2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北理科数学word版)
2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(湖北卷)
2021年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程的一个根是 A ． B ．C ．D ． 2．命题“0R x Q ∃∈，”的否定是A ．0x ∃∉R Q ，B ．0R x Q ∃∈，C ．x ∀∉R Q ，D ．x ∀∈R Q ，3．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A ．B ．C ．D ． 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．()y f x=5．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012+a 能被13整除，则a =( )A ．0B ．1C ．11D ．12 6．设是正数，且，，，则A ．B ．C ．D ． 7．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①； ②； ③； ④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为A 、① ②B 、③ ④C 、① ③D 、② ④8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．B ．C ．D ．9．函数在区间上的零点个数为 A ．4B ．5C ．6D ．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是A 、．．．二、填空题(,0)(0,)-∞+∞{()}n f a (,0)(0,)-∞+∞2()f x x =()2x f x =()f x =()ln ||f x x =d ≈π =3.14159d ≈d d ≈d ≈11．设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角 ．12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（1）4位回文数有 个；（2）位回文数有个． 14．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（Ⅰ）双曲线的离心率 ；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 .15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D 在的弦AB 上移动，，连接OD ，过点D 作的垂线交于点C ，则CD 的最大值为 .()()a b c a b c ab +-++=4AB =16．选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与曲线（t 为参数）相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .三、解答题17．（本小题满分12分）已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围. 18．已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和 19．如图1，，，过动点A 作，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿将△折起，使（如图2所示）．（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a (cos sin ,)x x x ωωω=--b ()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 1(,1)2ω∈()y f x =3π[0,]545ACB ∠=3BC =AD BC ⊥90BDC ∠=A BCD -A BCD -第15题图20．本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.21．（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22．（1）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.DA B C AC DB 图2图1 ME . ·参考答案1．A【解析】本题考察复数的一元二次方程求根.根据复数求根公式：，所以方程的一个根为答案为A.2．D【解析】本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定．因此选D3．B【解析】本题考察利用定积分求面积.根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为4．B【解析】由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为.选B.【考点定位】本小题考查立体几何中的三视图，三视图是新课标新增内容，是高考的重点和热点，年年必考，一般以选择或填空题的形式出现，经常与表面积．体积相结合来考查． 5．D【解析】【分析】由题意首先利用二项式定理将512012展开，然后结合题意得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值.【详解】2()1y f x x ==-+12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰由于2012201202012120112011120122012201251(521)5252521a a C C C a ⨯+=-+=-+⨯⨯-++, 又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a <13,所以a =12.故选：D .【点睛】本题主要考查二项式定理研究整除问题的方法，属于基础题.6．C【解析】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.由于等号成立当且仅当则a="t" x b="t" y c="t" z ，所以由题知又，答案选C 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（湖北卷）
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（湖北卷）无
【期刊名称】《新高考：高二数学》
【年(卷),期】2012(000)007
【总页数】8页(P46-50,I0021-I0023)
【作者】无
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G41
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2012年高考理数真题试卷(湖北卷)及解析
○…………装…………○………学校:___________姓名：___________班级：_____○…………装…………○………2012年高考理数真题试卷（湖北卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.﹣3+2i B.3+2i C.﹣2+3i D.2+3i2.命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q”的否定是（ ） A.∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q B.∃x 0∈∁R Q ，x 03∉Q C.∀x 0∉∁R Q ，x 03∈Q D.∀x 0∈∁R Q ，x 03∉Q3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.8π3 B.3π C.10π3D.6π4.设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，则 a+b+cx+y+z =（ ） A.14 B.13 C.12 D.345.定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，答案第2页，总8页○…………外…………○…………※※请※※不※○…………内…………○…………（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x 2；②f （x ）=2x ；③f （x ）= √|x| ；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④6.函数f （x ）=xcosx 2在区间[0，4]上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.77.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d≈ √169V 3 ．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ） A.d≈ √169V 3 B.d≈ √2V 3 C.d≈ √300157V 3 D.d≈ √2111V 3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=…○…………订…………○…………线…………○…___班级：___________考号：___________…○…………订…………○…………线…………○…9.如图，双曲线 x 2a 2−y 2b2 =1（a ，b ＞0）的两顶点为A 1 ， A 2 ， 虚轴两端点为B 1 ， B 2 ， 两焦点为F 1 ， F 2 ． 若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ， 切点分别为A ，B ，C ，D ．则： （Ⅰ）双曲线的离心率e= ；（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值 S1S 2= ．10.如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为 ．三、解答题（题型注释）11.已知向量 a →=（cosωx﹣sinωx，sinωx）， b →=（﹣cosωx﹣sinωx，2 √3 cosωx），设函数f （x ）= a →• b →+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ 12 ，1） （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若y=f （x ）的图象经过点（ π4 ，0）求函数f （x ）在区间[0， 3π5 ]上的取值范围．答案第4页，总8页………○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※………○…………装…………○……参数答案1.A【解析】1.解：∵方程x 2+6x+13=0中， △=36﹣52=﹣16＜0， ∴ x =−6±√16i2=﹣3±2i，故选A ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数相等的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 2.D【解析】2.解：∵命题“∃x 0∈C R Q ， x 03 ∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x 0∈C R Q ， x 03 ∈Q”的否定是∀x 0∈C R Q ， x 03 ∉Q故选D 3.B【解析】3.解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为： 12×π×12×6 =3π． 故选B ．【考点精析】通过灵活运用由三视图求面积、体积，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积即可以解答此题． 4.C【解析】4.解：由柯西不等式得，（a 2+b 2+c 2）（ 14 x 2+ 14 y 2+ 14 z 2）≥（ 12 ax+ 12 by+ 12 cz ）2，当且仅当 a12x=b12y=x12z时等号成立∵a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，…………外…………○…………装………○…………订…………○………线…………○…学校:___________姓名：_______班级：___________考号：___________…………内…………○…………装………○…………订…………○………线…………○…∴等号成立 ∴ a 12x=b 12y=x12z∴ a+b+c x+y+z = 12故选C ．【考点精析】认真审题，首先需要了解一般形式的柯西不等式(一般形式的柯西不等式：)．5.C【解析】5.解：由等比数列性质知 a n a n+2=a n+12 ，① =f 2（a n+1），故正确； ② ≠ 22a n+1=f 2（a n+1），故不正确；③= √|a n+1|2 =f 2（a n+1），故正确；④f（a n ）f （a n+2）=ln|a n |ln|a n+2|≠ ln|a n+1|2 =f 2（a n+1），故不正确；故选C【考点精析】认真审题，首先需要了解等比关系的确定(等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断)． 6.C【解析】6.解：令f （x ）=0，可得x=0或cosx 2=0 ∴x=0或x 2= kπ+π2 ，k∈Z∵x∈[0，4]，则x 2∈[0，16]， ∴k 可取的值有0，1，2，3，4， ∴方程共有6个解∴函数f （x ）=xcosx 2在区间[0，4]上的零点个数为6个 故选C【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的零点与方程根的关系的理解，了解二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．答案第6页，总8页7.D【解析】7.解：由V= 43π(d 2)3，解得d= √6V π3 设选项中的常数为 a b ，则π= 6ba选项A 代入得π= 6×916 =3.375；选项B 代入得π= 62 =3； 选项C 代入得π=6×157300=3.14；选项D 代入得π=6×1121=3.142857 由于D 的值最接近π的真实值 故选D ． 8.9【解析】8.解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5， 第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环， 输出S=9．所以答案是：9． 【考点精析】利用算法的循环结构对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，循环结构可细分为两类：当型循环结构和直到型循环结构．9.√5+12；√5+22【解析】9.解：（Ⅰ）直线B 2F 1的方程为bx ﹣cy+bc=0，所以O 到直线的距离为 √b 2+c 2∵以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ， ∴√b 2+c 2=a∴（c 2﹣a 2）c 2=（2c 2﹣a 2）a 2 ∴c 4﹣3a 2c 2+a 4=0 ∴e 4﹣3e 2+1=0 ∵e＞1 ∴e=√5+12（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1=2bc 设矩形ABCD ，BC=2n ，BA=2m ，∴ mn =cd ∵m 2+n 2=a 2 ， ∴ m =√b 2+c2， n =√b 2+c 2∴面积S 2=4mn=4a 2bc b 2+c 2∴ S 1S 2= b 2+c 22a 2= b 2+c 22bc∵bc=a 2=c 2﹣b 2………订…………○…………___________考号：___________………订…………○…………∴ b =−1+√52c∴ S1S 2=√5+22所以答案是：√5+12，√5+2210.2【解析】10.解：由题意可得△OCD 为直角三角形，故有CD 2=OC 2﹣OD 2 ， 故当半径OC 最大且弦心距OD 最小时，CD 取得最大值．故当AB 为直径、且D 为AB 的中点时，CD 取得最大值，为AB 的一半，由于AB=4，故CD 的最大值为2， 所以答案是2．11.（1）解：∵f （x ）= a →• b →+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 √3 cosωx+λ=﹣（cos 2ωx﹣sin 2ωx）+ √3 sin2ωx+λ = √3 sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣ π6 ）+λ ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣ π6 = π2 +kπ，k∈z ∴ω= k 2 + 13 ，又ω∈（ 12 ，1） ∴k=1时，ω= 56∴函数f （x ）的最小正周期为 2π2×56= 6π5（2）解：∵f（ π4 ）=0∴2sin（2× 56 × π4 ﹣ π6 ）+λ=0 ∴λ=﹣ √2答案第8页，总8页∴f（x ）=2sin （ 53 x ﹣ π6 ）﹣ √2 由x∈[0， 3π5 ]∴ 53 x ﹣ π6 ∈[﹣ π6 ， 5π6 ] ∴sin（ 53 x ﹣ π6 ）∈[﹣ 12 ，1]∴2sin（ 53 x ﹣ π6 ）﹣ √2 =f （x ）∈[﹣1﹣ √2 ，2﹣ √2 ] 故函数f （x ）在区间[0， 3π5 ]上的取值范围为[﹣1﹣ √2，2﹣ √2【解析】11.（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f （x ）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f （x ）化为y=Asin （ωx+φ）+k 型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的值域．。
2012年湖北高考理科数学试题(解析版)
由折起前 知，折起后（如图2）， ， ，且 ，
所以 平面 ．又 ，所以 ．于是
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当 ，即 时,三棱锥 的体积最大．
解法2：
同解法1，得 ．
令 ，由 ，且 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时， 取得最大值．
故当 时,三棱锥 的体积最大．
解析：令 ，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为 ，围成OC为 ，作对称轴OD，则过C点。 即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积， 。在扇形OAD中 为扇形面积减去三角形OAC面积和 ， ， ，扇形OAB面积 ，选A.
9．函数 在区间 上的零点个数为
A．4B．5
C．6D．7
考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
考点分析：本题考查排列、组合的应用.
难易度：★★
解析：（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有 种。
答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为 .
（Ⅱ）由概率的加法公式，
又 .
由条件概率.
21．（本小题满分13分）
设 是单位圆 上的任意一点， 是过点 与 轴垂直的直线， 是直线 与 轴的交点，点 在直线 上，且满足 .当点 在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线 ．
2012年湖北高考理科数学试卷
2012年湖北省高考理科数学试卷湖北省2012年高考试卷数学理本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，则使M∩N＝N成立的的值是（）A．1B．0 C．－1 D．1或－12．若，其中，是虚数单位，复数（）A．1+2i B．-1+2i C．-1-2i D．1-2i 3．如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（－1＜ξ≤1）=（）A．2Φ（1）－1 B．Φ（－4）－Φ（－2）C．Φ（2）－Φ（4）D．Φ（4）－Φ（2）4．设，下列向量中，与向量Q=（1，-1）一定不平行的向量是（）A．b=（k，k）B．c=（-k，-k）C．d=（k2 +1,k2 +1）D．e=（k2一l,k2—1）5．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（）m2．正视图侧视图俯视图A．B．C．D．6.设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则（）A.的图象过点B.在上是减函数C.的一个对称中心是D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象.7．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．258 B．642C．780 D．15388．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）.A．B．C．2 D．9．若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是( )A．4 B．3 C．2 D. 110．设是正三棱锥的底面⊿的中心，过的动平面与交于，与、的延长线分别交于、，则( ) A、有最大值而无最小值B、有最小值而无最大值C、无最大值也无最小值D、是与平面无关的常数二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11．对任意的实数x，有，则a2的值是。
2012年湖北省高考数学试卷(理科)附送答案
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i2．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q3．（5分）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π5．（5分）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．126．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．7．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．9．（5分）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=．13．（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；）位回文数有个．（Ⅱ）2n+1（n∈N+14．（5分）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD 的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为．16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．20．（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥90002610工期延误天数Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．（13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2012•湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知=﹣3±2i，由此能求出结果．【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，∴=﹣3±2i，故选A．2．（5分）（2012•湖北）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“∃x0∈C R Q，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x0∈C R Q，∈Q”的否定是∀x0∈C R Q，∉Q故选D3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．5．（5分）（2012•湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13则可得a+1=13∴a=12故选D6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n），故正确；+1），故不正确；②≠=f2（a n+1），故正确；③==f2（a n+1④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选A．9．（5分）（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个故选C10．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB 的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有9×10n个．+【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N）位+回文数的个数【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10=90个故答案为90（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法，）位回文数有9×10n个故2n+1（n∈N+故答案为9×10n14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn=，由此可得结论．（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为【解答】解：∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2∴c4﹣3a2c2+a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e＞1∴e=（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：，二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．【分析】由题意可得CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半．【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，故答案为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线（t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）故答案为：（2.5，2.5）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx ﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n ﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n ﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【解答】解：（1）设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）∴V A﹣BCD设f（x）=（x3﹣6x2+9x）x∈（0，3），∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E （，1，0），且=（﹣1，1，1）设N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）∵EN⊥BM，∴•=0即（﹣1，1，1）•（﹣，λ﹣1，0）=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N（0，，0）∴当DN=时，EN⊥BM设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由及=（﹣1，，0）得，取=（1，2，﹣1）设EN与平面BMN所成角为θ，则=（﹣，﹣，0）sinθ=|cos＜，＞|=||==∴θ=60°∴EN与平面BMN所成角的大小为60°20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数02610Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【分析】（I）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X ＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论【解答】（I）由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X ＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P （X＜300）=0.9﹣0.3=0.6由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）=．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x 轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m 丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵点A在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C的方程为∵m∈（0，1）∪（1，+∞），∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），（Ⅱ）如图2、3，∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴k QN=k QH，∴∴k PQ•k PH=∵PQ⊥PH，∴k PQ•k PH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r 为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．【分析】（I）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；（II）由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（III）（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．【解答】（I）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣x r﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r）①若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，∴①中令，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②（III）解：（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；③用数学归纳法证明（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，a k≥0，b1，b2，…，b k为正有理数，若b1+b2+…+b k=1，则a1b1a2b2…a k bk≤a1b1+a2b2+…a k b k．当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，a k+1≥0，b1，b2，…，b k+1为正有理数，若b1+b2+…+b k+1=1，＞0则1﹣b k+1于是a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1∵++…+=1∴…≤++…+=bk+1≤•（1∴a k+1﹣b k）+a k+1b k+1，+1∴a1b1a2b2…a k b ka k+1bk+1≤a1b1+a2b2+…a k b k+a k+1b k+1．∴当n=k+1时，③成立由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．。
2012年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ❿湖北）方程⌧ ⌧的一个根是（）✌．﹣ ♓ ． ♓ ．﹣ ♓ ． ♓．（ ❿湖北）命题❽ ⌧ ✈， ✈❾的否定是（）✌． ⌧ ✈， ✈ ． ⌧ ✈， ✈ ． ⌧ ✈， ✈ ． ⌧ ✈， ✈ ．（ ❿湖北）已知二次函数⍓♐（⌧）的图象如图所示，则它与✠轴所围图形的面积为 （）✌． ． ． ．．（ ❿湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（）✌． ． ⇨ ． ． ⇨．（ ❿湖北）设♋ ☪，且 ♎♋♎，若 ♋能被 整除，则♋（）✌． ． ． ． ．（ ❿湖北）设♋，♌，♍，⌧，⍓， 是正数，且♋ ♌ ♍ ，⌧ ⍓ ，♋⌧♌⍓♍，则 （）✌． ． ． ．．（ ❿湖北）定义在（﹣ ， ）✉（ ， ）上的函数♐（⌧），如果对于任意给定的等比数列 ♋⏹❝，♐（♋⏹）❝仍是等比数列，则称♐（⌧）为❽保等比数列函数❾．现有定义在（﹣ ， ）✉（ ， ）上的如下函数：♊♐（⌧） ⌧ ；♋♐（⌧） ⌧；♌♐（⌧） ；♍♐（⌧） ●⏹⌧．则其中是❽保等比数列函数❾的♐（⌧）的序号为（）✌．♊♋ ．♌♍ ．♊♌ ．♋♍．（ ❿湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 ✌中，分别以 ✌， 为直径作两个半圆．在扇形 ✌内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）✌． ﹣ ．﹣ ． ．．（ ❿湖北）函数♐（⌧） ⌧♍☐♦⌧ 在区间☯， 上的零点个数为（）✌． ． ． ．．（ ❿湖北）我国古代数学名著《九章算术》中❽开立圆术❾曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，❽开立圆术❾相当于给出了已知球的体积✞，求其直径♎的一个近似公式♎☟．人们还用过一些类似的近似公式．根据⌧⑤判断，下列近似公式中最精确的一个是（）✌．♎☟ ．♎☟ ．♎☟ ．♎☟二、填空题：（一）必考题（ 题）本大题共 小题，考试共需作答 小题，每小题 分，共 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．．（ ❿湖北）设 ✌的内角✌， ， ，所对的边分别是♋，♌，♍．若（♋♌﹣♍）（♋♌♍） ♋♌，则角 ♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ ❿湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果♦♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ ❿湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如 ，， ， ， 等．显然 位回文数有 个： ， ， ⑤， 位回文数有 个： ， ， ，⑤， ， ，⑤， ．则：（♊） 位回文数有♉♉♉♉♉♉♉♉♉个；（♋） ⏹（⏹ ☠ ）位回文数有♉♉♉♉♉♉♉♉♉个．．（ ❿湖北）如图，双曲线﹣ （♋，♌＞ ）的两顶点为✌ ，✌ ，虚轴两端点为 ， ，两焦点为☞ ，☞ ．若以✌ ✌ 为直径的圆内切于菱形☞ ☞ ，切点分别为✌， ， ， ．则：（♊）双曲线的离心率♏♉♉♉♉♉♉♉♉♉；（♋）菱形☞ ☞ 的面积 与矩形✌的面积 的比值 ♉♉♉♉♉♉♉♉♉．二、填空题：（二）选考题（请考生在第 、 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 铅笔涂黑，如果全选，则按第 题作答结果计分．）．（ ❿湖北）（选修 ﹣ ：几何证明选讲）如图，点 在 的弦✌上移动，✌，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 ，则 的最大值为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ ❿湖北）（选修 ﹣ ：坐标系与参数方程）：在直角坐标系⌧⍓中，以原点 为极点，⌧轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线→与曲线（♦为参数）相较于✌， 来两点，则线段✌的中点的直角坐标为♉♉♉♉♉♉♉♉♉．三、解答题：本大题共 小题，共 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ ❿湖北）已知向量 （♍☐♦⌧﹣♦♓⏹⌧，♦♓⏹⌧）， （﹣♍☐♦⌧﹣♦♓⏹⌧， ♍☐♦⌧），设函数♐（⌧） ❿ ↖（⌧ ）的图象关于直线⌧⇨对称，其中 ，↖为常数，且 （， ）（ ）求函数♐（⌧）的最小正周期；（ ）若⍓♐（⌧）的图象经过点（， ）求函数♐（⌧）在区间☯， 上的取值范围．．（ ❿湖北）已知等差数列 ♋⏹❝前三项的和为﹣ ，前三项的积为 ．（ ）求等差数列 ♋⏹❝的通项公式；（ ）若♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，求数列 ♋⏹ ❝的前⏹项和．．（ ❿湖北）如图 ， ✌， ，过动点✌作✌，垂足 在线段 上且异于点 ，连接✌，沿✌将 ✌折起，使 （如图 所示），（ ）当 的长为多少时，三棱锥✌﹣ 的体积最大；（ ）当三棱锥✌﹣ 的体积最大时，设点☜， 分别为棱 ，✌的中点，试在棱 上确定一点☠，使得☜☠，并求☜☠与平面 ☠所成角的大小．．（ ❿湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量✠（单位：❍❍）对工期的影响如下表：降水量✠✠＜ ♎✠＜ ♎✠＜ ✠♏工期延误天数✡ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量✠小于 ， ， 的概率分别为 ， ， ，求：（✋）工期延误天数✡的均值与方差；（♋）在降水量✠至少是 的条件下，工期延误不超过 天的概率．．（ ❿湖北）设✌是单位圆⌧ ⍓ 上的任意一点，♓是过点✌与⌧轴垂直的直线， 是直线♓与⌧轴的交点，点 在直线●上，且满足丨 丨 ❍丨 ✌丨（❍＞ ，且❍♊）．当点✌在圆上运动时，记点 的轨迹为曲线 ．（✋）求曲线 的方程，判断曲线 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（♋）过原点且斜率为 的直线交曲线 于 、✈两点，其中 在第一象限，它在⍓轴上的射影为点☠，直线✈☠交曲线 于另一点☟，是否存在❍，使得对任意的 ＞ ，都有 ✈☟？若存在，求❍的值；若不存在，请说明理由．．（ ❿湖北）（✋）已知函数♐（⌧） ❒⌧﹣⌧❒ （ ﹣❒）（⌧＞ ），其中❒为有理数，且 ＜❒＜ ．求♐（⌧）的最小值；（✋✋）试用（✋）的结果证明如下命题：设♋ ♏，♋ ♏，♌ ，♌ 为正有理数，若♌ ♌ ，则♋ ♌ ♋ ♌♎♋ ♌ ♋ ♌ ；（✋✋✋）请将（✋✋）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当↑为正有理数时，有求道公式（⌧↑）❒ ↑⌧↑﹣ ．年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ❿湖北）考点：复数相等的充要条件。
2012年全国统一考试理科数学(新课标)(word完整版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，1. 已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3．下面是关于复数z=21i-+的四个命题P1：z =2 p2: 2z =2i P3: z 的共轭复数为1+I P4：z 的虚部为-1 其中真命题为（ ）A . P2, P3B . P1, P2 C. P2, P4 D. P3, P44．设F1，F2是椭圆E ：22x a +22yb=1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线x=23a 上的一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.12 B. 23 C. 34 D. 455. 已知{a n }为等比数列， a 4+a 1=2 a 5a 6＝-8 则a 1+a 10 =( ) A. 7 B. 5 C. -5 D. -76. 如果执行右边的程序图，输入正整数N （N ≥2）和实数a 1.a 2,…a n ，输入A,B,则( ) A . A+B 为a 1a 2,…，a n 的和 B.2A B+为a 1a 2.…，a n 的算式平均数 C. A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最大的数和最小的数 D. A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A. 6B. 9C. 12D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为( )B. C. 4 D . 8 9. 已知w ＞0，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则w 的取值范围是( )A. ]45,21[B. ]43,21[ C. ]21,0( D. ]2,0(10. 已知函数x f =1)(，则)(x f y =的图像大致为()11. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )12. 设点P 在曲线x ey 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则|PQ|的最小值为( ) A. 2ln 1- B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+ D.)2ln 1(2+第Ⅱ卷 二。
2012年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2，知=3，，∉3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）B轴所围图形的面积为）+1﹣=4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）B=32012+6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）Bx y ax+by+cz 当且仅当=7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；，①②≠③8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）﹣﹣的面积为﹣∴此点取自阴影部分的概率是．210．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..≈≈，表示出V=，解得设选项中的常数为，则==3.375=3=3.14=3.142857二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．cosC==．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个．14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．到直线的距离为，根据以，到直线的距离为，∴，==故答案为：二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．=，曲线三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．•2）=+，又（）的最小正周期为（××﹣）（﹣）﹣，x∈，x），x）﹣=f﹣﹣，，18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．，由题意可得，，根据等差数列的求和公式可求或=综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD 上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．××××（=（（，且，则=，•=0，+=，DN=的一个法向量为，由及，，取==（﹣，﹣，＞|=|=20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．|y|上，可得，从而可得可得在圆上运动，∴的方程为（）上，∴可得，∴，∴，使得在其对应的椭圆上，对任意22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．，a中令a+≤+a•。
2012年理数高考试题答案及解析湖北
....2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 .1．方程x 26 x 13 0 的一个根是 A ． 3 2iB ． 3 2iC ． 2 3iD ． 2 3i 考点分析： 本题考察复数的一元二次方程求根 .难易度 ： ★ 解析： 根据复数求根公式： x 6 6213 4 3 2i ，所以方程的一个根为2 答案为 A.2．命题“ x 0 e R Q ， x 03 Q ”的否定是 A ． x0 eR Q ， x0 3 B ． x0 eR Q ， x03 Q Q C ． x e R Q ， x 3 Q D ． x e R Q ， x 3 Q 考点分析： 本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. 难易度 ：★解析： 根据对命题的否定知，是把谓词取否定， 然后把结论否定。
因此选 D 3．已知二次函数 y f ( x) 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为 A ． 2πB ． 45 3C ． 3 πD ． 2 2 考点分析： 本题考察利用定积分求面积 .难易度 ：★解析： 根据图像可得： y f ( x)x 2 1，再由定积分的几何意 2 1 1 x 34 4义，可求得面积为x 2 1)dx ( x)1 2S( 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 A ． 8π B ．π 3....3 2iy111 O 1 x1第 3 题图142侧视图第 4 题图C ．10πD ． 6π 3 考点分析： 本题考察空间几何体的三视图 .难易度：★解析： 显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2 的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一半为 .选 B. 3π 5．设 a Z ，且 0a 13 ，若 512012 a 能被 13 整除，则 aA ．0 B ．1 C ．11D ． 12 考点分析： 本题考察二项展开式的系数 .难易度：★解析：由于51=52-1 ， (52 1)2012C 20120 522012 C 20121 522011 ... C 20122011521 1 , 又由于 13|52,所以只需 13|1+a ， 0≤ a<13, 所以a=12 选 D.6．设 a,b, c, x, y, z 是正数，且 a 2b2 c 210 ， x 2 y 2 z 240 ， ax by cz 20 ，则 a b c x y zA ． 1B ． 14 3 C ． 1 D ． 32 4考点分析： 本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度： ★★解析： 由于 ( a 2b 2 2 )( x 2 y 2 z 2 ) ( ax by cz)2c等号成立当且仅当a b c t , 则 a=t x b=t y c=t z ， t 2( x 2 y 2 z 2 ) 10 x y z所以由题知 t1/ 2 , 又 a b c a b c , 所以 a b c t 1/ 2，答案选 C.x y z x y z x y z7．定义在 ( ,0) (0, ) 上的函数 f ( x) ，如果对于任意给定的等比数列{ a n}， { f(a n )} 仍是等比数列，则称f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在( ,0) (0,) 上的如下函数：① f( x) x2；② f ( x) 2x；③ f ( x)| x | ；④ f (x) ln | x | .第 2 页共 15 页则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为A ．① ②B ．③ ④C．① ③ D ．② ④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：★解析：等比数列性质， a n a n a n21，①f a n f a n 2 a n2a n22 a n22f 2 a n 1；2 12a n2a n2 2a n a n2 22a n 1 f 2 an 1；③ f a n f a n 222 an 1；② f a n f a n 2a n a n 2a n 1 f④ f a n f a n 2ln a n ln a n 22f 2 an 1.选 C ln a n 18．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．1 2 B ．11π 2 πC．2D．1ππ考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：★解析：令OA 1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为S1，围成 OC 为 S2，作对称轴 OD ，则过 C 点。
2012年普通高等学校招生全国统一考试全国卷(数学理)word版缺答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ，2AB =，1CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos 2α=（A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012年湖北高考试题(理数_word解析版)
12012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程26130x x ++=的一个根是A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i + 考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度：★解析：根据复数求根公式：6x 322i -==-±，所以方程的一个根为32i -+ 答案为A.2．命题“0x ∃∈R Q ，30x ∈Q ”的否定是A ．0x ∃∉R Q ，30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ，30x ∉QC ．x ∀∉R Q ，3x ∈QD ．x ∀∈R Q ，3x ∉Q考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.难易度：★2解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。
因此选D3．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为A ．2π5B ．43C ．32D ．π2考点分析：本题考察利用定积分求面积. 难易度：★解析：根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π考点分析：本题考察空间几何体的三视图. 难易度：★解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.5．设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a = A ．0B ．1C ．11D ．12考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★侧视图正视图43解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++A ．14B ．13C ．12D ．34考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：★★解析：由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++等号成立当且仅当,t zcy b x a ===则a=t x b=t y c=t z ，10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++===t zy x cb a z y xc b a z c y b x a 所以，答案选C.7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ， {()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函 数：①2()f x x =； ②()2x f x =；③()f x = ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A ．① ② B ．③ ④ C ．① ③ D ．② ④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：★解析：等比数列性质，212++=n n n a a a ，①()()()()122212222++++===n n n n n n a f a a a a f a f ； ②()()()12221222222+++=≠==+++n a a a a a n n a f a f a f n n n n n ；③()()()122122++++===n n n n n n a f a a a a f a f ；④()()()()122122ln ln ln ++++=≠=n n n n n n a f a a a a f a f .选C48．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：★解析：令1=OA ，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点。
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试卷类型A
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）
本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方块涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号答在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应该根据直接的选做的题目准确填涂题号，不得多选,答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 1. 方程 2
x +6x +13 =0的一个根是
A -3+2i
B 3+2i
C -2 + 3i
D 2 + 3i
2 命题“∃x 0∈C R Q ， 30x ∈Q ”的否定是
A ∃x 0∉C R Q ，30x ∈Q
B ∃x 0∈
C R Q ，30x ∉Q C ∀x 0∉C R Q ， 30x ∈Q
D ∀x 0∈C R Q ，3
0x ∉Q
3 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示 ，则它与X 轴所围图形的面积为
A.
25π B.43 C.32 D.2
π 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为 A.
83π B.3π C. 103
π D.6π
5.设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a= A.0 B.1 C.11 D.12
6.设a,b,c,x,y,z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax+by+cz=20,则
a b c
x y z
++=++
A.
14 B. 13 C. 12 D,34
7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。
现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x ²；②f （x ）=2x ；③；④f （x ）=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④
8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。
在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. C. D.
9.函数f（x）=xcosx²在区间[0,4]上的零点个数为
A.4
B.5
C.6
D.7
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一
个近似公式。
人们还用过一些类似的近似公式。
根据x=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是
二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。
请将答案填
在答题卡对应题号
．．．．．．．的位置上。
答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
（一）必考题（11-14题）
11.设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c。
若（a+b-c）（a+b+c）=ab，
则角C=______________。
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.
13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。
如22，,11,3443,94249等。
显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，
191,202，…，999。
则
（Ⅰ）4位回文数有______个；
（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。
14.如图，双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2。
若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D。
则
（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值__________。
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。
）
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________。
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
已知射线与曲线（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为_________。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知向量a=，b=，设函数f（x）
=a·b+的图像关于直线x=π对称，其中为常数，且
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图像经过点求函数f（x）在区间上的取值范围。
18.（本小题满分12分）
已知等差数列{a n}前三项的和为-3，前三项的积为8.
（1）求等差数列{a n}的通项公式；
（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列{}n a的前n项的和。
19.（本小题满分12分）
如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD 上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小
20．（本小题满分12分）
根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
（I）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。
21.（本小题满分13分）
设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。
当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。
22.(本小题满分14分)
（I）已知函数f（x）=rx-x r+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0<r<1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：
设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。
注：当α为正有理数时，有求道公式(xα）r=αxα-1。