上海市16区高三数学二模试题分类汇编10 二项式定理理

合集下载

上海各区高三二模数学试卷带答案.doc

静安、杨浦.青浦、宝山2013—2014学年数学试卷(理科)2014.4一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1-/ 0L二阶行列式的値是.(苴中?•为虚数单位)1+Z 1+/2.已知亍J是方向分别与兀轴和尹轴正方向相同的两个基本单位向量，贝U平面向量7 + 7的模等于—.3.二项式(x + 1)7的展开式中含*项的系数值为_______________ •4.已知圆锥的母线长为5，侧而积为15”，则此圆锥的体积为______ .(结果中保留兀)5.已知集合/ = ｛y y = sinx,xw7?｝, B = ｛兀x = 2n + l,n wZ｝,则A^\B= ___________ .6.在平面直角处标系兀0中，若鬪F +(y-厅=4上存在/ , B两点，月弦AB的中点为P(l,2),则直线AB的方程为 ________________ .7.已知1002 X +1002 7 = 1，则X +尹的最小值为__________ •8.已知首项q=3的无穷等比数列｛~｝(/7wNj的各项和等于4,则这个数列｛〜｝的公比是_________ •[x = 2cos/9.在平面直角坐标系Illi线G的参数方程为彳. (Q为参数)，O为坐标原点，[y = 2sina,M为G上的动点，P点满足0P = 20M，点P的轨迹为曲线C?.则C2的参数方程为.10.阅读右而的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为_______ •11.从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量g表示所选3人中女志愿者的人数，则g的数学期望是________ ・12.设各项均不为零的数列｛c”｝中，所有满足q • c/+1 < 0的正整数i的个数称为这个数列｛c”｝的变号数.已知数列｛a n｝的前〃项和S“ = n2 - 4/7 + 4 , b n=l-— 5 w N * ),则数列｛b n｝的变号数为__ .%13.已知定义在[0,+oo)上的函数/(兀)满足/(x) = 3/(x + 2).当兀G [0,2)时/(x) = -，+ 2x .设f(x)在\2n - 2,2/7)上的最人值为碍，且数列｛%｝的第10题前斤项和为S”，贝ij lim S tJ = _______ .(其中〃wN*)"T814.正方形5和S?内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设ZA = a,若S】=441,S? =440,结束否输出上X二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. .............................................................................................................. 在实数集R 上定义运算*： x^y = x\\-y).若关于x 的不等式x*(x —°)> 0的解集是集合｛x|-l<x<l ｝的子集，则实数a 的取值范围是 ..................................................... ().(A)[0,2](B) [-2,-l)U(-l,0] (C) [0,l)U(l,2]Q)[-2,0]16. “0 = 1”是“函/(x) = sin 2 air - cos 2 cox 的最小正周期为龙”的 ......... ( ).(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分別记为$、52，则$ ： S?=...( ). (A) 1：1 3)2:1 (C) 3:2 (D) 4:1兀 0 < x < 1,1对于任意的xeR 都有 (―广―1, -l<x<0.I 27/(x + 1) = /(x-1).若在区间［-1,3］上函数g(x) = f (x) -mx-m 恰有四个不同的零点，)•三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 小，底面ABCD 是平行四边形，ZCAD = 90° , PA 丄平面ABCD, PA = BC = \, AB=近,F 是的中点. (1) 求证：D4 丄平[fri/UC ；(2) 若以M 为坐标原点，射线AC. AD 、MP 分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角处标系，已经计算得n = (1,1,1)是平面PCQ 的18.函数/(兀)的定义域为实数集R , /(x) = \ 则 sin 2a =________B法向量，求平面与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环血花坛是山以点O 为圆心的两个同心圆弧 AD>弧BC 以及两条线段和CQ 围成的封闭图形.花坛设计周长为30米，其中人圆弧/D 所在圆的半径为10米.设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（0 VXV10），圆心角为&弧度. （1）求0关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元咪.设花坛的面积与装饰总费用的比为y , 当x 为何值时，尹取得授大值？& （第20题图）21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分Y 2 v 2已知椭PIC: —+ ^ = 1（6/>^>0）的右焦点为F （1,0）,短轴的端点分别为BE ，且 cT b" FB 、• FB 2 - -a.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k （kHO ）的直线/交椭圆于两点，弦的垂直平分线与x 轴相交于点D.设眩的中点为戶，试求四的取值范围.MN22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设函数 g(x) = 3v, h(x) = 9X .(1) 解方程:x + log 3(2g(x) -8) = log 3(/z(x) + 9):实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设各项都是正整数的无穷数列｛。

2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝．3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．（5分）计算：＝．5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的坐标为．10．（5分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝．11．（5分）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望Eξ＝．12．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则++…+＝．13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝x﹣（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是．二、选择题15．（5分）sin x＝0是cos x＝1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．18．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）三、解答题19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．22．（12分）如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若＝，求k的值；（2）求证：∠AFP＝∠BF0；（3）求面积△ABF的最大值．23．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝（﹣2，1]．【解答】解：A＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}＝{x|x≥3或x≤1}，则A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}，故答案为：（﹣2，1]．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝1．【解答】解：设z＝a+bi，则＝＝i，∴1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，∴，解得，故z＝﹣i，|z|＝1，故答案为：1．3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．（5分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【解答】解：由题意可知：V＝，∴V＝π（y3﹣），＝．方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则V＝•π×12×2＝，故答案为．6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．【解答】解：∵sin2θ+sinθ＝0，⇒2sinθcosθ+sinθ＝0，⇒sinθ（2cosθ+1）＝0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1＝0，解得：cosθ＝﹣，∴tanθ＝﹣＝﹣，∴tan2θ＝＝．故答案为：．7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是[﹣2，2]．【解答】解：当x≥0时，由f（x）＝2x﹣4＝0得x＝2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2＝4x．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1＝0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p＝2，从而得到抛物线C的方程为：y2＝4x．故答案为：y2＝4x．9．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的坐标为（0，1），（，﹣2）．【解答】解：先求参数t得直线的普通方程为2x+y＝1，即y＝1﹣2x消去参数θ得曲线的普通方程为y2＝1+2x，将y＝1﹣2x代入y2＝1+2x，得（1﹣2x）2＝1+2x，即1﹣4x+4x2＝1+2x，则4x2＝6x，得x＝0或x＝，当x＝0时，y＝1，当x＝时，y＝1﹣2×＝1﹣3＝﹣2，即公共点到坐标为（0，1），（，﹣2）故答案为：（0，1），（，﹣2）10．（5分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝5．【解答】解：根据二项式定理，可得，根据题意，可得2n﹣2•∁n2＝2×2n﹣3•∁n3，解得n＝5，故答案为5．11．（5分）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望Eξ＝．【解答】解：如图所有棱长均为2的正四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，SO⊥底面ABCD，SO＝AO＝，S△SAB＝S△SBC＝S△SCD＝S△SAD＝＝，S△ABD＝S△BCD＝S△ADC＝S△ABD＝＝2，S△SBD＝S△SAC＝＝2，∴ξ的可能取值为，P（ξ＝）＝，P（ξ＝2）＝，Eξ＝＝．故答案为：．12．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则++…+＝2n2+6n．【解答】解：令n＝1，得＝4，∴a 1＝16．当n≥2时，++…+＝（n﹣1）2+3（n﹣1）．与已知式相减，得＝（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）＝2n+2，∴a n＝4（n+1）2，n＝1时，a1适合a n．∴a n＝4（n+1）2，∴＝4n+4，∴++…+＝＝2n2+6n．故答案为2n2+6n13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．【解答】解：若甲全对，则乙的得分为54﹣3×10＝24，则此时乙做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若乙全对，则甲的得分为54﹣3×10＝24，则此时甲做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若甲做错了一道，则乙的得分为54﹣3×9＝27，则此时乙做对了9道题，即甲乙错的题目不是同一道题，故乙的得分为{24，27，30}，故答案为{24，27，30}．14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝x﹣（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是6+4．【解答】解：∵f（x）＝x﹣（x∈[1，2]），a＞0，∴A（1，1﹣a），B（2，2﹣）∴直线l的方程为y＝（1+）（x﹣1）+1﹣a设M（t，t﹣）∴N（t，（1+）（t﹣1）+1﹣a）∵|MN|≤1恒成立∴|（1+）（t﹣1）+1﹣a﹣（t﹣）|≤1恒成立∴|a|≤1∵g（t）＝t2﹣3t+2，在t∈[1，2]上小于等于0恒成立∴﹣a≤1①t＝1或t＝2时，0≤1恒成立．②t∈（1，2）时，a≤＝∴由基本不等式得：a≤＝4+6此时t＝∴a的最大值为6+4二、选择题15．（5分）sin x＝0是cos x＝1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若sin x＝0，则x＝kπ，k∈Z，此时cos x＝1或cos x＝﹣1，即充分性不成立，若cos x＝1，则x＝2kπ，k∈Z，此时sin x＝0，即必要性成立，故sin x＝0是cos x＝1的必要不充分条件，故选：B．16．（5分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA＝OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．【解答】解：由题意可得•＝0，可得|+|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，即为||＝cos＜+，＞，当cos＜+，＞＝1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则0＜x1＜1，1＜x1＜3，则log3x1＝﹣log3x2，即log3x1+log3x2＝log3x1x2＝0，则x1x2＝1，同时x3∈（3，6），x4∈（12，15），∵x3，x4关于x＝9对称，∴＝9，则x3+x4＝18，则x4＝18﹣x3，则x1x2x3x4＝x3x4＝x3（18﹣x3）＝﹣x32+18x3＝﹣（x3﹣9）2+81，∵x3∈（3，6），∴x3x4∈（45，72），即x1x2x3x4∈（45，72），故选：B．三、解答题19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥BC，∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1．解：（2）以C为原点，直线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），由（1）得＝（0，2，0）是平面ACC1A1的一个法向量，＝（0，2，2），＝（2，0，1），设平面B1CD的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣2），设二面角B1﹣CD﹣C1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，由图形知二面角B1﹣CD﹣C1的大小是锐角，∴二面角B1﹣CD﹣C1的大小为arccos．20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．【解答】解：（1）f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1＝＝．∵T＝，∴ω＝2．则f（x）＝2sin（2x）﹣1；（2）由f（B）＝＝0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B＝．而＝ac•cos B＝，∴ac＝3．又a+c＝4，∴a2+c2＝（a+c）2﹣2ac＝16﹣2×3＝10．∴b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝7．则b＝．21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝＝1﹣，则f（x）在[﹣，]上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；故﹣1≤f（x）≤；故|f（x）|≤1；故f（x）是有界函数；故f（x）上所有上界的值的集合为[1，+∞）；（2）∵函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，∴|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；即﹣3≤g（x）≤3，∴﹣3≤1+2x+a•4x≤3，∴﹣﹣≤a≤﹣；令t＝，则t∈[，1]；故﹣4t2﹣t≤a≤2t2﹣t在[，1]上恒成立；故（﹣4t2﹣t）max≤a≤（2t2﹣t）min，t∈[，1]；即﹣≤a≤﹣；故实数a的取值范围为[﹣，﹣]．22．（12分）如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若＝，求k的值；（2）求证：∠AFP＝∠BF0；（3）求面积△ABF的最大值．【解答】解：（1）联立，得（3k2+4）x2﹣24kx+36＝0，∵直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，∴△＝144（k2﹣4）＞0，即k＞2或k ＜﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵，∴x2＝2x1，代入上式，解得k＝．证明：（2）由图形得要证明∠AFP＝∠BFO，等价于证明直线AF与直线BF的倾斜角互补，即等价于k AF+k BF＝0，k AF+k BF＝+＝＝2k﹣3（）＝2k﹣＝2k﹣2k＝0，∴∠AFP＝∠BFO．解：（3）∵k＞2或k＜﹣2，∴S△ABF＝S△PBF﹣S△P AF＝＝＝．令t＝，则t＞0，3k2+4＝3t2+16，∴S△ABF＝＝＝≤＝，当且仅当3t＝，即t2＝，k＝取等号，∴△ABF面积的最大值为．23．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2b n＝a n+a n+1①，a n+12＝b n•b n+1②．由②得③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有．即．∴是等差数列．（4分）（Ⅱ）设数列的公差为d，由a1＝10，a2＝15．经计算，得．∴．∴．∴，．（9分）（Ⅲ）由（1）得．∴．不等式化为．即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．设f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．当a﹣1＞0，即a＞1时，不满足条件；当a﹣1＝0，即a＝1时，满足条件；当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）＝4a﹣15＜0．解得，∴a＜1．综上，a≤1．（14分）。

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：.docx

高中数学学习材料唐玲出品上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：函数一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若()f x 的最小值是a ，则a = ．2、（奉贤区2016届高三二模）函数21x y =-的定义域是_______．(用区间表示)3、（虹口区2016届高三二模）已知函数()f x 的对应关系如下表：x2-1- 012()f x 32-15m若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为___________. 4、（黄浦区2016届高三二模）函数3()1f x x =+的反函数1()f x -=5、（静安区2016届高三二模）若函数()()2F x f x x =+为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，已知 f (1) =1，则g (－1)的值为（）A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6、（闵行区2016届高三二模）函数3log (1)y x =-的定义域是 .7、（浦东新区2016届高三二模）方程22log (97)2log (31)x x+=++的解为8、（普陀区2016届高三二模）若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 .9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．10、（杨浦区2016届高三二模）函数2()1x f x x +=-的定义域为 . 11、（闸北区2016届高三二模）设函数()(01xxf x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是 12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．13、（崇明县2016届高三二模）已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且123,12()11,222x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩≤≥，则函数2()3y x f x =-在区间(1,2016)上的零点个数为． 14、（奉贤区2016届高三二模）已知函数()22xxf x a -=-⋅的反函数是()1fx -，()1f x -在定义域上是奇函数，则正实数a =________．15、（黄浦区2016届高三二模）已知函数32()lg(1)f x x x x =+++，若()f x的定义域中的a 、b 满足()()3f a f b -+--=()()3f a f b ++，则()()f a f b += 16、（闵行区2016届高三二模）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 17、（浦东新区2016届高三二模）已知函数311()=3x f x a x a +⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭的图像与它的反函数的图像重合，则实数a 的值为 .18、（普陀区2016届高三二模）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .19、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是-------------------（）（A ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩（B ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩（C ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （D ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩20、（杨浦区2016届高三二模）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（）A.||2x y = B.ln y x = C.13y x = D.1y x x=+21、（闸北区2016届高三二模）设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是． 22、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．23、（普陀区2016届高三二模）设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .二、解答题1、（崇明县2016届高三二模）已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．2、（奉贤区2016届高三二模）（1）已知120x x <<，求证：112211x x x x +>+； (2)已知()()31lg 1log 2f x x x =+-,求证：()f x 在定义域内是单调递减函数； (3)在(2)的条件下，求集合(){}221419980,M n f n n n Z =--≥∈的子集个数.3、（虹口区2016届高三二模）已知函数131()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足(2)1f -=，其中a 为实常数.（1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；（2）若不等式1()2xf x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.4、（黄浦区2016届高三二模）已知函数2()1xx f x a x -=++，其中1a >；（1）证明：函数()f x 在(1,)-∞上为增函数；（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =；5、（静安区2016届高三二模）已知函数()y f x =，若在区间I 内有且只有一个实数c (c I ∈)，使得()0f c =成立，则称函数()y f x =在区间I 内具有唯一零点.（1）判断函数()221,01,log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内是否具有唯一零点，并说明理由；(2)已知向量31(,)22m =，(sin 2,cos 2)n x x =，(0,)x π∈，证明()1f x m n =⋅+在区间(0,)π内具有唯一零点；(3)若函数2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-内具有唯一零点，求实数m 的取值范围.6、（闵行区2016届高三二模）为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．参考答案一、填空题1、－12、[)0,+∞3、{}3,2,1,5-4、3(1)x - 5、A 6、()1,+∞7、{}0,1 8、⎪⎭⎫⎝⎛231， 9、12a - 10、11、12 12、)1,3(13、11 14、1 15、15 16、623,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭17、3a =- 18、0 19、B 20、C 21、32m ≤-或32m ≥； 22、]2,0[]2,( --∞ 23、2->a二、解答题1、（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R当=1λ时，()33x x f x -=+，()()f x f x -=，函数为偶函数；..............2分当=-1λ时，()33x x f x -=-，()()f x f x -=-，函数为奇函数；............4分当||1λ≠时，1(1)3,(1)333f f λλ=+-=+ 此时(1)(1)(1)(1),f f f f -≠--≠且所以函数为非奇非偶函数.........................................6分（2）由于()6f x ≤得336xxλ-+≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]xt =∈，................................................8分原不等式等价于6t tλ+≤在[]1,9t ∈上恒成立，亦即26t t λ≤-+在[]1,9t ∈上恒成立，.............................10分令[]2()6,1,9g t t t t =-+∈，当9t =时，()g t 有最小值()927g =-，所以27λ≤-................14分2、(1)解：任取210x x <<，则()()()211211222211111x x x x x x x x x x +-++-=++()21221x x x x -=+3分 210x x <<，所以()212201x xx x ->+ 4分∴212111x x x x >++5分(2)∵212111x x x x >++,∴2121lg 11lg x xx x >++. 6分 12()()f x f x -=)1lg()1lg(21+-+x x -)log (log 212313x x -=11lg 21++x x -213log 21x x 7分=11lg 21++x x -1119109222log log log x x x x x x >-109log 9log 101101,log log log 10log 9log 10log 9t t t t t t t t t -<<-=-=⋅log 90,log 100,log 9log 100,log 9log 100t t t t t t <<⋅>->log 9log 1001,0log 10log 9t t t t t -<<∴>⋅1110922log log 0x xx x ∴->8分∴>-)()(11x f x f 0∴)(x f 为),0(+∞上的减函数 9分 (3)注意到0)9(=f ∴当9>x 时，0)9()(=<f x f ，当90<<x 时，0)9()(=>f x f ，∴0)(=x f 有且仅有一个根9=x . 1 由)9()1998214(0)1998214(22f n n f n n f ≥--⇒≥--∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--019982149199821422n n n n 13分⇔922310713447,100713447n n n -≤≤⎧⎪⎨>+<-⎪⎩或14分 ∴223=n 或9-=n ， 15分 ∴}223,9{-=MM 的子集的个数是4. 16分3、解：（1）由1312121(2)log 1,,2133a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分于是131()log 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，其定义域为(,1)(1,).D =-∞-⋃+∞ ……4分对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-⋃+∞有111133331111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()f x 为奇函数. ……7分（2）由1()2x f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，得[]1()2,32xt f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭在恒成立. 由12111x x x +=+--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13()log g u u =在(0,)+∞上也递减，故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分由()f x 及12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]2,3均单调递增，知[]1()()2,32xx f x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在单调递增， ……12分故2min15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭因此，实数t 的取值范围为5(,).4-∞-……14分 4、[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭．（3分）因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分）因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证．5、（1）函数()221,01log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内具有唯一零点． …2分理由：当1x =时，有()10f =，且当01x <<时，有()210f x x =-<；当1x >时,()2log f x x =是增函数，有()22log log 10f x x =>=． …………4分(2)因为311sin 2cos 21sin(2)1226m n x x x π⋅+=++=++,所以()s i n (2)16f x x π=++, …………7分 ()0f x =的解集为,3A x x k k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭；因为23A I π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,所以在区间(0,)π内有且只有一个实数23π,使得2()03f π=成立,因此()1f x m n =⋅+在开区间(0,)π内具有唯一零点； …………10分(3) 函数2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为x m =-．以下分-m 与区间(2,2)-的位置关系进行讨论．1)当2m -≤-即2m ≥时, 2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-是增函数,只需(2)0,(2)0f f -<⎧⎨>⎩解得2m >； …………12分2) 当22m -<-<即22m -<<时,若使函数在开区间(2,2)-内具有唯一零点，220m m -<，所以0m <。

2016届上海高三二模数列分类

1、（奉贤区2016届高三二模）数列{}n a ，{}n b 满足1111221111122n n n n n na ab b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅⎪⎩，0,011>>b a .（1）求证：{}n n b a ⋅是常数列；（2）若{}n a 是递减数列，求1a 与1b 的关系；（3）设114,1a b ==，当2n ≥时，求n a 的取值范围.2、（虹口区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且2(1)().n n n S a S n N *-=∈（1）求123S S S 、、的值，并求出n S 及数列{}n a 的通项公式；（2）设121(1)(1)(),n n n n b n a a n N +*+=-+⋅∈求数列{}n b 的前n 项和.n T （3）设(1)(),n n c n a n N *=+⋅∈在数列{}n c 中取出(,3)m m N m *∈≥为常数项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列{}n d .若对任意的数列{}n d ，均有123,m d d d d M ++++≤试求M 的最小值.3、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中12,k k Z ∈；（1）试写出一组12,k k Z ∈的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数；（2）若11k =、*2k N ∈，数列{}n b 满足n n a b n=，且对任意*m N ∈(3)m ≠，均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值；（3）若120k k <<，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠*(,,)i j N i j ∈<的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求12,k k 的最小值；4、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2），首项31=a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）数列{}n b 满足n a b nn 3log =，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC 的内角，若n T A A 43cos sin >对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围． 5、（闵行区2016届高三二模）已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+, 记24n n n c a b =-．（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．6、（普陀区2016届高三二模）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++ 21.7、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++<②存在实数,a b 使n a a b ≤≤对任意正整数n 都成立．（1）现在给出只有5项的有限数列{}{},,n n a b 其中123452,6,8,9,12a a a a a =====；2log (1,2,3,4,5).k b k k ==试判断数列{}{},n n a b 是否为集合W 的元素；（2）数列{}n c 的前n 项和为1,1,n S c =且对任意正整数,n 点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，证明：数列{},n S W ∈并写出实数,a b 的取值范围；（3）设数列{},n d W ∈且对满足条件②中的实数b 的最小值0,b 都有*0().n d b n N ≠∈求证：数列{}n d 一定是单调递增数列．8、（闸北区2016届高三二模）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)2n n n S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-；（3）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32n m m n -<+，其中1,2,,m n =，求满足34(2)(3)n a n nn n n a ++++=+的所有n 的值．。

上海市高考数学二模试卷(解析版)

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设，是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“αβm ⊂αβl m ⊥l α⊥β”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是( ) {a n }a 1>0q ∈(‒1,0)A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为{a n }a 1{a n }a 2C. 数列为严格递增数列D. 数列为严格递增数列{a n a n +1}{a 2n ‒1+a 2n }3. 某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水W t W =f(t)‒f(b)‒f(a)b ‒a[a,b]治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示则下.列正确的命题是( )A. 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 [t 1,t 2]B. 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 t 2C. 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标t 3D. 甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强[0,t 1][t 1,t 2][t 2,t 3][t 1,t 2]4. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若，，当时都有R f(x)A ∀x 1x 2∈R x 1‒x 2∈A f(x 1)，则称是“封闭”函数已知给定两个命题：‒f(x 2)∈A f(x)A .：若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数； P f(x){1}f(x){k}(k ∈N ∗)：若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数． Q f(x)[a,b](a,b ∈N ∗)f(x){ab}则下列判断正确的为( )A. 对，对B. 不对，对C. 对，不对D. 不对，不对P Q P Q P Q P Q 二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 已知集合，集合，则． A ={x|‒2<x <0}B ={x|0≤x ≤1}A ∪B =6. 在复平面内，点对应的复数，则______． A(‒2,1)z |z +1|=7. 若不等式的解集为，则实数等于______ ．|x ‒a|<2(a ∈R)(‒1,t)t 8. 在中，，，，将绕边旋转一周，所得到几何Rt △ABC ∠B =90°AB =2CB =3△ABC AB 体的体积为______ ．9. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． X N(2,1)P(X ≤a ‒2)=P(X ≥2a +3)a =10. 若，则 ______ ．x 8=a 0+a 1(x ‒1)+⋯+a 8(x ‒1)8a 3=11. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______．f(x)=x 3y =f(x)(0,0)12. 若函数的最小值为，则常数的一个取值为______ ． f(x)=sin (x +φ)+cosx ‒2φ13. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程单位：万千米对应维修保养费用x()y(单位：万元的四组数据，这四组数据如表： )行驶里程万千米x/1245维修保养费用万元 y/ 0.50 0.90 2.302.70若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为万千米时y =0.58x +a 6的维修保养费是______ ．14. 已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为a ,b x |x ⃗a ‒⃗b|≥32a ,b ______ ．15. 不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点x l N(x N ,0)(x N ≠0)C x 2‒y 2b 2=1(b >0)A，关于对称，中点的横坐标为，若，则的值为______ ．B l AB M x M x N =4x M b 16. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，，，各项和为，集合Q a 1a 2…a m S(Q){(i,j)|，中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最a i >a j 1≤i <j ≤m}T(Q)S(Q)=100Q T(Q)大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。

上海市2023年各地区高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(16套)-04填空题基础题②

上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题②一．函数的最值及其几何意义（共1小题）..................................................................................1一十九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）........................................................................15二十二．条件概率与独立事件（共2小题）................................................................................16二十五．二项式定理（共2小题）. (18)一．函数的最值及其几何意义（共1小题）1．（2023•浦东新区二模）函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为．二．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）2．（2023•静安区二模）已知函数()(0)21xxa f x a =>+为偶函数，则函数()f x 的值域为．三．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共1小题）3．（2023•宝山区二模）若幂函数a y x =的图像经过点，则此幂函数的表达式为．四．对数的运算性质（共1小题）4．（2023•静安区二模）若101010x y -=，其中x ，y R ∈，则2x y -的最小值为．五．三角函数的最值（共1小题）5．（2023•松江区二模）已知(0,)2x π∈，则2214sin cos x x+的最小值为．六．同角三角函数间的基本关系（共1小题）6．（2023•静安区二模）已知(0,)απ∈，且3cos 28cos 5αα-=，则cos α= ．七．两角和与差的三角函数（共1小题）7．（2023•浦东新区二模）已知R ω∈，0ω>，函数cos y x x ωω=-在区间[0，2]上有唯一的最小值2-，则ω的取值范围为．八．二倍角的三角函数（共1小题）8．（2023•松江区二模）已知2πθπ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ= ．九．等比数列的通项公式（共1小题）9．（2023•闵行区二模）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5a = ．一十．数列递推式（共1小题）10．（2023•宝山区二模）已知数列{}n a 的递推公式为1121(2)2n n a a n a -=+⎧⎨=⎩…，则该数列的通项公式n a = ．一十一．极限及其运算（共1小题）11．（2023•闵行区二模）0(4)22limh ln h ln h→+-= ．一十二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）12．（2023•浦东新区二模）已知01a b <<<，设3()()()W x x a x b =--，()()()k W x W k f x x k -=-，其中k 是整数．若对一切k Z ∈，()k y f x =都是区间(,)k +∞上的严格增函数．则ba的取值范围是．一十三．向量的概念与向量的模（共1小题）13．（2023•奉贤区二模）在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成一个以原点为起点的向量(,)a b α=r，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是．一十四．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•闵行区二模）平面上有一组互不相等的单位向量12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r，若存在单位向量OP u u u r 满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅+⋯+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则称OP u u u r是向量组12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量．已知1OA 〈u u u r ，23OA π〉=u u u u r ，向量OP u u u r 是向量组123,,OA OA OA u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量，当3OP OA ⋅u u u r u u u u r 取得最大值时，13OA OA ⋅u u u r u u u u r的值为．15．（2023•浦东新区二模）已知边长为2的菱形ABCD 中，120A ∠=︒，P 、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQ BD ⊥，则AP CQ ⋅u u u r u u u r的最大值是．16．（2023•松江区二模）已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且||2(0)OA a a =>u u u r ．若存在m ，n R ∈，使得mAB OA +u u u r u u u r 与nAB OB +u u u r u u u r垂直，且|()()|mAB OA nAB OB a +-+=u u u r u u u r u u u r u u u r，则||AB 的最小值为．一十五．投影向量（共1小题）17．（2023•静安区二模）已知向量a =r ，且a r，b r 的夹角为3π，()(23)4a b a b +⋅-=r r r r ，则b r 在a r方向上的投影向量等于．一十六．余弦定理（共1小题）18．（2023•奉贤区二模）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C 等于．一十七．虚数单位i 、复数（共1小题）19．（2023•宝山区二模）已知复数22(31)(56)3m m m m i --+--=（其中i 为虚数单位），则实数m = ．一十八．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）20．（2023•奉贤区二模）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O 、2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为．一十九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）21．（2023•松江区二模）将如图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 mm ．二十．直线与平面所成的角（共1小题）22．（2023•静安区二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为正方形11BCC B 的中心，则直线EF 与侧面11BB C C 所成角的正切值是．二十一．双曲线的性质（共1小题）23．（2023•浦东新区二模）双曲线22:124x y C -=的右焦点F 到其一条渐近线的距离为．二十二．条件概率与独立事件（共2小题）24．（2023•奉贤区二模）设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是．25．（2023•浦东新区二模）投掷一颗骰子，记事件{2A =，4，5}，{1B =，2，4，6}，则(|)P A B = ．二十三．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）26．（2023•奉贤区二模）已知随机变量X 的分布为123()111236，且3Y aX =+，若[]2E Y =-，则实数a = ．二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共3小题）27．（2023•静安区二模）今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎．标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X 是服从正态分布(500N ，22.5)的随机变量．若质量指标介于495g （含)至505g （含)之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为 %．（结果保留一位小数）（已知Φ（1）0.8413≈，Φ（2）0.9772≈，Φ（3）0.9987≈．()x Φ表示标准正态分布的密度函数从-∞到x 的累计面积）28．（2023•浦东新区二模）设随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.9P X >-=，则(2)P X >= ．29．（2023•松江区二模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若( 1.96)0.03P X <-=，则(|| 1.96)P X <= ．二十五．二项式定理（共2小题）30．（2023•松江区二模）在二项式81(x x-的展开式中，含4x 的项的系数是（结果用数字作答）．31．（2023•宝山区二模）在62(x x+的展开式中，常数项为 .（结果用数字作答）上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题②参考答案与试题解析一．函数的最值及其几何意义（共1小题）1．（2023•浦东新区二模）函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为1-　．【答案】1-．【解答】解：42224444444(2)111111log 1log (2)112log (2)1(2)(2)(2)2(2)(2)log x y log x x x x log x log x log x log log x log x =+=++-=+-=+-=+-，1(2x ∈Q ，)+∞，2(1,)x ∴∈+∞，4log (2)0x ∴>，4412log (2)111(2)y x log x ∴=+-=-…，当且仅当4412log (2)(2)x log x =，即4log (2)x =即函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为1-．故答案为：1-．二．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）2．（2023•静安区二模）已知函数()(0)21xxa f x a =>+为偶函数，则函数()f x 的值域为 (0，1]2　．【答案】(0，1]2【解答】解：函数的定义域为R ，因为()f x 为偶函数，所以f （1）(1)f =-，即112121a a --=++，解得a =，所以1()2f x ===，当且仅当x =，即0x =时，等号成立，又0x >，所以()f x 的值域为(0，12．故答案为：(0，1]2．三．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共1小题）3．（2023•宝山区二模）若幂函数a y x =的图像经过点，则此幂函数的表达式为 3y x =　．【答案】3y x =．【解答】解：Q 幂函数a y x =的图像经过点，∴3α=，3α∴=，则此幂函数的表达式为3y x =．故答案为：3y x =．四．对数的运算性质（共1小题）4．（2023•静安区二模）若101010x y -=，其中x ，y R ∈，则2x y -的最小值为 122lg +　．【答案】122lg +．【解答】解：101010x y -=Q，101010x y ∴=+=…1010y =，即1y =时，等号成立，两边平方得：2110410x y +⨯…，∴2110410xy +…，即21104x y --…，214x y lg ∴--…，214122x y lg lg ∴-+=+…，当且仅当1y =，12x lg =+时，等号成立，即2x y -的最小值为122lg +．故答案为：122lg +．五．三角函数的最值（共1小题）5．（2023•松江区二模）已知(0,)2x π∈，则2214sin cos x x+的最小值为 9　．【答案】9．【解答】解：22222222221414cos 4sin ()(sin cos )559sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x +=++=+++=…，当且仅当2222cos 4sin sin cos x x x x =，又22sin cos 1x x +=，(0,)2x π∈，即sin x =，cos x =时取等号，则2214sin cos x x+的最小值为9．故答案为：9．六．同角三角函数间的基本关系（共1小题）6．（2023•静安区二模）已知(0,)απ∈，且3cos 28cos 5αα-=，则cos α=　23-　．【答案】23-．【解答】解：因为3cos 28cos 5αα-=，所以23(2cos 1)8cos 5αα--=，整理可得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或2（舍去）．故答案为：23-．七．两角和与差的三角函数（共1小题）7．（2023•浦东新区二模）已知R ω∈，0ω>，函数cos y x x ωω=-在区间[0，2]上有唯一的最小值2-，则ω的取值范围为 5[6π，116π　．【答案】5[6π，116π．【解答】解：cos 2sin(6y x x x πωωω=-=-，由[0x ∈，2]，知[66x ππω-∈-，2]6πω-，因为函数y 在区间[0，2]上有唯一的最小值2-，所以32[62ππω-∈，7)2π，解得5[6πω∈，11)6π．故答案为：5[6π，11)6π．八．二倍角的三角函数（共1小题）8．（2023•松江区二模）已知2πθπ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=　247-　．【答案】247-．【解答】解：因为2πθπ<<，且4cos 5θ=-，所以3sin 5θ===，可得sin 3tan cos 4θθθ==-，则2232()2tan 244tan 23171()4tan θθθ⨯-===----．故答案为：247-．九．等比数列的通项公式（共1小题）9．（2023•闵行区二模）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5a【解答】解：Q 等比数列{}n a 中，设公比为q ，3a Q 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，3a ∴、7a 分别是函数231260y x x '=-+=的两个实数根，374a a ∴+=23752a a a ⋅==，3a ∴与7a 都是正值．253aa q ∴=⋅也是正值，5a ∴=．一十．数列递推式（共1小题）10．（2023•宝山区二模）已知数列{}n a 的递推公式为1121(2)2n n a a n a -=+⎧⎨=⎩…，则该数列的通项公式n a =　1321n -⨯-　．【答案】1321n -⨯-．【解答】解：当2n …时，121n n a a -=+，112(1)n n a a -∴+=+，即1121n n a a -+=+，又12a =Q ，113a ∴+=，∴数列{1}n a +是首项为3，公比为2的等比数列，1132n n a -∴+=⨯，1321n n a -∴=⨯-．故答案为：1321n -⨯-．一十一．极限及其运算（共1小题）11．（2023•闵行区二模）0(4)22lim h ln h ln h →+-=　14　．【答案】14．【解答】解：00(4)22(4)4lim lim44h h ln h ln ln h ln h h →→+-+-=+-，表示函数y lnx =在4x =处的导数，1y x '=Q ，∴0(4)221lim 4h ln h ln h →+-=．故答案为：14．一十二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）12．（2023•浦东新区二模）已知01a b <<<，设3()()()W x x a x b =--，()()()k W x W k f x x k -=-，其中k 是整数．若对一切k Z ∈，()k y f x =都是区间(,)k +∞上的严格增函数．则ba的取值范围是 (1，3]　．【答案】(1，3]．【解答】解：33322232232()()()()()(3)[(3)33](3)(33)3k x a x b k a k b f x x k a b x k a b k a ab x k a b k a ab k a a bx k-----==+--+-++++-+++---，2222()32(3)(3)33k f x x k a b x k a b k a ab '=+--+-+++，则方程()0k f x '=满足△2234[2(3)3]8()(2a bk a b k b ab k b k -=-+++-=---，因为01a b <<<，所以312a bb -<<，①当3(2a b k -∈，)b 无解时，即302a b -…，(1ba∈，3]时，对于任意的k Z ∈都有△0…，即()0k f x '…恒成立，所以()k y f x =在(,)k +∞上严格增．②当3(2a b k -∈，)b 有解时，即302a b -<，(3,)ba∈+∞时，取0k =，则△0>，2()32(3)3()k f x x a b x a a b '=-+++，设()0k f x '=的两个根为1x ，212()x x x <，则12122(3)03()0a b x x x x a a b +⎧+=>⎪⎨⎪=+>⎩，所以1x ，2x 均为大于0，所以()k y f x =在1(0,)x ，2(x ，)+∞上严格递增，在1(x ，2)x 上严格递减，不满足条件，综上所述，ba的取值范围为(1，3]，故答案为：(1，3]．一十三．向量的概念与向量的模（共1小题）13．（2023•奉贤区二模）在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成一个以原点为起点的向量(,)a b α=r，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 3　．【答案】3．【解答】解：由题可得满足题意的向量有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，以向量,a b r r 为邻边的平行四边形的面积为：||||sin ,||||S a b a b a b =<>==r r r r r r ，∴以(2,1)，(2,3)4=；以(2,1)，(4,1)2=；以(2,1)，(4,3)2=；以(2,3)，(4,1)10=；以(2,3)，(4,3)6=；以(4,1)，(4,3)8=，综上可知面积不超过4的平行四边形个数是3．故答案为：3．一十四．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•闵行区二模）平面上有一组互不相等的单位向量12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r，若存在单位向量OP u u u r 满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅+⋯+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则称OP u u u r是向量组12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量．已知1OA 〈u u u r ，23OA π〉=u u u u r ，向量OP u u u r 是向量组123,,OA OA OA u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量，当3OP OA ⋅u u u r u u u u r 取得最大值时，13OA OA ⋅u u u r u u u u r 的值为或【解答】解：3OP OA ⋅u u u r u u u u r 取最大值时，3OP OA =u u u r u u u u r ，且12,3OA OA π<>=u u u r u u u u r ，如图，12||OA OA +===u u u r u u u u r 设12OA OA OB +=u u u r u u u u r u u u r ，3,OA OB θ<>=u u u u r u u u r ，则：31233()10OA OA OA OA OA OB ⋅++=⋅+=u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r，∴31OA OB θ⋅==-u u u u r u u u r ，cos θ=，sin θ=，且13,6OA OA πθ<>=-u u u r u u u u r 或6πθ+，∴131cos()cos cos sin sin 6662OA OA πππθθθ⋅=-=+==u u u r u u u u r131cos()cos cos sin sin 6662OA OA πππθθθ⋅=+=-==u u u r u u u u r或15．（2023•浦东新区二模）已知边长为2的菱形ABCD 中，120A ∠=︒，P 、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQ BD ⊥，则AP CQ ⋅u u u r u u u r 的最大值是 14　．【答案】14．【解答】解：如图，连接BD ，AC ，设BD ，AC 交于点O ，则BD AC ⊥，以点O 为原点，BD ，CA 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则：(0,1)A ，(0,1)C -，PQ BD ⊥Q ，且P ，Q 点在内切圆上，∴设(,)P m n ，(,)Q m n -，,(m n ∈，∴(,1),(,1)AP m n CQ m n =-=-u u u r u u u r，∴22(1)AP CQ m n ⋅=--u u u r u u u r，Q 222m n +=，∴设,m n θθ==，∴22222233131(1)1)(cos 42424m n sin cos θθθθθ--=--=--=--+，∴cos θ=时，231(cos 24θ-+取最大值14，∴AP CQ ⋅u u u r u u u r 的最大值为14．故答案为：14．16．（2023•松江区二模）已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且||2(0)OA a a =>u u u r ．若存在m ，n R ∈，使得mAB OA +u u u r u u u r 与nAB OB +u u u r u u u r垂直，且|()()|mAB OA nAB OB a +-+=u u u r u u u r u u u r u u u r，则||AB 的最小值为．．【解答】解：设A ，B 在直线y t =上，又A ，B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，||2(0)OA a a =>u u u r，∴||AB =；设,mAB AP nAB BQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则mAB OA OA AP OP +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，nAB OB OB BQ OQ +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴|()()|||||mAB OA nAB OB OP OQ PQ a +-+=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，不妨设P 在Q 的左侧，(,)P x t ，则(,)Q x a t +，Q mAB OA +u u u r u u u r 与nAB OB +u u u r u u u r垂直，∴0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即2()0x x a t ++=有解，∴2222()(()224a a a t x x a x ax a =-+=-----⋅-=…，∴||AB ==，即||AB ．．一十五．投影向量（共1小题）17．（2023•静安区二模）已知向量a =r ，且a r，b r 的夹角为3π，()(23)4a b a b +⋅-=r r r r ，则b r 在a r方向上的投影向量等于 14a r ．【答案】14a r．【解答】解：向量a =r，则||2a =r，()(23)4a b a b +⋅-=r r r r，则22234a a b b -⋅-=rr r r ，即2182||3||42b b -⨯⨯-=r r ，解得||1b =r ，故b r 在a r方向上的投影向量等于1||cos 3||4a b a a π⨯=r r r r ．故答案为：14a r．一十六．余弦定理（共1小题）18．（2023•奉贤区二模）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C 等于　45︒　．【解答】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab +-=2222cos a b c ab C ∴+-=222111sin ()cos 242S ab C a b c ab C ==+-=Q sin cos C C ∴=0C π<<Q 45C ∴=︒故答案为：45︒一十七．虚数单位i 、复数（共1小题）19．（2023•宝山区二模）已知复数22(31)(56)3m m m m i --+--=（其中i 为虚数单位），则实数m =　1-　．【答案】1-．【解答】解：复数22(31)(56)3m m m m i --+--=，则22313560m m m m ⎧--=⎨--=⎩，解得1m =-．故答案为：1-．一十八．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）20．（2023•奉贤区二模）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O 、2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为 8π　．【解答】解：如图所示，设圆柱的底面圆半径为r ，则高为2h r =，所以该圆柱的轴截面面积为2(2)8r =，解得r =∴该圆柱的侧面积为228S rh πππ===侧．故答案为：8π．一十九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）21．（2023•松江区二模）将如图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 50　mm ．【答案】50．【解答】解：设液面圆的半径为r ，由图形可得150100300r =，50r ∴=，23150150503V ππ∴=⨯⨯⨯=液，设圆柱形容器内液面的高度为h ，则235050h ππ⨯⨯=，解得50h =．故答案为：50．二十．直线与平面所成的角（共1小题）22．（2023•静安区二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为正方形11BCC B 的中心，则直线EF 与侧面11BB C C 所成角的正切值是．．【解答】解：连接1BC ，EB ⊥Q 平面11BB C C ，则EFB ∠为直线EF 与侧面11BB C C 所成的角，设||2AB =，则||1BE =，||BF =，则||tan ||BE EFB BF ∠===，则直线EF 与侧面11BB C C ．．二十一．双曲线的性质（共1小题）23．（2023•浦东新区二模）双曲线22:124x y C -=的右焦点F 到其一条渐近线的距离为 2　．【答案】2．【解答】解：Q 双曲线方程为22124x y -=，∴双曲线的右焦点F坐标为0)，渐近线为y =0y ±=，可得焦点F到其渐近线的距离为2d ==．故答案为：2．二十二．条件概率与独立事件（共2小题）24．（2023•奉贤区二模）设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是　0.5　．【解答】解：设A = “能活到20岁”， B = “能活到25岁”，则P （A ）0.8=，P （B ）0.4=，而所求概率为(|)P B A ，由于B A ⊆，故A B B =I ，于是()()0.4(|)0.5()()0.8P A B P B P B A P A P A ====I ，所以这个动物能活到25岁的概率是0.5．故答案为：0.5．25．（2023•浦东新区二模）投掷一颗骰子，记事件{2A =，4，5}，{1B =，2，4，6}，则(|)P A B =　12　．【答案】12．【解答】解：21()63P AB ==，P （B ）4263==，则1()13(|)2()23P AB P A B P B ===．故答案为：12．二十三．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）26．（2023•奉贤区二模）已知随机变量X 的分布为123()111236，且3Y aX =+，若[]2E Y =-，则实数a =　3-　．【答案】3-．【解答】解：随机变量X 的分布为123()111236，则1115[]1232363E X =⨯+⨯+⨯=，3Y aX =+，则5[][]3323E Y aE X a =+=+=-，解得3a =-．故答案为：3-．二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共3小题）27．（2023•静安区二模）今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎．标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X 是服从正态分布(500N ，22.5)的随机变量．若质量指标介于495g （含)至505g （含)之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为 95.4　%．（结果保留一位小数）（已知Φ（1）0.8413≈，Φ（2）0.9772≈，Φ（3）0.9987≈．()x Φ表示标准正态分布的密度函数从-∞到x 的累计面积）【答案】95.4．【解答】解：因为X 是服从正态分布(500N ，22.5)，所以(505)(495)1P X P X >=<=-Φ（2）10.97720.0228≈-=，则(495505)120.02280.954495.4%P X <<=-⨯=≈．故答案为：95.4．28．（2023•浦东新区二模）设随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.9P X >-=，则(2)P X >=　0.1　．【答案】0.1．【解答】解：X 服从正态分布2(0,)N σ，其正态分布曲线关于y 轴对称，由对称性可知(2)(2)1(2)10.90.1P X P X P X >=<-=->-=-=．故答案为：0.1．29．（2023•松江区二模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若( 1.96)0.03P X <-=，则(|| 1.96)P X <=　0.94　．【答案】0.94．【解答】解：由正态分布的对称性得(|| 1.96)12( 1.96)0.94P x P X <=-<-=．故答案为：0.94．二十五．二项式定理（共2小题）30．（2023•松江区二模）在二项式81(x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 28　（结果用数字作答）．【答案】28．【解答】解：二项式81()x x-的展开式的通项为8218(1)r r r r T C x -+=-，令824r -=，得2r =，故含4x 的项的系数是228(1)28C -=．故答案为：28．31．（2023•宝山区二模）在62(x x+的展开式中，常数项为 160　.（结果用数字作答）【答案】160．【解答】解：二项式62()x x +的展开式的通项为6621662(2r r r r r r r T C x C x x--+==，令620r -=，得3r =，故常数项是3362160C ⋅=．故答案为：160．。

上海市浦东区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案

浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017．4注意：1．答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____________．2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是____________． 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____________． 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________． 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________．6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________．7、已知射手甲击中A 目标的概率为0．9，射手乙击中A 目标的概率为0．8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________．8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________．9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________．10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________．12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为____________．二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分． 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段． 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（1）（2）（3）（4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A 、(1)(3)(4)；B 、(2)(4)(3)；C 、(1)(3)(2)；D 、(2)(4)(1)． 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x=（） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0． 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是（）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()．三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点．已知球面上一点10,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积．（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ； OABPQABOCED试求出1S 的最大值和2S （均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P ．（1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值．20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”．（1新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．nT ；（32）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅，求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈．21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数．已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =．（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”；（2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数．浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017.4注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____[2,4)________.2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是_____1______. 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____8π______. 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为______2_______. 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=___5_______.6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 9 .7、已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是___0.98________.8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是_____20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦__________.9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=___14______.10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图象在区间[]3,3-上的交点的个数为 6 .11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为 16 . 12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ D ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段. 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（2）（2）（3）（4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ C ） A 、(1)(3)(4)； B 、(2)(4)(3)； C 、(1)(3)(2)； D 、(2)(4)(1). 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x= （ C ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0. 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是（ D ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、(). 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点10,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）由题意：()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1,0,22A B C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则10,22CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，……………………………………………………2分所以1CD =，即OCD ∆为等边三角形，所以π3DOC ∠=， …………4分ABOCED则ππ133DC =⨯= …………………………6分（2）设直线CD 与平面ABC 所成角为θ，易得平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =， …………………………11分则3132sin 61CD nCD nθ+⋅===⨯⋅， …………………………13分即直线CD 与平面ABC 所成角3arcsin6θ= …………………………14分18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1）如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ ∆的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场POQ ∆的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.OABPQ解：（1）设,OP x OQ y ==由余弦定理得222211232x y xy x y xy xy ⎛⎫=+-⋅-=++≥ ⎪⎝⎭，13xy ∴≤…4分则1211sin π2323212S xy =≤⨯⨯=，max 12S =（平方千米）即选取OP OQ ==时养殖场POQ ∆的面积最大. …………6分（2）方案一：围成三角形OAB设AOB θ∠=，由21124OA OB OA OB OA OB +⎛⎫+=⇒⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12OA OB ==时取等号. 所以，11111sin 12248S OA OB θ=⋅≤⋅⋅=（平方千米），当且仅当1π,22OA OB θ===时取等号.……………9分方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C 的半径为r ，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米，故14433ππr ==. …………10分于是22112π1sin 223S r r =⋅⋅+ …………11分23190.1448π216π=+⋅≈（平方千米） …………13分即12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值.解：（1）由题意，(2,0)P ，渐近线方程：y x =20y ±=……………2分则半径7r d ===， ……………4分所以圆方程为：()221227x y -+=……………6分（2）若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，则其中一点必定是与直线:2l y x =-平行的直线与双曲线其中一支的切点 ……………8分设直线'l 与双曲线C 相切，并且与直线l 平行，则':l y x b =+，即有223412y x b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y ，得到2281240x bx b +++= ……………10分则226416(3)0b b ∆=-+=，解得1b =±，所以':1l y x =±…………12分又d 是l 与'l 之间的距离，所以2d ==或者2d ==……………14分20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（32）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅，求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈.解：（1）由2122n n n a a a +=+，∴212+144+1n n n a a a +=+，即()212121n n a a ++=+，……………………2分且12120a +=≠， ………………………3分 ∴{}21n a +是“2级创新数列” ………………………4分（2）由正数数列{}n b 是“k 级创新数列”，得()+10,1kn nb b k =≠，且0n b >∴+1lg lg n n b k b =， ………………………6分 ∴{}lg n b 是等比数列，且首项1lg 1b =，公比q k =； ∴111lg lg n n n b b q k --=⋅=； ………………………7分由1212lg lg lg lg n n n nT b b b T b b b =⇒=+++………………………9分1n k -++=10分（311111lg 1log lg n nn n n n n b n n n k T k c T b k βββ------=== 111111n n nn n n n nk k k ββαβββαα----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n nαβαβ-=-； ……………………12分由,αβ是方程210x x --=的两根，∴2211ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩；……………………14分()()222111n n n nn c αβααββαβαβ+++-⎡⎤=+-+==⎣⎦--.…………………16分21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数. 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =.（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”；（2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数. 证明：（1）必要性：0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，故()()00sin sin 1g u g u ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎣⎦，即0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解.…………………………………………………2分充分性：0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，故()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，即0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解. ………………………………4分（2）因为()()()0f b f f a <<，由()f x 单调递增，可知0b a <<. ……………………5分由（1）可知，若函数()f x 是正弦奇函数，则当a 为方程()sin 1f x =⎡⎤⎣⎦的解，必有a -为方程()sin 1f x =-⎡⎤⎣⎦的解，()sin 1f a ∴-=-⎡⎤⎣⎦，即()π2π2f a m -=-()Z m ∈，而0a -<，故()()00f a f -<=，从而()()π2f a f b a b -≤-=⇒-≤，即0a b +≥； ……………………7分同理()π2π2f b n -=+()()(),0Z n f b f ∈->，故()()π2f b f a b a -≥=⇒-≥，即0a b +≤； …………………………9分综上，0a b +=. …………………………10分（3）()f x 的值域为R 且单调递增，故对任意R c ∈，存在唯一的0,x 使得()0f x c =.…………11分可设()()πππ,π22n n f a n f b n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()*N n ∈，下证()*0N n n a b n +=∈.当1n =时，由（2）知110a b +=,命题成立； ………………………………12分假设n k ≤时命题成立，即110,,0k k a b a b +=+=，而由()f x 的单调性知11110k k k k b b b a a a ++<<<<<<<<，知11,k k k k a b b a ++-<->，则当1n k =+时，1k a +为方程()sin 1f x =±的解，故1k a +-为方程()sin 1f x =的解，且由单调性知()()1k k f a f b +-<，故()()11k k f a f b ++-≤，得11k k a b ++-≤；同理11k k b a ++-≥，故110k k a b +++=. ……………………………………………14分要证()f x 是奇函数，只需证：对任意0x >，都有()()f x f x -=-.记000a b ==，若()*N n x a n =∈，则n x b -=，()()()2n f x n f a f x ππ⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭；……………………………………………………15分若()()221,N n n x a a n +∈∈，则()ππ2,2,22f x n n ππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()ππ2π,2π22f x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212ππ,,2π,2π22n n x b b f x n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而正弦函数在ππ2,222n n ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上单调递增，故由()()()()sin sin sin f x f x f x -=-=-得()()f x f x -=-.若()()2122,N n n x a a n ++∈∈，同理可证得()()f x f x -=-. …………………17分综上，对任意0x >，都有()()f x f x -=-.故()f x 是奇函数. ……………18分。

上海市16区高三数学二模试题分类汇编2 函数及其应用

上海2013届高三理科最新数学试题精选（13份含16区二模）分类汇编2：函数及其应用一、选择题1 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,设2()()F x x f x =⋅,则()F x 是（）A ．奇函数,在(,)-∞+∞上单调递减B ．奇函数,在(,)-∞+∞上单调递增C ．偶函数,在(),0-∞上递减,在()0,+∞上递增D ．偶函数,在(),0-∞上递增,在()0,+∞上递减2 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知集合{})(),(x f y y x M ==,若对于任意M y x ∈),(11,存在M y x ∈),(22,使得02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合: ① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ②{}2),(-==xe y y x M ③{}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(== 其中所有“Ω集合”的序号是（）A ．②③ .B ．③④ .C ．①②④.D ．①③④.3 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是（）A ．22(13)y x x =-≤< B ．22(3)y x x =->C ．22(13)y x x =-≤<D ．22(3)y x x =->4 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题）(理)已知0>a 且1≠a ,函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数,则函数b x x g a -=||log )(的图象是5 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响,某公司2012年一年内每天的利润()Q t (万元)与时间t (天)的关系如图所示,已知该公司2012年的每天平均利润为35万元,令()C t (万元)表示时间段[0,]t 内该公司的平均利润,用图像描述()C t 与t 之间的函数关系中较准确的是6 ．（2013年上海市高三七校联考（理））若()sin f x x =在区间()()a b a b <，上单调递减,则()x a b ∈，时,（）A ．sin 0x <B ．cos 0x <C ．tan 0x <D ．tan 0x >7 ．（2013届浦东二模卷理科题）已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos1,1,1)(2x x x x m x f π,其中0>m .若方程3)(x x f =恰有5个实数解,则m 的取值范围为)(A 158(,)33 )(B 15(,7)3 )(C 48,33⎛⎫⎪⎝⎭)(D 4(,7)3. 二、填空题8 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）设函数()f x x x =,将()f x 向左平移a (0)a >个单位得到函数()g x ,将()f x 向上平移a (0)a >个单位得到函数()h x ,若()g x 的图像恒在()h x 的图像的上方,则正数a 的取值范围为_____________.9 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-,则a =____________.10．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称,则函数)(x f y =的解析式为_____________.11．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解,则实数m 的取值范围是_____________. 12．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）某商场在节日期间举行促销活动,规定:(1)若所购商品标价不超过200元,则不给予优惠;(2)若所购商品标价超过200元但不超过500元,则超过200元的部分给予9折优惠; (3)若所购商品标价超过500元,其500元内(含500元)的部分按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予8折优惠.某人来该商场购买一件家用电器共节省330元,则该件家电在商场标价为_____. 13．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）设)(x f y =为R 上的奇函数,)(x g y =为R 上的偶函数,且)1()(+=x f x g ,2)0(=g .则=)(x f ________.(只需写出一个满足条件的函数解析式即可)14．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）函数x xa y x=(01)a <<的图像的大致形状是 ( )15．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）下列各对函数中表示相同函数的是 ( ) A.①③④ B.④⑤ C.③⑤ D.①④①()f x =2x,g (x )=x ;②()f x =x ,g (x )=xx 2;③()f x =24x -,g (x )=22x x -⋅+④ ()f x =x , g (x )=33x ; ⑤ ()f x =|1|x +,1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩16．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）幂函数αx y =,当α取不同的正数时,在区间[]1,0上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点)1,0(),0,1(B A ,连接AB,线段AB 恰好被其中的两个幂函数βαx y x y ==,的图像三等分,即有.NA MN BM ==那么,αβ=_________.17．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若函数()()F x f x m =-(0)m >在区间[]8,8-上有四个不同的零点1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=18．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩,那么1(10)f -=________.19．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若点)2,4(在NMyB A x幂函数)(x f 的图像上,则函数)(x f 的反函数)(1x f-=________.20．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）函数2log (1)y x =-的定义域为_________.21．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）已知1()4f x x=-,若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞,使得{}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=,则实数m 的取值范围是___________.22．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）设a 为常数,函数2()43f x x x =-+,若()f x a +在[0,)+∞上是增函数,则a 的取值范围是______. 23．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）函数()1lg(42)f x x x =++-的定义域为___________.24．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题）已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合,如果对于定义域内的任意实数x ,函数值均为正,则实数a 的取值范围是________________. 25．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题）函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减,则k 的取值范围是__________. 26．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题）如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB =90°,AC =2)沿x 轴滚动,设顶点A (x ,y )的轨迹方程是y =f (x ),当∈x [0,224+]时y =f (x )= _____________27．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题）设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数,已知(0,1)x ∈,()()12log 1f x x =-,则函数()f x 在(1,2) 上的解析式是____________ 28．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题）若实数t 满足f (t )=-t ,则称t 是函数f (x )的一个次不动点.设函数()x x f ln =与反函数的所有次不动点之和为m ,则m =______29．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题）已知直线y t =与函数()3x f x =及函)14(图数()43x g x =⋅的图像分别相交于A 、B 两点,则A 、B 两点之间的距离为________30．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题）(理)函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值和最小值分别为m M ,,则=+m M ______.31．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题）(理)设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ,若关于x 的方程)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ,则232221x x x ++=____________. 32．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）)(x f 为R 上的偶函数,)(x g 为R 上的奇函数且过()3,1-,)1()(-=x f x g ,则=+)2013()2012(f f _______________.33．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）已知(1)22xf x +=-,那么1(2)f-的值是_______.34．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）函数0.5log y x =的定义域为_________.35．（2013年上海市高三七校联考（理））函数()M f x 的定义域为R ,且定义如下: 1() M x x M f x x M x∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩(其中M 是实数集R 的非空真子集),若{||1|2} {|11}A x x B x x =-≤=-≤<，,则函数2()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++U 的值域为_________.36．（2013年上海市高三七校联考（理））已知1122arcsin ()22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ,则M m +=____.37．（2013年上海市高三七校联考（理））若函数()8xf x =的图像经过点1()3a ，,则1(2)f a -+=________.38．（2013届浦东二模卷理科题）如果M 是函数)(x f y =图像上的点,N 是函数)(x g y =图像上的点,且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ,那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义,函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是____________.39．（2013届浦东二模卷理科题）函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线xy =对称,则=)3(g _______.40．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）设()f x 是定义在R 上的函数,若81)0(=f ,且对任意的x ∈R,满足(2)()3,(4)()103x x f x f x f x f x +-≤+-≥⨯,则)2014(f =_______________.41．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）用二分法研究方程3310x x +-=的近似解0x x =,借助计算器经过若干次运算得下表: 运算次数 1456解的范围(0,0.5)(0.3125,0.375) (0.3125,0.34375) (0.3125,0.328125)若精确到0.1,至少运算n 次,则0n x +的值为_________________.三、解答题 42．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）本大题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知0>a 且1≠a ,函数)1(log )(+=x x f a ,xx g a-=11log )(,记)()(2)(x g x f x F +=(1)求函数)(x F 的定义域D 及其零点;(2)若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内仅有一解,求实数m 的取值范围.43．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题）三阶行列式xb x x D 31302502-=,元素b ()R b ∈的代数余子式为()x H ,(){}0≤=x H x P , (1) 求集合P ;(2)函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为,Q 若,P Q ⋂≠∅求实数a 的取值范围;44．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题）(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分10分)设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数.(1)求k 的值; (2)(理)若23)1(=f ,且)(2)(22x f m a a xg x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-,求m 的值. 45．（2013年上海市高三七校联考（理））本题共有3小题,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题8分.已知函数2()2(0)f x x ax a =->.(1)当2a =时,解关于x 的不等式3()5f x -<<;(2)对于给定的正数a ,有一个最大的正数()M a ,使得在整个区间[0 ()]M a ，上,不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式;(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0,最小值是4-,求实数a 和t 的值. 46．（2013届浦东二模卷理科题）本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.设函数()()||f x x a x b =-+(1)当2,3a b ==,画出函数()f x 的图像,并求出函数()y f x =的零点; (2)设2b =-,且对任意[1,1]x ∈-,()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.47．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.已知()||,=-+∈R f x x x a b x .(1)当1,0a b ==时,判断()f x 的奇偶性,并说明理由; (2)当1,1a b ==时,若5(2)4xf =,求x 的值; (3)若0b <,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围. 解:48 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有2小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分 . 已知函数a x x f +=2)(. (1)若12)()(++=bx x f x F 是偶函数,在定义域上ax x F ≥)(恒成立,求实数a 的取值范围;(2)当1=a 时,令)())(()(x f x f f x λϕ-=,问是否存在实数λ,使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数,在()0,1-上是增函数?如果存在,求出λ的值;如果不存在,请说明理由.49 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）(本题满分16分;第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分)已知下表为函数d cx ax x f ++=3)(部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27y0.070.02-0.03-0.220.210.20-10.04 -101.63根据表中数据,研究该函数的一些性质: (1) 判断)(x f 的奇偶性,并证明;(2) 判断)(x f 在[]6.0,55.0上是否存在零点,并说明理由; (3) 判断a 的符号,并证明)(x f 在(]35.0,-∞-是单调递减函数.50 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题）定义域为D 的函数)(x f ,如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立,则称此函数在区间I 上是“凸函数”.(1)判断函数x x f lg )(=在+R 上是否是“凸函数”,并证明你的结论; (2)如果函数xax x f +=2)(在]2,1[上是“凸函数”,求实数a 的取值范围; (3)对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ,在],[d c 上任取1x ,2x ,3x ,,n x .① 证明: 当k n 2=(*∈N k )时,)]()()([1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ΛΛ成立;② 请再选一个与①不同的且大于1的整数n , 证明:)]()()([1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ΛΛ也成立.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编2：函数及其应用参考答案一、选择题 1. B 2. A3. D4. A5. D6. B7. B 二、填空题8. 2a >9.1210. 12-=xy ;11. 31≠m ; 12. 200013. x x f 2sin 2)(π= 14. D 15. B 16. 1 17. 8- 18. 3 19. =-)(1x f2x (0≥x )20. }2|{≥x x 21. []3,422. [)2,+∞23. [)1,2- 24. 07≤<-a 或2=a ; 25. )21,(∞-; 26. ()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤--≤≤--=224248202822x x x x x f (每空2分)27. ()1log 21-=x y28. 0;29. 4log 3; 30. 2 31. 5 32. 3- 33. 3 34. (0,1] 35. 21[1]13， 36. 4 37.2338.127- 39. 440. 832014.41. 5.3; 三、解答题42.解:(1))()(2)(x g x f x F +=xx aa -++=11log )1(log 2(0>a 且1≠a ) ⎩⎨⎧>->+0101x x ,解得11<<-x ,所以函数)(x F 的定义域为)1,1(- 令)(x F 0=,则011log )1(log 2=-++xx aa (*)方程变为 )1(log )1(log 2x x a a -=+,x x -=+1)1(2,即032=+x x解得01=x ,32-=x经检验3-=x 是(*)的增根,所以方程(*)的解为0=x 所以函数)(x F 的零点为0 (2)xx m aa -++=11log )1(log 2(10<≤x )=m )4141(log 112log 2--+-=-++xx x x x a a4141--+-=xx a m 设]1,0(1∈=-t x ,则函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数当1=t 时,此时1=x ,5min =y ,所以1≥ma ①若1>a ,则0≥m ,方程有解; ②若10<<a ,则0≤m ,方程有解 43.解:(1)、()xx x x H 1252-+==2522+-x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=221x x P(2)、若,P Q ⋂≠∅则说明在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值,使不等式2220ax x -+>成立,即在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值,使222a x x >-成立,令222,u x x=-则只需min u a >即可又22221112.22u x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,11,2,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,21,4min -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈u u 从而4min -=u由⑴知, min 4,u =- 4.a ∴>-44. (本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分10分)解:(1)由题意,对任意R ∈x ,)()(x f x f -=-, 即x x x xa k a a k a---+-=--)1()1(,即0)())(1(=+-+---x x xxa a aa k ,0))(2(=+--x x a a k ,因为x 为任意实数,所以2=k解法二:因为)(x f 是定义域为R 的奇函数,所以0)0(=f ,即0)1(1=--k ,2=k .当2=k 时,xx a a x f --=)(,)()(x f a ax f x x-=-=--,)(x f 是奇函数.所以k 的值为2 (2)由(1)xxa a x f --=)(,因为23)1(=f ,所以231=-a a , 解得2=a . 故x xx f --=22)(,)22(222)(22x x x xm x g ----+=,令x x t --=22,则222222+=+-t x x ,由),1[∞+∈x ,得⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t , 所以2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==,⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t 当23<m 时,)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23上是增函数,则223-=⎪⎭⎫⎝⎛h ,22349-=+-m , 解得1225=m (舍去) 当23≥m 时,则2)(-=m f ,222-=-m ,解得2=m ,或2-=m (舍去). 综上,m 的值是245.解:(1)2a =时,{224503()5430x x f x x x --<-<<⇔-+>L L ①②由①得,15x -<<,由②得,1x <或3x >, ∴(1 1)(3 5)-U ，，为所求(2)∵0a >,当25a -<-,即5a 时,2()5M a a a =-当250a -≤-<,即05a <,2()5M a a a =+∴225 5() 5 05a a a M a a a a ⎧-=⎨+<⎩(3)22()()(2)f x x a a t x t =--≤≤+,显然(0)(2)0f f a ==①若0t =,则1a t ≥+,且min [()]()4f x f a ==-,或min [()](2)4f x f ==-, 当2()4f a a =-=-时,2a =±,2a =-不合题意,舍去当2(2)2224f a =-⨯=-时,2a =②若22t a +=,则1a t ≤+,且min [()]()4f x f a ==-,或min [()](22)4f x f a =-=-,当2()4f a a =-=-时,2a =±,若2a =,2t =,符合题意; 若2a =-,则与题设矛盾,不合题意,舍去当2(22)(22)2(22)4f a a a a -=---=-时,2a =,2t = 综上所述,{20a t ==和{22a t ==符合题意46.解:(1)22230()23x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩,画图正确当0x ≥时,由()0f x =,得2230x x -+=,此时无实根;当0x <时,由()0f x =,得2230x x --=,得1,3(x x =-=舍）. 所以函数的零点为1x =- (2)由()x f <0得,()||2x a x -<. 当0x =时,a 取任意实数,不等式恒成立当01x <≤时,2a x x >-.令2()g x x x=-,则()g x 在01x <≤上单调递增, ∴max ()(1)1a g x g >==-; 当10x -≤<时,2a x x >+,令2()h x x x=+, 则()h x 在2,0)[-上单调递减,所以()h x 在10x -≤<上单调递减. ∴ max ()(1)3a h x h >=-=- 综合 1a >-47. [解](理)(1)当1,0a b ==时,()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数 ∵(1)2,(1)0f f -=-=,∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠- 所以()f x 既不是奇函数,也不是偶函数 (2)当1,1a b ==时,()|1|1f x x x =-+, 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩解得111222222xx x -===或（舍），或所以221log log (112x +==+-或1x =- (3)当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立, 故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为||bx a x--< 即b b x a x x x +<<- 故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1bx g b x +==+;对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1bx h b x-==-,又11b b ->+,所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +-②当10b -≤<,在(]0,1上,()bh x x x=-≥当x =,min ()bx x-=此时要使a 存在,必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩即13b -≤<,此时a 的取值范围是(1,b +综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-;当13b -≤<时,a 的取值范围是(1,b +;当30b ≤<时,a 的取值范围是∅48. 本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 .解:(1)12)(2+++=bx a x x F 是偶函数,0=∴b 即2)(2++=a x x F ,R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时,213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ,232+≤a当1<x 时,213)1(122+-+-=-+≥x x x x a , 232+-≥a综上: 232232+≤≤+-a (2))())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数,要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数,即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数.令2x t =,当()1,0∈x 时()1,0∈t ;()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ,由于()+∞∈,0x 时,2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ,故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性,当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数,其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ. 49.036.03675.0212122>->+++∴acx x x x50. 解:(1)设1x ,2x 是+R 上的任意两个数,则01lg )(4lg 2lg 2lg lg )2(2)()(2212121212121=≤+=+-+=+-+x x x x x x x x x x f x f x f ∴)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+.∴函数x x f lg )(=在+R 上是 “凸函数”(2)对于]2,1[上的任意两个数1x ,2x ,均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立,即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++,整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-若21x x =,a 可以取任意值. 若21x x ≠,得)(212121x x x x a +-≤,Θ1)(2182121-<+-<-x x x x ,∴8-≤a . 综上所述得8-≤a (3)①当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立. 假设当mk =)(*∈N m 时,不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f m m +++≥++++ΛΛ成立. 那么,由d x x x c mm≤+++≤2221Λ,d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212Λ得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++ΛΛΛ )]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ΛΛ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m ΛΛ )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m Λ. 即1+=m k 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证 ②比如证明3=n 不等式成立.由①知d x c ≤≤1,d x c ≤≤2,d x c ≤≤3,d x c ≤≤4,有)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++成立.Θd x c ≤≤1,d x c ≤≤2,d x c ≤≤3,d x x x c ≤++≤)(31321,∴)43()3(321321321x x x x x x f x x x f +++++=++)]()()()3([41421321x f x f x f xx x f +++++≥, 从而得)]()()([31)3(321321x f x f x f x x x f ++≥++。

上海市2023年各地区高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(16套)-04填空题基础题③

上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题③一．基本不等式及其应用（共1小题）...................................................................................................1一．基本不等式及其应用（共1小题）...................................................................................................6一十三．正弦定理（共2小题）.............................................................................................................14一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）................................................................................15一十九．频率分布直方图（共1小题）.................................................................................................18二十．线性回归方程（共1小题）.........................................................................................................18二十一．组合及组合数公式（共1小题）............................................................................................19二十二．二项式定理（共2小题）.........................................................................................................19二十三．进行简单的合情推理（共1小题）. (20)一．基本不等式及其应用（共1小题）1．（2023•嘉定区二模）已知函数128y x x=+，定义域为(0,)+∞，则该函数的最小值为．二．其他不等式的解法（共2小题）2．（2023•宝山区二模）已知函数11()(012x f x a a =->+且1)a ≠，若关于x 的不等式2()0f ax bx c ++>的解集为(1,2)，其中(6,1)b ∈-，则实数a 的取值范围是．3．（2023•嘉定区二模）已知1|0x A x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭…，{|1}B x x =…，则A B =I ．三．指、对数不等式的解法（共1小题）4．（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式33x lgx +…的解集是．四．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）5．（2023•长宁区二模）若函数(1)(1)y ln x aln x =+--为奇函数，则实数a 的值为．五．三角函数的周期性（共1小题）6．（2023•崇明区二模）已知函数sin(2)y x ωϕ=+，(0)ω>的最小正周期为1，则ω= ．六．余弦函数的图象（共1小题）7．（2023•杨浦区二模）若存在实数ϕ，使函数1()cos()(0)2f x x ωϕω=+->在[x π∈，3]π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为．七．分段函数的应用（共1小题）8．（2023•崇明区二模）若函数32,0,0x x x y e ax x ⎧⎪=⎨⎪<⎩…的图像上点A 与点B 、点C 与点D 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a 的取值范围是．八．根据实际问题选择函数类型（共2小题）9．（2023•嘉定区二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP ∆的面积的最大值为．10．（2023•长宁区二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要米栅栏．九．数列的极限（共1小题）11．（2023•嘉定区二模）已知数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨⎩…前n 项和为n S ，则lim n n S →+∞= ．一十．导数的运算（共1小题）12．（2023•长宁区二模）若函数()f x ，()g x 满足2()()1f x xg x x +=-，且f （1）1=，则f '（1）g +'（1）= ．一十一．两向量的和或差的模的最值（共1小题）13．（2023•杨浦区二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r 满足||5a =r ，2||||b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则||b r的最小值是．一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•宝山区二模）已知非零平面向量,a b rr 不平行，且满足24a b a ⋅==r r r ，记3144c a b =+r r r ，则当b r 与c r的夹角最大时，||a b -r r 的值为．15．（2023•嘉定区二模）ABC ∆是边长为1的等边三角形，点M 为边AB 的中点，则AC AM ⋅=u u u r u u u u r ．16．（2023•崇明区二模）设平面向量,,a b c r r r满足：||2a =r ，||||b c =r r ，||1a b -=r r ，b c ⊥r r ，则||b c -r r的取值范围是．一十三．正弦定理（共2小题）17．（2023•宝山区二模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=，则B = ．18．（2023•杨浦区二模）ABC ∆内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b =，3A π∠=，则B ∠= ．一十四．复数的运算（共1小题）19．（2023•崇明区二模）设复数z 满足(1)2(i z i i -=是虚数单位），则z = ．一十五．复数的模（共1小题）20．（2023•嘉定区二模）已知复数34(z i i =+为虚数单位），则||z = ．一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）21．（2023•嘉定区二模）已知四棱锥P ABCD -的正方形，侧棱长均为．若点A 、B 、C 、D 在圆柱的一个底面圆周上，点P 在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为．22．（2023•长宁区二模）已知圆锥侧面展开图的圆心角为23π，底面周长为2π．则这个圆锥的体积为．一十七．双曲线的性质（共2小题）23．（2023•杨浦区二模）1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b -=的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为．24．（2023•嘉定区二模）双曲线22197x y -=的离心率为．一十八．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题）25．（2023•嘉定区二模）已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为13和23，供应商A 提供的部件的良品率为0.96．若该部件的总体良品率为0.92，则供应商B 提供的部件的良品率为．一十九．频率分布直方图（共1小题）26．（2023•宝山区二模）如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出[50，60)，[90，100)的数据）和频率分布直方图，则x y -= ．二十．线性回归方程（共1小题）27．（2023•崇明区二模）某单位为了了解用电量y 度与气温C x ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温(C)︒141286用电量（度)22263438由表中数据所得回归直线方程为ˆ2y x b=-+，据此预测当气温为5C ︒时，用电量的度数约为 C ︒．二十一．组合及组合数公式（共1小题）28．（2023•嘉定区二模）已知n N ∈，若265n C A =，则n = ．二十二．二项式定理（共2小题）29．（2023•杨浦区二模）设554354310(21)x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a = ．30．（2006•全国卷Ⅱ）在4101()x x+的展开式中常数项为（用数字作答）．二十三．进行简单的合情推理（共1小题）31．（2023•崇明区二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设．上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题③参考答案与试题解析一．基本不等式及其应用（共1小题）1．（2023•嘉定区二模）已知函数128y x x=+，定义域为(0,)+∞，则该函数的最小值为 1　．【答案】1．【解答】解：0x >Q ，1218y x x ∴=+=，当且仅当128x x =，即14x =时，等号成立，即该函数的最小值为1．故答案为：1．二．其他不等式的解法（共2小题）2．（2023•宝山区二模）已知函数11()(012x f x a a =->+且1)a ≠，若关于x 的不等式2()0f ax bx c ++>的解集为(1,2)，其中(6,1)b ∈-，则实数a 的取值范围是 (1,2)　．【答案】(1,2)．【解答】解：若()0f x >，则11012xa ->+，1x a ∴<，∴当01a <<时，0x >；当1a >时，0x <，Q 不等式2()0f ax bx c ++>的解集为(1,2)，1a ∴>，20ax bx c ++<，且20ax bx c ++<的解集为(1,2)，1∴和2是方程20ax bx c ++=的两个根，123b a ∴-=+=，13a b ∴=-，(6,1)b ∈-Q ，1(3a ∴∈-，2)，又1a >Q ，(1,2)a ∴∈，即实数a 的取值范围是(1,2)．故答案为：(1,2)．3．（2023•嘉定区二模）已知1|0x A x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭…，{|1}B x x =…，则A B =I {1}　．【答案】{1}．【解答】解：由10x x-…，可得01x <…，所以{|01}A x x =<…，又因为{|1}B x x =…，所以{1}A B =I ．故答案为：{1}．三．指、对数不等式的解法（共1小题）4．（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式33x lgx +…的解集是 (0,1)　．【答案】(0，1]．【解答】解：不等式33x lgx +…可化为33x lgx -…，在同一坐标系内画出3x y =和3y lgx =-的图象，如图所示：由33x lgx =-，得1x =，所以由函数的观点知，不等式33x lgx +…的解集是(0，1]．故答案为：(0，1]．四．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）5．（2023•长宁区二模）若函数(1)(1)y ln x aln x =+--为奇函数，则实数a 的值为 1　．【答案】1．【解答】解：Q 1010x x +>⎧⎨->⎩，11x ∴-<<，又函数()(1)(1)y f x ln x aln x ==+--为(1,1)-上的奇函数，()()0f x f x ∴-+=在(1,1)-上恒成立，即(1)(1)(1)(1)0ln x aln x ln x aln x --+++--=在(1,1)-上恒成立，22(1)(1)0ln x aln x ∴---=在(1,1)-上恒成立，2(1)(1)0a ln x ∴--=在(1,1)-上恒成立，1a ∴=．故答案为：1．五．三角函数的周期性（共1小题）6．（2023•崇明区二模）已知函数sin(2)y x ωϕ=+，(0)ω>的最小正周期为1，则ω=　π　．【答案】π．【解答】解：212T πω==，依题意1T =，ωπ∴=；故答案为：π．六．余弦函数的图象（共1小题）7．（2023•杨浦区二模）若存在实数ϕ，使函数1()cos()(0)2f x x ωϕω=+->在[x π∈，3]π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为 1[3，53　．【答案】1[3，53．【解答】解：因为1()cos()(0)2f x x ωϕω=+->，由()0f x =，得到1cos()2x ωϕ+=，所以2()3x k k Z πωϕπ+=+∈或2()3x k k Z πωϕπ+=-+∈，所以()()2233k k x k Z x k Z ππϕπϕπωω-+--+=∈=∈或，又因为存在实数ϕ，使函数()f x 在[x π∈，3]π上有且仅有2个零点，所以75112222333322k k k k ππππϕπϕπϕπϕπππωωωω-+-+-+-+-->且…，即232ππω…且1032ππω>，解得1533ω<…．故答案为：1[3，5)3．七．分段函数的应用（共1小题）8．（2023•崇明区二模）若函数32,0,0x x x y e ax x ⎧⎪=⎨⎪<⎩…的图像上点A 与点B 、点C 与点D 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a 的取值范围是 1(,0)e -　．【答案】1(,0)e-．【解答】解：若()f x 有两组点关于原点对称，则()f x 在(,0)-∞的图像关于原点对称后与(0,)+∞的图像有两个交点，由0x <时，2()f x ax =；得其关于原点对称后的解析式为2y ax =-，问题转化为3x x y e =与2y ax =-在(0,)+∞上有两个交点，即方程32x x ax e =-有两根，化简得x x a e -=，即y a =-与x xy e =在(0,)+∞上有两个交点．对于x x y e =，求导1x x y e -'=，令10x xy e-'=>，解得1x <，即：当(0,1)x ∈时，xxy e =单调递增；令10x xy e-'=<，解得：1x >．即：当(1,)x ∈+∞时，xxy e =单调递减，1x ∴=为其极大值点，1max y e=，x →+∞时，0y →；画出其大致图像：欲使y a =-与x x y e =在0x >时有两个交点，则1(0,)a e -∈，即1(,0)a e∈-．故答案为：1(,0)e-．八．根据实际问题选择函数类型（共2小题）9．（2023•嘉定区二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP ∆的面积的最大值为【答案】【解答】解：由题意，设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．2DC =，CP x =，6DP x =-，根据三角形的构成条件可得6?226?26?x x x x x x +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩，解得24x <<；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，即()f x422x x--+==当且仅当42x x -=-+，即3x =时，()f x的最大值为故答案为：10．（2023•长宁区二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要　4　米栅栏．【答案】4．【解答】解：设该矩形的长为a 米，宽为b 米，由题意可知，2ab =，故24a b +=…，当且仅当22a bab =⎧⎨=⎩，即2a =，1b =时，等号成立，故至少需要4米栅栏．故答案为：4．九．数列的极限（共1小题）11．（2023•嘉定区二模）已知数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨⎩…前n 项和为n S ，则lim n n S →+∞=　52　．【答案】52．【解答】解：数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨⎩…前n 项和为12,111(1),222n n n S n -=⎧⎪=⎨-⎪⎩…，1115lim(2(1222n n -→∞+-=．故答案为：52．一十．导数的运算（共1小题）12．（2023•长宁区二模）若函数()f x ，()g x 满足2()()1f x xg x x +=-，且f （1）1=，则f '（1）g +'（1）=　3　．【答案】3．【解答】解：因为f （1）1=，所以f （1）g +（1）0=，则g （1）1=-，因为2()()1f x xg x x +=-，所以()()()2f x g x xgx x ''++=，故f '（1）g +（1）g '+（1）2=，所以f '（1）g +'（1）2g =-（1）3=．故答案为：3．一十一．两向量的和或差的模的最值（共1小题）13．（2023•杨浦区二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足||5a =r ，2||||b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则||b r的最小值是　．．【解答】解：如图,,AC a AD b AB c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则,b a CD c a CB -=-=u u ur u u u r r r r r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=u u u r u u u r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有11||22OC BD b c ==-r r，而1||2OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC +…，则11||||||522b c b c a ++-=r r r r r…，所以||||10b c b c ++-r r r r …，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c r r向量的夹角为θ，则|||b c b +===r r r同理||||b c b -=r rr ，由||||10b c b c ++-r r r r …，可得||10b +r…，则22||5b ==r…，当cos 0θ=，即b c ⊥r时取等号，所以||b r…||b r，．一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•宝山区二模）已知非零平面向量,a b rr 不平行，且满足24a b a ⋅==r r r ，记3144c a b =+r r r ，则当b r 与c r的夹角最大时，||a b -r r 的值为 4　．【答案】4．【解答】解：由非零平面向量,a b rr 不共线，且满足24a b a ⋅==r r r ，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0)A ，(2,)B b ，0b >，则(2,0),(2,)a b b ==r r ，由3144c a b =+rr r ，则(2,)4b C ，则直线OB ，OC 的斜率分别为,28b b ，由两直线的夹角公式可得：3328tan 841282b bBOC b b b b -∠===+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-r r ，所以||4a b -=rr ．故答案为：4．15．（2023•嘉定区二模）ABC ∆是边长为1的等边三角形，点M 为边AB的中点，则AC AM ⋅=u u u r u u u u r 14　．【答案】14．【解答】解：已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点M 为边AB 的中点，则CM AB ⊥，则2211||||cos ||()24AC AM AM AC CAM AM ⋅=∠===u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ．故答案为：14．16．（2023•崇明区二模）设平面向量,,a b c r r r满足：||2a =r ，||||b c =r r ，||1a b -=r r ，b c ⊥r r ，则||b c -r r的取值范围是．【答案】．【解答】解：依题意，设(2cos ,2sin )a θθ=r，(,0),(0,)b t c t ==r r ，t R ∈．根据||1a b -=rr ，即|(2cos ,2sin )|1t θθ-=，即22(2cos )(2sin )1t θθ-+=，整理得234cos t t θ+=．显然0t ≠，否则(0,0)0b ==r r ，||||1a b a -==r r r，与已知矛盾，故234cos t t θ+=，可得23cos 4t tθ+=．由23|cos |14||t t θ+=…，即24||30t t -+…，则有2||4||30t t -+…，故(||1)(||3)0t t --…，解得1||3t ……．故|||(,)||b c t t t -=-=∈r r．故答案为：．一十三．正弦定理（共2小题）17．（2023•宝山区二模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A C a b A +=，则B =　3π　．【解答】解：由题设可知：利用正弦定理有：sin sinsin sin 2A CA B A +=g g ，又由(0,)A π∈，则sin 0A ≠，则sin sin 2A CB +=，即sincos2sin cos 2222BB B B π-==，又由(0,)B π∈，则cos 02B≠，即2sin12B=，由0B π<<，解得3B π=．故答案为：3π．18．（2023•杨浦区二模）ABC ∆内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b =，3A π∠=，则B ∠=　4π　．【答案】4π．【解答】解：若3a=，b =，3A π∠=，则sin sin b AB a∠∠===，又a b >，可得A B ∠>∠，则4B π∠=．故答案为：4π．一十四．复数的运算（共1小题）19．（2023•崇明区二模）设复数z 满足(1)2(i z i i -=是虚数单位），则z =　1i -+　．【解答】解：(1)2i z i -=Q ，∴22(1)2211(1)(1)2i i i iz i i i i +-+====-+--+．故答案为：1i -+．一十五．复数的模（共1小题）20．（2023•嘉定区二模）已知复数34(z i i =+为虚数单位），则||z =　5　．【解答】解：34z i =+Q，||5z ∴==．故答案为：5．一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）21．（2023•嘉定区二模）已知四棱锥P ABCD -的正方形，侧棱长均为．若点A 、B 、C 、D 在圆柱的一个底面圆周上，点P 在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为 2π　．【答案】2π．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2，点A 、B 、C 、D 在圆柱的一个底面圆周上，即圆柱的底面圆半径等于1，圆柱的高即为正四棱锥的高，则该圆柱的体积为：2122V S h ππ=⋅=⨯⨯=．故答案为：2π．22．（2023•长宁区二模）已知圆锥侧面展开图的圆心角为23π，底面周长为2π．则这个圆锥的体积为．．【解答】解：设该圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，则根据题意可得2223lr πππ==，1r ∴=，3l =，h ∴==∴这个圆锥的体积为211133r h ππ=⨯⨯⨯=．．一十七．双曲线的性质（共2小题）23．（2023•杨浦区二模）1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b -=的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为【解答】解：由题意可得22||||||BF AB AF ==，由双曲线的定义可得112||||||2AF BF BF a =-=，又21||||2AF AF a -=，即2||4AF a =，在△12BF F 中由余弦定理22212121212||||||2||||cos F F BF BF BF BF F BF =+-∠可得：2221436162642c a a a a =+-⨯⨯⨯，即227c a =，即c =，即ce a==．．24．（2023•嘉定区二模）双曲线22197x y -=的离心率为 43　．【答案】43．【解答】解：由双曲线22197x y -=，得3a =，b =，4c ∴==，∴双曲线22197x y-=的离心率为43．故答案为：43．一十八．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题）25．（2023•嘉定区二模）已知某产品的一类部件由供应商A和B提供，占比分别为13和23，供应商A提供的部件的良品率为0.96．若该部件的总体良品率为0.92，则供应商B提供的部件的良品率为　0.9　．【答案】0.9．【解答】解：设供应商B提供的部件的良品率为x，由题意可知，120.960.9233x⨯+=，解得0.9x=．故答案为：0.9．一十九．频率分布直方图（共1小题）26．（2023•宝山区二模）如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出[50，60)，[90，100)的数据）和频率分布直方图，则x y-=　0.004　．【答案】0.004．【解答】解：分数在[50，60)的频率为0.020100.2⨯=，由茎叶图得分数在[50，60)之间的频数为5，所以全班人数为5250.2=（人)，分数在[90，100)之间的频数为2，所以2250.00810y==，由10110(0.0360.0240.0200.008)x =-⨯+++，解得0.012x =．所以0.004x y -=．故答案为：0.004．二十．线性回归方程（共1小题）27．（2023•崇明区二模）某单位为了了解用电量y 度与气温C x ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温(C)︒141286用电量（度)22263438由表中数据所得回归直线方程为ˆ2y x b =-+，据此预测当气温为5C ︒时，用电量的度数约为 40　C ︒．【答案】40．【解答】解：根据表格数据可得，141286104x +++==，22263438304y +++==，则样本中心点为(10,30)根据回归直线性质，ˆ2y x b =-+经过样本点中心(,x y ，则有ˆ2030b-+=，得ˆ50b =，故回归直线为250y x =-+，当5x =，40y =．故答案为：40．二十一．组合及组合数公式（共1小题）28．（2023•嘉定区二模）已知n N ∈，若265n C A =，则n =　3　．【答案】3．【解答】解：Q 265n C A =，65420n C ∴=⨯=，n N ∈Q ，3n ∴=．故答案为：3．二十二．二项式定理（共2小题）29．（2023•杨浦区二模）设554354310(21)x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a =　80　．【答案】80．【解答】解：554354310(21)x a x a x a x a x a +=+++++L ，则2335280a C =⋅=．故答案为：80．30．（2006•全国卷Ⅱ）在4101()x x +的展开式中常数项为　45　（用数字作答）．【解答】解：410405110101()()r r r r rr T C x C xx--+==要求常数项，即4050r -=，可得8r =代入通项公式可得821101045r T C C +===故答案为：45．二十三．进行简单的合情推理（共1小题）31．（2023•崇明区二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（答案不唯一）　．【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）（答案不唯一，只要写出一个即可）．【解答】解：根据题意和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等．故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（答案不唯一）．。

上海市徐汇区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案

2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM=．若AN x AB y AC =+，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）（A ）21斛（B ）34斛（C ）55斛（D ）63斛 15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）816. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（）（A ）一条射线（B ）两条射线（C ）双曲线的一支（D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==．（1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）B20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时F 1=1m F P ⋅.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下：第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==)．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=,--------4分设,PC AB 的夹角为α，则cos 32PC AB PC ABα⋅===⋅分所以，,PC AB的夹角为arccos3，即异面直线PC 与AB 所成角的大小为arccos3.--------6分（2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =，--------8分又(0,2,0)BC =，(2,2,2)PC =-，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PCBC C =，所以EF ⊥平面PBC .--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分故m =1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. -------------------------------------------------------------------14分19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分在BPC ∆中，由正弦定理，得s i n s i n 1C P B C B CC B P C P B ==∠∠，-----------4分又31BC AB =，s i ns i n A B P C B P ∠=∠，--------------------------------------------6分故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分C B A P(2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分解得x19=，即无人机到丙船的距离为CP =3x275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称，故AB 所在直线为x =1，从而得A，(1,B .--------------2分所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=，解得2212a b ==. ---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P =(x p +1,y p )，1F M =(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p Mp x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M (m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k k k T -=++++=-. ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n-个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n -k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -1 则2×21n S -=n ×2+(n -1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n ＝2n+1-n -2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分则21n S -+n +2=2(121n S --+n +1)，即数列{21n S -+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列, 所以21n S -+n +2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n -2. ------------------------------15分 S 2017=1021S -+S 994 -----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. ------------------------------------------------------------------------18分。

2020年上海市高三数学二模分类汇编：二项式定理(16区全)

3（2020静安二模）. 若1()n x x +展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为 3（2020长宁二模）. 5(1)x +的二项展开式的第三项的系数是
4（2020嘉定二模）. 在5(2)x -的二项展开式中，项的系数为
4（2020青浦二模）. 若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是
5（2020松江二模）. 若8()x a +的展开式中5x 项的系数为56，则实数a =
6（2020闵行二模）. 在81)x 的二项展开式中，常数项的值为
6（2020崇明二模）. 241(2)x x +的展开式中含5x 项的系数是（用数字作答）
7（2020徐汇二模）. 二项式25(x
+
的展开式中的常数项等于（结果用数值表示）
7（2020浦东二模）. 若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为23lim()n n x x x x →∞
+++⋅⋅⋅+= 7（2020虹口二模）. 若25(ax
的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 8（2020普陀二模）. 设1110(1)(1)(1)(1)n n n n n x a x a x a x a --+=-+-+⋅⋅⋅+-+，若110729n n a a a a -++⋅⋅⋅++=，则3a =
8（2020宝山二模）. 已知1()2n x x
-的展开式的常数项为第6项，则常数项为
10（2020杨浦二模）. 设*n ∈N ，若(2n +
的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =。

上海市各区高三数学一模试题分类汇编二项式定理(理)

上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编：二项式定
理 Word 版含答案
（普陀区2014届高三1月一模，理）4. 在n x )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .
4.3；
（杨浦区2014届高三1月一模，理）12．若21()n x x
+的二项展开式中，所有二项式系数
和为64，则该展开式中的常数项为．
12. 理15 ；（长宁区2014届高三1月一模，理）13、已知52
x ⎛ ⎝
的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是．
13、]41,0(
（浦东新区2014届高三1月一模，理）8．二项式291
()x x
-的展开式中，含3x 的项的系数是___________.
8． -126
（徐汇区2014届高三1月一模，理）6. 如果
()11111123
12n
f n n n =++++++++(*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有项.
（虹口区2014届高三1月一模，理）7、已知6)1(ax +的展开式中，含3
x 项的系数等于160，则实数=a ．
8. （嘉定区2014届高三1月一模，理）16．若n
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系
数最大，则展开式中的常数项是（）
A．180 B．120 C．90 D．45 16．A。

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：概率.docx

高中数学学习材料唐玲出品上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：概率一、概率1、（黄浦区2016届高三二模）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是2、（静安区2016届高三二模）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为 .3、（浦东新区2016届高三二模）设,m n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量(,)a m n =r ，(1,1)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为锐角的概率是________．4、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________．5、（普陀区2016届高三二模）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）.参考答案1、1142、11123、5124、4或75、52二、数学期望1、（崇明县2016届高三二模）某种填数字彩票，购票者花2元买一张小卡片，在卡片上填10以内（0，1，2，…，9）的三个数字（允许重复）．如果依次填写的三个数字与开奖的三个有序的数字分别对应相等，得奖金1000元．只要有一个数字不符（大小或次序），无奖金．则购买一张彩票的期望收益是元2、（虹口区2016届高三二模）假设某10张奖券中有一等奖1张，奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖. 现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ 不少于其数学期望E ξ的概率为_________.3、（黄浦区2016届高三二模）设离散型随机变量ξ可能取到值为1、2、3，()P ak b ξ=+(1,2,3)k =，若ξ的数学期望73E ξ=，则a b += 4、（闵行区2016届高三二模）在极坐标系中，从四条曲线1:1C ρ=，2:C θπ=3（0ρ≥），3:cos C ρθ=，4:sin 1C ρθ=中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .5、（浦东新区2016届高三二模）离散型随机变量ξ的概率分布列如图，若1E ξ=，则D ξ的值为________．6、（普陀区2016届高三二模）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE .7、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=_______________．（结果用最简分数表示）8、（杨浦区2016届高三二模）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是 .9、（闸北区2016届高三二模）某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元．10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望=ξE _________．参考答案1、－12、233、164、15、0.46、297、478、29 9、5000 10、5326+。