高三数学3月联考试题 理1
广西壮族自治区南宁市二中2024学年高三3月教学质量监测联考数学试题试卷
广西壮族自治区南宁市二中2024学年高三3月教学质量监测联考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭2．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.83．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()274．函数()2xx e f x x=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(2,3]C ．(2,5]D ．(3,5]6．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．1,e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2e e ⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭7．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．[]1,49．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π12．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147B ．294C ．882D ．1764二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学(理)试题及参考答案
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学（理）试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若集合{}1|4,|1A x x B x x⎧⎫=<=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．(],1-∞B ．(]0,1 C.(),0(1,4)-∞ D ．()(],00,1-∞ 2.若复数z 是方程0222=+-x x 的一个根，则i z ⋅的虚部为（）A ．2B ．i2C ．iD ．13.袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0,1,2,3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023231021122203012231130133231031123122103233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（）A ．518B ．29C ．16D ．194.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23141540a a a a +++=，则16S =（）A ．150B ．160C ．170D ．与1a 和公差有关5.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的蒙日圆为C ：2223b y x =+，则椭圆Γ的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D 6.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤7.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥平面ABC ，E 为AD 的中点，且异面直线BE 与AC 所成角为60°，则点A 到平面BCE 的距离为（）A.3218 B.778C.7214 D.3748.若正项递增等比数列{}n a 满足：()R a a a a ∈=-+-+λλ,0214332,则54a a λ+的最小值为（）A.2B.2C.22 D.49.已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PB P A ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．010.长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是21，夏季来的概率是21，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择3处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（）A ．209B ．21C ．2011D ．5311.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线右支上一点，设12AF F α∠=，21AF F β∠=，若2tan 22tanαβ=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =±C ．3y x=±D ．4y x=±12.定义在R 上的函数)(x f 与)(x g 的导函数分别为)(x f '和)(x g '，满足0)2()(=-'-'x g x f ，()()2f x g x --=-，且)2(-x g 为奇函数，则=∑=20231)(k k f （）A ．4046-B ．4045-C ．4044- D.4043-二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.设向量b a,满足,1,1,3,===b a b a π则=+b a 3_______．14.设6cos()(π+=x x f ，若)()(21x f x f =且021<x x ，则12x x -取值范围为________.15.已知函数,)(x x e e x f --=所有满足()01)(=-+n f m f 的点()n m ,中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）16.若)(1,12*N n n n n n a ∈⎪⎭⎫⎝⎛+++∈时，关于x 的不等式0log >-xaa x 恒成立，则正整数n 的取值集合为__________.（参考数据： 2.718,ln 20.693,ln3 1.099e ≈≈≈）三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)17.在ABC ∆中，已知)C B A C B A sin sin sin 2sin sin sin 3222=-+．(1)求C ∠；(2)若D 是AB 边上的一点，且2,2==DA BD ，求ABC ∆面积的最大值．18.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB DC AD 21==，现将ADC ∆沿AC 翻折成直二面角P AC B --.（Ⅰ）证明：CB PA ⊥；（Ⅱ）若,4=AB 二面角B PA C --余弦值为721，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值.19.中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用。
2022年湖北省八市高三3月联考数学试题
．
１６．２０２２年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞
台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲
线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在 １９０４年研究的一种分形曲线．如图是“雪
花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中
2. 渐近线方程可化为 y 1 x b x ，故 a 2b ， c a2 b2 5b ， 2a
故离心率为 c 5 ，故选 C. a2
3. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的袋子内任取 2 个球，可能的结果为：1 红 1 黑、2 红、2 黑，
对于 A：“至少有 1 个红球”包括 1 红 1 黑、2 红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；
4.
因为
a
1，b
2，a
a
b
a
2
a
b
0
，即
a
2
a
b
cos
a,b
0，
求得 cos
a,b
1 2
，所以向量
a
与
b
的夹角为
2 3
.故选 C.
5.
函数 y sin 2x 的图象沿 x 轴向右平移 π 个单位后，得 8
y
sin
2(x
8
)
sin(2x
4
)
，依题意可得
的两个虚数根分别为
Ａ．１＋２槡３ｉ
Ｂ．１－２槡３ｉ
Ｃ．－１２＋槡３ｉ
Ｄ．－１２－槡３ｉ
１１．我们把经过同 一 顶 点 的 三 条 棱 两 两 垂 直 的 三 棱 锥，称 作 直 角 三 棱 锥．在 直 角 三 棱 锥
2024届宁波十校高三3月联考数学试题答案
宁波“十校”2024届高三3月联考数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．725 13．16 14 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本题共13分）解：（1）由题意：()()sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin A B A B C B A C A C -=⋅-，------------2分整理得()()cos cos sin sin cos cos sin 0A B C B C A C B ⋅-=⋅-=， 故cos 0A =或()sin 0C B -=，当cos 0A =时，π2A =，ABC 为直角三角形，----------------------------------------------3分 当()sin 0CB -=时，B C =，ABC 为等腰三角形．---------------------------------------5分 （2）由正弦定理sin sin a bA B =得sin sin 1a B b A ==，-------------------------------------------7分 ∴1,sin a B =∴222112sin sin 22B A a b c ++=+-----------------------------------------------9分又,πB C A B C =++=，22sin sin 1cos2sin21)4B A B B Bπ∴+=-+=+-，---------------------------11分因为ABC 为锐角三角形，所以π02π0π22B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ42B <<，∴当242B ππ-=时，即38B π=1.1.----------------------------------------------------------------------------13分16．（本题共15分）解： （1）证明：由四边形ABCD 是直角梯形，BC=2AD=2，AB ⊥BC ，可得DC =2，∠BCD =3π，从而△BCD 是等边三角形，BD=2，BD 平分∠ADC. ∵E 为CD 的中点，∴DE=AD=1，∴BD ⊥AE ，-----------------------------------3分 又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD=B ，∴AE ⊥平面PBD.又∵AE ⊂平面ABCD ∴平面PBD ⊥平面ABCD.----------------------------------------------6分 （2）在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ，连接OC ，又∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD=BD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，则∠PCO=3π∴易得OP =3.-----------------------------------------------------------------------------------------8分又OC PB=PD ，PO ⊥BD ，所以O 为BD 的中点，OC ⊥BD.以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，C （）D (-1,0,0)，P (0,0,3)----------------------------------------------------------------------------------10分设PN PD PC λμ=+，易得(,3(1))N λλμ--+-由00BN PC BN PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得56,1313λμ==，满足题意，所以N 点到平面ABCD 的距离为63(1)13λμ-+-=--------------------------------------15分 17．（本题共15分）解：（1）()1l 1e n x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()1222e 1()(1)11xxx f x k e k x xx x x ⎛⎫'=-+=⋅- -⎪-⎝⎭------1分 当0k >时，1()0f x '=的两根为11x =，2ln x k =.①若e k =，()1f x 在(0,)+∞上单调递增；-------------------------------------------------2分 ②若e k >，则21ln 1x k x =>=，则()1f x 在(0,1)上单调递增，在(1ln )k ，上单调递减，在(ln ,)k +∞上单调递增；---------------------------------------------------------4分③若0e k <<，则21ln 1x k x =<=，则()1f x 在(0,ln )k 上单调递增，在(ln ,1)k 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.综上，当e k =时，无单调减区间，单调增区间为(0,)+∞； 当e k >时，单调减区间为(1ln )k ，，单调增区间为(0,1)和(ln ,)k +∞；当0e k <<时，单调减区间为(ln ,1)k ，单调增区间为(0,ln )k 和(1,)+∞.-------------6分 （2）根据题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()()232264e 133e 3e x x xf x k x x x k x x x x x ⎛⎫'=--+⋅-⋅- -=⎭⋅⎪⎝， 由函数()f x 有三个极值点123,,x x x 可知()()2403e x x f x x x k '-=⋅=-在()0,∞+上至少有三个实数根；显然()30f '=，则需方程24e 0x kx x -=， 也即2e 0x kx -=有两个不等于3的不相等的实数根；--------------------------------------8分由2e 0x kx -=可得2e x k x=，()0,x ∈+∞，令()()2e ,0,xg x x x =∈+∞，则()()()3e 2,0,x x g x x x -'=∈+∞，-----------------------------10分显然当()0,2x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,2上单调递减； 当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()2,+∞上单调递增；所以()()2e 24g x g ≥=，----------------------------------------------------------------------------12分画出函数()()2e ,0,xg x x x =∈+∞与函数y k =在同一坐标系下的图象，由图可得2e 4k >且3e 9k ≠时，2e xk x=在()0,∞+上有两个不等于3的相异的实数根，经检验可知当233e e e ,,499k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，导函数()()2403e x x f x x x k '-=⋅=-在123,,x x x 左右符号不同，即123,,x x x 均是()0f x '=的变号零点，满足题意；因此实数k 的取值范围是233e e e ,,499k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------------------15分（注：未去掉3e 9，扣1分）18．（本题共17分）解：（1）依题意，21~5,X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则521(0)132P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，4511522321(1)C P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 322511105(2)C 223216P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，52331(3)C 152216P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4451522321(4)C P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，5211(5)32P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X----------------------------------------------5分故2(5)215E X =⨯=．-----------------------------------------------------------------7分（2）事件“Y n =”表示前n 1-次试验只成功了1次，且第n 次试验成功，故122112112()C ()()33393n n n n P Y n ----==⨯⨯⨯=⨯，-------------------------------------------9分 当n 为偶数时，所以0221()(2)(4)()[1()3()(1)()]2223339n P AB P P P n n -=+++=⋅+⋅+-⋅………+，令022222331()3()(1)()3n n S n -=⋅+⋅+-⋅…+则24341()3()(922(23))31n n S n =⋅+⋅+-⋅…+， 两式相减得：242512[()()2222333()](1)()93n n n S n -=+++--⋅…+ -----------------------13分则11721179()()253255n n S n =-⋅+．即131312()()()252553n P AB n =-+⋅.当n 为奇数时，同理可得023111318()(2)(4)(1)[1()3()2222333(2)()]()()9255325n n P AB P P P n n n --=+++-=⋅+⋅+-⋅=-+⋅………+综上，11318()(),25525()13113()(),255522233n n n n P AB n n -⎧-+⋅⎪⎪=⎨⎪-+⋅⎪⎩为奇数为偶数--------------------------------------------17分（注：只考虑n 是奇数或偶数，且答案正确扣2分）19．（本题共17分）解：（1）由双曲线方程222214x y a a -=-，则2240a a ⎧>⎪⎨->⎪⎩，得到(0,2)a ∈， 联立抛物线与双曲线方程222221444x y a a y x ⎧⎪⎨⎪=--=⎩-，得到2224(4)40a x a x a --+=，-----2分记222422()(4)4[(2)][(2)]f x a x a x a a x a a x a =--+=+---，可知()0f x =有两个根22a a +和22a a-，其中212a a <+，则212a a >-，解得(1,2)a ∈.-----------------------------6分 又直线AF 分别交12,C C 于,C D （不同于,A B 点），即,,A B F 三点不共线，当2x =时，代入抛物线方程得到(2,2)A ，将(2,2)A 代入双曲线方程得到224414a a-=-，解得26a =-，故1a =.综上，1)1,2)a ∈⋃------------------------------------------------------------------7分（2）由()()1122,,,A x y C x y 是直线AF 与抛物线21:44C y x =-的两个交点，显然直线AF 不垂直y 轴，点()2,0F ，故设直线AF 的方程为2x my =+，由2244x my y x =+⎧⎨=-⎩消去x 并整理得2440y my --=，所以124y y =-为定值. 设()11,B x y -，直线BC 的斜率21212221212144444y y y y y y x x y y ++==++---，方程为()11214y y x x y y +=--，令0y =，得点P 的横坐标()2121112440444P y y y y y y x -++=+==，-------------10分设()33,D x y ，由2222214x my x y a a =+⎧⎪⎨-=⎪-⎩消去x 得22222222(444(40)())m m a a y m a y a --+-+-=， 2222222222222222240Δ16(4)4(4)(4)4(1)(4)0m m a a m a a m m a a a m a ⎧--≠⎨=-----=+->⎩， 222222222221313,44(4())44y m a a m m a a m m a a y y y ----+==---，而直线BD 的方程为113131()y y y y x x x x ++=--，依题意0m ≠，令0y =，得点Q 的横坐标13113111313133113113(()())Q y x x y x x x y y y x y x x x y y y y y y --+++=+==+++ 2222222222213113132131322223)2()(2)(4842)22()444(4()4m a m a y y y y my y y y m m m a a m m a a m a y y y y a m m m a ---++++----===-+-++-+-22(4)4122a a --==-，----------------------------------------------------------------------13分因此21||22QF a =-，21||2PQ a =.联立抛物线与双曲线方程222224414x x y a a y ⎧⎪⎨⎪---=⎩=，得到2224(4)40a x a x a --+=，解得点A的坐标2(2a a -，由124y y =-，214y y -=. 根据123S S =，则121||||231||||2A CQF y S S PQ y ⋅==⋅，代入得到21221(2)||231||2a y a y -⋅=⋅，即221212(4)3||a y a y y -⋅=⋅，化简得22(2)(1)(4)4122a a a a a+--⋅=-解得34a =，故a 分。
2024年3月全国乙卷高三数学(理)模拟联考试题附答案解析
2024年3月全国乙卷高三数学（理）模拟联考试题（考试时间120分钟满分150分）2024.03一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}3,1,2,3,|1A B x a x a =--=≤≤+，若A B ⋂的子集有4个，则a 的值为（）A ．3-B ．1-C ．2D ．32．已知复数99100i i i z =+，则i 1z-在复平面内对应点的坐标为（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭3．已知点A ，B ，C ，D 为平面内不同的四点，若23BD DA DC =- ，且()2,1AC =- ，则AB =（）A ．()4,2-B ．()4,2-C ．()6,3-D ．()6,3-4．近几年随着AI 技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法正确的是（）A ．2014～2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B ．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C ．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D ．从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率13185．如图，网格纸中小正方形的边长为10cm ，粗线画出的是某体育比赛领奖台三视图，则该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为（）A ．216400cmB ．218400cmC ．220800cmD ．223200cm 6．已知实数,x y 满足约束条件202802100x y x y x y ++≤⎧⎪++≥⎨⎪--≥⎩，则3x y +的取值范围是（）A ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,6C ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．9,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．ABC 中2π16,,237A AB AC BC =+==，则ABC 的面积为（）A ．1549B 153C ．2049D ．303498．若存在过原点的直线与函数()()22e xf x x ax =-的图象切于y 轴右侧，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为22的球，这此球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）A ．42π3B ．22π3C ．2π3D ．26π10．已知点O 为坐标原点，点A 为直线y kx =（0k ≠）与椭圆C ：2221xy a+=（1a >）的一个交点，点B 在C 上，OA ⊥OB ，若221143OAOB+=，则C 的长轴长为（）A 3B ．3C ．23D ．611．已知111011a =+，6ln 5b =，()6log 71ln 5c =-，则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b>>12．已知第一象限内的点P 在双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上，点P 关于原点的对称点为Q ，1F ，2F ，是C 的左、右焦点，点M 是12PF F 的内心（内切圆圆心），M 在x 轴上的射影为M '，记直线,PM QM ''的斜率分别为1k ，2k ，且11229F M k k F M ''⋅⋅=，则C 的离心率为（）A ．2B ．8C ．22D ．10二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．()612112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为.14．函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则=a .15．平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A ，B ，C 都在圆E 上，直线BC 方程为20x y +-=，且210BC =△ABC 的垂心()2,2G 在△ABC 内，点E 在线段AG 上，则圆E 的标准方程.16．已知()sin cos sin2f x x x x =+，给出下列命题：①()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；③()f x 在区间()0,50上有33个零点；④若方程()34f x =在区间()0,(0)t t >有4个不同的解()1,2,3,4i x i =，其中()11,2,3i i x x i +<=，则1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确命题的序号为.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差350,1235S S d >+=，且12342,3a a a a +成等比数列.(1)求n a ；(2)若2πsin2n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求100T .18．如图，在三棱锥A BCD -中，9AB =，其余各棱的长均为6，点E 在棱AC 上，2AE EC =，过点E 的平面与直线CD 垂直，且与BC ，CD 分别交于点F ，G ．(1)确定F ，G 的位置，并证明你的结论；(2)求直线DA 与平面DEF 所成角的正弦值．19．某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y （cm ）与身高x （cm ）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x 159165170176180y6771737678(1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；(3)从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X ，求()E X ．参考数据：5162194i i i x y ==∑()5218.6i i y y=-=∑28216.8≈参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑ y abx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ni ii n ii x x yybx x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$．20．已知倾斜角为α（π04α<<）的直线l 与抛物线C ：22y px =（0p >）只有1个公共点A ，C 的焦点为F ，直线AF 的倾斜角为β．(1)求证：2βα=；(2)若1p =，直线l 与直线12x =-交于点P ，直线AF 与C 的另一个交点为B ，求证：PA PB ⊥．21．已知函数()323f x x x a =-++（0x >），()2ln 2g x x x ax x =+-．(1)若()f x ，()g x 的导数分别为()'f x ，()'g x ，且(){}(){}00x f x x g x <⊆'<'，求a 的取值范围；(2)用{}min ,a b 表示a ，b 中的最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，若1a >，判断()h x 的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()24cos 2sin 1ρρθθ=+-.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与C 交于点,A B ，求OAB 的周长.选修4-5：不等式选讲23．已知(),,0,a b c ∈+∞.(1)若2221a bc ab c abc ++=，求()()a b b c ++的最小值；(2)若1a b c ++=，证明：()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++≥++++++.1．C 【分析】根据题意，得到A B ⋂中有2个元素，且这两个元素为2和3，即可求解.【详解】由集合{}{}3,1,2,3,|1A B x a x a =--=≤≤+，因为11a a +-=，且A B ⋂的子集有4个，可得A B ⋂中有2个元素，则这两个元素为2和3，所以2a =.故选：C.2．A 【分析】根据复数的运算法则，化简得到11i 2z =--，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得99100i ii i 1iz ==+-，所以2i i 11i (1i)2i 2z ===----，所以i 1z -在复平面内对应的点的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.3．D 【分析】由已知整理可得3AB AC =，然后由坐标运算可得.【详解】由23BD DA DC =- 得33BD DA DA DC +=- ，即3BA CA = ，即3AB AC =，又()2,1AC =- ，所以()36,3AB AC ==- .故选：D ．4．ACD 【分析】根据已知条件及图表，利用中位数和极差的定义，结合古典概型的概率公式及对立事件的概率公式即可求解.【详解】对A ，由每年增加数均为正数，可得A 正确；对B ，2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B 错误；对C ，2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为94833915-=，C 正确；对D ，当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数均不大于110，所以所求概率为2529C 131C 18-=，D 正确.故选：ACD ．5．B 【分析】根据三视图可得组合体，根据面积公式可求所有面的面积之和.【详解】解法一：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为3个长方体的表面积之和减去3个边长为40cm 的正方形面积，减去2个底边长为40cm 高为40cm 的矩形面积，减去2个底边长为40cm 高为30cm 的矩形面积，即()()222640160504030340240402403018400cm ⨯+⨯++-⨯-⨯⨯-⨯⨯=，解法二：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，前后两个面的面积之和为()()22404050309600cm ⨯⨯++=，上面3个面的面积之和为()223404800cm ⨯=，余下侧面的面积之和为()2240504000cm ⨯⨯=，所以该组合体除去下底面的所有面的面积之和为()296004800400018400cm ++=，故选：B.6．C 【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形，得出目标函数的最优解，求得目标函数的最值，即可求解.【详解】如图所示，画出不等式组202802100x y x y x y ++≤⎧⎪++≥⎨⎪--≥⎩表示的可行域是以()()92,4,1,,4,62A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域，设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线3y x =-，把该直线平移到点C 处z 取得最大值，max 3466z =⨯-=，平移到点B 处z 取得最小值，min 933122z =⨯-=-，所以3x y +的取值范围是3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C.7．B 【分析】根据题意，利用余弦定理求得6049AB AC ⋅=，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】因为2π16,,237A AB AC BC =+==，由余弦定理得22222π42cos 3AB AC AB AC AB AC AB AC =+-⋅=++⋅2216()7AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，所以6049AB AC ⋅=，所以ABC 的面积为1sin 2AB AC A ⋅=15349.故选：B.8．D 【分析】先求得()()2222e xf x x a x a '⎡⎤=+--⎣⎦，设切点为()(),(0)t f t t >，根据()()f t f t t'=，列出方程，得到()2120t a t +-=，结合方程的根210t a =->，即可求解.【详解】由函数()()22e x f x x ax =-，可得()()2222e xf x x a x a '⎡⎤=+--⎣⎦，设切点为()(),(0)t f t t >，可得()()f t f t t'=，即()22222t a t a t a +--=-，整理得()2120t a t +-=，解得21t a =-或0=t （舍去），因为存在过原点的直线与函数()()22e xf x x ax =-的图象切于y 轴右侧，所以210t a =->，解得12a >，即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D.9．D 【分析】首先确定条件中的球落在正方体的部分，再求体积，即可求解.【详解】以8个顶点为球心的球各有18在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有12在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为22的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为3424π322π86⨯⨯⎝⎭=.故选：D 10．C 【分析】将直线OA 与椭圆C 联立，求出1x ，利用两直线垂直的条件，进而求出2x ，再利用两点的距离公式及椭圆长轴长定义即可求解.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由2221y kxx y a=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得221221a x a k =+，由OA ⊥OB 可得2222222221a a k x a a k k ==++，所以()22222212211a a k OA kx a k +=+=+，22222222211a a k OB x k a k +⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭，所以()()()22222221111111a k a a k OAOB+++==++，所以21413a +=，23a =，C 的长轴长为223a =故选：C ．11．A 【分析】根据已知条件及构造函数()()ln 1f x x x =+-（0x >），利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的单调性，再利用作差法、对数的运算及基本不等式即可求解.【详解】设()()ln 1f x x x =+-（0x >），则()1101f x x '=-<+，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()()00f x f <=，即()ln 1x x >+，所以1111126ln ln ln 101110115+>+=，()56ln log 61ln 55=-，()()2222256lg 5lg 711lg 6lg 36lg 35lg 6lg 5lg 7lg 6lg 7222log 6log 70lg 5lg 6lg 5lg 6lg 5lg 6lg 5lg 6+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=-=>=>，所以a b c >>，故选：A ．【点睛】关键点睛：利用构造法和作差法，再利用导数法求函数的单调性，结合函数单调性及基本不等式即可.12．A 【分析】根据切线性质和双曲线定义求得(),0M a '，然后由斜率公式和点P 在双曲线上整理化简，结合已知求解可得.【详解】设圆M 与1PF ，2PF 分别切于点A ，B ，则11F A F M ='，22,PA PB F B F M =='，且111122F A F M F P AP F F M F +=-'+-'1212F P PB F B F F =--+121222F P F P F F a c =-+=+，所以1F M a c '=+，点(),0M a '，设()11,P x y ，()11,Q x y --，则2211221x y a b-=，所以2212221y b x a a =-，222111122221111y y y b k k e x a x a x a a -=⋅===-----，1211F M c a e F M c a e ++==-'-'，所以()2112219F M k k e F M =+''⋅=，2e =.故选：A ．【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线的离心率求解问题.解决圆锥曲线的离心率问题，一般离不开圆锥曲线的定义，如果有角的条件，则常常要用到正余弦定理，如果有三角形的内切圆条件，一般与切线性质或三角形的等面积转化有关，遇到线段的比值时，经常需要利用相似形转化.13．1-【分析】利用二项式定理的展开式从而可求解.【详解】()666111211211222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为()6161C 12kkk k T x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以可得x 的系数为()()6516121C 112⨯-+⨯⨯-=-.故答案为：1-.14．38【分析】根据题意，利用()()0f x f x --=列出方程，结合对数的运算，即可求解.【详解】因为()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，可得()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.故答案为：38.15．()()223318x y -+-=【分析】首先根据塞尔瓦定理以及圆的几何性质，求解r 和EG ，并求直线EG 的方程，求解点E 的坐标，即可求解圆的方程.【详解】由△ABC 的垂心()2,2G 到直线BC 距离2d =，设圆E 半径为r ，由塞尔瓦定理可得2r EG +=(2EG +，由圆的几何性质可得()222210EG r +=，联立解得2EG =，32r =，因为直线BC 方程为20x y +-=，EG BC ⊥,且()2,2G ，所以直线EG 方程为y x =，设(),E a a ，则E 到直线BC 距离22222a d -='=1a =-（舍去）或3a =，所以圆E 的标准方程为()()223318x y -+-=．故答案为：()()223318x y -+-=16．①②④【分析】对于①，计算得到()()πf x f x -=-，得到①正确；对于②，求出()f x 是以2π为周期的周期函数，分[]0,πx ∈和(]π,2πx ∈两种情况，求出函数的值域；对于③，()()cos sin 2sin f x x x x =+，故sin 0x =或cos 0x =，求出零点个数；对于④，结合()f x 是以2π为周期，得到()34f x =的根的分布特点，从而得到12345πx x x x +++=，并得到t 的取值范围，得到答案.【详解】对于①，()()()()πsin πcos πsin 2π2sin cos sin 2f x x x x x x x -=--+-=--，故()()πf x f x -=-，可得①正确；对于②，()()()()()2πsin 2πcos 2πsin 24πsin cos sin2f x x x x x x x f x +=++++=+=，故()f x 是以2π为周期的周期函数，当[]0,πx ∈时，()3sin cos sin2sin cos sin 2sin 22f x x x x x x x x =+=+=，[]20,2πx ∈，则()333sin 2,222f x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，当(]π,2πx ∈时，()1sin cos sin2sin cos sin 2sin 22f x x x x x x x x =+=-+=，(]22π,4πx ∈，则()111sin 2,222f x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，综上，()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；对于③，()()sin cos 2sin cos cos sin 2sin f x x x x x x x x =+=+，令()0f x =得sin 0x =或cos 0x =，()131π32ππ,50,50222x k k =∈<>Z ，所以()f x 在()0,50上有31个零点，③错误；对于④，()f x 是以2π为周期的周期函数，当(]0,πx ∈时()3sin22f x x =，()34f x =在(]0,π上有2个实根12,x x ，12π2x x +=且12π5π,1212x x ==，当(]π,2πx ∈时()()13sin2,24f x x f x ==在(]π,2π上没有实根，()34f x =在(]2π,3π上有2个实根34,x x ，且349π2x x +=，34π25π5π29π2π,2π12121212x x =+==+=，()34f x =在区间()0,(0)t t >有4个不同的解()1,2,3,4i x i =，所以123429π29π5π49π,5π1212312t x x x x <≤+=+++=，所以1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦，④正确，故答案为：①②④.【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.17．(1)21n a n =+；(2)20200-【分析】（1）利用题目条件得到方程组，求出首项和公差，排除不合要求的解，得到通项公式；（2）当n 为偶数时，πsin02n =，当41,N n k k =+∈时，πsin 12n =，当43,N n k k =+∈，πsin 12n =-，从而得到()100135797992T d a a a a a a =-++++++ ，结合等差数列求和公式求出答案.【详解】（1）由题意得315133,510S a d S a d =+=+，由351235S S +=得11212a d a d +++=，所以12312a d +=，因为12342,3a a a a +成等比数列，所以()142349a a a a =+，即()()11143923a a d a d +=+，把12312a d +=代入上式得()11412912a a -=⨯，解得19a =或13a =，当19a =时，1122203a d -==-<，不符合题意，当13a =时，112223a d -==，所以()1121n a a n d n =+-=+；（2）因为()22ππsinsin 2221n n n n b a n +==，当n 为偶数时，πsin02n =，当41,N n k k =+∈时，πsin12n =，当43,N n k k =+∈，πsin 12n =-，所以22222210013579799T a a a a a a =-+-++- ()()()()()()1313353597999799a a a a a a a a a a a a =-++-+++-+ ()135797992d a a a a a a =-++++++ 3199450202002+=-⨯⨯=-.18．(1)答案见解析，证明见解析2309【分析】（1）首先根据几何体的特征作辅助线，取CD 中点O ，连接AO ，BO ，并证明CD ⊥平面AOB ，再结合垂直和平行的转化关系，即可确定F ，G 的位置；（2）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，并求平面DEF 的法向量，根据线面角的向量法，即可求解.【详解】（1）取CD 中点O ，连接AO ，BO ，由已知可得AC AD BC BD ===，所以AO CD ⊥，BO CD ⊥，因为AO BO O = ，,AO BO ⊂平面AOB ，所以CD ⊥平面AOB ，因为CD ⊥平面EFG ，所以平面//EFG 平面AOB ，过E 作AB 的平行线与BC 的交点即为F ，过E 作AO 的平行线与CD 的交点即为G ，因为2AE EC =，所以2BF FC =，1136CG CO CD ==，所以当2BF FC =，16CG CD =时，平面EFG 与直线CD 垂直．（2）由题意可得33OA OB ==，因为9AB =，所以120AOB ∠= ，以O 为原点，直线OB ，OC 分别为x 轴，y 轴，过点O 与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,3,0D -，33922A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，332,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)3,2,0F 所以3392DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，)3,5,0DF =，332DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则有00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得335022350x y z x y ⎧++=⎪⎨+=，取5x =，得(5,3,53n = ，设直线DA 与平面DEF 所成角为θ，则()()()22222233953353222309sin 1033395353322n DAn DAθ⎛⎫⨯-+-⨯+⨯⎪⋅⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以直线DA 与平面DEF 230910319．(1)说明见解析(2) 13.810.51y x =-+(3)275【分析】（1）利用相关系数的计算公式即可得解；（2）利用已知数据和公式得到关于的线性回归方程;（3）根据已知条件求出随机变量X 的取值，利用古典概型的概率公式计算随机变量取值相应的概率，再利用离散型随机变量的期望公式即可求解.【详解】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得51850ii x==∑，170x =，51365i i y ==∑，73y =，()522222211150610282i i x x=-=++++=∑，()5218.6ii y y =-=∑，()()55511162194170735144i ii iii i i x xy y x y x y ===--=-=-⨯⨯=∑∑∑，∴()()()()515522111440.99716.88.6iii i i i i x x y y r x xy y===--=≈⨯--∑∑∑．因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由73y =及（1）得()()()51521144240.5128247iii i i x x yybx x==--===≈-∑∑ ， 247317013.8147ay bx =-=-⨯≈- ，所以y 关于x 的回归方程为 13.810.51y x =-+．（3）X 的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，()25212C 5P X ===，()25113C 10P X ===，()25114C 10P X ===，()25215C 5P X ===，()25116C 10P X ===，()25117C 10P X ===，()25119C 10P X ===，()251111C 10P X ===,X 的分布列X234567911P1511011015110110110110所以()1111111127234567911510105101010105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设出2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得直线l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭再与抛物线方程联立并结合只有一个切点可得tan pt α=，从而可求解.（2）设200,2y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程设为12x my =+，与抛物线联立后，分别求出其两根关系01y t =-，从而可求解.【详解】（1）设2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，与22y px =联立得22220tan tan p pty y t αα-+-=，因为直线l 与抛物线C 只有1个公共点，所以2224240tan tan p pt t αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得tan p t α=，所以2,2tan tan p p A αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222tan tan tan tan 21tan 2tan 2pp p ααβααα===--，因为π04α<<，π022α<<，所以tan tan 0βα=2>，02βπ<<，所以2βα=．（2）1p =时，C 的方程为22y x =，把1p =，1tan t α=代入2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得l 的方程为2x t y t =+，把12x =-代入得122t y t =-，所以11,222t P t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由（1）知，2,2t A t ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 方程为12x my =+，与22y x =联立得2210y my --=，t ，0y 是该方程的两个根，所以01y t =-，所以01y t=-，所以21112211122PA PBt t t k k t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⋅=⋅=-+，所以PA PB ⊥.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)21,2e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)答案见解析【分析】（1）求()0f x '<时x 的范围，由题意可知，()0g x '<在x 的范围下恒成立，进行参变分离可求出a 的取值范围；（2）由题意可知()()h x g x ≤，()()h x f x ≤，当1a <-时，通过求()g x 的范围可判断，当1a >时，通过比较()f x 和()g x 的正负，可判断()h x 的零点个数.【详解】（1）因为()323f x x x a =-++（0x >），所以()236f x x x '=-+，由()0f x '<得2x >，因为()2ln 2g x x x ax x =+-，所以()ln 21g x x ax +'=-，所以问题转化为2x >时ln 210x ax +-<恒成立，即2x >时1ln 2xa x-<恒成立，设()1ln 2x F x x -=（2x >），则()2ln 22x F x x'-=，()22,e x ∈时()0F x '<，()F x 单调递减，()2e ,x ∞∈+时()'0F x >，()F x 单调递增，所以()()22min 1e 2e F x F ==-，所以212e a <-，即a 的取值范围是21,2e ∞⎛⎫--⎪⎝⎭．（2）因为()()ln 2g x x x ax =+-，设()ln 2m x x ax =+-，则()1m x a x'=+，（ⅰ）若1a <-，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0m x '>，()m x 单调递增，1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0m x '<，()m x 单调递减，所以()11ln 30m x m a a ⎛⎫⎛⎫≤-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a <-时()0m x <，()0g x <，()()0h x g x ≤<，()h x 没有零点，（ⅱ）若1a >，由（1）知()236f x x x '=-+，当()0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,2上单调递增，且()00f a =>，所以()0f x >，当()0,2x ∈时，()m x 单调递增，且1ln 10m a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()2ln 2220m a =+->，存在唯一()10,2x ∈使得()10m x =，则()10g x =，()10h x =，当[)2,x ∈+∞时，()ln 2ln 2220m x x ax a =+->+->，()0g x >，当[)2,x ∞∈+时，()0f x '<，()f x 在[)2,+∞上单调递减，且()240f a =+>，()323333464486448150f a a a a a a a a =-++<-++=-<，所以存在唯一()22,x ∞∈+使得()20f x =，()20h x =，综上，1a <-时()h x 没有零点，1a >时()h x 有2个零点．22．(1)()2cos sin 4ρθθ+=；(2)295275【分析】（1）利用消参法求出直线l 的普通方程，再利用直角坐标和极坐标的转化公式，即可求得答案；（2）解法一：利用极坐标方程求出127ρρ==,OA OB ，再利用点到直线的距离公式结合弦长公式求出AB ，即可求得答案；解法二：求出C 的直角坐标方程，继而求得弦长AB ，再利用点到直线的距离公式结合勾股定理求出OA OB =，即可求得答案.【详解】（1）将122x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）中的参数t 消去，得24x y +=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入24,x y +=得直线l 的极坐标方程为()2cos sin 4ρθθ+=.（2）解法一：设()()()()1122,0,,0A B ραρρβρ>>，由方程组()()22cos sin 44cos 2sin 1ρθθρρθθ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩，得27ρ=，所以127ρρ==7OA OB ==因为点O 到直线l 的距离22445521d ==+，所以222452952||755AB OA d ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭所以OAB 的周长为95275+；解法二：由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，得C 的直角坐标方程为224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，曲线C 是以()2,1C 为圆心，半径为2的圆，点C 到直线l ：24x y +=的距离122414521d --=+所以221295225AB d =-=，由于OC 的斜率为12，直线l ：24x y +=的斜率为-2，故直线OC 与直线l 垂直，点O 到直线l 的距离22244521d ==+所以222172OA OB d AB ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以OAB 的周长为295275+.23．(1)2(2)证明见解析【分析】（1）变形得到()1abc a b c ++=，故()()()a b b c b a b c ac ++=+++，利用基本不等式求出最值；（2）变形后只需证1119a b c ++≥，利用基本不等式“1”的妙用证明出结论.【详解】（1）因为()2221a bc ab c abc abc a b c ++=++=，所以()()()()2a b b c b a b c ac b a b c ac ++=+++≥++=，当()1b a b c ac ++==时等号成立，所以()()a b b c ++的最小值为2.（2）因为(),,0,a b c ∈+∞且1a b c ++=，要证()()()()()()34ab bccac a c b a b a c b c b a ++≥++++++，即证()()()()()()31111114ab bccab ac b a c ++≥------，即证()()()()()()4141413111ab c bc a ca b a b c -+-+-≥---，整理得9ab bc ca abc ++≥，所以即证1119a b c ++≥，而1113a b ca b ca b cba cb ac a b c a b c a b b c c a ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭329bacbaca b b c c a ≥+⋅⋅⋅=，等号在13a b c ===时成立，所以()()()()()()34cac a c b a b a c b c b a ++≥++++++成立.。
2023届江苏省南京市高三三模联考数学试题【含答案】
一、单选题1．已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D【分析】利用复数除法求出z ，即可判断.【详解】因为()()5i 1i 5i 64i32i 1i 22z +-+-====-+，所以点()3,2-位于第四象限.故选：D.2．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是A ．B ．C ．D ．D【分析】由题意可知：S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D 符合要求.故选D .本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知非零向量a ，b满足()3,1b =，π,3a b = ，若()a b a -⊥ ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（）A ．14bB ．12bC ．32b D ．bA【分析】依题意可得()0a a b -⋅= ，根据数量积的定义及运算律求出a r ，即可求出a b ⋅ ，最后根据a b b b b⋅⋅⋅计算可得.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()20a b a a a b -⋅=-⋅=，∴2102a a b -=，又()3,1b =，所以()22312b =+=，∴1a = 或0a =（舍去），所以21a b a ⋅== ，所以a 在b方向上的投影向量为14a b b b b b⋅⋅=⋅.故选：A.4．已知集合{}1,2,3,4U =，若A ，B 均为U 的非空子集且A B ⋂=∅，则满足条件的有序集合对(),A B 的个数为（）A ．16B ．31C ．50D ．81C【分析】根据集合A 中元素的个数分类讨论，利用组合以及计数原理知识直接求解.【详解】1°A 中有1个元素，4种情况，B 有321-=7种情况，此时有4728⨯=种情况；2°A 中有2个元素，24C 种情况，B 有221-=3种情况，此时有24C 318⨯=种情况；3°A 中有3个元素，34C 种情况，B 有1种情况，此时有34C 14⨯=种情况.所以满足条件的有序集合对(),A B 一共有2818450++=个.故选：C.5．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为A ．12B ．20C ．25D ．27D【分析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．【详解】设这个数字是x ，则平均数为617x+，众数是8，若8x ，则中位数为8，此时5x =-，若810x <<，则中位数为x ，此时61287xx +=+，9x =，若10x ，则中位数为10，6121087x+⨯=+，23x =，所有可能值为5-，9，23，其和为27．故选D ．本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．6．约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比2:1恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢？经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面.在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型.根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为（）A ．3B ．3C ．33D ．9C【分析】根据正方体的性质可得内接球的半径，再由正四面体的外接球半径求出正四面体棱长，再由等体积法求正四面体的内切球半径即可得解.【详解】设土星轨道所在球面半径为R ，内接正六面体边长为a ，则32a R=，∴23a R =，所以正六面体内切球半径1123a R =，设正四面体边长b ，外接球球心为O ，G为底面中心，如图，正四面体中，323=233AG b b ⨯=，226=3PG PA AG b -=，在Rt AOG △中，222()AO AG PG AO =+-，则6143b R =，223b R =，设正四面体内切球半径r ，利用等体积法可得2213136434343V b r b b =⨯⨯⋅=⨯⋅，解得62231239r R R =⋅=，∴3339R R r R ==，故选：C.7．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为33米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.设可通过的最大极限长度为l 米（不计硬管粗细）.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A ．7.2B ．27210C ．2725D ．9D【分析】先研究铁管不倾斜时，令PAM θ∠=，建立()133sin cos AB f θθθ=+=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数求出min ()8f θ=；再研究铁管倾斜后能通过的最大长度.【详解】如图，铁管不倾斜时，令PAM θ∠=，1sin PA θ=，33cos PB θ=，()133sin cos AB f θθθ=+=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()332222cos 33sin 33sin cos sin cos sin cos f θθθθθθθθθ--'=+=.令()0f θ'<，解得：π06θ<<，令()0f θ'>，解得：ππ62θ<<，所以()f θ在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以min ()86f f πθ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时通过最大长度l AB '≤，∴8l '≤，∴倾斜后能通过的最大长度228610+=，∴0.9109m =⨯=.故选：D.8．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且()02f =.若函数2ππ()e ()e (1)sin 36x x g x f x a x --⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭有且只有一个零点，则实数a 的值为（）A ．e -B ．2e-C ．eD ．2eB【分析】由函数()f x 的性质设()2e e x xf x =+，得到()()()22ππe e e e 1sin 36x x x x g x a x --⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭.由零点的定义得到()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式和正弦函数的有界性求出a 的值.【详解】由函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且()02f =，不妨设()2e e x xf x =+满足条件.此时()()()22ππeee e 1sin 36xxx x g x a x --⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭.令()0g x =，即()2ππe 1e 1sin 036x x a x -⎛⎫+++-+= ⎪⎝⎭，()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭有且仅有一个零点.因为22e e 12e 12e 1x x -++≥+=+，当且仅当2e e x x -=即1x =时取“＝”，当1x ≠时，2e e 12e 1x x -++>+，又ππ1sin 136x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()ππ11sin 136a a x a ⎛⎫--≤-+≤- ⎪⎝⎭，此时()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭要么没零点，要么不仅一个零点，所以1x =是()g x 的唯一零点，此时()()11ππ1e 1e 1sin 2e 11036g a a ⎛⎫=+++-+=++-= ⎪⎝⎭，解得2a e =-，所以2a e =-.故选：B.二、多选题9．已知m ，n ，l 为空间中三条不同的直线，α，β，γ，δ为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有（）A ．若m l ⊥，n l ⊥，则//m nB ．已知l αβ= ，m βγ= ，n γα=I ，若l m P = ，则P n ∈C ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγD ．若αβ⊥，γα⊥，δβ⊥，则γδ⊥BC【分析】对于A ，由空间中的两直线的位置关系判断，对于B ，由平面的性质分析判断，对于C ，由线面垂直的性质和面面平行的判定方法分析判断，对于D ，在正方体模型中分析判断.【详解】m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，A 错.因为l αβ= ，m βγ= ，l m P = ，所以,P P αγ∈∈，因为n γα=I ，所以P n ∈，B 对.m α⊥，m β⊥，则αβ∥，又αγ∥，则βγ∥，C 对.正方体中，设面α为面ABCD ，平面β为面11BCC B ，面γ为面11ABB A ，面δ为面11CDD C ，则αβ⊥，αγ⊥，δβ⊥，但γδ∥，D 错，故选：BC.10．记A ，B 为随机事件，下列说法正确的是（）A ．若事件A ，B 互斥，()12P A =，()13P B =，()56P A B = B ．若事件A ，B 相互独立，()12P A =，()13P B =，则()23P A B ⋃=C ．若()12P A =，()34P A B =，()38P A B =，则()13P B =D ．若()12P A =，()34P A B =，()38P A B =，则()14P B A =BC【分析】对于A ，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B ，根据相互独立事件的性质分析判断，对于CD ，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.【详解】11()()()()1()23P A B P A P B P AB P AB =+-=-+- 1()()()()3P B P AB P AB P AB =+==，∴1()2P A B = ，A 错.11112()()()()()()()()23233P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-=+-⨯= ，B 对.令()P B x =，()1P B x =-，()()()()34P AB P AB P A B P B x===，∴()34P AB x =，()()()()318P AB P AB P A B x P B ===-，∴()()318P AB x =-，331()()()(1)1482P A P AB P AB x x =+=+-=-，∴13x =，C 对.()()()()()()1311343162P B P AB P AB P B A P A P A -⨯-====，D 错，故选：BC.11．已知双曲线2214y x -=，直线l ：()2y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()0,0A x ，()00,B y 两点.当点M 变化时，点()00,P x y 之变化.则下列结论中正确的是（）A ．224k m =+B ．002y kx =C ．P 点坐标可以是()7,6D ．220011x y -有最大值125ACD【分析】联立双曲线和直线方程并根据有唯一公共点可得224k m =+，可判断A 正确；利用直线的点斜式方程写出直线AB 的直线方程可解得05k x m =-，05y m =-，所以B 错误；易知55,kP m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可知当56m -=时，57km-=，所以P 点坐标可以是()7,6，即C 正确；由4222222001154412525255k k k x y k k ⎛⎫-+--==-++ ⎪⎝⎭可利用基本不等式得当2k =±时，220011x y -有最大值125，即D 正确.【详解】对于A ，联立2214y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消y 可得()2224240k x kmx m ----=，直线与双曲线只有一个公共点，且2k ≠±，则Δ0=，∴()()222244440k m k m ----=，∴224k m =+，即选项A 正确；对于B ，由方程可得M k x m =-，则2224M k m k y m m m m --=-+==，∴4,k M m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则AB 的直线方程为41k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，令0y =，05kx m=-，令0x =，05y m=-，所以00y kx =，即B 错误；对于C ，则易知55,kP mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若56m -=，则56m =-，22549466k =+=，取76k =，7565756k m -=-⨯=-，即()7,6P ，所以C 正确；对于D ，可得()()222222242222222004111542525252525k k m m m m k k k x y k k k k ----+--=-===22414112252552525525k k ⎛⎫=-++≤-+= ⎪⨯⎝⎭，当且仅当2k =±时，等号成立，即D 正确；故选：ACD12．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（）A ．sin 3sin1cos1>B ．3tan12>C ．()()ln cos1sin cos 2<D ．1sin 412sin 43⎛⎫<⎪⎝⎭BC【分析】对于A ，利用三角函数的性质判断出sin 30.3<，sin1cos10.3⋅>，即可判断；对于B ，判断出5tan111>，即可判断；对于C ，令cos1x =，1222x <<，利用导数判断单调性即可判断；对于D ，构造函数()ln f x x x =，利用导数判断出2()ln 3f x >，即可判断，【详解】对于A ，∵62sin 3sin171sin 9sin150.34-<︒=︒<︒=<，11112sin1cos1sin 2sin115sin 65sin 450.322224⋅=>︒=︒>︒=>，∴sin 3sin1cos1<，故A 错误；对于B ，记()3sin 6x g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，则()2cos 12x g x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，记()2cos 12x p x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，0x >，则()sin p x x x '=-+，令()sin m x x x =-+，0x >，则()cos 10m x x '=-+≥恒成立，所以()m x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00m x m >=，所以()0p x '>，所以()p x 在()0,∞+上单调递增，而()()200cos 0102p x p ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，所以3sin 6x x x >-，0x >，所以5sin16>，所以11cos16<，5tan111>，53211>，故3tan12>，故B 正确；对于C ，记()()ln 1f x x x =--，则()111x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >；函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以对任意0x >，都有()()10f x f ≤=，即ln 1≤-x x 恒成立，令cos1x =，1222x <<，所以ln(cos1)ln 1x x =<-，对于函数()sin n x x x =-+，0x <，因为()cos 10n x x '=-+≥恒成立，所以()n x 在(),0∞-上单调递增，所以()()00n x n <=，即sin x x <在0x <上恒成立，因为cos20<，即2210x -<，所以()22sin(cos 2)sin 2121x x =->-，因为2121(12)0x x x x --+=-<，所以()22ln 121sin 21ln(cos1)sin(cos 2)x x x x <-<-<-⇒<，故C 正确，对于D ，令1sin4x =，若22ln ln 33x x x x <⇒<，令()ln f x x x =，()1ln 10ef x x x '=+=⇒=，由()0f x ¢>解得：1e x >，()0f x '<解得：10e x <<，所以()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1()0.4e f x ≥->-，记()()21ln ,01x x x x x ϕ-=->+，因为()()()()222114011x x x x x x ϕ-'=-=≥++，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增，因为()()2111ln1011ϕ-=-=+，所以()2103ϕϕ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即22123ln 0.42313⎛⎫- ⎪⎝⎭<=-+，所以2()ln 3f x >，则1sin412sin 43⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 错.故选：BC.方法点睛：比较大小类题目解题方法：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.三、填空题13．设随机变量()~3,2,10X H ，则()1P X ==______.715【分析】根据超几何分布计算公式可得2182310C C 7(1)C 15P X ===.【详解】由随机变量X 服从超几何分布()~3,2,10X H ，可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，根据超几何分布公式可得2182310C C 7(1)C 15P X ===.故71514．74212x y xy ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______.10516/6.5625【分析】利用组合知识处理二项式展开问题即可得解.【详解】74212x y xy ⎛⎫++ ⎪⎝⎭可看作7个4212x y xy ++相乘，要求出常数项，只需提供一项4x ，提供4项12xy，提供2项2y ，相乘即可求出常数项，即()421442761105C C 216x y xy ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.故1051615．已知抛物线1C ：216y x =，圆2C ：()2241x y -+=，点M 的坐标为()8,0，P Q 、分别为1C 、2C 上的动点，且满足PM PQ =，则点P 的横坐标的取值范围是______.3955,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用抛物线的定义和圆的性质得到4141x PM x +-≤≤++，转化为222691664161025x x x x x x x ++≤-++≤++，即可解得.【详解】因为抛物线：216y x =的焦点()4,0，准线：4x =-，所以圆心2C 即为抛物线的焦点F ，设(),P x y ，∴11PF PQ PF -≤≤+，∴4141x PQ x +-≤≤++.∵PM PQ =，∴4141x PM x +-≤≤++，2241(8)41x x y x +-≤-+≤++，∴222691664161025x x x x x x x ++≤-++≤++，∴3955106x ≤≤.故3955,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、双空题16．已知数列{}n a 满足1a a =，()*12,21N 1,22n n n a n k a k a n k ++=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩，当1a =时，10a =______；若数列{}n a 的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为______.63162【分析】先利用递推公式求出121(2)42n n a a -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，1211(2)22n n a a --⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，再由1a =，求出10a ；利用通项公式判断出a 的值为2.【详解】∵()*12,21N 1,22n n n a n k a k a n k ++=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩∴222121222n n n a a a ++=+=+∴()2221442n n a a +-=-.∵1a a =，∴2122a a a =+=+，∴1122114(2)(2)422n n n n a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-⋅⇒=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∴当1a =时，()410163124216a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.因为2212n n a a -=+，所以1211(2)22n n a a --⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭.要使{}n a 的所有项仅取有限个不同的值，则2a =，此时24n a =，212n a -=.否则2a ≠时，{}n a 取值有无穷多个.故6316；2.五、解答题17．已知()sin ,cos a x x ωω= ，()cos ,3cos b x x ωω= ，其中0ω>，函数()32f x a b a ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求a b 的取值范围.(1)单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(2)3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由最小正周期为π可得1ω=，即可知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数单调性即可求得()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）根据三角形形状可得ππ62B <<，再由正弦定理得sin 3sin 2sin a A b B B==，又1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为(sin ,cos )a x x ωω=，(cos ,3cos )b x x ωω= ，则22sin cos 1a x x ωω=+= ，(sin ,cos )(cos ,3cos )a b x x x x ωωωω⋅=⋅2sin cos 3cos x x xωωω=+133sin 2cos 2222x x ωω=++π3sin 232x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故2333()sin 22223f x a b a a b a a b x πω⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-=⋅-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 最小正周期为π，所以2ππ2T ω==，所以1ω=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）由（1）及322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππ3sin 2sin 2332A A ⎛⎫⎛⎫⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2π33A +=，解得π3A =，又ABC 为锐角三角形，即π02π02B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π02π0π2B B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得ππ62B <<；由正弦定理得sin 3sin 2sin a A b B B==，又ππ62B <<，则1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.18．已知正项数列{}n a 满足11a =，2218n n a a n +-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记sin π2n n n a b a ⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前2023项的和.(1)()221n a n =-(2)2023【分析】（1）由递推关系式，结合累加法求得2n a 的通项公式，分析可得{}n a 的通项公式；（2）根据n b 的关系式，结合并项求和即可得{}n b 的前2023项的和.【详解】（1）对任意的*n ∈N ，因为2218n n a a n +-=，当2n ≥时，()()2222221211n n n a a a a a a -=-++-+ ()81811n =-+⋅⋅⋅+⨯+()812311n =+++⋅⋅⋅+-+⎡⎤⎣⎦(1)812n n -=⨯+()221n =-，因为0n a >，故21n a n =-.当1n =时，11a =符合21n a n =-，所以21n a n =-，*n ∈N .（2）1sin π(1)(21)2n n n n a b a n +⎛⎫=⋅⋅=-- ⎪⎝⎭，所以当*k ∈N 时，()22141412k k b b k k ++=--++=，故1232023b b b b +++⋅⋅⋅+()()()1234520222023b b b b b b b =+++++⋅⋅⋅++1210112023=+⨯=.19．如图，圆锥DO 中，AE 为底面圆O 的直径，AE AD =，ABC 为底面圆O 的内接正三角形，圆锥的高18DO =，点P 为线段DO 上一个动点.(1)当36PO =时，证明：PA ⊥平面PBC ；(2)当P 点在什么位置时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大.(1)证明见解析；(2)P 点在距离O 点36处【分析】（1）利用勾股定理证明出AP BP ⊥和AP CP ⊥，再用线面垂直的判定定理证明出PA ⊥平面PBC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）因为AE AD =，AD DE =，所以ADE V 是正三角形，则3DAO π∠=，又DO ⊥底面圆O ，AE ⊂底面圆O ，所以DO AE ⊥，在Rt AOD 中，18DO =，所以633DO AO ==，因为ABC 是正三角形，所以32633182AB AO =⨯⨯=⨯=，2292AP AO PO =+=，BP AP =，所以222AP BP AB +=，AP BP ⊥，同理可证AP CP ⊥，又BP PC P = ，BP ，PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC .（2）如图，建立以O 为原点的空间直角坐标系O xyz -.设PO x =，（018x ≤≤），所以()0,0,P x ，()33,9,0E -，()33,9,0B ，()63,0,0C -，所以()33,9,EP x =- ，()33,9,PB x =- ，()63,0,PC x =--，设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ，则3390630n PB a b cx n PC a cx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令a x =，则3b x =-，63c =-，故(),3,63n x x =--，设直线PE 和平面PBC 所成的角为θ，则2222233936363sin cos ,10831081084108x x x x EP n x x x x x θ+-===+⋅+++⋅+ 222222636313108108454024540x x xx=≤=++⋅+，当且仅当2221084x x=，即36PO x ==时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大，故P 点在距离O 点36处.20．一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A 表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B 表示“两次取出小球的标号之和是m ”.(1)若用不放回的方式取球，求()P A ；(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A 与事件B 相互独立的充要条件是9m =.(1)110；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算作答.（2）利用列举法求出概率，结合独立性推理判断充分性，再利用条件概率公式推理判断必要性作答.【详解】（1）用C 表示“第一次取出小球的标号是2”，则1()10P C =，(|)0P A C =，9()10P C =，1(|)9P A C =，所以()()()()P A P CA CA P CA P CA =+=+()()()()P C P A C P C P A C =⨯+⨯191101010910=⨯+⨯=.（2）记第一次取出的球的标号为x ，第二次的球的标号为y ，用数组(),x y 两次取球，则()100n Ω=，充分性：当9m =时，事件B 发生包含的样本点为)(,(,5),(4,)),((,6),(3,)),((,7),921),,0,827,36,45()(81,9,0,，因此()101()()10010n B P B n ===Ω，事件AB 发生包含的样本点为()7,2，则()1()()100n AB P AB n ==Ω，又1()10P A =，于是()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 相互独立；必要性因为事件A 与事件B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，即()()()P AB P A P B =，而1()10P A =，()()()()P AB n AB P B n B =，于是()1()10n AB n B =，事件AB 发生包含的样本点为()2,2m -，即()1n AB =，则()10n B =，又x y m +=，09x ≤≤，09y ≤≤，因此关于x 的不等式组0909x m x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩，有10组整数解，即关于x 的不等式组099x m x m ≤≤⎧⎨-≤≤⎩，有10组整数解，从而990m m =⎧⎨-=⎩，得9m =，所以事件A 与事件B 相互独立的充要条件是9m =.21．已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.(1)是定值，定值为14(2)13-【分析】（1）由题意求出直线AB 的斜率，再求//CD AB 可设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后求解AD BC k k 即可；（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=，表示出点D 的坐标，将A ，D 两点的坐标代入椭圆方程，化简得3331220x y λλλ++-=，再由CD AB ∥可得PC CB λ=，从而可得4431220x y λλλ++-=，进而可得直线AB 的方程，则可求出其斜率.【详解】（1）由题意知，4a =，2b =，所以(0,2)A ，()4,0B ，所以12AB k =-，设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，联立直线CD 与椭圆的方程22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得222280x tx t -+-=，由()2244280t t ∆=-->，解得2222t -<<，且2t ≠，则122x x t +=，21228x x t =-，所以()()12121212111222244AD BCx t x t y y k kx x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==--21212212111()2424x x t x x t x tx x x -+++-=-2221121121442222244t t x t t x t x x x x x x --+-+--==--21214122844t x t x --==--，故直线AD 与BC 的斜率之积是定值，且定值为14.（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=(0λ≠)，得3386x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩.所以338161x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩.又A ，D 均在椭圆上，所以22332233116486111164x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎪⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，化简得3331220x y λλλ++-=，因为CD AB ∥，所以PC CB λ=，同理可得4431220x y λλλ++-=，即直线AB ：31220x y λλλ++-=，所以AB 的斜率为13-.关键点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是设出直线CD 的方程，代入椭圆方程中消元化简，再利用根与系数的关系，再利用直线的斜率公式表示出AD BC k k ，结合前面的式子化简计算可得结果，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.22．已知函数21()ln 2f x x x ax =-，()(R)g x x a a =-+∈.(1)若y x =与()f x 的图象恰好相切，求实数a 的值；(2)设函数()()()F x f x g x =+的两个不同极值点分别为1x ，2x （12x x <）.（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求正数λ的取值范围（e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数）(1)22e a =(2)（i ）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）[)1,+∞【分析】（1）求导得到导函数，设出切点，根据切线方程的公式得到方程组，解得答案.（2）求导得到导函数，构造函数ln ()x h x a x=-，求导得到单调区间，计算极值确定1e a <，再排除0a ≤的情况，得到取值范围，确定1212lnx x a x x =-，设12x t x =，转化得到(1)(1)ln 0()t t t λλ+--<+，设出函数，求导计算单调区间，计算最值得到答案.【详解】（1）21()ln 2f x x x ax =-，()ln 1f x x ax =+-'，设y x =与()f x 的图象的切点为()00,x x ，则0020000ln 11 1ln 2x ax x x ax x +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得20e x =，22e a =.（2）（i ）21()()()ln 2F x f x g x x x x ax a =+=--+，定义域为()0,∞+，()ln F x x ax '=-.()ln 0F x x ax '=-=有两个不等实根1x ，2x ，考察函数ln ()x h x a x =-，21ln ()xh x x-'=，所以()e 0h '=，当0e x <<时，()0h x '>，所以()h x 在区间()0,e 上单调递增；当e x >时，()0h x '<，所以()h x 在区间()e,+∞上单调递减.故()h x 的极大值也是最大值为()1e eh a =-.因为()h x 有两个不同的零点，所以()e 0h >，即10ea ->，即1ea <；当0a ≤时，当e x >时，()0h x >恒成立，故()h x 至多一个零点，不符合题意，综上所述10ea <<下证：当10ea <<时，()h x 有两个不同的零点.()10h a =-<，()e 0h >，所以()h x 在区间()0,e 内有唯一零点；222111ln h a aaa ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t a =，考察函数()2ln t t t ϕ=-，2()1t t ϕ'=-，可得max ()2ln 220t ϕ=-<，所以210h a⎛⎫⎪⎭<⎝，所以()h x 在区间()e,+∞内有唯一零点.综上所述：a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）由题设条件和（i ）可知：121x e x <<<，11ln x ax =，22ln x ax =，所以：11221212lnln ln x x x x a x x x x -==--，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，两边取对数得12ln ln 1x x λλ-<-，所以()1112221212121122ln ln1ln ln 1x x x x x x x x ax a x x x x x x x λλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<+=+=⋅+=--，令12x t x =，则()0,1t ∈，()ln 11t t t λλ++<-恒成立，所以(1)(1)ln 0()t t t λλ+--<+在()0,1t ∈时恒成立.令(1)(1)()ln ()t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈，则()2222(1)1(1)()()()t t h t t t t t λλλλ--+'=-=++.若21λ≥，即1λ≥，则当()0,1t ∈时()0h t '>，故()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=恒成立，满足题意；若01λ<<，则当()2,1t λ∈时有()0h t '<，故()h t 在()2,1λ上单调递减，所以当()2,1t λ∈时，()()10h t h <=，不满足题意.综上所述，正数λ的取值范围为[)1,+∞.关键点睛：本题考查了利用切线求参数，根据极值点求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中变换得到1212lnx x a x x =-，再利用换元法构造函数求最值是解题的关键.。
2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题
2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．2232．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．54．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．22B ．2C ．4D ．35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,106．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．839．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 3直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．3y x =10．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤11．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少A ．12B ．35C ．710D ．4512．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届天域全国名校协作体高三年级下学期3月联考数学学科试题(含答案解析)
绝密★考试结束前2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是全集U 的非空子集，且U A B ⊆ð，则（）A ．B A⊆B ．U B A⊆ðC ．U U A B⊆ððD ．A B⊆2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数22()1xf x x =-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3.已知复数(,)z a bi a b R =+∈且2(42)40x i x ai -+++=有实数根b ，则2||z =（）A. B.12C. D.204．已知等边△ABC 的边长为2，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，若2DE EF =，则EF AF⋅=（）A ．1B ．45C ．65D ．545．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的最小值为（）AB ．C ．2D6．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A ．26B ．63C ．57D ．257.已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)2f x +-为奇函数，(31)f x +为偶函数，(1)0f =，则20241()k f k ==∑（）A ．4036B ．4040C ．4044D ．40488.已知直线)0(0:22≠+=++B A C By Ax l 与曲线3:W y x x =-有三个交点D 、E 、F ，且2DE EF ==，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（）.A.()10， B.()11-， C.)(11， D.()01，二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知由样本数据()i i x y ，（12310i = ，，，，）组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ3y x =-+，且4x =．剔除一个偏离直线较大的异常点(51)--，后，得到新的回归直线经过点(64)-，．则下列说法正确的是A ．相关变量x y ，具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C ．剔除该异常点后的回归直线方程经过点(51)-，D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小10．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点(,)M a b ，()0OM m m =≠，定义()b a f m θ+=，()b ag mθ-=，则（）A ．ππ166f g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()()2f f θθ+≥C ．若()()f g θθ=2，则3sin 25θ=D ．()()f g θθ是周期函数11．如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成，其中PS =1，则下列关于该几何体叙述正确的是A.该几何体的体积为24B.该几何体为七面体C.二面角A-PB-C 的余弦值为13-D.该几何体为三棱柱非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位:mm)，现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为_________．13.已知偶函数()()ϕω+=x x f sin ()0>ω的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π中心对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上单调，则ω=.14．若实数y x ,满足2522=+y x ，则y x y x 68506850-++++的最大值为_________16.（15分）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务。
2021年河南省高考数学联考试卷(理科)(2021.03)(解析版)
2021年河南省高考数学联考试卷（理科）（3月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，A∩（∁R B）＝（）A．（5，7）B．（1，5）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（5，7）2．已知复数＝4﹣bi，a，b∈R，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．63．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（）A．B．C．D．4．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c，sin2A+sin2C﹣sin A sin C ﹣sin2B＝0，则C＝（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，对于函数g（x），下列说法不正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）在区间[，]上单调递增D．g（x）的图象关于点（，0）对称8．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）A．B．C．D．9．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为（）A．B．2C．2D．410．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为（）A．B．100πC．D．500π11．已知双曲线D：x2﹣y2＝1，点M在双曲线D上，点N在直线l：y＝kx上，l的倾斜角θ∈（，），且|ON|2＝，双曲线D在点M处的切线与l平行，则△OMN 的面积的最大值为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝m恰有两个不同解x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣x1）f（x2）的取值范围是（）A．（﹣1，0]B．（﹣2，0]C．（﹣，0]D．（﹣，0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知平面向量＝（3，4），＝（﹣2λ，5），（2﹣）⊥，则λ＝．14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝﹣+e﹣2x﹣1，则不等式f （2x2﹣10x）+f（x2﹣6x﹣12）＜0的解集为．16．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为4，其前n项和为S n，且2a2为S2，S3的等比中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面BC1D．（2）若AA1＝2AB，求二面角B1﹣AC﹣C1的余弦值．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点（）在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|•|BF1|＝，求|AB|．21．已知函数f（x）＝（x+m）e x．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，求实数m的取值范围；（2）当m＝0时，若对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，求实数n的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l1的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若直线l1与C交于A，B两点（A点的横坐标小于B点的横坐标），直线l2：θ＝（ρ∈R）与直线l1交于点P，求．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣1≤x≤2}，求a的值；（2）若关于x的不等式f（﹣1）﹣f（+1）＜m有解，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，A∩（∁R B）＝（）A．（5，7）B．（1，5）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（5，7）解：集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}＝{x|﹣1≤x≤5}，∁R B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，∴A∩（∁R B）＝{x|5＜x＜7}＝（5，7）．故选：A．2．已知复数＝4﹣bi，a，b∈R，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．6解：∵＝4﹣bi，∴2+ai＝i（4﹣bi）＝b+4i，则a＝4，b＝2，故a+b＝6．故选：D．3．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（）A．B．C．D．解：已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），整理得2sinα＝3cosα，所以，故sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝＝﹣＝；故选：D．4．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．解：由cos x≠1得x≠2kπ，k∈Z，则x≠0排除C，f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当0＜x＜时，cos x﹣1＜0，则f（x）＜0，排除A，故选：D．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大解：A：高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.5﹣8.5＝1，所以A错误；B：因为两班的德育分相等，所以除体育外，高三（1）班的各项评价得分不都高于高三（2）班对应的得分（德育分相等），所以B错误；C：（2）班平均分为（9.5+9+9.5+9+8.5）÷5＝9.1；（1）班平均分为（9.5+9.5+9+9.5+a）÷5＝7.5+，故C正确；D：两班的德育分相等，智育分相差9.5﹣9＝0.5，体育分相差9.5﹣9＝0.5，美育分相差9.5一9＝0.5，劳育得分相差9.3﹣8.5＝0.8，劳育得分相差最大，所以D错误．故选：C．6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c，sin2A+sin2C﹣sin A sin C ﹣sin2B＝0，则C＝（）A．B．C．D．解：因为sin2A+sin2C﹣sin A sin C﹣sin2B＝0，所以由正弦定理可得a2+c2﹣b2＝ac，又a＝2c，所以b2＝4c2+c2﹣2c2＝3c2，可得cos C＝＝＝，因为C∈（0，π），所以C＝．故选：A．7．函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，对于函数g（x），下列说法不正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）在区间[，]上单调递增D．g（x）的图象关于点（，0）对称解：函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣+）＝2sin（2x+）的图象，对于函数g（x），它的最小正周期为＝π，故A正确；当x＝，求得g（x）＝2，为最大值，故它的图象关于直线x＝对称，故B正确；当x∈[，]，2x+∈[﹣，+]，g（x）没有单调性，故C错误；当x＝﹣，求得g（x）＝0，故它的图象关于点（，0）对称，故D正确，故选：C．8．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）A．B．C．D．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为2l，则该圆锥的侧面积为S侧＝×2πr×2l＝2πrl，截得的小圆锥的底面半径为r，母线长为l，其侧面积为S′侧＝×πr×l＝πrl，从而圆台的侧面积为S圆台侧＝S侧﹣S′侧＝2πrl﹣πrl＝πrl，所以两者的面积之比为＝＝．故选：B．9．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为（）A．B．2C．2D．4解：由抛物线的方程可得焦点F（2，0），设P（m，n），n＞0，可得PF的中点的横坐标，由题意可得＝3，所以m＝4，将m＝4代入抛物线的方程可得：n2＝8×4，可得n＝4，即P（4，4），所以k＝＝2，故选：B．10．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为（）A．B．100πC．D．500π解：如图所示：作PH⊥平面ABCD，垂足为H，连接BD，则H为BD的中点，设AB＝2m，PB＝PA＝，BH＝，从而PH＝2，故，解得m＝2，设外接球的半径为R，所以R2＝BH2+OH2，解得R＝5，故．故选：A．11．已知双曲线D：x2﹣y2＝1，点M在双曲线D上，点N在直线l：y＝kx上，l的倾斜角θ∈（，），且|ON|2＝，双曲线D在点M处的切线与l平行，则△OMN的面积的最大值为（）A．B．C．D．解：设M（x0，y0），又因为在第一象限，则双曲线D在M处的切线方程为：x0x﹣y0y ＝1，所以k＝，又因为x02﹣y02＝1，联立，解得，点M到直线l的距离d＝＝＝，因为|ON|2＝，所以|ON|＝＝＝，所以S△OMN＝|ON|•d＝••＝，令t＝k2﹣1，则k2＝t+1，因为θ∈（，），所以k＞1，所以t＞0，S△OMN＝•＝•≤＝＝，当且仅当t＝，即t＝时，面积取到最大值．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝m恰有两个不同解x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣x1）f（x2）的取值范围是（）A．（﹣1，0]B．（﹣2，0]C．（﹣，0]D．（﹣，0]解：因为方程f（x）＝m恰有两个不同解x1，x2（x1＜x2），所以x，x，m∈（﹣1，0]，从而（x2﹣x1）f（x2）＝（e）m＝me，令g（x）＝xe，x∈（﹣1，0]，则g′（x）＝（x+1）e x+1﹣x+1，因为x∈（﹣1，0]，所以x+1＞0，e x+1＞e0＝1，﹣x+1＞0，所以g′（x）＞0在区间（﹣1，0]上恒成立，从而函数g（x）在（﹣1，0]上单调递增，又g（0）＝0，g（﹣1）＝﹣，所以g（x），即（x2﹣x1）•f（x2）•f（x2）的取值范围为（﹣，0]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知平面向量＝（3，4），＝（﹣2λ，5），（2﹣）⊥，则λ＝﹣5．解：根据题意，向量＝（3，4），＝（﹣2λ，5），则（2﹣）＝（6+2λ，3），若（2﹣）⊥，则（2﹣）•＝30+6λ＝0，解可得λ＝﹣5，故答案为：﹣5．14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是7．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．故答案为：7．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝﹣+e﹣2x﹣1，则不等式f（2x2﹣10x）+f（x2﹣6x﹣12）＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（6，+∞）．解：函数f（x）＝﹣+e﹣2x﹣1在[0，+∞）上为减函数，因为函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）在R上为减函数，不等式f（2x2﹣10x）+f（x2﹣6x﹣12）＜0可化为f（2x2﹣10x）＜f（﹣x2+6x+12），所以2x2﹣10x＞﹣x2+6x+12，即3x2﹣16x﹣12＞0，解得x＜﹣或x＞6，即不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（6，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（6，+∞）．16．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为1296．解：根据题意，分2种情况讨论：①“丝”被选中：不同的方式种数为种；②“丝”不被选中：不同的方式种数为种．故共有N＝720+576＝1296种排课方式，故答案为：1296．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为4，其前n项和为S n，且2a2为S2，S3的等比中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）因为数列{a n}是公差为4的等差数列，所以．又，所以，即（a1+4）（a1﹣2）＝0，解得a1＝2或a1＝﹣4（舍去），所以a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）因为，所以T n＝b1+b2+…+b n﹣1+b n＝＝＝．18．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．解：（1）轻度污染以上的行政村共9+6+3＝18个，所以抽样比为：＝，所以从轻度污染的行政村中抽取＝3个，中度污染的行政村抽取＝2个，重度污染的行政村抽取＝1个．（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝＝，∴X的分布列为：X34567P∴E（X）＝3×＝5．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面BC1D．（2）若AA1＝2AB，求二面角B1﹣AC﹣C1的余弦值．【解答】（1）证明：记B1C∩BC1＝E，连接DE．由直棱柱的性质可知四边形BCC1B1是矩形，则E为B1C的中点．（1分）因为D是AC的中点，所以DE∥AB1．因为AB1⊄平面BC1D，DE⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D（2）解：因为底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，所以BD⊥AC，由直棱柱的性质可知平面ABC⊥平面ACC1A1，则BD⊥平面ACC1A1．取A1C1的中点F，连接DF，则DB，DC，DF两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．设AB＝2，则，从而设平面AB1C的法向量为，则，令x＝4．得．平面ACC1的一个法向量为，则．设二面角B1﹣AC﹣C1为θ，由图可知θ为锐角，则．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点（）在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|•|BF1|＝，求|AB|．解：（1）由题意可知：，解得：，∴椭圆C的标准方程为：．（2）易知F2（1，0），①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，，∴|AF1|＝＝＝，∴|BF1|＝＝＝，∵|AF1|•|BF1|＝，∴•＝，∴，整理得：，把x1+x2＝，x1•x2＝代入上式得：++2＝，整理得：k2＝1，∴，x1•x2＝0，∴|AB|＝＝，②当直线l的斜率不存在时，点A（1，），B（1，﹣），∴|AF1|＝|BF1|＝＝＝，∴|AF1|•|BF1|，不符合题意，舍去，综上所述，|AB|＝．21．已知函数f（x）＝（x+m）e x．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，求实数m的取值范围；（2）当m＝0时，若对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，求实数n的取值范围．解：（1）因为f（x）＝（x+m）e x，所以f'（x）＝（x+m+1）e x（1分）令f'（x）≤0，得x≤﹣m﹣1，则f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣m﹣1]因为f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，所以﹣m﹣1≥1，解得m≤﹣2，即m的取值范围是（﹣∞，﹣2]（2）法一：由nxln（nx）≤f（2x），得2xe2x≥nxln（nx）．因为x＞0，n＞0，所以对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．设，则．因为函数y＝e2x和在（0，+∞）上均为单调递增函数，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．当x→0时，h'（x）＜0；当x→+∞时，h'（x）＞0．故存在x0∈（0，+∞），使得，即当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故恒成立．又由，得，所以恒成立．因为和y＝﹣2lnx在（0，+∞）上单调递减，所以函数h（x0）在（0，+∞）上单调递减．因为，所以因为函数y＝4x和y＝e2x在（0，+∞））上单调递增，且4x＞0，e2x＞0．所以函数在上单调递增，所以0＜m≤2e，即实数n的取值范围是（0，2e]．法二：对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，即nxln（nx）≤2xe2x恒成立，亦即e ln（nx）ln（nx）≤2xe2x恒成立因为f（x）＝xe x，所以f'（x）＝（x+1）e x，易知f（x）＝xe x在（0，+∞）上单调递增，且在（﹣∞，0）上f（x）＜0，所以ln（nx）≤2x，即对任意的x∈（0，+∞）恒成立令，则．当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0．则g（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，所以n≤2e，显然n＞0，故实数n的取值范围是（0，2e]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l1的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若直线l1与C交于A，B两点（A点的横坐标小于B点的横坐标），直线l2：θ＝（ρ∈R）与直线l1交于点P，求．解：（1）直线l1的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为；曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0．（2）把直线l1的参数方程为（t为参数），代入x2+y2﹣2x＝0，得到，所以|AB|＝，由于直线l2：θ＝（ρ∈R）转换为直角坐标方程为y＝与直线l1交于点P，故，解得，所以|PB|＝|t|＝2，故，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣1≤x≤2}，求a的值；（2）若关于x的不等式f（﹣1）﹣f（+1）＜m有解，求m的取值范围．解：（1）不等式f（x）≤a，即|2x﹣1|≤a，故﹣a≤2x﹣1≤a，解得：≤x≤，而不等式f（x）≤a的解集是{x|﹣1≤x≤2}，故，解得：a＝3；（2）∵f（﹣1）﹣f（+1）＝|x﹣3|﹣|x+1|，故f（﹣1）﹣f（+1）＜m有解等价于|x﹣3|﹣|x+1|＜m有解，令g（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|，则m＞g（x）min，∵g（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|＝，故g（x）的最小值是﹣4，故m的取值范围是（﹣4，+∞）．。
福建省南平市四校2023届高三下学期3月联考数学试题含答案
2022-2023学年高三下学期3月四校联考试卷数学学科本试卷分四大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|12}A x x =-<≤，0{|}B x x a =<≤，若{13}A B xx =-<≤∣ ，则A B = （）A.{}|20x x -<< B.{}02x x <≤C .{13}xx <≤∣ D.{02}xx <<∣2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()2i i z a =+（其中R a ∈）为“等部复数”，则复数2i z a -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数()()3sin 2f x x ϕ=+的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的最小值是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π64.设0.440.24,0.4,log 0.03a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b 5.已知向量a ，b满足a b a b +=- ，则a b + 在a 方向上的投影向量为（）A.aB.bC.2aD.2b6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.14πB.18πC.24πD.30π7.过抛物线2:2C y px =（p ＞0）的焦点F 的直线交抛物线C 于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，设FA m =，FB n =，若n ，12x x -，m n +成等比数列，则mn=（）A.13 B.3C.3或13D.1038.已知三棱锥-P ABC ，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]π,2π二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量X ，Y ，满足24X Y +=，且X 服从正态分布()31N ,，则()12E Y =B.已知随机变量X 服从二项分布15,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()803243P X ==C.已知随机变量X 服从正态分布()4,1N ，且()50.1587P X ≥=，则()350.6826P X <<=D.已知一组数据123456,,,,,x x x x x x 的方差是3，则数据12345641,41,41,41,41,41x x x x x x ------的标准差是1210.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A （含边界）内一动点，且//AP 平面1D B C ，则下列选项正确的是（）A.1A C AP⊥B.三棱锥1P BDC -的体积为定值C.PC ⊥平面1BDC D.异面直线AP 与BD 所成角的取值范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:240l x y --=上一动点，下列结论正确的是（）A.直线l 与圆C 相离B.圆C 上有且仅有一个点到直线l 的距离等于1C.过点P 向圆C 引一条切线PA ，A 为切点，则PA 的最小值为555D.过点P 向圆C 引两条切线PA 和PB ，A 、B 为切点，则直线AB 过定点12.已知定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()ππsin 22f x a x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，若函数()1y f x =+是偶函数，则下列结论正确的有（）A.()f x 的图象关于1x =对称B.()20220f =C.()()20232021f f >D.()100log y f x x =-有100个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m .若去掉m ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数()110m m ≤≤的值可以是___________（写出一个满足条件的m 值即可）.14.已知α为锐角，311tan80sin α+=︒，则α=__________．15.设(),P x y 是曲线1C =上的点，()13,0F -，()23,0F ，则12PF PF +的最大值等于______．16.()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 是函数()f x 的图象上不重合的三点，若函数()f x 满足：当1230x x x ++=时，总有123,,P P P 三点共线，则称函数()f x 是“零和共线函数”．若3y x ax =+是“零和共线函数”，则a 的范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,(N )n a n *+=+∈，23a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设141n n b S =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．18.某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即ABC 区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角4π,ACB CBA ∠∠=为锐角，假设墙,CA CB 的可利用长度（单位：米）足够长．（1）在ABC 中，若BC 边上的高等于14BC ，求sin CAB ∠；（2）当AB 的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB DC ，AB =2AD =2CD =2，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为33，求二面角P -AC -E 的余弦值.20.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的110，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99100，9899，9798，设人工抽检的综合指标不达标率为p （01p <<）．（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；（2）人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为()p ϕ，求()p ϕ的极大值点0p ；（3）若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的0p 作为p 的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．21..已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴长为2，右焦点为F ，点M 、N 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点F 的直线l 交双曲线的右支于P 、Q 两点，设直线MP 、NP 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k =．（1）求双曲线C 的方程：（2）当点P 在第一象限时，且tan 1tan 2MPN MQN ∠=∠时，求直线l 的方程．22.已知a ∈R ，函数()()ln 1f x x a x =+-（1）若()f x a ≤恒成立，求a 的取值范围；（2）过原点分别作曲线()y f x =和e x y =的切线1l 和2l ，试问：是否存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数?请说明理由．2022-2023学年高三下学期3月四校联考试卷数学学科本试卷分四大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|12}A x x =-<≤，0{|}B x x a =<≤，若{13}A B x x =-<≤∣ ，则A B = （）A.{}|20x x -<< B.{}02x x <≤C.{13}xx <≤∣ D.{02}xx <<∣【答案】B 【解析】【分析】根据给定的并集结果求出a 值，再利用交集的定义求解作答.【详解】因为集合{|12}A x x =-<≤，0{|}B x x a =<≤，{13}A B xx =-<≤∣ ，因此3a =，即{|03}B x x =<≤，所以{}02A B x x ⋂=<≤.故选：B2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()2i i z a =+（其中R a ∈）为“等部复数”，则复数2i z a -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据新定义求得a 的值，代入求得复数2i z a -的代数形式，可得复数所对应的点的坐标，进而可得结果.【详解】∵()2i i 2i z a a =+=-+，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z 为“等部复数”，∴2a -=，解得2a =-，∴22i z =+，∴22i z =-，即：2i 22i z a -=+，∴复数2z ai -在复平面内对应的点是()2,2，位于第一象限.故选：A.3.已知函数()()3sin 2f x x ϕ=+的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的最小值是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的对称轴可构造方程求得ϕ的取值，进而可确定ϕ的最小值.【详解】()f x 关于直线π3x =对称，()2πππ32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()ππ6k k ϕ=-∈Z ，∴当0k =时，ϕ取得最小值π6.故选：A.4.设0.440.24,0.4,log 0.03a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的知识确定正确答案.【详解】00.40.514442=<<=，400.41<<，()20.20.2log 0.03log 0.22>=，所以b a c <<.故选：C5.已知向量a ，b满足a b a b +=- ，则a b + 在a 方向上的投影向量为（）A.aB.bC.2aD.2b【答案】A 【解析】【分析】根据向量的数量积运算，对a b a b +=- 两边同时平方得到0a b ⋅= ，再由投影向量的定义即可求解.【详解】由已知条件得：22a b a b +=- ，即0a b ⋅=，又a b + 在a方向上的投影向量为()()2cos ,a b a a a b a a a a b a b a a a a a a a+⋅+⋅⋅+<+>=⋅=⋅=，故选：A.6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.14πB.18πC.24πD.30π【答案】D 【解析】【分析】根据题意得到第一段圆弧到第n 段圆弧的半径构成等差数列，结合圆心角，利用求和公式求出答案.【详解】依题意，每段圆弧的圆心角为2π3，第一段圆弧到第n 段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，…，n.，所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为π(19)292π330+⨯⨯=.故选：D.7.过抛物线2:2C y px =（p ＞0）的焦点F 的直线交抛物线C 于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，设FA m =，FB n =，若n ，12x x -，m n +成等比数列，则mn=（）A.13 B.3C.3或13D.103【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的定义及等比中项的性质计算可得结果.【详解】由n ，12x x -，m n +成等比数列，得()()212x x n m n -=+．由抛物线的定义知，12p m x =+，22p n x =+，所以12m n x x -=-，所以()()2m n n m n -=+，又因为0m >，0n >，所以3mn=．故选：B.8.已知三棱锥-P ABC ，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]π,2π【答案】A 【解析】【分析】连接PQ ，QA ，OA ，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，设过点Q 的平面为α，则当OQ α⊥时，此时所得截面的面积最小，当点Q 在以O 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.【详解】连接PQ ，QA ，由2PB PC AB BC AC =====，可知：ABC 和PBC 是等边三角形，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，所以球心O 到平面ABC 和平面PBC 的射影是ABC 和PBC 的中心F ，E ，PBC 是等边三角形，Q 为BC 中点，所以PQ BC ⊥，又因为侧面PBC⊥底面ABC ，侧面PBC ⋂底面ABC BC =，所以PQ⊥底面ABC，而AQ⊂底面ABC，因此PQ AQ⊥，所以OFQE是矩形, ABC和PBC是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高h==在矩形OFQE中，132233333OE FQ h AE h=====，连接OA，所以3 OA===，设过点Q的平面为α，当OQα⊥时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，226333OQ h=====，因此圆Q1==，所以此时面积为2π·1π=，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：2155ππ33⎛⎫⋅=⎪⎪⎝⎭，所以截面的面积范围为5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A．【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量X ，Y ，满足24X Y +=，且X 服从正态分布()31N ,，则()12E Y =B.已知随机变量X 服从二项分布15,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()803243P X ==C.已知随机变量X 服从正态分布()4,1N ，且()50.1587P X ≥=，则()350.6826P X <<=D.已知一组数据123456,,,,,x x x x x x 的方差是3，则数据12345641,41,41,41,41,41x x x x x x ------的标准差是12【答案】AC 【解析】【分析】根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解.【详解】对于A ，因为X 服从正态分布()31N ,，所以()3E X =，因为24X Y +=，则122Y X =-，所以111()22()222E Y E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，因为X 服从二项分布15,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以32351240(3)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，因为X 服从正态分布()4,1N ，则其正态分布曲线的对称轴为4x =，所以(5)(3)0.1587P X P X ≥=≤=，所以(35)1(5)(3)0.6826P X P X P X <<=-≥-≤=，故C 正确；对于D ，令123456,,,,,x x x x x x 的平均数为x ，方差()()2216236x x x x s -+⋅⋅⋅+-==，所以12345641,41,41,41,41,41x x x x x x ------的方差为()()22162141(41)41(41)6x x x x s ⎡⎤⎡⎤---+⋅⋅⋅+---⎣⎦⎣⎦=()()221616486x x x x ⎡⎤-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦==，故所求标准差1s =，故D 错误.故选：AC.10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A （含边界）内一动点，且//AP 平面1D B C ，则下列选项正确的是（）A.1A C AP⊥B.三棱锥1P BDC -的体积为定值C.PC ⊥平面1BDC D.异面直线AP 与BD 所成角的取值范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AB 【解析】【分析】由已知条件，通过面面平行，得点P 在线段11B D 上，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决垂直、夹角等问题.【详解】连接1111AB AD B D ，，，∵11//DD BB ，11=DD BB ，∴四边形11BDD B 是平行四边形，∴11//B D BD ，又11B D ⊄平面1D B C ，BD ⊂平面1D B C ，∴11//B D 平面1D B C ，同理可证1//AB 平面1D B C ，1111B D AB B = ，∴平面11//AB D 平面1D B C ，则点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()()()0,0,01,1,01,0,0D B A ，，，()()()110,1,10,1,01,0,1C C A ，，设()[],,10,1P λλλ∈，，1(1,1,1)A C =-- ，(1,,1)AP λλ=-，1110AC AP λλ⋅=-+-= ，1A C AP ⊥，A 选项正确；11//B D 平面1D B C ，则点P 到平面1D B C 的距离为定值，1BDC 面积也为定值，所以三棱锥1P BDC -的体积为定值，B 选项正确；(,1,1)PC λλ=--- ，(1,1,0)DB = ，112PC DB λλλ⋅=-+-=- ，12λ≠时，0PC DB ⋅≠ ，PC DB ⊥不一定成立，故C 选项错误；(1,1,0)DB = ，(1,,1)AP λλ=- ，21DB AP λ⋅=-，2DB = ，2222AP λλ=-+，设异面直线AP 与BD 所成的角为θ，则22222211(21)1313cos 4421212132124DB AP DB AP λλθλλλλλλλ⋅--===-=--+-+⋅-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当12λ=时，cos θ取得最小值0，当0λ=或1时，cos θ取得最大值12，∴10cos 2θ≤≤，则ππ32θ≤≤，即异面直线AP 与BD 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 选项错误.故选：AB11.已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:240l x y --=上一动点，下列结论正确的是（）A.直线l 与圆C 相离B.圆C 上有且仅有一个点到直线l 的距离等于1C.过点P 向圆C 引一条切线PA ，A 为切点，则PA 的最小值为5D.过点P 向圆C 引两条切线PA 和PB ，A 、B 为切点，则直线AB 过定点【答案】ACD 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离判断A ，由圆心到直线的距离与圆的半径差判断B ，根据勾股定理转化为求直线上点到圆心距离最小值判断C ，求出过AB 的直线方程，根据方程求定点判断D.【详解】对于A ，圆心(0,0)C 到直线240x y --=的距离1d r =>=，所以直线与圆相离，故A 正确；对于B ，由A 知d =011d r ∴<-=<，故圆C 上有2个点到直线l 的距离等于1，故B 错误；对于C ，||5PA =≥=，当且仅当PC 与直线240x y --=垂直时等号成立，所以PA 的最小值为555，故C 正确；对于D ，设点00(,)P x y ，则00240x y --=，即00122y x =-，由切线性质可知,,,C A B P 四点共圆，且圆的直径为CP ，所以圆的方程为22220000(()224x y x y x y +-+-=，两圆的方程作差，得公共弦AB 所在直线方程为001xx yy +=，即001(2)12xx y x +-=，整理可得01()2102x y x y +--=，解方程102210x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩，解得1412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线AB 过定点11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD12.已知定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()ππsin 22f x a x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，若函数()1y f x =+是偶函数，则下列结论正确的有（）A.()f x 的图象关于1x =对称B.()20220f =C.()()20232021f f >D.()100log y f x x =-有100个零点【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件可得1a =，()(2)f x f x -=+，()(4)f x f x =+，即函数()f x 关于直线1x =对称且周期为4的奇函数，利用周期性求出(2021),(2022),(2023)f f f ，判断选项A,B,C ；再画出函数()f x 与100log y x =的函数部分图象，数形结合判断它们的交点情况判断选项D .【详解】因为函数()1y f x =+是偶函数，则(1)(1)f x f x +=-+，即()(2)f x f x -=+，所以函数()f x 关于直线1x =对称，故选项A 正确；又函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，则()(2)(4)f x f x f x =-+=+，即函数()f x 是周期为4的奇函数，由(0)sin(0102f a a π=+-=-=，即1a =.所以()()()()202245052200f f f f =⨯+==-=，故选项B 正确；(2023)(45053)(3)(1)1f f f f =⨯+==-=-，(2021)(45051)(1)1=⨯+==f f f ，所以(2023)(2021)f f <，故选项C 错误；综上：()πππsin()1cos 222f x a x x =+-=-，作出()f x 与100log y x =的函数部分图象如下图所示：当0x >时，函数100log y x =过点(100,1)，故100x >时，函数()f x 与100log y x =无交点；由图可知：当04x <<时，函数()f x 与100log y x =有一个交点；当4100x <<时，函数()f x 的每个周期内与100log y x =有两个交点，共24248⨯=个交点，而(100)0f =且100log 1001y ==，即100x =时，函数()f x 与100log y x =无交点；当0x <时，100log ()y x =-过点(100,1)-，故当100x <-时，函数()f x 与100log y x =无交点；由图可知：当40x -<<时，函数()f x 与100log y x =有3个交点；当1004x -<<-时，函数()f x 的每个周期内与100log y x =有两个交点，共24248⨯=个交点，而(100)0f -=且100log 1001y ==，即100x =-时，函数()f x 与100log y x =无交点；综上，函数()100log y f x x =-共有148348100+++=个零点，故选项D 正确，故选：ABD .【点睛】关键点点睛：对于本题选项D ，正确作出函数的大致图象，利用关键点处的函数值以及周期是解题关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m .若去掉m ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数()110m m ≤≤的值可以是___________（写出一个满足条件的m 值即可）.【答案】7或8或9或10（填上述4个数中任意一个均可）【解析】【分析】由百分位数的概念即可得出答案.【详解】7，6，8，9，8，7，10，m ，若去掉m ，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则70.25=1.75⨯，故第25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m ，第25百分位数为7，而80.25=2⨯，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以()110m m ≤≤的值可以是7或8或9或10.故答案为：7或8或9或10.14.已知α为锐角，11sin α+=，则α=__________．【答案】50︒【解析】【分析】利用三角恒等变换求得311tan 80sin 50+=︒︒，从而得到sin sin 50α=︒，由此结合角α的范围即可得解.【详解】因为sin 802sin(8060)2sin1401tan 80sin 80sin 802sin 40cos 40︒+︒︒+︒︒+===︒︒︒︒︒sin 40111sin 40cos 40cos 40sin 50sin α︒====︒︒︒︒，所以sin sin 50α=︒，又因为α为锐角，所以50α=︒.故答案为：50︒15.设(),P x y 是曲线1C =上的点，()13,0F -，()23,0F ，则12PF PF +的最大值等于______．【答案】10【解析】【分析】作出曲线C 和椭圆2212516x y +=的图象，延长1F P 交椭圆于点M ，可得出1210MF MF +=，由三角形三边关系得出121210PF PF MF MF +≤+=，当且仅当点P 为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出12PF PF +的最大值.【详解】由1C +=可得，154x y +=作出椭圆2212516x y +=和曲线C (去绝对值后，可得图象为四条线段)的图象如下图所示：则点1F 、2F 分别为椭圆2212516x y +=的左、右焦点，由椭圆定义得1210MF MF +=.延长1F P 交椭圆于点M ，当点P 不在坐标轴上时，由三角形三边关系得22MP MF PF +>，所以，12121210PF PF PF MP MF MF MF +<++=+=；当点P 为椭圆C 的顶点时1210PF PF +=.综上所述，1210PF PF +≤，因此，12PF PF +的最大值为10.故答案为：10.【点睛】本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力.16.()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 是函数()f x 的图象上不重合的三点，若函数()f x 满足：当1230x x x ++=时，总有123,,P P P 三点共线，则称函数()f x 是“零和共线函数”．若3y x ax =+是“零和共线函数”，则a 的范围是__________．【答案】R 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，利用奇函数的对称性判断()y f x =符合“零和共线函数”的定义对应的a 取值.【详解】由3()y f x x ax==+的定义域为R ，又33()()()()()f x x a x x ax f x -=-+-=-+=-，所以，R a ∈有()y f x =均为奇函数，且(0)0f =，即()y f x =图象在y 轴一侧的点，在其另一侧一定存在关于原点对称的点，所以，上述y 轴两侧关于原点的对称点与原点可构成满足题设的123,,P P P 三点，综上，对于R a ∈，都有3y x ax =+是“零和共线函数”.故答案为：R四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,(N )n a n *+=+∈，23a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设141n n b S =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．【答案】（1）21n a n =-（2）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）将11n n n a S S ++=-代入已知式子可得是等差数列，进而得到{}nS 的通项公式，再由n a 与n S 的关系求出{}n a 的通项公式.（2）由裂项相消求和可得n T ，再由n T 的单调性可求得其范围.【小问1详解】因为11n n n a S S ++=-，所以由11n a +=+，得11n n S S +-=+，所以)2111n n S S +=+=，1=，即1=．在11n a +=+中，令n =1，得2113a ===，所以a 1=1．所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，n =，即：2n S n =．当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．【小问2详解】由（1）知，()()21111114141212122121⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭n n b S n n n n n ，所以1111111111112133557212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为b n ＞0，所以n T 随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=，又显然12n T <，所以1132n T ≤<，即n T 的取值范围为11[,)32．18.某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即ABC 区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角4π,ACB CBA ∠∠=为锐角，假设墙,CA CB 的可利用长度（单位：米）足够长．（1）在ABC 中，若BC 边上的高等于14BC ，求sin CAB ∠；（2）当AB 的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．【答案】（1）5（2）9+平方米【解析】【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥交BC 于D ．设AD x =，则CD x =，334BD BC x ==，在ABD △中，求得sin ,cos CBA CBA ∠∠，由()sin sin CAB CBA ACB ∠∠∠=+计算即可得解；（2）设π02CBA ∠θθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，则6cos BD θ=，6sin CD AD θ==，从而得出()16sin 6cos 6sin 2ABC S θθθ=⨯⨯+ ，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．【小问1详解】过点A 作AD BC ⊥交BC 于D ．设AD x =米，0x >，则CD x =米，334344BD BC x x ==⨯=米．在ABD △中，10310sin 1010CBA CBA ∠∠===．故()()2sin sin sin cos 2CAB CBA ACB CBA CBA ∠∠∠∠∠=+=+210105⎛=+= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设π02CBA ∠θθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，则6cos BD θ=米，6sin CD AD θ==米，()()216sin 6cos 6sin 92sin cos 2sin 2ABC S θθθθθθ=⨯⨯+=+ ()9sin21cos29π24θθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2,44ππ4θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以，当3π2,42π8πθθ-==时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为9+19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB DC ，AB =2AD =2CD =2，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为33，求二面角P -AC -E 的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出线面垂直，再由面面垂直的判定定理求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PC AC ⊥.∵2AB =，由1AD CD ==，AD DC ⊥且ABCD 是直角梯形，∴22222,()2AC AD DC BC AD AB DC =+==+-即222AC BC AB +=，∴ACBC ⊥.∵PC BC C ⋂=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥平面PBC .∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC 【小问2详解】∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PC BC ⊥.由（1）知ACBC ⊥.∵PC AC C ⋂=，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，∴BPC ∠即为直线PB 与平面PAC 所成角.∴23sin 3BC BPC PB PB ∠===，∴PB =2PC =取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为坐标原点，分别以CG ､CD ､CP为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()002P ,,，()1,1,0A ，()1,1,0B -，11,,122E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()1,1,0CA = ，()0,0,2CP =uu r，11,,122CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设()111,,m x y z = 为平面PAC 的法向量，则111020m CA x y m CP z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令11x =，得10z =，11y =-，得()1,1,0m =-设()222,,x n y z =为平面ACE 的法向量，则2222201122n CA x y n CE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则21y =-，21z =-，得()1,1,1n =-- .∴111101cos ,3m n ⨯+-⨯-+⨯-<>=.由图知所求二面角为锐角，所以二面角P AC E --的余弦值为3.20.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的110，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99100，9899，9798，设人工抽检的综合指标不达标率为p （01p <<）．（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；（2）人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为()p ϕ，求()p ϕ的极大值点0p ；（3）若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的0p 作为p 的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．【答案】（1）3100（2）130（3）该企业需对生产工序进行改良，理由见解析【解析】【分析】（1）设每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为1P ，2P ，3P ，并记芯片智能检测不达标为事件A ，视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，根据对立事件的性质及事件独立性的定义即可求解；（2）根据条件得到112930()(1)p C p p ϕ=-（01p <<），利用导数对()p ϕ进行讨论即可；（3）设芯片人工抽检达标为事件B ，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件C ，根据条件概率得到()()|P C P B A =，再由乘法公式得到()P BA ，即可判断.【小问1详解】每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为1P ，2P ，3P ，并记芯片智能检测不达标为事件A .视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，则有199100P =，29899P =，39798P =，由对立事件的性质及事件独立性的定义得：1239998973()111009998100P A PP P =-=-⨯⨯=，所以每个芯片智能检测不达标的概率为3100.【小问2详解】人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为112930()(1)p C p p ϕ=-（01p <<），因此129281283030()(1)29(1)(1)(130)p C p p p C p p ϕ'⎡⎤=---=--⎣⎦令()0p ϕ'=，得130p =.当10,30p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p ϕ'>；当1,130p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p ϕ'<.则()p ϕ在10,30⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,130⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()p ϕ有唯一的极大值点0130p =.【小问3详解】设芯片人工抽检达标为事件B ，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件C ，由（2）得：()29(|)130P C P B A p ==-=，由（1）得：()97()1100P A P A =-=，所以2997()()(|)93.8%96%30100P AB P A P B A =⋅=⨯≈<，因此，该企业需对生产工序进行改良.21..已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴长为2，右焦点为F ，点M 、N 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点F 的直线l 交双曲线的右支于P 、Q 两点，设直线MP 、NP 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k =．（1）求双曲线C 的方程：（2）当点P 在第一象限时，且tan 1tan 2MPN MQN ∠=∠时，求直线l 的方程．【答案】（1）2213x y -=（20y --=【解析】【分析】（1）设点()11,P x y ，其中10y ≠，利用点差法可得出2213b a =，由已知条件可得出b 、a 的值，即可得出双曲线C 的方程；（2）分析可知，直线l 不与x 轴重合，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线PQ 的方程为2x my =+，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，由两角差的正切公式以及已知条件分析得出122y y =-，将此关系式代入韦达定理可求得m 的值，即可得出直线l 的方程.【小问1详解】解：设点()11,P x y ，其中10y ≠，则2211221x y a b -=，可得2222112a y x a b-=，易知(),0M a -、(),0N a ，则222111112222221111213y y y y b k k a y x a x a x a a b =⋅====+--，由已知22b =，可得1b =，a ∴=，因此，双曲线C 的方程为2213x y -=.【小问2详解】解：由（1）可知2c ==，则点()2,0F，易知()M、)N，若直线l 与x 轴重合，此时直线l 交双曲线C 于M 、N 两点，不合乎题意，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线PQ 的方程为2x my =+，联立22233x my x y =+⎧⎨-=⎩可得()223410m y my -++=，由题意可得()22230Δ16430m m m ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，可得m ≠由韦达定理可得12243my y m +=--，12213y y m =-，因为过点F 的直线l 交双曲线的右支于P 、Q 两点，则()212122241244033m x x m y y m m +=++=-=->--，可得m <<，()()()2221212121222731222244033m m x x my my m y y m y y m m +=++=+++=-=->--，可得m <<，因为点P 在第一象限，则()212112tan tan tan tan 41tan tan 13k k k k FNP FMPMPN FNP FMP FNP FMP k k --∠-∠∠=∠-∠==+∠∠+()1122111333333423223y yx⎛⎫====⨯-，同理可得()tan tantan41tan tan13NQ MQ MQ NQMQ NQk k k kFNQ FMQMQN tan FNQ FMQFNQ FMQ k k-+-∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+()222222233423223y yx⎛⎫==-=-=-⨯-，因为211tan31tan22yMPNMQN y y∠⎛=⋅=-=∠⎝，可得122y y=-，因为1y>，则2y<，所以，122243my y ym+=-=--，可得22403mym=<-，可得0m>，()22122222321233my y ymm=-=-=--，解得11m=，所以，直线l 的方程为11211x y=+y--=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y、()22,x y；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x+、12x x（或12y y+、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知a∈R，函数()()ln1f x x a x=+-（1）若()f x a≤恒成立，求a的取值范围；（2）过原点分别作曲线()y f x=和e xy=的切线1l和2l，试问：是否存在0a>，使得切线1l和2l的斜率互为倒数?请说明理由．【答案】（1）1ea≥；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意，转化为不等式ln x a x≤恒成立，令ln ()xh x x =，利用导数求出函数的最大值即可得解；（2）根据导数的几何意义求出()e xg x =过原点的切线方程的斜率，由斜率之间的关系可得()ln e 1a a =+，再通过构造函数判断其有解即可.【小问1详解】()f x 的定义域是()0,∞+，由()f x a ≤可得ln x ax ≤，即ln xa x≤恒成立，令ln ()xh x x=，()0,x ∈+∞，()21ln xh x x-'=，当0e x <<时，()0h x '>，()h x 在()0,e 单调递增，当e x >时，()0h x '<，()h x 在(e,)+∞上单调递减，所以当e x =，max 1()(e)eh x h ==，所以1ea ≥.【小问2详解】存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数，理由如下：()1f x a x'=-，()e x g x '=，设()g x 的切线方程是y kx =，则e x k =，显然0k >，ln x k =，切点为()ln ,k k ，于是0ln 0k k k -=-，解得e =k ，所以2l 的斜率为e ，于是1l 的斜率为1e ，设()f x 的切点坐标为()00,x y ，由011e a x -=，0ee 1x a =+，又()00010e f x x -=-，所以e e 1e ln 1e 1e 1e e 1a a a a ⎛⎫+-=⨯ ⎪+++⎝⎭，整理得()ln e 1a a =+，设()()ln e 1G x x x =+-，()e e 1e 1e 1e 1xG x x x --'=-=++，当e 10e x -<<时，()0G x '>，()G x 在e 1(0,)e -上递增，而()00G =，所以e 10e G -⎛⎫> ⎪⎝⎭，。
吉林省部分学校2023届高三下学期3月大联考数学试题
吉林省部分学校2023届高三下学期3月大联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若全集Z U =，集合{}2540,Z A x x x x =-+≥∈，则U A ð中元素的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知复数1i z =-，则21z z -=（ ） A ．31i 2--B ．11i 2--C ．11i 2-D ．11i 2+3．ABC V 中，AD 为BC 边上的高，且AD =3，则AB u u u r在AD u u u r 方向上的投影向量的模为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．14．已知函数2,0(),01x x f x x x x⎧≥⎪=⎨<⎪-⎩，则方程1()4f x =的解集为（ ）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．111,,252⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,52⎧⎫⎨⎬⎩⎭5．已知0x 是函数()tan 2f x x =-的一个零点，则0sin 2x 的值为（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．456．如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2，4，4，那么该三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．12πB．C ．24πD ．40π7．数列{}n a 满足1100a =，2200a =，且()21(1)5n n n a a n *+⎡⎤-=+-⨯∈⎣⎦N ，则该数列前31项的和31S =（ ） A ．5550B ．5650C ．5760D ．59008．已知 1.01 1.03 1.021.03, 1.01, 1.02a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<二、多选题9．若直线:10l mx y m --+=，圆22:(2)4C x y -+=，则（ ） A ．直线l 与圆C 必相交B ．当1m =时，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，则CAB △的面积为2C ．直线l 与圆C 相交的最短弦长为D ．圆C 上至少存在4个点到直线l 10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为棱11A D 的中点，N 为线段AM 的中点，点P 是线段AC 上不与端点A 重合的动点，则（ ）A ．A ，M ，1C ，C 四点共面B ．三棱锥11P DAC -的体积为定值 C ．平面ANP ⊥平面11BBD DD ．过A ，N ，P 三点的平面截该正方体所得截面的面积为定值11．已知函数π()cos (0,0)6f x x B B ωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭，则（ ）A ．若函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，则ω的值可能为3B ．若关于x 的方程()f x B =在[0,]π上恰有四个实根，则ω的取值范围为1114,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．若函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，再向下平移B 个单位长度，得到的函数()g x 为奇函数，则ω的最小值是1D ．若函数()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则12ω≤≤12．若函数()g x 为函数()f x '的导函数，且对于任意实数0x ，函数值()0f x ，()0f x '，()0g x 均为递增的等差数列，则（ ） A ．函数()y f x =可能为奇函数 B ．函数()y f x =存在最大值 C ．函数()y f x =存在最小值D ．函数()y f x =有且仅有一个零点三、填空题13．8的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答）14．直线1)y x =-与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，且A 在第一象限，F 是抛物线的焦点，则||||AF BF =______． 15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的面积为πab ，点(,)(0)A m m m >在椭圆222:1(1)x E y a a+=>上，点A 关于x 轴，y 轴，原点的对称点分别为B ，C ，D ，记四边形ABDC 的面积为S ，则πSa的取值范围为______．16．函数322312y x x x =--在点()12,(1,2,3,4)i P i y i -=处的切线为i l ，则这四条切线所围成的封闭图形的面积为______．四、解答题17．已知数列{}n a 满足()12n n n a a n *+=+∈N ，且12a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3B =． (1)若b a ca ab -=+，判断ABC V 的形状； (2)求1tan tan A C+的最大值．19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，12A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上，//PQ 平面11ABB A ，点M 在棱1AA 上，//PM AD ．(1)证明：//PQ BM ；(2)若平面PDQ 与平面AQD ，求三棱锥A QDP -的体积．20．2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯．(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为12，求预测正确的人数X 的分布列和期望； (2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n 次传球之前球在梅西脚下的概率为n P ，求n P ．21．已知曲线E 上任意一点Q 到定点F 的距离与Q 到定直线:m x =的距离之比为3(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点． 22．设函数()e xx f x =，ln ()xg x x =．(1)分别求()f x 与()g x 的最大值；(2)若直线y m =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点()1,A x m ，()0,B x m ，()2,C x m ，其中102x x x <<，证明：1x ，0x ，2x 成等比数列．。
2024届浙江省五校联盟高三下学期3月联考数学试卷
2024届浙江省五校联盟高三下学期3月联考数学试卷一、单选题1. 若全集，集合及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（）A．B．C．D．2. 已知向量，向量满足，若，则向量与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．3. 设b，c表示两条直线，表示两个平面，则下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4. 已知角的终边过点，则（）A．B．C．D．5. 设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6. 已知实数x，y满足，且，则的最小值为（）A．B．8C．D．7. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A 为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（）A．B．C．D．二、多选题9. 在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说法中正确的是（）A．剩下评分的平均值变大B．剩下评分的极差变小C．剩下评分的方差变小D．剩下评分的中位数变大10. 在三棱锥中，已知，点M，N 分别是AD，BC的中点，则（）A．B．异面直线AN，CM所成的角的余弦值是C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球的表面积为11. 已知函数，则（）A．的零点为B．的单调递增区间为C．当时，若恒成立，则D．当时，过点作的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为三、填空题12. 直线的一个方向向量是 ____________ .13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ___________ .14. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，且当时，，则___________ .四、解答题15. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且.(1)求证:平面平面;(2)若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值.16. 已知函数，其中.(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;(2)是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.17. 记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为.已知复数具有运算性质: ，其中.(1)当时，记的取值为，求的分布列;(2)当时，求满足的概率;(3)求的概率.18. 在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.(1)求;(2)求证: ;(3)如果满足方程，求的值.19. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）.(1)当时，求直线的方程;(2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N），（i）证明: △MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.。
浙江省强基联盟2024届高三下学期3月联考数学试题
浙江省强基联盟2024届高三下学期3月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{2}S xx =>-∣，{}2340T x x x =+-≤∣，则S T ?（ ）A ．(],1-∞B ．[)4,2--C ．(]2,1-D ．[)1,+∞2．已知i 是虚数单位，则i1i=-（ ） A ．12i2- B ．1i2-+ C ．2i2+ D ．12i2+ 3．现有一项需要用时两天的活动，每天要从5人中安排2人参加，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（ ） A ．20种B ．10种C ．8种D ．6种4．已知0x >，0y >，则（ ） A ．ln ln ln ln 777x y x y +=+ B ．()ln ln ln 777x y x y +=⋅ C ．ln ln ln ln 777x y x y ⋅=+ D ．()ln ln ln 777xy x y =⋅5．若02x π<<，则“2cos 1x x <”是“cos 1x x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．64(1)(1)x x +-的展开式中，6x 的系数为（ ） A ．2B ．2-C ．8D ．107．已知函数()f x 的定义域为R ，且()π012f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅，则函数()f x （ ）A ．以π为周期B ．最大值是1C ．在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．既不是奇函数也不是偶函数8．设点A ，B ，C 是抛物线24y x =上3个不同的点，且AB AC ⊥，若抛物线上存在点D ，使得线段AD 总被直线BC 平分，则点A 的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．有两组样本数据：122024,,,x x x L ；122024,,,y y y L .其中()20241,2,,2024i i y x i =+=L ，则这两组样本数据的（ ） A ．样本平均数相同 B ．样本中位数相同 C ．样本方差相同D ．样本极差相同10．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，（ ）A ．若sinsin 2A C a b A +=，则π3B =B ．若22(sin sin )sin sin sin BC A B C -=-，则π6A = C ．若,,a b c 成等比数列，则π3B ≤ D ．若,,a b c 成等差数列，则tan3tan 222A C+≥ 11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，过棱1CC ，11A D ，11A B 的中点作正方体的截面，则（ ）ABC ．截面多边形存在外接圆D ．截面所在平面与平面ABCD三、填空题12．已知向量()2,1a =r ，()2,4b t =r ，若a b ⊥r r，则实数t =.13．点()3,P a 关于直线0x y a +-=的对称点在圆22(2)(4)13x y -+-=内，则实数a 的取值范围是.14．用[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 满足：143a =，()211n n n a a a λμ+=--，*n ∈N .若0λ=，2μ=-，则n a =；若1λμ==，则202411i i a =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑.四、解答题15．已知函数()sin f x x x =. (1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，(2)求函数()sin y f x x =⋅的单调递增区间.16．小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是34，小基每轮猜对的概率是23，各轮结果互不影响.(1)求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；(2)求“联盟队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望.17．如图，在四棱锥Q ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//CD AB ，BC AB ⊥，平面QAD ⊥平面ABCD ，QA QD =，点M 是AD 的中点.(1)证明：QM BD ⊥.(2)点N 是CQ 的中点，22AD AB CD ===，当直线MN 与平面QBC 所成角的正弦值为7时，求四棱锥Q ABCD -的体积. 18．已知椭圆22:19x G y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 为直线:2l x =上的动点.(1)求椭圆G 的离心率.(2)若12PA PA ⊥，求点P 的坐标.(3)若直线1PA 和直线2PA 分别交椭圆G 于B ，C 两点，请问：直线BC 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.19．已知函数()e 2ex x axf x =+.(1)当12a =时，记函数()f x 的导数为()f x '，求()0f '的值.(2)当1a =，1x ≥时，证明：()3cos 2f x x >.(3)当2a ≥时，令()()e 1xg x a f x ⎡⎤=+-⎣⎦，()g x 的图象在x m =，()x n m n =<处切线的斜率相同，记()()g m g n +的最小值为()h a ，求()h a 的最小值. （注：e 2.71828=L 是自然对数的底数）.。
广东省佛山市李兆基中学、郑裕彤中学两校2022届高三下学期3月联考数学试题
一、单选题二、多选题1. 将正弦曲线上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期A ．B．C．D．2. 已知，则（ ）A．B．C ．2D ．53.已知函数，若有两个零点，，下列选项中不正确的是（ ）A．B．C．D．4. 已知为虚数单位，且，则（ ）A．B．C．D．5.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心是（ ）A．B．C．D．6. 设复数，则z 的虚部为（ ）．A ．1B ．3iC ．1iD ．37.设复数、在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则（ ）A．B．C．D．8. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．9. 设向量，，则（ ）A．B．C．D．10. 设为第一象限角,,则（ ）A．B．C．D．11. 如图，在棱长为2的正方体中，M ，N ，P分别是，，的中点，则（）广东省佛山市李兆基中学、郑裕彤中学两校2022届高三下学期3月联考数学试题广东省佛山市李兆基中学、郑裕彤中学两校2022届高三下学期3月联考数学试题三、填空题四、解答题A ．M ，N ，B ，四点共面B ．异面直线与MN所成角的余弦值为C ．平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．三棱锥的体积为12. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）A ．为递减数列B．C ．是数列中的最大项D．13.已知随机变量，且，则______；若，则______．14. 若在前项和为的等比数列中，，，则数列的通项公式为__________________．15.设点是直线与直线的交点，过点作圆的切线，请写出其中一条切线的方程：______．（只需写一条即可）．16. 已知函数，（I ）求证：函数在上单调递增；（II ）若方程有三个不同的实根，求的值；（III）对任意恒成立，求的取值范围.17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C的度数成等差数列，．（1）若，求c 的值；（2）求的最大值．18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．年级名次是否近视近视不近视(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系?7.879附：19. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（，，单位是MIPS ）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A 3691041121746614品牌B2854258155121021（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.数值越小速度越快20. 某校承接了2023年某大型考试的笔试工作，考试前，学校将高二年级的201~205五个班级内部的墙壁装饰画取下后打包，统一放置，考试结束后再恢复原位.学校安排了三位校工甲、乙、丙进行该项工作，每位校工至少负责一个班级的装饰画复原工作.已知每位校工能够完全还原一个班级装饰画的概率均为，并且他们之间的工作相互独立.(1)求校工甲将自己负责的所有班级的装饰画完全还原的概率；(2)设校工乙能够完全还原的班级数为X ，求X 的分布列和数学期望.21. 已知在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点和右焦点分别为，动点满足，记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)设点在上，过作的两条切线，分别与轴相交于两点.是否存在点，使得等于的短轴长？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.。
2024江西省金太阳24-381C高三下学期3月联考数学试题及答案
江西省2024届高三3月28日大联考数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.双曲线22162y x -=的渐近线方程为A.13y x =±B.y x =C.3y x =±D.y =2.设集合2{N ||3},|02x A x xB x x -⎧⎫=∈=⎨⎬+⎩⎭∣……,则A B ⋂=A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{1,0,1,2}-3.已知圆锥的母线长为6,其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形,则该圆锥的表面积为A.8πB.12πC.16πD.24π4.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分隔率,黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示,2sin18︒=,设m =则2tan811tan 81︒︒=+A.4mB.2m C.m5.已知实数a ,b 满足1522,log 3aa b +==,则A.a b> B.a b < C.a b= D.a ,b 的大小无法判断6.过点(1,1)P -的直线与圆22:64120C x y x y +--+=相切于点M ,则PC PM ⋅=A.4B.16D.177.若一个四位数的各位数字之和为4,则称该四位数为“F 数”,这样的“F 数”有A.20个B.21个C.22个D.23个8.C 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点,A ,B 是椭圆E 的左、右顶点,若:CA CB :||2:1:AB =则E 的离心率为二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.则A.()f x 在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 B.对13,()3x f x f π⎛⎫∀∈⎪⎝⎭R …C.()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.将()f x 的图象向左平移6π个单位长度,所得到的函数是偶函数10.复数z 满足31z =,且1z ≠,则A.||1z = B.2z z=C.2(z z=-D.12*0,n n n z z z n N ++=++∈11.已知函数(),()f x g x 及其导函数(),()f x g x ''的定义域均为R ,若(21)f x -的图象关于直线1x =对称,()(1)1,(1)()f x g x x f x g x x ++=++=-+,且(2)1g =,则A.()f x 为偶函数B.()g x 的图象关于点(3,3)对称C.(202)1g '= D.1()4949ni g i ==∑三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.样本数据5,11,6,8,14,8,10,5的40%分位数为_____________.13.如图,在正三棱锥D ABC -中,侧棱1,30AD BDC ︒=+∠=,过点A 作与棱DB ,DC 均相交的截面AEF.则AEF 周长的最小值为_____________,记此时AEF 的面积为S ,则2S =_____________.14.若不等式322xa bxb x ⋅+++…在[0,2]x ∈上恒成立,则a b -的最大值为____________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的30%,30%,40%,并且各车间的次品率依次为2%,3%,2%.(1)从该厂这批产品中任取一件,求取到次品的概率;(2)从该厂这批产品中有放回地抽取100次,每次抽取1件,且每次抽取均相互独立,用X 表示这100次抽取的零件中是次品的总件数,试估计X 的数学期望EX .16.(15分)已知数列()n a 的前n 项和为n S ,且4(21)1n n S n a =++.(1)求{}n a 的通项公式;(2)已知*k N ∈,集合{}**2121,k nk a n N -+∈∣……中元素个数为kb ,求12k b bb +++ .17.(15分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,2AB AC BC ===,侧面11BB C C 是正方形,P 是平面111A B C 上一点,且AP BC ⊥.(1)证明:点P 到直线11A B 和11AC 的距离相等.(2)已知二面角1A BC B --的大小是23π,求直线AB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.18.(17分)在直角坐标系xOy 中,点P 到直线2x =-的距离等于点P 到原点O 的距离,记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程;(2)点A ,B ,C ,D 在W 上,A ,B 是关于x 轴对称的两点,点A 位于第一多限,点C 位于第三象限,直线AC 与x 轴交于点G ,与y 轴交于点,H AH HG =,且B ,H ,D 三点共线,证明:直线CD 与直线AC 的斜率之比为定值.19.(17分)已知函数()xf x ae x a =--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x ≥0恒成立,求a 的取值集合;(3)若存在12022x x ππ-<<<<,且()()()()1112221cos 1cos 0f x x x f x x x +-=+-=,求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案1.D 由题可知双曲线22162y x -=的渐近线方程为y =.2.B 依题得{0,1,2,3},{22}A B x x ==-<∣…,则{0,1,2}A B ⋂=.3.C 设圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则23lπ=2r π,解得2r =,所以该圆锥的表面积为2212261623πππ⨯+⨯⨯=.4.A 222tan81sin81cos8111sin162sin181tan 81sin 81cos 81224m ︒︒︒︒︒︒︒︒=====++.5.A 因为()2xf x x =+在R 上单调递增,且11222f ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭,所以12a >.又16161log 3log 42b =<=,所以a b >.6.B 圆22:64120C x y x y +--+=,即圆22:(3)(2)1C x y -+-=的圆心为(3,2)C ,半径r 1=,点(1,1)P -到圆心(3,2)C的距离d ==所以||PM= 4.PC PM =⋅=2||||||cos ||||||||PM PC PM CPM PC PM PM PC ⋅∠=⋅⋅= 16=.7.A 易知440003100=+++=+++220021101111=+++=+++=+++,当四位数由4,0,0,0构成时,共有1种情况,当四位数由3,1,0,0构成时,共有2232C A 6=种情况,当四位数由2,2,0,0构成时,共有23C 3=种情况,当四位数由2,1,1,0构成时,共有1133C C 9=种情况,当四位数由1,1,1,1构成时,共有1种情况,所以这样的“F 数”有20个.8.D由题可知cos CAB CBA ∠==∠==,则tan CAB ∠=tan CBA ∠=由题意不妨设()00,C x y ,又00(,0),(,0),tan y A a B a CAB x a -∠=+,22000220tan ,1y x y CBA a x a b∠=+=-,所以tan tan CAB CBA ∠⋅∠=200022000y y y a x x a a x ⋅==-+-()2222022220310b a x b a a x a -==-,则E=9.AC当,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,2,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦,因为,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是正弦函数的单调递增区间,所以()f x 在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,A 选项正确;1327sin 033f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭,B 选项错误;sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭,C 选项正确;将()f x 的图象向左平移6π个单位长度,得函数2()2sin 22sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象,其中2(0)2sin3g π==,不是函数最值,y 轴不是函数图象的对称轴,()g x 不是偶函数,D 选项错误.10.ABD 由31z =,可得()2(1)10z z z -++=,则210z z ++=,解得12z =-±,所以|z|()1221.10n n n n z z z z z z ++=++=++=,故选项A,D 正确.当12z =-+时,22,()z z z =z =,当12z =--时,22,()z z z z ==,故选项B 正确,选项C 错误.11.BCD 由(21)f x -的图象关于直线1x =对称,可得(1)f x -的图象关于直线2x =对称,即()f x 的图象关于直线1x =对称.由()(1)1f x g x x ++=+,可得(1)()f x g x --+-x =-,又(1)()f x g x x +=-+,所以(1)(1)0f x f x --++=,所以()f x 的图象关于点(0,0)对称,即()f x 为奇函数,周期为4(10)4-=.由()(1)1f x g x x ++=+,可得(f x +5)(6)6g x x ++=+,因为()f x 的周期为4,所以(5)(1)f x f x +=+,则()g x x -++(6)6g x x +=+,即()(6)6g x g x -++=,所以()g x 的图象关于点(3,3)对称.因为()f x 的图象关于直线1x =对称,则(2)()f x f x -=,所以(2)()f x f x ''--=,所以(1)0f '=,因为()f x 的周期为4,所以()f x '的周期也为4.由()(1)1f x g x x ++=+,可得()f x '+(1)1g x '+=,所以(202)1(201)1(1)1g f f '''=-=-=.由()(1)1f x g x x ++=+,可得()(1)g x x f x =--,所以(2)2(1)g f =-,即991(1)1,(2)(0)0,(3)1,()i f f f f g i =====-∑(12399)=++++ [(0)(1)(98)]4950(0)(1)(2)4949f f f f f f -+++=---= .12.8840% 3.2⨯=,将样本数据按从小到大的顺序排列为5,5,6,8,8,10,11,14,故40%分位数为8.3+-把正三棱锥D ABC -的侧面展开,两点间的连接线1AA 是截面周长的最小值.正三棱锥D ABC -中,30BDC ︒∠=,所以1,1AD A D AD ⊥=+,所以1AA =+故AEF+.又111111sin 21sin 2A DEADEA D ED EDA S A E AA AE S AD ED EDA ⨯∠====+⨯∠ ,所以AE =⨯+1A E =.则1EF A F ==-.221 3.2S ⎡⎢=⨯⨯=-⎢⎣14.6由322xa bxb x ⋅+++…,可得321xa b x ⋅++…,令函数3(),[0,2]1x f x x x =∈+,则2223(1)ln 333[(1)ln 31]3[ln 31]()0(1)(1)(1)x x x x x x f x x x x '+-+--==>+++…,故()f x 在[0,2]上单调递增,即3[1,3]1xx ∈+,所以22,232a b a b -+-+………….故(3)2()a b a b a b -=+-+…6,当且仅当2,4a b ==-时,上式成立.所以a b -的最大值为6.15.解:(1)记事件A 为“任取一件产品,恰好是次品”,事件1B 为“取到甲车间生产的产品”,事件2B 为“取到乙车间生产的产品”,事件3B 为“取到丙车间生产的产品”,则()10.3P B =,()()()()()231230.3,0.4,0.02,0.03,0.02,P B P B P A B P A B P A B =====∣∣∣ (3)分所以由全概率公式得()()31()0.30.020.30.030.40.02iii P A P B P AB ===⨯+⨯+⨯=∑∣0.023,故从该厂这批产品中任取一件,取到次品的概率为0.023.……………………..……………………..…..…………..6分(2)X 的可能取值为0,1,2,3,,100 ,且X 服从二项分布.由(1)知,()0.023P A =. (8)分因为~(100,0.023)X B ,所以1000.023 2.3EX =⨯=.……..………………..………………..………………..…………13分16.解:(1)令1n =,得11a =.……..………………..………………..………………..……………………………..………………..…2分当2n …时,因为4(21)1n n S n a =++,所以114(21)1n n S n a --=-+,两式相减得14(21)(21)n n n a n a n a -=+--,……..………………..………………………..………………..…………3分即1(23)(21)n n n a n a --=-,所以12123n n a n a n --=-,……..………………..………………..………………..………………..……4分所以2312135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅=⨯⨯⨯- ,即121na n a =-,……..………………..………………..………………..…5分所以()*212,n a n n n =-∈N ….……..………………..……………………..………………..…………6分又11a =,符合上式,所以()*21n a n n =-∈N .……..………………..………………..………………..………………..…………7分(2)由212121kk n --+……,可得121k k n -+……,所以()1121122k k k b k k --=+-+=-+.……..………………..………………..………………..…………11分21212(3)32112222k kk k k k k b b b --+++=-=-+-- .……..………………..………………..…………15分17.(1)证明:当P 和1A 重合时,显然符合题意,当P 和1A 不重合时,连接1A P ,延长1A P 交11B C 于点1M ,因为11BB C C 是正方形,所以1BB BC ⊥,又因为11//BB AA ,所以1AA BC ⊥……..………………..…………2分因为1,AP BC AP A A A ⊥⋂=,所以BC ⊥平面1AA P .……..………………..………………..………4分又1A P ⊂平面1AA P ,所以1BC A P ⊥,则1111B C A M ⊥.……..………………..………..…………5分因为AB AC =,所以1M 为11B C 的中点,且11A M 为111C A B ∠的角平分线. ……..………………..…6分所以点P 到直线11A B 和11AC 的距离相等.……..………………..…………..…………7分(2)解:取BC 的中点M ,连接1,MM AM ,所以1,MM BC AM BC ⊥⊥,所以1AMM ∠为二面角1A BC B --的平面角, ……..………………..………………..……………………8分因为二面角1A BC B --的大小是23π,所以123AMM π∠=.……..………………..………………..……9分过M 作平面ABC 的垂线,交11A M 于点N ,分别以,,MA MB MN的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,由题可得1(2,0,0),(0,1,0),(0,1,0)A A C B -,所以1(2,1,0),((2,1,0)AC AA AB =--=-=-,…………11分设平面11ACC A 的法向量为(,,)x y z =n ,则10,0,AA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,20,x x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩令x =,则1y z =-=,所以=-n ,直线AB 与平面11ACC A 所成的角为α,则sin |cos ,|AB α=〈〉=n ||||||AB AB ⋅==n n 所以直线AB 与平面11ACC A.…..………………..……………….15分18.(1)解:设(,)P x y ,则|2|x +=,………………..………………..………………..……….3分两边平方,化简得244y x =+,故W 的方程为244y x =+.………………..…………..…………..………………..…………..……….5分(2)证明:设点()()1122,,,,(0,),C x y D x y H t AC 的方程为()x m y t =-,则(,0)G mt -,因为AH HG =,所以(,2),(,2),0,0A mt t B mt t t m ->>.………………..……………………………..…………..……….7分从而直线BD 的方程为()3mx y t =-- (8)分联立2(),44,x m y t y x =-⎧⎨=+⎩可得24440y my mt -+-=,所以14A y y m +=,则142y m t =-,所以1(43)x m m t =-.………………..……………………………..………………..…………..……….10分联立2(),344,m x y t y x ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩可得2444033y my mt +--=,所以243B y y m +=-,则243y m =-2t +,所以2433m x m t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.………………..………………………..………………..…………..……….12分所以直线CD 的斜率为1212y y x x -=-44223342(43)33mm t t m m m m m t t -+-=⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.……………….……….15分所以直线CD 与直线AC 的斜率之比为33212m m=.……………..…………………..………….17分19.解:(1)()e 1xf x a '=-.……………..……………………..…………..……………..………….1分当0a …时,()0f x '<,所以()f x 在R 上单调递减.…..………..…………..………..………..……3分当0a >时,令()0f x '>,解得ln x a >-,所以()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减,在(ln ,)a -+∞上单调递增...………..…..……..………..………..………..………..………..……5分(2)因为(0)0f =,所以0a >.6分由(1)可知min ()(ln )1ln f x f a a a =-=+-,……..…………..……8分令函数11()1ln ,()1a h a a a h a a a'-=+-=-=,易知()h a 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,且(1)0h =,要使得()0f x …恒成立,则1a =,即a 的取值集合为{1}.……..…………..………..…………..……10分(3)由()()()()1112221cos 1cos 0f x x x f x x x +-=+-=,可得1211e cos e xxa x x a a --=-22cos 0x x a -=.设函数()e cos ,,22xg x a x x a x ππ⎛⎫=--∈-⎪⎝⎭,即()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭和0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点.记()g x ''是()g x '的导数,()g x '''是()g x ''的导数,(4)()g x 是()g x '''的导数.()e cos sin ,()e 2sin cos x x g x a x x x g x a x x x '''=-+=++,在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上,若0a …,则()0g x <,若1a …,则()0,()(0)0g x g x g '>>=,矛盾.13 分因此(0,1)a ∈,此为必要条件,下证充分性:在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上,2()0,(0)10,e 022g x g a g a πππ''''⎛⎫>=-<=+> ⎪⎝⎭,即()g x '先负后正,因此()g x 先减后增,由2(0)0,e 102xg g a π⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可知()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点. ……..…………..…………..…………..……..…………..…………..…………..…………..……15分在,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上,(4)()e 3cos sin ,()e 4sin cos 0x x g x a x x x g x a x x x '''=+-=-->.由2e 0,(0)3022g a g a πππ-''''''⎛⎫-=-<=+> ⎪⎝⎭,可知()g x '''先负后正,因此()g x ''先减后增,2e 20,(0)02g a g a ππ-''''⎛⎫-=-<=> ⎪⎝⎭,可知()g x ''先负后正,()g x '先减后增.由2e 0,(0)1022g a g a πππ-''⎛⎫-=+>=-< ⎪⎝⎭,可知()g x '先正后负,因此()g x 先增后减,由2e 10,(0)02xg a g π-⎛⎫⎛⎫-=-<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可知()g x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上有唯一零点,符合题意.所以a 的取值范围为(0,1).……..…………..…………..…………..……………..…………..……17分。
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江西省宜春市、丰城市2017届高三数学3月联考试题 理一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}12A x x =-<<，(){}lg 1B x y x ==-，则）（B C A R =（ ） A.(-1,1)B ．[)2 +∞，C ．(1,1]-D ．[)1 -+∞，2.已知复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．13i 55+ B ．13i 55- C ．13i 55-+ D ．13i 55--3．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落 在其内切圆内的概率是A ．320π B ．20π C ．310π D ．10π4.在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分最高的学生， 在某道题目上的答对率也应较高.如图是某次数学 测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2 问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为 该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则 下列说法正确的是（ ）。
A. 此题没有考生得12分B. 此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏C. 分数在[40,50)的考生此大题的平均得分大约为4.8分D. 全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差5.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A.4-310π B. 8-310π C. 1643π- D. 1683π- 6.已知函数1log (2),0()(),0a x x f x g x x -+≥⎧=⎨<⎩是奇函数，则方程()2g x =的根为（ ）A.32-B. 32C. 6 D ．6-7．执行如下图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）A ．1-2018B ．1-2017 1 D. 18.函数y=的图象大致是( )9．把函数())4f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移3π，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为（ ） A ．57[,]66ππ-B ．719[,]66ππ C ．24[,]33ππ-D ．175[,]66ππ-- 10．设抛物线24x y =的焦点为F ，过点F 作斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线相交于A B 、两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ,若4||=MF ,则直线l 的方程为（ ）A ．1y =+B ．1y +C ．1y +D ．2y =+ 11．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln3g x x x=--1([,2])2x ∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5[ln 2,2]4+ B ．5[2ln 2,ln 2]4-+ C ．]2ln 2,2ln 45[++ D ．[2ln 2,2]- 12.若正实数x,y 满足)2()25()122-⋅+=-y y xy （，则yx 21+的最大值为（ ） A. 2231+- B. 2331+- C. 2331+ D. 2231-- 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.若525nx dx -=⎰，则()21nx -的二项展开式中2x 的系数为 .14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为___________．15. 已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2cos c a a B -=，则2sin sin()AB A -的取值范围是____________．16.已知函数1()2f x x =+，点O 为坐标原点, 点(,())()n A n f n n *∈N ，向量(0,1)=i ， n θ是向量n OA 与i 的夹角，则使得312123cos cos cos cos sin sin sin sin n nt θθθθθθθθ++++< 恒成立的实 数t 的取值范围为_________.三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 中，11a =，39a =，且11(2)n n a a n n λ-=+-≥． （I ）求λ的值及数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)()n n n b a n =-⋅+，且数列{}n b 的前n 项和为n S ， 求2n S ．18. 已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，,E F 分别 是11AC ，11B C 上的点，且满足11AE EC =，113BF FC =． （1）求证：平面AEF ⊥平面11BB C C ；（2）设直三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，求二面角1C AE B --的余弦值．19.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程。
某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从 老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能 自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行 统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的 不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们 的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍 人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发 放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下 老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100 元。
试估计政府执行此计划的年度预算。
20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为e .椭圆上一点C 满足：C 在x 轴上方，且1CF x ⊥轴.（1）若OC ∥AB ，求e 的值； （2）连结2CF 并延长交椭圆于另一点D .若12e ≤≤22||||CF F D 的取值范围.21．已知函数f(x)=xe 2x-lnx-ax. (1)当a=0时，求函数f(x)在[12，1]上的最小值； (2)若∀x>0，不等式f(x)≥1恒成立，求a 的取值范围；(3)若∀x>0，不等式211111()1xx ee xf e x xe +--≥+恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22,23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 过定点(1,1)P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为32cos ρθρ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||AB 及||||PA PB ⋅的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知不等式|x+3|﹣2x ﹣1＜0的解集为（x 0，+∞） （Ⅰ）求x 0的值；（Ⅱ）若函数f （x ）=|x ﹣m|+|x+|﹣x 0（m ＞0）有零点，求实数m 的值．丰城中学、上高二中2017届高三联考试卷数学（理）答题卡一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13、 14、 15、 16、三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17、（本题满分12分）18、（本小题满分12分）19、（本小题满分12分）20、（本小题满分12分）21、（本小题满分12分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分． 22□ 23□（本小题满分10分）2017届高三联考试卷数学（理）答案参考答案：1-12 CBABC DADBB DA 13.180 14.2 15.(2221，) 16. ),[4319.解：（Ⅰ）数据整理如下表：不健康尚能自理从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为： =，故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为16×．80岁以下长者人数为10人（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为=2.75%．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P（X=0）=，P（X=120）==，P（X=200）==，P（X=220）==，P（X=300）==，则随机变量X 的分布列为：EX==28， 全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元． 政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．21．解：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=， ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数， 又函数)(/x f 的值域为R ，故00>∃x ，使得时，0)(/>x f ，即函数)(x f 在区间（2由（1）知函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0)(0/=x f 进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增，00200m in ln )()(0ax x e x x f x f x --==，由0)(0/=x f 得： 1)2(020200-+=⇒x e x x ax ，0220002ln 1)(x e x x x f --=∴，因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，02ln 12ln 10022002200≤+⇒≥--∴x x e x x e x x设0220002ln )(x e x x x h += 则)(0x h 为增函数，且有唯一零点，设为t 则02ln )(22=+=t e t t t h 则te t t 222ln =- 即t te tt 221ln 1=令x xe x g =)(，则)(x g 单增，且)1(ln )2(t g t g =则t t 1ln 2=，即te t12=而0201)12(0x ex a x -+=在(]t ，0为增函数 则当t x =0时a 有最大值，2max 111(2+1)(2+1)2ta t e t tt t=-=-= ∴2≤a（3对任意0>x 成立，当x>1时，0x g />）（，当10<<x 时，0)(/<x g ，所以当1=x 时，函数)(x g取得最小值23. 解：（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，∴x0=2；（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，∵|x﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x﹣m）（x+）≤0时取等号，∵|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，∴m+≤2，∵m+≥2，∴m+=2．解得m=1。