弹性力学翻译

我们可以发现l 1，还有m 1、n 1的重要性。

以同样的方式，我们能发现l 2, m 2, n 2的方向余弦与σ2相符, 并且，l 3，m 3, n 3的方向余弦与σ3相符合。

由立方公式 (8.3.4), 至少有一个真解。

在P 点上至少存在一个主应力。

由σ3表示这个主应力, σ3与Z 轴同向。

我们得出3σσ=z
,
0==xz zx ττ, 0==yz
zy τ
τ。

因此，平行边界的基本应力平行坐标轴，压
力的组成部分平行XY 平面的只有σx , σy 和yx
xy τ
τ
=(Fig.8.3.1)。

在2,3部分显示，在这种情况下，σ1 和σ2主应力彼此垂直，并且平行XY 平面。

因此，证明在任何一点，有三个主应力彼此互相垂直。

由于σ1, σ2, σ3是方程(8.3.4)的三个根，由代数方程，我们得出下列关系式 z
y
x
σ
σ
σ
σσσ++=++321, (8.3.5)
2
2
2
211332xy
zx yz y x x z z y τττσσσσσσσσσσσσ---++=++, (8.3.6)
xy
zx yz xy z zx y yz x z y x ττττστστσσσσσσσ22
2
2
321+---=, (8.3.7)
在一个已知应力状态下，σ1, σ2, σ3三个主应力，它们之间和联系，与坐标轴方向无关。

因此，反映在方程(8.3.7)上面。

因此，上面的三个方程的右边也与坐标轴方向无关。

因此，我们得出下列恒定的
应力方程。

z
y
x
σ
σ
σ
θ++=1,
2
2
2
2xy
zx yz y x x z z y τττσσσσσσθ---++=,
xy zx yz xy z zx y yz x z y x ττττστστσσσσθ22
2
2
3+---=.
特别是方程(8.3.8)表示三个普通应力组成部分是与坐标方向无关。

8.4应力的最大值和最小值
当一点作用三个主应力时，矢量叠加，显而易见，一点的主应力，剪应力最大值和最小值，为了方便起见，我们规定X 与σ1同向，Y 与σ2同向，Z 与σ3同向，得出
⎭
⎬⎫
=========,
,,,0,0,0321σσ
σσ
σσ
ττττττz
y
x
yz xz xz zx zy yz
(8.4.1)
根据方程：(8.2.2) 和 (8.4.1)，在任何一个倾斜的平面上，主应力满足：
,322
2
12σσ
σσ
n m l N
++=
(8.4.2)
l ，m ，n 是斜平面外的侧的方向余弦，鞋平面上有剪应力。

利用关系式12
2
2
=++n m l ,消除,322
2
12σσ
σσ
n m l N
++=中的
L 项，
得出
32
2
2
122
)1(σσ
σσ
n m n m
N
++--=.
为了寻找σN 的极大作用，令0
=∂∂N
m
σ
and
0=∂∂N
n
σ
,通过上式，
我们得出0=m
, 0=n
和 12=l 。

将这三个量代入上式，得1
σσ
=N。

通过消除了公式中的m,n 后，我们能得出σN 另外的两个极值，它称为σ2 和 σ3。

因此，最大，最小正压力被包含于3个主应力当中。

最大和最小
的主应力就是最大，最小的水平压力。

根据公式：(8.2.1) and (8.4.1)，在斜平面上沿着坐标方向全部应力的组成：
.,,321σσσn Z m Y l X
N N N
===
将这三个方程和方程(8.4.2)代入(8.2.3)，得：
2
32
22
12
2
32
2
22
2
12
2
)
(σσσσσστn m l n m l N ++-++= (8.4.3)
用公式122
2
=++n m l ,消除上式中的
L 得出：
2
32
22
12
2
2
3222221222
]
)1[()(σσσσσστn m n m n m n m l N ++---++--=.
为发现2N τ的重要性，让let 02
=∂∂N
m
τ 和
02=∂∂N
n
τ
，通过上式，
我们得出。