第四章+空间轴对称问题的有限元

T S
e
( r , s = i, j , m )
由于在轴对称问题的矩阵 [ B ] 中出现坐标 r , z ， 所以上式的积分运算比平面问题要复杂得多。 现在仍 取单元形心的坐标 r ≈ r =
1 1 ri + rj + rm ) ， z ≈ = z ( ( zi + z j + zm ) 来替代矩阵 [ B ] 中的坐标 r , z ， 3 3
γ rθ = γ θz =0
空间轴对称问题的平衡微分方程为
∂σ r ∂τ zr σ r − σ θ 0 + + + Fr = ∂r r ∂z ∂σ z + ∂τ zr + τ zr + F = 0 z ∂z ∂r r
空间轴对称问题的几何方程
∂u ∂r εr u ε θ r = ε z ∂w τ rz ∂z ∂u ∂w + ∂z ∂r
T
{ p} rdrdz
式中右边第一项是环形单元上的集中力 {G} 移置到结点的等效结点力，第二项是环形单元边界上表 面力 {q} 的等效结点力，第三项是环形单元体积力 { p} 的等效结点力。 采用平面问题中相同的符号： 集中力的等效结点力
{F }
表面力的等效结点力
e
= 2π rc [ N ] {G}
1 ( ri + rj + rm ) 3 1 z≈= z ( zi + z j + zm ) 3 r≈r =
所以有
fi ≈ fi =
ai cz + bi + i r r
( i = i, j , m )
这样就可以把各个单元近似地当作常应变单元，求得单元形心处应变和应力的近似值。
202
§4．2
单元刚度矩阵
e T 1 2 ne
T

{Rn }
T

T
{Ri }
T
= [ Rir
Riz ]
和平面问题一样，等效结点力也是由作用在环形单元上的集中力、表面力和体积力分别移置到 结点上而得到的。移置的原则也是根据这些力和等效结点力在任意虚位移上所作的虚功相等，即
{δ } {R}
eT
e
=
({u } ) 2π r {G} + ∫ {u}
201
的径向坐标 r 有关. 单元的应力分量为
= {σ }
= S ]{δ } [ D ][ B ]{δ } [ = [ Si ]
e e
S j
[ S m ] {δ }
e
( λ + 2G ) bi + λ fi 1 ( λ + 2G ) fi + λbi [ Si ] = 2∆ λ ( bi + fi ) Gci
T T
{Q}
体积力的等效结点力
e
= 2π ∫ [ N ] {q} rdsT源自{P}于是：e
= 2π ∫∫ [ N ]
e e
{ p} rdrdz
e e
{R} = {F } + {Q} + {P}
整体结构的等效载荷列阵可写成：
{R} = ∑ ({F } + {Q} + {P}
e e ne
e
) = {F} + {Q} + {P}
ui w i uj wj um wm
fi =
则应变可写成
ai z + bi + ci r r
e
( i = i, j , m )
Bj
= {ε }
其中
B ]{δ } [= [ Bi ]
[ Bm ] {δ }
e
(4.1.3)
带入几何方程得到单元体内的应变:
0 0 u ∂ w ∂z ∂ ∂r
bi 1 fi = 2∆ 0 ci
其中
0 0 ci bi
bj fj 0 cj
0 0 cj bj
bm fm 0 cm
0 0 cm bm
T ne Se
{R} = ∑ {R}
ne
e
于是有整体结构的有限元方程
[ K ]{δ } = {R}
和平面问题一样，整体刚度矩阵[K]是对称的带状稀疏阵，在消除刚度位移后，它是正定的。
204
§4.3 等效结点力计算载荷列阵
现在来讨论等效结点力的计算。上节中的载荷列阵
= {R}
其中
= R R {R} ∑ { } { }
则
{u} =
u e = [ N ]{δ } = N j [ N i ] w
∂ ∂r εr 1 ε r θ = {ε } = ε z 0 τ rz ∂ ∂z
[ N m ] {δ }
单元内一点的位移可写为 (4.1.2)
ui w i 0 0 0 N N N u r z , ) uj i j m r ( = {u} = = w ( r, z ) 0 Ni 0 N j 0 N m w j um wm N i ui + N j u j + N mum N i wi + N j w j + N m wm
作为一次近似，得到一个近似的单元刚度矩阵
[ krs= ]
e
2π r∆ [ Br ] [ D ][ Bs ]
T
203
=
π r ( λ + 2G ) br bs + f r f s + λ br f s + f r bs + Gcr cs 2∆
r s s s r
(
) ( λ c ( b + f ) + Gc b
e e [ k ] {δ } = {R} e
e
我们仍然假设单元的虚位移为
{u} = [ N ]{δ }
2π
e
注意到
∫ dθ = 2π ，则得
0
2π ∫∫ [ B ] [ D ][ B ] rdrdz {δ } = { R}
T e Se
e
则单元刚度矩阵
[k ]
它可以写成
e
= 2π ∫∫ [ B ] [ D ][ B ] rdrdz
图 4.1 轴对称问题的有限元离散(环形单元) 离散轴对称体时，采用的单元是一些圆环。这些圆环单元与 rz 平面正交的截面可以有不同的形 状，例如 3 结点三角形、6 结点三角形或其它形式。图 4．1 所示为 3 结点三角形环状单元。
图 4．2 三节点轴对称单元(环形单元) 在轴对称问题中(图 4．1)，通常采用的单元是截面为三角形的圆环状单元，它是由rz面的三角 形环绕对称轴z回转一周而得到的。 在相邻单元之间通过圆环形的铰链互相连接。 单元的棱边都是圆， 称为节圆；节圆与 rz平面的交点就是节点。这样，各单元将在rz平面上形成三角形网络，就像平面问 题中各三角形单元在xy平面上形成的网络一样。但是，在轴对称问题中，单元体积是圆环的体积， 单元是圆环状的，所有的结点载荷都应理解为作用在单元结点所在的圆周上,也就是说，节点力和节 点荷载都施加在圆环形的铰上，这些方面显然与平面问题不同。
都加以扩大到整个结构的自由度 的维数，然后叠加得到：
T e 2π ∑ ∫∫ [ B ] [ D ][ B ] rdrdz {δ } = ∑ { R} ne S e ne
整体刚度矩阵
= [K ]
载荷列阵：
= [k ] ∑
e ne
2π ∑ ∫∫ [ B ] [ D ][ B ] rdrdz
eT c c
eT
{q} rdθ ds + ∫∫ {u} { p} rdθ drdz
eT
式中 rc 为集中载荷 {G} 作用点的径向坐标。考虑到
2π
∫ dθ = 2π ，则上式可以化成
0
{R}
e
= 2π rc [ N ] {G} + 2π ∫ [ N ] {q} rds + 2π ∫∫ [ N ]
T T
矩阵形式表达
198
σ r σ θ {σ } = σ z τ rθ
{σ } = [ D ]{ε }
0 (1 − 2µ ) 2 0 0
µ µ 1 − µ µ µ 1− µ E µ [ D] = µ 1− µ (1 + µ )(1 − 2µ ) 0 0 0
第四章 轴对称问题的有限元
工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件以及作用的载荷都对称于某 一固定轴，我们把它称为对称轴，则在载荷作用下产生的位移、应变和应力也对称于此轴。这种问 题称为轴对称问题。 在轴对称问题中，通常采用圆柱坐标 ( r,θ ,z ) 。以对称轴作为 z 轴，所有应力、应变和位移都与 θ 方向无关，只是 r 和 z 的函数，任一点的位移只有两个方向的分量，即沿 r 方向向的径向位移 u 和 沿 z 方向的轴向位移 w 。由于轴对称， θ 方向的位移 v 等于零。因此轴对称问题是二维问题。 基本方程 环向位移 uθ = 0
( λ + 2G ) ci Gbi
λ ci λ ci
显然，只有应力分量 τ rz 在单元中为常量外，其余三个正应力在单元中都不是常量。在实用上，为了 简化计算和消除对称轴上由于 r=0 所引起的麻烦，常把各个单元中的 r 和 z 近似地当作常量，并且 分别等于各单元形心的坐标，即
式中 N i ,N j ,N m 是插值函数. 其中