高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积课件苏教版选修2-1

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高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2

变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3，－12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz，则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝

选修2-1第三章空间向量与立体几何归纳整合

→ →
→ →
网络构建
专题归纳
高考真题
【例3】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得
D1E⊥平面AB1F.
解如图建立空间直角坐标系：则 A(1，0，0)， B1(1， 1， 1)， 1 D1(0， 0， 1)， E( ， 1， 0)． 2 设 F(0，y，0)，则AB1＝(0， 1， 1)， 1 AF＝ (－1，y，0)，D1E＝ ( ，1，－1)， 2
→
→
→
网络构建
专题归纳
高考真题
要使 D1E⊥平面 AB1F，
→ → 1－ 1＝ 0， D1E·AB1＝0， 1 只需即即 y＝ . 1 2 → → －＋y＝0， D1E·AF＝ 0， 2
∴当 F 为 CD 中点时，有 D1E⊥平面 AB1F.
网络构建
专题归纳
→
→
→
解
如图所示，用 a， b， c 分别代表棱OA、
→
OB、OC上的三个单位向量，则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
→
→
则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a· b＋6a· c＋12b· c ＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60° ＝14＋2＋3＋6＝25， ∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与
共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基
础．
网络构建
专题归纳
高考真题
【例1】沿着正四面体 O－ABC 的三条棱OA、OB、OC的方向有大

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.1 空间中向量的概念和运算学案湘教版选修2-1-湘教版高

3．1 空间中向量的概念和运算1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法．2.掌握空间向量的线性运算，数量积．3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题．1．空间向量 (1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模． (2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记作|AB →|或|a |.2．空间向量的加减法如图，从任意一点O 出发作OA →＝a ，OB →＝b .并且从A 出发作AC →＝b ，则a ＋b ＝OC →，a －b ＝BA →．3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．空间向量与实数相乘(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量． (2)向量a 与λa 的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0 方向相同λa 的模是a 的模的|λ|倍λ＝0λa ＝0，其方向是任意的λ<0方向相反(3)空间向量与实数的乘法运算律①λ(a ＋b )＝λa ＋λb (对向量加法的分配律)． ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a (对实数加法的分配律)．5．空间向量的数量积(1)定义：从空间任意一点O 出发作OA →＝a ，OB →＝b ，则θ＝∠AOB 就是a ，b 所成的角，a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |·cos__θ.(2)空间向量数量积的运算律向量与实数相乘和向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a·b )交换律 a·b ＝b·a 分配律a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c1．下列命题错误的是( )A ．空间向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．零向量没有长度，所以它不是空间向量C ．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c解析：选B.A 中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B 错误；C 是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D 正确．2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则a·(b ＋c )的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ＝0.3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量AA 1→与CC 1→是______向量，向量AC →与C 1A 1→是________向量．答案：相等相反空间向量的加减运算如图所示，已知长方体ABCD A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→，AC ′→如图所示．试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC ′→用向量AA ′→，AB →，AD→表示．解：在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→，在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →，故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．1.化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：02．如图，在四棱锥V ABCD 中，化简VA →－VC →＋AB →＋BC →.解：VA →－VC →＋AB →＋BC →＝CA →＋AC →＝0.空间向量的线性运算如图所示，已知空间四边形ABCD 中，向量AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，若M 为BC 中点，G 为△BCD 的重心，试用a 、b 、c 表示下列向量：(1)DM →；(2)GM →；(3)AG →.【解】 (1)连接AM ，在△ADM 中，DM →＝DA →＋AM →，由线段中点的向量表示知 AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，由相反向量的概念知DA →＝－AD →＝－c ，所以DM →＝DA →＋AM → ＝12(a ＋b )－c ＝12(a ＋b －2c )． (2)在△BCD 中，GM →＝13DM →＝13·12(a ＋b －2c ) ＝16a ＋16b －13c .(3)在△ADG 中，由三角形重心的性质，得 AG →＝AD →＋DG →＝c ＋23DM →＝c ＋13(a ＋b －2c )＝13(a ＋b ＋c )．(1)有限多个空间向量a 1，a 2，a 3，…，a n 相加，可以从某点O 出发，逐一引向量OA 1→＝a 1，A 1A 2→＝a 2，…，A n －1A n ＝a n .如图，于是以所得折线OA 1A 2…A n 的起点O 为起点，终点A n 为终点的向量OA n →就是a 1，a 2，…，a n 的和，即OA n→＝OA 1→＋A 1A 2→＋…＋A n －1A n ――→＝a 1＋a 2＋…＋a n .此即为空间向量的多边形法则．(2)用折线作向量的和时，若折线的终点与起点重合，则和向量为零向量．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x 、y 的值：(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 解：如图， (1)因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12.(2)因为PA →＋PC →＝2PO →，所以PA →＝2PO →－PC →. 又因为PC →＋PD →＝2PQ →，所以PC →＝2PQ →－PD →.从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. 所以x ＝2，y ＝－2.向量的数量积及应用已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积． (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.【解】如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.若本例的条件不变，计算EF →·FC 1→.解：EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.(1)空间向量运算的两种方法①利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．②利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． ③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．已知|a |＝3，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则(3a －2b )·(a ＋2b )＝________．解析：(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3|a |2＋4|a ||b |cos 120°－4|b |2＝3×9＋4×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4×16＝27－24－64＝－61. 答案：－611．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，运用运算法则，化简到最简为止．2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量a ，b 中，b ≠0，且有a ＝λb (λ∈R )，则a ，b 共线．3．两向量的数量积，其结果是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．4．当a ≠0时，由a ·b ＝0不能推出b 一定是零向量，这是因为任一个与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b ＝0，这由向量的几何意义就可以理解．1.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝( )A.AB 1→B.DC →C.AD →D.BA →解析：选B.因为D 1C 1→＝A 1B 1→，所以AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝AA 1→＋A 1B 1→－BB 1→＝AB 1→＋B 1B →＝AB →. 又AB →＝DC →，所以AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝DC →.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________．解析：因为AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →，因为AP ⊥BD ，所以AP →·BD →＝0.因为AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2，所以AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18. 答案：183.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→； (2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→； (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →. 解：(1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→.(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→＝AA 1→＋A 1M →＋MD 1→＝AD 1→. (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→. (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →＝0.[A 基础达标]1．若向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c·a ＝0且b·c ＝0”是“l ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当a ∥b 时，由c·a ＝0且c·b ＝0得不出l ⊥α；反之，l ⊥α一定有c·a ＝0且c·b ＝0.故选B.2．如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－23解析：选A.因为CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.3.如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 解析：选A.AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→ B.AB →－AC →＋BB 1→ C.AB →＋AD →＋AA 1→D.AC →＋CB 1→ 解析：选A.在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 5．如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：选A.注意到AM →＝12AC →＝12A 1C 1→＝12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝12(a ＋b )，B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－a＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .6．如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则直线AB 1和BM 的位置关系是________．解析：因为AB 1→＝AA 1→＋AB →，BM →＝BC →＋12CC 1→＝BC →＋12AA 1→，设三棱柱的各棱长均为a ，则AB 1→·BM →＝(AA 1→＋AB →)·(BC →＋12AA 1→)＝AA 1→·BC →＋12AA 1→2＋AB →·BC →＋12AB →·AA 1→＝0＋12a 2＋a 2cos 120°＋0＝0.所以AB 1→⊥BM →. 答案：垂直7．如图，已知四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．命题：①向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB→＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中的真命题是________．解析：①中a 所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a ＝0，而b ≠0时，则找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；③中M 是△ABC 的重心，故M 在平面ABC 上且在△ABC 内，故③是真命题．答案：③9．已知正四面体O ABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝（OA →＋OB →＋OC →）2 ＝12＋12＋12＋2（1×1×cos 60°）×3＝ 6.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →.并在图中标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)因为E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．[B 能力提升]11.正四面体A BCD 的棱长为a ，点E 、F 、G 分别为棱AB 、AD 、DC 的中点，则四个数量积：①2BA →·AC →；②2AD → ·BD →；③2FG →·AC →；④2EF →·CB→中结果为a 2的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B.①2BA →·AC →＝2·a ·a cos 120°＝－a 2.②2AD →·BD →＝2·a ·a ·cos 60°＝a 2.③2FG →·AC →＝2·a 2·a ·cos 0°＝a 2. ④2EF →·CB →＝2·a 2·a ·cos 120°＝－a 22. 12．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)，所以(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0.又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0.答案：013．已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′→；(3)AB →＋AD →＋12CC ′→； (4)13(AB →＋AD →＋DD ′→)．解：如图所示，(1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→.(3)设M 是线段CC ′的中点，则 AB →＋AD →＋12CC ′→＝AC →＋CM →＝AM →.(4)设G 是线段AC ′的三等分点，则 13(AB →＋AD →＋DD ′→)＝13(AC →＋CC ′→)＝13AC ′→＝AG →.14.(选做题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则a·b ＝0，b·c ＝0，a·c ＝0. 而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )， BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c .所以A 1O →·BD →＝(c ＋12a ＋12b )·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝12(|b |2－|a |2)＝0.所以A 1O →⊥BD →，所以A 1O ⊥BD .同理可证：A 1O →⊥OG →，所以A 1O ⊥OG .又因为OG ∩BD ＝O ，且A 1O ⊄平面BDG ，所以A1O⊥平面GBD.。

高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(1.5)ppt课件

2019/8/29
最新中小学教学课件
30
规律方法利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量； ②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题； ③利用向量的数量积求角的大小；④证两向量垂直可转化为数量积为零.
3.1.5 空间向量的数量积
15
跟踪演练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱
④|a·b|≤|a|·|b|
3.1.5 空间向量的数量积
8
预习导学
挑战自我，点点落实
要点一空间向量的数量积运算
例1 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，
E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算： (1)B→C·E→D1；(2)B→F·A→B1；(3)E→F·F→C1. 解如图，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
3.1.5 空间向量的数量积
1234
27
课堂小结
空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.
3.1.5 空间向量的数量积
28
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。

2020_2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算素养课件新人教A

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4．如果 e1，e2 是两个夹角为 60°的单位向量，则 a＝e1＋e2 与 b＝e1－2e2 的夹角为________．
【答案】120° 【解析】由已知，e1·e2＝21，所以(e1＋e2)·(e1－2e2)＝－32， |e1＋e2|＝ 3，|e1－2e2|＝ 3. 所以 a 与 b 的夹角的余弦值为 cos 〈a，b〉＝|ee11＋＋ee22||ee11－－22ee22|＝－12.所以 a 与 b 的夹角为 120°.
4 ．已知空间四边形 OABC ， OB ＝ OC ， ∠AOB＝∠AOC＝θ，则OA与BC的位置关系为 ________．
【答案】垂直【解析】O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B＝|O→A
→ |·|OC|cos
θ－|O→A|·|O→B|cos
【解题探究】求|MN|即为求向量|ND|的模长.
求两点间的距离或线段的长度时，先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示该向量，再利用|a|=
，计算出|a|，即得所求距离.
找向量的夹角易出错【示例】如图，AO⊥平面α，BC⊥OB， BC与平面α所成角为30°，AO＝BO＝BC＝ a，求AC长．
∴cos〈O→A，B→C〉＝|O→O→AA|··|B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
∴OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
对于空间向量 a，b，有 cos〈a, b〉＝|aa|·|bb|，利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题．由于向量夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成角的取值范围为0，π2，故当〈a，b〉∈0，π2时，它们相等；而当〈a，b〉∈π2，π时，它们互补．

2018年高中数学第3章空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量积课件5 苏教版选修2-1

解：设正方体的棱长为1，如
z
D1 A1
F1 E1 B1
图建立空间直角坐标系 O xyz ，
则：
C1
B(1,1, 0)
,
E1 1 ,
3 4
, 1
,
D
O
A
x
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
C
y
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
DF1
0
,
1 4
，1
(0
| AC | 85.
例6 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
A
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则
M
B
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1
,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
| AB | (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
化简整理，得 4x 6 y 8z 7 0 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满
足的条件是4x 6 y 8z 7 0.
例7 已知点A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ), C ( 0 , 0 , 1 ) , 求满足下列条件的点D的坐标:

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示课件新人教A版选修21

在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝ 90°，D 为 BB1 的中点，则异面直线 C1D 与 A1C 所成角的余弦值为( )
A．
10 5
B．2 7 5
C．
15 15
D．
10 15
第十五页，共52页。
【解析】建系如图，则 C1(0，1，2)，D(1，0，1)，A1(0，0，2)， C(0，1，0)．
【精彩点拨】 (1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？
第十八页，共52页。
【自主解答】由于 A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以 p＝A→B＝(2，1，3)，q＝C→D＝(2，0，－6)．
第二十七页，共52页。
向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：(1) 适当引入参数(比如向量 a，b 平行，可设 a＝λb)，建立关于参数的方程；(2) 最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
第二十八页，共52页。
(1)A→B＝_____(_a_2_－_a_1_，__b_2－__b_1_，_c_2_－__c_1)______； (2)dAB＝|A→B|＝_____（__a_2－__a_1_）__2_＋__（__b_2－__b_1_）__2＋__（__c_2_－__c_1）__2_____．
第十四页，共52页。
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.2 空间向量的坐标讲义(含解析)湘教版选修2-1-湘教版高

3．2空间向量的坐标[读教材·填要点]1．定理1设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．定理2(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法：a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积：(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：|v|＝x2＋y2＋z2.(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：d AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．[小问题·大思维]1．空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？提示：p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．空间向量基本定理的应用空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→，而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)∴OG ―→＝OA ―→＋23AD ―→＝OA ―→＋23(OD ―→－OA ―→)＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(a ＋b ＋c )．而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝13(b ＋c )∴GH ―→＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→＝－13a .本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→＝－16a ＋13b ＋13c .用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12c . 空间向量的坐标运算已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→.(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c .(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，2＝－4λ，∴k ＝0.已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )，则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.点的坐标与向量坐标在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―→＋12（OA ―→＋OB ―→）＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→.又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→|＝2， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→|＝4， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4)．用坐标表示空间向量的方法步骤为：3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→的坐标．解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→的实数x ，y ，z 的值．[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→－EM ―→.∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→，EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→，连接MF ，则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→，而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→，FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→＝12(PA ―→＋AD ―→)－23(PA ―→＋AC ―→) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)．答案：B2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)解析：b ＝(a ＋b )－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)．答案：B3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.答案：C4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________．解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)，则|PD ―→|＝－1－12＋3－12＋3－12＝12＝2 3. 答案：2 35．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角θ的大小是________．解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)，cos 〈AB ―→，CA ―→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14＝－714＝－12， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→的坐标．解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23PC ―→＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.一、选择题1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．答案：C2．以正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→＝(1,1,1)，∴与DB 1―→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)．答案：C3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ.解得λ＝－2或255.答案：C 二、填空题5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－46．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：107．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________．解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．答案：(－∞，－2)8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→，则向量OM ―→的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→＝(1，－7，－2)，MM 2―→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝43－x ，－7＝4－2－y ，－2＝4－5－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎪⎫114，－14，－92三、解答题9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→|＝4＋0＋64＝217，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ，则|CD ―→|＝2S △ABC |AB ―→|＝3 6.10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD ―→的坐标；(2)设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→＝(0,1,0)．所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(0,2,0)．设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC―→|AD ―→|·|BC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.∴cos θ＝－105.。

(完整版)高中数学苏教版教材目录(必修+选修)

苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明第3章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义第4章框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。

课件1：3.1.2空间向量的基本定理

点，点G在MN上，且MG＝2GN，设
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，
→ OC
＝c，
试求向量O→G在基底{a，b，c}下的分解式．
【解】如图所示，由线段中点的向量表达式，得O→G＝O→M
＋
M→G
＝
O→M
＋
2 3
M→N
＝
1 2
O→A
＋
2 3
(
M→O
＋
O→C
＋
C→N
)
＝
1 2
a
＋
2 3
－12a＋c＋12
b－c
1．判断三个(或以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
2．向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．
2．证明空间三个向量共面，常用如下方法： ①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a、b、c共面； ②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
1．在下列条件下，使M与A，B，C一定共面的是( ) A.O→M＝3O→A－2O→B－O→C B.O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝0 C.M→A＋M→B＋M→C＝0 D.O→M＝14O→B－O→A＋12O→C
2．在图中任找一向量p，是否都能用a，b，c来表示？【提示】是．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc .

苏教版高中数学选修21空间向量及其运算3ppt

思想.
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
(四). 猜想训练
训练１：如图,共始点的两个不共线向量的加法满足平行四边形法则.
请问,共始点的三个不共面的向量满足什么法则？
D A
C B
D
C
A
B
训练２：如图,已知 OA OB OD , 那么D是AB的中点. 2
已知O为⊿ABC平面外一点,如果 OA OB OC OD , 3
2. 在平面内的单位向量，方向有多少个? 如果始点确定，那么终点构成的图形是？在平面直角坐标系上，始点在原点，那么
终点的坐标满足的条件是?
3. 请把以上问题推广到空间．
认知学派理论认为：数学学习过程，是新知识与学生头脑里原有的认知结构相互作用，形成新的认知结构的过程．这里从一维开始类比到二维的方法，学生是熟悉的. 这样，学生从二维类比到三维也就有了基础．而练习的安排又使抽象的概念有了载体，并且重点突出向量的方向，而向量的方向恰恰是向量的灵魂，并不适时机地把向量坐标化．让学生获得猜想的机遇，从而获得猜想的能力．并为后续的向量坐标运算作了一个引子.
练习1.如图,正方体中,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.
(1) AB BC CC1 C1D (2) AB AD BB1
练习2.如图,空间四边形ABCD中, E、F、G、H分别是四
边的中点.求证: EH FG.
D1 A1
C1 B1
A
H E
D A
C B
D G
B
F
C
练习 1 的目的是在正方体中理解向量加减法的意义.
练习 2 选用一个熟悉的习题，目的在于应用向量方法解决立体几何问题．并了解知识间的联系,讲解时从检验加法结合律

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量积课件12 苏教版选修2-1

3), b
(1, 0, 0), 求
a, b
.

3
2.已知向量a,b,c,满足2a b （0， 5，10），
c (1,-2,-2),且a c 4,求b c.
-18
3.若A（1, 2，m)，B（2,3-m, -2），且AOB为锐角，
求m的范围。
m 2且m -1
K12课件

K12课件
2
合作交流：
设空间两个非零向量a （x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
则a b __x_1_x_2____y_1_y_2___z_1_z_2___ .
证明：设{i, j, k}为空间的一个单位正交基底，则
a b (x1i y1 j z1k) (x2i y2 j z2 k)

x1x2i
2

y1 y2
j2

2
z1z2 k

x1 y2i

j

x1z2i
k

y1x2
j
i
y1z2 j k z1x2 k i z1y2 k j x1x2 y1 y2 z1z2
由此我们得到：
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。
K12课件
3
问题4、已知a (x, y, z),如何将 a 用其坐标表示？
a x2 y2 z2 . 问题5、若设a起点A(x1, y1, z1),终点B(x2, y2, z2 ), 如何将 AB 用A, B两点坐标表示？
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 （z2 z1)2 ,
这就是A、B两点间的距离公式

2018年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积课件6苏教版选修2_1

3．情感、态度与价值观 (1)通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式．(2)通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学的魅力，激发学生学数学、用数学的热情． ●重点难点重点：空间向量数量积公式及其应用．难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题．
空间向量的数量积
设 a，b 是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉．
我们规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . a·b
cos〈a，b〉＝ |a||b| (a，b 是两个非零向量)． a⊥b⇔a·b＝0(a，b 是两个非零向量)． |a|2＝ a·a ＝ a2 .
【自主解答】法一如图所示，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1 ＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)B→C·E→D1＝b·[12(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16. (2)B→F·A→B1＝(c－a＋12b)·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)E→F·F→C1＝[12(c－a)＋12b]·(12b＋a) ＝12(－a＋b＋c)·(12b＋a) ＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
●教学流程
演示结束
1.理解空间向量的夹角的概念，
理解空间向量的数量积的概念、
课标解读
性质和运算律．(重点) 2．掌握空间向量的数量积及应用．(重点、难点)
3．向量夹角与直线所成角的区
别．(易错点)
空间向量的夹角
【问题导思】〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？