3.4基本不等式(1)
3.4 基本不等式(教案)
3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。
难点：基本不等式成立的条件及应用。
教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。
由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（ ）② 函数y =的最大值是5. （ ）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （ ）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。
3.4基本不等式(第一课时)
1 当且仅当x 3 ,即x 4时，函数有最大值， x3 最大值为5。
巩固练习
1. 已 知x 1,则x 1 3 此 时x _____ 的 最小 __ 值 为____, . 2 x 1
解：设两直角边分别为a、 b ，则
S 1 ab 50 即 2
ab 100
a b 2 ab 20 当且仅当 a b 10 时等号成立，
a b有最小值 20.
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
例题讲解
例1. （1）已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各位多少时，两条直角 边的和最小，最小值是多少？ （2）用20cm长的铁丝折成一个面 积最大的矩形，应当怎么折？
a 2ab b 0源自一般地，对于任意实数 a , b ，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当
a b 时等号成立
二、新课讲解
1.思考:如果当 a 0, b 0 用 a , b 去替换 2 2 a b 2a b 中的 a , b ,能得到什么结论?
a b 2ab
3.4基本不等式: （第一课时）
ab ab 2
一、复习回顾
1. a __0 2 2. (a b) __0 2 2 2 a 2ab b . 3. (a b) __________
2
问题1： 上式1、2中什么时候等号成立？ 问题2：通过2与3可以得到什么结论？ 2 2
1 ( 2)若x 3,函 数y x ,当x为 何 值 时 ， x3 函 数 有 最 值 ， 并 求 其值 最。
3.4基本不等式1
3.
4.
如果a、b、c＞0,那么a³ +b³ +c³≥3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)
如果a、b、c＞0,那么(a+b+c)/3 ≥ (当且仅当a=b=c时取“=”号)
5.n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几 何平均数。
如果a1，a2，…，an > 0 ，且 n>1，那么 (a1+a2+· · · +an ) / n ≥ n a1 a2 an
如图, AB是圆的直径, 点Ｃ是AB 上一点, AC a, BC b.过点C作 垂直于AB的弦DE , 连接AD, BD ．试用这个图形, 得出不等式(2) 的几何解释 ?
证明推导3：
(分析法证明不等式)
均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦.
均值不等式的代数解释为: 两个正数的等差中项 不小它们的等比中项.
公式
结论推广
如果a1，a2，…，an > 0 ，且 n>1，那么
(a1+a2+· · · +an ) / n 叫做这n个正数的算术平均数 ， n · · an a1a2· 叫做这n个正数的几何平均数 。 结论：n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数。
如果a1，a2，…，an > 0 ，且 n>1，那么 (a1+a2+· · · +an ) / n ≥ n a1 a2 an
§3.4基本不等式1
肇州一中
一、新课引入
上图是在北京召开的第２４届国际数学家大会的 会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的＂弦图 ＂设计的．你能在这个图中找出一些相等关系或 不等关系吗？
3.4 第1课时 基本不等式
例2
(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短.最短的篱笆是多少？
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值.
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
2 2
因为 xy
9，得xy 81.
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .
【提升总结】 当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值 结论2 .
1 2 S . 4
两个正数和为定值，则积有最大值
ab , 则CD=＿＿
ab 半径为＿＿ 2 .
E
因为ACD ∽ DCB, 所以CD2 AC CB, 即CD ab.
CD小于或等于圆的半径 . 用不等式表示为
ab ab . 2
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b
时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦.
ab 叫做正数a，b的算术平均数， 2 ab 叫做正数a，b的几何平均数.
3.4
基本不等式：
ab ab 2
第1课时 基本不等式
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主 办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900 年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最 高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举 行，它的会标是什么？
第24届国际数学家大会
当考察底面的长与宽取什么值
3.4基本不等式(一)
ab ab 2
第1课时
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个 “风车”图案？
赵爽弦图
ICM2002会标
探究:如图是在北京 召开的第24届国际 数学家大会的会标, 会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦 图设计的,颜色的明 暗使它看上去像一 个风车,代表中国人 民热情好客.你能在 这个图中找出一些 相等关系或不等关 系吗?
应用要点：
一正
二定
Байду номын сангаас
三相等
例题讲解
例6 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水 池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每 平方米的造价为150元,池壁每平方米的的 造价为120元,怎样设计水池能使总造价最 低?最低总造价是多少?
两个基本不等式
a b 2ab(a, b R)
2 2
ab ab ( a, b R ) 2
2+b2≥－2ab， a
a2+b2≥2|ab|
换元法
如果a>0,b>0用 a , b去替换a、b,
得到什么结论?
若aa>0 b>0 ∈R,b∈R
2+ b≥2 2≥2 那么 a +b 那么a
a b a b
（当且仅当a=b时，取“=”号）
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时，取“=”号）
ab
称为正数a、b的几何平均数 ,
称为它们的算术平均数。
（1）两个不等式的适用范围不同。
（2）
ab 2
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
应用一：发现运算结构,应用不等式
人教版高中数学必修五3.4基本不等式(1)
课本P100 习题3.4 A组 第2、3题
2012年4月17日星期二
2012年4月17日星期二
分 析 法 ① ②
基本不等式
适用范围：
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.
2012年4月17日星期二
思考7：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
D
A
a OC b B E
几何意义：半径不小于弦长的一半
2012年4月17日星期二
适用范围 文字叙述 “=”成立 条件 两数的平方和 不小于它们积 的2倍 两个正数的算术 平均数不小于它 们的几何平均数
2012年4月17日星期二
小结
2012年4月17日星期二
2、利用基本不等式求最值时，要注意 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等”Leabharlann 2012年4月17日星期二
2012年4月17日星期二
基本不等式
理论
重要不等式 基本不等式 三相等
方法
一正、二定、 和定积最大 积定和最小
b
G A F E C
a
H
B
2012年4月17日星期二
D b G F a H E B C A
D a
A
b E(FGH)
C
B 思考3：通过上面的探究，你能得出什么事实呢？
思考4：你能证明这个结论么？
2012年4月17日星期二
作差比较法
注意 1、适用范围： 2、文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
§3.4 基本不等式
第一课时
2012年4月17日星期二
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会 标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的 明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
3.4基本不等式
3．4．1基本不等式（1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习, 体会数学来源于生活, 提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式, 并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a bab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式2a bab +≤的几何背景： 探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的, 颜色 的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客。
2 合作探究（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b , 那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答：22a b +, 22a b +提问3：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab 提问4：好, 根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积, 我们可得容易得到一个不等式, 222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形, 即a b =时, 正方形EFGH 变成一个点, 这时有222a b ab +=结论：（板书）一般地, 对于任意实数 a 、b , 我们有222a b ab +≥, 当且仅当a b =时,等号成立。
提问5：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书)证明: 222222(),()0,()0,a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=当时，当时, 所以 222a b ab +≥ 注意强调 当且仅当a b =时, 222a b ab +=(2)特别地,如果0,0,,a b a b a b a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成(0,0)2a bab a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导 (板书,请学生上台板演):要证:(0,0)2a bab a b +≥>> ① 即证 a b +≥ ② 要证②,只要证 a b +- 0≥ ③要证③,只要证 ( - )2 0≥ ④ 显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立 (3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤探究：课本中的“探究”在右图中, AB 是圆的直径, 点C 是AB 上的一点, AC=a,BC=b 。
3.4基本不等式(均值不等式B5版)
3．4基本不等式：2ba ab +≤（均值不等式） 一、知识点：1．定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.故也叫均值不等式 说明：利用均值定理求最值时应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数; （2) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在。
即：“一正二定三相等”这三个原则。
可分别在“正”“定”“相等”三处设题 2、常用不等式有： （12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 二、例题分析： 例1：已知)0(1≠+=x xx y ，求 y 的最值。
（直用）例2：已知x ＞45,求函数y=4x-2 +541-x 的最小值 （变形应用）变式1、求函数12++=x x xy （x >0）的值域。
变式2、当x 为何值时，28(1)1x y x x +=>-有最小值变式3、求函数41322++=x x y 的最小值。
例3：求函数2y =的最小值。
变式、求函数4sin sin y x x=+最小值（x ∈（0，900］）例4：当0＜x ＜4时，求y=x(9-2x) 的最大值。
（逆用）例5：若,x y R +∈，且2x+5y=20,求lg lg u x y =+的最大值。
（应用）变式、已知x+3y-2=0,求3271xy ++最小值。
例6：正数,x y 满足21x y +=，求y x 11+的最小值为。
（方法：“1”的代换）例7：已知x ＞0,y ＞0且x+2y+xy=30,求xy 的最大值练习题 一、选择题1、设x,y 为正数，(x+y)(+x 1y4)的最小值为（ ） A ．6 B 9 C 12 D 15 2、已知正数,x y 满足1x y +=，则11x y+的最小值为（ ） .A 2 .4B .C 14 1.2D 3、若,x y 是正数，且191x y+=，则xy 有 （ ） .A ．最大值36 B ．最小值136 C ．最小值36 D ．最大值1364、在下列函数中，最小值是2的是（ ）.A 1(,y x x Rx =+∈且0x ≠） .B 2y =.C 22x xy -=+ .D 1s i n (0)s i n 2y x x x π=+<< 二、填空题5、若102x <<，则(12)y x x =-的最大值 。
3.4基本不等式(1)
矩形花园的面积为x(24－2x) m2
x(24 2 x) 1 2 ≤ 1 2 ( 2 x 24 2 x 2 ) 72
2
2 x(24 2 x)
当且仅当2x=24－2x,即x=6时，等号成立 因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2
2
只要证
只要证
(1)
显然, (1)是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
a b 2 ≥ ab
思考：证明不等式：
证明二：
ab 2 ( a
a b 2
≥
ab
(a 0, b 0)
ab b)
2
a b 2 ab 2 0
2 ab 2 ab
基本不等式
2 2
即： a b≥ 2 a b 即：
ab 2 ≥ ab
(a>0, b>0)
思考：证明不等式：
证明一：要证 只要证
ab 2
a b 2
≥
ab
(a 0, b 0)
≥ ab
2 ab a b≥ _______ 2 ab a b _____ ≥0
(___ ___) ≥0 a b
当且仅当
即 xy ≤ 72
时，等号成立
x 2 y 24 x 12 ，即 x 2y y6
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2
例3. 如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠 墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
3.4基本不等式(第1课时)课件
a2+b2
2ab
能得到什么结论? a + b ≥ 2a ⋅ b 中的 a, b,能得到什么结论?
1.思考: 1.思考:如果 思考 2 2
a > 0, b > 0 用
a, b
去替换 请写出来。 请写出来。
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立） 当且仅当 时 等号成立）
四 、巩固
1.若正数m, n满足m + n = 6, 则mn有最 大 值 9 , 此时m = 3 , n = 3 . 2.若正数m, n满足mn = 6, 则m + 3n有最 小 值 6 2 , 此时m = 3 2 , n = 2 .
发现运算结构,应用不等式 发现运算结构 应用不等式 • 变式1．试判断 b a 与2 + (a > 0, b > 0) 的 a b 大小关系？ • 在结论成立的基础上，条件“a>0,b>0” 可以变化吗？
3.4 基本不等式
第一课时
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个 “风车”图案？ 风车”图案？
赵爽弦图
一、基本不等式的几何背景
D H E A G C
a
b
F B
c = a 2 + b2
上图是在北京召开的第２４届国际数学家大会的 会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的＂弦图 ＂设计的．你能在这个图中找出一些相等关系或 不等关系吗？
1 变式:已知 的最大值. 变式 已知 0 < x < ,求函数 y = x (1 − 2 x ) 的最大值 求函数 2
结论1 两个正数积为定值， 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 结论2 两个正数和为定值， 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
3..4基本不等式
3．4．1基本不等式<1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理中地不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节地学习，体会数学来源于生活，提高学习数学地兴趣【教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式地几何背景：探究：如图是在北京召开地第24界国际数学家大会地会标，会标是根据中国古代数学家赵爽地弦图设计地，颜色地明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.2 合作探究<1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？<教师引导学生从面积地关系去找相等关系或不等关.系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等地直角三角形.设直角三角形地长为、，那么正方形地边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问3：那4个直角三角形地面积和呢？生答：提问4：好，根据观察4个直角三角形地面积和正方形地面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：<板书）一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立.提问5：你能给出它地证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书>证明:所以注意强调当且仅当时,(2>特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导(板书,请学生上台板演>:要证:①即证②要证②,只要证③要证③,只要证 (->④显然, ④是成立地,当且仅当时, ④地等号成立(3>观察图形3.4-3,得到不等式①地几何解释两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C 作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆地半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b地等差中项，看作是正数a、b地等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数地等差中项不小于它们地等比中项.即学即练:1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：(1>＝2即≥2.(2>x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0∴<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.变式训练：Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少解读：因为Ｘ＞0，Ｘ+≥2=2当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2点评：此题恰好符合基本不等式地用法，1正2定3相等可以具体解释每一项地意思.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值12下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数1 B 2.D 3 B 4 .A基本不等式第一课时课前预习学案一、预习目标不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理.二、预习内容一般地，对于任意实数、，我们有，当，等号成立.两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数，字母表示：.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案教学目标，不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件合作探究 1 证;强调：当且仅当时,特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导证明:结论：两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究2：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释练习1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：已知x、y都是正数，求证：(1>≥2；( 2）Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少分析：，注意条件a、b均为正数，结合不等式地性质(把握好每条性质成立地条件>，进行变形.1正2定3相等变式训练：1已知x＜错误!，则函数f<x）＝4x＋错误!地最大值是多少？2 证明：<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.分析：注意凑位法地使用.注意基本不等式地用法.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值2下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数答案 1 B 2.D 3 B 4.A课后练习与提高1 已知①如果积②如果和[拓展探究]2.设a, b, c且a+b+c=1，求证：答案：1略2 提示可用a+b+c换里面地1 ，然后化简利用基本不等式.§3.4.2 基本不等式地应用【教学目标】1 会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题；2 本节课是基本不等式应用举例.整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件教学过程：一、创设情景，引入课题提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数地算术平均数，把叫做正数地几何平均数.今天我们就生活中地实际例子研究它地重用作用.讲解：已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值二、探求新知，质疑答辩，排难解惑1、新课讲授例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：<1）设矩形菜园地长为m,宽为 m,则篱笆地长为2<）由，可得2<）等号当且仅当，因此，这个矩形地长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2>设矩形菜园地长为m,宽为 m,则2<）=36，=18，矩形菜园地面积为，由可得,可得等号当且仅当点评：此题用到了如果是定值，那么当时，和有最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值变式训练：用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？解：设矩形地长为，则宽为，矩形面，且．由．<当且近当，即时取等号），由此可知，当时，有最大值．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．例2<教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边地长度为，水池地总造价为元，根据题意，得当因此，当水池地底面是边长为40m地正方形时，水池地总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中地应用，应注意数学语言地应用即函数解读式地建立，又是不等式性质在求最值中地应用，应注意不等式性质地适用条件.变题：某工厂要制造一批无盖地圆柱形桶，它地容积是立方分M，用来做底地金属每平方分M价值3元，做侧面地金属每平方M价值2元，按着怎样地尺寸制造，才能使圆桶地成本最低.解：设圆桶地底半径为分M，高为分M，圆桶地成本为元，则3求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小.将代入地解读式，得=当且仅当时，取“=”号.∴当1<分M），<分M）时，圆桶地成本最低为9<元）.点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，归纳整理，整体认识1．求最值常用地不等式：，，．2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．3.建立不等式模型解决实际问题当堂检测：1下列函数中，最小值为4地是：<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.设地最小值是( >A. 10B.C.D.3函数地最大值为.4建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案：1C 2 D 3 4 3600 5时，有最小值，基本不等式地应用课前预习学案一、预习目标会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题二、预习内容1如果是定值，那么当时，和有最2如果和是定值，那么当时，积有最3若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.4.若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b地最小值是_____.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标1 用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题.2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件二、学习过程例题分析：例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：变式训练：1用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？2一份印刷品地排版面积<矩形）为它地两边都留有宽为地空白，顶部和底部都留有宽为地空白，如何选择纸张地尺寸，才能使用纸量最少？变式训练答案 1 时面积最大. 2此时纸张长和宽分别是和．例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000.变式训练：建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.答案：3600当堂检测：1若x, y是正数，且，则xy有<3）Ａ．最大值16Ｂ．最小值Ｃ．最小值16Ｄ．最大值2已知且满足,求地最小值.4Ａ．16Ｂ20．Ｃ．14Ｄ．183 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案:1 C 2 D 3 时，有最小值，课后复习学案1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy地最大值及此时x、y地值．2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车地购车费用是10万元，每年使用地保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元.问这种汽车使用多少年时，它地年平均费用最小？最小值是多少？3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站地距离成反比，而每月库存货物地运费y2与到车站地距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
3.4基本不等式1
提高
ab ab (a 0, b 0) 对基本不等式的理解 2 (1)几何解释:半径不小于半弦;
(2)均值定理:两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数. (3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小 于它们的等比中项; (4) 成立的条件
12/24/2014
作业
课本P100习题3.4A组 第1,2题
• 例1 • 思考交流
12/24/2014
总结：
重要不等式：a 2
b 2ab(a、b R）
2
当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式：
ab ab (a 0, b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
敢 于 创 新
正 数的积为 定 值时，它们的和有最小值， 即若a， b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则
2.两个
a＋b≥ 2 P ，
等 号当且仅当a＝b时成立.
例题结论
应用基本不等式求最值的条件：
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能 够相等
学 以 致 用
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积
ab ab （a 0, b 0） 2
欣 赏 体 会 丰 富 自 我
这是在北京召 开的第２４届 国际数学家大 会会标．会标 根据中国古代 数学家赵爽的 弦图设计。
颜色的明暗使 它看上去象一 个风车，代表 中国人民热情 2002年国际数学家大会会标 好客。
欣 赏 体 会 丰 富 自 我
开
朗
随堂练习
高中数学(人教版必修5)第三章不等式3.4 基本不等式 第1课时
第三章 3.4 第1课时一、选择题1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25 B ．12C.22D ．1[答案] B[解析] 令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2， ∴f (x )＝x x ＋1＝tt 2＋1.当t ＝0时，f (x )＝0； 当t >0时，f (x )＝1t 2＋1t ＝1t ＋1t .∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤12.∴f (x )的最大值为12.2．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3[答案] C[解析] ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a (0≤a ≤2)，∴ab ＝a (2－a )＝－a 2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a ≤2，∴0≤ab ≤1，故A 、B 错误； a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2.∵0≤a ≤2，∴2≤a 2＋b 2≤4.故选C.3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a 2＋b 2＞12.故选B.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a 2＋b 2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立．6．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2≥2y x ·xy＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________． [答案] 14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立，∴所求最大值为14.8．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值是________．[答案] －2[解析] ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋14＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时，等号成立．三、解答题 9．已知x >0，y >0.(1)若2x ＋5y ＝20，求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)若lg x ＋lg y ＝2，求5x ＋2y 的最小值． [解析] (1)∵x >0，y >0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥22x ·5y ＝210·xy . 又∵2x ＋5y ＝20， ∴20≥210·xy ， ∴xy ≤10，∴xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y 2x ＋5y ＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2.∴当x ＝5，y ＝2时，xy 有最大值10. 这样u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u max ＝1. (2)由已知，得x ·y ＝100， 5x ＋2y ≥210xy ＝2103＝2010.∴当且仅当5x ＝2y ＝103，即当x ＝210， y ＝510时，等号成立． 所以5x ＋2y 的最小值为2010.10．求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a 的最小值，其中a >0.[解析] 当0<a ≤1时， y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a≥2， 当且仅当x ＝±1－a 时，y min ＝2. 当a >1时，令x 2＋a ＝t (t ≥a )， 则有y ＝f (t )＝t ＋1t.设t 2>t 1≥a >1，则f (t 2)－f (t 1)＝(t 2－t 1)(t 1t 2－1)t 1t 2>0，∴f (t )在[a ，＋∞)上是增函数． ∴y min ＝f (a )＝a ＋1a，此时x ＝0.综上，当0<a ≤1，x ＝±1－a 时，y min ＝2；当a >1，x ＝0时，y min ＝a ＋1a.一、选择题1．设a 、b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是 ( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2[答案] D[解析] a ＝b 时，A 不成立；a 、b <0时，B 、C 都不成立，故选D.2．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是 ( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b[答案] D[解析] 解法一：∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2， ∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．3．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ∴A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0. ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤(1＋a )＋(1＋b )2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x 、y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.∴xy ＝x (2－2x )＝2x (2－2x )2≤12×(2x ＋2－2x 2)2＝12，等号成立时2x ＝2－2x ，即x ＝12，y ＝1，∴xy 的最大值为12.二、填空题5．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6 [解析] 2x ＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy ≥6. 6．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________．[答案] 1[解析] ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－⎣⎡⎦⎤(5－4x )＋15－4x≤3－2＝1， 等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立． 三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． [解析] 设一条直角边长为x cm ，(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ， 面积s ＝12x (10－x )≤12[x ＋(10－x )2]2＝252(cm 2)等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立，∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52＋52＝52(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x 是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2 000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1 440 000x ＋100x≥21 440 000x·100x ＝24 000(元)．当且仅当1 440 000x ＝100x ，即x ＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．。
3.4基本不等式1
证明推导1：
D
a
A E(FGH)
b
C
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
证明： a2 b2 2ab
如果a>0,b>0 ，用 a , b 分别代替a,b. 我们将得到什么结果？
a b ab (a 0,b 0) 2
算术平均数 几何平均数
证明基本不等式：a b 2
要证： a b ab
2
只要证： a b 2 ab
ab (a 0,b 0)
① ②
要证②，只要证 a b 2 ab 0 ③
要证③，只要证 ( a b)2 0
④
④式显然成立.当且仅当a=b时， ④中的等号成立.
分析法：执果索因
在圆中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，
AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，
连接AD、BD.你能利用这个图形，得出不等
式
a b 的几ab何解释吗？
D
2
ab
练习：
a,b均为正数，证明不等式
(1) ab 2 1 1
ab
a2 b2 a b
(2)
.
2
2
总结：不等式链
2 ab a b
1 a
1 b
2
a2 b2 2
一、新课引入
上图是在北京召开的第２４届国际数学家大会的 会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的＂弦图 ＂设计的．你能在这个图中找出一些相等关系或 不等关系吗？
“风车”中有哪些相等
关系和不等关系？
S直角三角形
1 2
ab
S正方形ABCD a2 b2
a2 b2 2ab
3.4基本不等式(1)
p p 时， x y 有最小值______ 2 p； ， y =_____ xy ，得当 x =____ 2 S S S x y 2 ②当 x y = S (定值)时，由 xy ≤( ) ，得当 x =____， y =_____时， xy 有最大值_______ 4 2 2 2
a b 2a b
2 2
a =b 时，等号成立 当且仅当_______
此不等式称为重要不等式
证明： a b 2ab (a b) 0
2 2 2
a 2 b 2 2ab
特别的当 a 0, b 0 用 a , b 去替换 2 2 a b 2a b 中的 a , b ,能得到 a b 2 ab
ab 即： ab 2
ab 2
算术平均数
ab
几何平均数
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数. (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
对基本不等式的几何意义作进 一步探究:
P
A
a
o
Q b
B
如图,AB是圆o的 直径，Q是AB上任 一点，AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ，连AP,BP,
3.4 基本不等式(一）
三国时期吴国数学家赵爽
2002年国际数学家大会会标
D
1、如图所示是我国古代数学家赵爽 设计的弦图。在北京召开的24届 国际数学家大会上被选为会标。 A 设小直角三角形的两条直角 边为 a、 b
H G
C
E
a
F b
a +b 则大正方形的边长为______________
3.4基本不等式1
两个正数的 几何平均数 上面两个定理的主要区别在哪里呢?
a
2
b
2
2 ab
( a , b R , 当且仅当 a b 时取等）
a b 2
ab
(a, b R , 当且仅当 a b 时取等）
两个不等式的适用范围不同.
平均值定理常称作“均值不等式”,它是一个非常 重要的不等式,常变形为 a b 2 ab 用
a b 2ab (a , b R )
2 2
ab 2
ab (a, b R )
两个正数的 积在什么 当且仅当a 0, b 0, a b 情况下有 最大值呢? 时取等。
2
ab
ab
( a 0, b 0)
均值不等式的运用二：求两个正数的积的最大值 两个正数和为定值，则积有最大值 例：已知0<x<1，求函数y=x(1-x)的最大值．
例：已知0<x<1/3，求函数y=x(1-3x)的最大值．
已知矩形的周长为３６，矩形绕它的一条边旋 转成一个圆柱，矩形的长，宽各为多少时，旋转 成的圆柱的侧面积最大？
y x
小结
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容 3 2 积为4800m ,深为3m,如果池底每1m 的造价为 150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设 计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 3 x y
当且仅当800x=259200/x, 即x=18时，取等号。 答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。
甲乙两地相距２００千米，汽车从甲地匀速 行驶到乙地，速度v不能超过１００千米每 小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为 单位）由可变部分和固定部分组成：可变部 分与速度v（单位：千米每小时）的平方成 正比，并且当速度为８０千米每小时时，可 变部分为３２元；固定部分为32元每小 时．为了使全程运输的成本最小，汽车应以 多大的速度行驶？ 思考： 如果把速度规定为不能超过７０千米每小时呢？
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§3.4 基本不等式ab ≤a ＋b2基础梳理1.重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”号). 2.算术平均数与几何平均数（1）定义：设a ，b 是两个正数，称a ＋b2为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数.（2）算术平均数与几何平均数定理：如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a =b 时取“=”号).即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 说明：（ⅰ）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 成立的条件不同：前者a ，b ∈R ，后者a ，b ∈R *.（ⅱ）利用该命题求某些函数的最大值，最小值时，应注意三个条件： ①函数式中各项(必要时,还要考虑常数项)必须都是正数(),+∈R y x ；②函数式中,含变数的各项的和或积必须是定值(即常数)；③等号成立条件必须存在,只有当各项相等时,最大(小)值才能取到(能使得y x =成立,才能取得最值的符号).以上三点可简记为: “一正、二定、三相等.” 3.利用算术平均数与几何平均数定理求最值问题若x ＞0，y ＞0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) ②如果和x ＋y 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用：a 2＋b 2≥2ab 的逆用：ab ≤a 2＋b 22； ab ≤a ＋b2(a ，b ＞0)的逆用：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)．两个变形：（1）ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；（2）21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其存在前提“一正、二定、三相等”．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．考向一 利用基本不等式求最值[例1]试判断b a ＋ab (a ＞0，b ＞0)与2的大小关系？在结论成立的基础上，条件“a ＞0，b ＞0”可以变化吗？[例2]求下列函数的最小值：（1）已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． 解析：∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．（2）设x ＞1，则2+x 3+14-x 的最小值为________． 解析：∵2+x 3+14-x =5+3（x-1）+14-x ， 当x ＞1时，x-1＞0，∴3（x-1）+14-x ≥2141)-x （3-∙x =43 当且仅当3（x-1）=14-x ，即x=1+332时，2+x 3+14-x 有最小值43+5. （3）已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy时取等号．（4）已知a ＞0，b ＞0，且a 4+b =1，求ab 的最大值. 解析：∵a ＞0，b ＞0，∴ab =41×4b a ∙≤41×2)2b a 4(+=161，当且仅当4a=b ，即b=21，a=81时，等号成立.求下列函数的最值： （1）已知x ＞0，则y =2-x -x4的最大值________．解析：∵x ＞0，∴x +x4≥4，y=2-(x +x4)≤2-4=-2，当且仅当x =x4(x ＞0)，即x=2时，y min =-2.（2）已知x ＞0，y ＞0，且x 1+y 9=1，则y x +的最小值________．解析：∵x ＞0,y ＞0,x 1+y 9=1,∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 91=xy +y x 9+10≥6+10=16.当且仅当x y =y x 9时，上式等号成立，又x 1+y 9=1,∴x =4,y =12时，(x +y )min =16.（3）若x ＞0，y ＞0，且x +y 8=1，求xy 的最大值. 解析：x ＞0，y ＞0，∴xy =81×y x 8∙≤81×2)28x (y +=321，当且仅当x=8y ，即x=21，y=161时，等号成立.[例3]当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．[例4]（1）若正数a ，b 满足ab =3+a +b ，求ab 的最小值.解析：∵ab =3+a +b ，a ＞0，b ＞0得ab ≥2ab +3，∴ab -2ab -3≥0，即(ab -3)(ab +1)≥0，由ab ＞0，得ab -3≥0，∴ab ≥9，当且仅当a=3，别时取“=”号，故的取值范围是[9，+∞）. （2）若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．解析：由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2xy＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号， 又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.若a ，b ∈R *，a +b +8=ab ，则a +b 的最小值是________．解析：∵a ，b ∈R *，a +b +8=ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴(a+b)2-4(a+b)-32≥0，解得a+b ≥8或a+b ≤-4（舍去），故当a=b=4时，a+b 由最小值8. [例5]求下列函数的最小值：（1）y=1222++x x ； （2）y=4522++x x .解析：（1）∵y=1x 2++112+x ≥2，当且仅当1x 2+=112+x ，即x=0时取“=”号.（2）∵y=4x 2++412+x ，令t=4x 2+≥2，∴y=t+t1在[2，+∞）上为增函数，当t=2时，y min =2+21=25，当且仅当x=0时，等号成立.考向二 利用基本不等式证明不等式[例6]已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.+b 1+c 1= a c b a +++b c b a +++c c b a ++=3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b +⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a a c +⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b b c ≥3+2+2+2=9.当且仅当a =b =c =31时取等号. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c≥2 bc a ·abc＝2b ； ca b ＋ab c≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 考向三 利用基本不等式恒成立问题，求参数的取值范围[例6] (2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 【训练3】已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 答案 10解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.[示例]1.已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2ab ≥3＋2 b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.2.(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x ＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．4 答案 A解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 答案 C解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．。