12.1 常数项级数的概念和性质

sn
lim
n
sn1
s
s
0.
结论 若级数的一般项un 不趋于0 (n )，则 un 必发散. n1
15
注意
lim
n
un
0并非级数收敛的充分条件.
但
s2n
sn
1 n 1
1 n2
1 n3
1 n 1， 2n 2n 2
矛盾，所以假设不真，故，调和级数发散.
16
例 5 判断下列级数的敛散性，若收敛求其和.
n 1 n 2
1 2
1
n
1 1
1 2
n
1
2
lim
n
sn
1，故，该级数收敛，其和为 1 .
4
4
19
三、柯西审敛原理(选学)
定理(柯西收敛原理) 级数 un 收敛 n1
0，正整数 N，当n N 时，对任意正整数 p，恒有
un+1+un+2 + un+p .
例
解
6
利用柯西审敛原理判定级数 对任意的正整数 p，
n0
的敛散性.
aqn
(a 0)
解：(1)若 q 1，则部分和
sn a aq aq2
aqn1 a aqn 1 q
当
q
1时，由于 lim qn n
0，从而
lim
n
sn
a， 1 q
因此，该级数收敛，且其和s a . 1 q
当
q
1时，由于lim qn n
，从而
lim
n
sn
，故，该级数发散.
8
n0
例 2 判断下列级数的敛散性
ห้องสมุดไป่ตู้1 n1
(1) n1
3n1
4n
(2)
3n1
n1
解 (1) 原式 ( 1)n1 ( 1)n， 是等比级数，
n1 3
n0 3
公比 q 1 1，故，该级数收敛. 3
(2)
原式
4
n 1
4n1 3n1
n0
4
4 3
n，
是等比级数，
公比 q 4 1，故，该级数发散. 3
第十二章 无穷级数
常数项级数
无穷级数
幂级数
傅立叶级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究函数性质
进行数值计算
1
2
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
a0 a1 a2 an 的极限就是所求的圆面积 A.
3
定义 给定一个数列 u1,u2 , u3, , un , ，将各项依次相加，即， u1 u2 u3 un ，
k 2
n
n
n1
2a1 ak (n 1)an1 ak (n 1)an1 k(ak ak1) a1
k 2
k 1
k 2
n
n1
于是，lim n
k 1
ak
lim(n
n
1)an 1
lim n
k 2
k (ak
ak 1)
a1
A s a1
故，级数 an 收敛.
n1
11
二、收敛级数的基本性质
(k 2) k k(k 1)(k 2)
1 2
n k 1
1 k(k 1)
(k
1 1)(k
2)
1 2
n k 1
(
1 k
1 )( 1 k 1 k 1
k
1
2
)
1 {[(1 1) (1 1) (1 1 )] [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]}
2 2 23
n n 1 2 3 3 4
un +p
，依据柯西审敛原理知：级数
n1
1 n2
的收敛.
20
作业 P254 - P255
3；4(1)(3)(5)
21
n1
1 n2
的收敛性.
un+1 +un+2 +
un +p
=
(n
1 1)2
1 (n 2)2
1 (n p)2
1
1
1
1 1 1，
n(n 1) (n 1)(n 2) (n p 1)(n p) n n p n
故， 0，取正整数 N 1 ，当n N 时，对任意正整数 p，恒有
un+1 +un+2 +
性质1 若级数un 收敛于 s，即，s un，则各项乘以常数 k
n1
n1
所得新级数c un 也收敛，且其和为c s. n1
说明：
级数的每一项同乘一个非零的常数后，它的收敛性不会改变.
性质 2 若级数 un 和 vn 分别收敛于s 和，则级数 (un vn )
n1
n1
n1
也收敛，且其和为s .
7
(2) 若 q 1，则
当q 1时，sn n a (n )，故，该级数发散； 当q 1时，级数为
a a a a (1)n1 a
此时，sn
a，n 为奇数 0，n 为偶数
故，lim n
sn
不存在，级数发散.
综上，当 q 1，等比级数 a qn 收敛；
n0
当 q 1，等比级数 a qn 发散.
仍收敛，且其和不变.
推论 若加括弧后的级数发散，则原级数必发散. (反证法)
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 如 (11) (11) 0，但1111 发散.
14
性质 5 (级数收敛的必要条件)
若级数
un
n1
收敛，则lim n
un
0.
证：un sn sn1
lim
n
un
lim
n
9
拆项相消
解：(1)
234 sn ln 1 ln 2 ln 3
ln n 1 n
[ln 2 ln1] [ln 3 ln 2] [ln(n 1) ln n]
ln(n 1)
故，lim n
sn
，该级数发散.
(2)
sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1
1
1 2n1
2 2 1 1
2n 1 2n1
1
1 2n 1
2
2 1 2n1 2n1
sn
3
1 2n2
2n 1， 2n
lim
n
sn
3，
故，该级数收敛，且其和为3.
18
(3)
1
n1 n3 3n2 2n
sn
n k 1
k3
1 3k 2
2k
n k 1
k(k
1 1)(k
2)
1 2
n k 1
(1) enn!；
(2) 2n 1；
(3)
1
nn
n1
2n
n1
n1 n3 3n2 2n
解：(1)
令
un
enn! nn
(1
1 n
)n
单调上升有上界
e！
en1(n 1)!
则 un1 un
(n 1)n1 enn! nn
e
(1
1 n
)n
1
(n 1, 2,
)
故，un un1 u1 e.
说明：两个收敛级数可以逐项相加或相减.
如
级数
1 n1 ( 2n
1 3n
)
收敛.
12
注释:
(1) 若级数 un 和 vn 中一个收敛，一个发散，则 (un vn )必发散.
n1
n1
n1
(用反证法可证)
(2) 若级数 un 和 vn 均发散，则 (un vn ) 可能收敛，也可能发散.
1 3
1 4
1 n
n
1 1
1 1 n 1
故，
lim
n
sn
1，该级数收敛.
10
例 4 设数列{nan}收敛，级数 n(an an1)收敛， n2
证明：级数 an也收敛.
n1
证：记
lim
n
nan
A，
n(an
n2
an1)
s.
n1
k(ak ak1) 2(a2 a1) 3(a3 a2 ) (n 1)(an1 an )
从而，lim n
un
0，于是，
n1
enn!发散. nn
17
2n 1
(2)
n 1
2n
部分和：sn
1 2
3 22
5 23
2n 1 2n
sn
1 2
sn
1 2
3 22
5 23
2n 1
2n
1 22
3 23
5 24
2n 1 2 n 1
11 1 1 2 2 22 23
1 2n1
2n 1 2n1
1
n1
n1
n1
如，取 un (1)2n，vn (1)2n1，则un vn 0.
un 和 vn 均发散.
n1
n1
(
lim
n
un
1
0；
lim
n
vn
1
0)
(un vn ) 0 收敛.
n1
n1
13
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变它的敛散性.
性质 4 若级数 un 收敛，则对此级数的项任意加括号后所成的级数 n1 (u1 un1 ) (un11 un2 ) (unk11 unk )
sn u1 u2 u3 un，
它们构成一个数列sn，称为级数 un 的部分和数列. n1
★ 下面，由级数的部分和数列sn在n 时是否存在极限，
引入无穷级数的收敛与发散的概念.
5
定义 给定一个无穷级数 un. 设它的部分和数列{sn}， n1
若 lim n
sn
s，则称
un
n1
收敛，并称 s
称上式为(常数项)无穷级数，简记为 un . n1
即， un u1 u2 u3 un ， n1
其中，第n 项un(通项)叫做级数的一般项.
★ 级数 un 的前 n 项和 n1 n sn uk u1 u2 u3 un k 1 称为该级数的部分和. 4
★ 级数 un 部分和数列 n1 当n 依次取1, 2, ,时，部分和sn 分别为 s1 u1， s2 u1 u2，
为该级数的和，
记作， s un u1 u2 u3 un . n1
若 lim n
sn
不存在(包括
lim
n
sn
)，则称
un
n1
发散.
当无穷级数 un 收敛时，称 n1
rn s sn un1 un2 为该级数的余项.
6
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2