2018年高考数学二轮复习专题7概率与统计第3讲概率、随机变量及其分布列课后强化训练理
2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案：考前专题七 概率与统计 第3讲 统计与统计案例(含答案解析)
第3讲统计与统计案例1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等．2．在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．热点一抽样方法1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体数较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．例1 (1)(2017届日照三模)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为________．答案10解析样本间隔为80÷5＝16，∵42＝16×2＋10，∴该样本中产品的最小编号为10.(2)某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,700,700，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为________．答案35解析由题意结合抽样比可得，高三年级应抽取的学生人数为100×700600＋700＋700＝35.思维升华(1)随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的．(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同．(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．跟踪演练1 (1)(2017·葫芦岛协作体模拟)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行、第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为( )A.12 B．33C．06 D．16答案 C解析 被选中的红色球号码依次为17,12,33,06，所以第四个被选中的红色球号码为06，故选C.(2)(2017届江西重点中学协作体联考)高三某班有学生36人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、23号、32号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( ) A ．13 B ．14 C ．18 D ．26答案 B解析 ∵高三某班有学生36人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， ∴样本组距为36÷4＝9，则5＋9＝14， 即样本中还有一个学生的编号为14，故选B. 热点二 用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．例2 (1)(2017·湖南衡阳联考)一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为( ) A ．－11 B ．3 C ．9 D ．17 答案 C解析 设没记清的数为x ，若x ≤2，则这列数为x,2,2,2,4,5,10，平均数为25＋x7，中位数为2，众数为2，所以2×2＝25＋x 7＋2，得x ＝－11；若2<x ≤4，则这列数为2,2,2，x,4,5,10，则平均数为25＋x7，中位数为x ，众数为2，所以2x ＝25＋x 7＋2，得x ＝3；若x ≥5，则这列数为 2,2,2,4,5，x,10或2,2,2,4,5,10，x ，则平均数为25＋x 7，中位数为4，众数为2，所以2×4＝25＋x7＋2，得x ＝17，所以－11＋3＋17＝9.(2)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图可知，这200名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是________．答案45解析阅读频率分布直方图可得，这200名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是200×(0.02＋0.07)×2.5＝45.思维升华(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等．(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．跟踪演练2 (1)(2017届江西南昌二模)某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为( )A．4 B．3C．2 D．1答案 B解析由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是79－76＝3，故选B. (2)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为( )A．300 B．200C．150 D．100答案 D解析根据频率分布直方图的面积和为1，可得[50,60)的频率为P＝1－10×(0.01＋0.024＋0.036)＝0.3，又由P ＝30n＝0.3，解得n ＝100.故选D.热点三 统计案例 1．线性回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^称为线性回归方程，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ，(x ，y )称为样本点的中心．2．随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .例3 (1)(2017届山西太原三模)已知某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)具有线性相关关系，其统计数据如下表：附：b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .由上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，据此模型预测广告费用为8万元时的销售额是( ) A ．59.5万元 B ．52.5万元 C ．56万元 D ．63.5万元答案 A解析 由题意可得x ＝3＋4＋5＋64＝92， y ＝25＋30＋40＋454＝35，则b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4 x 2＝665－4×92×3586－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫922＝7，a ^＝y －b ^x ＝3.5，所以线性回归方程为y ^＝7x ＋3.5，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是y ＝7×8＋3.5＝59.5(万元)．故选A.(2)(2017·四川成都九校联考)某学校为了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：由公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2≈7.82.附表：参照附表，以下结论正确是( )A ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 C解析 由题意知本题所给的观测值K 2≈7.82>6.635，∴这个结论有0.01的机会出错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.思维升华 (1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(x ，y )，应引起关注．(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入公式求解K 2即可．跟踪演练3 (1)(2017届德州二模)某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如表：根据上表可得线性回归方程y ^＝9.4x ＋a ^，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为( ) A ．65.5万元 B ．66.6万元 C ．67.7万元 D ．72万元答案 A解析 x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝26＋39＋49＋544＝42，代入线性回归方程，得42＝9.4×3.5＋a ^，解得a ^＝9.1，所以线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1， 当x ＝6时，y ＝65.5，故选A.(2)(2017·广东湛江二模)某同学利用课余时间做了一次社交软件使用习惯调查，得到2×2列联表如下：附表：则下列结论正确的是( )A ．在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关B ．在犯错的概率超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关C ．在犯错的概率不超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关D ．在犯错的概率超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关 答案 A解析 K 2＝30×(4×2－16×8)220×10×12×18＝10，由于7.879<10<10.828，可以认为在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关，故选A.真题体验1．(2017·山东改编)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为__________． 答案 3,5解析 甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y ＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等， ∴15×(56＋65＋62＋74＋70＋x )＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x ＝3. 2．(2017·山东改编)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑10i ＝1x i ＝225，∑10i ＝1y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为________．答案 166解析 ∵∑10i ＝1x i ＝225，∴x ＝110∑10i ＝1x i ＝22.5. ∵∑10i ＝1y i ＝1 600，∴y ＝110∑10i ＝1y i ＝160. 又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70.∴线性回归方程为y ^＝4x ＋70.将x ＝24代入上式，得y ^＝4×24＋70＝166.3．(2016·全国Ⅲ改编)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下列叙述不正确的是________．①各月的平均最低气温都在0 ℃以上； ②七月的平均温差比一月的平均温差大； ③三月和十一月的平均最高气温基本相同； ④平均最高气温高于20 ℃的月份有5个． 答案 ④解析 由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有七月，八月，故④不正确．4．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 答案 18解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350.∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．押题预测1．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地分别随机调查了10个用户，将满意度的分数绘成茎叶图如图所示．设甲、乙两地的满意度分数的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙D.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙押题依据 从茎叶图中提取数字的特征(如平均数、众数、中位数等)是高考命题的热点题型． 答案 B解析 甲地用户的平均满意度分数为x 甲＝53＋62＋64＋73＋74＋76＋81＋85＋92＋9510＝75.5，乙地用户的平均满意度分数为x 乙＝51＋56＋62＋64＋73＋73＋81＋82＋83＋9110＝71.6，所以x 甲>x 乙．中位数分别为m 甲＝74＋762＝75，m 乙＝73＋732＝73，所以m 甲>m 乙． 故选B.2．某校为了解高三学生寒假期间的学习情况，抽查了100名学生，统计他们每天的平均学习时间，绘成的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中学习时间在6至10小时之间的人数为________．押题依据 频率分布直方图多以现实生活中的实际问题为背景，对图形的理解应用可以考查考生的基本分析能力，是高考的热点． 答案 58解析 由图知，(0.04＋0.12＋x ＋0.14＋0.05)×2＝1，解得x ＝0.15，所以学习时间在6至10小时之间的频率是(0.15＋0.14)×2＝0.58， 所求人数为100×0.58＝58.3．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x )押题依据 线性回归分析在生活中具有很强的应用价值，是高考的一个重要考点． 解 (1)散点图如图．(2)由表中数据得∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ^ ＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7， a ^＝3.5－0.7×3.5＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时．A 组 专题通关1．(2017·山西实验中学模拟)一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2∶3∶5，若用分层抽样法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．100答案 D解析 由分层抽样的概念可得，应从高三学生中抽取的人数是200×52＋3＋5＝100.故选D.2．(2017届广东省东莞市二模)已知某学校有1 680名学生，现在采用系统抽样的方法抽取84人，调查他们对学校食堂的满意程度，将1 680人按1,2,3，…，1 680随机编号，则在抽取的84人中，编号落在[61,160]内的人数为( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．4 答案 B解析 (160－60)×841 680＝5，故选B.3．(2017·北京丰台区二模)某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程(单位：千米)的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是( ) A ．14,9.5 B ．9,9 C ．9,10 D ．14,9答案 A解析 2班共有8个数据，中间两个数是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A(1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14)．4.(2017·福建泉州质检)2017年4月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中A ，B 两地选择一处进行实地考察，因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人对它们的综合评分，并将评分数据记录为下图的茎叶图，记A ，B 两地综合评分数据的平均数分别为A ，B ，方差分别为s 2A ，s 2B ，若已备受好评为依据，则下述判断较合理的是( ) A ．因为A >B ，s 2A >s 2B ，所以应该去A 地 B ．因为A >B ，s 2A <s 2B ，所以应该去A 地C ．因为A <B ，s 2A >s 2B ，所以应该去B 地 D ．因为A <B ，s 2A <s 2B ，所以应该去B 地 答案 B解析 计算可得A ＝8623>85＝B ，s 2A <s 2B (A 数据集中，B 数据分散)，所以A 地好评分高，且评价稳定，故选B.5．(2017届江西上饶二模)下面四个命题中，为真命题的是( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样；②两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的值越接近于1；③判断两个分类变量X 与Y 的相关性：若K 2越小，则说明“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ④随机变量X ～N (0,1)，则P (|X |<1)＝2P (X <1)－1. A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③答案 A解析 ②错误，因为相关系数可以接近－1；③错误，K 2越大，有关系的把握越大．故选A.6．(2017届湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考)某校高三文科班150名男生在“学生体质健康50米跑”单项测试中，成绩全部介于6秒与11秒之间．现将测试结果分成五组：第一组[6，7]；第二组(7，8]，…，第五组(10，11].下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．按国家标准，高三男生50米跑成绩小于或等于7秒认定为优秀，若已知第四组共48人，则该校文科班男生在这次测试中成绩优秀的人数是________．答案 9解析 由题设中提供的频率分布直方图可以看出，这次测试中成绩优秀的人数的频率P ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫0.38＋0.16＋0.08＋48150×1＝0.06，故这次测试中成绩优秀的人数为0.06×150＝9. 7．(2017届四川广志联考)某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________． 答案 －3解析 若将该数看做15，其他数据不变，其和记为M ，则其平均数为P 1＝M ＋1530；若将该数看做105，其他数据不变，其和仍为M ，则其平均数为P 2＝M ＋10530，则两次算得的平均数之差P 1－P 2＝M ＋15－M －10530＝－3.8．(2017·江西百校联盟联考)某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程为y ^＝1.4x ＋a ^.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用________年． 答案 8解析 因为x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝1.5＋4.5＋5.5＋6.5＋7.55＝5.1，故代入线性回归方程可得a ^＝5.1－1.4×4＝－0.5，所以线性回归方程为y ^＝1.4x －0.5， 当y ＝12时，解得x ≈8.9.9．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是________．表1表2表3表4答案 阅读量解析 根据数据求出K 2的值，再进一步比较大小．表1中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(6×22－14×10)220×32×16×36＝131 440.表2中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(4×20－16×12)220×32×16×36＝637360.表3中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(8×24－12×8)220×32×16×36＝1310.表4中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(14×30－6×2)220×32×16×36＝3 757160.∵131 440<1310<637360<3 757160， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．10．(2017·全国Ⅱ)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”． 由题意知，P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )．旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．B 组 能力提高11．某公司有30名男职员和20名女职员，公司进行了一次全员参与的职业能力测试，现随机询问了该公司5名男职员和5名女职员在测试中的成绩(满分为30分)，可知这5名男职员的测试成绩分别为16,24,18,22,20,5名女职员的测试成绩分别为18,23,23,18,23，则下列说法一定正确的是( ) A ．这种抽样方法是分层抽样 B ．这种抽样方法是系统抽样C ．这5名男职员的测试成绩的方差大于这5名女职员的测试成绩的方差D ．该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数 答案 C解析 根据抽样方法的特点，可知这种抽样既不是分层抽样，也不是系统抽样，故A ，B 是错误的；由这5名男职员和5名女职员的测试成绩得不出该公司男职员和女职员的测试成绩的平均数，故D 是错误的；根据公式，可以求得这5名男职员的测试成绩的方差为s 21＝8,5名女职员的测试成绩的方差为s 22＝6，所以C 正确．故选C.12．(2017届四川大教育联盟三诊)某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1 000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线l .根据图中数据，下列对该样本描述错误的是( )A ．据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关B ．所抽取数据中，5 000名青少年平均身高约为145 cmC ．直线l 的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D ．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线l 上 答案 D解析 在给定范围内，随着年龄增加，年龄越大身高越高，故该地区青少年身高与年龄成正相关，故A 正确；用样本数据估计总体可得平均数大约是145 cm ，故B 正确；根据直线斜率的意义可知斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，故C 正确；各取一人具有随机性，根据数据做出的点只能在直线附近，不一定在直线上，故D 错误．13．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算得线性回归方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息，可得表中c 的值为________．答案 6解析 x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋c 5＝14＋c 5，代入线性回归方程，得14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.14．(2017届广东潮州二模)当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活．一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中随机抽取n 名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图：(1)求出表中a ，b ，n 的值，并补全频率分布直方图；(2)媒体记者为了做好调查工作，决定从所随机抽取的市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30,40)的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[35,40)的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．解 (1)由题意及频率分布表可知，n ＝5÷0.05＝100， 所以a ＝100×0.35＝35，b ＝30100＝0.3.补全频率分布直方图，如图所示．(2)设抽出的20名受访者年龄在[30,35)和[35,40)的分别有m ，n 名，由分层抽样可得20100＝m 35＝n30，解得m ＝7，n ＝6.所以年龄在[30,40)的共有13名． 故ξ的可能取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 06C 27C 213＝726，P (ξ＝1)＝C 16C 17C 213＝713，P (ξ＝2)＝C 26C 07C 213＝526.ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×726＋1×713＋2×526＝1213.。
2018高考数学理二轮专题复习课件-第二篇 专题满分突破
4． 从 20 名男同学和 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试， 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为 ________．(结果用最简分数表示)
5．二项分布：在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次 数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 P，则随机变量 X 服 从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 P 为成功概率． 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(x k k n－k ＝k)＝Cnp (1－p) (k＝0,1,2，„，n)，期望 E(x)＝np，D(x)＝np(1 －p)．
6．正态分布 (1)定义及表示：如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X b 满足 P(a<x≤b)＝ φ ， (x)dx， 则称随机变量服从正态分布， 记作 μ σ
X～N(μ，σ )，其中 μ 是期望，σ 是标准差． (2)正态曲线的图象关于直线 x＝μ 对称，μ 控制图象的左右 平移，σ 决定了图象的高矮胖瘦． (3)正态分布的三个数据 ①P(μ － σ<x≤μ ＋ σ) ＝ 0.6826 ②P(μ － 2σ<x≤μ ＋ 2σ) ＝ 0.9544 ③P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.9974.
3 故要求的概率为 ＝ ，故选 B. π π 4 － － 2 6 答ห้องสมุดไป่ตู้：B
π 2－0
3．已知某气象站天气预报的准确率为 80%，则 5 次预报中 至少有 2 次准确的概率为________．(结果保留到小数点后两位)
解析：“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次 预报中有 1 次准确或 5 次预报中没有准确的”，则所求概率为 1 1 4 5 －(C5×0.8×0.2 ＋0.2 )≈0.99. 答案：0.99
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
概率与统计热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是ξ 0 2 4 P82740811781【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i ，这是本题求解的关键. (2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)· P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2.②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为X 20 60P 1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X120 60 100P 162316X1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P 162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12.第4组的人数为5×0.04×40＝8.第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11.②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为X 012P 25815115E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48. 热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b^＝l xy l xx＝2480＝0.3， a^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a ^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷 读书迷总计 男 15 女 45 总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X ). 解 (1)完成2×2列联表如下：非读书迷 读书迷 总计 男 40 15 55 女 20 25 45 总计6040100K 2＝100×（40×25－15×20）60×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. (2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3).X 的分布列为 X0 1 2 3 P27125 54125 36125 8125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
2018年高考数学二轮复习专题7概率与统计第3讲概率随机变量及其分布列课件理
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝
－
n k Ck C M N－M n C N ________________ ，k＝0,1,2，„，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，
n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回 抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．
2
重要公式与性质 1．离散型随机变量X的分布列具有两个性质 ①pi≥0，②p1＋p2＋„＋pi＋„＋pn＝1(i＝1,2,3，„，n)． 2．期望与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)； (2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； (3)X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
核心知识整合
• 1．随机事件的概率 0≤P(A)≤1 1 • (1)随机事件的概率范围： _____________； 必然事件的概 0 率为________；不可能事件的概率为 __________．
(2)古典概型的概率 A中所含的基本事件数 P(A)＝ ． 基本事件总数 (3)几何概型的概率 构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ ． 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
2．互斥事件与对立事件 (1)对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件． (2)如果事件A，B互斥，那么事件A∪B发生(即A，B中有一个发生)的概率， P(A)＋P(B) 等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A∪B)＝______________. 这个公式称 为互斥事件的概率加法公式． (3)在一次试验中，对立事件A和 A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此 1－P(A) 有P( A )＝____________ ．
【数学高考】新课标2018最新数学高考二轮复习专题七概率与统计专题能力训练21随机变量及其分布
专题能力训练21 随机变量及其分布能力突破训练1.甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为()A. B.C. D.2.(2017浙江,8)已知随机变量ξ满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1-p i,i=1,2,若0<p1<p2<,则()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)3.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球(除颜色外其他完全相同),每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A.B.C.D.4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),则从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%5.如图所示,A,B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X,则P(X≥8)= .6.设离散型随机变量X的分布列为若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)= .7.已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .8.A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)9.(2017山东,理18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).10.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一.小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.。
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
高考数学(理)：专题07 概率与统计(含解析)
7．概率与统计1．【2018年浙江卷】设0<p<1,随机变量ξ分布列是ξ0 1 2P则当p在（0,1）内增大时,A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D点睛：2．【2018年理新课标I卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究几何图形．此图由三个半圆构成,三个半圆直径分别为直角三角形ABC斜边BC,直角边AB,AC．△ABC三边所围成区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III．在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III概率分别记为p1,p2,p3,则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A【解析】分析：首先设出直角三角形三条边长度,根据其为直角三角形,从而得到三边关系,之后应用相应面积公式求得各个区域面积,根据其数值大小,确定其关系,再利用面积型几何概型概率公式确定出p1,p2,p3关系,从而求得结果.详解：设,则有,从而可以求得面积为,黑色部分面积为,其余部分面积为,所以有,根据面积型几何概型概率公式,可以得到,故选A.点睛：该题考查是面积型几何概型有关问题,题中需要解决是概率大小,根据面积型几何概型概率公式,将比较概率大小问题转化为比较区域面积大小,利用相关图形面积公式求得结果.【2018年理新课标I卷】某地区经过一年新农村建设,农村经济收入增加了一倍．实现翻番．为3．更好地了解该地区农村经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确是A. 新农村建设后,种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入总和超过了经济收入一半【答案】A详解：设新农村建设前收入为M,而新农村建设后收入为2M,则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后种植收入为0.74M,所以种植收入增加了,所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上,所以B项正确；新农村建设前,养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍,所以C项正确；新农村建设后,养殖收入与第三产业收入综合占经济收入,所以超过了经济收入一半,所以D正确；故选A.点睛：该题考查是有关新农村建设前后经济收入构成比例饼形图,要会从图中读出相应信息即可得结果.4．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中每位成员使用移动支付概率都为,各成员支付方式相互独立,设为该群体10位成员中使用移动支付人数,,,则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B点睛：本题主要考查二项分布相关知识,属于中档题。
2018年高三最新 高考数学第二轮专题复习----概论统计专题 精品
《计数原理与概率》高考复习指导一、考试说明：1．考试内容（1）分类计数原理与分步计数原理，排列与组合．（2）等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率．2．考试要求（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（3）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率．（4）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．（5）了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．二、高考试题分析排列与组合、概率与统计是高中数学的重要内容．一方面，这部分内容占用教学时数多达36课时，另一方面，这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识，因此，它是高考数学命题的重要内容．从近三年全国高考数学（新材）试题来看，主要是考查排列与组合、概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析问题和解决问题的能力．试题特点是基础和全面．题目类型有选择题、填空题、解答题，一般是两小（9分～10分）一大（12分），解答题通常是概率问题．试题难度多为低中档．为了支持高中数学课程的改革，高考数学命题对这部分将进一步重视，但题目数量、难度、题型将会保持稳定．例1．（1999年全国）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_______种（用数字作答）．[解析]A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有一种种植方法．B在左边种植的情形与上述情形相同．故共有2(3＋2＋1)=12种不同的选垄方法．∴应填12.例2．（2018年新教材）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每一块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种（以数字作答）．[解析]将5块试验田从左到右依次看作甲、乙、丙、丁、戊，3种作物依次看作A、B、C，则3种作物都可以种植在甲试验田里，由于相邻的试验田不能种植同一种作物，从而可知在乙试验田里只能有两种作物．同理，在丙、丁、戊试验田里也只能有两种作物可以种植．由分步计数原理，不同的种植方法共有3×2×2×2=48种．∴应填：48例3．（2018年全国高考题）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽法有_______种．[解析]由于第1、2、3块两两相邻，我们先安排这三块，给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种种法，所以共有4×3×2=24种不同种法．下面给第4块种花，若第4块与第6块同色，只有一种种植方法，则第5块只有2种种法，若第4块与第2块同色时，共有2×1=2种种法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块同色，则第6块有2种种植的方案，而第5块只有1种种法，共有2种不同的种植方法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块不同色，则第6块有1种种法，则第5块也有一种不同种法，所以第4块与第6块不同色时，有1种种法．综上共有24×(2＋2＋1)=120种不同的种植方法．例4．（2018年春季考试题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为A 、42B 、30C 、20D 、12[解析]将两个新节目插入5个固定顺序节目单有两种情况：（1）两个新节目相邻的插法种数为226A ；（2）两个节目不相邻的插法种数为26A ；由分类计数原理共有2226642A A +=种方法，选A.例5．（2018重庆）（本小题满分12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
2018届高考数学二轮复习重点保分专题课件 专题(10)概率与统计、随机变量及其分布列
保分专题（10） 概率与统计、随机变量及其 分布列
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 卷Ⅰ 考查内容及考题位置 数学文化、有关面积的几何概型·T2 正态分布、二项分布的性质及概率、方差·T19
2017
卷Ⅱ
二项分布的方差计算·T13
频率分布直方图、独立性检七个不同的数的取法共有 9×8 7 2 C 9 ＝C 9 ＝ ＝36种，因为1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6，所以 2
3 从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选三组，则有C 4 ＝4，故这七
4 1 个数的平均数是5的概率P＝ ＝ . 36 9
答案：C
3 ． (2017· 贵州适应性考试 ) 已知区域 Ω ＝ {(x ， y)||x|≤ 2 ， π π 0≤y≤ 2}，由直线 x＝－ ，x＝ ，曲线 y＝cos x 与 x 轴 3 3 围成的封闭图形所表示的区域记为 A.若在区域 Ω 内随机 取一点 P，则点 P 在区域 A 的概率为 2 A. 4 3 C. 4 1 B. 2 6 D. 4 ( )
π 1 π B. C. D. 8 2 4 不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为
4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S黑＝ π 2 π 1 π S圆＝ ，故此点取自黑色部分的概率P＝ ＝ . [答案] 2 2 4 8
B
[类题通法]
1．利用古典概型求概率的关键及注意点 (1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这 常常用到排列、组合的有关知识． (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及应用关键 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑 使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域 和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需 要的区域．
2018年浙江高考数学二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题3 突破点7 随机变量及其分布
突破点7 随机变量及其分布(对应学生用书第26页)[核心知识提炼]提炼1离散型随机变量的分布列离散型随机变量X的分布列如下：则(1)p i(2)p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n＝1(i＝1,2,3，…，n)．(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为X的均值或数学期望(简称期望)．D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(x i－E(X))2·p i＋…＋(x n－E(X))2·p n叫做随机变量X的方差．(4)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．(5) 两点分布与二项分布的均值、方差①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).提炼2几种常见概率的计算(1)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．(2)独立重复试验的概率如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k·(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .[高考真题回访]回访1 离散型随机变量及其分布列1．(2013·浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E η＝53，D η＝59，求a ∶b ∶c . 【导学号：68334087】 [解] (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，1分P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13， 2分P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，3分P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， 4分P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 5分所以ξ的分布列为6分(2)由题意知η的分布列为所以E (η)＝a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3，10分D (η)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0. 13分解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 15分回 访2 离散型随机变量的均值与方差2．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)A [由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布，∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)． 又∵0<p 1<p 2<12，∴E (ξ1)<E (ξ2)．把方差看作函数y ＝x (1－x )， 根据0<ξ1<ξ2<12知，D (ξ1)<D (ξ2)．故选A.]3．(2014·浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )【导学号：68334088】A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)A [随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：所以E (ξ1)＝m ＋n＋m ＋n ＝m ＋n， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3C 2m C 2m ＋n ＝3m ＋nm ＋n ，所以E (ξ1)<E (ξ2)．因为p 1＝m m ＋n ＋nm ＋n ·12＝2m ＋n m ＋n，p 2＝C 2m C 2m ＋n ＋C 1m C 1n C 2m ＋n ·23＋C 2n C 2m ＋n ·13＝3m ＋nm ＋n，p 1－p 2＝nm ＋n>0，所以p 1>p 2.] 4．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.25[设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.](对应学生用书第27页) 热点题型1 相互独立事件的概率题型分析：高考主要考查相互独立事件概率的求解及实际应用，对事件相互独立性的考查相对较频繁，难度中等.【例1】 (1)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36D ．0.312(2)如图71，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.图71①求p ；②求电流能在M 与N 之间通过的概率．(1)A [3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.](2)记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4，A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过．①A －＝A －1A －2A －3，A －1，A －2，A －3相互独立，2分P (A －)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3)＝(1－p )3.3分又P (A －)＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 4分 故(1－p )3＝0.001，p ＝0.9. 6分②B ＝A 4∪A －4A 1A 3∪A －4A －1A 2A 3，10分P (B )＝P (A 4∪A －4A 1A 3∪A －4A －1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A －4A 1A 3)＋P (A －4A －1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A －4)P (A 1)P (A 3)＋P (A －4)P (A －1)P (A 2)·P (A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.15分[方法指津]求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解． (2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．[变式训练1] (2017·杭州学军中学高三模拟)商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是________；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则E (X )＝________.【导学号：68334089】710 35 [由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为25，35，在乙箱中抽中红球、白球的概率分别为12，12.抽奖一次不获奖的概率为35×12＝310，所以其(对立事件)获奖的概率为1－310＝710.因为每次获得一等奖的概率为25×12＝15，3次抽奖相互独立，故E (X )＝np ＝3×15＝35.] 热点题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差题型分析：离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等.【例2】 (1)(2017·萧山中学高三仿真考试)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )A.1 C [由题可得16＋p 1＋13＝1，解得p 1＝12.所以E (X )＝0×16＋2×12＋a ·13＝2，解得a ＝3.所以D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D (2X －3)＝4D (X )＝4，故选C.](2)(2017·绍兴市方向性仿真考试)设X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，若E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2＝( )A.53B.73C.113D ．3D [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧23x 1＋13x 2＝43，23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，因为x 1＜x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＋x 2＝1＋2＝3，故选D.] [方法指津]解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： 1明确随机变量可能取哪些值.2结合事件特点选取恰当的计算方法，计算这些可能取值的概率值. 3根据分布列和期望、方差公式求解.提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.[变式训练2] (1)(2017·温州九校协作体高三期末联考)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是________，用随机变量ξ表示分到丙班级的人数，则E ξ＝________. 【导学号：68334090】6581 43 [甲班级没有分到同学的概率为1＋1＋C 14＋C 24＋C 3434＝1681，所以甲班级至少有一位同学的概率为1－1681＝6581.随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，则P (ξ＝0)＝1681，P (ξ＝1)＝C 14＋1＋C 23＋C 1334＝3281，P (ξ＝2)＝C 24＋1＋34＝2481，P (ξ＝3)＝C 34×234＝881，P (ξ＝4)＝134＝181，于是E ξ＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.](2)(2017·金华十校高考模拟考试)设随机变量X的分布列为则a＝3 1095[由分布列的概念易得12＋15＋a＝1，解得a＝310，则E(X)＝1×12＋2×15＋3×310＝95.]。
2018届高考数学二轮复习专题三概率与统计课件(14张)(全国通用)
身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2,
身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2, 由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m,则170<m<175
由0.04+0.08+0.2+(m-170)×0.04=0.5得m=174.5
解：（1）由茎叶图知：分数=0.08，所以全班人数为 =25.
(2)分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4；即分数在[80,90)之间的人数
为4人. 频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为 ÷10=0.016.
(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析. 统计量K
2
=
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635
P (K 2 ≥ k 0 ) k0
【解析】 (1)该学生30名亲属中,50岁以下人中 的以肉类为主, 的以蔬菜为主;50 岁以上人中,只有 (2) 主食蔬菜 主食肉类 合计 的人以肉类为主, 的人以蔬菜为主.
【近4年新课标卷考点统计】
年份 试卷类型
2014 12 12
2015 12 12
2016 12 12 12
2017 12 12 12
新课标Ⅰ卷 新课标Ⅱ卷 新课标Ⅲ卷
典例解析
【例1】 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之
间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],下图 是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4 人. (1)求第七组的频率; (2)估计该校的800名男生的身高的众数与中位数以及身高在180cm以上(含180cm)的人数; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求抽出的两名男生是在同一组
2018年高考数学浙江专版二轮复习与策略 专题7 随机变量及其分布 讲练 含答案
突破点7 随机变量及其分布i(2)p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n＝1(i＝1,2,3，…，n).(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为X的均值或数学期望(简称期望).D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(x i－E(X))2·p i＋…＋(x n－E(X))2·p n 叫做随机变量X的方差.(4)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数).(5)两点分布与二项分布的均值、方差①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).在A发生的条件下B发生的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A).(2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B).(3)独立重复试验的概率如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k·(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.回访1离散型随机变量及其分布列1.(2013·浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.[解](1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，1分P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，2分P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，3分P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，4分P(ξ＝6)＝1×16×6＝136. 5分所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E(η)＝aa＋b＋c＋2ba＋b＋c＋3ca＋b＋c＝53，10分D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎨⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.13分 解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 15分回访2 离散型随机变量的均值与方差2.(2014·浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中.(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2).则( ) A.p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2) B.p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2) C.p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2) D.p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)A [随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：所以E (ξ1)＝n m ＋n ＋2m m ＋n ＝2m ＋nm ＋n， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3C 2mC 2m ＋n ＝3m ＋n m ＋n，所以E (ξ1)<E (ξ2).因为p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ·12＝2m ＋n2(m ＋n )，p 2＝C 2mC 2m ＋n ＋C 1m C 1n C 2m ＋n ·23＋C 2n C 2m ＋n ·13＝3m ＋n 3(m ＋n )， p 1－p 2＝n 6(m ＋n )>0，所以p 1>p 2.]3.(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.25[设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.]热点题型1 相互独立事件的概率与条件概率题型分析：高考对条件概率的考查，主要体现在对条件概率的了解层次，难度较小，对事件相互独立性的考查相对较频繁，难度中等.(1)(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312(2)如图7-1，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.图7-1①求p ；②求电流能在M 与N 之间通过的概率.(1)A [3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.](2)记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4，A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过. ①A －＝A －1A －2A －3，A －1，A －2，A －3相互独立， 2分P (A －)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3)＝(1－p )3.3分 又P (A －)＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 4分 故(1－p )3＝0.001，p ＝0.9.6分 ②B ＝A 4∪A －4A 1A 3∪A －4A －1A 2A 3， 10分 P (B )＝P (A 4∪A －4A 1A 3∪A －4A －1A 2A 3) ＝P (A 4)＋P (A －4A 1A 3)＋P (A －4A －1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A －4)P (A 1)P (A 3)＋P (A －4)P (A －1)P (A 2)·P (A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.15分1.解决条件概率的关键是明确“既定条件”.2.求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解.(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.[变式训练1](2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.[解](1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. 2分(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.4分又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.150.55＝311.因此所求概率为311. 6分(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a. 13分因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 15分热点题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差题型分析：离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等.(2016·嘉兴第一中学优化卷)红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A ，B ，C进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘.已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ). [解] (1)记甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘中甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 分别为事件D ，E ，F ，则甲不胜A ，乙不胜B ，丙不胜C 分别为事件D －，E －，F －，根据各盘比赛结果相互独立可得红队至少两名队员获胜的概率P ＝P (DE F －)＋P (D E －F )＋P (D －EF )＋P (DEF )＝P (D )P (E )P (F －)＋P (D )P (E －)P (F )＋P (D －)P (E )P (F )＋P (D )P (E )P (F )＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.6分(2)依题意可知ξ＝0,1,2,3，P (ξ＝0)＝P (D －E －F －)＝P (D －)P (E －)P (F －)＝(1－0.6)×(1－0.5)×(1－0.5)＝0.1， P (ξ＝1)＝P (D E －F －)＋P (D －E F －)＋P (D －E －F )＝0.6×(1－0.5)×(1－0.5)＋(1－0.6)×0.5×(1－0.5)＋(1－0.6)×(1－0.5)×0.5＝0.35，8分P (ξ＝2)＝P (DE F －)＋P (D E －F )＋P (D －EF )＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5＝0.4.10分P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 故ξ的分布列为：解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值.(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值. (3)根据分布列和期望、方差公式求解.提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.[变式训练2] 某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测.检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂，现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(1)(2)生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率.[解] (1)甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.2分(2)①随机变量X 的所有取值为190,85,70，－35，且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X ＝－35)＝14×13＝112.所以随机变量X 的分布列为6分 所以E (X )＝1902＋854＋706－3512＝125.8分②设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，取n ＝4或n ＝5，13分设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ， 则P (A )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫23413＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝112243.15分。
2018高考数学理二轮专题复习课件 专题七 概率与统计7.
2核心梳理 [知识回顾] 一、基本概念 (1)抽样方法 抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽 样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点 和适用范围．
(2)统计中的四个数据特征 ①众数：在样本数据中，出现次数最多的数据． ②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间 的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作 为中位数．
解析：由分层抽样的知识可知，样本中女运动员的人数为 28 42× ＝12. 56＋42 答案：D
2．某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法 抽取一个容量为 4 的样本，已知 3 号、29 号、42 号学生在样本 中，那么样本中还有一名学生的学号是( ) A．10 B．11 C．12 D．16
2 2 － xi －n x i＝1
n
＝－ y －^ b－ x ；( － x ，－ y )称为样本中心点． (3)独立性检验 2 n ad － bc 2 K＝ (其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容 a＋bc＋da＋cb＋d 量) ．
[专题回访] 1．一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分 层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，则样 本中女运动员的人数为( ) A．9 B．10 C．11 D．12
6．下表是一位母亲给儿子作的成长记录： 4 5 6 7 8 9 年龄/周岁 3 身高/cm 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.1 根据以上样本数据，她建立的身高 y(cm)与年龄 x(周岁)的线 性回归方程为^ y＝7.19x＋73.96，给出下列结论： ①y 与 x 具有正的线性相关关系； ②回归直线过样本点的中心(42,117.1)； ③儿子 10 岁时的身高是 145.86 cm； ④儿子年龄增加 1 周岁，身高约增加 7.19 cm. 其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
2018大二轮高考总复习理数课件：解答题3 概率、随机变量及其分布列
用·T19 相关系数、均值与标准差的应用·T19 古典概型、频数、频率的概念及综合应用·T18 互斥事件、条件概率，随机变量的分布列·T18 随机变量的分布列及数学期望·T19
题为必考内容，经 常 出 现 在 18 题 或 19 题位置，难度中 等． 2．统计问题多考查 用最小二乘法求线
两个变量间的线性相关性、线性回归方程的求 性回归方程、样本
由上述计算结果知，所求回归直线方程为 ^y－257＝b^(x－2 012)＋a^＝6.5(x－2 012)＋3.2， 即^y＝6.5×(x－2 012)＋260.2． (2)利用(1)中所求回归直线方程，可预测 2018 年的粮食需求量为 6.5×(2 018－2 012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
频率与概率的关系、离散型随机变量的分布 立性检验相交汇来考
列与期望·T19
查.
02 高考考点多维解读
基本考点——相互独立事件与独立重复试验的概率、统计、统计案例
考向01：相互独立事件、独立重复试验的概率
1．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 2．独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次的概率为 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n．
3．互斥事件的概率加法公式 (1)如果事件A与B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (2)一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1) ＋P(A2)＋…＋P(An)． 4．对立事件及其概率公式 若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．
解：(1)设 A 药观测数据的平均数为 x，B 药观测数据的平均数为－y ，由观测结果 可得
2018年高考数学二轮复习 专题7 概率与统计 第3讲 概率、随机变量及其分布列课后强化训练 理
专题七 第三讲 概率、随机变量及其分布列A 组1．(2016·全国卷Ⅲ，5)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ( C )A ．815 B ．18 C ．115D ．130[解析] 根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是115．2．(2017·临沂模拟)在区间[上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率为 ( D )A ．1 D ．34＋π4)，由1≤2sin(x ＋π4)≤2，得22≤sin(x ＋≤π2，所以所求概率为π2π2＋π6＝34． 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( C )A ．14 B ．12 C ．34D ．78[解析] 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34．4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( A )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45[解析] 本题考查条件概率的求法．设A ＝“某一天的空气质量为优良”，B ＝“随后一天的空气质量为优良”，则＝P A ∩B ＝0.6＝，故选A ．P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝__25____.＝2)＝45－p ，从而由E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×(45－p (1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25．届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N (90，0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么分的有__78__人.[解析] 因为成绩ξ～N (90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．7．(2017·北京卷，17)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率； (2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)[解析] (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的人小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3．(2)由题图可知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C ． 所以ξ的所有可能取值为0,1,2． P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16．所以ξ的分布列为故ξ的期望E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1．(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差． 8．(2016·山东卷，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．[解析] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －． 由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －)＝34×23×34×23＋2×(14×23×34×23＋34×13×34×23) ＝23．所以“星队”至少猜对2(Ⅱ)由题意，随机变量X ． 由事件的独立性与互斥性，得×14×13)＝10144＝572， ×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，×23＝12144＝112，×14×23)＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14．可得随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236．B 组1．为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X 表示体重超过60kg 的学生人数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设报考飞行员的人数为n ，前3个小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝2p 1，p 3＝3p 1，p 1＋p 2＋p 3＋＋＝1.解得p 1＝0.125，p 2＝0.25，p 3＝0.375． 又因为p 2＝0.25＝12n，故n ＝48．(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60kg 的概率为P ＝p 3＋(0.037＋0.013)×5＝58，由题意知X 服从二项分布B (3，58)，P (x ＝k )＝C k 3(58)k (38)3－k(k ＝0,1,2,3)， 所以随机变量X 的分布列为E (X )＝0×27512＋1×135512＋2×225512＋3×125512＝158． 2．(2017·天津卷，16)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以随机变量X＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312．Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件＝1，Z ＝0)0) 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．[解析] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ．P (A )＝A 12A 13A 25＝310．(2)X 的可能取值为200,300,400．P (X ＝200)＝A 22A 25＝110．P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310．P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610．故X 的分布列为EX ＝200×110＋300×310＋400×610＝350．4．(2017·沈阳质检)某中学根据2005～2016年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m >n .(1)求m 与n 的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社团的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社团的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社团的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望．[解析] (1)依题， ⎩⎪⎨⎪⎧13mn ＝124，1－－m－13－n ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝14.(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0,1,2,3,4,5,6．而P (X ＝0)＝12×23×34＝14；P (X ＝1)＝12×23×34＝14； P (X ＝2)＝12×13×34＝18；P (X ＝3)＝12×23×14＋12×13×34＝524； P (X ＝4)＝12×23×14＝112； P (X ＝5)＝12×13×14＝124； P (X ＝6)＝12×13×14＝124． X 的分布列为：于是，E (X )＝0×14＋1×14＋2×18＋3×＋5×124＋6×124＝2312．。
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专题七 第三讲 概率、随机变量及其分布列A 组1．(2016·全国卷Ⅲ，5)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ( C )A ．815 B ．18 C ．115D ．130[解析] 根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是115．2．(2017·临沂模拟)在区间[－π6，π2]上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率为 ( D )A ．12B ．13C ．23D ．34[解析] sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由1≤2sin(x ＋π4)≤2，得22≤sin(x ＋π4)≤1，结合x ∈[－π6，π2]得0≤x ≤π2，所以所求概率为π2π2＋π6＝34． 3．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩洒．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( C )A ．14 B ．12 C ．34D ．78[解析] 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34．4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( A )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45[解析] 本题考查条件概率的求法．设A ＝“某一天的空气质量为优良”，B ＝“随后一天的空气质量为优良”，则P (B |A )＝P A ∩B P A ＝0.60.75＝0.8，故选A ．5．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝__25____.[解析] 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝2)＝45－p ，从而由E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×(45－p )＝1，得p ＝35.故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25．6．(2017·贵州七校联考)在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N (90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P (60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有__78__人.[解析] 因为成绩ξ～N (90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．7．(2017·北京卷，17)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率； (2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)[解析] (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的人小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3．(2)由题图可知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C ． 所以ξ的所有可能取值为0,1,2． P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16．所以ξ的分布列为故ξ的期望E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1．(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差． 8．(2016·山东卷，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．[解析] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －． 由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －)＝34×23×34×23＋2×(14×23×34×23＋34×13×34×23) ＝23． 所以“星队”至少猜对2个成语的概率为23．(Ⅱ)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6． 由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14．可得随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236．B 组1．为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X 表示体重超过60kg 的学生人数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设报考飞行员的人数为n ，前3个小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝2p 1，p 3＝3p 1，p 1＋p 2＋p 3＋＋＝1.解得p 1＝0.125，p 2＝0.25，p 3＝0.375． 又因为p 2＝0.25＝12n，故n ＝48．(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60kg 的概率为P ＝p 3＋(0.037＋0.013)×5＝58，由题意知X 服从二项分布B (3，58)，P (x ＝k )＝C k 3(58)k (38)3－k(k ＝0,1,2,3)， 所以随机变量X 的分布列为E (X )＝0×27512＋1×135512＋2×225512＋3×125512＝158． 2．(2017·天津卷，16)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124， P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312．(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148． 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．[解析] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ．P (A )＝A 12A 13A 25＝310．(2)X 的可能取值为200,300,400．P (X ＝200)＝A 22A 25＝110．P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310．P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610．故X 的分布列为EX ＝200×110＋300×310＋400×610＝350．4．(2017·沈阳质检)某中学根据2005～2016年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m >n .(1)求m 与n 的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社团的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社团的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社团的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望．[解析] (1)依题， ⎩⎪⎨⎪⎧13mn ＝124，1－－m－13－n ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝14.(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0,1,2,3,4,5,6．而P (X ＝0)＝12×23×34＝14；P (X ＝1)＝12×23×34＝14； P (X ＝2)＝12×13×34＝18；P (X ＝3)＝12×23×14＋12×13×34＝524； P (X ＝4)＝12×23×14＝112； P (X ＝5)＝12×13×14＝124； P (X ＝6)＝12×13×14＝124． X 的分布列为：于是，E (X )＝0×14＋1×14＋2×18＋3×524＋4×112＋5×124＋6×124＝2312．。