概率论第1讲ppt

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四, 差集 余集 设A,B为任意两个集合, 称由属于集合A 而不属于集合B的所有元素组成的集合 为集合A与集合B的差集, 记作A-B
A
B
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例如, 区间(1,4)与区间(0,2)的差集为区 间[2,4). 特殊地, 如果A与B不相交, 则 A-B=A
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C A
B
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证 下列诸关系式是相互等价的: e(AB)C, eAB且eC, eAC或eBC, e(AC)(BC). 从而上述分配律成立.
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集合的并及交可以从两个推广到有限多 个或可数多个集合上去, 诸集合A1,A2,... 的并集A1A2...就是由至少属于A1,A2,... 中一个的所有元素组成的集合; 诸集合 A1,A2,...的交集A1A2...就是由同时属于 A1,A2,...的所有元素组成的集合. 分配律 对于有限个或可数多个集合的并集也成 立,即 (A1A2...)C=(A1C)(A2C)...
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例如, {1,2,3}是以三个数字1,2,3为元素的有限集; 1 1 1 1 1 1 { , , ,}是以数字 , , ,为元素的可数集; 2 3 4 2 3 4 所有实数组成一个不可数的无限集; 所有大于a小 于b(a b)的实数组成一个集合, 称它为区间(a, b), 它也是一个不可数无限集.
设BU, 称U-B为B在U内的余集, 记作
BU
U
B
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例如, 当U为整个数轴时, 区间(-,a)在U 内的余集为[a,+)
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下面给出几条关于余集的性质, 设A,B,... 等都是U的子集, 为简便起见, 略去表达 余集时的下标U.
(1) (2) (3)
O
1
x
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如果AB=, 即A,B无公共元素, 就称集 合A与集合B互不相交. 例如, 由所有正数组成的集合与由所有 负数组成的集合互不相交; 区间(1,2)与 区间(2,3)互不相交.
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集合的并与交满足如下的分配率: (AB)C=(AC)(BC).
因此所求总数为1070=700.
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第二节 集合
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集合, 有时简称为集, 是具有某种特定性 质的事物所组成的集体. 通常用大写字 母A,B,C,...来表示集合. 组成集合的各个 事物称为这集合的元素. 如果e是集合A 的一个元素, 便记作eA. 如果e不是A的 元素记作eA. 如果集合A是由元素 e1,e2,...等组成的, 记作 A={e1,e2,...}
3 8
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例2 从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不 同的数组成的三位数中有几个是偶数? 解 所得的三位数是偶数, 它的个位上应 是2,4,6中的一个. 因此, 按置在个位上的 数有三种不同的取法, 而十位, 百位上的 数共有65种不同的取法. 从而所求的个 数为
365=90
r n
r n
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例4 有五本不同的数学书, 八本不同的物 理书, 从中任取两本数学书, 四本物理书. 问有多少种不同的取法? 解 从五本数学书中任取两本, 种数为
5 54 10 2 12
从八本物理书中任取四本, 种数为
8 876 5 70 34 4 12
第一章 预备知识
第一节 排列与组合
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乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
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二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r 个(0 < r n)构成一组. 这里, 不考虑这r 个元素的次序, 只研究有多少种不同的 取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的 组为一个组合. 对于所有不同的组合的 种数, 通常把它记作
n 或C r r n
AA 如果A B, 那末A B A B A B A B A B
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作业: 第10页开始 第1,2,3,4,5,6,7,8题
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n n n n r
r
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例3 用0,1,2,...,9这十个数字组成三位数, 在这些三位数中, (1) 如考虑数字可以重复, 问可以组成多 少不同的三位数? (2) 三个数字没有重复的有几个? (3) 三个数字都相同的有几个? (4) 只有两个数字相同的有几个?
概率论第1讲
第一章 本文件可从网址 上下载
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预备知识
概率论是研究随机事件的规律性的一个 数学分支, 直观地说是指这样的事件: 在 一次试验中, 它出现与否是具有偶然性的, 但是在大量重复试验中, 它却是具有内在 的必然性即规律性的.
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以上排列问题中参加排列的元素是不允 许重复的. 但有时需要考虑允许重复的 情况, 例如电话号码就允许数字重复. 现 考虑从n个各不相同的元素里任取一个, 然后放回去, 再取一个, 然后又放回去, 这样共进行r次, 问所得不同的排列共有 多少种? 显然, 这种情况下排列种数共有
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为了讨论方便, 把不含任何元素的集合 称为空集, 记作. 把空集作为任一集 合A的子集, 即对任一集合A, A. 如果AB且BA, 则称集合A,B相等, 记 作A=B
书上印错
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二, 并集 由至少属于集合A或集合B二者之一的所 有元素所组成的集合称为集合A与集合B 的并集, 记作AB.
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解 (1) 在数字可以重复的情况下, 计算能 组成多少个不同的三位数时, 由于百位 数上不能放置0, 所以组成的不同的三位 数的个数应为 91010=900
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(2) 百位上的数字有9种不同的取法. 在 百位上的数字取定后, 十位上的数字有9 种不同的取法. 在百位和十位上的数字 都取定后, 个位上的数字只有8种不同的 取法, 所以没有重复数字的三位数的个 数为 998=648.
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在讨论集合时, 重复的元素只算一次. 例 如把{1,2,2,3}与{1,2,3}看作是同一个集 合.
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如果一个集合中只有有限多个元素, 称 这集合为有限集. 如果一个集合中有无 限多个元素, 称这集合为无限集. 如果一个无限集中的诸元素能与全体自 然数构成一一对应关系, 则称这无限集 为可数集或可列集, 否则为不可数集.
一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数, 通常表示为
P
r n
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先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为
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(3) 由于百位上的数字有9种不同的取法, 在百位上的数字取定后, 十位上及个位 上的数字随之而定, 所以三个数字都相 同的三位数的个数为9.
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(4) 只有百位上与十位上的数字相同的 三位数的个数为99, 只有十位上与个位 上的数字相同的三位数的个数为99, 只 有百位上与个位上的数字相同的三位数 的个数为99. 所以只有两个相同数字的 三位数的个数为 99+99+99=243
P n(n - 1)(n - 2) (n - r 1)
r n
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或改写为
P n(n - 1)(n - 2) (n - r 1)
r n
n(n - 1) (n - r 1)(n - r )(n - r - 1)32 1 (n - r )(n - r - 1) 32 1 n! (n - r )!
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从n个不同元素中任取r个元素出来, 得 到一个组合, 对这r个元素进行各种排列, 共得r!种不同的排列, 但所有这些排列均 是由一种组合变来的, 所以排列的种数
P
n 是组合种数 的r!倍, 即 r
n P n n! r r ! (n - r )!r ! n - r
A
B
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例如, 集合{1,2,3}与集合{3,4,5}的并集为 集合{1,2,3,4,5};
区间(1,3)与(2,4)的并集为区间(1,4);
区间(-,3)与区间(-,1)的并集为 区间(-,3)
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由平面上坐标满足1<x<2的点的全体组 成的集合与由坐标满足2<y<4的点的全 体组成的集合的并集如图所示: y 4
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当r=n时, 所求排列种数为n!. 若规定0!=1, 则上式仍然成立. 因此, 当0<rn时, 上述 排列问题的答案总可以表达成
n! P (n - r )!