β－1，sin β) 2 2 2 2 2 ＝ cos β＋ sin β－ . 2 2 2 ∵a⊥(b＋c)， ∴a· (b＋c)＝0，即 cos β＋sin β＝1，∴sin β＝1－cos β. 平方后化简得 cos β(cos β－1)＝0. 解得 cos β＝0 或 cos β＝1， 经检验 cos β＝0 或 cos β＝1 满足题设要求． 故 cos β 的值是 1 或 0.
①
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．(1)向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标
转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．(2)相等向量、 共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握． 2．向量在解析几何中出现，多用于“包装”，求解这类 问题要根据向量的意义与运算“脱去”向量外衣，导出曲线
2 2 2
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
②当过点 C 的直线斜率存在时，设斜率为 k， 则直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)． 2 2 x y 2 2 2 2 代入方程 ＋ ＝1，整理得(3＋4k )x ＋8k x＋4k －12＝0. 4 3 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2 2 4k －12 8k x1＋x2＝－ 2，x1 x2＝ 2 ......................................9 分 3＋4k 3＋4k 2 9k 2 ∴y1y2＝k (x1x2＋x1＋x2＋1)＝－ 2. 3＋4k 2 5k ＋12 5 33 → · ＝x1x2＋y1y2＝－ → ∴OA OB ＝－ － …..11 分 2 2 4 44k ＋3 4k ＋3 11 33 5 → · ∈[－4，－ )． → ∴－ ≤－ ＜0，∴OA OB 2 4 4 44k ＋3 5 → · 的取值范围是[－4，－ ]………..14 分 → 综合①②知，OA OB 4
向量在解析几何中的应用
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
向量在解析几何中的应用
已知点 P(0，－3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴 3→ → ·→ ＝0，AM＝－ MQ，当点 A 在 x 轴上移动 → 上，点 M 满足PA AM 2 时，求动点 M 的轨迹方程．
【思路点拨】 设动点M(x，y)，利用向量共线，垂直等
率与a的坐标有何关系？你能写出该直线的方程吗？
2 1 【提示】 直线的斜率 k＝ ＝ ，为 a 的纵坐标与横坐标的比值， 4 2 1 ∴直线方程为 y－2＝ (x－1)，即 x－2y＋3＝0. 2
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
向量在平面几何中的应用
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．(1)物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型．
(2)善于将平面向量与物理知识进行类比．例如，向量加法的
平行四边形法则可与物理中力、位移的合成分解进行类比．
2．用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中
的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向 量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
→· → 1． 本题把证明 AD⊥CE 转化为证明向量垂直， 即证明AD CE → ，CE用基向量CA，CB表示出来，然后利 → → → ＝0.解题的关键是把AD 用向量的运算法则和性质解决问题． 2．用向量法解决几何问题的“三步曲”，先用向量表示相应 的点、线段、夹角等几何元素；通过平面向量的运算解决向量问 题；把向量运算结果“翻译”成几何关系．
量积为0，从而列方程求解．
(1)把b＋c用坐标表示，再求|b＋c| 的表达式；(2)由向量垂直得数
【尝试解答】 (1)b＋c＝(cos β－1，sin β)，则 2 2 2 |b＋c| ＝(cos β－1) ＋sin β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1. 2 ∴0≤|b＋c| ≤4， 即 0≤|b＋c|≤2. 当 cos β＝－1 时，有|b＋c|＝2， 所以向量 b＋c 的长度的最大值为 2.
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
【规范解答】 (1)设 P(x，y)，则 Q(－4，y)， → ＝(－4－x,0)，PC＝(－1－x，－y)． → ∴PQ → ＋2PC)·→ －2PC)＝0， → (PQ → ∵(PQ → 2－4PC2＝0，∴|PQ|2＝4|PC|2………………………2 分 → → → ∴PQ ∴(－4－x) ＝4[(－1－x) ＋(－y) ]， 2 2 x y 整理得： ＋ ＝1，即为点 P 的轨迹方程……………...4 分 4 3 (2)①当过点 C 的直线斜率不存在时，其方程为 x＝－1. 3 3 解得 A(－1，－ )，B(－1， )． 2 2 5 → · ＝－ …………………………………………..6 分 → 此时OA OB 4
一个小题，重点考查向量方法的简单应用，另外向量作为载体，
常与相关知识交汇，平面向量在其中起一个穿针引线的作用，如
2011·江西高考，此类题目常以向量的运算为切入口，体现了向量
的工具性作用．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
规范解答之八 数量积在解析几何中的应用 (14 分)(2012· 茂名质检)已知平面上一定点 C(－1,0)和一定 直线 l：x＝－4，P 为该平面上一动点，作 PQ⊥l，垂足为 Q，且 → ＋2PC)·→ －2PC)＝0. → (PQ → (PQ (1)求点 P 的轨迹方程； (2)点 O 是坐标原点，过点 C 的直线与点 P 的轨迹交于 A， → · 的取值范围． → B 两点，求OA OB
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
→ 与PC. → 【解题程序】 第一步：设点 P(x，y)，表示向量PQ 第二步：利用向量数量积与模的运算，得点 P 的轨迹方程． → · 的值． → 第三步：讨论斜率不存在的直线 x＝－1 时，求OA OB →· . → 第四步：当斜率 k 存在时，用参数 k 表示OA OB → · 的取值范 → 第五步：利用函数的性质与不等式的性质求OA OB 围． 第六步：检验易错点，规范题目结论．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．解答本题主要用到两方面的知识，一是把向量模
转化为向量的数量积，二是把向量垂直转化为数量积为 0.
2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常
是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题
，然后利用三角函数基本公式求解．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
向量在物理中的应用
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
向量在物理中的应用
如图4－4－2所示，已知力F与水平方向 的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N， F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数μ＝ 0.02的水平平面上运动了20 m，问F、摩擦 力f所做的功分别为多少？ 【思路点拨】 力在位移上所做的功，是向量数量积的物理
a· b |a||b| ＝_________＝
2
x1x2＋y1y2 → |＝ ，②|AB|＝|AB 2 2 2 2 x1＋y1 x2＋y2
2
＝
_______________________.
x2－x1 ＋y2－y1
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
2．向量在物理中的应用
(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用．
上点的坐标之间的关系，从而解决有关斜率、距离、轨迹与
最值等问题．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面几何及
力学问题，要求较低，只是在2011·天津，2010·辽宁高考中各考
一个小题，重点考查向量方法的简单应用，另外向量作为载体，
常与相关知识交汇，平面向量在其中起一个穿针引线的作用，如
向量在平面几何中的应用
如图4－4－1所示，在等腰直角三角
形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，
D为BC的中点，E是AB上的一点，且
AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
→ · ＝0. → 【思路点拨】 要证 AD⊥CE，只需证AD CE
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1→ → 2→ → · ＝(AC＋ CB)· ＋ AB) → → 【尝试解答】 AD CE (CA 2 3 1→ → 2→ → 1→ → → |2＋ CB· ＋ AB· ＋ AB· ＝－|AC CA AC CB 2 3 3 1→ → 2 2→2 2→2 → |2＋ |CB||CA|cos 90° ＝－|AC ＋ |AC| cos45° |AC| cos 45° ＋ 2 3 3 → |2＋|AC|2＝0， → ＝－|AC → ⊥CE，即 AD⊥CE. → ∴AD
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节
平面向量应用举例
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．向量在几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题， 常用共线向量定理： a∥b a＝λb ⇔______________ ⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)． (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a· b＝0 a⊥b⇔______________ ⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用①cos〈a，b〉