2019年人教版高中数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质优质课教案
人教A版数学必修二2.2.3 直线与平面平行的性质 同步教学教案
2.2.3 直线与平面平行的性质一、教学目标 1.知识与技能通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理． 2.过程与方法(1)通过直观感知和操作确认的方法，发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力； (2)体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程； (3)通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性． 3.情感、态度与价值观通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学生学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交流能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析、解决问题的能力． 二、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理．教学难点：综合应用线面平行的判定定理和性质定理． 三、授课类型：新授课 四、教学方法：师生合作探究 五、教具准备：三角板、小黑板 六、课时安排：1课时 七、教学过程教学内容师生互动【回顾旧知】1.直线与平面的位置关系；线在面内；线面平行、线面相交（统称为“线在面外”） 2.直线与平面平行判定定理的内容.通过复习直线与平面平行的判定定理，温故而知新，为后面线线平行与线面平行的相互转化做铺垫． ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄思想方法：【新课引入】思考：1.如果一条直线a 与平面α平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？2.在平面α内，哪些直线与直线a 平行？3.在什么条件下，平面α内的直线与直线a 平行呢？ 通过演示实验，让学生观察、发现规律，并对发现的结论进行归纳.引导学生结合直观感知，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程．学生根据问题进行直观感知，进而提出合理猜想．并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想．发现：过直线a 的某一平面，若与平面α相交，则直线a 就平行于这条交线. 已知：//a α，a β⊂，b αβ=．求证：//a b ．证明：因为 b αβ=，所以 b α⊂．又因为 //a α， 所以 a 与b 无公共点． 又因为ββ⊂⊂b a ,， 所以 b a //．引导学生得出猜想，形成经验性结论，体会与感受数学结论的发现与形成过程：直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验．要求学生用语言描述发现的结论，并给出证明．【直线与平面平行的性质定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα要求学生总结归纳，并能用文字语言、符号语言图形语言描述直线与平面平行的性质定理，为学生正确使用定理打下基础．【定理探微】1.定理可以作为直线与直线平行的判定方法；2.定理中三个条件缺一不可．．．．； 3.提供了过已知平面内一点作与该平面的平行线相平行的直线的方法，即：辅助平面法．明确定理的条件和结论及定理的用途．【例题讲解】例1（教材P59例3） 如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面''A C ． （1）要经过面''A C 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？ ★思路点拔1．怎样确定截面？过点P 所画的线应怎样画？ 2．“线面平行” 与“线线平行”之间有怎样的联系？ ★解答过程 解：（1）在平面''A C 内，过点P 作直线EF ，使//''EF B C ，并分别交棱''A B ，''C D 于点E ，F ．连接BE ，CF ，则EF ，BE ，CF 就是应画的线． （2）因为棱BC 平行于平面''A C ，平面'BC 与平面''A C 交于''B C ，所以//''BC B C ，由（1）知，//''EF B C ，所以，//EF BC ，因此引导学生分析画截面的关键是确定截面与上底面的交线，怎样过P 点作BC 的平行线是作图的难点．学生经过认真思考，运用所学知识找到作图方法，体会到解决问题后成功的喜悦，认识到数学来源于实践又反过来为实践服务，加强用数学的意识．////EF BCEF AC EF AC BC AC ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面BE ，CF 显然都与平面AC 相交．例2（教材P59例4） 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面． ★思路点拔1．文字性命题的解题步骤是什么? 2．“线面平行”与“线线平行”之间有怎样的联系？★解答过程已知：如图所示,已知直线a 、b ，平面α，引导学生分析问题的条件与结论，并结合图形写出己知和求证．通过分析寻找解题途径．本题思想方法：且//a b ，//a α，a α⊄，b α⊄． 求证：//b α． 证明：过a 作平面β，使c αβ=．因为//a α，a β⊂，c αβ=，所以//a c ．又因为//a b ，所以//b c ．因为c α⊂，b α⊄，所以//b α． 的解题关键是实现线线平行与线面平行的转化．通过教师的板书，规范解题步骤与格式．【课堂练习】1.如图，α∩β=CD ，α∩γ=EF ，β∩γ=AB ，AB ∥α 求证：CD ∥EF ．学生独立完成练习l ，检查学习效果，使学生掌握证明线面平行问题的方法、步骤与格式，提高综合运用所学知识的能力．2.如图，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 的平面交平面BDM 于GH ，求证：//PA GH .练习2是证明线线平行问题，本题需作辅助线，比练习1要难，因此组织同学之间进行讨论，通过合作学习、寻找解题途径，最后选择学生上黑板板演证明过程，教师最后进行点评．【小结】（1）直线与平面平行的性质定理的内容及应用.（2）直线与平面平行的性质定理与判定定理的区别和联系.小结回顾：注意线面平行的性质定理与判定定理联系和区别，“线面平行”与“线线平行”问题是互相联系的，在解题时要善于将问题进行转化．【板书设计】【布置作业】教材P62 习题2.2 A 组 5、6【教学反思】八、备用习题1.判断下列说法的正误.(1)如果a 、b 是两条直线，并且a ∥b ，那么a 平行于过b 的任何平面. (2)如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何直线平行. (3)如果直线a 、b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b . (4)如果b a a //，=βα ,那么β//b 或α//b . 2.三个平面两两相交有三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条交线也和它们分别平行．3.求证：如果一条直线和两个相交平面平行， 那么这条直线和它们的交线平行．4.如图，已知异面直线AB 、CD 都与平面α平行，CA 、CB 、 DB 、DA 分别交α于点E 、F 、G 、H ．试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论．2.2.3 直线与平面平行的性质定理 一、线面平行的性质定理 二、例题讲解 三、课堂练习 1.文字语言 例1 练习1 2.图形语言 例2 练习2。
【精品教案】高中数学必修2第二章《直线与平面、平面与平面平行的性质》教案
§2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点重点：两个性质定理。
难点：（1）性质定理的证明；（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型四、教学思想（一）创设情景、引入新课1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）学生思考、交流，得出（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。
在教师的启发下，师生共同完成该结论的证明过程。
于是，得到直线与平面平行的性质定理。
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。
例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。
3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，于是得到两个平面平行的性质定理。
定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行4、例5以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。
教案高一数学人教版必修二 2.2.3直线与平面平行的性质
科目：数学
课题
§2.2.3 直线与平面平行的性质
课型
新课
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用. （2）学生通过观察与类比，借助
教学 实物模型性质及其应用.
目标 （3）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.
教学
教学内容
备
过程Leabharlann 注1.直线与平面平行的判定定理是什么？
一、 2.直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件问题，反之，
自主 在直线与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？
学习
思考 1:如果直线 a 与平面 α 平行，那么直线 a 与平面 α 内的直线有哪些 位置关系？
二、 质疑 提问
三、 问题 探究
四、 课堂 检测
五、 小结 评价
.2.2.3直线与平面、平面与平面平行的性质教案 新人教A版必修2
课题：2.2.2.3直线与平面、平面与平面平行的性质课 型：新授课 一、教学目标： 1、知识与技能（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用； （2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力； （2）进一步体会类比的作用； （3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点 重点：两个性质定理 。
难点：（1）性质定理的证明；（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想1. 教学线面平行的性质定理：① 讨论：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线的位置关系如何？② 给出线面性质定理及符号语言：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒I ． ③ 讨论性质定理的证明：∵ //l α，∴l 和α没有公共点，又∵m α⊂，∴l 和m 没有公共点；即l 和m 都在β内，且没有公共点，∴//l m ．④ 讨论：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线是否在此平面内？ 如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条与平面有何位置关系？ 教学例题：例1：已知直线a ∥直线b ，直线a ∥平面α,b ⊄α， 求证：b ∥平面α分析：如何作辅助平面？ → 怎样进行平行的转化？ → 师生共练 → 小结：作辅助平面；转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面平行”② 练习：一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。
（改写成数学符号语言→试证）已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ，求证//a b .caαβbd c b a δγβα例2：有一块木料如图，已知棱BC 平行于面A ′C ′．要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC 有什么关系？例3：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
高中数学 2.2.3直线与平面平行的性质教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案
直线与平面平行的性质教学设计一、教材分析本节内容选自人民教育出版社出版《普通高中课程标准实验教科书数学》〔必修2〕第二章《点、直线、平面之间的位置关系》中2.2.3直线与平面平行的性质。
直线与平面问题是高考考查的重点之一。
在第一章整体观察、认识空间几何体的基础上，第二章进一步认识空间中点、直线、平面之间的位置关系，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化〞的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
数学思想方法：本节课在教学过程中向学生展示联系、转化、从特殊到一般等重要数学思想方法。
二、学情分析1、知识上：前面刚学习过平面的定义、空间中直线与直线、直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判定和平面与平面平行的判定，已初步了解线线——线面——面面，由低纬到高纬，由平面到空间的转化。
2、方法上：研究过线面和面面平行的判定定理的推导过程。
3、思维上：初步开始从经验型抽象思维上升到理论型抽象思维。
4、能力上：知识迁移、主动重组、综合应用的能力较弱。
三、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，本节课制定如下教学目标：1.知识目标：〔1〕理解直线与平面平行的性质定理的推导过程。
〔2〕能应用这个性质定理去解决一些问题。
2．能力目标：〔1〕在探究直线与平面平行的性质定理的过程中让学生体会直线与平面平行中蕴含着哪些特殊的直线与直线之间的位置关系，体会探索思路中蕴含的转化、类比、从特殊到一般等思想方法。
〔2〕通过与线面平行的判定定理综合应用，让学生体会知识之间的相互联系以及知识点的灵活应用。
3.德育目标：有意识地引导学生体会知识之间的联系，运用旧知识去解决新问题，形成正确的认知观。
在内容设计环节上特别地从生活问题引入——定理推导证明——例题讲解——解决生活问题——课堂巩固，环节安排首尾呼应，就是想让学生体会数学是源于生活，而又解决生活问题，数学是有用的，有趣的。
高中数学2.2.3 直线与平面平行的性质定理 教学设计
《直线与平面平行的性质定理》教学设计一．教材内容与学情分析：本节课内容是人教A版数学必修2第二章第二节第三课时《直线与平面平行的性质定理》，“直线与平面平行的位置关系〞是“空间直线平行关系〞和“空间平面平行关系〞的桥梁和纽带。
“直线与平面平行的性质〞是立体几何的第一节性质定理课，揭示了“直线与平面平行的判定定理〞与“直线与平面平行的性质定理〞的内在关系，构建了新的知识与方法体系。
本节课也是在学生已经学习了“空间直线与平面的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞等知识的根底上展开的，这为学习“直线与平面平行的性质〞作了必要的知识准备。
其次学生通过“空间几何体〞，“空间点，直线，平面之间的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞的学习，已经初步形成了一定的空间思维和想象能力，以及初步具备了逻辑思维和推理论证能力，从而提高了学习的效率。
二、教学目标：1．知识与技能：学生初步学会应用直线与平面平行的性质定理解决简单问题；2．过程与方法：学生通过对线面平行性质的学习，进一步掌握直线与平面平行的判定和性质定理；通过对探究成果的归纳，整理，分析，从而认清结论的地位和作用，建立知识之间的联系；3．情感态度、价值观：学生通过对线面平行的性质的学习，进一步提高空间想象能力和严谨的思维习惯，养成实事求是的学习态度。
三、教学重点、难点：1．重点：线面平行的性质定理及应用。
2．难点：发现线面平行的性质，理解性质定理与判定定理的关系，并把它们整合到数学知识方法体系中。
四、教法与教具选择：1．教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论2．教学手段：多媒体、三角板、纸棒。
五、教学过程设计：〔一〕导直线与平面平行的判定定理〔符号描述〕线线平行→线面平行【设计意图】“温故而知新，可以为师也〞，回忆上节课的内容既可以对上节课内容作以稳固，也可为本节内容的展开做铺垫。
尤其是“线线平行→线面平行〞要板书在黑板的左方，等线面平行的性质定理得出后，提炼为“线面平行→线线平行〞只需要在原根底上加上反向箭头即可。
2019-2020年人教A版高中数学必修二 2-2-3 直线与平面平行的性质 教案
2019-2020年人教A 版高中数学必修二 2-2-3 直线与平面平行的性质 教案【教学目标】1.知识与技能：（1）通过实例，了解直线与平面平行的特点；（2）理解直线与平面平行的性质；（3）会用直线与平面平行的性质解决实际问题.2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）平面与平面间的位置关系的判定与证明的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想【重点难点】1.教学重点：理解直线与平面平行的性质2.教学难点：利用直线与平面平行的性质解决实际问题.【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】（一）创设情景、引入新课复习：直线与平面平行的判定定理：ααα////,,a b a b a ⇒⊂⊄。
思考：（1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？（2）教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？（二）研探新知问题1：命题“若直线a 平行于平面α ，则直线a 平行于平面α内的一切直线”对吗？直线会与平面内哪些直线平行呢？问题2：在上面的论述中平面α的直线b 满足什么条件时可以与直线a 平行？没有公共点——共面（平行）。
归纳（直线与平面平行的性质定理）：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
符号语言：b a b a a //,,//⇒=⊂βαβα 。
证明：因为b =βα ，所以α⊂b ，因为α//a ，所以a 与b 没有公共点，又因为ββ⊂⊂b a ,，所以a // b 。
高中数学必修二《直线、平面平行的判定及其性质》优秀教学设计
课题： 2.2直线、平面平行的判定及其性质教学内容： 2.2.2平面与平面平行的判定教学目的：理解和掌握平面与平面平行的判定定理.教学重点：平面与平面平行的判定定理的应用.教学难点：平面与平面平行的判定定理的应用.教学过程：一、课前复习两个平面的位置关系:两个平面平行:如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．平面α和β平行，记作α//β。
两个平面相交:如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．二、讲解新课提出问题引入新课知识点1平行平面的判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a//α，b//α⇒β//α．证：这个定理从正面证(用定义)比较困难,所以考虑用反证法.假设β∩α=c，∵ a⊂β，a//α，∴ a//c，同理b//c．即在平面β内过P b βaαc点P有两条直线与c平行，与公理4矛盾，∴假设不成立，∴ β//α．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：a∩b=P,a⊂α,b⊂α,a′∩b′=P′,a′ ⊂β,b′ ⊂β,a//a′,b//b′ ⇒α//β．三、典例解析例1已知a、b是异面直线，a⊂α,a∥β,b⊂β,b∥α。
求证：α∥β.证：过a作任一平面γ和平面β交于a′,∵a∥β∴a∥a′.又a′⊂β,a′⊄α。
∴a′∥α且a′与 b 相交，∵b ⊂β，b∥α. ∴α∥β.方法二：设c是异面直线a、b的公垂线，则过a、c可以确定一个平面γ，设γ∩β＝a′。
∵α∥β，∴a′∥a。
∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交，∴c⊥β，同理可证：c⊥α。
∴α∥β。
例2如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD。
人教A版数学必修二2.2.3 直线与平面平行的性质教案
2.2.3直线与平面平行的性质一、教学目标：根据课程标准的要求并结合本节教材内容的地位、作用、特点以及高一学生已具备的知识和能力,确定如下教学目标：1．知识与技能通过观察探究，进行合情推理发现直线与平面平行的性质定理，并能准确地用数学语言表述该定理；能够对直线与平面平行的性质定理作出严密的逻辑论证，并能进行一些简单的应用。
2．过程与方法通过直观感知和操作确认的方法，学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力得到培养和发展；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程．3．情感、态度、价值观通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，学生能有良好的思维习惯，渗透化归与转化的数学思想，体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法．二、教学重、难点：重点：通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线与平面平行的性质定理．难点：综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化．三、教学过程：（一）知识回顾：1、线面、面面平行的判定定理：线线平行线面平行面面平行.2、符号语言线面平行：面面平行：（二）实例感受：1、教室内日光灯管所在直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？（三）自主探究：课堂探究1如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？课堂探究2 在什么条件下，平面α内的直线与直线l平行呢？理解：若“共面”必“平行”。
换句话说，若过直线l的某一平面与平面α相交，则直线 l就和这条交线平行。
课堂探究3如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于直线b，那么直线a ，b的位置关系如何？（四）规律总结：直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号语言：图形与语言：实例分析：教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？（五）理论提升：1、直线与平面平行的性质定理的认识：线面平行线线平行.直线与平面平行的判定定理的比较：线线平行线面平行2、作用：①作平行线的方法；②判定直线与直线平行的重要依据.3、关键：寻找平面与平面的交线.（六）典例探究：例1过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.变式训练1：如图，E，H分别是空间四边形ABCD的边AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD于点F，G.求证：EH∥FG.例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。
高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
高中数学2.2 直线与平面平行的性质 教案1人教版必修2
《2.2.3直线与平面平行的性质》教学设计一、教学内容：人教版新教材高二数学第二册第二章第二节第3课二、教材分析：直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
三、教学目标：1、知识与技能（1）掌握直线与平面平行的性质定理、明确由线面平行可以推出线线平行。
（2）应用定理证明一些简单问题，培养学生的逻辑思维能力。
2、情感态度与价值观（1）让学生亲身经历数学研究过程，体验创造激情，享受成功喜悦，感受数学魅力。
（2）培养学生良好的思维习惯，渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
四、教学重、难点：1．重点：直线和平面平行的性质定理的探索过程及应用。
2．难点：直线和平面平行的性质定理的探究发现及其应用。
五、教学理念：学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者。
为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，采用引导发现法，可激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的乐趣，使数学教学变成再发现、再创造的过程。
通过学生自主的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生分析问题解决问题的能力，不断发现和探索新知的精神。
六、设计思路：本节直线与平面平行的性质与学生学习的生活联系紧密，学习时，一方面引导学生从实际生活出发，把知识与周围的事物联系起来；另一方面，教师要引导学生经理从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行的性质及其证明。
七、教学过程：（一）创设情景1.如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内所有的直线都平行呢？2.教室日光灯管所在直线与地面平行，如何在地面做一条直线与灯管所在直线平行？（二）温故知新1.线面平行的判定方法有几种？（1）定义法： 与平面平行.（2）面面平行定义的推论：若两平面平行，则其中一个平面内的直线与另一平面平行．（3）判定定理：证明面外直线与面内直线平行．2.直线与平面平行的判定定理是什么？用符号语言怎样表示？平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（“线线平行，线面平行”） 3.要注意，利用判定定理判定直线与平面平行时，三个条件缺一不可，今天我们来学习直线与平面平行的性质定理。
2019高中数学必修2教案§2.2.3直线与平面平行的性质
课堂教学设计备课人授课时间课题§2.2.3直线与平面平行的性质教学目标知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理过程与方法启发引导，充分发挥学生的主体作用情感态度价值观体会类比的作用，渗透等价转化的思想重点直线和平面平行的性质.难点性质定理的证明与灵活运用.教学设计教学内容教学环节与活动设计复习巩固1．直线与平面平行的判定定理2．直线与平面的位置关系3．思考：如果直线和平面平行、那么这条直线与这个平面内的直线是有什么位置关系？探索新知：直线与平面平行的性质1．思考题：一条直线与一个平面平行，那么在什么条件下，平面α内的直线与这条直线平行？2．例1 如图a∥αa⊂β，αβ= b. 求证：a∥b.证明：因为αβ=b，所以bα⊂.因为a∥α，所以a与b无公共点.又因为,αβ⊂bβ⊂，所以a∥b.3．定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简证为：线面平行则线线平行.符号表示：学生回答1教学设计教学内容教学环节与活动设计aa a ba bαββ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭例2 如图所示的一块林料中，棱BC平行平面A′C′.（1）要经过面A′C′内一的点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？解：（1）如图，在平面A′C′，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.连接BE，CF.则EF、BE、CF就是应画的线.（2）因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以，BC∥B′C′.由（1）知，EF∥BC，因此EF BCEF EF AC⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面A C平面B C平面A C.BE、CF显然都与平面AC相交.例3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.如图，已知直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外.求证：b∥α分析：1：要证bα，可转证什么问题.2.：但这种直线在已知图线中不存在，怎么办呢？随堂练习：1．如图，正方体的棱长是a，C，D分别是两条棱的中点.学生思考。
2.2.3直线与平面平行的性质(公开课)
新课引入：
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题（即所需条件）；反之，在直 线与平面平行的条件下，会得到什么结论？
问题讨论：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
a
b
b
α
平行
α
异面
(2)什么条件下，平面内的直线与直线a平行呢？
过点P作直EF//B'C'，分别交 D'
F
棱A'B'、C'D'于点E、F， A'
P E
C'
连结BE、CF，
B'
D
C
下面证明EF、BE、 CF为应画的线．
A
B
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？
解：⑴
D' A'
F P
C'
BC//B'C' EF//B'C'
BC//EF D E
B' C
EF、BE、CF共面． A
B
则EF、BE、CF为应画的线．
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？
⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？
解：⑵由⑴，得 EF//BC， EF//BC
D'
F
A'
P E
C'
EF//面AC D
的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
人教课标版高中数学必修2《直线与平面平行的性质》教学设计
2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.3 直线与平面平行的性质一、教学目标（一）核心素养通过观察、操作、推理，引导学生借助图形来探索直线、平面平行的性质及其证明，体会线与面之间的转化关系，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力．在推理和证明过程中，提高学生探究能力，逐渐养成严谨的科学态度，增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识，提高学生审美情趣．（二）学习目标1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理；2. 结合具体问题体会化归与转化的数学思想；3. 能运用两个定理实现“线线”、“线面”平行的转化，证明一些空间的简单问题．（三）学习重点1. 直线与平面平行的性质定理及其数学语言；2. 直线与平面平行的性质定理的应用．（四）学习难点1．直线与平面平行的性质定理的抽象概括.2. 直线与平面平行的性质定理的应用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第64页至第65页，填空：直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.直线与平面平行的性质定理的应用：可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的重要方法.（2）写一写：直线与平面平行的性质定理的符号语言：a∥α，a⊂β，β∩α=b，则a∥b. 2．预习自测（1）已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l、m的位置关系是( )A.相交B.平行C.异面D.相交或异面【答案】B（2）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点【答案】D（3）已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的关系为( )A．平行或异面B．平行C．异面D．相交【答案】A（二）课堂设计1．知识回顾（1）空间中直线与直线的位置关系有：①异面；②相交；③平行（2）直线与平面平行的判定定理：①文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.②符号语言为：a∥b，a⊄α，b⊂α⇒a∥α.③图形语言为：【设计意图】复习空间中直线与直线的位置关系，为证明直线与平面平行的性质定理做铺垫.直线与平面平行的性质定理建立在直线与平面平行的前提下，所以学生应巩固和掌握直线与平面平行的判定定理.2．问题探究探究一结合问题，概括出直线与平面平行的性质定理活动①归纳提炼定理（1）如果直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的所有直线的位置关系是怎样的？答案：平行或者异面.（2）如果直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？答案：有无数条，这些直线互相平行.（3）如果直线与平面平行，那么经过直线的平面与平面有哪几种位置关系？答案：平行或相交.（4）如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于直线b，那么直线a，b的位置关系如何？答案：直线a、b的位置关系为平行.我们可以概括出这样一个定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.此即直线与平面平行的性质定理.直线与平面平行的符号语言为：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.直线与平面平行的图形语言为：（5）观察长方体（如图），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？答案：连接CD′即可.直线与平面平行的性质定理为我们提供了过已知平面内一点作与该平面的平行线平行的直线的方法，即辅助平面法．【设计意图】通过设置阶段性问题，由浅入深、由表及里地引导学生概括出抽象的数学定理，让学生在合情推理、探究说理的过程建构新的知识.活动②辨析直线与平面平行的性质定理（1）如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内的任何一条直线都平行.这个命题对吗？答案：不对！这条直线与平面内的直线还有可能异面.（2）过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、…，则这些交线的位置关系一定是平行吗？答案：不一定！还有可能交于同一点.“过平面α外的直线l”需分l∥α和l与α相交两种情况．【设计意图】通过概念辨析，加深对平面与平面平行的判定定理中“一条直线和一个平面平行”、“过这条直线的平面与此平面相交”、“交线与该直线平行”等关键信息的理解，培养学生空间感觉与逻辑推理能力，突出重点．探究二直线与平面平行的性质定理的证明活动①证明直线与平面平行的性质定理如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b.求证：a∥b.证明因为α∩β＝b，所以b⊂α.又因为a∥α，所以a与b无公共点.又因为a⊂β，b⊂β，所以a∥b.【设计意图】立足培养学生严谨、认真的学习态度.证明过程中通过“a⊂β，b⊂β”，将空间中的问题转化成平面问题，让学生体会化归转化思想在立体几何中的重要作用.探究三直线与平面平行的判定定理的应用●活动①牛刀小试，体会方法例1 如图,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD 于F、G.求证：EH∥FG.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD.又BD⊂面BCD，EH⊄面BCD,∴EH∥面BCD.又EH⊂α、α∩面BCD＝FG,∴EH∥FG.【思路点拨】由线线平行得线面平行，进一步得线线平行.【答案】见解题过程.同类训练如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、H分别为棱A1B1、D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1、CC1相交，交点分别为F、G，求证：FG∥平面ADD1A1.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.【思路点拨】由线线平行得线面平行，进一步得线线平行，最终得线面平行.【答案】见解题过程.●活动②深入探究，总结结论例2 如图，平面α、β、γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b.求证：a∥b∥c.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：因为γ∩α＝a，β∩γ＝b，α∩β＝c，且a∥b，由b⊂β，a⊄β，得a∥β；又a⊂α，a⊄β，β∩α＝c，得a∥c，所以a∥b∥c.【思路点拨】由线线平行得线面平行，进一步得线线平行.【答案】见解题过程.此结论为：三个平面两两相交得到三条交线时，若存在两条交线平行，则这三条交线都平行.同类训练1 已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l. 求证：a∥b∥l.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.【思路点拨】由线线平行得线面平行，进一步得线线平行.【答案】见解题过程.此结论为：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．同类训练2 如图，直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外. 求证b∥α.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c.因为a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以a∥c，因为a∥b，所以b∥c，又因为c⊂α，b⊄α，所以b∥α.【思路点拨】由线面平行得线线平行，进一步得线面平行.【答案】见解题过程.此结论为：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.同类训练3 已知a∥α，且a∥β，α∩β＝l，求证：a∥l.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：如图，过a作平面γ交α于b.因为a∥α，所以a∥b.过a作平面ε交平面β于c.因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c.又b⊄β且c⊂β，所以b∥β.又平面α过b交β于l，所以b∥l.因为a∥b，所以a∥l.【思路点拨】由线面平行得线线平行，进一步得线面平行，最终得线线平行.【答案】见解题过程.此结论为：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.同类训练4 已知a、b是两条异面直线，求证：过b有且只有一个平面与a平行.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：①存在性:在直线b上任取一点B，过B作a'∥a，∵a'与b相交于B，∴过a'、b可作一个平面α，∵a'∥a，a'⊂α，a⊄α，∴a∥α.②唯一性：假设过b还有一平面β，使a∥β，∵b⊂α，b⊂β，∴α∩β＝b，而a∥α，a∥β，∴a∥b，这与a、b是异面直线矛盾.∴假设不成立，∴过b有且只有一个平面与a平行.【思路点拨】易得存在性；由结论“一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行”，结合反证法，可得到唯一性.【答案】见解题过程.此结论为：过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条异面直线平行.【设计意图】在应用直线与平面平行性质定理的基础上，设计一系列结论探索，在训练学生“线线平行⇒线面平行⇒线线平行”化归转化思维的同时，也让学生感受数学命题证明的神奇魅力.活动③灵活应用，突破思维例3 如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形．求证：CD∥平面EFGH.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：∵截面EFGH是矩形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD.∴EF∥平面BCD.而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.【思路点拨】由线线平行得线面平行，进一步得线线平行，最终得线面平行.【答案】见解题过程.同类训练如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB、CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面四边形MNPQ是平行四边形．【思路点拨】由线面平行得线线平行.【答案】见解题过程.【设计意图】通过相似的两个题目对学生进行训练，培养学生仔细观察、分析条件与结论之间的关系，联想所学的知识解决问题.活动④体验规律，整理方法例4 如图，已知正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】点D为AA′的中点．证明如下：取BC的中点F，连接AF、EF，如图，设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF.易知A′、E、F、A共面于平面A′EF A，因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EF A，且平面DBC′∩平面A′EF A＝DO，所以A′E∥DO.在平行四边形A′EF A中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以点D为AA′的中点．【思路点拨】找到A′E和A′A所确定的辅助平面，得到线线平行，进一步得到线面平行.【答案】见解题过程.同类训练如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B、B1重合)．P A∩A1B＝M，PC∩BC1＝N. 求证：MN∥平面ABCD.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：如图，连接AC、A1C1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，且AA1＝CC1，∴四边形ACC1A1是平行四边形．∴AC∥A1C1.∵AC 平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，∴AC∥平面A1BC1.∵AC⊂平面P AC，平面A1BC1∩平面P AC＝MN，∴AC∥MN.∵MN 平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.【思路点拨】易得AC∥平面A1BC1，找到过AC的辅助平面PAC，得到线线平行，进一步得到线面平行.【答案】见解题过程.【设计意图】直线与平面平行的性质定理的应用关键是确定三个条件：“直线和平面平行”、“过这条直线的平面与此平面相交”、“交线与该直线平行”.本设计可以让学生深刻体会到在利用直线与平面平行的性质定理解决问题时，关键是确定：①平行的直线和平面；②过直线的辅助平面.3. 课堂总结知识梳理（1）线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.（2）直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．（3）要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．通常构造辅助平面，以实现线线平行与线面平行间的相互转化．（三）课后作业基础型自主突破1. 如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )A．任意一条直线都不相交B．仅两条相交直线不相交C．仅一组平行直线不相交D．唯一一条直线不相交【知识点】线面平行定义【数学思想】数形结合【解题过程】与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，故A正确．【思路点拨】回忆线面平行定义.【答案】A2. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行和异面【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB．又AB 平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH．又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH．【思路点拨】AB∥EF，得AB∥平面EFGH，从而AB∥GH.【答案】A3. 已知直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a，b的位置关系是：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直不相交. 其中可能成立的有________.【知识点】空间位置关系【数学思想】数形结合【解题过程】如图(1)所示直线a、b平行，①可能成立；如图(2)所示直线a、b垂直不相交，②可能成立；如图(3)所示直线a、b垂直相交，③可能成立；如图(4)所示直线a、b不垂直不相交，④可能成立.【思路点拨】作图 【答案】①②③④4. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝3a，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________．【知识点】直线与平面平行的性质定理 【数学思想】化归转化【解题过程】∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23a ， 故22222.3aPQ PD DQ DP =+==【思路点拨】由线面平行性质定理得线线平行，结合平行线截比例线段定理得到答案. 【答案】223a5. 如图，已知E 、F 分别是菱形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】如图，连接BD交AC于点O1，连接OM，因为PC∥平面MEF，平面P AC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM，所以PM OC PA AC=，在菱形ABCD中，因为E、F分别是边BC、CD的中点，所以11.2OCO C=又AO1＝CO1，所以1.4PM OCPA AC==故PM∶MA＝1∶3.【思路点拨】由线面平行性质定理得线线平行，结合平行线截比例线段定理得到答案.【答案】1∶3.6. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】(1)证明：∵BC∥AD，AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.又∵平面P AD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，∴BC∥l.(2)MN∥平面P AD.证明如下：如图所示，取PD中点E.连接EN、AE.又∵N为PC中点，EN∥12AB，EN=12AB∴EN∥AM，EN=AM∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.【思路点拨】由线面平行性质定理得线线平行，结合平行线截比例线段定理得到答案.【答案】见解题过程.能力型师生共研7. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，P为平面ABC外一点，E、F分别是P A、PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面P AC的位置关系，并加以证明．【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】解：直线l∥平面P AC，证明如下：因为E、F分别是P A，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面P AC，EF⊂平面P AC，所以l∥平面P AC.【思路点拨】线线平行⇒线面平行⇒线线平行⇒线面平行【答案】见解题过程.8. 已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，点P是平面AA′D′D的中心，Q为B′D′上一点，且PQ∥平面AA′B′B，求线段PQ的长．【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】如图，过点Q作QE∥A′D′，交A′B′于点E，取AA′的中点F，连接EF、PF，PQ.由题可得PF∥AD，AD∥A′D′，所以QE∥PF.所以Q、E、P、F四点共面．又PQ∥平面AA′B′B，平面PQEF∩平面AA′B′B＝EF，所以PQ∥EF，所以四边形PQEF为平行四边形，所以QE＝PF＝12A′D′，所以E是A′B′的中点，所以EF＝12AB′＝22，所以PQ＝EF＝22a.【思路点拨】线面平行⇒线线平行，得出平行四边形.2探究型多维突破9. 如图，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有P A∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP∥GH.【思路点拨】由线线平行得线面平行，再由线面平行得线线平行.【答案】见解题过程10. 已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.求证：CD∥α.【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明：如图，连接AD交α于G，连接GF、EG,∵AB ∥α，面ADB ∩α＝GF ⇒AB ∥GF . 又∵F 为BD 中点, ∴G 为AD 中点.又∵AC 、AD 相交，确定的平面ACD ∩α＝EG ,E 为AC 中点，G 为AD 中点,∴EG ∥CD . 又EG α⊂，CD α⊄,∴CD ∥α【思路点拨】由线面平行得线线平行，再由线线平行得线面平行 【答案】见解题过程 自助餐1. 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．只有一条，在平面α内 C ．有两条，不一定都在平面α内 D ．有无数条，不一定都在平面α内 【知识点】直线与平面平行的性质定理 【数学思想】化归转化 【解题过程】如图所示，∵l ∥平面α，P ∈α，∴直线l 与点P 确定一个平面β，α∩β＝m ， ∴P ∈m ，∴l ∥m 且m 是唯一的．【思路点拨】直线l 与点P 确定一个平面β，而平面上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 【答案】B2. 如图所示，平面α∩β＝l 1，α∩γ＝l 2，β∩γ＝l 3，l 1∥l 2，下列说法正确的是( )A ．l 1平行于l 3，且l 2平行于l 3B ．l 1平行于l 3，且l 2不平行于l 3C ．l 1不平行于l 3，且l 2不平行于l 3D ．l 1不平行于l 3，但l 2平行于l 3【知识点】直线与平面平行的性质定理 【数学思想】化归转化【解题过程】∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3, ∴l 1∥l 3∥l 2．【思路点拨】线线平行⇒ 线面平行⇒线线平行. 【答案】A3. 如图，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B 、C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.【知识点】直线与平面平行的性质定理 【数学思想】化归转化【解题过程】由于点A 不在直线a 上，则直线a 和点A 确定一个平面β，所以α∩β＝EF . 因为a ∥平面α，a ⊂平面β，所以EF ∥a . 所以.EF AF BC AC =所以3.2AF BC EF AC == 【思路点拨】线面平行⇒线线平行，结合平行线截比例线段定理得答案.【答案】324. 如图，已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．∴GH∥EF，EG∥FH．∴四边形EFGH是平行四边形．【思路点拨】线面平行⇒线线平行.【答案】平行四边形5. 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．故有选项A、B、D正确，C错误．【思路点拨】线线平行⇒线面平行⇒线线平行.【答案】C6. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1、B、C1的平面与平面ABC的交线为l，试判断l与直线A1C1的位置关系，并给以证明．【知识点】直线与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化【解题过程】证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.又∵A1C1⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l．【思路点拨】线线平行⇒线面平行⇒线线平行.【答案】l∥A1C121/ 21。
高中数学人教版必修2 2.2.3 直线与平面平行的性质 教案(系列一)
2.2.3 直线与平面平行的性质一、教材分析上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.二、教学目标1．知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.3．情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.（2）进一步体会类比的作用.（3）进一步渗透等价转化的思想.三、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理.教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习回忆直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）符号语言为：（3）图形语言为：如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？思路2.(事例导入)观察长方体（图2），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？图2（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间两直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用排除法.问题⑤引导学生找出应用的难点.问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3④已知a∥α，a β，α∩β=b.求证：a∥b.证明：⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.（四）应用示例思路1例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.图4(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，图5并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.则EF、BE、CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.由（1）知，EF∥B′C′，所以EF∥BC.因此BE、CF显然都与平面AC相交.变式训练如图6，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.图6解：A∉a，∴A、a确定一个平面，设为β.∵B∈a，∴B∈β.又A∈β，∴AB⊂β.同理AC ⊂β，AD ⊂β. ∵点A 与直线a 在α的异侧, ∴β与α相交.∴面ABD 与面α相交，交线为EG. ∵BD ∥α，BD ⊂面BAD ，面BAD∩α=EG, ∴BD ∥EG. ∴△AEG ∽△ABD.∴ACAFBD EG =.(相似三角形对应线段成比例) ∴EG=920495=⨯=∙BD AC AF . 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面α,且a ∥b,a ∥α,a,b 都在平面α外. 求证：b ∥α.证明：过a 作平面β,使它与平面α相交,交线为c. ∵a ∥α,a ⊂β,α∩β=c, ∴a ∥c. ∵a ∥b,∴b ∥c. ∵c ⊂α,b ⊄α,∴b ∥α. 变式训练如图8,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH ∥FG.图8证明：连接EH.∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD.又BD⊂面BCD，EH⊄面BCD,∴EH∥面BCD.又EH⊂α、α∩面BCD=FG,∴EH∥FG.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.思路2例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知a∥b,a⊂α，b⊂β，α∩β=c.求证：c∥a∥b.证明：变式训练求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b，求证：a∥b.证明：如图10，过a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.图11证明：∵EFGH是平行四边形变式训练如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD 上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB.图12（1）求证：EFGH 是矩形；（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH 的面积.(1)证明：∵CD ∥平面EFGH ，而平面EFGH∩平面BCD=EF, ∴CD ∥EF.同理HG ∥CD,∴EF ∥HG .同理HE ∥GF ，∴四边形EFGH 为平行四边形.由CD ∥EF ，HE ∥AB ，∴∠HEF 为CD 和AB 所成的角. 又∵CD ⊥AB ，∴HE ⊥EF. ∴四边形EFGH 为矩形.（2）解：由（1）可知在△BCD 中EF ∥CD ，DE=m ，EB=n,∴DB BE CD EF =.又CD=a,∴EF=a nm n+.由HE ∥AB,∴DBDEAB HE =. 又∵AB=b,∴HE=b nm m+.又∵四边形EFGH 为矩形, ∴S 矩形EFGH =HE·EF=ab n m mna n m nb n m m 2)(+=+∙+. 点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.（五）知能训练求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行. 已知：a 、b 是异面直线.求证：过b 有且只有一个平面与a 平行. 证明：(1)存在性.如图13，图13在直线b上任取一点A，显然A∉a.过A与a作平面β,在平面β内过点A作直线a′∥a,则a′与b是相交直线，它们确定一个平面，设为α,∵b⊂α，a与b异面，∴a⊄α.又∵a∥a′，a′⊂α，∴a∥α.∴过b有一个平面α与a平行.(2)唯一性.假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面,则b⊂γ.∵A∈b，∴A∈γ.又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A∈a″.∵a∥γ，a⊂β，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″.这与a′∩a″=A矛盾.∴假设错误，故过b且与a平行的平面只有一个.综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.变式训练已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.求证：b⊂α.证明：假设b⊄α，如图14，图14设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′,∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行). 又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A矛盾.∴假设错误.故b⊂α.（六）拓展提升已知：a,b为异面直线,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,求证:α∥β.证明：如图15，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面γ与平面β交于直线c，则c与b相交于点P.图15变式训练已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;（2）若AB=4，EF=5，CD=2，求AB与CD所成角的大小.（1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF,图16∵AB∥α，面ADB∩α=GF⇒AB∥GF.又∵F为BD中点,∴G为AD中点.又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.专业文档珍贵文档 （2）解：由（1）证明可知：∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1, EF=5.在△EGF 中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB 与CD 所成角的大小为90°.（七）课堂小结知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.（八）作业课本习题2.2 A 组5、6.。
高中数学人教版必修2 2.2.3 直线与平面平行的性质 教案(系列五)
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用，掌握两个平面平行的性质定理及其应用．(2)运用两个定理实现“线线”、“线面”平行的转化，进一步发展空间想象能力和逻辑思维能力．2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用．3．情感、态度与价值观(1)在推理和证明过程中，提高探究能力，逐渐养成严谨的科学态度．(2)增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识，培养审美情趣．(3)进一步渗透等价转化的思想．●重点难点重点：两个性质定理及其应用．难点：两个性质定理的探索过程及应用．重难点突破：以教材中的“思考”为切入点，引出直线和平面平行的性质定理及平面和平面平行的性质定理．接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出两个性质定理的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理．最后可通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，帮助学生突出重点、化解难点．●教学建议本节知识是上节知识的拓展和延伸，由于性质与判定是相辅相成相互统一的，故教学时，可采用引导发现法，采用以思导学的方式，从回顾两个判定定理出发，把探索两个性质定理的问题转移到线与线及线与面位置关系的问题上，然后教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行的性质及其证明，最后通过典例训练使学生体会线与面之间的互化关系，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何判断线面平行与面面平行有哪些性质？⇒引导学生借助实物体，通过观察、想象、思考，得出线面平行与面面平行的性质定理.⇒通过引导学生回答所提问题理解线面平行与面面平行的性质定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与平面的平行的性质定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面与平面平行的性质定理.⇒1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？【提示】不是．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？【提示】若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a 之间相互平行．直线与平面平行的性质定理(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(2)符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．图2－2－13(4)作用：证明两直线平行．观察长方体ABCD－AB1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.11．平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？【提示】是的．2．若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？【提示】不一定．3．过BC的平面交面A1B1C1D1于EF，EF与BC什么关系？【提示】平行．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行.图2－2－14求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．【思路探究】 先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．【自主解答】 已知直线a ，l ，平面α，β满足α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β. 求证：a ∥l.证明：如图所示，过a 作平面γ交平面α于b ， ∵a ∥α，∴a ∥b.同样过a 作平面δ交平面β于c ， ∵a ∥β，∴a ∥c.则b ∥c.又∵b ⊄β，c ⊂β，∴b ∥β. 又∵b⊂α，α∩β＝l ，∴b ∥l. 又∵a ∥b ，∴a∥l.线∥面线面平行的性质线面平行的判定线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．【解】 已知：a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，α∩β＝l.求证：a ∥b ∥l. 证明：如图所示，∵a ∥b ，b ⊂β，a ⊄β， ∴a ∥β，又a ⊂α，α∩β＝l ，∴a ∥l ，又a ∥b ， ∴a ∥b ∥l.如图2－2－15，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．图2－2－15【思路探究】先证平面AA′B′B∥平面DD′C′C，再证AB∥CD，同理证明BC∥AD，进而证明ABCD为平行四边形．【自主解答】在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，∴A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.同理AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形．1．利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．2．面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．如图2－2－16，已知α∥β，点P 是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB 、PD 分别与α、β相交于点A 、B 和C 、D.(1)求证：AC ∥BD ；(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长．图2－2－16【解】 (1)∵PB∩PD ＝P ， ∴直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD. 又α∥β，∴AC ∥BD. (2)由(1)得AC ∥BD ， ∴PA AB ＝PC CD ，∴45＝3CD ，∴CD ＝154(cm)， ∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm).图2－2－17如图2－2－17，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 分别是BC 、C 1D 1、AD 1、BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)求PQ 的长．(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D. 【思路探究】(1)证明PQ ∥CD 1―→PQ ∥平面DCC 1D 1或取AD 的中点G ―→证平面PGQ ∥平面DCC 1D 1―→PQ ∥平面DCC 1D 1(2)利用PQ ＝12D 1C 求解．(3)取B 1D 1的中点O 1―→证明BEFO 1为平行四边形―→EF ∥平面BB 1D 1D 或取B 1C 1的中点E 1―→证明平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D ―→EF ∥平面BB 1D 1D【自主解答】 (1)证明：法一 如图，连接AC 、CD 1.∵P 、Q 分别是AD 1、AC 的中点， ∴PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1， ∴PQ ∥平面DCC 1D 1.法二 取AD 的中点G ，连接PG 、GQ ， 则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG∩GQ ＝G ， ∴平面PGQ ∥平面DCC 1D 1. 又PQ ⊂平面PGQ ， ∴PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a.(3)证明：法一 取B 1D 1的中点O 1， 连接FO 1，BO 1，则有FO 1綊12B 1C 1.又BE 綊12B 1C 1，∴BE 綊FO 1.∴四边形BEFO 1为平行四边形，∴EF ∥BO 1， 又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D.法二取B1C1的中点E1，连接EE1、FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，∴EF∥平面BB1D1D.1．证明线面平行的三种常用方法：(1)定义法．(2)线面平行的判定．(3)面面平行的性质．2．线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，其示意图为：直线与直线平行直线与平面平行的判定直线与平面平行的性质直线与平面平行平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质平面与平平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质面平行如图2－2－18所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1、CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．图2－2－18【证明】取D1D的中点G，连接EG，GC，∵E是A1A的中点，G是D1D的中点，∴EG綊AD.由正方体性质知AD綊BC，∴EG綊BC，∴四边形EGCB是平行四边形，∴EB∥GC.①又∵G，F分别是D1D，C1C的中点，∴D1G綊FC，∴四边形D 1GCF 为平行四边形，∴D 1F ∥GC.② 由①②得EB ∥D 1F ，③∴E 、B 、F 、D 1四点共面，四边形BED 1F 是平面四边形． 又∵平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1， 平面EBFD 1∩平面ADD 1A 1＝ED 1， 平面EBFD 1∩平面BCC 1B 1＝BF ， ∴ED 1∥BF ，④由③④得，四边形BED 1F 是平行四边形．因将平面几何中的结论直接应用到立体几何中致误如图2－2－19所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 分别与α相交于M ，N 两点，求证AM MC ＝BNND.图2－2－19【错解】 连接MN.因为AB ∥CD ∥MN ，所以AM MC ＝BNND.【错因分析】 错误的原因是在立体几何的证明中盲目地套用平面几何中的定理． 【防范措施】 立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能使用平面几何知识解题．【正解】 如图所示，连接AD ，交平面α于点P ，连接PM ，PN. 因为CD ∥α，平面ACD∩α＝PM ，所以CD ∥PM ，所以在△ACD 中，有AM MC ＝APPD .同理，在△DAB 中，有AP PD ＝BN ND ，所以AM MC ＝BNND .1．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．1．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( ) A ．唯一一条直线不相交 B ．仅两条相交直线不相交 C ．仅一组平行直线不相交D ．任意一条直线都不相交【解析】 根据直线和平面平行定义，易排除A 、B.对于C ，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a 与平面α平行，∴D 正确． 【答案】 D2．若平面α∥平面β，a ⊂α，下列说法正确的是( )①a 与β内任一直线平行；②a 与β内无数条直线平行；③a 与β内任一直线不垂直；④a 与β无公共点．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④【解析】 ∵a ⊂α，α∥β，∴a ∥β，∴a 与β无公共点，④正确；如图，在正方体中，令线段B 1C 1所在的直线为a ，显然a 与β内无数条直线平行，故②正确；又AB ⊥B 1C 1，故在β内存在直线与a 垂直，故①③错误．【答案】 B3．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定【解析】 根据面面平行的性质定理，A 选项正确． 【答案】 A4．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面CDD 1C 1于EE 1.求证：BB 1∥EE 1.【证明】 如图所示，∵CC 1∥BB 1，∴CC 1∥平面BEE 1B 1(直线和平面平行的判定定理)． 又∵平面CEE 1C 1过CC 1且交平面BEE 1B 1于EE 1， ∴CC 1∥EE 1(直线和平面平行的性质定理)．由于CC 1∥BB 1，∴BB 1∥EE 1(平行公理)．一、选择题1．a ∥α，b ∥β，α∥β，则a 与b 位置关系是( ) A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．平行或异面或相交【解析】 如图(1)，(2)，(3)所示，a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．【答案】 D2．(2013·郑州高一检测)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．只有一条，在平面α内 C ．有两条，不一定都在平面α内 D ．有无数条，不一定都在平面α内【解析】 如图所示， ∵l ∥平面α，P ∈α，∴直线l 与点P 确定一个平面β，α∩β＝m ， ∴P ∈m ，∴l ∥m 且m 是惟一的． 【答案】 B图2－2－203．(2013·呼和浩特高一检测)如图2－2－20，四棱锥P －ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.【答案】 B4．(2013·德州高一检测)设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B 分别在平面α，β内运动时，所有的动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D5．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点【解析】∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交．(1)若l∥α，则由线面平行的性质可知l∥a，l∥b，l∥c，…∴a，b，c，…这些交线都平行．(2)若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确．【答案】 D二、填空题6．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．【解析】 因为过A 1，C 1，B 三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为A 1C 1，与底面ABCD 的交线为l ，由于正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知l ∥A 1C 1.【答案】 l ∥A 1C 1图2－2－217．如图2－2－21，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________.【解析】 因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABDC ，平面ABDC∩平面α＝MN ，所以AB ∥MN.又M 是AC 的中点，所以MN 是梯形ABDC 的中位线，MN ＝5.【答案】 58．如图2－2－22，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S △A′B′C′S △ABC＝________.图2－2－22【解析】 由平面α∥平面ABC ， 得AB ∥A′B′，BC ∥B′C′，AC ∥A′C′， 由等角定理得∠ABC ＝∠A′B′C′， ∠BCA ＝∠B′C′A′，∠CAB ＝∠C′A′B′， 从而△ABC ∽△A′B′C′，△PAB ∽△PA′B′， S △A′B′C′S △ABC ＝(A′B′AB )2＝(PA′PA )2＝425.【答案】425三、解答题图2－2－239．如图2－2－23所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，试作出过AC 且与直线D 1B 平行的截面，并说明理由．【解】 如图，连接DB 交AC 于点O ，取D 1D 的中点M ，连接MA ，MC ，MO ，则截面MAC 即为所求作的截面．∵MO 为△D 1DB 的中位线， ∴D 1B ∥MO.∵D 1B ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴D 1B ∥平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线D 1B 平行的截面．10．(2013·嘉峪关高一检测)如图2－2－24，平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，点E ，F 分别在线段AB 与CD 上，且AE EB ＝CFFD，求证：EF ∥平面β.图2－2－24【证明】 (1)若直线AB 和CD 共面，∵α∥β，平面ABDC 与α，β分别交于AC ，BD 两直线， ∴AC ∥BD.又∵AE EB ＝CFFD ，∴EF ∥AC ∥BD ，∴EF ∥平面β.(2)若AB 与CD 异面，连接BC 并在BC 上取一点G ，使得AE EB ＝CGGB ，则在△BAC 中，EG ∥AC ，AC ⊂平面α，∴EG∥α，又∵α∥β，∴EG∥β.同理可得：GF∥BD，而BD⊂β.∴GF∥β，∵EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.又∵EF⊂平面EGF，∴EF∥β.综合(1)(2)得EF∥β.11．(思维拓展题)如图2－2－25所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.图2－2－25(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【解】法一(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN ∥AE ，又因为MN ⊄平面APD ，AE ⊂平面APD ，所以MN ∥平面APD. 法二 (1)证明：由AD ∥BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC. 又因为平面PBC∩平面PAD ＝l ，所以l ∥AD ∥BC. (2)设Q 是CD 的中点，连接NQ ，MQ ， 则MQ ∥AD ，NQ ∥PD ，而MQ∩NQ ＝Q ， 所以平面MNQ ∥平面PAD. MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面PAD.如图，在正方体ABCD －A′B′C′D′中，点E 在AB′上(靠近B′处)，点F 在BD 上(靠近B 处)，且B′E ＝BF.求证：EF ∥平面BB′C′C.【思路探究】 可根据线面平行的判定定理进行证明，也可利用面面平行的性质． 【自主解答】 法一 连接AF 并延长交BC 于M ，连接B′M.∵AD ∥BC ，∴△AFD ∽△MFB. 则AF MF ＝DF BF. 又∵BD ＝B′A ，BF ＝B′E ，∴DF ＝AE. 于是AF MF ＝AE B′E .因而EF ∥B′M.又∵B′M ⊂平面BB′C′C ，EF ⊄平面BB′C′C ，∴EF ∥平面BB′C′C.法二 作FH ∥AD 交AB 于H ，连接HE. ∵AD ∥BC ，∴FH ∥BC.∵BC ⊂平面BB′C′C ，FH ⊄平面BB′C′C ， ∴FH ∥平面BB′C′C. 由FH ∥AD ，可得BF BD ＝BHBA ，又∵BF ＝B′E ，BD ＝B′A ， ∴B′E B′A ＝BHBA.则EH ∥B′B. 又∵B′B ⊂平面BB′C′C ，EH ⊄平面BB′C′C ， ∴EH ∥平面BB′C′C.又∵EH∩FH ＝H ，且EH ，FH ⊂平面FHE ， ∴平面FHE ∥平面BB′C′C.又∵EF ⊂平面FHE ，∴EH ∥平面BB′C′C.应用面面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化．本题法一是利用线面平行的判定定理；法二是利用面面平行的性质，关键就是找到过直线EF 与平面BB′C′C 平行的平面．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过A 1作与截面PBC 1平行的截面，你能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．【解】 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1.因为A1N∥PC1∥MC且A1N＝PC1＝MC，所以四边形A1MCN是平行四边形．又A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1.过A1的截面是平行四边形，连接MN，作A1H⊥MN于点H，A1M＝A1N＝5，MN＝22，∴A1H＝ 3.∴截面A1MCN的面积为2 6.。
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科目：数学
课题
§2.2.3直线与平面平行的性质
课型
新课
教学目标
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用. （2）学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.
（3）进一步提高学Байду номын сангаас空间想象能力、思维能力.
教学过程
教学内容
备注
一、
自主学习
1.直线与平面平行的判定定理是什么？
2.直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件问题，反之，在直线与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？
二、
质疑提问
思考1:如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系？
三、
问题探究
四、
课堂检测
五、
小结评价