概率论第一章

在相同的条件下，多次抛一枚均匀的硬币，设事件 A =“正面朝上” ， 观察 n 次试验中 A 发生的次数．
试验者 德.摩根 蒲丰 费勒 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 10000 12000 24000
nA
1061 2048 4979 6019 12012
f n ( A)
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
第五章 大数定律和中心极限定理
第六章 数理统计的基本概念 第七章 参数估计 第八章 假设检验
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算
§1.2
§1.3 §1.4 §1.5
概率的定义及其性质
古典概型与几何概型 条件概率 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类： 一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现 象成为随机现象。 如何研究随机现象呢？
1.1.2 随机试验
例1-1： E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；
E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数；
E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差； E6: 在区间 0， 1 上任取一点，记录它的坐标。
例1-5 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AB)=0.8, P(AB)=0.3, 求P(B). 解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.
例1-6 设A,B两个随机事件, P(A)=0.8, P(AB)=0.5, 求P(AB). 解 由性质6可知，
（3）若A与B互不相容，有 f（ ） f（ ） f（ ） . n A B n A n B 同理可有：f（ f（ . n Ak） n Ak）
k 1 k 1 n n
频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：
（1） 0 P （A） 1； （2）P （） 0，P （） 1； （3）若A与B互不相容，有 P （A B） P （A） P （B） .
上述试验具有如下特点： 1.试验的可重复性——在相同条件下可重复进行；
2.一次试验结果的随机性——一次试验的可能结果不
止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；
3.全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先
可知 的，且每次试验有且仅有一个结果出现。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试 验，简称试验。随机试验常用E表示。
1.1.3 随机事件与样本空间
样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为
试验E的样本空间, 记为Ω. 样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本
空间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
例1-2：
分别写出例1-1各试验 E k 所对应的样本空间
1 {H,T}；
2 {1， 2， 3， 4， 5，； 6}
P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3
例1-7 设A与B互不相容, P(A)=0.5, P(B)=0.3, 求P(AB).
解 P(AB)=P( A B )=1-P(AB)=1-[P(A)+P(B)] =1-(0.5+0.3)=0.2
k 例 1-8 某地一年内发生 k 起交通事故的概率为
2. 和（并）事件： “事件A与事件B至少有一个 发生”，记作AB或A+B。
推广：n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生， 记作 Ai 或 Ai
i 1
i 1
n
n
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
解
B0 A1 A2 A3；
B1 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3；
B2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3；
B3 A1 A2 A3 .
例1-4：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C 分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示 下列事件：
概率的性质
性质 1
0 P( A) 1, P( ) 0.
性质 2（有限可加性） 设A1，A2，…, An是一列两两互不相容的事件，即
AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, n， 有
P( A1 A2 …An )＝ P(A1) ＋P(A2)+….＋P(An)
性质 3 （互补性） P( A)=1 P ． ( A) 性质4 P(A-B)=P(A)-P(AB).
3 {0， 1， 2， 3， }； 4 {t | t 0}；
5 t | t ， ；
6 t | t 0， 1.
随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事 件, 简称“事件”， 记作A、B、C等。
例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个 随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1， 3，5}.它是样本空间Ω的一个子集。 基本事件：随机事件仅包含一个样本点ω，单点子集{ω}。 复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。 事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。 如，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。
i 1 n
6. 对立（逆）事件 AB＝ , 且AB＝
记作B A ，称为A的对立事件
思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互
为对立事件的区别.
对立事件一定是互不相容事件，互不相 容事件不一定是对立事件
7.事件的运算性质
交换律：AB＝BA，AB＝BA。 结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)C＝A(BC)。 分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC)。 对偶(De Morgan)律：
一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的．有 放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。
n
200 400 600
nA
f n ( A)
139 201 401
0.695 0.653 0.668
频率的性质： （1） 0 f（ ） 1； n A （2）f（ 0，f（ 1； n ） n ）
性质 5（加法公式）对于任意事件A,B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
推广：
1) P ( A B C ) P ( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
2） 设A1，A2，…，An 是 n 个随机事件， 则
A1A2…An或
或 A i Ai
i 1
i 1
n
n
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
AB= B A
Ω
推广：n个事件A1, A2,…, An任意两个都互不相
容，则称n个事件两两互不相容。 若n个事件A1, A2,…, An 两两互不相容，且 Ai 则称n个事件A1, A2,…, An 构成一个完备事件组。
1.2.2 概率的公理化定义
定义3：若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件 A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1) 非负性公理：P(A) ≥0； (2) 规范性公理：P()＝1 ，P()＝0 ； (3) 可列可加性公理：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容 的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。
m m 同理可有：P Ak P （Ak） . k 1 k 1
定义2：在相同的条件下进行n次重复试验，当n趋于无
） 穷大时，事件A发生的频率 f（ 稳定于某个确定的常 n A
数p，称此常数p为事件A发生的概率，记作 P ( A)=p ．
注1：概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要 的是给了一种估算概率的方法．在实际问题中，事件发生的概率往 往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频 率值作为概率的近似值． 注2：但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试 验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的．其 次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而 容易造成误解． 注3：定义2中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为 频率的极限，以什么方式趋于概率呢？
k 1

e 1 e ． 不相容，所以有 P( A) P Ak k!
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
n
n
1i j n

n
p( Ai Aj )
1i j k n
P( A A A )
i j k
n
(1)n1 P( A1 A2 An ).
性质 6 （可分性） 对任意两事件A、B,有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) , P(B)＝P(AB)＋P(AB )
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
A A .